Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

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y = v und u b
= = cos α , (5)
x a
wobei α der Winkel zwischen den Ebenen E und der des Kreises ist. Da die Punkte des Kreises k die Gleichung
u 2 + v 2 = b 2 erfüllen, erhält man hieraus durch Einsetzen von (5) nach bekannten Umformungen die
Ellipsengleichung
2
2
x
2
a
+
y
2
b
= 1 .
Wir haben also gefunden:
Satz 2.5.1: Jeder Schnitt eines Drehzylinders mit einer Ebene, die nicht zu seiner Achse parallel ist, ist eine
Ellipse, deren kleine Halbachse gleich dem Zylinderradius ist.
Hinweise:
• Zeichnet man die Ellipse e und den Kreis k in eine Ebene so, dass die Koordinatenachsen u und u sowie y
und v aufeinander zu liegen kommen, dann kann man wiederum den Zusammenhang zwischen Ellipse und
Kreis als Achsenstreckung erklären.
• Genau dann, wenn die Schnittebene E zur Zylinderachse senkrecht steht, wird auch die zweite Halbachse der
Ellipse zum Zylinderradius, also die Ellipse zum Kreis.
Aufgabe 2.5.1: Wie muss man zwei Drehzylinder (r = 6,00 cm) anschneiden, damit sie zu einem Rohrknie
zusammengesetzt den Durchfluss um 70 o umlenken? Man berechne die Längen der Halbachsen.
2.6 Die Idee von DANDELIN
J. PIERRE DANDELIN, belgischer Ingenieur, 1794 - 1847.
Hilfssatz 2.6.1: Die Tangenten an eine Kugel, die von
einem Punkt P außerhalb der Kugel aus gehen, bilden
einen Rotationskegel, der die Kugel in einem Kreis
berührt.
Beweis: Der Punkt P und die Kugel um M liegen
bezüglich der Geraden MP achsensymmetrisch,
deshalb gilt dies auch für alle Tangenten von P an die
Kugel. Die Tangenten bilden also einen Rotations-
kegel.
Da die Berührpunkte der Tangenten aus dem gleichen Grund rotationssymmetrisch sind, liegen sie auf einem
Kreis.
Damit sind alle Tangentenabschnitte (also die Strecken von P zum jeweiligen Berührpunkt) gleich lang.
Hinweis: Der als Riss dargestellte Gegenstand zeigt zwischen Kugel und Drehkegel keine Kante.
Im Folgenden werden komplexere Konfigurationen im Raum zunächsts durch ein Schrägbild und dann durch ein
Risspaar dargestellt. Letztere sind durch Orthogonalprojektion entstanden: Im oberen Teil ein Aufriss, d. h. eine
Ansicht von vorne, im unteren Teil ein Grundriss, d. h. eine dazugehörige Ansicht von oben. Es ist
M
P