Vektoranalysis und nicht-kartesische Koordinatensysteme

0 Anmerkung zur Notation
Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt:
⎛
�r = ⎝ x
y
z
⎞ ⎛
⎠ = ⎝ x1
x2
⎞
⎠
1 Der Vektoroperator ∇
Definition:
x3
∂ ∂ ∂
∇ := �ex + �ey + �ez
∂x ∂y ∂z =
⎛
⎝
Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle
hat.
1.1 Gradient
Definition:
grad ϕ := ∇ϕ,
mit ϕ = ϕ(�r). Die Richtung des Gradienten ist die der größten Veränderung des
Feldes, der Betrag des Gradienten beschreibt die Stärke der Veränderung.
Beispiele:
• ϕ(�r) = const. ⇒ grad ϕ = �0
⎛ ⎞
0
• ϕ(�r) = z ⇒ grad ϕ = ⎝ 0 ⎠
1
• ∇ 1
r
= − �r
r 3 , wegen
∂
∂x
� 1
r
�
= ∂
∂x
1
� x 2 + y 2 + z 2
= −
die beiden anderen Komponenten gehen analog
• ∇ 1
r 3 = − 3
r 5 · �r
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
⎞
⎠ .
x
� �x 2 + y 2 + z 2
Nun könnte man ja auch den Nabla-Operator auf ein Vektorfeld anwenden...
1
� 3 ;

1.2 Divergenz
Definition:
Beispiele:
div �r := ∇ · �r.
• div �a = 0, falls �a ein konstanter Vektor ist
• div �r =
3� ∂xi
∂xi i=1
� �� �
= ∂x ∂y ∂z
+ + ∂x ∂y ∂z
⎛
• div ( � B × �r) = ⎝
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
= 1 + 1 + 1 = 3, unabhängig von �x
⎞
⎛
⎠ · ⎝
Byz − Bzy
Bzx − Bxz
Bxy − Bzx
⎞
⎠ = �0 , falls � B konstant
Die Divergenz gibt die Bilanz über die in einem Punkt hinein- und herauslaufende
Feldlinien an.
Rechenregeln:
• div( � A + � B) = div � A + div � B
• div(α � A) = α div � A , α ist Zahl
• div(ϕ � A) = ϕ div � A + � A · grad ϕ
Physikalisches Beispiel: Divergenz eines Graviationspotenzials für �r �= �0:
�
div −γM �r
r3 � �
1
1
= −γM · div �r + �r · grad
r3 r3 �
= −γM
1.3 Rotation
Definition:
In Determinantendarstellung:
rot � �
�
�
A = �
�
�
rot � A = ∇ × � A
�e1 �e2 �e3
∂
∂x1
∂
∂x2
∂
∂x3
A1 A2 A3
2
�
�
�
�
�
�
�
3 (−3)
+ �r ·
r3 r5 · �r
�
= 0

Die Rotation ist eine vektorielle Größe. Sie gibt Auskunft über Richtung und
Größ der lokalen Wirbelstärken eines Vektorfeldes.
Beispiel: Wir betrachten einen Wirbel. Die Strömungsgeschwindigkeit sei gegeben
durch:
�v(�r) = �ω × �r.
Hierbei ist �ω natürlich die Winkelgeschwindigkeit. Wir berechnen nun die Rotation:
rot �v(�r) = ∇ × (�ω × �r) = 2�ω.
Der Beweis hierfür ist besonders einfach, wenn man den total antisymmetrischen Tensor benutzt
und sei hier nur der Vollständgikeit wegen angegeben; er kann gerne übergangen werden:
∂
(∇ × (ω × �x))i = ɛijk
∂xj
(Anm.: δil ist das Kroneckersymbol.)
Rechenregeln:
• rot( � A + � B) = rot � A + rot � B
• rot(α � A) = α rot � A , α ist Zahl
• rot(ϕ � A) = ϕ rot � A + (gradϕ) × � A
Wichtige Aussagen:
• Gradientenfelder sind immer wirbelfrei:
• Wirbelfelder sind immer quellenfrei:
2 Koordinatensysteme
ɛklmωlxm = ɛijkɛklmωlδjm = ɛijkɛklj
� �� �
rot(gradϕ) = �0
div(rot � A) = 0
2.1 Polarkoordinaten in der Ebene
=ɛjkiɛjkl=2δil
ωl = ωi.
Normalerweise beschreiben wir Koordinaten in der Ebene mit x und y. Nun stellt
sich die Frage, ob es auch andere Beschreibungsmöglichkeiten gibt. Recht logisch
erscheint es, alle Punkte der Ebene durch r und ϕ zu beschreiben. Bis auf den
Ursprung sind alle Punkte eindeutig beschrieben, wenn r ∈ R + 0 und ϕ ∈ [0, 2π)
gelten.
3

