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Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig (FH)
Fachbereich Maschinen- und Energietechnik
Studiengang: Maschinenbau
Studienrichtung: Konstruktion
„Mechanische Untersuchungen an Solarzellen in PV-Modulen
Verantwortlicher Hochschullehrer:
Herr Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn
(Halle, Juni - Dezember 2009)
mittels Finite-Elemente-Modellierung“
Masterarbeit Nr. 28/09
von
Matthias Pander
geb. am 09.03.1984
in Wolfen
Matrikelnr.: 45863

HOCHSCHULE FÜR TECHNIK, WIRTSCHAFT UND KULTUR
LEIPZIG (FH)
FACHBEREICH MASCHINEN- UND ENERGIETECHNIK
MASTER-STUDIENGANG MASCHINENBAU
MASTER-AUFGABENSTELLUNG
Herr: Matthias Pander Matrikel-Nr.: 45863 Sem.-Gr.: 07MBM
Thema: “Mechanische Untersuchungen an Solarzellen in PV-Modulen mittels Finite –
Elemente – Modellierung“
Erläuterungen:
Solarzellen werden in Solarmodulen in einer Polymerschicht eingebettet. Dabei erfahren die Zellen
verschiedene mechanische und thermomechanische Belastungen, welche durch die Polymerschicht
übertragen werden. Die Lebenszeit von PV Modulen wird heute mit mindestens 25 Jahren
angenommen. Dieser Zeitraum entspricht der Garantie der Hersteller, dass die Module maximal
20 % ihrer Ausgangsleistung über diese Zeit einbüßen. Entsprechend diesen Anforderungen müssen
die Solarzellen mechanischen Belastungen zuverlässig standhalten. Hinzu kommt das Ziel,
aufgrund von Materialeinsparbedürfnissen, Solarzellen dünner zu produzieren. Derzeit beträgt
deren Dicke ca. 200 µm, welche in den nächsten 4 Jahren auf bis zu 100 µm reduziert werden soll.
Ein Konzept welches die Zuverlässigkeit der Solarzellen im Modulverbund beschreibt gibt es derzeit
noch nicht und stellt einen neuen Ansatz im Design von Solarmodulen dar.
Als Grundlage zur Erarbeitung eines Zuverlässigkeitskonzeptes dünner eingebetteter Solarzellen,
sollen in dieser Arbeit Untersuchungen hinsichtlich der Einbettung vorgenommen werden. Kern
der Untersuchungen soll es ein, die Einbettung von Solarzellen mit Hilfe der Methode der Finiten
Elemente abzubilden. Modelliert werden sollen Details der Solarzelle, wie das Grid für die Kontaktierung
als auch Moduldetails, wie die Kontaktbändchen. Mit Hilfe der Simulationsmodelle
sollen Studien bezüglich der Änderung von Materialkennwerten, z.B. der polymeren Schicht, sowie
des Moduldesigns durchgeführt werden.
Teilaufgaben:
1. Entwicklung von Finite – Element – Modellen mit Details der Zellen und der Module
2. Experimentelle Bestimmung von Materialparametern der Komponenten in der Modul- und
Zellherstellung
3. Numerische Untersuchung der Beanspruchung der Zellen durch thermisch und mechanisch
induzierte Lasten
4. Sensitivitäts- und Parameterstudien zu Materialparametern der Zellmetallisierung und der
polymeren Zwischenschicht und deren Auswirkung auf die Belastung der Solarzelle
Masterarbeit Nr. 28/09
Kontakte zu Institutionen, Betrieben und Behörden sind nur in Abstimmung mit dem verantwortlichen Hochschullehrer aufzunehmen.
Die Verwertung der Ergebnisse der Diplomarbeit, einschließlich der Publikationen, des Patentschutzes und der Einspeicherung sowie
Verarbeitung in elektronischen Systemen, setzt die vorherige Zustimmung des verantwortlichen Hochschullehrers voraus.

Betreuer im Unternehmen:
Verantw. HochschuLLehrer:
Ausgabetermin: 02.06.2009
Leipzig, den 02.06.2009
M. Eng. M. Sc. Sascha Dietrich
Fraunhofer-Center for Silicon PhotovoLtaics
Prof. Dr.-Ing. Carsten KLöhn
Abgabetermin: 01.12.2009
Prof. Dr.- n . I. Kraft
Vorsitzender des Prüfungsausschusses
Masterarbeit Nr. 28/09
Kontaktezu Institutionen, Betrieben und Behördensind nurin Abstimmung mit demverantwortLichen Hochschullehreraufzunehmen.
Die Verwertung der Ergebnisseder Diplomarbeit,einschließLich der PubLikationen, des Patentschutzes und der Einspeicherung sowie
Verarbeitung in eLektronischen Systemen, setzt die vorherige Zustimmung des verantwortlichen Hochschullehrersvoraus.

Erkläru ng
Ich versichere wahrheitsgemäß, die Masterarbeit selbstständig angefertigt, alle benutzten
Hilfsmittel vollständig und genau angegeben und alles kenntlich gemacht zu haben, was aus
Arbeiten anderer unverändert oder mit Abänderung entnommen wurde.
Wolfen, den 11.01.2010

Danksagung
Mein Dank gilt M.Eng. M.Sc. Sascha Dietrich und Dr.-Ing. Matthias Ebert für die Betreuung
dieser Arbeit seitens des Fraunhofer CSP, die fachlichen Anregungen und die Diskussionsbe-
reitschaft.
Bei Prof.-Dr.-Ing. Carsten Klöhn möchte ich mich für die Übernahme der Betreuung dieser
Arbeit seitens der Hochschule für Technik Wirtschaft und Kultur Leipzig und die fachliche
Beratung zu den Problemstellungen bedanken.
Herrn Dipl.-Wirt.-Ing. Stefan Schulze möchte ich für die Durchführung der TMA-Messungen
und die fachlichen Hinweise in Bezug auf das Verhalten der Polymermaterialien danken.
Für die Probenpräparation für das Rasterelektronenmikroskop danke ich Steffi Göller und für
die Anfertigung der Aufnahmen am REM möchte ich mich bei Frau Dr. Martina Werner bedanken.
Dipl.-Ing. Georg Lorenz danke ich für die Durchführung der Indentermessungen und
M.Sc. Rico Meier für die Waferverbiegungsmessungen.
Darüber hinaus möchte ich mich bei allen Kolleginnen und Kollegen des Fraunhofer-Center
für Silizium-Photovoltaik und des Fraunhofer Instituts für Werkstoffmechanik für die gute
Zusammenarbeit und angenehme Arbeitsatmosphäre bedanken.
Besonderer Dank gilt meinen Eltern, die mich in vielfältiger Weise während dieser Arbeit und
im gesamten Studium unterstützt und motiviert haben.
V

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
AUFGABENSTELLUNG.......................................................................................................II
DANKSAGUNG ......................................................................................................................V
INHALTSVERZEICHNIS ................................................................................................... VI
ABKÜRZUNGEN/ FORMELZEICHEN ........................................................................... IX
1 EINLEITUNG...................................................................................................................1
2 STAND DER TECHNIK .................................................................................................4
2.1 Photovoltaikmodule auf Basis kristalliner Solarzellen ........................................................................ 4
2.1.1 Aufbau und Funktion von kristallinen Solarzellen............................................................................... 4
2.1.2 Waferherstellung .................................................................................................................................. 5
2.1.3 Solarzellenherstellung .......................................................................................................................... 6
2.1.4 Rapid Thermal Processing (RTP)......................................................................................................... 8
2.1.5 Solarmodulherstellung.......................................................................................................................... 9
2.1.6 Zusammenfassung der Belastungen in der Modulfertigung............................................................... 10
2.1.7 Belastungen im Betrieb ...................................................................................................................... 12
2.2 Theorie von Spannungen in dünnen Schichten .................................................................................. 14
2.3 Charakterisierung von dünnen Schichten ..........................................................................................16
2.4 Untersuchungen der Zellverbiegung ................................................................................................... 17
3 GRUNDLAGEN .............................................................................................................19
3.1 Thermomechanische Grundlagen........................................................................................................ 19
3.1.1 Grundgleichungen der linearen Thermoelastizität.............................................................................. 19
3.1.2 Der thermische Ausdehnungskoeffizient............................................................................................ 20
3.1.3 Plastizitätstheorie ............................................................................................................................... 23
3.2 Materialien............................................................................................................................................. 29
3.2.1 Silizium .............................................................................................................................................. 29
3.2.2 Metallisierungspasten......................................................................................................................... 33
3.2.3 Glas .................................................................................................................................................... 37
3.2.4 Ethylen-Vinylacetat (EVA)................................................................................................................ 38
3.2.5 Rückseitenfolienverbund.................................................................................................................... 39
3.3 Messtechnik ........................................................................................................................................... 40
3.3.1 Bestimmung des Elastizitätsmoduls aus Härtemessungen ................................................................. 40
VI

