Lange und Meyer: Kegelschnitte I - Mathematikinformation

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Hinweis: Zeichne den sogenannten a + b –Kreis um den Mittelpunkt mit Radius a + b. Durch Drehen
und Spiegeln eines Wimpels ergibt sich die Konstruktion. Die erforderlichen Abbildungen findet man
rasch, wenn man einen Wimpel ausschneidet.
c) Bei den Abbildungen von b) entsteht ein Rechteck, dessen eine Diagonale samt ihrer Verlängerung
einen Beweis für die Papierstreifenmethode liefert.
Aufgabe2.7.10:
a) Drücke die Abstände der Scheitelkrümmungsmittelpunkte vom Ellipsenmittelpunkt durch a und e bzw.
b und e aus.
b) Berechne die Schnittpunkte der Ellipsennormalen mit den Koordinatenachsen. Drücke auch diese
Abschnitte durch a und e bzw. b und e und durch je eine Koordinate des Ellipsenpunktes aus.
c) Finde durch Vergleich mit der Konstruktion der Scheitelkrümmungsmittelpunkte eine Konstruktion
der Ellipsennormalen.
2.8 Anwendungen:
1. Alte Völker (Germanen, Indianer u. a. ) haben ihre Thingstätten in Ellipsenform angelegt. Der Richter wie
der Angeklagte standen an den Brennpunkten und konnten sich flüsternd hören, während die übrigen
Versammelten längs und hinter der Ellipse nichts davon mitbekamen.
2. Wenn eine Ellipse um ihre Hauptachse rotiert, überstreicht sie dabei eine Fläche, die Drehellipsoid genannt
wird. Wird eine solche Fläche innen verspiegelt, dann reflektiert sie alle Lichtstrahlen, die von einer
Lichtquelle (z. B. einer Kerze) in einem ihrer Brennpunkte ausgehen, in den anderen Brennpunkt und
entzündet dort unter Umständen ein Papier. Davon haben die Brennpunkte ihren Namen. In manchen Kirchen
und Schlössern der Barock- und Rokokozeit wurden nach diesem Prinzip sogenannte Flüstergewölbe (siehe
1.) gebaut. Diese Eigenschaft findet auch eine moderne Anwendung:
3. In einem Brennpunkt eines Ellipsoids erzeugen starke elektrische Entladungen Stoßwellen, die aufgrund der
Reflexion am Ellipsoid im anderen Brennpunkt zusammentreffen. Man steuert die Vorrichtung so, dass sich
jeweils im „anderen“ Brennpunkt ein Nierenstein befindet, der auf diese Weise zertrümmert wird und seine
Bestandteile durch den Harnleiter auf natürliche Weise abgehen. Früher musste der Patient hierzu in einem
Wasserbad sitzen. Heute überträgt ein Wasserkissen die Energie der Entladungen in die Niere.
3. Ebene Schnitte eines Drehkegels
Erinnere dich:
Ein Drehkegel entsteht, wenn eine Gerade m um eine Gerade d rotiert, die m in einem Punkt S schneidet. S heißt
Spitze des Kegels, d seine Achse; die Drehlagen von m sind die Mantellinien des Drehkegels. Jeder Punkt
beschreibt bei der Drehung einen Kreis, der d ebenfalls als Drehachse besitzt. Der Kegel ist stets sowohl über
einen solchen Drehkreis, als auch über seine Spitze hinaus beliebig weit fortgesetzt zu denken. Der Kegel ist eine
mathematische Fläche, die einen Raum einschließt.