Medizinische Bildverarbeitung - Inforakel

DHP
Medizinische Bildverarbeitung
Eine Zusammenfassung der wichtigsten Vorlesungsthemen
Dennis Holzhäuser
9. Dezember 2008
Institut für Computervisualistik
Universität Koblenz-Landau
Universitätsstraße 1, 56070 Koblenz
holzhawi@uni-koblenz.de
http://www.uni-koblenz.de/∼holzhawi

Inhaltsverzeichnis
Vorwort iv
1 Bildgebende Verfahren 1
1.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Röntgenologische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Bildgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.2 Röntgentechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Diagnostik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Magnetresonanztomographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Bildgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Diagnostik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Nuklearmedizinische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.1 Bildgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2 Emissionstomographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3 Diagnostik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.4 Andere funktionelle Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Sonographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Bildgebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5.2 Diagnostik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Geometrische Grundlagen der Bilderzeugung 13
2.1 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Übersicht der Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2 Umrechnung der Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3 Projektionsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Kameraparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Extrinsische Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.2 Intrinsische Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.3 Kamerakalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Epipolargeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Die Essential-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 Die Fundamental-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 8-Punkte Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Modalitätsabhängige Bildverbesserung 19
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 Arten von Bildstörungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Vorverarbeitung von Bildern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Radiale Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Mathematisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Bilineare Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Defektpixelinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.1 Interpolationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3.2 Interpolation mittels Bandbegrenzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Rauschunterdrückung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

ii INHALTSVERZEICHNIS
3.4.2 Bilateral Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Beleuchtungskorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5.1 Beleuchtungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5.2 Retrospektive Beleuchtungskorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.3 Farbkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Rekonstruktion von Schichtbildern 27
4.1 Projektion eines Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Projektionsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.2 Mathematische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.3 Radontransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Rekonstruktion mittels Fourier Slice und Rückprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.1 Prinzip der Rückprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.2 Fourier Slice Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.3 Filtered Backprojection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Algebraische Rekonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3.2 Projektion als lineares Gleichungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3.3 Kaczmarz Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Bildregistrierung und Fusion 35
5.1 Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.1 Unimodale Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.2 Multimodale Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 Registrierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Transformationsbasierte Registrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.2 Intensitätsbasierte Registrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Blockmatching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.1 Funktionsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.2 Blockgröße und Ähnlichkeitsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3.3 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Homographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4.1 Projektive Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4.2 Herleitung der Homographiematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4.3 Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A Mathematische Grundlagen 43
A.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.1.1 Skalar- und Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.1.2 Winkel zwischen Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2 Projektive Geometrie in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2.1 Punkte und Linien in 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.2.2 Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.3 Rigide Transformationen in 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.3.1 Allgemeine Translation und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.3.2 Rotation nach Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.3.3 Rotation nach Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.4 Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.4.1 Multiplikation von Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.4.2 Rotation mit Quaternionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5 Singulärwertzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5.1 Definition der SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5.2 Rang einer Matrix erzwingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.5.3 Nullraum einer Matrix bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.5.4 Lösung von überbestimmten Gleichungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B Physikalische Grundlagen 49
B.1 Bohrsches Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
B.1.1 Aufbau und Struktur eines Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

INHALTSVERZEICHNIS iii
B.1.2 Atomarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B.2 Röntgenstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B.2.1 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B.2.2 Wechselwirkung mit Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B.3 Kernspin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B.3.1 Präzession eines Atomkerns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B.3.2 Relaxation und FID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
C Prüfungsprotokoll MedBV 53
Abbildungsverzeichnis 55
Literaturverzeichnis 56

iv INHALTSVERZEICHNIS

Vorwort
Dieses Skript entstand während meiner Prüfungsvorbereitung des Studienschwerpunktes im Studiengang Computervisualistik
(Prüfungsprotokoll siehe Anhang C). Es diente mir als Lernhilfe und Zusammenfassung des Inhaltes der
Vorlesung Medizinische Bildverarbeitung im Wintersemester 2005/2006 bei Professor Paulus.
Als Quellen und Lernmaterial dienten mir hauptsächlich die Folien der Vorlesung, Vorlesungsmitschriften und die
Übungsinhalte. Weitere Quellen sowie verwendete Literatur sind im Literaturverzeichnis am Ende aufgeführt. Sehr
geholfen haben mir auch die Prüfungsprotokolle anderer Prüflinge (denen ich an dieser Stelle danke!), die im Inforakel
unter www.inforakel.de zu finden sind.
Ich habe mich bemüht alle verwendeten Bilder mit Quellenangaben zu versehen. Fehlen die Quellenangaben handelt es
sich um eigene Bilder, oder aus den Übungsmaterialien (siehe [35]) entnommene Beispiele. Weitere Graphiken wurden
von mir mit den Programmen Dia und Gimp, sowie Octave und GNUplot erstellt.
Da es bisher kein Skript zur Vorlesung MedBV gab, habe ich mich entschlossen meine Handschriftlichen Notizen mit
L ATEXin eine angemessene Form zu bringen. Das Ergebnis ist dieses Skript!
Inhaltsübersicht
Der Inhalt des Skripts gibt im wesentlichen die Themen der Prüfung wieder, wie sie in der Vorbesprechung mit Prof.
Paulus festgelegt wurden. Die Prüfung beinhaltete alle Themen der Vorlesung, jedoch zu meiner Erleichterung ohne
probabilistische Verfahren, welche in diesem Skript somit nicht zu finden sind.
Hier nun eine kurze Übersicht der einzelnen Kapitel:
Kapitel 1: Dieses Kapitel stellt die Wichtigsten bildgebenden Verfahren aus der Medizin vor, im Hinblick auf Technik
und medizinische Fragestellung. 1
Kapitel 2: Bevor es zu den eigentlichen Aufgaben der medizinischen Bildverarbeitung geht, behandelt dieses Kapitel
die benötigten mathematischen Grundlagen. 2
Kapitel 3: Hier werden die häufigst auftretenden Störeffekte in medizinischen Bildern und Methoden zur Verbesserung
beschrieben.
Kapitel 4: Dieses Kapitel beschreibt die mathematischen Grundlagen und die wichtigsten Rekontruktionsverfahren der
Computertomographie.
Kapitel 5: Fusion von medizinischen Bildern ist ein wichtiges Hilfsmittel. Hier werden die Grundlagen der Fusion und
zwei Registrierungsverfahren behandelt.
Anhang A: Die wichtigsten mathematischen Grundlagen zur Vorlesung sind hier wiederholt und werden durch weiterführende
Quellenangaben ergänzt.
Anhang B: Hier wird abschließend näher auf die physikalischen Grundlagen und Effekte der vorgestellten bildgebenden
Verfahren eingegangen.
Anhang C: Der letzte Abschnitt enthält das Prüfungsprotokoll meiner MedBV Prüfung (Studienschwerpunkt) bei Prof.
Paulus, wie es im Inforakel veröffentlicht wurde.
1 Die Nuklearmedizinischen Verfahren sind hier etwas umfangreicher behandelt als dies in der Vorlesung der Fall war.
2 Dieses Kapitel ist im Prinzip eine Wiederholung der relevanten Themen aus der Vorlesung Struktur aus Bewegung.

vi INHALTSVERZEICHNIS
Erklärung
Dieses Skript entstand nach bestem Wissen und Gewissen als Prüfungsvorbereitung und war ausschließlich für den
eigenen Gebrauch gedacht. Ich übernehme daher keine Garantie, bezüglich der Vollständigkeit, noch der Korrektheit der
angegebenen Informationen. Im Nachhinein hat sich das Schreiben dieses Skripts und die intensive Aufarbeitung des
Stoffes aber als überaus nützlich erwiesen.
Da in der Prüfung das Verständnis zählt, kommt man dennoch nicht umhin, den Stoff selbst aufzuarbeiten und es empfiehlt
sich, noch andere Quellen als dieses Skript zu konsultieren. Dies gilt insbesondere für den mathematischen Inhalt.
Ferner ist es sinnvoll, die Übungsblätter zur Vorlesung durchzuarbeiten bzw. zu wiederholen.
Anmerkungen und Hinweise auf gefundene Fehler sind willkommen und können ebenso wie etwaige Fragen an nachfolgende
Emailadresse gerichtet werden.
Dennis Holhäuser
holzhawi@uni-koblenz.de

Kapitel 1
Bildgebende Verfahren
Dieses Kapitel stellt die wichtigsten bildgebenden Verfahren aus der Medizin vor. Dabei werden die Technik der Bilderzeugung,
medizinische Fragestellungen, Anwendungsmöglichkeiten und Vor- sowie Nachteile der Verfahren erläutert.
Eine mitunter ausführlichere Vorstellung der bildgebenden Verfahren findet man in [15] und [17].
1.1 Übersicht
Eine Übersicht der in der medizinischen Bildverarbeitung angewandten Bildmodalitäten gibt Tabelle 1.1. Auf die optischen
Verfahren soll hier nicht näher eingegangen werden, da diese hinreichend in den Folien [25] beschrieben sind.
Die Modalitäten lassen sich in statische und funktionelle Verfahren einteilen. Statische, wie Röntgen, CT und MRT,
bilden den morphologischen 1 Zustand des Patienten ab, während funktionelle, wie PET und SPECT, die Funktionsweise
des Metabolismus 2 , also den Weg eines Stoffes durch den Körper, darstellen.
Verfahren Physikalisches Medium Methoden
Optische Licht Endoskopie (siehe [30]), Virtuelle Endoskopie, Retina imaging
Röntgenologische Röntgenstrahlung Röntgen, Computertomographie (CT), Angiographie,
Digitale Substraktionsangiograhpie (DSA)
Magnetresonanz Magnetische Felder Magnetresonanztomographie (MRT),
Magnetresonazangiographie (MRA)
Funktionelle Nukleare Strahlung Szintigraphie, Positronenemissionstomographie (PET),
Single-Photon-Emission-Computertomographie (SPECT)
Sonographie Schallwellen Ultraschall (US), Dopplerverfahren, 3D-Ultraschall
1.2 Röntgenologische Verfahren
Tabelle 1.1: Übersicht der Bildmodalitäten
Eines der wichtigsten medizinischen Verfahren ist das Röntgen. Im Folgenden werden die Bildgebung mit Röntgenstrahlen
und verschiedene technische Verfahren erläutert.
1.2.1 Bildgebung
Die 1895 von Wilhelm Konrad Röntgen entdecke Röntgenstrahlung vermag Körper zu durchleuchten und wird hinter
dem Objekt mittels Leuchtfilmen detektiert. Dabei entsteht ein Abbild der gemessenen Strahlungsintensität, das Röntgenbild.
1 Morphologie: Lehre von der Körper-, (Organ-) Form und Körperstruktur [26]
2 Stoffwechsel synonym Metabolismus:, die gesamten Vorgänge des Abbaus und der Umwandlung von Substraten (Nahrungsstoff, Sauerstoff) sowie
des Zerfalls und Ersatzes der Körperbestandteile, [26]

2 KAPITEL 1. BILDGEBENDE VERFAHREN
Erzeugung der Röntgenstrahlung
Röntgenstrahlen werden, wie in Abbildung 1.1 dargestellt, in luftleeren Röntgenröhren erzeugt. Dabei treten Elektronen
aus der Kathode (Glühdraht) aus und werden zur Anode hin beschleunigt. Je höher die Angelegte Stromstärke ist, desto
höher ist dabei die kinetische Energie der Elektronen. Beim Auftreffen der Elektronen wird ca. 1% Strahlung und 99%
Wärme erzeugt.
Beim Durchdringen eines Körpers werden die Röntgenstrahlen unterschiedlich stark absorbiert, was auf dem Film helle
und dunkle Stellen hinterlässt. Wegen der Negativtechnik erscheinen Stellen mit starker Absorbtion weiss und Stellen
mit schwacher Absorbtion schwarz.
Absorbtion der Röntgenstrahlung
Abbildung 1.1: Schematische Darstellung der Röntgenröhre aus [37]
Röntgenstrahlen sind schädlich für lebendes Gewebe. Die angelegte Spannung in der Röhre wirkt sich auf die resultierende
Strahlung aus. Man unterscheidet harte und weiche Röntgenstrahlen.
• Harte Strahlung entspricht einer Röhrenspannung über 100 Kilovolt. Die entstehende, kurzwellige Strahlung wird
nur von dichtem Gewebe absorbiert und sonst gestreut. Daher ist die Belastung für den Patienten eher gering.
• Weiche Strahlung entspricht einer Röhrenspannung bis 100 Kilovolt. So entstehende, langwellige Strahlen werden
auch von weichen Gewebe, also von mehreren Organen absorbiert und sind damit schädlicher für den Patienten.
Die Absorbtion der Strahlen wird stärker bei
• längerer Wellenlänge der Röntgensrahlen
• höherer Ordnungszahl (siehe Anhang B.1) der durchquerten Materie
• höherer Dichte und Dicke des Objektes
Die physikalischen Grundlagen der Röntgenstrahlung sind Ansatzweise in Anhang B.2 beschrieben. Einen wesentlich
tieferen Einblick in die Materie bietet [18].
Bildqualität
Maßgebend für scharfe und kontrastreiche Bilder ist Dosis, Streuung und die Härte der Strahlung. Wegen der Streung
müssen höhere Dosen harter Strahlung eingesetzt werden.
Durch Streuung verursachte Bildströrungen, können durch den Einsatz von Streustrahlenrastern, den sogenannten Kollimatoren,
eingeschränkt werden. Dabei werden nur direkte Strahlen auf den Film durchgelassen, wie man in Abbildung
1.2 sieht.

1.2. RÖNTGENOLOGISCHE VERFAHREN 3
1.2.2 Röntgentechnik
Abbildung 1.2: Funktionsweise eines Kollimators [18]
Um die Strahlendosis und somit die Belastung für Patienten gering zu halten, ist es notwendig die Strahlen nach der
Durchquerung eines Objektes, also die Bildinformation, zu verstärken. Dies ist die Aufgabe des Bildverstärkers. Ein
anderer Ansatz der Bildverbesserung und somit der Schonung des Patienten stellt der Flatpanel dar.
Bildverstärker
Wie in Abbildung 1.3 zu sehen, wandelt der Bildverstärker die einfahlende Röntgenstrahlung in Licht um, welches wiederum
durch die Photokathode Elektronen in die luftleere Röhre abgibt. Durch das anliegende elektrische Feld werden
die Elektronen auf den Ausgang gebündelt und dort wieder in Licht umgewandelt, welches auf einen Film fällt und so
ein Abbild erzeugt.
Das elektrische Feld ist empfindlich gegenüber Magnetfeldern und das Eingangsfenster kann radiale Verzerrungen 3
erzeugen, was den Bildverstärker insgesamt Fehleranfällig macht.
Flatpanel
Abbildung 1.3: Funktionsweise eines Bildverstärkers [25]
Zwar teurer in der Anschaffung, aber mit höherem Kontrast und der Unempfindlichkeit gegenüber magnetischen Feldern
ist der Flatpanel Detektor die bessere Wahl. Man unterscheidet bei den Flatpanel Detektoren zwischen direkter und
indirekter Umwandlung der Röntgenstrahlen (siehe Abbildung 1.4).
Anders als beim Bildverstärker, werden die Röntgenstrahlen beim direkten Flatpanel unmittelbar in Informationen umgewandelt.
Bei den indirekten Flatpanel wird die Strahlung zunächst mittels eines Szintilators in Licht umgewandelt,
welches dann mit einem CCD-Chip aufgenommen wird.
Durch diese Art von Aufnahmetechnik hat der Flatpanel einige wesentliche Vorteile gegenüber dem Bildverstärker.
3 Bei der Bildaufnahme entstehende Artefakte, wie die radiale Verzerrung, und Methoden der Bildverbesserung werden in Kapitel 3 behandelt.

4 KAPITEL 1. BILDGEBENDE VERFAHREN
• Digitale Röntgenbilder in besserer Qualität
Abbildung 1.4: Funktionsweise eines Flatpanels [25]
• Einsparung des Films und somit Einsparung von Kosten
• Keine Verschwendung von Röntgenstrahlen (Schonung des Patienten)
• Optimierung des Klinikbetriebes
C-Bogen und Biplane
Der Flatpanel Detektor kann nur planare Bilder aufnehmen. Eine zweidimensionale Ansicht reicht aber manchmal nicht
aus um eine Diagnose zu stellen. Erst die Aufnahme zweier Bilder aus unterschiedlichen Richtungen, ermöglicht einen
dreidimensionalen Befund.
Um Röntgenaufnahmen aus verschiedenen Richtungen zu machen, ohne den Patienten drehen zu wollen, benötigt man
einen C-Bogen oder C-Arm (Abbildung 1.5a). Die Achse Röntgenstrahler–Detektor kann in zwei Richtungen (Roll- und
Kippbewegung) rotiert werden.
Der Nachteil bei dieser Methode ist die zeitliche Differenz zwischen den Aufnahmen. Das biplanare System hingegen
vereint zwei C-Bögen (Abbildung 1.5b) und ermöglicht die gleichzeitige Aufnahme von zwei Röntgenbildern aus
unterschiedlichen Perspektiven.
(a) C-Arm (b) Biplane
Abbildung 1.5: C-Arm und biplanares System [31]

1.2. RÖNTGENOLOGISCHE VERFAHREN 5
Computertomographie
(a) Testbild (b) Sinogramm
Abbildung 1.6: Erstelltes Sinogramm (b) des Testbildes (a) aus [22]
Mit den bisherigen Techniken können nur Bilder seitlich zur Längsachse des Patienten gemacht werden. Um ein axiales
Schnittbild des Körpers zu bekommen, nutzt man die Computertomographie (CT). Tomographie (von griech. tomos =
Scheibe) bezeichnet die Technik, einen Körper im Querschnitt darzustellen.
Das Prinzip der CT ist einfach. Die Röntgenröhre rotiert um den Körper und nimmt aus jeder Position ein Zeilenbild,
also eine Projektion des Körpers auf. Fügt man die Zeilen nacheinander in ein Bild, entsteht ein Sinogramm (siehe
Abbildung 1.6b).
Mit Hilfe spezieller Rekontruktionsverfahren wird aus den Zeilenbildern das Schnittbild errechnet. Wird der Patient
zusätzlich verschoben, können mehrere aufeinander folgende Schichten zu einer dreidimensionalen Aufnahme zusammengefügt
werden. In Kapitel 4 wird die Rekonstruktion von CT Bildern und deren mathematische Grundlage eingehend
behandelt.
1.2.3 Diagnostik
Abbildung 1.7: Prinzip des CT [18]
Die Röntgentechnik liefert hauptsächlichg morphologische Befunde z.B. für die Diagnose 4 von Frakturen 5 . In einem
Röntgenbild sind dichte Strukturen und Hohlorgane, wie der Magen-Darmtrakt und Knochen besonders gut zu sehen.
Demgegenüber steht die Schädlichkeit der Röntgenstrahlung für die Patienten.
4 gr. diagnosis: Entscheidung, Erkennung und Benennung der Krankheit, Differentialdiagnose, Unterscheidung ähnlicher Krankheitsbilder [26]
5 Knochenbruch; Kontinuitätsunterbrechung eines Knochens unter Bildung von Bruchstücken (Fragmenten) [26]

