Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

Satz 2.1.3: Achsenstreckungen haben folgende
Abbildungseigenschaften:
1. Sie sind umkehrbare eindeutige Punktabbildungen .
2. Geraden werden auf Geraden, Schnittpunkte auf Schnittpunkte
abgebildet.
3. Parallele Geraden werden auf parallele Geraden abgebildet.
4. Teilverhältnisse auf Geraden bleiben erhalten.
5. Parallele Strecken werden im gleichen Verhältnis verzerrt.
6. Alle Lote zur Achse sind Fixgeraden.
7. Eine nicht zu a parallele Gerade g1 schneidet ihr Bild g auf der Achse.
8. Die Berühreigenschaften von Tangenten bleiben erhalten.
7
Aufgabe 2.1.4: Beweise den Satz 2.4.
Hinweise
zu 2. bis 5.: Suche bzw. ergänze geeignete Strahlensatzfiguren.
zu 1. 6. und 7.: Verwende die Definition.
zu 8.: Beachte die Vorbemerkung zur Tangentenkonstruktion und: Liegen zwei Punkte auf derselben Seite
einer Geraden, so gilt dies auch für die Bilder.
Aufgabe 2.1.5: Zeige: Bei der Wimpelkonstruktion entsteht der Ellipsenpunkt P auch durch Achsenstre-
ckung (Achse BD) aus P 2 auf dem Nebenkreis.
Aufgabe 2.1.6: In einem Koordinatensystem ist eine Achsenstreckung durch die x-Achse als ihre Achse
und den Punkt P(0⏐3) und seinen Bildpunkt P’(0⏐-2) gegeben. Konstruiere (Einheit 1 cm) und berechne
das Bild
a) des Dreiecks PQR mit Q(6⏐0) und R(2⏐6),
b) des Fünfecks ABCDE mit A(4⏐3), B(7⏐-1,5), C(11⏐-1,5), D(11⏐1,5), E(8⏐6). Fertige hierzu eine neue
Zeichnung.
Scheitel als Koordinatenursprung:
Man stellt sich vor, dass die gewünschte Scheitelgleichung durch die
folgende Verschiebung
y = y und x = x − a aus obiger Mittelpunktsgleichung durch
Einsetzen entsteht:
( x − a)
2
2
2
a
+
y
2
b
= 1
Hieraus folgt durch Ausquadrieren:
x
a
2
2
2x
y
− + = 0 2 a b
2
2
( x − x ) ( y − y )
0
2
0
Aufgabe 2.1.7: Es sei + = 1.
2
2
a b
a) Welche Kurve beschreibt diese Gleichung? Welche Bedeutung haben die Parameter der Gleichung?
b) Zeichne die Kurve für (x0⏐y0) = (3⏐-1), a = b, b = 2 (Zeicheneinheit 1 cm).
c) Löse die Gleichung nach y auf.
d) Wie lautet die Gleichung der Ellipse mit dem Mittelpunkt M(-2⏐3), a = 4, b = 2?
e) Wie lautet die Gleichung einer Ellipse mit den Scheiteln A(2⏐2), B(-1⏐4), C(-4⏐2)? Welche
Koordinaten hat der vierte Scheitel D und der Mittelpunkt M?
2.2 Konstruktionen
Tangentenkonstruktion:
a
y
P
1
P
Q
y
a x P
y = y x=x
x M