Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

1. Bei jeder zentrischen Streckung mit der
Kegelspitze als Zentrum geht der Kegel als Ganzes
in sich über, eine Berührkugel in eine andere,
ebensolche Berührkugel des Kegels. So erhält man
eine ganze Schar von Kugeln, die den Kegel längs
je eines Kreises berühren.
2. Wird nun der Kegel Ke mit einer Ebene E
geschnitten, die eine geschlossene Schnittkurve
liefert, so gibt es in der unter 1. genannten
Kugelschar je eine Kugel, die die Schnittebene von
der Seite der Kegelspitze her und von der anderen
Seite her in jeweils einem Punkt F1 bzw. F2 berührt.
Die Wahl des Risses:
In nebenstehender Abbildung liegt im Aufriss die
Rotationsachse d des Kegels in der Zeichenebene
und die Schnittebene E waagrecht, also parallel zur
Grundrissebene, so dass im Grundriss die Schnitt-
figur e in wahrer Größe zu sehen ist. (Alles andere
des Grundrisses ist weggelassen.) Damit zeigt sich
die Schnittebene im Aufriss projizierend als
Gerade.
Die Brennpunkteigenschaft des Schnittes:
1. Durch jeden Punkt P der Schnittfigur geht eine
Kegelmantellinie m, die die DANDELINschen
Kugeln Ki in den Punkten Bi berührt.
2. Die in der Schnittebene E liegende Gerade PF1
und die Kegelmantellinie PB1 sind Tangenten
von P an die Kugel K1. Deshalb sind nach dem
Hilfssatz 2.6.1 die Tangentenabschnitte gleich
lang und es gilt PF1 = PB1
. Analog findet man
mit der Kugel K2: PF2 = PB2
3. Durch Streckenaddition folgt hieraus:
PF1 + PF2 = B1P + PB2 = B1B2 = konstant,
weil es sich um einen Rotationskegel handelt
und die DANDELINschen Kugeln die Schnittebene
E von verschiedenen Seiten berühren und
somit P zwischen den Punkten B1 und B2 liegt.
Damit ist der folgende Satz gezeigt:
23
K1
B
d
1
m
e
F1 F2
Satz 3.1.1:
Jeder geschlossene ebene Schnitt eines Drehkegels ist eine Ellipse.
Beachte: Der Ellipsenmittelpunkt M (vgl. die letzte Zeichnung) liegt nicht auf der Drehachse des Kegels. Er
muss also stets durch Halbierung einer Ellipsenachse gewonnen werden.
Konstruktion der kleinen Achse:
K1
d
F1
B1
M
m
P
K2
B2
P F2
F1 M F2
Die Schnittebene und der Rotationskegel liegt wie in der vorausgegangenen Überlegung, d. h.:
Die Schnittebene liegt parallel zur Grundrissebene und ist im folgenden Bild projizierend.
Die Achse des Kegels liegt parallel zur Bildebene des Aufrisses.
Für die Konstruktion der kleinen Achse werden
Ke
im Folgenden drei Lösungen geboten:
1. Lösung (vgl. die nebenstehenden Risse):
e
D
Ke
K2
B2
E
M = B = D e = E
k 1
M
B
k
1
E
Ke
S
S
S