6 KAPITEL 1. BILDGEBENDE VERFAHREN
Hounsfield-Skala
Abbildung 1.8: Schwächungskoeffizienten von Gewebe, bezogen auf Wasser [18]
Wie gut eine bestimmte Gewebeart im Röntgenbild zu sehen ist, ist bedingt durch ihren Schwächungskoeffizienten,
der für den Grad an Absorbtion der Röntgenstrahlen steht. Der Schwächungskoeffizient wird in Hounsfield-Units (HU)
angegeben. Alle Gewebearten lassen sich so in einer, nach Godfrey Hounsfield benannten, Hounsfield-Skala einordnen
(siehe Abbildung 1.8). Die Werte beziehen sich auf Wasser mit 0 HU.
Mammographie
Die Mammographie, also die Durchleuchtung der weiblichen Brust, dient der Vorsorge und Diagnose krankhafter Veränderungen
im Brustgewebe. Um weiches Gewebe differenziert darzustellen werden sehr weiche Strahlen eingesetzt
(vgl. Abschnitt 1.2.1). Dadurch ist die Strahlenbelastung der Patientin relativ hoch.
Angiographie
In einer Angiographie werden Blutgefäße mit Hilfe eines Kontrastmittels röntgenologisch dargestellt. Kontrastmittel
sind Stoffe mit hoher Absorbtionsrate, die sich im Röntgenbild besonders hervorheben. So können beispielsweise Ausweitungen
von Blutgefäßen (Aneurismen) und Bildung von Blutpfropfen (Thrombosen) diagnostiziert und behandelt
werden.
Ein besonderes Verfahren zur Darstellung von Blutgefäßen im Kopf ist die Digital Substraction Angiography (DSA).
Dabei dienen mehrere Bilder des Kopfes gemittelt als Maske (1.9a). Von einer gemittelten Bildreihe des Kopfes mit Kontrastmittel
(1.9b), wird die Maske subtrahiert um ein Bild mit ausschließlich dargestellten Blutgefäßen (Angiogramm,
siehe 1.9c) zu bekommen.
(a) (b) (c)
Abbildung 1.9: Digitale Substraktionsangiographie [25]

1.3. MAGNETRESONANZTOMOGRAPHIE 7
1.3 Magnetresonanztomographie
Ein ebenso wichtiges tomographisches Verfahren wie die CT, bildet die Magnetresonanztomographie (MRT). Allerdings
basiert die MRT auf völlig anderen physikalischen Effekten als die CT und liefert somit auch andersartige Bilder. Diese
physikalischen Effekte und die resultierende Bildgebung werden im Folgenden beschrieben.
1.3.1 Bildgebung
Die MRT nutzt den hohen Anteil an Wasser im menschlichen Organismus zur Bildgebung. Grundlage dafür ist die 1946
von Felix Bloch und Edward M. Purcell entdeckte Kernmagnetische Resonanz. Durch Anlegen eines starken magnetischen
Feldes richten sich die Wasserstoffatome im Körpergewebe aus. Mit Hilfe eines Hochfrequenzimpulses und der
daraus resultierenden Resonanz lässt sich die Verteilung von Wasser im Körper darstellen.
Resonanzerzeugung
Ein Wasserstoffkern richtet sich aufgrund seines Eigendrehimpulses nach einem magnetischen Grundfeld aus 6 . Durch
Anregung mit einem Hochfrequenzimpuls (HF-Impuls) wird die Ausrichtung des Kerns abgelenkt. Wird der HF-Impuls
abgestellt richtet sich der Kern wieder parallel zum Grundfeld aus. Bei diesem Vorgang, der Relaxation, geben die
Atomkerne ein Resonanzsignal, also eine geschwächte Form des HF-Impulses, ab. Dieses wird Free Induction Decay
(FID) genannt. Anhand der Intensität des FID lässt sich die Dichte der Wasserstoffatome in einer bestimmten Region
bestimmen.
Technische Ausführung
Es gibt verschiedene Arten von Magneten die zur Erzeugung der Magnetfelder eingesetzt werden. Neben dem Permanentmagnet
und dem Normalleiter, ist der Supraleiter im Hinblick auf Bildgüte und Betriebskosten zu favorisieren [18].
Er zeichnet sich durch hohe Stärke (bis zu 4 Tesla) und Stabilität des magnetischen Feldes aus. Dabei sind Magnetfelder
in der Regel für den Patienten unschädlich 7 . Allerdings kann die Untersuchung eine hohe psychische Belastung
darstellen, ausgelöst durch die räumliche Enge und der hohen Lautstärke (bis 140 Dezibel [17]) des Geräts.
1.3.2 Diagnostik
Die Bilder der Magnetresonanztomograhie zeichnen sich durch hohe Auflösung und der hervoragenden Darstellung von
weichem Gewebe mit hohem Wasseranteil und anatomischer Struktur aus, wie Abbildung 1.10a verdeutlicht. Sie dienen
daher als Refernz für nuklearmedizinische Bilder und werden auch zur Fusionierung herangezogen (siehe Kapitel 5.1).
Es ist ausserdem möglich, Bewegung und Geschwindigkeit von Flüssigkeiten zu messen, was die Darstellung von Gefäßen,
genannt Magnetresonanzangiographie (MRA) ermöglicht (siehe Abbildung 1.10b).
(a) (b)
Abbildung 1.10: Magnetresonanzverfahren [17]
6 vielmehr richtet sich die Spinachse des Kerns aus (siehe Anhang B.3 Kernspin)
7 Allerdings können Patienten mit Herzschrittmacher oder sonstigen metallenen Implantaten nicht untersucht werden.

8 KAPITEL 1. BILDGEBENDE VERFAHREN
1.4 Nuklearmedizinische Verfahren
Anders als bei den bisherigen strukturabbildenden Modalitäten wird bei den sogenannteb funktionellen Verfahren die
Funktion des Körpers untersucht. Dies geschieht in der Nuklearmedizin mit Hilfe radioaktiver Substanzen. Eine genaue
Erklärung der Verfahren und der Bildentstehung bietet [24]. Mehr physikalisch werden die radioaktiven Strahlungsprozesse
in [18] geschildert.
1.4.1 Bildgebung
Für funktionelle Bildgebung werden radioaktive Nuklide, so genannte Radiopharmaka oder Tracer, in den Körper eingebracht,
welche in den Stoffwechsel eingehen. Aufgrund des radioaktiven Zerfalls kann die Verteilung des Tracers und
somit der Stoffwechsel sichtbar gemacht werden.
Einbringen der Radiopharmaka
Die Wahl der Nuklide und die Art der Verabreichung ist abhängig von der gewollten Abbildung. Sollen langfristige
Wirkungen beobachtet werden, müssen Nuklide mit längerer Halbwertszeit gewählt werden, die sich weit im Körper
verteilen können. Die Halbwertszeit liegt bei den meist verwendeten Nukliden im Bereich von 20 bis 110 Minuten. Je
nach abzubildender Körperregion werden die Tracer injiziert, geschluckt oder inhaliert.
Radioaktiver Zerfall
Man unterscheidet in der Nuklearmedizin zwei Arten von radioaktivem Zerfall.
• Photonenemittierender Zerfall: Beim Zerfall des Nuklides wird ein γ-Quant ausgestrahlt welches mit einer Anger-
Kamera (γ-Kamera) detektiert werden kann. Diese Methode findet bei der Szintigraphie Verwendung.
• Positronenemittierender Zerfall: Hier wird beim Zerfall ein Positron 8 emittiert. Trifft dieses auf ein Elektron,
löschen sich beide gegenseitig aus. Dabei werden zwei γ-Quanten im Winkel von 180 ◦ ausgestrahlt.
Anger-Kamera
Die Anger-Kamera dient der Detektion von γ-Quanten. Abbildung 1.11a zeigt den Aufbau und die Funktionsweise einer
Anger-Kamera. Beim Auftreffen der Quanten auf dem Szintillationskristall wird Licht erzeugt, welches durch darunter
liegende Photomultiplier verstärkt wird und so ein Signal bildet. Wie bei den Röntgenstrahlen dient ein Kollimator zur
Vermeidung von Streustrahlung.
(a) (b)
Abbildung 1.11: Aufbau einer Anger-Kamera (a) und PET Prinzip (b) [18]
8 Ein Positron ist ein Elektron mit positiver Ladung e + (siehe Anhang B)

1.4. NUKLEARMEDIZINISCHE VERFAHREN 9
1.4.2 Emissionstomographie
In der Nuklearmedizin werden zwei tomographische Verfahren angewendet. Die Single-Photon-Emission-Computertomographie
(SPECT) und die Positronenemissionstomographie (PET). Sie unterscheiden sich in der radioaktiven Zerfallsweise (s.o.)
der verwendeten Tracer. Beide Verfahren sind im Folgenden beschrieben.
Single-Photon-Emission-Computertomographie (SPECT)
Ähnlich wie bei der Röntgen-CT wird bei der SPECT ein, um den Patienten rotierender, Detektor verwendet, um die
emittierten Einzelphotonen (γ-Quanten) aufzufangen. Als Detektor fungiert hier allerdings eine Anger-Kamera. Mittels
Rekonstruktion kann die Verteilung der Tracer im Schnittbild ermittelt werden.
Positronenemissionstomographie (PET)
Statt einer rotierenden Anger-Kamera verwendet man bei der PET einen Ring aus Detektoren, mit derselben Funktionsweise.
Aufgrund der 180 ◦ Quantenemission können zwei gegenüberliegende Detektoren die Quanten gleichzeitig
messen, wie Abbildung 1.11b zeigt. Dieses Ereignis nennt man echte Koinzidenz (vgl. Abbildung 1.12). Daneben gibt es
noch zufällige Koinzidenzen und Einzelereignisse, welche zu Fehlern bei der Rekonstruktion und im Bild führen können
(siehe [24]).
1.4.3 Diagnostik
(a) Koinzidenz (b) Einzelereignis (c) Zufallskoinzidenz
Abbildung 1.12: Auftretende Koinzidenzen bei PET
Funktionelle Verfahren werden eingesetzt um biochemische und physiologische Abläufe im Körper, und die am Metabolismus
beteiligten Stoffe, abzubilden. Die Art des Tracers ist maßgebend, da verschiedene Nuklide sich in den einzelnen
Gewebearten unterschiedlich stark anreichern und differenzierte Diagnosen ermöglichen.
So können beispielsweise Tumore und deren Veränderungen im Laufe der Zeit für eine Therapiekontrolle dargestellt
werden, wie Abbildung 1.13 verdeutlicht.
(a) PET Scan (b) Verlaufskontrolle
Abbildung 1.13: PET Scans aus [25]

10 KAPITEL 1. BILDGEBENDE VERFAHREN
1.4.4 Andere funktionelle Verfahren
Neben den Nuklearmedizinischen Verfahren gibt es noch die funktionelle Magnetresonanztomographie (fMRT). Die
fMRT wird hauptsächlich zur Identifikation und Abbildung aktiver Hirnareale bei verschiedenen Tätigkeiten verwendet.
Der Unterschied zur normalen MRT (Abschnitt 1.3) und den nuklearmedizinischen Verfahren besteht darin, das hier
statt der Wasserverteilung, das Blutvorkommen ganz ohne Tracer gemessen wird. Aktive Hirnareale sind besser mit Blut
versorgt und können so sichtbar gemacht werden (siehe Abbildung 1.14). Eine ausführliche Beschreibung findet man
unter [10].
1.5 Sonographie
Abbildung 1.14: Funktionelle MRT [10]
Sonographie ist ein unkompliziertes und gefahrloses bildgebendes Verfahren, wobei man sich mit Hilfe von Ultraschall
ein Bild aus dem Körperinneren macht. Dieser Abschnitt erklärt die Prinzipien der Sonographie. Eine genauere Beschreibung
mit den verschiedenen Darstellungsmodi wird in [18] gegeben.
1.5.1 Bildgebung
Abbildung 1.15 zeigt das Prinzip der Sonographie. Mit Hilfe eines Schallkopfes werden Ultraschallwellen ausgesendet,
die von den Grenzschichten der verschiedenen Gewebearten unterschiedlich stark reflektiert werden (links im Bild).
Diese reflektierten Wellen werden wieder empfangen und auf dem Bild entsprechend ihrer Stärke unterschiedlich hell
dargestellt (rechts im Bild). Man erhält so einen Querschnitt durch die untersuchte Region.
Dabei gilt: Je niedriger die Frequenz der Ultraschallwellen, desto weiter dringen sie ins Gewebe ein. Dadurch wird aber
die Auflösung der Bilder schlechter. Es werden in der Regel Schallwellen mit einer Frequenz von 5 MHz bis 10 MHz
verwendet. Eindringtiefe und Auflösung bilden in diesem Frequenzbereich einen guten Kompromiss [15].
Abbildung 1.15: Prinzip der sonographischen Verfahren

1.5. SONOGRAPHIE 11
1.5.2 Diagnostik
Sonographie ist ein einfaches und für den Patienten völlig ungefährliches Verfahren. Bei der Handhabung gilt es allerdings
gewisse Dinge zu beachten. Da Ultraschall an Knochen vollständig reflektiert wird, lassen sich dahinter liegende
Strukturen, wie z.B. das Gehirn nicht abbilden 9 .
Die Sonographie eignet sich somit besonders zur Darstellung von Organen und Weichteilen im Bauch und Brustbereich.
Ein Nachteil ist allerdings die hohe Rauschanfälligkeit. Es erfordert eine gewisse Übung für die nicht triviale Deutung
der Bilder und den Umgang mit dem Gerät.
3D und 4D Sonographie
Mit speziellen Schallköpfen ist es möglich dreidimansionale Abbilder zu erzeugen, um z.B. Missbildungen eines Fötus
auszuschließen (siehe Abbildung 1.16a). Die Technik der Sonographie ist relativ einfach, dadurch können Bilder sofort
in Echtzeit errechnet werden. So können Bewegungsabläufe direkt beobachtet werden. Als 4D Sonographie wird eine
Videoaufnahme aus 3D Bildern bezeichnet.
Doppler-Verfahren
Bewegte Blutkörperchen reflektieren Schallwellen und erzeugen eine Frequenzverschiebung, welche als Dopplereffekt
bezeichnet wird (Beschreibung siehe [18]). Mit Hilfe dieses Effektes lassen sich Durchblutungs- und Strömungsverhalten
von Blutgefäßen untersuchen. Bei der sogenannten Echokardiographie wird die Fließgeschwindigkeit des Blutes in
Falschfarben visualisiert (Abbildung 1.16b).
(a) 3D Aufnahme (b) Echokardiographie [32]
Abbildung 1.16: Sonographische Verfahren
9 Bei Erwachsenen kann, aufgrund der geschlossenen Schädeldecke, keine Sonographie des Gehirnes durchgeführt werden. Bei Säuglingen und
Kleinkindern ist dies jedoch möglich.

12 KAPITEL 1. BILDGEBENDE VERFAHREN

Kapitel 2
Geometrische Grundlagen der
Bilderzeugung
Bevor es zu den eigentlichen Aufgaben der medizinischen Bildverarbeitung geht, behandelt dieses Kapitel die mathematischen
und geometrischen Grundlagen. Dazu werden Koordinatensysteme, Kameraparameter und Projektionsmodelle
kurz vorgestellt um anschließend die Epipolargeometrie zu beschreiben. Somit bildet dieses Kapitel eine knappe Wiederholung
der, für die medizinische Bildverarbeitung benötigten Inhalte, aus der Vorlesung Struktur aus Bewegung.
2.1 Koordinatensysteme
Als Grundlage der Bildverarbeitung dienen verschiedene Koordinatensysteme. Im folgenden werden die für die Bildaufnahme
mit einer Kamera relevanten Systeme, angefangen vom Objekt in der Welt, bis zum Pixel im fertigen Bild
angesprochen, ferner die Transformation von einem System in das andere.
2.1.1 Übersicht der Systeme
Die bei der Bildaufnahme involvierten Koordinatensystem sind in Abbildung 2.1 verdeutlicht. Sie sind im Folgenden
genauer beschrieben. Bedingt durch die Projektion 3D nach 2D, sind die Bild– und Pixelkoordinaten homogene Koordinaten
aus P 2 , d.h. sie sind mit einer dritten homogenen Koordinate versehen.
Weltkoordinaten: Punkt in der Welt p w ∈ R 3
Kamerakoordinaten: Punkt im 3D Kamerakoordinatensystem p c ∈ R 3
Bildkoordinaten: Punkt im 2D Bild, bezogen auf den Mittelpunkt (Hauptpunkt) p i ∈ P 2
Pixelkoordinaten: Punkt im fertigen Bild bezogen auf linke, obere Ecke p p ∈ P 2
Abbildung 2.1: Koordinatensysteme bei der Bildaufnahme

14 KAPITEL 2. GEOMETRISCHE GRUNDLAGEN DER BILDERZEUGUNG
2.1.2 Umrechnung der Koordinaten
Die Umrechnung zwischen den Koordinatensystemen geschieht im Allgemeinen mit Matrizen. So gibt es für jedes
System eine Matrix um Punkte aus einem anderen System zu transformieren. Die Transformation von Welt– zu Pixelkoordinaten
vollzieht sich in drei Schritten.
Welt → Kamera: Weltkoordinaten lassen sich mit einer Rotation R und einer Translation t (extrinsische Kameraparameter,
siehe Abschnitt 2.2.1) in Kamerakoordinaten überführen.
p c = D p w
� �
R t
mit D =
wobei R ∈ R
0 0 0 1
3×3 , t ∈ R 3×1
Kamera → Bild: Mitels einer Projektionsmatrix PProj lassen sich Punkte aus dem 3D Kamerakoordinatensystem auf
eine 2D Bildfläche projezieren p i = PProj p c . Es gibt verschiedene Projektionsmodelle, die in Abschnitt 2.1.3
kurz erläutert werden.
Bild → Pixel: Die Umwandlung von Bildkoordinaten in Pixelkoordinaten, also dem letztlichen Bild geschieht mit Hilfe
der intrinsischen Kameraparameter F , dx, dy, Hx, Hy und s (siehe Abschnitt 2.2.2).
p p = K p i
mit
⎛
K = ⎝ Kx
0
s
Ky
⎞
Hx
Hx⎠
wobei Kx = F/dx, Ky = F/dy
0 0 1
Totale Projektion: Direkte Umwandlung eines Weltpunktes in Pixelkoordinaten wird als totale Projektion bezeichnet,
wobei die oben genannten Matrizen der von rechts nach links aufmultipliziert werden.
2.1.3 Projektionsmodelle
p p = PTotal p w
mit PTotal = K PProj D
Hauptsächlich werden in der Bildverarbeitung drei Arten von Projektionen unterschieden: die orthographische, die
perspektivische und die schwach perspektivische oder skaliert orthographische Projektion, die eine Mischung aus den
beiden ersten Modellen ist (siehe dazu [21] und [20]). Abbildung 2.2 verdeutlicht grob den Unterschied zwischen der
perspektivischen und der orthographischen Projektion.
Orthographische Projektion
(a) Orthographische Projektion (b) Perspektivische Projektion
Abbildung 2.2: Unterschied zwischen orthographischer und perspektivischer Projektion
Im Kamerakoordinatensystem beschreibt die Z-Achse die Entfernung zum optischen Zentrum der Kamera. Die orthographische
Projektion bildet Punkte senkrecht auf die Bildebene ab, indem sie die Z-Koordinate der Punkte ignoriert
(siehe Abb. 2.2a). Die Projektionsmatrix ist damit die Folgende:
⎛
⎛ ⎞ xc ⎞
⎛ ⎞
yi⎠ = POrtho
1
⎝ xi
⎜
⎜y
⎝
c
zc ⎟
1 0 0 0
⎟
⎠ mit POrtho = ⎝0 1 0 0⎠
0 0 0 1
1