Inhaltsverzeichnis
3.3.2 Messung des thermischen Ausdehnungskoeffizienten ....................................................................... 43
3.3.3 Messung der Waferverbiegung........................................................................................................... 45
3.4 FEM-Submodelling............................................................................................................................... 46
3.5 Versagensanalyse .................................................................................................................................. 48
4 MESSUNGEN.................................................................................................................51
4.1 Dickenbestimmung und Struktur der Metallisierungspaste ............................................................. 51
4.2 Eindruckversuche ................................................................................................................................. 54
4.2.1 Versuchsdurchführung ....................................................................................................................... 54
4.2.2 Messergebnisse und Diskussion......................................................................................................... 56
4.3 Messung des Temperaturausdehnungskoeffizienten ......................................................................... 59
4.3.1 Versuchsdurchführung ....................................................................................................................... 59
4.3.2 Messergebnisse und Diskussion......................................................................................................... 61
4.4 Verformungsmessung ........................................................................................................................... 63
4.4.1 Versuchsdurchführung ....................................................................................................................... 63
4.4.2 Messergebnisse und Diskussion......................................................................................................... 64
5 BERECHNUNGEN ZUM EINBRENNPROZESS .....................................................68
5.1 FE-Modell für die Solarzelle ................................................................................................................ 68
5.1.1 Allgemeine Angaben und Voraussetzungen....................................................................................... 68
5.1.2 Aufbau des Modells der Solarzelle..................................................................................................... 70
5.2 Verzweigungsproblematik.................................................................................................................... 71
5.3 Einflüsse auf die Verformung .............................................................................................................. 76
5.3.1 Kontaktfinger ..................................................................................................................................... 76
5.3.2 Busbar ................................................................................................................................................ 79
5.3.3 Parameter der Metallisierungspasten.................................................................................................. 80
5.4 Zelldicke und Zellformat...................................................................................................................... 84
5.5 Berechnungen mit dem Submodell...................................................................................................... 85
5.6 Diskussion der Ergebnisse.................................................................................................................... 89
6 FE-MODELL DER EINGEBETTETEN SOLARZELLE.........................................92
6.1 Allgemeine Angaben und Methodik .................................................................................................... 92
6.2 Globalmodell.......................................................................................................................................... 94
6.3 Submodelle............................................................................................................................................. 96
VII

Inhaltsverzeichnis
7 SENSITIVITÄTEN ........................................................................................................97
7.1 Mechanische Belastung......................................................................................................................... 98
7.1.1 Zelldicke............................................................................................................................................. 98
7.1.2 Polymerdicke.................................................................................................................................... 103
7.2 Thermische Belastung......................................................................................................................... 106
7.2.1 Referenzergebnis.............................................................................................................................. 106
7.2.2 Zelldicke........................................................................................................................................... 112
7.2.3 Polymerdicke.................................................................................................................................... 114
7.3 Thermisch-Mechanische Belastung ................................................................................................... 117
7.4 Diskussion ............................................................................................................................................ 121
8 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK ..............................................................123
9 LITERATURVERZEICHNIS ....................................................................................126
10 ANLAGENVERZEICHNIS ........................................................................................132
VIII

Abkürzungen/ Formelzeichen
Abkürzung Bedeutung
Abkürzungen/Formelzeichen
PV Photovoltaik
FE Finite Elemente
EVA Ethylen-Vinylacetat
PVF Polyvinylfluorid
PET Polyethylenterephtalat
PECVD Plasma enhanced chemical vapor deposition
RTP Rapid Thermal Processing
TCT Thermocycle-Test (Temperaturwechselprüfung)
TMA Thermisch-Mechanische Analyse
BB Busbar
KF Kontaktfinger
Si Silizium
Al Aluminium
Ag Silber
Formelzeichen Bedeutung Einheit
2
A Fläche m
V Volumen 3
m
L 0
Bezugslänge m
t Dicke m
I Flächenträgheitsmoment 4
m
R Krümmungsradius m
F Kraft N
E Elastizitätsmodul MPa
G Schubmodul MPa
ν Querkontraktionszahl
α Temperaturausdehnungskoeffizient −1
K
2
EI Biegesteifigkeit N ⋅ m
ρ Dichte 3
kg m −
⋅
T Temperatur K
IX

ε Dehnung/Verzerrung
el { ε }
Vektor der elastischen Dehnungen
pl { ε }
Vektor der plastischen Dehnungen
th { ε }
Vektor der thermischen Dehnungen
Abkürzungen/Formelzeichen
{ σ }
Spannungsvektor MPa
[ ]
−1
S Nachgiebigkeitsmatrix
MPa
[ C ]
Elastizitätsmatrix MPa
( { σ}
)
F Funktional der Spannungen
κ Plastische Verformungsarbeit
R Fließgrenze MPa
e
S Kontaktsteifigkeit N / m
C Kontaktnachgiebigkeit m / N
E Energie der Bandlücke eV
B
h Plancksches Wirkungsquantum J ⋅ s
P Zuverlässigkeit, probability of survival
S
P Bruchwahrscheinlichkeit, probability of failure
f
X

1 Einleitung
Einleitung
Die Photovoltaik-Industrie wächst auch in Zeiten der Wirtschaftskrise weiter, denn die Unter-
nehmen haben die wirtschaftlichen und ökologischen Chancen erkannt und engagieren sich in
der Forschung und Entwicklung. Die Herausforderungen bestehen in der Kostenreduzierung,
damit die Solarstromanlagen energiewirtschaftlich relevant werden. Von 1989 bis zum Jahr
2004 konnten die Kosten für Solaranlagen bereits halbiert und Kosten für Module um den
Faktor vier reduziert werden /1/. Die reinen Energieentstehungskosten für photovoltaisch erzeugten
Strom liegen nach einer Studie der Zeitschrift Photon aus dem April 2007 für Süddeutschland
bei 0,15 €/kWh /2/. In sonnenreichen Ländern, wie Spanien, können die Erzeugungskosten
sogar mit denen neu gebauter Braunkohlekraftwerke mithalten, deren Kosten mit
etwa 0,08 €/kWh angegeben werden /2/. Für die zurzeit dominierende Silizium-Wafer-
Technologie liegen die Fertigungskapazitäten bereits unter dem weiter wachsenden Bedarf
zur Herstellung von Silizium, weshalb höchste Leistungen pro eingesetztem Gramm Silizium
gefragt sind. Es muss folglich der Wirkungsgrad erhöht oder die Herstellungskosten bei
gleich bleibender Qualität gesenkt werden.
Zur Wirkungsgradsteigerung gibt es verschiedene Konzepte die meist nur für kostenintensive
monokristalline Wafer mit hohen Ansprüchen an die Materialqualität umgesetzt werden können.
Hierzu gehört die Reduzierung von Abschattungsverlusten durch das Vergraben der
Frontkontaktierung (Saturn-Solarzellen von BP-Solar) oder die vollständige Verlegung auf
die Rückseite (A-300 von SunPower). Am Fraunhofer ISE wird der Rückseitenkontakt aus
Aluminium nur punktuell hergestellt und ein großer Teil der Rückseite mit dielektrischen Siliziumverbindungen
vergütet /3/. Der Si-Wafer macht mit Abstand den größten Teil der Kosten
bei der Fertigung von Si-Solarzellen aus (50-60 %, /5/). Der einfachste Weg zur Kostenreduktion
sind dünnere Wafer, die bei gleicher Fläche weniger Si benötigen. Die Standarddicke
kristalliner Si-Wafer betrug lange Zeit 330 µm. Heute sind 180-200 µm üblich und 80-
130 µm sind das Ziel /4/. Neben dem geringeren Materialverbrauch weisen Zellen mit Dicken
unter 150 µm fast keine Photodegradation auf /5/. Dünne Wafer haben jedoch den Nachteil,
dass sie sich aufgrund der unterschiedlichen thermischen Ausdehnung bei ganzflächiger Aluminiumbeschichtung
der Rückseite stark verbiegen und somit größeren thermischen Spannungen
ausgesetzt sind /6/. Die thermische Vorgeschichte der Zellen vor der weiteren Verarbeitung
gewinnt somit an Bedeutung. Die Bruchkräfte nehmen ab und hängen stärker von der
Kristallstruktur ab /5/. Hinzu kommt der Einsatz immer größerer Wafer-Formate. Der langjährige
Standard (125 x 125 mm²) wurde bereits von 156 x 156 mm² abgelöst und ein neues
Format (210 x 210 mm²) steht vor der Einführung /3/. Damit für die unterschiedlichen An-
- 1 -

