Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

Wird nun die Sekante s um P gedreht, so gibt es eine
Lage von s, in der Q mit P zusammenfällt, so dass s mit
der Hyperbel dann nur diesen Punkt P gemeinsam hat.
Diese Lage t von s ist also eine Tangente an die
Hyperbel in P. Die oben festgestellte Streckengleichheit
GP = QH
gilt für jede Lage, also auch noch in der Grenzlage t.
Deshalb gilt:
Satz 3.2.5: Auf der Hyperbeltangente halbiert der
Berührpunkt die Strecke zwischen den Schnittpunkten
mit den Asymptoten.
Damit erhält man die folgende
Konstruktion einer Hyperbeltangente:
1. Die Parallelen zu den Asymptoten durch einen
Hyperbelpunkt P sind Mittelparallelen im Dreieck
MGH.
2. Die Tangente t in P an die Hyperbel ist die
Parallele durch P zu einer Diagonalen des
Parallelogramms aus den Asymptoten und den
gezeichneten Parallelen.
Hinweis:
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Mit Analysis (etwa am Ende der Jahrgangsstufe 11) kann man zeigen: Wandert ein Hyperbelpunkt nach
unendlich, so geht seine Tangente in eine Asymptote über. Deshalb gelten gemeinsame Tangenteneigenschaften
auch für die Asymptoten.
Aufgabe 3.2.14: Begründe die Tangentenkonstruktion der Hyperbel mit Satz 3.2.5. Wie kann man sie
abwandeln, wenn z. B. MH (vgl. die letzte Zeichnung) unzugänglich ist?
Aufgabe 3.2.15: Eine Hyperbel ist durch ihre Asymptoten und einen Scheitel gegeben. Konstruiere eine
hinreichende Anzahl von Hyperbelpunkten nach einer Stechzirkelkonstruktion. Wie genau werden die
Ergebnisse
a) in der Nähe der Scheitel;
b) für weit entfernte Punkte?
c) Vergleiche mit der entsprechenden Genauigkeitswertung für die Umkehrungen der
Stechzirkelkonstruktionen nach Aufgabe 3.2.6.
Aufgabe 3.2.16: Eine Hyperbel ist durch die Asymptoten und einen Punkt P gegeben. Konstruiere weitere
Hyperbelpunkte nach dem Satz 3.2.4 und bewerte die Genauigkeit der Ergebnisse bei dieser Konstruktion.
M
2
4
3
1
P