2.2. KAMERAPARAMETER 15
Perspektivische Projektion
Perspektivische Projektion ist die häufigste Projektionsart (siehe Abb. 2.2b). Hier wird ein Punkt abhängig von seiner
Z-Koordinate und der Brennweite F der Kamera, wie nachstehend gezeigt auf die Bildfläche projiziert.
⎛
⎝ xi
⎞
yi⎠ =
1
⎛
⎝
F
zc xc F
z c y c
1
Schwach perspektivische Projektion
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ Fxc
Fy c
zc ⎛
⎞ x
⎜
⎠ = PPersp ⎜
⎝
c
yc zc ⎞
⎛ ⎞
⎟
F 0 0 0
⎟
⎠ mit PPersp = ⎝0 F 0 0⎠
0 0 1 0
1
Bei der schwach perspektivischen Projektion wird ein Punkt zunächst orthographisch auf eine Bildebene projiziert. Das
Abbild wird danach perspektivisch auf eine zweite Bildebene projiziert. Insgesamt entspricht dies einer orthographischen
Projektion mit einem Skalierungsfaktor k, wobei k < 1 gilt.
⎛
⎝ xi
⎞
yi⎠ =
1
⎛
⎝
F
k xc
F
k yc
1
2.2 Kameraparameter
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ Fxc
Fy c
kc ⎛
⎞ x
⎜
⎠ = PWeak ⎜
⎝
c
yc zc ⎞
⎛ ⎞
⎟
F 0 0 0
⎟
⎠ mit PWeak = ⎝0 F 0 0⎠
0 0 0 k
1
Als Kameraparameter werden diejenigen Parameter bezeichnet, die man benötigt um die Abbildung eines Punktes in
Weltkoordinaten nach Pixelkoordinaten nachvollziehen zu können. Man unterscheidet intrinsische und extrinsische Parameter,
je nachdem ob sie sich bei Bewegung der Kamera ändern.
Die meisten Parameter sind unbekannt und müssen durch Kalibrierung (siehe Abschnitt 2.2.3) ermittelt werden. Andere,
wie die Höhe und Breite der Pixel müssen aus der Kamerabeschreibung entnommen werden.
2.2.1 Extrinsische Parameter
Die extrinsischen Parameter beschreiben die Position im Raum und die räumliche Orientierung, also die Blickrichtung
der Kamera. Diese Parameter ändern sich sobald die Kamera bewegt wird. Insgesamt gibt es 6 extrinsiche Parameter, 3
für die Position und 3 für die Orientierung, die wie folgt zustande kommen:
Position: Die Position wird durch einen Translationsvektor t = (x w , y w , z w ) ⊤ in Weltkoordinaten repräsentiert.
Orientierung: Ausrichtung der Kamera wird als 3×3 Rotationsmatrix R = RxRyRz um die Raumachsen dargestellt 1 .
2.2.2 Intrinsische Parameter
Die intrinsischen Parameter ändern sich nicht, wenn die Kamera bewegt wird. Sie enthalten die technischen Daten die
beim Mapping von Kamera- nach Pixelkoordinaten gebraucht werden.
Brennweite: Die Brennweite der Kamera wird als F bezeichnet
Hauptpunkt: Ursprung des Bildkoordinatensystemes 2 H = (Hx, Hy) ⊤
Radiale Verzerrung: Die radiale Verzerrung wird durch die Parameter κ1 und κ2 beschrieben (siehe Abschnitt 3.2).
Pixelgröße: Länge und Breite dx, dy eines Pixelelementes auf dem CCD Chip.
Skew: Winkel s zwischen den Bildachsen. Bildachsen sind nicht immer orthogonal.
1 Diese Form der Darstellung wird als Euler-Winkel Repräsentation bezeichnet (siehe Anhang A.3.1).
2 Der Hauptpunkt ist durch den Schnittpunkt der optischen Achse mit der Bildebene gegeben.

16 KAPITEL 2. GEOMETRISCHE GRUNDLAGEN DER BILDERZEUGUNG
2.2.3 Kamerakalibrierung
Eine Kamera muss kalibriert werden um die intrinsischen Parameter Hx, Hy, κ1, κ2 und F zu bestimmen. Kalibriert
wird mit Hilfe eines Kalibriermusters (Beispiele in Abbildung 2.3), um Punktkorrespondenzen zwischen Muster und
Bild herzustellen. Aus mindestens 6 Punktepaaren wird ein Gleichunssystem aufgestellt, woraus dann die totale Projektionsmatrix
PTotal ausgerechnet wird, welche die Parameter enthält. Eine genaue Beschreibung des Aufbaus des
besagten Gleichungssystemes und der anzuwendenden Kalibrierungsalgorithmen kann man in [6] nachlesen.
2.3 Epipolargeometrie
(a) 3D-Punkt Muster (b) Muster für C-Bogen
Abbildung 2.3: Kalibriermuster (aus [25])
Epipolargeometrie befasst sich mit der Geometrie in einer Szene, die mit zwei Kameras gleichzeitig aufgenommen wird,
was die Grundlage für Stereosehen ist [36]. Sind die Punkte der Szene größtenteils in beiden Bildern vorhanden, kann
eine 3D Rekonstruktion nur aus den Punktkorrespondenzen erfolgen.
Da die Epipolargeometrie und insbesondere die Herleitung der Matrizen in anderen Quellen (siehe [23] und [1]) bereits
ausreichend behandelt wurde, sei hier nur kurz auf die Terminologie und die Eigenschaften der E und F Matrix
eingegangen. Im Folgenden wird die Notation aus [11] verwendet.
2.3.1 Terminologie
Anhand eines Beispiels lassen sich die Grundlagen und die Terminologie der Epipolargeometrie erklären. In Abbildung
2.4 sieht man die typische Szenerie mit zwei Kameras. Die Punkte C und C ′ markieren das Zentrum der Kameras.
Ein Weltpunkt X ist als Bildpunkt x und x ′ in der Bildebene der jeweiligen Kamera abgebildet. Die unterschiedliche Lage
der beiden Kameras ist durch den Translationsvektor t, auch Basislinie genannt, und die Rotationsmatrix R gegeben.
Abbildung 2.4: Geometrische Zusammenhänge der Epipolargeomertrie

2.3. EPIPOLARGEOMETRIE 17
Hieran lassen sich die folgenden Begriffe erklären:
• Die epipolare Fläche π wird durch den Weltpunkt X und die Kamerazentren C und C ′ aufgespannt.
• Die Epipole e und e ′ entsprechen den Schnittpunkten der Basislinie mit der Bildebene der jeweiligen Kamera.
• Die Epipolarlinien l und l ′ werden durch die Schnittpunkte von π mit der jeweiligen Bildebene gebildet.
2.3.2 Die Essential-Matrix
Die Essential-Matrix E bildet einen Punkt x aus dem Bildkoordinatensystem der einen Kamera auf die zugehörige
epipolare Linie l ′ des Bildes der anderen Kamera ab. Dabei gilt der nachfolgende Zusammenhang, bekannt als Epipolarbedingung.
l ′⊤ = Ex ⇐⇒ l ⊤ = E ⊤ x ′ =⇒ x ′⊤ Ex = 0
Die Linien l und l ′ sind in Form eines 3D Spaltenvektors dargestellt. Die E-Matrix enthält dabei die extrinsischen
Parameter in der Form: E = R[t]× wobei E ∈ R 3×3 . Dabei ist [t]× die Kreuzproduktmatrix von t. Liniendarstellung
und Kreuzproduktmatrizen sind in Anhang ?? erklärt.
Folgende Eigenschaften beschreiben die Essential-Matrix:
• Der Nullraum von E wird von t aufgespannt.
• Multiplication mit einer Konstanten ändert nicht die Epipolarbedingung.
• Als Produkt einer Rotationsmatrix mit Rang 3 und einer Kreuzproduktmatrix mit Rang 2, gilt rank(E) = 2
• Die Essential-Matrix hat fünf Freiheitsgrade (DOF)
• Es gilt weiter l ′ Ex = 0 und x ′⊤ El ⊤ = 0
2.3.3 Die Fundamental-Matrix
Neben den extrinsischen, enthält die Fundamental-Matrix noch die intrinsischen Kameraparameter in Form der oben
beschriebenen K-Matrix, welche einen Punkt von Bild- nach Pixelkoordinaten berechnet. Es gilt x p = Kp i und somit
x i = K −1 x p . Aus der Epipolarbedingung x ′⊤ Ex = 0 für Bildkoordinaten folgt dann für Pixelkoordinaten:
(K −1 x ′ ) ⊤ EK −1 x = 0 ⇐⇒ x ′⊤ K −1⊤ EK −1 x = 0 mit (AB) ⊤ = B ⊤ A ⊤
Für die Fundamental-Matrix F = K −1⊤ EK −1 gilt somit ebenfalls die Epipolarbedingung, aber in Pixelkoordinaten.
So wird ein Pixel x der epipolaren Linie l ′ im anderen Bild zugewiesen:
l ′⊤ = Fx ⇐⇒ l ⊤ = F ⊤ x ′ =⇒ x ′⊤ Fx = 0
Folgende Eigenschaften beschreiben die Fundamental-Matrix:
• Die Fundamental-Matrix F beinhaltet alle Kameraparameter
• Sie mapt einen Punkt mit seiner epipolaren Linie in Pixelkoordinaten
• Durch die E-Matrix bedingt, folgt rank(F) = 2
• Die Fundamental-Matrix hat sieben Freiheitsgrade (DOF)
• Es gilt ebenfalls l ′ Fx = 0 und x ′⊤ Fl ⊤ = 0
• Alle epipolaren Linien eines Bildes schneiden sich im zugehörigen Epipol
2.3.4 8-Punkte Algorithmus
Um die Fundamental-Matrix zu berechnen, benötigt man mindestens acht Punktkorrespondenzen aus zwei Bildern.
Diese werden dann mit dem 8-Punkte Algorithmus wie folgt verarbeitet. Zunächst muss die A-Matrix aus dem Gleichungssystem
Af = 0 aufgestellt werden, wobei f die als Spaltenvektor geschriebene Fundamentalmatrix darstellt.

18 KAPITEL 2. GEOMETRISCHE GRUNDLAGEN DER BILDERZEUGUNG
Damit Af = 0 lösbar ist, muss der Rang von A mittels SVD auf 8 gebracht werden (siehe Anhang A.5). Der Nullraum
von A ergibt dann die F -Matrix, deren Rang 2 sein muss.
Aus jeweils zwei korrespondierenden Punkten p1 = (x1, y1, 1) ⊤ und p2 = (x2, y2, 1) ⊤ und der Epipolarbedingung
p ⊤ 1 Fp2 = 0 ergibt sich:
x1x2F11 + x1y2F21 + x1F31 + y1x2F12 + y1y2F22 + y1F32 + x2F13 + y2F23 + F33 = 0
Für n ≥ 8 Punktepaare bekommt man so jeweils einen Zeilenvektor ai mit i ∈ {1 . . .n}
aif = 0 mit ai = (x1x2, x1y2, x1, y1x2, y1y2, y1, x2, y2, 1) f = (F11, F21, F31, F12, F22, F32, F13, F23, F33) ⊤
Damit lautet das zu lösende Gleichungssystem:
⎛ ⎞⎛
a1
⎜a2⎟
⎜
⎜ ⎟⎜
⎜
Af = a3⎟
⎜
⎜ ⎟⎜
⎜ . ⎟⎜
⎝ . ⎠⎝
an
F11
F21
F31
.
.
F33
⎞
⎟ = 0 mit A ∈ R
⎟
⎠
n×9

Kapitel 3
Modalitätsabhängige Bildverbesserung
Ein wichtiger Anteil der Bildverarbeitung in der Medizin besteht in der Aufbesserung von fehlerhaften Bildern, um
den Ärzten die Diagnosestellung zu erleichtern. In diesem Kapitel werden die häufigst auftretenden Störeffekte und
Methoden der Bildverbesserung beschrieben.
3.1 Motivation
Bei medizinischen, bildgebenden Verfahren zählt die Genauigkeit und die Fehlerfreiheit des aufgenommenen Bildes,
um möglichst zuverlässig eine Diagnose stellen zu können. Daher ist es notwendig die Bilder so zu verbessern, dass
man keine zusätzlichen Bildinformationen verliert. Im Folgenden werden die verschiedenen Arten von Bildstörungen
aufgeführt und ein Beipiel für Bildverbesserung gegeben.
3.1.1 Arten von Bildstörungen
Es gibt verschiedene Arten von Bildstörungen oder Bildfehlern, die typischerweise bestimmten Bildmodalitäten zugeordnet
werden können. Dies liegt hauptsächlich an der verwendeten Technik und den zugrundeliegenden, physikalischen
Gegebenheiten.
Zusammengefasst kann man die folgenden Arten von Fehlern beschreiben 1 :
Verzerrungen: Gegenüber den anderen Fehlern ist hier das Bild als Ganzes betroffen. Meist liegt eine geometrische Deformation
zugrunde, die beispielsweise auf die Linsenkrümmung einer Kamera zurückzuführen ist. Geometrische
Verzerrungen treten meist in optischen Systemen auf.
Unschärfe: Die Unschärfe (Blurring) eines Bildes bezieht sich auf das Fehlen von Pixeldetails und Kanten. Unschärfe
wird auch als Verschmierung der Pixelinformationen bezeichnet. Besonders Bewegungsunschärfe (Motion blur)
tritt bei Aufnahmen von bewegten Objekten, wie dem Herzen auf.
Rauschen: Das Rauschen (Noise) ist meist auf zufällige Rauschsignale im physikalischen System zurückzuführen und
kommt bei allen Modalitäten vor. Dieses Hintergrundrauschen kann durch äussere Einflüsse verstärkt werden und
bedingt fehlerhafte Bildwerte.
Defektpixel: Diese Art von Bildstörung entsteht durch technische Probleme, wie fehlerhafte Sensorelemente oder Kratzer
im Linsensystem einer Kamera. Hier fehlt die eigentliche Information des Bildpunktes. Pixelfehler sind typisch
für Flatpanel-Detektoren.
Unterabtastung: Jeder Sensor kann durch seine Abtastrate nur ein begrenztes Maß an Auflösung bieten. Will man ein
Objekt Aufnehmen das eine feinere Struktur besitzt, kommt es zur Unterabtastung. Als Resultat könnet Moiré und
Aliasing Effekte entstehen. Unterabtastung ist ein Problem der Signalverarbeitung und sei nur am Rande erwähnt.
1 Zusätzlich gibt es noch Beleuchtungsfehler, wie Glanzlichter oder dunkle Bereiche bei Endoskopischen Aufnahmen, die meist auf ungünstiger
Oberflächenbeschaffung oder inhomogener Lichtverteilung basieren (siehe Abschnitt 3.5).

20 KAPITEL 3. MODALITÄTSABHÄNGIGE BILDVERBESSERUNG
3.1.2 Vorverarbeitung von Bildern
Die Bildverbesserung wird auch als Vorverarbeitung bezeichnet, da die Bilder vor der Inansichtnahme durch den Arzt
verbessert werden müssen. Gleichzeitig will man eine optimale Aufbereitung der Bilder für spätere Datenverarbeitung
erreichen.
Abbildung 3.1 verdeutlicht mit einer Bildsequenz beispielhaft die einzelnen Verarbeitungsschritte zur Aufbesserung
eines Röntgenbildes. Durch die Kontrastverstärkung wird das Bild heller und Strukturen besser sichtbar. Die Rauschunterdrückung
bewirkt eine Glättung des Bildes. Flächige Bereiche erscheinen nun wesentlich homogener. Im dritten
Schritt erfolgt eine Kantenaufbesserung, wodurch das Bild deutlich an Schärfe gewinnt.
Abbildung 3.1: Vorverarbeitung am Beispiel einer Röntgenaufnahme (Bilder aus [25])
3.2 Radiale Verzerrungen
Radiale Verzerrungen wie in Abbildung 3.2, sind, je nachdem welches bildgebende Verfahren benutzt wird, unterschiedlich
bedingt. Bei Röntgenbildverstärkern können sie durch das Erdmagnetfeld oder künstliche Felder ausgelöst werden.
Meist entstehen radiale Verzerrungen durch konkave oder konvexe Eingangslinsen bei optischen Systemen.
3.2.1 Mathematisches Modell
Bei der radialen Verzerrung werden alle Bildpunkte um einen gewissen Betrag verschoben. Die Verschiebung eines
Bildpunktes ist proportional abhängig von dessen Entfernung zum Zentrum der Verzerrung. Die radiale Verzerrung wird
durch folgende Funktion beschrieben.
�
′ x
y ′
� � �
x
= L(˜r) mit Verzerrungsfaktor L(˜r) = 1 + κ1r + κ2r
y
2
Dabei gilt
• (x, y) ⊤ ist der ideale und (x ′ , y ′ ) ⊤ ist der verzerrte Bildpunkt.
• (cx, cy) ⊤ sind die Koordinaten des Zentrums der radialen Verzerrung.
• κ1 und κ2 beschreiben die Verzerrung (intrinsische Kameraparameter).
• r ist die Entfernung eines Punktes zum Zentrum, mit r = � (x − cx) 2 + (y − cy) 2
Sind die Parameter κ1 und κ2 bekannt, kann die Umkehrfunktion wie nachstehend gezeigt berechnet werden.
�
′ x
y ′
� � �
x
= L(˜r)
y
=⇒
� �
x
y
= 1
L(˜r)
� �
′ x
Abbildung 3.2b zeigt den Effekt der radialen Verzerrung ausgeführt auf einem idealen Bild (vgl. Abbildung 3.2a). Wird
auf einem idealen Bild die Umkehrfunktion – also eine radiale Entzerrung – ausgeführt, entsteht Abbildung 3.2c.
y ′

3.3. DEFEKTPIXELINTERPOLATION 21
10
5
0
-5
-10
-10 -5 0 5 10
(a) Ideales Bild
3.2.2 Bilineare Interpolation
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
(b) Radiale Verzerrung
Abbildung 3.2: Effekt der radialen Verzerrung
15
10
5
0
-5
-10
-15
-15 -10 -5 0 5 10 15
(c) Radiale Entzerrung
Es gilt bei der Implementierung der radialen Verzerrung etwas zu beachten. Da die verzerrten Bildpunkte meist nicht
genau auf bestehende Pixelkoordinaten verschoben werden, müssen sie aus umliegenden Pixeln interpoliert werden. Ein
einfaches und relativ gutes Verfahren dafür, bietet die bilineare Interpolation.
Abbildung 3.3 verdeutlicht die Funktionsweise der Methode. Hier wird ein Pixel P aus den umliegenden Pixelwerten a,
b, c und d interpoliert. Dabei sind x und y die Nachkommastellen der Koordinaten von P . Demnach wird der Pixelwert
P wie folgt berechnet.
P = z1(1 − y) + z2y mit z1 = a(1 − x) + dx und z2 = b(1 − x) + cx
3.3 Defektpixelinterpolation
Abbildung 3.3: Funktionsweise der bilinearen Interpolation
Wie oben beschrieben, treten Defektpixel häufig bei Flatpanel-Rezeptoren auf. Dabei kann es sich um einzelne inaktive
Pixel, Pixelcluster und sogar ganze Sensorzeilen oder Spalten handeln, gezeigt in Abbildung 3.4. Bei der Interpolation
geht es darum, verlorene Informationen aufgrund der vorhandenen Daten anzunähern und nicht, sie wieder herzustellen.
3.3.1 Interpolationsmethoden
Grundsätzlich kann man defekte Pixel im Ortsraum oder im Frequenzraum eines Bildes interpolieren. Im Folgenden
sind beide Möglichkeiten beschrieben und erklärt.
Interpolation im Ortsraum
Die Interpolation im Ortsraum eines Bildes geschieht durch Verrechnen der Pixelwerte im Umfeld des defekten Bereiches.
Dafür verwendet man lineare oder nichtlineare Filter, wie z.B. den Median-Filter. Allerdings eignet sich diese
Methode nur für sehr kleine defekte Bereiche. Die interpolierten Werte lassen das Bild zudem unnatürlich erscheinen.