Einleitung
wendungsbereiche geeignete Spannungen bzw. Leistungen bereitstellt werden können, müs-
sen die einzelnen Solarzellen zu größeren Einheiten miteinander verschaltet werden. Durch
die Verlötung werden ebenfalls thermische Belastungen erzeugt, die sich auf die Zuverlässig-
keit auswirken. Die verschalteten Zellen (Strings) werden meist in transparentem Ethylenvi-
nylacetat (EVA) eingebettet, frontseitig mit Glas und rückseitig mit einer Verbundfolie abge-
deckt (vgl. Abb. 1, /7/). Im Vakuumlaminationsprozess erfolgt die Verbindung zwischen den
Schichten. Gegebenenfalls wird das fertige Modul mit einem Rahmen versehen.
Abb. 1: Laminieren von Solarmodulen mit kristallinen Solarzellen /7/
Die Zertifizierung von Solarmodulen erfolgt nach den Normen IEC 61215 /8/ und IEC 61646
/9/. Damit soll eine Lebensdauer von mehr als 20 Jahren gewährleistet werden. Für die struk-
turmechanische Dimensionierung sind Belastungen durch Wind von 2400 Pa bzw. Schnee
von 5400 Pa vorgeschrieben. Für ungerahmte Glas/Polymer/Glas-Module wurden bereits Fi-
nite-Elemente-Modelle speziell für die Dünnschichttechnologie entwickelt /10/. Hier wurde
eine hohe Schubsteifigkeit der Einbettungsfolie als günstig für die Gesamtfestigkeit ermittelt.
Steife Folien wirken sich jedoch auf kristalline Solarzellen negativ aus, da sie durch die Deh-
nungsübertragung vom Glas auf die Zellen erhöhte innere Spannungen hervorrufen.
Ein Konzept, dass das Verhalten der Zellen im Modulverband korrekt abbildet, existiert nach
Wissen des Autors noch nicht. Die vorliegende Arbeit soll dazu dienen, ein Modell mit Hilfe
der Methode der Finiten Elemente zu entwickeln, dass Details der Solarzelle, wie die Metalli-
sierungsschichten und die Kontaktbändchen berücksichtigt. Da für die Berechnungen eine
Reihe von Materialkennwerten in Abhängigkeit von der Temperatur benötigt werden und die-
se nicht immer im erforderlichen Umfang zur Verfügung stehen, werden im experimentellen
Abschnitt dieser Arbeit Möglichkeiten zur Materialcharakterisierung vorgestellt. Dies betrifft
in erster Linie die Metallisierungspaste und die Einbettungsfolie. Mit einem Finite-Element-
Modell wird zunächst der Einbrennprozess als kritischer Prozessschritt in der Fertigung unter-
sucht. Es soll die Zellverformung und damit die inneren Spannungen abgebildet werden. An
diesem Zellmodell werden anschließend die Einflüsse der Kontaktfinger, der Busbars und die
Eigenschaften der Metallisierungspaste untersucht, um letztendlich Aussagen über die Verän-
- 2 -

Einleitung
derung der Eigenspannungen treffen zu können, die aus der Verringerung der Zelldicke bzw.
Vergrößerung des Zellformates resultieren. Auf der Grundlage dieser Ergebnisse können Zu-
verlässigkeitsaussagen mit Hilfe der probabilistischen Bruchmechanik getroffen werden. In
diesem Zusammenhang wird ebenfalls die Anwendung der Submodelltechnik vorgestellt, die
zur Untersuchung von Details unverzichtbar ist.
Für einen laminierten String mit dem klassischen Glas/Polymer/Rückseitenfolie-Aufbau wird
ein vereinfachtes Globalmodell entwickelt, auf dessen Grundlage die Verschiebungen berechnet
werden, die durch den Laminierprozesses, den Thermocycle und eine mechanische Belastung
entstehen. Die Belastungen werden zunächst unabhängig voneinander betrachtet und
anschließend überlagert. Mit Submodellen werden z.B. die Bereiche um den Zellverbinder
näher untersucht. Ein Ziel dieser Untersuchungen ist es zu zeigen wie die einzelnen Schichten
im Laminat durch ihre unterschiedlichen Materialeigenschaften und unter äußerer Belastung
zusammenwirken. Mit den Modellen werden wiederum Sensitivitätsstudien durchgeführt, die
sich mit der Zelldicke und der Dicke der Polymerschicht sowie deren Steifigkeit beschäftigen.
- 3 -

2 Stand der Technik
2.1 Photovoltaikmodule auf Basis kristalliner Solarzellen
2.1.1 Aufbau und Funktion von kristallinen Solarzellen
- 4 -
Stand der Technik
Die Standard-Solarzelle besteht aus dem Halbleitermaterial Silizium (Si). Durch das gezielte
Einbringen von Fremdatomen (Dotierung) kann die Leitfähigkeit verändert werden. Beim
Einbau eines fünfwertigen Stoffes (z.B. Phosphor) in das Gitter der vierwertigen Si-Atome
wird ein Elektron nicht zum Aufbau des Kristallgitters benötigt. Bereits eine geringe thermische
Energie reicht aus um dieses Elektron von seinem Atomrumpf zu trennen, wodurch der
Kristall ein zusätzliches frei bewegliches Elektron erhält. Der Kristall wird n-leitend. Erfolgt
die Dotierung mit einem dreiwertigen Stoff (z.B. Bor), fehlt ein Elektron zur Absättigung der
Bindung und es entsteht ein Loch. Die Löcher sind ebenfalls frei beweglich. Das Material ist
p-leitend. Durch Zusammenfügen einer p- und n-Schicht entsteht der p-n-Übergang /11/.
Abb. 2: a) Bänderschema; b) Aufbau einer Silizium-Solarzelle, Ag: Silberfrontkontakt,
Al: Aluminiumkontakt auf der Waferrückseite /1/
Die Stromerzeugung in der Solarzelle beruht auf dem inneren Photoeffekt, bei dem einfallende
Photonen Elektronen aus dem Atomverband herauslösen. Das Photon muss die Mindest-
energie h⋅ ν1
mitbringen um ein Elektron aus dem Valenzband VB über die Bandlücke mit
der Energie E (Si: E = 1, 12 eV
, /1/) hinweg in das Leitungsband LB zu heben. Es entsteht
B
B
ein Elektron-Loch-Paar. Photonen mit der Energie 2 B
h⋅ ν > E regen Elektronen in Zustände
oberhalb der Leitungsbandunterkante an. Diese geben solange über Stöße Energie ab bis sie
die Leitungsbandunterkante erreicht haben. Der Energieüberschuss geht dabei in Form von
Wärme verloren, die den theoretischen Wirkungsgrad der Solarzelle begrenzt. Der p-n-
Übergang erzeugt ein elektrisches Feld (ε in Abb. 2b) in dem frei bewegliche Ladungsträger
beschleunigt werden. Es findet eine Ladungstrennung statt und zwischen Emitter und Basis-
Kontakt kann eine Spannung abgegriffen werden. Durch Anschluss eines Verbrauchers wird
der Stromkreis geschlossen und eine Leistung P kann entnommen werden /1/.

2.1.2 Waferherstellung
Stand der Technik
Der Ausgangsstoff für den Wafer ist Quarzsand (SiO2), der zu Si reduziert wird. Dieses me-
tallurgische Si wird in einem Folgeprozess gereinigt, wobei ein Verunreinigungsgrad < 10 -12
Teilchen erreicht wird. Zur Herstellung von polykristallinem Si wird das geschmolzene und
gereinigte „solar grade“ Si in einen Graphittiegel gegossen. Durch eine kontrollierte Abküh-
lung erstarren die Kristallite im Block säulenförmig. Für die Herstellung von einkristallinem
Si existieren zwei Verfahren. Im Czochralski-Verfahren werden Bruchstücke aus polykristal-
linem Si unter Schutzgas bei TS = 1415 °C aufgeschmolzen. Ein einkristalliner Keim wird in
die Schmelze getaucht und unter Zieh- und Drehbewegungen erfolgt das Wachstum von ein-
kristallinen Stäben. Beim Zonenziehverfahren wird an einen poly-Si-Stab ein einkristalliner
Keim angeschmolzen. Der poly-Si-Stab wird abschnittsweise durch eine Induktionsheizung
aufgeschmolzen. Beim Abkühlen erfolgt ein einkristallines Wachstum. In Abb. 3 sind die
Verfahren schematisch dargestellt. Die entstandenen Blöcke bzw. Stäbe werden senkrecht zu
den Kristalliten durch Drahtsägen zu Wafern verarbeitet /12/.
Abb. 3: Silizium-Wafer-Herstellung, a) Czochalski Verfahren; b) Zonenziehverfahren;
c) Herstellung von poly-Si aus Blöcken; d) Waferherstellung durch Drahtsägen /12/
- 5 -

2.1.3 Solarzellenherstellung
Abb. 4: schematischer Ablauf der Solarzellenherstellung /6/, /12/
Stand der Technik
Der Ausgangspunkt für die Fertigung der Solarzelle sind p-dotierte Si-Wafer. Im ersten
Schritt werden die Wafer gereinigt und die Sägekanten geätzt (Abb. 4b), so dass Bereiche mit
Sägeschäden entfernt werden. Anschließend werden die Wafer in einem Ofen erwärmt, in den
Phosphorgase (Phosphin PH bzw. Phosphoroxychlorid POCl3) eingeleitet werden, die zu
Diphosphorpentoxid P2O5 reagieren. Bei hohen Temperaturen diffundiert Phosphor aus der
Verbindung in die Scheibe und erzeugt damit den p-n-Übergang, der etwa
1 µm unter der Oberfläche liegt (Abb. 4c). Da eine Dotierung allseitig erfolgt muss der p-n-
Übergang von den Kanten und der Rückseite abgeätzt werden (Abb. 4d). Nach einem weite-
ren Reinigungsschritt wird eine Antireflexionsschicht (ARC), üblicherweise Siliziumnitrid
SiNx, im PECVD-Verfahren (plasma enhanced chemical vapor deposition) auf dem Silizium-
Emitter abgeschieden (Abb. 4e). Die entstehende Schicht ist ca. 0,07 µm dick /15/. Im An-
schluss wird auf die Rückseite des Wafers im Siebdruckverfahren eine Aluminiumpaste auf-
gebracht (typisch: 6 bis 7 mg/cm², /6/, Abb. 4f). Da Aluminium nicht direkt lötbar ist, werden
zusätzlich Streifen aus einer Silberpalladium Paste auf die Rückseite gedruckt und anschlie-
- 6 -

