Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

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Von einer Ellipse sind gegeben der Mittelpunkt M und ein Hauptscheitel A (damit die Lage der Achsen und die
Länge a der großen Halbachse), sowie ein beliebiger Punkt P. Gesucht ist die Länge der kleinen Halbachse b.
Lösung:
Passt man einen Papierstreifen nach einer der vorherigen Zeichnungen so ein, dass auf ihm die bekannte Länge a
an der richtigen Stelle liegt, dann findet man auf dem Papierstreifen die gesuchte Länge b.
Aufgabe 2.2.6: Führe diese Konstruktion exakt nur unter Benutzung von Zirkel und Lineal aus. In welcher
Reihenfolge muss man diese Schritte in einem CAD-System ausführen?
Aufgabe 2.2.7: Führe diese Konstruktionen entsprechend zur Aufgabe 2.2.5 aus, wenn jetzt der Mittelpunkt
der Ellipse, ein Nebenscheitel und ein beliebiger Ellipsenpunkt gegeben sind.
Aufgabe 2.2.8: Zeichne mit beiden Papierstreifenmethoden Ellipsen mit a = 5,0 cm und b = 1,5 cm oder
b = 2,5 cm oder b = 4,0 cm. Weshalb wird das Ergebnis mit einer der beiden Methoden genauer?
Aufgabe 2.2.9: Gegeben ist eine Ellipse mit dem Mittelpunkt (0⏐0), dem Hauptscheitel A(5⏐0) und dem
Nebenscheitel B(0⏐2). Konstruiere die Lage des Papierstreifens jeweils durch die Achsenpunkte (5,6⏐0,0),
(0,0⏐5,6) und durch die Ellipsenpunkte (2,0⏐?) und (?⏐0,8).
Aufgabe 2.2.10: Von einer Ellipse sind gegeben der Mittelpunkt M(0⏐0), der Hauptscheitel A(a⏐0) und der
Punkt P(x⏐y). Konstruiere mit der Umkehrung der Papierstreifenmethode den Nebenscheitel für:
a) a = 5,0 x = 3,0 y = 2,0; b) a = 5,0 x = 4,0 y = 2,4; c) a = 5,2 x = 4,8 y = 1,0.
Wie ändert sich die Genauigkeit der Ergebnisse für die verschiedenen Beispiele?
Aufgabe 2.2.11: Das nebenstehende Bild soll die
Aufgabe 2.2.9 lösen. Was ist falsch daran?
Aufgabe 2.2.12: Von einer Ellipse sind
Mittelpunkt M(0⏐0), ein Scheitel S(39⏐0) und
der Punkt P(15⏐60) gegeben. Stelle die
Ellipsengleichung auf und gib die Koordinaten
der übrigen Scheitel an.
Aufgabe 2.2.13: Eine Ellipse mit Achsen, die zu
den Koordinatenachsen parallel sind, geht durch
die Punkte (52⏐42), (52⏐18), (70⏐30), (-20⏐30).
Finde die Halbachsen der Ellipse durch
Konstruktion und Rechnung.
Aufgabe 2.2.14: Eine Ellipse, deren Achsen die Koordinatenachsen sind, geht durch P(60⏐12,5) und
Q(39⏐26). Berechne die Halbachsen. Können P und Q beliebig vorgegeben werden? Begründe.
Aufgabe 2.2.15: Wie viele Punkte einer Ellipse, deren Achsen parallel zu den Koordinaten sind, kann man
vorgeben, um daraus die Parameter der Ellipsengleichung zu bestimmen?
Aufgabe 2.2.16: Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung y = mx + t und eine Ellipse e mit
2
2
x y
+ = 1 .
2 2
a b
a) Berechne die Schnittpunkte der Geraden g mit der Ellipse e sowie den dazugehörigen
Sehnenmittelpunkt M(xs⏐ys).
b) Finde eine algebraische Bedingung dafür, dass g Ellipsentangente ist.
c) Zeige, dass der Berührpunkt dieser Tangente und die Mitten aller zu g parallelen Sehnen auf einem
Durchmesser der Ellipse liegen.
2.3 Technische Anwendung
b
M
b
a
P
(a;0)