22 KAPITEL 3. MODALITÄTSABHÄNGIGE BILDVERBESSERUNG
Interpolation im Frequenzraum
Abbildung 3.4: Beispiele für Defektpixel (Bilder aus [35])
Mit Hilfe der Fouriertransformation (FT) lässt sich ein Bild vom Ortsraum in den Frequenzraum überführen. Bei der
Interpolation im Frequenzraum benutzt man statt der Pixelwerte, die im Bild enthaltenen Frequenzen, um defekte Bereiche
anzunähern. Gemäß dem Sampling-Theorem ist das ideale Bild auf ein bestimmtes Frequenzband begrenzt. Bei der
Rücktransformation beschränkt man sich deshalb nur auf Frequenzen im besagten Band.
3.3.2 Interpolation mittels Bandbegrenzung
Im idealen Bild sind laut Sampling-Theorem keine hohen Frequenzen vorhanden. Anders als im gestörten Bild: hier
sind durch die defekten Pixel starke Kanten und somit hohe Frequenzen gegeben. Diese Kanten können nun mit einem
Low-Pass-Filter (LPF) herausgefiltert werden.
Funktionsweise der Interpolation
Abbildung 3.5 verdeutlicht einen Durchlauf der Interpolation mittels Bandbegrenzung. Als fehlerbehaftetes Bild dient
die Aufnahme eines Sehnerves mit Zeilen- und Spaltendefekt 2 .
Das Bild wird in den Frequenzraum überführt (FT), um dort die hohen Frequenzen auf Null zu setzen (Bandbreitenbegrenzung).
Das Fourierbild mit den übrigen Frequenzen wird mittels inverser FT zurücktransformiert. Jetzt werden die
defekten Bereiche durch Werte aus dem verbesserten Bild ersetzt. Dieser Ablauf wird solange wiederholt bis der Fehler
unter einem Schwellwert liegt.
Abbildung 3.5: Funktionsweise der Defektpixelinterpolation
2 Siehe auch Abbildung 3.4 rechts. Das Fehlerbild wurde manuell aus Abbildung 3.6a erstellt.

3.4. RAUSCHUNTERDRÜCKUNG 23
Ergebnis der Interpolation
Vergleicht man das Idealbild (Abbildung 3.6a) mit dem interpolierten Bild nach 10 Iterationen (Abbildung 3.6b), sind
mit dem bloßen Auge kaum noch Unterschiede auszumachen. Erst Abbildung 3.6c zeigt den verbleibenden Fehler als
Differenzbild. Dunkle Stellen zeigen falsch interpolierte Werte an. Für diagnostische Zwecke liefert die Bandbreitenbegrenzung
ein gut angenähertes Bild.
(a) Ideales Bild (b) Interpoliertes Bild (c) Differenzbild
3.4 Rauschunterdrückung
Abbildung 3.6: Ergebnis der Defektpixelinterpolation
Abgesehen vom physikalischen Hintergrundrauschen und technisch bedingtem Rauschen, z.B. verursacht durch Dunkelstrom
3 , gilt es modalitätsbedingtes Rauschen zu entfernen. Vor Allem PET Bilder sind, aufgrund der verschiedenenen
Koinzidenzen bei der Bildgebung (siehe Abschnitt 1.4.2), sehr rauschanfällig.
3.4.1 Problemstellung
Um Rauschen zu minimieren ist es wichtig, homogene Bildbereiche zu glätten und Kanten im Bild zu erhalten. Das
Hauptproblem ist also, verrauschte, gleichmäßige Bereiche zu glätten, ohne dabei die Kanten im Bild zu glätten.
Additives Rauschen lässt sich mit Hilfe von Low Pass Filtern in den Griff bekommen, falls die Frequenz des Rauschens
gering ist. In [25] werden dazu der Low-Pass Domain Filter und der Low-Pass Range Filter vorgestellt. Bei PET Bildern
ist aber keine niedrige Rauschfrequenz gegeben.
Man geht von folgenden Annahmen aus:
• Je näher zwei Bildpunkte zu einander liegen, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, das sie ähnliche Helligkeitswerte
haben.
• Wenn der Helligkeitsunterschied zweier Pixel hoch ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit hoch das sie auch im
idealen Bild unterschiedlich sind.
3.4.2 Bilateral Filter
Besser geeignet ist hier der Bilateral Filter von Tomasi und Manducci [8]. Nachstehende Formel definiert den Pixel
h(x, y) nach der Rauschunterdrükung. Dabei ist (x, y) die Koordinate des Nachbarschaftszentrums und (µ, ν) deckt die
Umgebung ab.
h(x, y) =
� +∞ � +∞
−∞
−∞
f(x − µ, y − ν) c(x, y, µ, ν) s(f(x, y), f(µ, ν)) dµdν
k(x, y)
3 Als Dunkelstrom wird der Output bezeichnet den ein Sensor zurückliefert, obwohl er gegen äußere Einflüsse abgeschirmt ist, z.B. ein CCD-Chip
bei völliger Dunkelheit.

24 KAPITEL 3. MODALITÄTSABHÄNGIGE BILDVERBESSERUNG
Ferner gilt:
• f(x, y) beschreibt einen Pixel des aufgenommenen, verrauschten Bildes
• c(x, y, µ, ν) misst die geometrische Nähe zwischen den Koordinaten (x, y) und (µ, ν)
• s(f(x, y), f(µ, ν)) misst die photometrische Ähnlichkeit der Pixel f(x, y) und f(µ, ν)
• Die Normalisierungskonstante ist gegeben durch
Nähe und Ähnlichkeit
k(x, y) =
� +∞ � +∞
−∞
−∞
c(x, y, µ, ν) s(f(x, y), f(µ, ν)) dµdν
Ausgehend von den Annahmen aus Abschnitt 3.4.1 benötig man Funktionen um die Nähe und Helligkeit, beziehungsweise
die photometrische Ähnlichkeit zweier Pixel zu berechnen. Dies geschieht mit den oben vorgestellten Funktionen
c (closeness) und s (similarity) wie folgt:
c(x, y, µ, ν) = e −1 �
�(x, ⊤ ⊤ y) − (µ, ν)
2
� ! 2 �
σd
s(f(x, y), f(µ, ν)) = e −1 �
�f(x, y) − f(µ, ν)
2
� ! 2 �
σr
Pixel bis zu einer Distanz von σd und einem Farbunterschied von σr werden miteinander verrechnet. Die Parameter σd
und σr sind somit frei wählbar.
Ergebnis der Rauschunterdrückung
Abbildung 3.7 zeigt am Beispiel einer Bildkante die Anwendung des bilateralen Filters. Ein verrauschter Bildauschnitt
mit einer Kante ist in Abbildung 3.7a zu sehen. Abbildung 3.7b zeigt den selben Ausschnitt nach der Filterung mit
σd = 5 Pixel und σr = 50 Grauwerte.
3.5 Beleuchtungskorrektur
(a) Verrauschtes Bild (b) Bild nach Filterung
Abbildung 3.7: Rauschunterdrückung mit bilateralem Filter (aus [8])
Beleuchtungskorrektur dient dazu Beleuchtungsartefakte wie Glanzlichter, falsch dargestellte Farben, Fehler im optischen
Sensorsystem und ungünstige Lichtverhältnisse auszugleichen um damit die Bildqualität zu verbessern. Das dazu
benutzte Modell und die angewendeten Korrekturmethoden werden in diesem Abschnitt behandelt.
3.5.1 Beleuchtungsmodell
Das zugrunde liegende Beleuchtungsmodell ist linear und somit leicht zu verstehen. Das fehlerhafte Bild g ergibt sich
aus dem idealen Bild f, sowie einem multiplikativen Faktor γ, das Gain-Field, und einer additiven Komponente β, dem
Bias-Field. Daraus ergibt sich folgende Formel:
g(x, y) = f(x, y)γ(x, y) + βx, y

3.5. BELEUCHTUNGSKORREKTUR 25
Ortsabhängige Beleuchtungsfehler
Während das Bias-Field nur eine Helligkeitsverschiebung des Bildes bedingt, hat das Gain-Field zusätzlich Auswirkung
auf den Bildkontrast, wie Abbildung 3.8 am Beispiel eines MR-Bildes zeigt. Im Gain-field (Abbildung 3.8b) wird die
ungleiche Helligkeitsverteilung der MR Aufnahme deutlich. Das verbesserte Bild ist durch guten Kontrast und homogene
Helligkeit gekennzeichnet.
Systemabhängige Beleuchtungsfehler
(a) Original MR Bild (b) Gain-Field (c) Verbessertes Bild
Abbildung 3.8: Gain-Field in Magnetresonanz Bild (aus [25])
Ausser den ortsabhängigen Fehler gibt es noch die systemabhängigen, technischen Fehler, die z.B. durch fehlerhafte
Sensoren ausgelöst werden. Im allgemeinen geht man bei der Korrektur dieser Fehler wie folgt vor. Man nimmt zwei
Referenzbilder auf. Eines zur Ermittlung des Dunkelstroms fb und ein Bild zum Weißabgleich fw. Die Abschäzung des
idealen Bildes ˆ f ergibt sich als:
ˆf(x, y) = C g(x, y) − fb(x, y)
fw(x, y) − fb(x, y)
3.5.2 Retrospektive Beleuchtungskorrektur
mit Konstante C
Bei Endoskopischen Bildern werden Beleuchtungsfehler meist durch die inhomogenen Oberflächen der Organe hervorgerufen
und sind somit nicht systembedingt. Hier müssen andere Korrekturmethoden eingesetzt werden.
Die Retrospective Beleuchtungskorrektur versucht die Beleuchtungskomponenten einzeln abzuschätzen um damit den
Fehler herauszurechnen. Dabei stütz man sich auf die Annahme, das sich die störenden Effekte in einem Frequenzbereich
unterhalb des interessanten Bildteils befinden.
Annähern des Bias-Fields
Man verwendet einen Low Pass Filter (LPF) um die additive Komponente anzunähern. Mit der angenäherten Komponente
ˆ β kann nun wie folgt, eine simple Abschätzung des Bildes ohne Bias-Field durchgeführt werden. Durch die
Normalisierungskonstante C wird der multiplikative Anteil ignoriert, mit C = E{ ˆ β(x, y)}.
Annähern des Gain-Fields
ˆf(x, y) = g(x, y) − ˆ β(x, y) + C wobei ˆ β(x, y) = LPF{g(x, y)}
Um das Gain-Field eines Bildes abzuschätzen, sei das Bias-Field zu vernachlässigen. Durch Anwenden des Logarithmus
kann das Gain-Field wie eine additive Komponente behandelt werden, wie die nachstehende Herleitung zeigt. Man kann
nun das geschätzte Gain-Field ˆγ verwenden um das Bild zu verbessern.
g(x, y) = f(x, y)γ(x, y) =⇒ log{g(x, y)} = log{f(x, y)} + log{γ(x, y)}
=⇒
ˆ f(x, y) = g(x, y)
ˆγ(x, y)
mit ˆγ(x, y) = exp{LPF{log{g(x, y)}}}

26 KAPITEL 3. MODALITÄTSABHÄNGIGE BILDVERBESSERUNG
3.5.3 Farbkorrektur
Beim Durchführen der Beleuchtungskorrektur auf Farbbildern, entsteht das Problem der Farbverschiebung, da Farbbilder
in einen Rot-, einen Grün- und einen Blaukanal (RGB) aufgesplittet sind. Gesucht ist eine Möglichkeit, die Helligkeitsinformation
getrennt von der Farbe zu bearbeiten, der YUV-Farbraum.
YUV-Farbraum
Der YUV-Farbraum wurde entwickelt um das Farbfernsehen mit alten Schwarzweiß-Geräten kompatibel zu machen.
Dazu musste die Gesamthelligkeit getrennt von der Farbinformation gespeichert werden. So enthält der Y-Kanal nur die
Luminanz, die Intensität des Bildes, während die Chrominanz, also die Farben in den Kanälen U und V enthalten sind.
Ein weiterer Vorteil des YUV-Farbraums ist die lineare Konvertierung zum RGB-Farbraum. Die Konvertierung erfolgt
durch nachstehende Matrixmultiplikationen:
⎛
⎝ Y
⎞ ⎛
U⎠
= M ⎝
V
R
⎞
G⎠
und
⎛
⎝
B
R
⎞
G⎠
= M
B
−1
⎛
⎝ Y
⎞
U⎠
mit
⎛
⎞
0.299 0.587 0.114
M = ⎝−0.147 −0.289 0.437⎠
V
0.615 −0.515 0.1
Funktionsweise der Farbkorrektur
Die einzelnen Schritte der Farbkorrektur sind in Abbildung 3.9 schematisch dargestellt. Nachdem das Bild nach YUV
konvertiert wurde, wird ein LPF auf dem Y-Kanal angewendet und der Mittelwert C errechnet. Nach der Subtraktion der
LPF und der Normalisierung wird das verbesserte Bild wieder nach RGB umgewandelt.
Abbildung 3.9: Funktionsweise der Farbkorrektur
Das korrigierte Bild fY UV ergibt sich also aus den Unveränderten gU und gV Kanälen, und dem, wie folgt berechneten
gY Kanals des Ursprungsbildes. Abbildung 3.10 zeigt eine endoskopische Aufnahme vor und nach der beschriebenen
Farbkorrektur.
fY (x, y) = gY (x, y) − LPF{gY (x, y)} + C mit C = mean{LPF{gY (x, y)}}
(a) Original Endoskopische Aufnahme (b) Farbkorrigierte Aufnahme
Abbildung 3.10: Farbkorrektur einer Endoskopischen Aufnahme (aus [25])

Kapitel 4
Rekonstruktion von Schichtbildern
Tomographische Aufnahmen sind in der Medizin nicht mehr wegzudenken. Dieses Kapitel beschreibt die Rekonstruktion
von einzelnen Zeilenbildern zu einem Gesamtbild. Dabei werden mathematische Grundlagen und die wichtigsten
Rekontruktionsverfahren erklärt. Stellvertretend für alle anderen tomographischen Verfahren, soll im Folgenden die
Computertomographie als Beipiel dienen. Einen interessanten Überblick der geschichtlichen Entwicklung von Computertomographen
bietet [14].
4.1 Projektion eines Körpers
Bevor es zur eigentlichen Rekonstruktion geht, zeigt dieser Abschnitt, wie die Daten gewonnen werden, aus denen das
Schnittbild (Slice) rekonstruiert werden soll. Beim CT rotiert das Aufnahmesystem um den Körper und nimmt Zeilenbilder
aus verschiedenen Winkeln auf (vergleiche Abbildung 1.7). Diese Zeilenbilder sind eindimensionale Projektionen
P zu einem Winkel θ.
4.1.1 Projektionsarten
Es gibt zwei unterschiedliche Projektionsarten um an diese Zeilenbilder zu gelangen, die parallele und die gefächerte
Projektion. Der Unterschied wird in Abbildung 4.1 deutlich.
• Bei der parallelen Projektion wird linear über die Länge der Projektion gescannt und danach um einen bestimmten
Winkel gedreht. Dies ermöglicht eine leichte Rekonstruktion ist aber zeitaufwendig.
• Bei der gefächerten Projektion laufen die Röntgenstrahlen von einem Punkt fächerförmig über das Definitionsgebiet.
Dies geht schneller ist aber aufwendiger in der Rekonstruktion.
(a) Parallele Projektion (b) Gefächerte Projektion
Abbildung 4.1: Projektionsarten (aus [19])

28 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION VON SCHICHTBILDERN
4.1.2 Mathematische Darstellung
Verfolgt man einen Röntgenstrahl durch den Körper stellt man fest, dass er an Intensität verliert. Der Körper eines
Menschen besteht aus verschiedenen Gewebearten, die den Strahl unterschiedlich stark absorbieren und schwächen
(siehe Houndsfield-Skala, Abbildung 1.8).
Mathematisch wird dies als Linienintegral beschrieben. Ein Röntgenstrahl S durch einen Körper, ist definiert durch den
Winkel θ und den Abstand ρ zum Ursprung des Definitionsbereiches (siehe Abbildung 4.2a). Entlang des Strahls wirken
die Schwächungskoeffizienten µi mit der jeweiligen Größe si (siehe Abbildung 4.2b). Die Intensität I eines Strahles,
(a) Liniendarstellung (b) Schwächungskoeffizienten
Abbildung 4.2: Linienintegral durch einen Körper (aus [19])
definiert durch θ und ρ, der einen Körper durchquert hat, lässt sich mit dem folgenden Linienintegral beschreiben. Dabei
ist I0 die Anfangsintensität. Diskret versucht man das Linienintegral durch Summierung der Koeffizienten anzunähern.
4.1.3 Radontransformation
I(θ, ρ) = I0e − R µ(x,y)ds =⇒ I(θ, ρ) = I0e − P µisi
Die Radontransformation ermöglicht es, eine beliebige, integrierbare Funktion f(x, y), durch alle geraden Linienintegrale
P(θ, ρ) über das Definitionsgebiet zu beschreiben. Das ist genau was man haben will (vergleiche Abbildung 4.1).
Nach [19] lässt sich aus dem Linienintegral, wie folgt die Radontransformation herleiten.
−∞
⇔
I(θ, ρ) = I0e − R µ(x,y)ds I(θ, ρ)
⇔ = e
I0
− R µ(x,y)ds
I0
I(θ, ρ) = eR µ(x,y)ds
⇔ log( ) =
I(θ, ρ)
I0
� ∞
−∞
µ(x, y)ds
Nach Umwandlung der kartesischen Koordinaten (x, y) in die Polarkordinaten (θ, ρ) erhält man die Radontransformation.
� ∞
ˆg(ρ, θ) = µ(ρ cosθ − s sinθ, ρ sinθ + s cosθ)ds mit
� � �
ρ cosθ
=
s sinθ
� � �
−sinθ x
cosθ y
(4.1)
Eine mehr mathematische und genauere Betrachtung der Radontransformation sowie deren Anwendung in der CT, insbesondere
die Berechnung der Rückprojektion (mehr in Abschnitt 4.2), findet man in [33].
4.2 Rekonstruktion mittels Fourier Slice und Rückprojektion
Um aus den einzelnen Projektionen ein Bild zu rekonstruieren, muss man theoretisch die Inverse zur Radontransformation
bestimmen. Praktisch geschieht dies mit Hilfe des Fourier Slice Theorems (FST) oder der Filtered Backprojection
(FBP), die im Folgenden erklärt werden. Zunächst soll das Prinzip der Rekonstruktion durch Rückprojektion verdeutlicht
werden.