Stand der Technik
ßend wird die Paste getrocknet (Abb. 4g und h). Auf der Vorderseite werden für die Kontak-
tierung im Regelfall zwei Streifen (Busbars, Breite ca. 2 mm, /15/) aus Silber aufgedruckt, auf
denen später die Bändchen zum Verbinden der Zellen befestigt werden (Abb. 4i). Außerdem
wird ein sehr dünnes Raster (Grid) aufgebracht, das einerseits den Lichteineinfall so wenig
wie möglich behindern und andererseits einen geringen ohmschen Widerstand aufweisen soll
/16/. Nach dem Drucken und Trocknen der Pasten folgt das Einbrennen der Kontaktierung um
die gewünschten elektrischen Kontakteigenschaften zu erreichen. Dies erfolgt in einem RTP-
Ofen bei ca. 800 °C. Der Front- und Rückseitenkontakt werden nahezu gleichzeitig bei der
maximalen Einbrenntemperatur erzeugt („Kofeuern“, /18/). Im Ergebnis besteht die Rückseite
der Zelle aus dem so genannten Back Surface Field (BSF, vernachlässigbare Dicke), einer
dünnen Al-Si-Schicht von 2-5 µm und einer 30-60 µm dicken Matrix aus Aluminiumpaste
(Füllvolumen 50-70 %, Abb. 4m /6/). Die Rasterlinien sind zwischen 50 und 100 µm breit mit
einer Höhe von etwa 10 bis 20 µm /17/, /19/. Abb. 5 zeigt den schematischen Aufbau einer
fertig prozessierten kommerziellen Solarzelle mit Kontaktgrid (H-Muster).
Abb. 5: schematische Darstellung einer Solarzelle mit Richtwerten der Abmessungen, Foto Standardzelle
mit Frontkontakt, (/15/, /17/, /19/)
- 7 -

2.1.4 Rapid Thermal Processing (RTP)
Stand der Technik
Rapid Thermal Processing ist ein Überbegriff für die Bearbeitung von Wafern in einem Hoch-
temperaturprozess, bei dem eine sehr rasche Aufheizung und Abkühlung erfolgt. Die in 2.1.3
beschriebenen Schritte zur Erzeugung des p-n-Übergangs, der Rückseitenmetallisierung und
der Kontaktierung werden in einem RTP-Ofen durchgeführt. Der RTP-Ofen ermöglicht hohe
Heiz- und Kühlraten (bis zu 100 K/s Heizen, 50 K/s Kühlen, /21/) und bietet eine hohe Flexibilität
in Bezug auf das Temperaturprogramm und die Gasatmosphäre. Er ist damit gut geeignet
für Studien und zur Optimierung des Brennprozesses und der Kontaktherstellung. Mit
dem RTP wird die Prozesszeit reduziert und die Wärmebilanz je Wafer verbessert. Es kann
folglich ein hoher Durchsatz und geringere Kosten erreicht werden, womit sich der Ofen als
Alternative zu infrarotbeheizten Bändern in der Industrie etabliert /17/.
Abb. 6: a) schematische Darstellung eines RTP-Ofens /17/
b) exemplarische Darstellung des Temperaturverlaufs beim Einbrennprozess /17/
Der RTP-Ofen ist ein goldbeschichteter Reaktor mit wassergekühlten Wänden und beinhaltet
eine Quarzkammer, die mit N2 und entweder O2 oder Formiergas gespült werden kann. Der
Heizvorgang erfolgt durch die Absorption von Wärmestrahlung, die durch Wolfram-
Halogenlampen erzeugt wird. Die Temperaturmessung erfolgt im Prozess mit einem Pyrometer
/17/. Abb. 6a zeigt die schematische Darstellung eines RTP-Ofens und Abb. 6b den exemplarischen
Ablauf des Einbrennprozesses. Dieser gliedert sich in vier Einzelschritte /17/:
1. Spülen der Kammer mit der Gasatmosphäre, die in Phase 2 benötigt wird
2. Ausbrennen der organischen Binder aus den Pasten zwischen 300 und 400 °C
3. Einstellung der elektrischen Parameter beim Einbrennen bei etwa 800 °C
4. Quarzkammer wird erneut geflutet und der Wafer durch Konvektion gekühlt
- 8 -

2.1.5 Solarmodulherstellung
Stand der Technik
Die Leistung einer Solarzelle wird in Wattpeak (Wp) angegeben und unter Standardbedin-
gungen (Spektrum AM1.5, Zelltemperatur: 25 °C, Intensität: 1000 W/m², /11/) gemessen. Bei
diesen Bedingungen erzeugt eine 10x10 cm² Solarzelle etwa 3 A Solarstrom, wobei die nutz-
bare Spannung etwa 0,5 V beträgt /20/. Die elektrische Spitzenleistung liegt damit bei 1,5 W.
Um technisch nutzbare Leistungen zu erzielen werden die Solarzellen in Reihe geschaltet.
Hierfür werden die Frontseitenkontakte einer Zelle mit den Rückseitenkontakten der nächsten
Zelle mittels eines Kupferbändchens (Dicke: ca. 150 µm, /5/) verlötet. Die Anordnung wird
als Zellstring bezeichnet.
Abb. 7: Ablauf einer Solarmodulherstellung /23/
Der Ablauf der Modulherstellung ist in Abb. 7 im Blockdiagramm dargestellt. Für die not-
wendige mechanische Steifigkeit des Solarmoduls bei gleichzeitig hoher Transmission sorgt
eine Scheibe aus eisenarmem gehärtetem Weißglas. Zu Beginn muss das Glas gereinigt wer-
den. Auf das Glas kommt eine zugeschnittene Einbettungsfolie und mehrere Zellstrings werden
nebeneinander auf der Folie positioniert. Anschließend werden die Querverbinder, die die
einzelnen Stränge verbinden und zur Anschlussdose führen, positioniert und verlötet. Danach
werden die Solarzellen mit einer weiteren Folie Einbettungsmaterial und entweder einem
Rückseitenfolienverbund oder einer weiteren Glasscheibe bedeckt. Die Einbettungsfolie dient
zum Schutz der Zellen gegen mechanische Beanspruchung, Witterungseinflüsse, Feuchtigkeit
und der elektrischen Isolation. In der Regel wird Ethylenvinylacetat (EVA) verwendet. Der
Rückseitenfolienverbund besteht aus zwei dünnen Polyvinylfluorid-Folien (PVF, Tedlar®)
und einer dickeren Polyethylenterephtalat-Folie (PET). Dieser Verbund gewährleistet die
elektrische Isolation nach hinten und ist gleichzeitig witterungsstabil /23/.
Der nächste Produktionsschritt ist die Vakuumlamination bei ca. 150 °C. In diesem Schritt
bildet sich aus der bis dahin milchigen EVA-Folie eine klare, dreidimensional vernetzte und
- 9 -

Stand der Technik
nicht mehr aufschmelzbare Kunststoffschicht, in der die Zellen eingebettet sind. Nach dem
Laminieren wird die überstehende Folie entfernt, die Kanten versiegelt und die Anschlussdose
auf die Rückseite geklebt und mit Freilaufdioden bestückt. Je nach Befestigungstechnik erhal-
ten die Module noch einen Rahmen aus Aluminium oder sie werden als reine Laminate ver-
kauft. Zum Abschluss erfolgt noch ein Hochspannungs- und Leistungstest sowie die Reinigung
und Verpackung /23/. Abb. 8 zeigt das fertige Solarmodul im Querschnitt. Dieses besteht
je nach Größe aus 8 bis über 50 Solarzellen und erreicht eine Leistung von 15 bis
300 Wp /20/.
Abb. 8: Querschnitt durch ein Silizium-Solarzellenmodul /20/
2.1.6 Zusammenfassung der Belastungen in der Modulfertigung
Im beschriebenen Herstellungsprozess der Solarzelle treten bereits eine Reihe von Vorbelastungen
auf. Die bei der Erstarrung aus dem flüssigen Zustand entstehenden inneren Spannungen
sind die erste Unbekannte. Allerdings wird durch gezielte Abkühlung ein möglichst spannungsarmer
Zustand angestrebt, so dass innere Spannungen als vernachlässigbar klein angenommen
werden. Hinzu kommen die durch den Sägeprozess entstehenden Belastungen. Hier
soll davon ausgegangen, dass rein elastische Verformungen im Wafer auftreten und sich nur
Oberflächen- und Kantendefekte durch den Prozess erhöhen, wodurch sich die Festigkeit verringert,
der Eigenspannungszustand aber nicht verändert. Der reine Si-Wafer wird auf der
Grundlage dieser Annahmen als spannungsfrei angesehen.
Nicht zu vernachlässigende thermische Belastungen werden durch die Weiterverarbeitung des
Wafers zur Solarzelle hervorgerufen. Die Ursache liegt in den zum Teil sehr großen Unterschieden
in der thermischen Ausdehnung der Beschichtungsmaterialien im Vergleich zum
Silizium. Im Besonderen betrifft dies das Einbrennen der Aluminiumrückseitenbeschichtung
und das Aufbringen der Kontaktierung aus Silber. Weitere Belastungen wirken beim Trans-
- 10 -

