Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

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4.3 Bemerkungen zu den einzelnen Kapiteln
Die Kegelschnittslehre stellt am Ende des Geometrieunterrichts eine gute Wiederholung des früher Gelernten
dar. Konstruktionen und Überlegungen an Dreiecken, Vierecken und Vielecken werden jetzt an anderen
Konfigurationen betrachtet. Es stellt sich hierbei heraus, dass die Inhalte des früheren Unterrichts in einem viel
größeren Bereich angewendet werden können.
zu 2. Zylinderschnitte
2.1:
Grundsätzlich konnten keine wesentlichen Schwierigkeiten beobachtet werden. Die Vorstellungskraft der
Lernenden wird hier noch nicht strapaziert.
Vielen Schülern ist neu, dass man in jeder Ebene rechtwinklige Koordinaten einführen kann und für die
Koordinaten in verschiedenen Ebenen via der Gesamtkonfiguration Zusammenhänge wie die Ellipsengleichung
und die Gleichungen zur Achsenstreckung bekommen kann. Hier werden Lücken in der Jahrgangsstufe 9
vermutet:
• Koordinatentransformation für eine Verschiebung (einer Parabel),
• Nachweis, dass alle Parabeln ähnlich sind u. a.
• Auch der Begriff „Abbildungseigenschaften“ oder „definierende Eigenschaften“ einer Abbildung sind nicht
in der erforderlichen Tiefe vorhanden.
2.2:
Nur wenige haben den Begriff der Tangente am Beispiel Kreis durchdacht: Eine Gerade, die in einer Umgebung
genau einen Punkt mit einer Kurve gemeinsam hat und in dieser Umgebung auf einer Seite der Kurve liegt,
nennt man Tangente.
2.4:
Man sollte sich Zeit lassen beim Erklären der Kreise, die in einem Scheitel die Ellipse berühren, also mit ihr eine
gemeinsame Tangente haben. Es bleibt natürlich dem Analysisunterricht vorbehalten zu klären, dass es genau
einen Kreis gibt, der am besten berührt.
Hat der Schüler die Existenz eines Scheitelkrümmungskreises eingesehen, so kann die Herleitung seines Radius
ruhig weggelassen bzw. auf den späteren Analysisunterricht verwiesen werden. Ein Verzicht auf die
Konstruktion der Scheitelkrümmungskreise sollte nicht sein, da es doch ein großes Erfolgserlebnis für die
Schüler bedeutet, eine schöne Ellipse gezeichnet zu haben, auch wenn dies heute bei jeder Zeichensoftware
überflüssig ist, da man die Ellipsen stets aus einem Kreis „zieht“.
2.5:
Eine Ellipse ist zunächst das Orthogonalbild eines Kreises. Hier zeigt sie sich als Schnitt eines
Rotationszylinders. Das muss bewiesen werden. Man hat damit bereits 3 Definitionen der Ellipse:
• Kreisbild
• Schnitt eines Rotationszylinders
• Menge von Punkten, die die Ellipsengleichung erfüllen.
Diese Liste wird im Folgenden fortgesetzt. Man kann bereits hier auf den Begriff „definierende Eigenschaft“ zu
sprechen kommen.
2.6:
Will man mehrfach die Kegelschnitte lehren, so ist es sinnvoll, sich ein Modell einer Kugel mit dem
Tangentenkegel zu beschaffen. Wichtig ist, dass die Schüler „sehen“, zwischen Kugel und Kegel gibt es keinen
Rand, der Übergang ist „glatt“.
Der Aufbau der Überlegung nach DANDELIN wird hier und in den drei Fällen der ebenen, nicht zerfallenden
Schnitte eines Rotationskegels völlig analog dargestellt mit der Absicht, dass sich auch der Schüler den Gang der
Gedanken merkt. Es ergibt sich eine weitere Definiton der Ellipse:
• Brennpunkteigenschaft