Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

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3. Also ist ΔMP1T rechtwinklig und P1 liegt auf dem Thaleskreis über MT.
4. Die Vervollständigung der Wimpelkonstruktion für den Punkt P liefert einen Punkt des Nebenkreises.
Haupt- und Nebenkreis schneiden aus den Achsen die Scheitel aus.
Aufgabe 2.6.6: Wie ändert sich die Konstruktion von Aufgabe 2.6.5, wenn die Tangente durch T(8⏐0) geht
und jetzt als Berührpunkt Q(1⏐3,5) hat? Zeichne noch einige Ellipsen mit dem Berührpunkt R zu einer
Tangente durch T(8⏐0). Gibt es unter diesen Ellipsen einen Kreis? Wie findet man ihn? Welche
Besonderheit ergibt sich, wenn der Berührpunkt die Tangentestrecke zwischen den Achsen halbiert?
Aufgabe 2.6.7: Eine Ellipse, deren Achsen die Koordinatenachsen sind, geht durch P(6⏐1,25) und
Q(3,9⏐2,6).
a) Konstruiere die Scheitel der Ellipse.
Anleitung: Jede Kreissehne steht senkrecht auf der Verbindungsgeraden ihres Mittelpunktes zum
Kreismittelpunkt. Deshalb kann man im Wesentlichen ebenso vorgehen wie in Aufgabe 2.6.5.
b) Berechne die Gleichung der Ellipse.
Aufgabe 2.6.8: Eine Parallelenschar von Geraden schneidet einen Kreis. Die ausgeschnittenen Sehnen
werden in einem konstanten Verhältnis geteilt.
Begründe:
a) Auf welcher Kurve liegen die Teilungspunkte?
b) Welchen Sonderfall bilden die Teilungspunkte bei welchem Verhältnis?
Aufgabe 2.6.9: Von einer Ellipse mit noch unbekannten Achsenrichtungen sind ein Brennpunkt F1, ein
Nebenscheitel B und ein beliebiger Punkt P so gegeben, dass gilt:
PB = 4, 7 cm, PF1 = 2, 3cm, BF1 = 3, 6 cm
a) Konstruiere den zweiten Brennpunkt F2.
b) Konstruiere den Mittelpunkt der Ellipse und alle ihre Scheitel.
Beachte BF = BF und PF = 2a
− PF .
1 2 1 2
2.7 Leitkreis und Tangenteneigenschaft
Definition 2.7.1: Ein Kreis um einen Ellipsenpunkt F2 mit Radius 2a heißt der zum anderen Brennpunkt F1
gehörige Leitkreis der Ellipse (vergleiche die folgende Abbildung).
Für einen Ellipsenpunkt P werden die Brennstrahlen
F1P und F2P gezeichnet und F2P über P hinaus bis G
auf dem Leitkreis verlängert. Dann ist:
G
PF1 = 2a
− PF2 = GF2 − PF2 = PG
P
t
Damit ist der folgende Satz bewiesen:
Satz 2.7.1:
1. Alle Punkte einer Ellipse haben von einem
Brennpunkt und dem dazugehörigen Leitkreis
denselben Abstand.
2. Alle Punkte, die von einem Kreis um F2 und von
einem Punkt F1 in seinem Inneren gleiche Abstände
haben, liegen auf einer Ellipse, die F1 und F2 als
Brennpunkte besitzt.
F F
1 2
Beide Aussagen kann man zusammenfassen:
Die Punkte einer Ellipse sind genau diejenigen Punkte, die von einem Kreis und einem Punkt im Kreisinneren
gleichen Abstand haben.
Wir haben also hiermit eine weitere definierende Eigenschaft der Ellipse kennen gelernt.
Betrachten wir nochmals die letzte Figur, in die jetzt auch noch die Winkelhalbierende t zum Winkel GPF1 mit
einem Punkt Q ≠ P eingezeichnet ist. Da t Symmetrielinie im Dreieck GPF1 ist, gilt QF1 = QG . Wendet man