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Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie
Institut für Mathematik 3 Universität Augsburg
Professor Dr. Jürgen Ritter
Arbeitsgebiete des Lehrstuhls
D - 861 35 Augsburg
Telefon +49 821 598-21 46
Telefax +49 821 598-2090
eMail ritter@math.uni-augsburg.de
Der Cchwerpunkt der am Augsburger Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie durchgeführten For-
schungsarbeiten liegt im Berührungsfeld der Arithmetik und der Darstellungstheorie endlicher Gruppen,
welche in aller Regel als Galoisgruppen von Erweiterungen globaler oder lokaler Zahlkörper erscheinen.
Die Arbeiten reihen sich irn übrigen in die heute allgemein im Zentrum des Interesses stehenden zahlen-
theoretischen Untersuchungen ein und liefern Beiträge zur Verifikation und Verfeinerung von grundle-
genden Vermutungen, die innere arithmetische Zusammenhänge und Eigenschaften zu beschreiben ver-
suchen. Die konkreten Forschungsgebiete betreffen
1. Galoismodulstrukturen
Unter diesen Begriff fallen aile Untersuchungen, die mit der Aufdeckung der ganzzahligen Galoisstruk-
tur von sowohl dem Ring der ganzen Zahlen als auch der Einheiten- und der Idealklassengruppe eines
Zahlkörpers K befaßt sind, sofern K als galoissche Erweiterung eines Teilkörpers k vorliegt. Die be-
schreibenden Daten werden von analytischen Funktionen, wie etwa Artinschen L-Reihen, vermittelt und
zwar meist als spezielle Werte. Dies ist eine überraschende Tatsache, die z.Zt. noch nicht voll verstanden
wird und deren erste Beobachtung vor Ca. 25 Jahren an Hand konkreter Beispielrechnungen zu Vermu-
tungen führte, die zunächst nur als sogenannte "crazy ideas" galten. Das systematische Studium von
Analogien zwischen arithmetischen und analytischen Eigenschaften irn Zusammenhang mit der genann-
ten Problemstellung hat sich aber inzwischen als sehr fruchtbar erwiesen und schöne und tiefe Ergebnisse
hervorgebracht. Die wesentlichen algebraischen Ingredienzien kommen dabei aus der ganzzahligen Dar-
stellungstheorie; die aus der Zahlentheorie schließen die sogenannte Hauptvermutung der Iwasawatheo-
rie ein und führen sogar zu möglichen Verallgemeinerungen davon. Neu mit Blick auf die Galoisstruktur
der Einheiten eingeführte Invarianten und deren vermutete Eigenschaften scheinen darüber hinaus eine
Brücke zu den berühmten Vermutungen über L-Werte aus der arithmetischen Geometrie zu schlagen.
2. Darstellungstheorie endlicher Gruppen
Vornehmlich werden Relationen zwischen den Darstellungen und Charakteren einer endlichen Gruppe
und denen ihrer Untergruppen im Zusammenhang mit davon abhängigen algebraischen Strukturen un-
tersucht (Frobeniusmoduln und -funktoren, etc.). Auch Realisierungsmöglichkeiten von Darstellungen
werden erforscht. Des weiteren stehen ganzzahlige Gruppenringe und die Bestimmung ihrer Einheiten
im Vordergrund des Interesses sowie das Studium ausgezeichneter arithmetischer Ordnungen.
3. Lokale Galoistheorie
Eine explizite Beschreibung der Galoisgruppen lokaler Zahlkörpererweiterungen K/k unter Berücksich-
tigung des genauen Verzweigungsverhaltens in K/k bei variablem K zu erreichen, ist das Anliegen die-
ser Untersuchungen, welche nicht zuletzt hinsichtlich der sogenannten lokalen Langlands Vermutung mit
dem Ziel der Entwicklung einer nichtabelschen lokalen Klassenkörpertheorie von Bedeutung sind.