Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

15
Wendet man (6) auf den Nebenscheitel B an, so gilt BF1 = BF2 = a.
Nach dem Lehrsatz des PYTHAGORAS
findet man dann für die Brennweite e, also dem Abstand der Brennpunkte vom Ellipsenmittelpunkt M:
2 2
e = a − b
Aufgabe 2.6.1: Zeige durch Rechnung: Alle Punkte P, für die hinsichtlich zweier ausgezeichneter Punkte F1
und F2 gilt PF1 + PF2 = 2a
zusammen mit F1F2 = : 2 e und b: = a − e
2
2
2 2 , sind genau diejenigen
Punkte P(x⏐y), für die gilt x
2
a
+
y
2
b
= 1 , wobei die x-Achse die Gerade F1F2 und die y-Achse hierzu
senkrecht durch den Mittelpunkt M der Punkte F1 und F2 festgelegt sind (vgl. Seite 29).
Fasst man die Ergebnisse zusammen, so gilt:
Satz 2.6.3: Zu jeder Ellipse mit den Halbachsen a und
b gibt es zwei ausgezeichnete Punkte F1 und F2,
genannt Brennpunkte, derart, dass für alle
Ellipsenpunkte P gilt PF1 + PF2 = 2a
. F1 und F2
liegen auf der Hauptachse der Ellipse jeweils im
Abstand
2 2
e = a − b vom Ellipsenmittelpunkt M entfernt.
e heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität der
Ellipse.
C
B
F1 M F2
A
Aufgabe 2.6.2 (Gärtnerkonstruktion): Eine Endlosschleife PF1F2P hat für alle Ellipsenpunkte nach Satz
2.6.3 konstante Länge. Schlägt man an den Brennpunkten Pfähle in den Boden, führt bei P den dritten
Punkt und achtet darauf, dass die drei Punkte stets ein Dreieck bilden, so wandert P auf einer Ellipse mit
den Brennpunkten F1 und F2. Mit dieser Methode haben vor allem die Gärtner des Barocks ellipsenförmige
Blumenbeete angelegt.
a) Führe die Konstruktion auf einem Parkplatz oder Rasen für a = 5,00 m und b = 3,00 m durch.
b) Zeichne andere Ellipsen mit denselben Brennpunkten. Es entstehen sog. konfokale Ellipsen 1 .
c) Versuche, Kurven zu finden, die auf der Schar konfokaler Ellipsen senkrecht stehen, d. h. die in jedem
Punkt eine Tangente haben, die auf den Tangenten der bereits gezeichneten Ellipsen senkrecht stehen.
d) Führe a), b) und c) im Maßstab 1:100 auf einem Zeichenblatt durch. Die Brennpunkte kann man z. B.
durch Reißnägel festhalten.
e) Mit Magnetteilen der Mechanikbaukästen fixiert der Lehrer an der Tafel die Brennpunkte und zeichnet
relativ genau mit einer Schnurschleife Ellipsen.
f) Führe die Zeichnung aus d) als Konstruktion allein durch Nutzung von Zirkel und Lineal aus. Hierzu ist
es zweckmäßig erst einmal zwei Scharen konzentrischer Kreise um F1 und F2 zu zeichnen und sich dann
gleich für mehrere konfokale Ellipsen die passenden Punkte zu suchen.
g) Werden auch die zu f) senkrechten Kurven, die sogenannten Orthogonaltrajektorien, erkannt?
Vergleiche die folgende Abbildung.
h) Begründe, dass die entstehende Abbildung insbesondere bei sehr kleinen Schrittweiten als
„Rautenmuster“ bezeichnet werden kann. Welche Eigenschaften haben die Diagonalen in Rauten?
i) Formuliere Vermutungen über die Ellipsenschar, die Schar der dazu senkrechten Kurven sowie die
Tangenten und Normalen der beiden Kurvenscharen.
1 konfokal von focus, lateinisch Brennpunkt
e
b
D
a