Polynomfunktionen - Fundamentalsatz der Algebra - MATHEMATIK ...

Schule / Institution Titel Seite 4 von 7
Sichtlich erhalten wir in diesem Fall bei jeder mehrfachen Nullstelle einen Extremwert. Hierfür gibt es
einfache Erklärungen:
Algebraisch: doppelte Nullstellen bleiben beim Ableiten erhalten --> somit müssen sie auch Extremwert
sein.
p3( x)
( x + 1)
( x − 2)
2
:= ⋅
x 1
x + ( ) x 2 −
d
⋅(
)2 →
d
Geometrisch: wir verschieben das Polynom jeweils um 1 nach oben und nach unten
p3a( x)
( x + 1)
( x − 2)
2
:= ⋅ − 1
Wir erkennen: verschieben wir die x-Achse, so rücken die beiden Nullstellen immer näher, fallen sie schließlich
zusammen, so bilden sie einen Extremwert (x-Achse wird Tangente).
Was geschieht aber danach?
Geometrisch verschwinden beide Nullstellen gleichzeitig. Was bedeutet dies aber algebraisch?
Wir betrachten zuerst p 3a(x):
wir sehen leicht, daß drei reelle Nullstellen vorhanden sind.
Nun aber das noch oben verschobene Polynom p 3b(x):
p3b( x)
( x + 1)
( x − 2)
2
:= ⋅ + 1
x 3
p3a( X)
p3a( x)
( x + 1)
( x − 2)
2
:= ⋅ − 1
3 x 2
− ⋅ + 5 = 0
( x − 2)
2
6
4
2
2 0 2 4
2
4
X
+ 2 ⋅ ( x + 1)
⋅ ( x − 2)
oder
hat als Lösung(en)
oder
p3b( x)
( x + 1)
( x − 2)
2
:= ⋅ + 1
p3b( x)
x 3
3 x 2
:= − ⋅ + 5
−1.104
2.052 − 0.565j
2.052 + 0.565j
Wir sehen, daß zwei Nullstellen algebraisch noch vorhanden , aber in den komplexen Bereich "abgerutscht"
sind. Aus all dem läßt sich nun einfach erkennen, daß immer nur zwei Nullstellen gleichzeitig "verschwinden"
können (also komplex werden).
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
der Faktor (x-2) ist natürlich noch vorhanden
p3b( X)
p3a( x)
x 3
3 x 2
:= − ⋅ + 3
2 0 2 4
Name Jahr
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
6
4
2
2
4
X