4.2. REKONSTRUKTION MITTELS FOURIER SLICE UND RÜCKPROJEKTION 29
4.2.1 Prinzip der Rückprojektion
Projiziert man die Zeilenbilder entsprechend dem Winkel, in dem sie aufgenommen wurden, über die Bildfläche, so
ergibt sich nach und nach der Querschnitt durch das Objekt. Abbildung 4.3 verdeutlich das Prinzip der Rückprojektion,
indem die einzelnen Rekonstruktionsschritte eines Testbildes gezeigt werden.
4.2.2 Fourier Slice Theorem
(a) Muster (b) 1 Projektion (c) 4 Projektionen
(d) 8 Projektionen (e) 30 Projektionen (f) 60 Projektionen
Abbildung 4.3: Prinzip der Rückprojektion (aus [22])
Das Fourier Slice Theorem macht sich eine mathematische Besonderheit der Radontransformation zu nutze. Wie in
Abschnitt 4.1.3 erklärt, beschreibt die Radonstransformation das Zustande kommen einer Projektion P(θ, ρ) 1 von einem
Bild f(x, y). Im Frequenzraum entspricht diese Projektion genau einer Bildzeile aus dem fouriertransformierten
Eingangsbild.
Mathematischer Zusammenhang
Formell ausgedrückt, besagt das Fourier Slice Theorem: Ein Schnitt im Winkel θ durch das zweidimensionale Fourierspektrum
F(u, v) von f(x, y) ist gleich der eindimensionalen Fouriertransformation Pθ(w) der Projektion pθ(s) [22].
Abbildung 4.4 verdeutlicht diesen Zusammenhang zwischen Radon- und Fouriertransformation.
Abbildung 4.4: Prinzip des Fourier Slice Theorems (aus [4])
1 Im Folgenden wird die Projektion P(θ, ρ) als pθ(s) geschrieben (vgl. Abbildung 4.4).

30 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION VON SCHICHTBILDERN
Anwendung des Theorems
Anstatt eine inverse Radontransformation zu suchen, geht man beim Fourier Slice Theorem den Umweg durch den Frequenzraum,
wie Abbildung 4.5 zeigt. Man sammelt zunächst alle 1D fouriertransformieren Projektionen und fügt sie
entsprechend ihrer Winkel, radial in eine Bildmatrix F(u, v) ein. Die Pixelkoordinaten müssen dabei aus den Polarkoordinaten
interpoliert werden. Mittels inverser 2D-Fouriertransformation, wird im letzten Schritt aus der Bildmatrix das
gesuchte Schichtbild rekonstruiert.
1D
Fourier-
Transformation
4.2.3 Filtered Backprojection
gemessene
Einzelprojektion
sammeln aller
Einzelprojektionen
inverse
Radontransformation
Ortsraum
Frequenzraum
rekonstruiertes
Bild
interpolation in
rechtwinklige
Koordinaten
Inverse 2D
Fourier-
Transformation
Abbildung 4.5: Anwendung des Fourier Slice Theorems (nach [7])
Bei der gefilterten Rückprojektion geht man nach dem oben vorgestellten Prinzip der Rückprojektion (Abschnitt 4.2.1)
vor. Im Gegensatz zum Fourier Slice Theorem, wo erst alle Projektionen vorhanden sein müssen, kann die Rekonstruktion
bei der gefilterten Rückprojektion schon während der Untersuchung, mit dem ersten Zeilenbild beginnen.
Prinzip des Filterns
Da echte Projektionsbilder nie so akkurat sind, wie im Beispiel gezeigt, sind real rekonstruierte Bilder fehlerbehaftet.
Fehler und Artefakte können z.B. durch Sensorrauschen oder durch Bewegungen des Patienten während der Untersuchung
versursacht werden. Durch diese Fehler in der Projektion wird das rekonstruierte Bild undeutlich und verschmiert.
Abbildung 4.6a zeigt, wie sich die Fehler bei der Rückprojektion auswirken. Abhilfe schafft die Filterung der aufgenommenen
Bildzeile vor der Rückprojektion. Hier werden die wesentlichen Bildteile verstärkt und die fehlerhaften Bereiche
ausgefiltert, siehe Abbildung 4.6b.
Angewandte Filter
Die in [25] und [35] vorgestellten Filter sind der Shepp-Logan Filter und der RamLak Filter, welche nachstehend aufgeführt
sind. Bei der Filterung wird rückwärts von einem Pixel auf die Projektion gezielt und der entsprechende Detektorwert
interpoliert. Dabei gilt t ∈ [1..Nt], wobei Nt die Anzahl der Detektorelemente pro Sensorzeile darstellt.
• Shepp-Logan Filter:
g[t] =
−2
π(4t 2 − 1)

4.3. ALGEBRAISCHE REKONSTRUKTION 31
• RamLak Filter:
⎧
⎪⎨
π
4 t = 0
g[t] = 0
⎪⎩ −1
πt
t gerade
2 t ungerade
(a) Ungefilterte Rückprojektion
(b) Gefilterte Rückprojektion
Abbildung 4.6: Gefilterte vs. ungefilterte Rückprojektion (aus [25])
An den rekonstruierten Beispielbildern in Abbildung 4.7, können die Auswirkungen der Filter auf die Rückprojektion
nachvollzogen werden (vgl. [35] Übungsblatt 8). Besonders deutlich ist hier die Verschmierung und Aufhellung im
ungefilterten Bild zu erkennen.
(a) Original (b) Kein Filter (c) Shepp-Logan (d) RamLak
Abbildung 4.7: Angewandte Filter für gefilterte Rückprojektion ( Beispiel aus [35])
4.3 Algebraische Rekonstruktion
Bisher wurde die Rekonstruktion mit Hilfe der inversen Radontransformation beschrieben. Einen anderen Ansatz verfolgt
die algebraische Rekonstruktion oder ART (Algebraische Rekonstruktionstechnik). Hier wird eine Projektion in
Form eines linearen Gleichungssystemes beschrieben. Die Rekonstruktion läuft auf die Lösung dieses Gleichungssystemes
hinaus, wie in diesem Abschnitt gezeigt wird.
4.3.1 Motivation
Bevor es zum LGS und dessen Lösung geht, soll zunächst eine Motivation gegeben werden. Im Folgenden werden dazu
die Vorteile von ART gegenüber den restlichen Rekonstruktionsmethoden aufgeführt, und die zugrunde liegende Idee
der algebraischen Rekonstruktion erläutert.
Vorteile von ART
Das Fourier Slice Theorem und die gefilterte Rückprojektion unterliegen gewissen Einschränkungen. So wird hier immer
um ein und den selben Punkt rotiert und in immer gleichen Winkelabständen ein Bild aufgenommen, bis 180 Grad

32 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION VON SCHICHTBILDERN
abgetastet sind. Bei der algebraischen Rekonstruktion fallen die uniformen Winkel und die 180 Grad Einschränkung
weg, wodurch sie bei Geräten mit begrenzter Beweglichkeit (z.B. C-Bögen) eingesetzt wird. Zudem benötigt man bei
der algebraischen Methode nur eine geringe Anzahl an Projektionen und die Bildqualität ist häufig besser als von FBP
[29].
Grundidee von ART
Um die Grundidee von ART zu verstehen muss man sich verdeutlichen, wie ein Strahl bei Durchquerung des Slices,
das später auf dem CT Bild zu sehen ist, beinflusst wird. Man kann das Slice, wie in Abbildung 4.8, diskret als Pixelraster
darstellen. Ein Strahl Pθ(t) wird demnach durch bestimmte Pixel verändert. Nach [29] liegen der algebraischen
Rekonstruktion folgende Annahmen zugrunde 2 :
• Grauwerte bzw. Dichte der Volumenelemente (Voxel) aus einem Körper sind Variablen.
• Eine Projektion ergibt sich aus Linearkombinationen der unbekannten Voxelwerte (Lineares Gleichungssystem).
• Rekonstruktion durch Lösen des LGS ergibt die gesuchten Voxelwerte.
Abbildung 4.8: Modellierung einer Projektion für algebraische Rekonstruktion (aus [25])
4.3.2 Projektion als lineares Gleichungssystem
Als Ausgangswert für eine Rekonstruktion liegt der, unter dem Winkel θ, an Detektor t aufgenommene Wert Pθ(t) vor.
Dieser ist abhängig von den berührten Pixelwerten f(x, y), die je nach größe der überstrichenen Fläche (siehe area in
Abbildung 4.8) gewichtet werden.
Gleichung der Projektion
Eine Projektion wird bei der algebraischen Rekonstruktion durch die folgende Gleichung beschrieben:
Dabei ist
Pθ(t) =
x�
Nx
y�
wx,y,θ,t f(x, y)
• wx,y,θ,t der Gewichtungsfaktor des Pixel an der Stelle (x, y) für Strahl t unter dem Winkel θ
• x ∈ [0..Nx] mit Nx als die Bildbreite des rekonsturierten Bildes in Pixel
• y ∈ [0..Ny] mit Ny als die Bildhöhe des rekonsturierten Bildes in Pixel
Ny
2 Die angesprochenen Pixelwerte werden hier als 3D Volumenelemente eines Körpers bezeichnet. Für die Problemstellung reicht allerdings eine
diskrete, zweidimensionale Betrachtung eines Pixelrasters aus.

4.3. ALGEBRAISCHE REKONSTRUKTION 33
Aufstellen des LGS
Fasst man die Gesamtheit aller Pixel mit Ns = NxNy zusammmen und alle Projektionen unter einem Winkel als Nt, so
lässt sich diese Formel wie folgt vereinfachen.
Pi =
j�
wij fj mit i ∈ [0..Nt], j ∈ [0..Ns]
Ns
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
⎛
⎜
⎝
P1
P2
.
PNt
⎞
⎛
⎟
⎠ =
⎜
⎝
w11f1 + w12f2 + . . . + w1NsfNs
w21f1 + w22f2 + . . . + w2NsfNs
.
wNt1f1 + wNt2f2 + . . . + wNtNsfNs
Dies wiederum lässt sich zu einer Matrixmultiplikation umschreiben:
⎛
⎜
⎝
P1
P2
.
PNt
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎞⎛
w11 w12 . . . w1Ns
⎜ w21 w22 ⎜ . . . w2Ns
⎟⎜
⎟⎜
⎜
⎝
.
. . ..
⎟⎜
. ⎠⎝
wNt1 wNt2 . . . wNtNs
Es gilt nun die Pixelwerte im Spaltenvektor f zu rekonstruieren indem das LGS gelöst wird.
Lösen des LGS
Das entstandene LGS ist überbestimmt und besitzt zudem eine enorme Größe [29]. Für eine Aufnahme unter einem
Winkel gibt es Ns Unbekannte und Nt Gleichungen. Ein solches Gleichungssystem ist mit den Standartmethoden, wie
z.B. Gauss nicht mehr zu lösen. In der Praxis benötigt man iterative Methoden. Eine Möglichkeit bietet die Kaczmarz
Methode, auf die im Folgenden eingegangen wird.
4.3.3 Kaczmarz Methode
Die 1937 vorgestellte Methode von Kaczmarz dient dazu, eine angenäherte Lösungen für linearen Gleichungssysteme
der Form Au = f mit beliebiger A-Matrix zu finden. In diesem Abschnitt soll vor allem der Grundgedanke verdeutlicht
und die Anwendung für ART gezeigt werden. Eine wesentlich ausführlichere Beschreibung der Methode ist in [16] zu
finden.
Idee
Ein Bildraster mit Ns Pixeln besitzt Ns Freiheitsgrade. Der Vektor mit dem Bildinhalt f = (f1, f2, . . .fNs) ⊤ kann
somit als Punkt im Ns-dimensionalen Raum repräsentiert werden. Dabei gilt:
• Jede Gleichung der Art Pi = � j
Ns wij fj beschreibt eine Hyperebene im Ns-dimensionalen Raum
• Existiert eine Lösung des Gleichungssystems, schneiden sich alle Hyperebenen in einem Punkt f
• Die Koordinaten f1, f2, . . .fNs des Schnittpunktes ensprechen den Pixelwerten des rekonstruierten Bildes
Um den Schnittpunkt zu finden, wählt man einen Startvektor und projiziert diesen nacheinander rechtwinklig auf alle
Hyperebenen. Der Startvektor nähert sich dabei iterativ dem gesuchten Vektor f an.
Besonders effizient funktioniert dies, wenn die Hyperebenen rechtwinklig zueinander stehen, da der Vektor sich dann
schnell approximiert. Sind die Winkel zwischen den Hyperebenen flach, dauert die Annäherung entsprechend länger.
f1
f2
.
fNs
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠

34 KAPITEL 4. REKONSTRUKTION VON SCHICHTBILDERN
Anwendung
Für ein besseres Verständnis soll hier das Beispiel aus [25] (siehe Abbildung 4.9) erklärt werden. Aufgrund der begrenzten
Darstellungsmöglichkeiten, besteht das gesuchte Bild aus nur zwei Pixeln f1 und f2, d.h. es wird ein Punkt in 2D
gesucht. Demzufolge sind die Projektionsgleichungen nicht als Hyperebenen, sondern als Geraden im 2D zu verstehen.
Abbildung 4.9 zeigt das oben genannte Beispiel mit den folgenden vier Projektionsgleichungen, welche als Geraden im
Koordinatensystem 3 eingezeichnet sind:
P1 = w11f1 + w12f2
P2 = w21f1 + w22f2
P3 = w31f1 + w32f2
P4 = w41f1 + w42f2
Die roten Punkte im Bild zeigen die schrittweise Annäherung des Lösungsvektors nach jeder Projektion an den gesuchten
Schnittpunkt. Der Vektor kann zum Beispiel per Zufallswert initialisiert werden.
Abbildung 4.9: Anwendung der Kaczmarz Methode (aus [25])
3 Für jeden gesuchten Pixelwert f1 und f2 steht eine Achse des Koordinatensystems.

Kapitel 5
Bildregistrierung und Fusion
Dieses Kapitel befasst sich abschließend mit dem Problem der Fusionierung von verschiedenen Bildern und der damit
verbundenen Bildregistrierung. Dazu werden verschiedene Registrierungsansätze und Verfahren vorgestellt. Weitere
Verfahren und ausführlichere Erläuterungen findet man in [5] und [12].
5.1 Fusion
Verschiedene bildgebende Verfahren ermöglichen den Ärzten, spezielle und differenzierte Diagnosen zu erstellen. Manchmal
ist es sinnvoll mehrere Quellen für eine bessere Diagnose zu nutzen und zum Beispiel morphologische und funktionelle
Befunde zu vergleichen. Der Nutzen der Bildfusion in der Medizin wird an dem nachfolgend beschriebenen
Beispiel klar.
Fusioniert man ein CT (Abbildung 5.1a) mit einem PET-Scan des selben Bereiches (Abbildung 5.1b), hat man die
Vorteile beider Modalitäten in einem Bild kombiniert (Abbildung 5.1c) und kann die stoffwechselaktiven Bereiche
anhand des morphologischen Befundes identifizieren. Weitere Beispielbilder sind in [28] zu sehen.
(a) CT (b) PET (c) Fusion von PET und CT
Abbildung 5.1: Fusion von CT und PET Bildern (aus [12])
Man unterscheidet zwei Arten von Bildfusion in der Medizin, die unimodale und die multimodale Fusion, welche im
Folgenden genauer erklärt werden.
5.1.1 Unimodale Fusion
Unimodale Fusion bezeichnet die Fusion von zeitlich versetzten Bildern, die mit dem selben bildgebenden Verfahren
aufgenommen wurden, um z.B. den Heilungsverlauf von Knochenbrüchen zu verfolgen oder eine Therapie zu kontrollieren.
Die zeitliche Differenz zwischen den Aufnahmen bedingt, abhängig von ihrer Größe, mehrere Probleme für die
Bildfusion: Abweichungen der Lagerung des Patienten, unterschiedliche Atemposition des Torax, Füllungszustand von
Darm und Blase [28].