Stand der Technik
port und innerhalb der Handlingstationen auf die Zellen. Diese wirken meist lokal und sind
nur schwer zu quantifizieren, können sich jedoch in einer erhöhten Bruchrate äußern.
Eine lokale thermische Beanspruchung erfolgt bei der elektrischen Verschaltung der einzel-
nen Zellen mit Kupferbändchen in einem Lötprozess. Um die Belastungen so gering wie mög-
lich zu halten, wird ein Weichlötprozess angewendet (Arbeitstemperatur < 450 °C, /24/). Am
häufigsten werden Zinn-Blei-Weichlote mit Kupfer-, Silber- und Phosphorzusätzen verwen-
det. In Abhängigkeit vom Lot wird die Lötstelle lokal auf Temperaturen zwischen 230 und
300 °C erwärmt (/24/). Zur Verminderung der Temperaturdifferenz werden die Zellen zu-
nächst vorgeheizt. Als übliche Temperatur werden z.B. 120 °C von Solarworld angegeben.
Bei der anschließenden Einbettung der Zellstrings erfolgt eine Erwärmung auf Laminiertem-
peratur (ca. 150 °C, /25/), wobei in diesem Schritt weitere Materialien (Glas, Einbettungsfo-
lie) mit unterschiedlicher Ausdehnung hinzukommen.
Abb. 9: „Lastenreihenfolge“ für die Bestimmung des Eigenspannungszustands der Solarzellen im Modul
Aus diesen Abläufen folgt die in Abb. 9 dargestellte „Lastreihenfolge“ aus der sich die Be-
rechnungsschritte zur Bestimmung des Eigenspannungszustandes der Solarzellen im Solar-
modul ergeben. Hierin werden aufgrund der geringen Dicke der Zelle Temperaturänderungen,
die die ganze Zelle betreffen als homogen angesehen, so dass die gesamte Zelle eine einheitliche
Temperatur aufweist. Für das gesamte Modul soll angenommen werden, dass Anfangsund
Endzustand eine homogene Temperaturverteilung besitzen, so dass auf die Berechnung
des Temperaturverlaufs verzichtet werden kann. Diese Vereinfachung ist für das gesamte
Modul nur eine Näherung, da in /25/ gezeigt wurde, dass während der Haltephase des Laminierprozesses
ein Temperaturgradient von 5 bis 9 K im Laminat vorhanden sein kann. Ebenso
sollen zeitabhängige Vorgänge bei der Prozessierung vernachlässigt werden.
Aus dieser Vielzahl von Einschränkungen ist bereits zu erkennen, dass im Rahmen der vorliegenden
Arbeit nicht jeder Prozessschritt bis ins Detail abgebildet werden kann. Hierzu ist eine
Prozesssimulation notwendig, die sich mit der Auswirkung von Parameteränderungen befasst,
- 11 -

Stand der Technik
sowie Experimente zum Abgleich von Materialmodellen und zur Ermittlung der Materialpa-
rameter. Ein konkreter Ablauf, mit den Prozessparametern, kann wie folgt aufgestellt werden
(vgl. Abb. 9):
1. Abkühlen des Wafers mit der Al-Schicht auf Raumtemperatur von der Eutekti-
kumstemperatur des AlSi (577 °C) als dehnungsfreie Temperatur
2. Abkühlen der Zelle auf Raumtemperatur
3. Vorwärmen der Zellen auf 120 °C
4. Verlötung der Zellen bei 280 °C, (Referenztemperatur des Kupfers)
o Berechnung des Temperaturfeld durch den Lötprozess
o Berechnung der Spannungen durch den Prozess
5. Abkühlen des Zellstrings auf Raumtemperatur
6. Erwärmung des Zellstrings auf Laminiertemperatur (150 °C)
7. Abkühlen des gesamten Moduls auf Raumtemperatur
In dieser Arbeit beschränken sich die Untersuchungen auf den Einbrennprozess, in dem die
größte Temperaturänderung auftritt, und den Laminierprozess in einer vereinfachten Form.
2.1.7 Belastungen im Betrieb
Die Anforderungen für die Zertifizierung von Photovoltaikmodulen mit Zellen aus kristalli-
nem Silizium sind in IEC 61215 festlegt. Für die mechanische Prüfung schreibt die Norm eine
Last von 2400 Pa vor, die sowohl auf die Vorderseite (Winddruck) als auch auf die Rückseite
(Windsog) des Moduls aufgebracht werden muss. Das entspricht einer Windgeschwindigkeit
von 130 km/h mit einem Sicherheitsfaktor von 3 für böige Winde. Die Last soll flächig auf-
gebracht werden und wird für 1h aufrechterhalten. Der Vorgang muss dreimal für Windsog
und -druck wiederholt werden. Um nachzuweisen, dass ein Modul größeren Schnee- und Eis-
ablagerungen standhalten kann, muss die aufgebrachte Druckbelastung auf 5400 Pa erhöht
werden. Das Modul ist für die Prüfung nach den Herstellervorgaben an einem starren Aufbau
zu befestigen. Wenn mehrere Befestigungsverfahren möglich sind, so ist die ungünstigste
Anordnung mit dem größten Abstand zwischen den Befestigungsstellen zu verwenden /8/.
Des Weiteren sieht die Norm eine Temperaturwechselprüfung vor. Hiermit soll sichergestellt
werden, dass das Modul Beanspruchungen durch thermische Fehlanpassung, Materialermü-
dung und anderen Belastungen, die durch wiederholte Temperaturänderungen hervorgerufen
werden, standhalten kann. Die Durchführung dieser Prüfung erfolgt in einer Klimakammer
mit automatischer Temperaturregelung und Luftumwälzung. Entsprechend dem Profil in Abb.
10 ist das Modul Temperaturwechseln zwischen ( - 40 ± 2 ) °C und ( )
- 12 -
+ 85 ± 2 °C auszusetzen.

Stand der Technik
Die Änderungsgeschwindigkeit soll dabei kleiner als 100 °C/h sein und die Temperatur an
den Grenzwerten für mindestens 10 min konstant gehalten werden. Die Gesamtzyklusdauer
darf nicht größer als 6 Stunden sein, sofern die Größe der Wärmekapazität des Moduls keine
längere Zykluszeit erforderlich macht. Der Zyklus ist 50 Mal zu wiederholen. Während der
gesamten Messung ist der Stromfluss zu überwachen und die Temperatur aufzuzeichnen /26/.
Abb. 10: Schema Temperaturwechselprüfung nach IEC 61215 /26/
Die Norm versucht durch die vorgeschlagenen Tests Worst-Case-Szenarien zu erfassen, so
dass auf die Zuverlässigkeit über einen langen Zeitraum geschlossen werden kann. Allerdings
ist damit nicht ausgeschlossen, dass nicht weitere Lastszenarien existieren, die tatsächliche
Gegebenheiten besser abbilden. So ist z.B. die Erwärmung der Zellen im Betrieb auf etwa 45
bis 50 °C bei einer Umgebungstemperatur von 20 °C (/27/) nicht erfasst. Die Auswirkungen
einer solchen Belastung können mit einem Berechnungsmodell untersucht werden.
- 13 -

2.2 Theorie von Spannungen in dünnen Schichten
- 14 -
Stand der Technik
Die Messung der Verformung von beschichteten Substraten wird in der Mikroelektronik sehr
häufig zur Bestimmung von Eigenspannungen angewendet /28/. Wenn Substrate beschichtet
sind, entstehen bei einer Temperaturänderung, aufgrund von unterschiedlicher thermischer
Ausdehnung, Spannungen, die zu einer Verbiegung führen. Durch Messung der Änderung der
Krümmung kann auf die Spannung in der Schicht geschlossen werden. Für einen balkenförmigen
Probekörper lautet die Beziehung, die auf G.G. Stoney zurückgeht /29/:
2
ES
⋅t
S 1
(2-1)
σ f = − ⋅
6⋅
t R
f
σ - Normalspannung in der Schicht
f
E - Elastizitätsmodul des Substrates
S
t S , t - Dicke des Substrates bzw. der Schicht
f
R - Krümmungsradius
Neben kleinen Verformungen und linear elastischem Verhalten des Substrates wird für die
Schicht angenommen, dass die Spannung konstant über die Dicke ist. Diese Bedingung ist
umso exakter erfüllt je dünner die Schicht im Vergleich zum Substrat ist und wird auch bei
plastischer Deformation in der Beschichtung erfüllt. Ein weiterer Vorteil besteht darin, dass
für die Berechnung keine Kenntnis der mechanischen Eigenschaften der Schicht notwendig
sind /28/. Dabei setzt sich die Spannung in der Schicht zusammen aus eingeprägten Spannungen
und den thermischen Spannungen aufgrund von unterschiedlicher thermischer Ausdehnung
/30/:
σ = σ + σ
(2-2)
f
th
i
Bei dünnen Schichten steht im linear-elastischen Bereich folgende Näherungsgleichung zur
Berechnung der thermischen Spannung in der Schicht zur Verfügung /32/:
th
σ = E α −α
⋅ T − T
(2-3)
f
f
( ) ( )
S
f
ref
T - aktuelle Temperatur
T - Referenztemperatur
ref
E - Elastizitätsmodul der Schicht
f
α S, α - Temperaturausdehnungskoeffizient des Substrates bzw. der Schicht
f
Eine Übertragung der Gleichung (2-1) und (2-3) auf kreisrunde Wafer ist durch Ersetzen des
E /1 ( )
E-Moduls durch den „biaxialen“ Modul
i
Ei - i
ν möglich /33/. Wenn Probekörper einer

