Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

dann gilt nach dem Satz des PYTHAGORAS (beachte die
Maße in der nebenstehenden Abbildung):
2 p 2 p 2
y = ( x + ) − ( x − )
2 2
Vereinfacht man diese Gleichung durch
Ausmultiplizieren und Zusammenfassen, so erhält man
den folgenden Satz:
Satz 3.4.3: Die Scheitelgleichung der Parabel lautet
y 2 = 2px.
Die Punkte, die diese Gleichung erfüllen, sind die
Punkte einer Parabel.
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Aus dieser Gleichung erkennt man die Parabel wieder als Graph der quadratischen Funktion, wie er in der
Jahrgangsstufe 9 behandelt wurde. Damals wurde anhand dieser Gleichung bereits gezeigt:
Satz 3.4.4: Alle Parabeln sind zueinander ähnlich.
Aufgabe 3.4.1: Konstruiere aus Brennpunkt und Leitlinie eine zum Zeichnen einer Parabel
hinreichende Anzahl von Punkten für a) p = 0,5 cm; b) p = 1,0 cm; c) p = 2,0 cm; d) p = 4,0 cm.
Aufgabe 3.4.2: Wähle auf einem DIN-A4-Blatt (Querformat) den Brennpunkt F in der Blattmitte und
die Achse waagrecht durch F. Zeichne um F die konzentrischen Kreise mit Radien von 5 zu 5 mm,
sowie die Schar der Lote zur Achse in je 5 mm Abstand voneinander, ausgehend von dem durch F
gehenden Lot. Lege das entstehende „Rautenmuster“ abwechselnd zweifarbig an. Die Diagonalen
aufeinander folgender gleich farbiger „Rauten“ zeigen zwei Scharen konfokaler Parabeln, die alle
Achse und Brennpunkt gemeinsam haben, aber auf verschiedenen Seiten geöffnet sind.
Vergleiche das Ergebnis mit der Zeichnung zum „Föhnhimmel“ bei der Ellipse, in der man jetzt auch
nachträglich Hyperbeln erkennen kann. Wie kann die „Ellipsenfigur“ in die der Parabeln übergeführt
werden? Da dies auf zweifache Weise geht, vermutet man, dass die Parabel eine Übergangsform
zwischen Ellipse und Hyperbel ist.
Aus der Brennpunkteigenschaft der Parabel lässt sich eine ganze Reihe weiterer Eigenschaften der Parabel
herleiten. Zunächst soll die Winkelhalbierende t zwischen Brennstrahl PF und Leitstrahl PR eines
Parabelpunktes P betrachtet werden (vgl. die 1. Abbildung der nächsten Seite).
Beweisideen:
t sei die Winkelhalbierende zwischen Leit- und
Brennpunktstrahl eines Parabelpunktes P. Wähle als Q
auf t einen von P verschiedenen Punkt, der nicht auf
der Leitlinie g liegt.
T sei der Lotfußpunkt vom Q auf der Leitlinie g.
Da QR die Hypotenuse in einem rechtwinkligen
g
Dreieck RTQ ist, gilt QR > QT .
tL Weil T Winkelhalbierende im Dreieck RQF ist, gilt
QF = QR > QT .
Also liegt Q näher an g als an F. Deshalb liegen
alle Punkte Q ≠ P von t auf derselben Seite außerhalb der Parabel.
4. P ist also der einzige Punkt von t auf der Parabel und deshalb ist t die Tangente der Parabel im Punkt P.
R
T
U
H
Q
L F
P
t