36 KAPITEL 5. BILDREGISTRIERUNG UND FUSION
5.1.2 Multimodale Fusion
Es gibt zwei Arten der multimodalen Fusion, also der Fusion zweier Bilder verschiedener Modalität. Die softwaretechnische
Lösung versucht die Aufnahmen aus zwei Geräten mit Methoden der Bildverarbeitung zu fusionieren. Hier hat man
auch das Problem der zeitlichen Differenz. Eine teurere aber wesentlich bessere Methode bietet die hardwaretechnische
Lösung, welche die unterschiedlichen Modalitäten in einem Gerät technisch kombiniert. Hier gibt es keine Probleme
durch zeitliche Differenz, die Bilder stimmen optimal überein und der Patient muss nur einmal untersucht werden.
5.2 Registrierungsverfahren
Im Allgemeinen geht man bei der Fusion von Bildern wie folgt vor: die Bilder werden verglichen (Matching, siehe
Abschnitt 5.3) um Punktkorrespondenzen zu finden. Mit diesen Punkten kann dann eine Registrierung durchgeführt
werden. Unter Registrierung versteht man die Berechnung einer Transformation, die zwei korrespondierende Bildinhalte
in zwei verschiedene Koordinatensysteme abbildet [12].
5.2.1 Transformationsbasierte Registrierung
Bei den beschriebenen Transformationen kann es sich um vollkommen beliebige Verschiebungen, Verzerrungen und
Verlagerungen handeln. Vereinfachend geht man von Transformationsmodellen aus, mit einer endlichen Anzahl an Modellparametern
und Freiheitsgraden. Man unterscheidet die Folgenden:
Translativ: Verschiebung um einen Vektor (2D −→ 2D)
Rigide: (auch Starre Transformation) Translation und Rotation 1 (2D −→ 2D)
Affine: Parallelitätserhaltende 2 Transformation (2D −→ 2D)
Projektive: Veränderung des Blickwinkels (3D −→ 2D)
Vollständig elastische: Verlagerung von Weichteilen benötigt weitere Freiheitsgrade (3D −→ 2D)
Abbildung 5.2 verdeutlicht die, oben aufgeführten Transformationen von links nach rechts. Zusätzlich unterscheidet man
lokale Transformationen, z.B. Verlagerung von einzelnen Bereichen, wie Knochen und Organe, und globale Transformationen,
z.B. Positionsveränderung des Patienten. Bei der globalen Transformation bleiben die Einzelteile zueinander
unverändert.
Abbildung 5.2: Globale Transformationsmodelle für Bildregistrierung
5.2.2 Intensitätsbasierte Registrierung
Neben der transformationsbasierten gibt es noch die intensitätsabhängige Registrierung. Korrekt registrierte Bilder implizieren
die höchste Wahrscheinlichkeit für die Abhängigkeit von abgestimmten Intensitätswerten (Helligkeit der Pixel).
Die Transformation hatT eines Ausgangsbildes f mit dem zu registrierenden Bild g kann zum Beispiel mit der
Ähnlichkeitsfunktion Sum of squared differences (SSD) abgeschätzt werden.
�
ˆT = argminT �fi,j − T {gi,j}� 2
1 Mathematische Darstellungen von rigiden Transformationen insbesondere der Rotationen finden sich in Anhang A.3
2 Parallele Kanten bleiben parallel bei Skalierung, Translation, Rotation, Scherung und Spiegelung (Affine Transformationen).
i,j

5.3. BLOCKMATCHING 37
5.3 Blockmatching
Blockmatching ist ein intensitätsbasiertes Verfahren um einen Bildbereich (Block) in einem anderen Bild, über ein Ähnlichkeitsmaß
zu lokalisieren. Hier wird nicht ein einzelner Punkt verglichen sondern die Bildstruktur innerhalb des
Blockes.
Man verwendet Blockmatching zum Beispiel zur Bewegungsdetektion in Kamerabildern, wie in [1] beschrieben. Die
Koordinatendifferenz zweier korrespondierender Bildblöcke ergibt hier einen Verschiebungsvektor (Disparität). Blockmatching
ist somit auf Transitionen beschränkt, kann also keine Rotation erkennen.
5.3.1 Funktionsweise
Hier soll nur der prinzipielle Ablauf des Algorithmus zum Auffinden korrespondierender Blöcke in zwei Bildern erklärt
werden. Der Blockmatching Algorithmus besteht somit im Wesentlichen aus drei Schritten:
1. Wahl eines Blockes B mit bestimmter Größe in einem Bild f
2. Suche des ähnlichsten Blockes im Referenzbild g
3. Vergleich der Blöcke über ein Ähnlichkeitsmaß
Schritt 2 und 3 werden in einer Schleife über alle Pixel (x, y) ⊤ im Suchbereich 3 von g ausgeführt, so dass man am Ende
für jede Position im Referenzbild einen bestimmten Ähnlichkeitswert erhält, je nachdem welche Ähnlichkeitsfunktion
verwendet wurde. Ein Anwendungsbeispiel ist in Abbildung 5.3 zu sehen.
5.3.2 Blockgröße und Ähnlichkeitsmaße
Die Qualität des Blockmatchings von dem gewählten Ähnlichkeitsmaß ab. Die im Folgenden vorgestellten Ähnlichkeitsfunktionen
sind aus [1] entnommen. Die Indizes i, j beschreiben die jeweilige Position im Block, während x, y die
untersuchte Position im Referenzbild darstellt.
Besonders wichtig für eine Registrierung ist zudem die Wahl einer entsprechenden Blockgröße. Je größer ein Block
ist, umso höher ist die Wahrscheinlichkeit korrespondierende Blöcke zu finden. Andererseits sinkt der Rechenaufwand
proportional zur Blockgröße.
Squared Error (SE)
Normalized cross correlation function (NCCF)
SE(x, y) = �
(f(i, j) − g(x + i, y + j)) 2
i,j∈B
i,j∈B
Absolute Error / Displaced frame difference (DFD)
�
i,j∈B
f(i, j)g(x + i, y + j)
NCCF(x, y) = �
�
f(i, j) 2
�
�
g(x + i, y + j) 2
SE(x, y) = �
i,j∈B
i,j∈B
|f(i, j) − g(x + i, y + j)|
3 Damit der Block nicht über die Bildgrenze von g hinausragt, wird nur ein bestimmter Bildbereich abgesucht, wodurch sich auch der schwarze
Rahmen in Abbildung 5.3b erklärt.

38 KAPITEL 5. BILDREGISTRIERUNG UND FUSION
5.3.3 Anwendungsbeispiel
An einem Beispiel zweier Bildausschnitte aus Abbildung 1.10a lässt sich der Blockmatching Algorithmus leicht erläutern.
Zunächst sei in Abbildung 5.3a ein Bildbereich definiert, den es im Referenzbild 5.3c zu suchen gilt. Die
Ähnlichkeitswerte, visualisiert in Abbildung 5.3b, wurden mittels Squared Error ermittelt. Je heller ein Pixel dieser
Ähnlichkeitskarte ist, umso wahrscheinlicher befindet sich der korrespondierende Block an dieser Stelle (vgl. Position
in Abbildung 5.3c).
(a) Definierter Suchblock (b) Ähnlichkeitswerte (c) Gefundener Referenzblock
5.4 Homographie
Abbildung 5.3: Anwendung des Blockmatchingverfahrens
Will man zwei Bilder fusionieren, die aus unterschiedlichen Blickwinkeln aufgenommen wurden, stören die unterschiedlichen
perspektivischen Verzerrungen. Diese entstehen durch eine Projektion eines 3D Objektes auf eine 2D Bildebene,
wie bei einer Kamera. Das Problem ist also, die entstandenen Verzerrungen wieder herauszurechnen um eine Fusion zu
ermöglichen. Abbildung 5.4 zeigt das Ergebniss einer solchen Rückrechnung.
5.4.1 Projektive Transformation
(a) Verzerrtes Bild (b) Ähnlichkeitswerte
Abbildung 5.4: Anwendung der Homographie
Bei perspektivischen Verzerrungen handelt es sich um projektive Transformationen, die in Abschnitt 5.2.1 bereits vorgestellt
wurden. Die projektive Transformation einer 2D Bildfläche wird auch als Homographie bezeichnet. Im Folgenden
wird die Projektive Transformation und deren Rückrechnung verdeutlicht und genauer erklärt. Einen tieferen theoretischen
und mathematischen Einblick in Homographien gewährt [11].

5.4. HOMOGRAPHIE 39
Rückrechnung projektiver Transformation
Nimmt man perspektivisch verzerrte Bildern aus einem bestimmten Blickwinkel mit einer Kamera auf, so scheinen die
Verzerrungen aufgehoben zu sein. Daraus folgt, das man perspektivisch verzerrte bzw. projektiv transformierte Bilder
durch erneute projektive Transformation entzerren kann. Dieser Effekt wird in Abbildung 5.5 verdeutlicht.
Berechnung der Homographie
Projektive Transformation
Abbildung 5.5: Projektive Transformation
Mathematisch entsteht eine projektive Transformation durch Multiplikation aller Bildpunkte, bzw. deren Koordinaten
mit einer Homographiematrix H. Zwischen einem idealen Bildpunkt p und einem verzerrten Punkt p ′ ergibt sich das
folgende Verhältnis.
p ′ = Hp ⇐⇒ p = H −1 p ′
Das Problem ist somit begrenzt auf die berechnung der korrekten Homographiematrix. Bei einer 3D-2D Projektion ist die
Matrix mit PTotal gegeben (siehe Abschnitt 2.1) und enthält Rotation, Translation, Projektionsmatrix und intrinsischen
Kameraparametern. Im Folgenden soll deshalb nur die 2D-2D Transformation betrachtet werden.
5.4.2 Herleitung der Homographiematrix
Einfacher kann eine 2D Homographiematrix über Punktkorrespondenzen hergeleitet werden. Man wähle vier verzerrte
Punkte (siehe Abb. 5.4a) und deren gewünschte, ideale Positionen (siehe Abb. 5.4b) als korrespondierende Punkte aus.
Dann gilt für jedes Punktepaar:
p ′ = Hp mit H ∈ R 3×3
und p ′ , p ∈ P 2
In Worten: H ist eine 3 × 3 Matrix die den P 2 auf den P 2 abbildet und einen Pixel p an eine andere Position p ′
transformiert.
Aufstellen des Gleichungssystemes
Aus dieser Gleichung lässt sich das Gleichungssystem wie folgt aufstellen. Da die Punkte jeweils eine homogene Koordinate
besitzen, gilt p = (x, y, 1) ⊤ und p ′ = (x ′ , y ′ , k ′ ) ⊤ . Einsetzen und ausmultiplizieren liefert dann:
⎛
⎝ x′
y ′
k ′
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ h11
⎞ ⎛
h12 h13
h21 h22 h23⎠
⎝
h31 h32 h33
x
⎞ ⎛
y⎠
= ⎝
1
h11x
⎞
+ h12y + h13
h21x + h22y + h23⎠
h31x + h32y + h33
Da p ′ noch ein 3D Vektor ist, muss er noch mit der homogenen Koordinate normalisiert, also durch k ′ geteilt werden.
Demnach ergibt sich für x ′ und y ′ :
x ′ = h11x + h12y + h13
k ′
y ′ = h21x + h22y + h23
k ′
⇒ h11x + h12y + h13 − x ′ k ′ = 0
⇒ h21x + h22y + h23 − y ′ k ′ = 0

40 KAPITEL 5. BILDREGISTRIERUNG UND FUSION
Durch Einsetzen von k ′ = h31x + h32y + h33 ergeben sich für eine Punktkorrespondenz folgende Gleichungen:
h11x + h12y + h13 − x ′ (h31x + h32y + h33) = h11x + h12y + h13 − h31x ′ x + h32x ′ y + h33x ′ = 0
h21x + h22y + h23 − y ′ (h31x + h32y + h33) = h21x + h22y + h23 − h31y ′ x + h32y ′ y + h33y ′ = 0
Nullraumproblem
Dies lässt sich durch Umformung als einfache Matrixmultiplikation zwischen einer Punktematrix und der, zu einem
Spaltenvektor umgeformten Homographiematrix darstellen.
⎛ ⎞
h11
�
′ ′ ′
x y 1 0 0 0 −x x −x y −x
0 0 0 x y 1 −y ′ x −y ′ y −y ′
� ⎜h12⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ = 0
⎝ . ⎠
Die Lösung eines Gleichungssystemes der Art Ah = 0 wird über den Nullraum 4 von A, also h = null(A) berechnet.
Dabei hat A bei n Punktepaaren die Dimension 2n × 9. Um das Gleichungsystem zu lösen muss A zusätzlich den
Rang 8 haben, d.h. die Matrix muss aus 8 linear unabhängigen Vektoren bestehen. Um das zu gewährleisten dürfen die
gewählten Punkte nicht kolinear sein.
5.4.3 Mapping
Das Transformieren von Bildpunkten mittels einer Homographiematrix wird als Mapping bezeichnet. Dabei wird einem
Bildpunkt aus einem Bild f ′ im Bild f eine neue Position zugewiesen. Es gibt verschiedene Vorgehensweisen beim
Mapping (siehe Abbildung 5.6), die im Folgenden vorgestellt werden.
Forward mapping
Beim Forward mapping wird in einer Schleife über alle Pixel p ′ des Ursprungbildes f ′ gegangen und der Farbwert an
der transformierten Stelle im neuen Bild f gespeichert, wie nachstehende Formel verdeutlicht.
∀p ′ ∈ f ′ : f(H −1 p ′ ) = f ′ (p ′ )
Da der transformierte Punkt keine ganzzaligen Werte aufweist und somit selten im Pixelraster liegt, muss er gerundet
werden, was aber zu Artefakten führt, da nicht jeder Pixel aus f bearbeitet wird. Die entstehenden Artefakte sind in
Abbildung 5.6a gezeigt. Eine bessere Alternative ist das Backward mapping.
Backward mapping
Um Artefakte zu vermeiden, geht man beim Backward mapping umgekehrt vor. In einer Schleife über alle Pixel p aus
dem neuen Bild f, wird der zugehörige Wert aus f ′ ermittelt. Obwohl der transformierte Punkt hier auch gerundet
werden muss, entstehen diese Artefakte nicht, da in f ′ alle notwendigen Informationen vorhanden sind.
∀p ∈ f : f(p) = f ′ (Hp)
Abbildung 5.6b zeigt das Ergebnis des Backward mapping mit gerundeten Pixeln. Nur die Bildkanten weisen noch
Unstetigkeiten auf.
Backward mapping mit bilinearer Interpolation
Noch bessere Ergebnisse liefert Backward mapping, wenn die Farbwerte mit der, in Abschnitt 3.2.2 vorgestellten, bilinearen
Interpolation errechnet werden. Falls der gesuchte Pixel nicht im Raster liegt, wird der Farbwert aus den umliegenden
Pixeln interpoliert. Das Ergebnis ist in Abbildung 5.6c zu sehen.
4 Die Berechnung des Nullraum mittels SVD, wird in Anhang A.5.3 genauer beschrieben.
h33

5.4. HOMOGRAPHIE 41
(a) Forward mapping
(b) Backward mapping
(c) Bilineare Interpolation
Abbildung 5.6: Ergebnisse unterschiedlicher Mapping Verfahren

42 KAPITEL 5. BILDREGISTRIERUNG UND FUSION

Anhang A
Mathematische Grundlagen
Der Vollständigkeit halber, werden in diesem Anhang kurz die mathematischen Grundlagen zur Vorlesung wiederholt.
Da dies nur als kurzes Resumee zum Nachschlagen gedacht ist, empfiehlt es sich, insbesondere das Thema der linearen
Algebra z.B. mit [3] selbst aufzuarbeiten. In [1] ist eine ausführliche Wiederholung des mathematischen Stoffes
der Vorlesung SAB 1 zu finden. Des Weiteren sind in den folgenden Unterabschnitten entsprechende Literaturverweise
untergebracht.
A.1 Vektoren
In diesem Abschnitt werden Berechnungen mit Vektoren, insbesondere das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt wiederholt.
Punkte in beliebig dimensionalen Räumen werden als Vektoren betrachtet. Als Ursprung des Vektors dient der
Ursprung des entsprechenden Koordinatensystemes. Ein Punkt p im N-dimensionalen Raum wird als Spaltenvektor,
also als Tupel mit N Elementen geschrieben 2 :
A.1.1 Skalar- und Kreuzprodukt
p = (p1, p2, . . .pN) ⊤ mit p ∈ R
Das Skalarprodukt zweier 3D Vektoren u und v liefert eine reelle Zahl r, wobei immer r = 0 gilt, falls die Vektoren
orthogonal zueinander sind. Es ist definiert als:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
r = u · v =
⎝ u1
u2
u3
⎠ ·
⎝ v1
v2
v3
⎠ = u1v1 + u2v2 + u3v3
Das Kreuzprodukt zweier 3D Vektoren u und v liefert wiederum einen 3D Vektor w, der Senkrecht zu der von u und v
ausgespannten Fläche steht. Es ist definiert als:
⎛
w = u × v = ⎝ u1
⎞ ⎛
⎠ × ⎝ v1
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ u2v3
⎞
− u3v2
⎠
u2
u3
v2
v3
u3v1 − u1v3
u1v2 − u2v1
Es ist nicht kommutativ! Vielmehr gilt u × v = −(v × u). Alternativ kann das Kreuzprodukt wie folgt, auch als
Matrixmultiplikation geschrieben werden:
w = u × v = u[v]× mit
⎛
[v]× = ⎝ 0 −v3
−v3 0
⎞
v2
−v1⎠
−v2 v1 0
1 Die mathematischen Grundlagen zu Struktur aus Bewegung (SAB) und Medizinische Bildverarbeitung sind im großen und ganzen die selben.
2 Da in der Bildverarbeitung nur 2D Flächen relevant sind, wird im Folgenden nur auf homogene Koordinaten mit 3 Elementen eingegangen (siehe
Anhang A.2).