Stand der Technik
Temperaturänderung unterworfen werden und davon ausgegangen wird, dass sich die inneren
Spannungen σ i nicht ändern, gilt folgender Zusammenhang:
Δσ
Δσ
f
f
=
=
th
th
( σ f ( T1
) + σ i ) − σ f ( T0
)
th
th
σ ( T ) −σ
( T ) = Δσ
f
1
2
ES
⋅t
S ⎛ 1 1 ⎞
− ⋅ = E f ⋅
6 t ⎜ −
f R R ⎟
⋅ ⎝ 0 ⎠
2
ES
⋅ t S
− ⋅ Δκ
= E f
6 ⋅ t
⋅ S α f
f
f
( + σ )
0
th
f
( α −α
) ⋅ ( T − T )
( α − ) ⋅ ΔT
S
i
f
1
0
(2-4)
Stehen Probekörper mit zwei bekannten Substraten zur Verfügung kann Gleichung (2-4) für
jeden Probekörper aufgestellt werden und man erhält zwei Gleichungen für die unbekannten
elastischen Größen der Schicht. Unter Beachtung der Voraussetzungen können folgende all-
gemeine Beziehungen gefunden werden:
α
E
f
f
mit
=
C ⋅α
S 2 ⋅ ΔT2
−α
S1
= −
6 ⋅t
⋅ ΔT
C ⋅ ΔT
− ΔT
f 2
E
C =
E
S1
S 2
⋅t
⋅t
2
2
ES
2 ⋅t
S 2
⋅ ΔR
⋅ Δ
2
2
S1
2
S 2
t
⋅
t
1
1
( C ⋅ ΔT2
− ΔT1
)
T ⋅ ΔT
( α −α
)
1
f 2
f 1
2
ΔR
⋅
ΔR
2
1
S1
S 2
(2-5)
(2-6)
Der Index steht für die jeweilige Messung und das zugehörige Substrat. Bei der Anwendung
der Gleichung von Stoney auf dicke Schichten nimmt der Fehler sehr schnell zu und die be-
rechnete Spannung ist nur noch ein Mittelwert für die betrachtete Schicht. In Anlage A1 wird
die Genauigkeit der beiden Approximationsgleichungen im Vergleich zu einer exakten Lö-
sung dargestellt. Für genaue Ergebnisse mit einem Fehler < 1 % sollte das Dickenverhältnis
t / kleiner als 0,
01 sein.
f tS
- 15 -

2.3 Charakterisierung von dünnen Schichten
Stand der Technik
Umfangreiche Untersuchungen von mechanischen Spannungen in Aluminiumschichten als
Funktion der Temperatur haben Gardner und Flinn (/31/, /32/, /33/) durchgeführt. Die Schich-
ten wurden auf Siliziumsubstraten durch Gasphasenabscheidung und Sputtern hergestellt.
Eine Spannung in der Schicht wird auf die Ausbildung einer Verformung durch die unter-
schiedliche thermische Ausdehnung zwischen Schicht und Siliziumsubstrat zurückgeführt, die
mit einer Laserabtasteinrichtung bestimmt wird /32/. Die gemessenen Spannungs-Temperatur-
Diagramme sind vergleichbar mit Spannungs-Dehnungs-Diagrammen /32/.
Zwei Spannungstypen werden für dünne Schichten beschrieben: eingeprägte Spannungen und
Temperaturspannungen. Die eingeprägten Spannungen entstehen beim Aufbau der Beschich-
tung und können aus Defekten oder Unterschieden in der Gitterstruktur von Beschichtung und
Substrat entstehen. Temperaturspannungen entstehen aufgrund der unterschiedlichen thermischen
Ausdehnung der Komponenten, wenn eine Temperaturänderung auftritt. Wegen der
großen Differenz der thermischen Ausdehnungskoeffizienten von Aluminium und Silizium ist
eine Verformung kaum zu vermeiden. Durch die niedrige Festigkeit des Aluminiums und den
niedrigen Schmelzpunkt wird die Fließgrenze sehr leicht überschritten. Dies stellt einen Vorteil
dar, da Spannungen die eine Delamination zur Folge haben durch plastische Deformationen
abgebaut werden können (Relaxation) /31/. Während die elastische Komponente des
Schichtsystems noch gut beschrieben werden kann ist die gemessene Spannung bei plastischer
Deformation schwieriger zu modellieren. Aus den durchgeführten Messungen wurden
von Gardner und Flinn 8 Bereiche im Spannungs-Temperatur-Diagramm identifiziert (vgl.
Abb. 11):
1. elastischer Bereich
2. Rekristallisation und
Kornwachstum
3. Elastisch/Plastischer
Übergang
4. Druckfließgrenze
5. elastischer Bereich der
Abkühlung
6. Zugfließgrenze
7. Verfestigung
8. Legierungsbildung durch Abb. 11: Regionen in der Spannungs-Temperatur-Kurve /33/
Festkörperreaktionen
- 16 -

2.4 Untersuchungen der Zellverbiegung
Stand der Technik
In Bezug auf diese Arbeit ist die Problematik der thermischen Ausdehnung bei der Herstellung
der Solarzellen von Bedeutung. Durch die großen Unterschiede in der thermischen Ausdehnung
der eingebrannten Al-Paste gegenüber dem Si-Grundkörper kommt es zur Verbiegung
des Wafers während der Abkühlung. Die Verbiegung beginnt nach der Erstarrung des
Al-Si-Eutektikums, da ab diesem Punkt ein Widerstand gegen eine unterschiedliche Dehnung
der Schichten auftritt. Das Verständnis der mechanischen Vorgänge bei der Waferprozessierung
wird vor allem durch die Verringerung der Dicke immer bedeutsamer, welche eine größere
Verbiegung zur Folge hat. Zur mechanischen Beschreibung wird in /6/ als Näherung ein
Bimetallbalkenmodell vorgeschlagen. Hierin wird als Referenzpunkt, an dem die Temperaturdehnung
Null ist, die Eutektikumstemperatur von 577 °C angenommen. Die Schichten sind
fest miteinander verbunden, so dass keine Relativbewegung möglich ist. Hieraus ergeben sich
drei Wege auf denen das System reagieren kann:
• Kompression des Si-Wafers
• Verbiegung des Wafers
• Elastische und plastische Deformation der Al-Si-Schicht und der Al-Matrix
Die Verformung δ , als Differenz zwischen der Mitte und dem Rand, eines Bimetallbalkens
aus Aluminium und Silizium, aufgrund einer Temperaturänderung Δ T kann berechnet werden
gemäß /44/:
δ =
4 ⋅ d
2
Al
⎛
⎜ d
4 + 6
⎜ d
⎝
( α − ) ⋅ ΔT
⋅ ( d + d )
2
3⋅ L α
Si
Al
Al
⎛ d
+ 4
⎜
⎝ d
δ - Waferverbiegung
Si
Al
Si
⎞
⎟
⎠
E
+
E
L - Kantenlänge der Solarzelle
2
Si
Al
Al
⎛ d
⎜
⎝ d
Si
Al
⎞
⎟
⎠
Si
3
E
+
E
α - Lineare Temperaturausdehnungskoeffizient
x
d - Schichtdicke
x
E - E-Modul
x
Al
Si
d
d
Al
Si
⎞
⎟
⎟
⎠
(2-7)
Diese Gleichung setzt die Biegung in nur einer Richtung voraus, was aufgrund der Plattenge-
ometrie mit gleich langen Seiten bereits eine deutliche Vereinfachung ist. Weiterhin wurde in
/6/ nachgewiesen, dass diese Formel nur unter Verwendung einer sehr weichen Al-Si-Matrix
mit gemessenen Werten übereinstimmt. Die Erklärung für diese Diskrepanz ist die Über-
schreitung der Fließgrenze des Al-Si bereits kurz nach Beginn der Erstarrung. Die folgende
Deformation ist plastisch und die Spannung im Rückseitenkontakt begrenzt durch die Fließ-
- 17 -

Stand der Technik
spannung σ F , die sich mit abnehmender Temperatur etwas erhöht. Auf der Grundlage dieser
Erkenntnisse wurde Gleichung (2-7) modifiziert /6/:
3 2 d
δ = ⋅ L ⋅
4 d
Al , F , eff
Al
2
Si
σ
Al,
F , eff
E
Si
σ - effektive Fließspannung der Al-Si-Matrix
(2-8)
Mit dieser Gleichung konnten, mit σ Al , F , eff als Parameter, experimentelle Ergebnisse nach-
vollzogen werden, wobei der ermittelte Wert σ = 15 MPa zwischen 10 und 20 % unter
Al,
F , eff
den Literaturwerten von kompaktem Al-Si liegt. Der Unterschied wird begründet durch eine
unvollständige Volumenfüllung (50 bis 70 %) und die Tatsache, dass die Teilchenverbindun-
gen der schwächste Teil in der Struktur sind. Mit diesem Verfahren ist es möglich die Wafer-
verbiegung zu beschreiben, eine genaue Aussage zu den im Wafer auftretenden Spannungen
ist jedoch nicht möglich.
Abb. 12: schematisches Spannungs-Dehnungsdiagramm des Rückseitenkontakts nach dem Einbrennen
mit Darstellung der Eliminierungsprozedur
Als Anwendung der Ergebnisse wurde ein Weg zur Reduzierung bzw. Eliminierung der Wa-
ferverbiegung, wie in Abb. 12 schematisch dargestellt, aufgezeigt. Dieser beruht auf einer
Abkühlung des Wafers unter Raumtemperatur. Beim normalen Abkühlvorgang besitzt die
Paste bei Raumtemperatur eine Gesamtdehnung von 1,1 %, wobei eine plastische Deformati-
on von 0,6 % vorhanden ist. Der verbleibende Anteil ist eine elastische Dehnung aufgrund der
Verbiegung. Durch eine Unterkühlung vergrößert sich die plastische Deformation der Paste,
während die Spannungen und damit die Verbiegung nahezu identisch bleiben. Bei einer be-
stimmten Temperatur (im Beispiel -50 °C) wird ein Zuwachs der plastischen Dehnung, der so
groß wie der Anteil der elastischen Dehnung bei Raumtemperatur ist, erreicht. Bei der Wie-
dererwärmung auf Raumtemperatur expandiert die Al-Matrix stärker als der Si-Wafer und die
elastische Dehnung wird durch die zusätzliche plastische Dehnung kompensiert, so dass die
resultierende Spannung zu Null wird.
- 18 -

