Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

Spiegelpunkt P * .
Anleitung: Löse die Hyperbelgleichung nach y auf
usw.
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Die Stechzirkelkonstruktionen haben für die Hyperbel eine ähnliche Bedeutung wie die
Papierstreifenkonstruktionen für die Ellipse. Dies gilt ebenso für die Umkehrbarkeit.
Umkehrungen der Stechzirkelkonstruktionen:
Von einer Hyperbel sind die Asymptoten und ein Kurvenpunkt
P gegeben. Gesucht sind die Hyperbelhalb-
achsen (Scheitel und Scheiteltangenten).
Lösung:
1. Die Parallele durch P zur Hauptachse
(Winkelhalbierende der Asymptoten in dem
Winkelraum, in dem P liegt) schneidet die nächste
Asymptote in Q und die Nebenachse in R.
2. RQ wird auf der Nebenachse von M aus bis T abgetragen.
3. RP wird von T aus zur Hauptachse hin abgetragen. Das liefert dort den Scheitel A und damit a.
4. Das Lot in A auf der Hauptachse als Scheiteltangente liefert b als den Abschnitt von A bis zur Asymptote.
Aufgabe 3.2.4: Finde mit Hilfe von Aufgabe 3.2.2 die entsprechende Umkehrung der
Stechzirkelkonstruktion.
Aufgabe 3.2.5: Von einer Hyperbel sind eine Halbachse und ein Kurvenpunkt P gegeben. Konstruiere mit
Hilfe einer weiteren Umkehrung der jeweils geeigneten Stechzirkelkonstruktion die Asymptoten und die
andere Halbachse.
Aufgabe 3.2.6: Vergleiche: Wie hängt bei den Aufgaben 3.2.4 und 3.2.5 die Genauigkeit des Ergebnisses
von der Lage des Punktes P zur Hauptachse der Hyperbel ab?
Aufgabe 3.2.7: Konstruiere die Brennpunkte einer Hyperbel, von der die Halbachsen bzw. eine Halbachse
und die Asymptoten gegeben sind.
Aufgabe 3.2.8: Konstruiere jeweils die fehlenden Asymptoten und Halbachsen einer Hyperbel, die
gegeben ist durch die Brennpunkte und
a) eine Asymptote, b) eine Halbachse, c) einen Punkt P.
Aufgabe 3.2.9: Begründe die nebenstehende
Methode, mittels Lineal und Faden eine
Hyperbel zu zeichnen. Was muss beim
Einrichten dieses “Hyperbelzirkels” beachtet
werden, wenn die Achsen, die reelle Halbachse a
und die lineare Exzentrizität e der Hyperbel
gegeben sind?
Hinweis: Diese vorgestellte Methode ist das
Analogon zur Gärtnerkonstruktion der Ellipse.
Aufgabe 3.2.10: Beweise: Der Grundriss einer Hyperbel auf einem Drehkegel mit lotrechter Achse d1 ist
eine Hyperbel mit Mittelpunkt M, die die Grundrisse von d1 und d2 als Brennpunkte hat, wobei d2 das
Spiegelbild von d1 am Mittelpunkt M der Schnitthyperbel ist. Die Hyperbelebene darf nicht lotrecht sein.
2
1
M
1
R
4
3
T
y
F2
(-a;0)
Q
U
P
P
F (e;0)
1
x