44 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.2 Winkel zwischen Vektoren
Der Winkel θ zwischen zwei Vektoren u und v aus dem R 3 steht wie folgt, in Relation zum Skalar- und Kreuzprodukt:
�u × v� = �u��v�sinθ und u · v = �u��v�cosθ
Für das Kreuzprodukt und das Skalarprodukt sowie für orthogonale Vektoren gilt ferner:
A.2 Projektive Geometrie in 2D
u ⊥ w ∧ v ⊥ w ⇐⇒ u · w = v · w = 0 ⇐⇒ w = u × v
Dieser Abschnitt wiederholt die Grundlagen zur Projektiven Geometrie welche für die Bildverarbeitung relevant sind.
Da mit Punkten und Linien in Bildern operiert wird, soll sich hier auf 2 Dimensionen beschränkt werden.
A.2.1 Punkte und Linien in 2D
Ein 2D Punkt p = (x, y) ⊤ aus R 2 wird repräsentiert durch eine homogene Koordinate ˜p = (wx, wy, w) ⊤ im projektiven
Raum P 3 . Dabei ist w eine beliebige Konstante ungleich Null. Ein karthesischer Punkt aus R 2 kann somit durch
hinzufügen eines dritten Elementes z = 0 zu einem idealen Punkt erweitert werden.
Umgekehrt kann eine homogene Koordinate ˜p ∈ P 3 zu einem karthesischen Punkt q ∈ R 2 umgewandelt werden, indem
durch das dritte Element geteilt wird. Dies funktioniert allerdings nicht mit sogenannten idealen Punkten, da diese im
Unendlichen liegen!
˜p = (p1, p2, p3) ⊤ =⇒ q =
� �
p1 p2
⊤
p3
, p3
Eine Linie in 2D wird durch die Gleichung ax+by+c = 0 dargestellt, wobei sie durch die Parameter a, b und c definiert
wird. Sie kann als 3D Zeilenvektor l = (a, b, c) geschrieben werden. Für Linien im projektiven Raum gelten folgende
Regeln:
• Ein Punkt ˜p liegt auf der Linie l genau dann, wenn gilt l˜p = l ⊤ · ˜p = 0
• Ein Punkt ˜p bildet den Schnittpunkt zweier Linien l1 und l2 genau dann, wenn gilt l1˜p = l2˜p = 0
• Der Schnittpunkt ˜p zweier Linien l1 und l2 ist definiert durch ˜p = l ⊤ 1 × l⊤ 2
• Zwei Punkte ˜p und ˜q definieren eine Linie l mit l = (˜p × ˜q) ⊤
• Die Distanz eines Punktes ˜p senkrecht zu einer Linie l ist gegeben durch d(˜p, l) =
A.2.2 Dualitätsprinzip
l˜p
w � a 2 + b 2
In der projektiven Ebene gilt das so genannte Dualitätsprinzip. Es besagt, das jedes Theorem oder Axiom gültig bleibt,
wenn man das Wort Linie durch Punkt und umgekehrt ersetzt. Beispielsweise gilt „ Zwei Punkte definieren eine Linie“
ebenso wie „ Zwei Linien definieren einen Punkt“ (vgl. Formeln in Abschnitt A.2.1).
Zwei Linien definieren einen Punkt indem sie sich schneiden. Eine Ausnahme sind parallele Linien im euklidischen
Raum. Im projektiven Raum allerdings, liegt der Schnittpunkt zweier Parallelen im Unendlichen.
A.3 Rigide Transformationen in 3D
Allgemein lassen sich starre Transformationen durch eine Matrixmultiplikation ˜p = H˜q im P 4 darstellen, wobei ein
Punkt ˜q ∈ R 4 auf einen Punkt ˜p ∈ R 4 abgebildet wird. Dabei ist in der Matrix H ∈ R 4×4 eine Rotationsmatrix und ein
Translationsvektor enthalten.
H =
�
R
�
t
0 0 0 1
wobei R ∈ R 3×3 , t ∈ R 3×1

A.3. RIGIDE TRANSFORMATIONEN IN 3D 45
A.3.1 Allgemeine Translation und Rotation
Eine Translation verschiebt einen Punkt p um einen Translationsvektor t. Dies lässt sich als Vektoraddition p ′ = p+t im
R 3 schreiben, wobei gilt t = (t1, t2, t3) ⊤ . Im P 4 lässt sich dies, wie oben gezeigt, als Matrixmultiplikation schreiben,
indem die Rotationsmatrix durch die Identitätsmatrix I3 ersetzt wird.
p ′ = Hp mit
�
H =
0
I3
0
⎛
� 1
t ⎜
= ⎜0
0 1 ⎝0
0 0
1 0
0 1
⎞
t1
t2 ⎟
t3⎠
0 0 0 1
Es gibt verschiedene Arten um Rotationen im dreidimensionalen Raum zu repräsentieren, auf die im Folgenden eingegangen
wird. Man kann um die drei Achsen des Koordinatensystemes rotieren, genannt Euler/Winkel Repräsentation
(siehe Abschnitt A.3.2) oder um eine beliebige Achse, genannt Achse/Winkel Repräsentation (siehe Abschnitt A.3.2).
Ferner kann man Rotationen mittels Quaternionen beschreiben, wie in Abschnitt A.4.2 beschrieben.
Bei den beiden ersten Repräsentationen wird die Rotationsmatrix jeweils anders gebildet. Dennoch zeichnen sich alle
Rotationsmatrizen R durch die folgenden Eigenschaften aus:
• Sie bestehen aus orthonormalen Spaltenvektoren und haben somit den Rang 3, d.h. sie sind invertierbar.
• Die Transponierte multipliziert mit der Rotationsmatrix ergibt die Identitätsmatrix R ⊤ R = RR ⊤ = I3.
• Die inverse ist gleich der transponierten Rotationsmatrix R −1 = R ⊤ .
• Der Eigenvektor entspricht der Rotationsachse und die Determinante ist immer 1.
A.3.2 Rotation nach Euler
Bei der Euler/Winkel Repräsentation wird eine Rotation um eine beliebige Achse um dem Winkel α, durch drei Rotationen
um die Achsen des Koordinatensystemes mit den entsprechenden Winkeln αx, αy und αz dargestellt. Die
Rotationsmatrix ergibt sich als Produkt der x,y und z-Rotationsmatrizen:
⎛
1
R = RxRyRz = ⎝0 0
cos αx
⎞ ⎛
0
−sin αx⎠
⎝
0 sin αx cos αx
cos αx
0
0
1
⎞⎛
−sin αx
0 ⎠⎝
sin αx 0 cos αx
cos αx
sin αx
−sin αx
cos αx
⎞
0
0⎠
0 0 1
Wichtig ist hier die Einhaltung der Reihenfolge beim Multiplizieren, da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist
und unterschiedliche Ergebnisse die Folge sind.
Eine Besonderheit ist der Gimbal Lock, der nur in dieser Repräsentation auftreten kann. So kann es vorkommen das nach
einer Drehung zwei Raumachsen aufeinander liegen (z.B Drehung um 90 ◦ um die y-Achse ⇒ x- und z-Achse liegen
aufeinander). Eine Nachfolgende Rotation um eine dieser Achsen ist dann nicht mehr eindeutig.
A.3.3 Rotation nach Rodrigues
Eine Lösung für das Gimbal Lock Problem bietet die Achse/Winkel Repräsentation. Statt um die Raumachsen zu rotieren,
wird hier um einen beliebigen Vektor als Achse gedreht. Mit der Rodrigues-Formel lässt sich die Rotationsmatrix
aus der Rotationsachse u, dargestellt als normierter Spaltenvektor, und dem Winkel θ berechnen.
R = uu ⊤ + (I3 − uu ⊤ )cosθ + [u]×sinθ mit u = (u1, u2, u3) ⊤ , �u� = 1
Abbildung A.1 verdeutlicht die Anwendung der Rodrigues-Formel. Hier wird ein Punkt v durch eine Rotation (Winkel
θ um Achse u) auf Punkt v ′ abgebildet.

46 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.4 Quaternionen
Abbildung A.1: Anwendung der Rodrigues-Formel (siehe [25])
Quaternionen können als Erweiterung von komplexen Zahlen angesehen werden. Neben der imaginären Zahl i gibt es
bei den Quaternionen noch die imaginären Zahlen j und k. Für i, j und k gilt:
ii = −1, jj = −1, kk = −1 und ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j
Ein Quaternion r ist eine lineare Kombination r = w + xi + yj + zk mit realen Zahlen w, x, y und z. Eine andere
Notation ist r = (w, v) mit v = (x, y, z). Ähnlich zu den komplexen Zahlen gilt:
• Das konjugierte Quaternion ergibt sich mit r = w − xi − yj − zk
• Der Betrag eines Quaternions berechnet sich mit �r� = √ r ∗ r = � w 2 + x 2 + y 2 + z 2
• Ein Quaternion mit Länge �r� = 1 wird als Einheitsquaternion bezeichnet
• Für Einheitsquaternionen ist die Konjugierte gleich dem inversen Quaternion �r� = 1 ⇒ r = r −1
A.4.1 Multiplikation von Quaternionen
Die Multiplikation zweier Quaternionen r1 = (w1, v1) und r2 = (w2, v2) mit den Zeilenvektoren v1 = (x1, y1, z1) und
v2 = (x2, y2, z2) ist definiert als:
r1 ∗ r2 = (w1w2 + v1v ⊤ 2 , w1v2 + w2v1 + v1 × v2)
Sie ist assoziativ aber nicht kommutativ. Das Kreuzprodukt zweier Zeilenvektoren ist beschrieben mit v1 × v2 = (v ⊤ 1 ×
v ⊤ 2 ) ⊤ . Damit gilt:
r1 ∗ r2 = (w1w2 + (x1, y1, z1)(x2, y2, z2) ⊤ , w1(x2, y2, z2) + w2(x1, y1, z1) + (x1, y1, z1) × (x2, y2, z2))
⎛
⎛ ⎞
⎛⎛
⎞ ⎛ ⎞⎞
= ⎝w1w2 + (x1, y1, z1)
⎝ x2
y2
z2
⎠ , w1(x2, y2, z2) + w2(x1, y1, z1) + ⎝
Ferner kann das Produkt von Quaternionen als Matrixmultiplikation r1 ∗r2 = r1[r2]∗ geschrieben werden. Ausgeschrieben
erhält man für die Multiplikationsmatrix [r2]∗:
⎛
⎜
[r2]∗ = ⎜
⎝
w2 x2 y2 z2
−x2 w2 −z2 y2
−y2 z2 w2 −x2
−z2 −y2 x2 w2
⎞
⎟
⎠
⎝ x1
y1
z1
⎠ ×
⎝ x2
y2
z2
⎠⎠
⊤ ⎞
⎠

A.5. SINGULÄRWERTZERLEGUNG 47
A.4.2 Rotation mit Quaternionen
Quaternionen bieten eine elegante Methode zur Berechnung von Rotationen im dreidimensionalen Raum, wie folgendes
Beispiel zeigt. Sei p ∈ R 3 der zu rotierende Punkt, u ∈ R 3 die Rotationsachse als Vektor mit �u� = 1, und θ ∈ R der
Drehwinkel. Dann lassen sich die Quaternionen p ′ und r wie folgt definieren:
p ′ = (0, p ⊤ ) r = (cos θ
, sinθ
2 2 u⊤ )
Damit lässt sich das Quaternion p ′ rot , welches den rotierten Punkt als Zeilenvektor enthält, berechnen:
p ′ rot
= r ∗ p ∗ r = r[p]∗[r]∗
Es lassen sich beliebig viele Rotationen r1 . . . rn nacheinander ausführen, indem man sie, wie nachstehend zusammenfasst
und wie oben gezeigt, auf einen Punkt anwendet.
A.5 Singulärwertzerlegung
r = r1 ∗ r2 ∗ · · · ∗ rn mit ri = (cos θi
, sinθi
2 2 u⊤i ), i ∈ {1 . . .n}
Die meisten Problemstellungen in der linearen Algebra können, wenn auch nicht immer optimal, mit der Singulärwertzerlegung
3 gelöst werden. Dieser Abschnitt beschreibt, wie mit der SVD der Rang und der Nullraum einer Matrix
bestimmt, sowie lineare Gleichungssysteme gelöst werden können (siehe [20]). Einen tieferen Einblick bieten [25] und
insbesondere [34]. Letzteres beschreibt ausserdem den Unterschied zwischen reduzierter und vollständiger SVD.
A.5.1 Definition der SVD
Jede Matrix A ∈ R m×n mit beliebigen m und n lässt sich in das Produkt A = UDV ⊤ zerlegen, wobei U ∈ R m×m ,
V ∈ R n×n und D ∈ R m×n gilt. Ausgeschrieben sind die Matrizen U, D und V des Produktes, wie folgt aufgebaut:
A = UDV ⊤ = � u1 u2 · · ·
⎛
σ1
� ⎜ 0
um ⎜ .
⎝ .
0
σ2
· · ·
· · ·
. ..
⎞ ⎛
0 v
0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜
. ⎟ ⎜
. ⎠ ⎝
0 0 · · · σp
⊤ 1
v⊤ ⎞
⎟
2 ⎟
. ⎠
• Die Spalten ui aus der Matrix U sind die Eigenvektoren von AA ⊤ , daraus folgt U ⊤ U = Ip (siehe [25]).
• Die Diagonalmatrix D enthält die Singulärwerte σ1, σ2, . . . σp von A mit p = min(m, n). Für die Singulärwerte
gilt σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σp ≥ 0.
• Die Spalten vi aus der Matrix V sind die Eigenvektoren von A ⊤ A, daraus folgt V ⊤ V = Ip (siehe [25]).
A.5.2 Rang einer Matrix erzwingen
Der Rang einer Matrix, also die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Matrix, ist gleich der Anzahl der von
Null verschiedenen Singulärwerte:
Rang(A) = ♯{σi > 0}
Um einen kleineren Rang als den tatsächlichen zu erzwingen, muss man nach der SVD die Diagonalmatrix anpassen,
indem man solange alle Singulärwerte (beginnend beim kleinsten) auf Null setzt, bis der gewünschte Rang erreicht ist.
Die Ergebnissmatrix A ′ = UD ′ V ⊤ mit der angepassten Matrix D ′ hat dann den gewünschten Rang.
3 Engl.: Singular Value Decomposition (SVD)
v ⊤ n

48 ANHANG A. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.5.3 Nullraum einer Matrix bestimmen
Der Nullraum einer Matrix wird beispielsweise verwendet um ein LGS der Form Ah = 0 zu lösen. Er kann aus der
V -Matrix der Singulärwertzerlegung konstruiert werden. Die Spaltenvektoren von V , deren zugehöriger Singulärwert
gleich Null ist, spannen den Nullraum von A auf, wie das nachstehende Beispiel verdeutlicht:
⎛
⎞
Sei A = U
⎜
⎝
σ1 0 0 0
0 σ2 0 0
0 0 σ3 0
0 0 0 σ4
⎟
⎠ V ⊤ mit σ1 > σ2 = σ3 = σ4 = 0 dann ist nullraum(A) = � �
v2 v3 v4
In der Praxis wird man Singulärwerte unter einem gewissen Schwellenwertes ε verwenden, da Singulärwerte nur im
Idealfall gleich Null sind.
A.5.4 Lösung von überbestimmten Gleichungssystemen
Ein überbestimmtes Gleichungssystem der Form Ax = a zu lösen benötigt man die Pseudoinverse A + der Matrix A.
Der Lösungsvektor x ergibt sich mit x = A + a. Diese Methode liefert die Lösung mit minimalem quadratischen Fehler.
Man kann die SVD benutzen um die Pseudoinverse einer Matrix zu berechnen. Dazu ersetzt man in der Diagonalmatrix
D alle Singulärwerte ungleich Null durch ihren Kehrwert und setzt die neue Diagonalmatrix D ′−1 in die SVD ein. Ist
A = UDV ⊤ , dann ist die Pseudoinverse wie folgt zu berechnen:
A + = V D ′−1 U ⊤ mit D ′−1 ⎛
σ
⎜
= ⎜
⎝
′ 1 0 · · · 0
0 σ ′ 2 · · · 0
.
. .. .
0 0 · · · σ ′ ⎞
⎟
⎠
p
und σ′ �
0 falls σi = 0
i = 1
σi
falls σi �= 0

Anhang B
Physikalische Grundlagen
Zuletzt zeigt dieses Kapitel einige physikalische Details und Grundlagen, der im Vorfeld beschriebenen, medizinischen
Verfahren, die für ein fundiertes Verständnis der Materie wichtig sind. Weiterführende und detailiertere Informationen
hinsichtlich der Bildgebung und der Technik sind im zweiten Kapitel von [18] zu finden. Eine umfassende physikalische
Betrachtung liefert hingegen Teil A aus [27].
B.1 Bohrsches Atommodell
Das 1913 von Niels Bohr entwickelte Atommodell dient der Beschreibung von physikalischen Vorgängen auf atomarer
Ebene. Es gibt mittlerweile genauere und angepasste Modelle, wie das Orbitalmodell, doch für eine grundlegende
Betrachtung genügt das im Folgenden dargestellte Konzept. Eine historische Betrachtung über die Entdeckungen und
Entwicklungen des Atommodells, angefangen bei Dalton bis hin zu Schrödinger, liefert [2].
B.1.1 Aufbau und Struktur eines Atoms
Das Bohrsche Atommodell beinhaltet einen aus Protonen und Neutronen zusammengesetzten Atomkern und einer aus
7 Elektronenschalen bestehenden Atomhülle. Dabei besitzen Protonen positive, und Elektronen negative Ladung. Neutronen
sind Ladungsneutral. Jede Schale n entspricht einem bestimmten Energieniveau und kann bis zu 2n 2 Elektronen
aufnehmen.
Abbildung B.1 veranschaulicht das Bohrsche Atommodell am Beispiel des Wolfram-Atoms. Wie zu sehen, steigen die
in Elektronenvolt (eV) angegebenen Energieniveaus der Schalen, in Kernnähe deutlich an.
Abbildung B.1: Bohrsches Atommodell am Beispiel eines Wolfram-Atoms (aus [18])

50 ANHANG B. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
Dazu sagen die Bohrschen Postulate folgendes aus:
1. Elektronen können den Atomkern nur auf bestimmten Bahnen (Schalen) strahlungslos umlaufen.
2. Der Übergang von einer kernferneren zu einer kernnäheren Bahn erfolgt sprunghaft und unter Abgabe eines Strahlungsquants.
Das abgegebene Strahlungsquant besitzt dabei die Differenzenergie der beiden beschriebenen Schalen. Ebenso ist diese
Energie nötig um ein Elektron in eine höhere Bahn zu heben.
B.1.2 Atomarten
Es gibt mehrere verschiedene Arten von Atomen, die im folgenden kurz erläutert werden sollen:
Ionen: Als Ionen bezeichnet man elektrich geladene Teilchen, denen ein Elektron in der Hülle fehlt. Das Entfernen des
Elektrons wird daher als Ionisation, und die dafür benötigte Energie als Ionisationsenergie bezeichnet.
Nuklide: Atome mit der gleichen Anzahl an Neutronen wie Protonen, nennt man Nuklide. Sie entstehen bei Kernumwandlungen
und werden in der Nuklearmedizin eingesetzt. Langlebige Nuklide bezeichnet man als Metastabil.
Isotope: Als Isotope werden Atome mit gleicher Ordnungszahl 1 aber unterschiedlicher Massenzahl benannt. Ändert
sich das Verhältnis der Anzahl von Protonen und Neutronen kann das Isotop instabil werden und unter Strahlung
zerfallen. Man nennt es dann Radioisotop.
B.2 Röntgenstrahlung
Der natürliche Zerfall von instabilen Kernen unter Strahlungsabgabe wird als radioaktiver Zerfall bezeichnet. Dabei
entstehen α-, β- und γ-Strahlung. Anders als α- und β-Strahlung gehören Röntgen- und γ-Strahlung zu den elektromagnetischen
Wellen, wie Abbildung B.2 zeigt.
B.2.1 Bremsstrahlung
Die Entstehung der Röntgenstrahlung ist durch das Prinzip der Bremsstrahlung zu erklären. Schnelle Elektronen werden
bei der Durchquerung einer Atomhülle durch die Anziehungskraft des Kerns gebremst und abgelenkt. Durch dieses
Abbremsen verliert das Elektron einen bestimmten Betrag an kinetischer Energie, der als Röntgenstrahlung abgegeben
wird. Je näher sich das Elektron am Kern befindet, desto höher ist die Energie der resultierenden Röntgenstrahlung (vgl.
mit Energieniveaus aus Abb. B.1).
B.2.2 Wechselwirkung mit Materie
Im folgenden sollen die Effekte beschrieben werden, die auftreten können wenn Röntgenstrahlung auf Materie auftrifft.
Abbildung B.3 verdeutlicht die beschriebenen Effekte im einzelnen. Der Einfachheit halber, wird nur ein Röntgenquant
das auf ein Atom trifft, betrachtet.
Angeregter Zustand: Durch Energiezugabe des Röntgenquants wird ein Elektron auf eine höhere Schale gehoben,
sprich angeregt.
Photoabsorbtion: Die Energiezugabe durch das Röntgenquant bewirkt das Herausschlagen eines Elektrones aus der
Hülle (auch als Photoeffekt bekannt).
Klassische Streuung: Das Röntgenquant wird beim Auftreffen abgelenkt und hat keinen Einfluss auf das Atom oder
die Elektronen.
Compton-Effekt: Klassische Streueung mit Energieabgabe. Hier bewirkt die Röntgenenergie ein herausgeschlagenes
Elektron. Das Röntgenquant besitzt aber noch genug Energie und wird gleichzeitig abgelenkt.
Paarbildung: Durch Wechselwirkung mit dem Atomkern wird ein Elektronen / Positronen 2 Paar gebildet
1 Die Ordnungszahl eines Elementes entspricht der Anzahl der Protonen im Kern.
2 Teilchen mit Elektronenmasse und positiver Ladung werden als Positronen bezeichnet.