3 Grundlagen
3.1 Thermomechanische Grundlagen
- 19 -
Grundlagen
Für die vorliegende Arbeit sind die Thermoelastizität in Zusammenhang mit den durch die
Temperaturänderungen hervorgerufenen Dehnungen und den zugehörigen Spannungen von
Bedeutung. Die Schlüsselkomponente zur Beschreibung der Temperaturdehnungen in der
linearen Thermoelastizität ist der Temperaturausdehnungskoeffizient. Es soll gezeigt werden,
dass bei der Anwendung von temperaturabhängigen Werten auf die Definitionstemperatur
und die richtige Wahl der Referenztemperatur zu achten ist. Um die wegabhängigen Effekte
bei der Abkühlung des Wafers abzubilden, die durch eine bleibende Deformation der Metallisierungspaste
erklärt werden können, wird die Anwendung der Plastizitätstheorie vorgestellt.
3.1.1 Grundgleichungen der linearen Thermoelastizität
In der klassischen linearen Elastizitätstheorie setzen sich die Komponenten des Dehnungsvek-
el
tors aus den elastischen Dehnungen { ε } , die durch mechanische Spannungen erzeugt wer-
th
den, und Temperaturdehnungen { ε } , die durch eine Temperaturänderung ΔT
hervorgerufen
werden zusammen /34/:
el th
{ ε} { ε } { ε }
= + (3-1)
T
{} { ε x ε y ε z γ xy γ yz γ xz
ε = } - Gesamtdehnungsvektor
el { ε }
- Vektor der elastischen Dehnungen
th { ε }
- Vektor der Temperaturdehnungen
Im dreidimensionalen Fall lautet der Vektor der Temperaturdehnungen /35/:
{ } { 0 0 0} ( )
T
th se se se
ε = αxαyαz ⋅ T − Tref
se
α - linearer Temperaturausdehnungskoeffizient in Richtung i
i
T - aktuelle Temperatur
T - Referenztemperatur für die die Temperaturdehnung Null ist
ref
Für die elastischen Dehnungen gilt das Hooke’sche Gesetz:
el { ε } [ S]{
σ }
[ S ]
(3-2)
= (3-3)
{ } { } T
σ = σ σ σ σ σ σ
x y z xy yz xz
- Nachgiebigkeitsmatrix
- Spannungsvektor

- 20 -
Grundlagen
Die Nachgiebigkeitsmatrix [ S ] ist die zur Elastizitätsmatrix [ D ] inverse Matrix und beinhal-
tet die bekannten Werkstoffkenngrößen Elastizitätsmodul E , Querkontraktionszahl ν und
Schubmodul G indiziert für die jeweiligen Richtungen und Ebenen. Sie lautet für ein or-
thotropes Material /35/:
[ S]
⎡ 1/E x −νxy /E x −νxz
/Ex
0 0 0 ⎤
⎢
ν yx /E y 1/E y ν yz /Ey
0 0 0
⎥
⎢
− −
⎥
⎢−νzx /E z −νzy
/E z 1/Ez 0 0 0 ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ 0 0 0 1/Gxy 0 0 ⎥
⎢ 0 0 0 0 1/Gyz 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 1/Gxz⎥⎦
(3-4)
Nach Umformung von (3-3) und unter Berücksichtigung von [ ] [ ] 1
D S −
= , (3-1) und (3-2) ,
folgt die Beziehung zur Spannungsberechnung:
( ) [ ] {} { 0 0 0} ( )
T
th se se se
x y z ref
{ } [ ] {} { }
( )
σ = D ε − ε = D ε − α α α
⋅ T −T
(3-5)
Für ein isotropes Material reduzieren sich die unabhängigen Werkstoffeigenschaften auf drei
unabhängige Konstanten. Unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention, nach der
über gleich lautende Indizes zu summieren ist und die Einsteinsche Rangkonvention, nach der
die Indizes von 1 = x bis 3 = z laufen, können die Komponenten des Spannungstensors wie
folgt ausgerückt werden /36/:
E E⋅ν E se
σ = ε +
ε ⋅δ − α ⋅ΔT⋅
δ
( 1+ ν) ( 1+ ν)( 1−2ν) ( 1−2ν) ij ij kk ij ij
Für die Komponente σ xx lautet die Beziehung explizit:
( 1+ ν)( 1−2ν) se
( ( − ) + ( + ) − ⋅Δ ( + ) )
E
σ xx = εxx 1 ν ν εyy εzz α T 1 ν
3.1.2 Der thermische Ausdehnungskoeffizient
(3-6)
(3-7)
Mit steigender Temperatur nimmt die Schwingungsweite der Atome um ihre Gleichgewichts-
position zu und führt zu größeren zwischenatomaren Abständen. Dies hat eine Zunahme der
geometrischen Abmessungen eines Werkstoffes zur Folge. Der thermische Ausdehnungskoef-
fizient bzw. Temperaturausdehnungskoeffizient α beschreibt die relative Längenänderung
1
eines Körpers bei einer Temperaturänderung von 1 K . Die Angabe erfolgt in K . Die Größe
−
des Ausdehnungskoeffizienten hängt von der Stärke der zwischenatomaren Bindungen ab. In
Materialien mit starken Bindungen wächst der Abstand zwischen den Atomen infolge der mit

- 21 -
Grundlagen
der Temperatur zunehmenden Schwingungsweite nur langsam, ihr Ausdehnungskoeffizient ist
klein. Die meisten keramischen Materialien besitzen auf Grund ihrer starken ionischen oder
kovalenten Bindungen verglichen mit Metallen sehr kleine Ausdehnungskoeffizienten. In
einigen Gläsern wie Quarzglas trägt die kleine Packungsdichte der Atome dazu bei, dass sich
ihre Abmessungen durch Zufuhr thermischer Energie nur geringfügig ändern. In Polymeren
bestehen starke kovalente Bindungen längs der Kettenmoleküle, während die sekundären
Bindungen (Nebenvalenzbindungen) zwischen den Ketten dagegen schwach sind. Dies führt
zu vergleichsweise großen Ausdehnungskoeffizienten. Bei Vorhandensein starker Quervernetzung
sind die Ausdehnungskoeffizienten deutlich kleiner als in linearen Polymeren, wie
Polyethylen /39/.
Der Ausdehnungskoeffizient hängt von der Temperatur ab. Die Angabe von konstanten Werten
ist folglich beschränkt auf begrenzte Temperaturbereiche. Als Grundlage zur Bestimmung
des Ausdehnungskoeffizienten dienen DIN 51045 für allgemeine Werkstoffe und DIN 53752
für Kunststoffe. Diese Normen beschreiben die Ermittlung eines differentiellen oder mittleren
Ausdehnungskoeffizienten (vgl. Abschnitt 3.3.2).
se LT
− L0
1 ΔL
(3-8)
α ( T0
, T ) = = ⋅
L T − T L Δ
in 1 dL
α ( T ) = ⋅
L dT
( T , T )
0
0
( ) T
0
0
se
α - mittlerer linearer Ausdehnungskoeffizient
0
in
α ( T ) - differentieller Ausdehnungskoeffizient
T - Bezugstemperatur, im Regelfall 20 °C
0
T - Messtemperatur
L - Prüfkörperlänge bei T in Millimeter
0
L - Prüfkörperlänge bei T in Millimeter
T
Δ L - Längenänderung des Prüfkörpers bei Temperaturänderung
0
0
(3-9)
in
Der differentielle thermische Ausdehnungskoeffizient α ( T ) wird als Anstieg der Tangente
an eine Messkurve ΔL
/ ΔL
bestimmt, während der lineare Ausdehnungskoeffizient
0
se
α ( T , T ) als Sekante zwischen Bezugstemperatur und Messtemperatur ermittelt wird. Beide
0
Ausdehnungskoeffizienten führen bei der richtigen Anwendung zum selben Ergebnis bei der
Berechnung einer Längenänderung. Der lineare Ausdehnungskoeffizient ist am einfachsten
anzuwenden. Für eine gegebene Länge bei kann die Länge L bei T mit ( ) T T
se
α
,
L0 0 T T
0