Die Gleichungen zur Umrechnung lauten:
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
Besonders Kreise kann man jetzt sehr einfach darstellen: Statt
kann man die Punkte durch
x 2 + y 2 = r 2 0
r = r0, ϕ ∈ [0, 2π)
beschreiben.
Falls wir nun mit Hilfe dieser Koordinaten integrieren wollten, bräuchten nun
einen Flächenelement dA. In kartesischen Koordinaten ist dies einfach:
dA = dx dy.
Bei Polarkoordinaten muss man nachdenken!
Es gilt
Beispiel:
• Berechnung der Kreisfläche:
dA = r dr dϕ.
1. Mit kartesischen Koordinaten:
�
A = dA =
2. Mit Polarkoordinaten:
�
A =
A
a
� r0
−r0
� 2π
dA =
4
0
�
√
+ r2 0−y2 √
− r2 0−y2 dx dy = . . .
� r0
r dr dϕ = πr
0
2 0 .

2.2 Zylinderkoordinaten
Möchte man nun in den R 3 wechseln, so braucht man noch eine weitere Dimension.
Diese kann man durch die Variable z einführen und schon hat man
Zylinderkoordinaten. Natürlich gilt: ϕ ∈ [0, 2π), r ∈ R + 0 , z ∈ R.
x1 = r cos ϕ
x2 = r sin ϕ
x3 = z
Alle Punkte des R 3 (außer dem Ursprung) werden dadurch eindeutig beschrieben.
Nun interessieren wir uns für ein infinitesimales Volumenelement dV statt für
dA. Dies ist einfach zu finden, den wir müssen dA aus den Polarkoordinaten nur
mit dz multiplizieren:
dV = r dr dϕ dz.
Direkt aus der Skizze können wir auch das infintesimale Oberflächenelement des
Zylindermantels ablesen:
dA = r dϕ dz.
5

Anwendungsbeispiel: Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders. Der Zylinder
stehe auf der x-y-Ebene, der Mittelpunkt der unteren Kreisfläche sei der
Ursprung. Der Radius betrage r0, die Höhe h.
�
J =
V
r 2 �
dm = ρ
V
r 2 dV = M
πr 2 0h
2.3 Kugelkoordinaten
�h
0
�2π
0
�
0
r0
r 2 ·r dr dϕ dz = M
πr2 1
h2π
0h 4 r4 1
0 =
2 Mr2 0
Die wichtigsten Koordinaten neben den kartesischen Koordinaten sind die Kugelkoordinaten,
die wir nun einführen werden. Hierbei benutzt man die Variablen r, ϕ
und ϑ.
6

Die Umrechnungsformeln lauten:
x1 = r sin ϑ cos ϕ
x2 = r sin ϑ sin ϕ
x3 = r cos ϑ
Hierbei ist zu beachten, dass ϑ ∈ [0, π), ϕ ∈ [0, 2π) und r ∈ R + 0 gelten.
Auch hier brauchen wir natürlich das Volumenelement dV . Dieses Mal ist es
aber nicht so einfach zu erkennen.
Für das Volumenelement dV gilt also:
dV = r 2 sin ϑ dϑ dϕ dr.
Und für das Oberflächenelement dA gilt:
dA = r 2 sin ϑ dϕ dϑ.
Beispiel: Kugeloberfläche
Nutzt man das Oberflächenelement dA, geht die Berechnung sehr einfach:
�
O =
A
dA =
�π
0
�2π
0
r 2 sin ϑ dϕ dϑ = 4πr 2 .
7

3 Aufgaben
1. Berechnen Sie den Gradienten von ϕ = x 2 y 3 cos z.
2. Berechnen Sie Divergenz und Rotation von ⎝
⎛
xyz
xz 2
yz
3. Stellen Sie folgende Punkte in Polarkoordinaten dar:
• (1, 0)
• (1, 1)
• (− √ 2, − √ 2)
4. Berechnen Sie das Volumen eines Zylinders unter Benutzung von Zylinderkoordinaten.
5. Berechnen Sie die Oberfläche eines Zylinders.
6. Berechnen Sie das Volumen einer Kugel unter Benutzung von Kugelkoordinaten.
7. Zusatzaufgabe: Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Kugel bzgl. einer
ihrer Symmetrieachse.
A Kreuzprodukt
B Skalarprodukt
⎛
�a × �b = ⎝
�a · � b =
a2b3 − a3b2
a3b1 − a1b3
a1b2 − a2b1
8
3�
i=1
aibi
⎞
⎠
⎞
⎠.