B.2. RÖNTGENSTRAHLUNG 51
Abbildung B.2: Frequenzen und Wellenlängen des elektromagnetischen Spektrums (aus [18])
Abbildung B.3: Wechselwirkung von Röntgenstrahlen mit Materie (aus [18])

52 ANHANG B. PHYSIKALISCHE GRUNDLAGEN
B.3 Kernspin
Nach der ersten Maxwellschen Gleichung, erzeugt jedes sich zeitlich ändernde elektrisches Feld ein magnetisches Wirbelfeld
(Durchflutungsgesetz). Demnach erzeugen Protonen aufgrund ihrer Eigendrehung (Spin) und ihrer positiven
Ladung ebenfalls ein magnetisches Feld. Dies ist die Grundlage für weitere Ausführungen.
B.3.1 Präzession eines Atomkerns
Als Präzession wird in der Physik die resultierende Drehbewegung eines rotierenden Körpers aufgrund äusserer Krafteinwirkung
bezeichnet. Bei rotierenden Kernen richtet sich die Spinachse parallel zu einem äusseren Magnetfeld B aus.
Diese Bewegung entspricht der Präzessionsbewegung eines Kreisels im Gravitationsfeld der Erde, wie Abbildung B.4
veranschaulicht.
B.3.2 Relaxation und FID
Abbildung B.4: Präzessionsbewegung eines Kerns und eines Kreisels (aus [18])
Wirken hochfrequente Felder (HF) auf präzedierende Kerne, so kann das oben beschriebene, durch die Kerne erzeugte
Magnetfeld um beliebige Winkel abgelenkt werden. Wird das HF abgeschaltet richten sich die Spinachsen wieder nach
dem angelegten Magnetfeld B aus. Dieser Vorgang wird als Relaxation bezeichnet.
Während der Relaxation geben die Kerne Energie in Form eines Resonanzsignals ab, genannt freier Induktionsabfall
(FID 3 ). Die Intensität des FID stellt bei konstanter Feldstärke von B ein Maß für die Konzentration, also für die Dichte
der präzedierenden Kerne dar. Dies bilded die Grundlage für Bildgebung mittels Kernspintomographie
3 Engl. free induction decay (FID)

Anhang C
Prüfungsprotokoll MedBV
Prüfungsdatum: 7.11.2007
Prüfer: Prof. Paulus
Beisitzer: Peter Decker
Prüfling: Dennis Holzhäuser
eMail: holzhawi@uni-koblenz.de
MedBV habe ich im Wintersemester 2005/2006 bei Prof. Paulus gehört, PCG im Sommersemester 2005 bei Prof. Müller
und Programmierung im Wintersemester 2006/2007 bei Prof. Ebert. 1
Ganz genau kann ich den Prüfungsverlauf natürlich nicht wiedergeben und ich gebe auch keine Versicherung für die
Richtigkeit der folgenden Angaben.
Medizinische Bildverarbeitung
Wir haben in der MedBV verschiedene Modalitäten. Welche Modalitäten haben wir behandelt?
• Röntgenologische Verfahren: Durchleuchtung mit Röntgenstrahlung, verschieden Starke Absorbtion, Bildentstehung,
CT, Flatpanel, C-Bogen, Biplanares System. . . (zu den anderen Modalitäten kam ich nicht mehr!)
Ok, was macht denn so ein Biplanares System? Malen sie mal so ein Gerät auf!
• Gleichzeitige Aufnahme von zwei Röntgenbildern unter einem Winkel von 90 Grad.
• habe grobe Skizze gemacht
Welche Detektoren können eingesetzt werden und was müssen wir machen bevor wir Bilder aufnehmen können?
• Flatpanel und Bildverstärker. Vorher Kalibrierung.
Man kann eine Leeraufnahme machen. Was nutzt man noch zur Kalibrierung?
• Kalibriermuster um detektierte Punkte im Bild, mit den Punkten in der realen Welt zu vergleichen
Wie funktioniert nun die Bildaufnahme?
• Strahlen eingezeichnet, Absorbierte Strahlen erzeugen helle Stellen, Strahlen die am Körper vorbeigehen erscheinen
schwarz im Bild
Ok, sagen wir ein Strahl der das Objekt durchquert hat die Intensität I0. Was passiert dann damit?
• Strahl wird beim Durchqueren des Körpers durch Abschwächungskoeffizienten µ0..µn geschwächt.
• Darstellbar in einem Linienintegral über das Objekt, Radontransformation
Was heißt das diskret?
1 Da die Teile PCG und Programmierung nichts mit diesem Skript zu tun haben, findet sich hier nur der relevante MedBV Teil (siehe weiter [13])

54 ANHANG C. PRÜFUNGSPROTOKOLL MEDBV
• Diskret? (Herr Paulus half nach: Sie haben doch ein Integral beschrieben. Das können wir so ohne weiteres nicht
lösen. Also müssen wir diskretisieren) Aufsummieren der Koeffizienten um Integral anzunähern.
Was macht man nun weiter mit der Radontransformation?
• Rekonstruktion über Fourier-Slice Theorem oder gefilterte Rückprojektion.
Was gibt es sonst noch?
• Alegbraische Rekonstruktion, Bild gezeichnet, Formel aufgeschrieben
• Projektion Pi ergibt sich aus der Summe aller Pixel fj gewichtet durch wij. Dabei ist wij = 1 wenn der Strahl i
durch das Pixel j geht. Ansonsten Null.
• Gleichungssystem lösen mit Kaczmarz-Methode 2
Sie erwähnten vorhin den Flatpanel. Welche Artefakte gibt es da und was macht man dagegen?
• Defekte Zeilen oder Pixel ⇒ Defect pixel interpolation
• Annahme: Ideales Bild hat keine hohen Frequenzen, wie sie durch einen Defekt erzeugt werden.
• Fehlerhaftes Bild in Frequenzraum überführen (2D Fouriertransformation), hohe Frequenzen ausschneiden, Rücktransformation
erzeugt verbessertes Bild, defekten Bereich aus diesem ausschneiden und in fehlerhaftes Bild einfügen.
Wiederholung bis Fehler gering
Wo im Frequenzraum liegen denn die hohen Frequenzen?
• Aussen. . .
2 Eine gute Erklärung zur algebraischen Rekonstruktion und der Kaczmarz Methode findet man in [16]

Abbildungsverzeichnis
1.1 Schematische Darstellung der Röntgenröhre aus [37] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Funktionsweise eines Kollimators [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Funktionsweise eines Bildverstärkers [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Funktionsweise eines Flatpanels [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 C-Arm und biplanares System [31] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Erstelltes Sinogramm (b) des Testbildes (a) aus [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Prinzip des CT [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Schwächungskoeffizienten von Gewebe, bezogen auf Wasser [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.9 Digitale Substraktionsangiographie [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.10 Magnetresonanzverfahren [17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.11 Aufbau einer Anger-Kamera (a) und PET Prinzip (b) [18] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.12 Auftretende Koinzidenzen bei PET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.13 PET Scans aus [25] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.14 Funktionelle MRT [10] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.15 Prinzip der sonographischen Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.16 Sonographische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Koordinatensysteme bei der Bildaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Unterschied zwischen orthographischer und perspektivischer Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Kalibriermuster (aus [25]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Geometrische Zusammenhänge der Epipolargeomertrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Vorverarbeitung am Beispiel einer Röntgenaufnahme (Bilder aus [25]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Effekt der radialen Verzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Funktionsweise der bilinearen Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Beispiele für Defektpixel (Bilder aus [35]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Funktionsweise der Defektpixelinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Ergebnis der Defektpixelinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7 Rauschunterdrückung mit bilateralem Filter (aus [8]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.8 Gain-Field in Magnetresonanz Bild (aus [25]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.9 Funktionsweise der Farbkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.10 Farbkorrektur einer Endoskopischen Aufnahme (aus [25]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1 Projektionsarten (aus [19]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Linienintegral durch einen Körper (aus [19]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Prinzip der Rückprojektion (aus [22]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Prinzip des Fourier Slice Theorems (aus [4]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.5 Anwendung des Fourier Slice Theorems (nach [7]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.6 Gefilterte vs. ungefilterte Rückprojektion (aus [25]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.7 Angewandte Filter für gefilterte Rückprojektion ( Beispiel aus [35]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.8 Modellierung einer Projektion für algebraische Rekonstruktion (aus [25]) . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.9 Anwendung der Kaczmarz Methode (aus [25]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.1 Fusion von CT und PET Bildern (aus [12]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 Globale Transformationsmodelle für Bildregistrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 Anwendung des Blockmatchingverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.4 Anwendung der Homographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

56 ABBILDUNGSVERZEICHNIS
5.5 Projektive Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.6 Ergebnisse unterschiedlicher Mapping Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A.1 Anwendung der Rodrigues-Formel (siehe [25]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
B.1 Bohrsches Atommodell am Beispiel eines Wolfram-Atoms (aus [18]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
B.2 Frequenzen und Wellenlängen des elektromagnetischen Spektrums (aus [18]) . . . . . . . . . . . . . . 51
B.3 Wechselwirkung von Röntgenstrahlen mit Materie (aus [18]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B.4 Präzessionsbewegung eines Kerns und eines Kreisels (aus [18]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Literaturverzeichnis
[1] AMELING, Stefan: Struktur aus Bewegung. www.inforakel.de/Document/Details/doc00000310.
Version: 2007. – Skript zur Vorlesung
[2] Atomaufbau. Institut für Lebensmitteltechnologie und Biotechnologie (LMT), Universität Bonn.
www.ilt.uni-bonn.de/www/LMT/studium/Studienunterlagen/bilder/Atomaufbau.pdf.
Version: 2008. – Vorlesungsfolien
[3] BEUTELSPACHER, Albrecht: Lineare Algebra – Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen
und Matrizen. 5. Braunschweig, Wiesbaden : Vieweg Verlag, 2001
[4] BONN, Matthias: Computertomographie. Universität Karlsruhe (TH).
http://www.matze-bonn.de/informatik/Seminar_CT.pdf. Version: 2000. – Seminararbeit
[5] BROWN, Lisa G.: A survey of image registration techniques. In: ACM Comput. Surv. 24 (1992), Nr. 4, S. 325–376
[6] BRUNN, Caroline: Kamerakalibrierung. In: DRÖGE, Detlef (Hrsg.): Seminar Rekonstruktion aus Bildern. Universität
Koblenz-Landau, 2004, S. 33–43
[7] BURGERT, Oliver: Medizinische Planungs- und Simulationssysteme WS2005/2006, Vorlesung: Computertomographie
et al. Innovation Center Computer Assisted Surgery (ICCAS), Universität Leipzig. nn. Version: 2005
[8] C., Tomasi ; R., Manduchi: Bilateral Filtering for Gray and Color Images. In: Proceedings of the 1998 IEEE
International Conference on Computer Vision, 1998
[9] EATON, John W. ; BATEMAN, David ; HAUBERG, Soren: GNU Octave Manual Version 3, A high-level interactive
language for numerical computations. 3. Bristol, United Kingdom: Network Theory Limited, 8 2008.
http://www.network-theory.co.uk/docs/octave3/
[10] Funktionelle Magnetresonanztomographie. fMRT-easy by C.M. Siedentopf. http://www.fmri-easy.de.
Version: 2005
[11] HARTLEY, Richerd ; ZISSERMAN, Andrew: Multiple View Geometry in Computer Vision. 2. Cambridge, UK :
Cambridge University Press, 2003
[12] HOFFMANN, Rebecca: Registrierungsverfahren. In: PAULUS, Dietrich (Hrsg.) ; BOUATTOUR, Sahla (Hrsg.):
Hauptseminar Medizinische Bildverarbeitung. Universität Koblenz-Landau, 2003, S. 61–74
[13] HOLZHÄUSER, Dennis: Prüfungsprotokoll in den Fächern MedBV, PCG und Programmierung.
http://www.inforakel.de/. Version: 2007. – Document/Download/doc00000321/PruefungsprotokollPCGholzhawi.pdf
[14] HOUNSFIELD, Godfrey: Computed Medical Imaging. Version: 1979.
http://nobelprize.org/nobel_prizes/medicine/laureates/1979/hounsfield-lecture.pdf.
In: LINDSTEN, Jan (Hrsg.): Nobel Lectures, Physiology or Medicine Bd. 1971-1980. World Scientific Publishing
Co.
[15] JACKEL, D.: Bildgebende Verfahren in der Medizin. Universität Rostock, Studiengang Informatik.
http://wwwicg.informatik.uni-rostock.de/Lehre/CV2/script0304/01_Bildgebung.pdf.
Version: 2003. – Folien zur Vorlesung Computer Vision 2
[16] KAK, A.C. ; SLAYNEY, Malcolm: Principles of Computerized Tomographic Imaging. Society of Industrial and
Applied Mathematics http://cobweb.ecn.purdue.edu/~malcolm/pct/CTI-ch07.pdf

58 LITERATURVERZEICHNIS
[17] KURKA, Gerhard: Visualisierung und bildgebende Verfahren im medizinischen Bereich. Universität
Linz, Studiengang Informatik. http://www.gup.uni-linz.ac.at/skcg/slides/Vis2006-4.pdf.
Version: 2006. – Vorlesungsfolien
[18] LEHMAN, Thomas ; OBERSCHELP, Walter ; PELIKAN, Erich ; REPGES, Rudolf: Bildverarbeitung für die Medizin
– Grundlagen, Modelle, Methoden, Anwendungen. Springer Verlag, 1997
[19] LEMPA, Thomas: Röntgen CT: Gefilterte Rückprojektion. In: PAULUS, Dietrich (Hrsg.) ; BOUATTOUR, Sahla
(Hrsg.): Hauptseminar Medizinische Bildverarbeitung. Universität Koblenz-Landau, 2003, S. 19–32
[20] LORENZ, Guido: Rechnersehen lernen. www.inforakel.de. Version: 2005. – Kleine Frage- und Antwort-
Sammlung zu Rechnersehen
[21] MARTIN, Michelle K.: Rechnersehen Skript. www.inforakel.de. Version: 2005. – Zusammenfassung des
Vorlesungsstoffes
[22] MEYER, Esther: Die Mathematik der Computertomographie. Universität. nn. Version: 2007. – Seminararbeit
[23] MICHEL, Jochen: Epipolargeometrie. In: DRÖGE, Detlef (Hrsg.): Seminar Rekonstruktion aus Bildern. Universität
Koblenz-Landau, 2004, S. 15–21
[24] Positronen Emissions Tomographie. Wikipedia, Die freie Enzyklopädie.
http://de.wikipedia.org/wiki/Positronen-Emissions-Tomographie. Version: 2007
[25] PAULUS, Dietrich ; HORNEGGER, Joachim: Medical Image Processing. Universität Koblenz-Landau, Studiengang
Computervisualistik. https://www.uni-koblenz.de/~paulus/idoc/medbvcompl.pdf.
Version: 2004. – Folien zur Vorlesung MedBV
[26] PSCHYREMBEL, Willibald (Hrsg.): Pschyrembel Klinisches Wörterbuch. 256. Berlin, New York : Walter de
Gruyter Verlag, 1990
[27] REISER, Maximilian ; KUHN, Fritz-Peter ; DEBUS, Jürgen: Radiologie. 2. Stuttgart : Georg Thieme Verlag, 2006
[28] RÖMER, Wolfgang: Registrierung und Visualisierung von Bilddaten verschiedener bildgebender Verfahren. Nuklearmedizinische
Klinik, Universitätsklinikum Erlangen. nn. Version: 2004
[29] RÜDE, Ulrich: Algorithmik III, Algorithmen und Modelle für kontinurierliche Datenstrukturen, SS2007, Vorlesung:
Matrixalgorithmen und Computertomographie. Institut für Informatik, Technische Fakultät Erlangen-Nürnberg.
nn. Version: 2007
[30] SCHAER, Philipp: Endoskopie. In: PAULUS, Dietrich (Hrsg.) ; BOUATTOUR, Sahla (Hrsg.): Hauptseminar Medizinische
Bildverarbeitung. Universität Koblenz-Landau, 2003, S. 93–106
[31] Siemens Medical Solutions. Siemens AG. http://www.medical.siemens.com. Version: 2007
[32] Internistischer Sonographieatlas. 2. Medizinische Abteilung / Albertinen-Krankenhaus Hamburg.
http://www.sonographiebilder.de. Version: 2005
[33] TOFT, Peter: The Radon Transform – Theory and Implementation, Department of Mathematical Modelling, Technical
University of Denmark, Diss., 1996
[34] TREFETHEN, Lloyd ; BAU, David: Numerical Linear Algebra. Society for Industrial and Applied Mathematics
http://www.comlab.ox.ac.uk/nick.trefethen/text.html
[35] Übung zur Vorlesung Medizinische Bildverarbeitung im WS2005/2006. Universität Koblenz-Landau, FB4.
http://www.uni-koblenz.de/FB4/Institutes/ICV/AGPaulus/Teachings/. Version: 2007
[36] WALBER, Tina: Stereo-Sehen. In: DRÖGE, Detlef (Hrsg.): Seminar Rekonstruktion aus Bildern. Universität
Koblenz-Landau, 2004, S. 22–32
[37] WÜRBEL, Verena: Bildgebende Verfahren in der Medizin. In: PAULUS, Dietrich (Hrsg.) ; BOUATTOUR, Sahla
(Hrsg.): Hauptseminar Medizinische Bildverarbeitung. Universität Koblenz-Landau, 2003, S. 1–18