- 22 -
Grundlagen
durch Umstellen von (3-8) berechnet werden. Der differentielle Ausdehnungskoeffizient er-
fordert das Aufsummieren (Integration) von inkrementellen Zuwächsen zwischen der An-
in
fangs- und Endtemperatur unter Verwendung von α ( T ) /40/.
Für die Berechnung von thermischen Spannungen muss eine Referenztemperatur T bekannt
sein bei der die Temperaturdehnung gleich Null ist. Bei der Anwendung des temperaturab-
se
se
hängigen linearen Ausdehnungskoeffizienten ist eine Anpassung von α T = α T , T not-
wendig, wenn die Referenztemperatur von der Bezugstemperatur T bei der Messung des
linearen Ausdehnungskoeffizienten abweicht. In diesem Fall muss ein Ausdehnungskoeffi-
zient
se
r
se ( ) α ( T , T )
T ref
0
0
ref
( ) ( )
α = bezogen auf die Referenztemperatur bestimmt werden. Für zwei
T0 ref
verschiedene Starttemperaturen und T ergibt sich die Temperaturdehnung wie folgt /35/:
th
0 =
se
0 ( )( −
T
0) =∫
T0
in
d
ε α T T T α T
th
r =
se
r − ref
T
= ∫
Tref
in
( )( ) d
ε α T T T α T
Um eine Umrechnung durchzuführen wird die rechte Seite von Gleichung (3-10) erweitert:
T
T ref
T
in in in
∫α dT = ∫ α dT
+ ∫ α dT
T T T
0 0
mit
Tref
∫
T0
ref
( )(
in se
α dT
= α T T −T
0 ref ref 0
Aus der Kombination von (3-11) bis (3-13) folgt die Anpassungsgleichung:
T −T
α α α α
( )
ref 0
( T) = 0 ( T) + 0 ( T) − 0 ( T ef )
se se se se
r
T −Tref
r
Diese Gleichung ist für T T trivial und für
)
= 0
T Tref
0
(3-10)
(3-11)
(3-12)
(3-13)
(3-14)
= nicht definiert. In letzterem Fall wird
ein Mittelwert aus den benachbarten neuen Werten gebildet oder der nächstliegende neue
Wert verwendet, wenn sich T an einem Ende der Eingabedaten befindet /35/.

3.1.3 Plastizitätstheorie
Grundlagen
In den Punkten 2.3 und 2.4 wurden bereits experimentelle Beobachtungen bei der Verbiegung
von beschichteten Wafern und konkret bei der Zellverbiegung vorgestellt, die auf eine plastische
Deformation der Metallisierungspaste hindeuten. Ab einer bestimmten Temperaturdifferenz
wird die Spannung in der Beschichtung so groß, dass die Spannungs-Dehnungs-
Beziehung zunächst nichtlinear wird (Überschreitung der Proportionalitätsgrenze). Wenn die
Spannungen durch weitere Temperaturänderungen die Fließgrenze überschreiten, erfolgt eine
Plastifizierung, die durch eine bleibende Verformung gekennzeichnet ist /35/. Hierbei wird
mechanische Arbeit unumkehrbar in Wärme überführt (dissipiert) und steht im Gegensatz zur
elastisch gespeicherten Energie nicht mehr zur Verfügung /38/. Zur Beschreibung dieser Vorgänge
in einem Modell ist es notwendig die Grundlagen der Plastizitätstheorie zu kennen.
Abb. 13: elastisch-plastische Spannungs-Dehnungskurve /35/
Im Regelfall besteht nur ein geringer Unterschied zwischen Proportionalitäts- und Fließgrenze
(vgl. Abb. 13), weshalb diese als übereinstimmend angenommen werden. Der Unterschied
zwischen einem nichtlinear elastischen und plastischen Verhalten wird folglich erst nach der
Entlastung sichtbar. Für rein elastisches Verhalten fallen die Be- und Entlastungskurve zusammen.
Beim Auftreten von Plastizität ist die Entlastungskurve von der Belastungsgeschichte
abhängig /43/. Die Abfolge der Belastungen in denen Plastizität auftritt hat damit einen
Einfluss auf das Endergebnis. Um zeitunabhängige Plastizität mathematisch zu beschreiben
sind drei Festlegungen zu treffen:
• Fließbedingung
• Fließgesetz
• Verfestigungsgesetz
- 23 -

3.1.3.1 Fließbedingung
- 24 -
Grundlagen
Die Fließbedingung bestimmt den Belastungszustand an dem Fließen auftritt. Für einen ein-
achsigen Spannungszustand (z.B. Zugversuch) ist die Bedingung einfach zu formulieren /43/:
σ < R : elastisches Verhalten
• 1 e
σ ≥ R : Fließen
• 1 e
Hierin ist R die Streckgrenze des Materials. Für mehrdimensionale Spannungszustände ist
eine Verallgemeinerung der Bedingung notwendig. Hierfür wird eine beanspruchungsabhän-
gige Größe
e
( { σ}
) = 0
( { σ}
)
F als Funktion des Spannungszustandes eingeführt:
F (3-15)
Für ein isotropes Material hängt die Fließbedingung nur von den drei Invarianten des Span-
nungstensors Iσ , IIσ und III σ ab /41/. Zur Formulierung der Fließbedingung existieren meh-
rere physikalische Interpretationen. Besonders bewährt und verbreitet hat sich die Bedingung
nach von Mises, die auch von ANSYS angeboten wird. Die Fließbedingung lautet in kartesi-
schen Koordinaten /43/:
2
[ ] − k
1
2
2
2
2 2 2
( { σ } ) = ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + 6 ⋅ ( τ + τ + τ )
F xx yy yy zz
zz xx
xy yz zx
2
Beziehungsweise für die Hauptspannungsrichtungen:
2 2
[ ] k
1
2
2
F( { σ } ) = ( σ 1 − σ 2 ) + ( σ 2 − σ 3 ) + ( σ 3 − σ 1 ) −
2
(3-16)
(3-17)
Hierin stellt k die eindimensionale Fließgrenze des Materials dar. Der Term der sich aus dem
Spannungszustand ergibt kann als Vergleichsspannung σ eqv interpretiert werden /35/. Somit
kann die Fließbedingung mit k = R analog zum eindimensionalen Spannungszustand formu-
liert werden:
• eqv < Re
σ : elastisches Verhalten
• eqv ≥ Re
σ : Fließen
e
Aus Gleichung (3-17) kann man erkennen, dass die Differenz der Hauptspannungen, nicht
aber die absolute Größe, entscheidend für den Beginn des Fließens ist. Es tritt auch bei sehr
großen Zug- oder Druckspannungen kein Fließen auf, solange die Bedingung F < 0 erfüllt
wird. Weiterhin gilt die von-Mises Fließbedingung nur für Materialen, deren Zug- und Druck-
festigkeit gleich ist
/42/. Zu beachten ist, dass die Vergleichsspannung nie größer als die
Fließspannung sein kann, da in diesem Fall das Material plastische Deformationen erfährt und
dadurch die Spannung auf die Fließspannung reduziert wird /35/.

Grundlagen
Die Deutung der Fließbedingung ist in Abb. 14 dargestellt. In der Ebene handelt es sich um
eine Ellipse und im Raum um einen Zylinder. Die entstehenden Flächen werden als Fließflächen
bezeichnet /43/.
Abb. 14: Darstellung der Fließbedingung nach von Mises /43/
a) Grenzlinie für einen ebenen Spannungszustand
b) Fließgrenzfläche für einen räumlichen Spannungszustand
Die Charakterisierung des Spannungszustands ist nun wie folgt möglich:
• Innerhalb des Zylinders: elastisches Verhalten
• Auf dem Zylinder: plastisches Verhalten
• Zustände außerhalb des Zylinders: nicht möglich
Eine weitere Bedingung geht auf Tresca zurück und ist wie folgt definiert:
( σ σ , σ ) ≡ τ krit
σ , =
(3-18)
eqv = T 1 2 3 max τ
In diesem Fall tritt Fließen bei einem kritischen Schubspannungswert ein.
3.1.3.2 Fließgesetz
Das Fließgesetz bestimmt die Richtung der plastischen Deformation. Nach der Zerlegung der
Verzerrungen in elastische und plastische Anteile, kann folgender Zusammenhang gefunden
werden /35/, /43/:
el pl −1
{ dε}
= { dε
} + { dε
} = [ D]
{ dσ
}
[ D ] - Elastizitätsmatrix
{ σ } - Spannungsvektor
⎧∂Q
⎫
+ λ ⋅ ⎨ ⎬
⎩∂σ
⎭
λ - Plastizitätsmultiplikator, der die Größe der plastischen Deformation bestimmt
Q - Plastisches Potential
- 25 -
(3-19)

Im Regelfall entspricht Q dem Fließkriterium ( { σ}
)
Grundlagen
F und wird dadurch als assoziativ be-
zeichnet. Die plastischen Dehnungen treten dann senkrecht zur Fließfläche auf.
3.1.3.3 Verfestigungsgesetz
Das Verfestigungsgesetz beschreibt die Veränderung der Fließfläche durch die plastische Ver-
formung, so dass die Bedingungen bei weiterer plastischer Deformation ermittelt werden kön-
nen. ANSYS bietet zwei Verfestigungsmechanismen an. Bei isotroper Verfestigung bleibt die
Fließfläche um ihre anfängliche Mittellinie zentriert und verändert ihre Größe, wenn eine
plastische Verformung erfolgt. Die kinematische Verfestigung geht davon aus, dass die Fließ-
fläche in ihrer Größe konstant bleibt und sich im Spannungsraum mit zunehmender Plastifi-
zierung bewegt /35/.
Abb. 15: Arten der Verfestigung, a) isotrope Verfestigung, b) kinematische Verfestigung /35/
Ein Material ohne Verfestigung verhält sich ideal-plastisch, d.h. die Fließfläche und das
Fließkriterium bleiben bei plastischer Deformation unverändert. Ein solches Material zeigt
das in Abb. 16a dargestellte Spannungs-Dehnungsverhalten. Hierbei nimmt ab dem Erreichen
der Fließspannung die Dehnung unter konstanter Spannung immer weiter zu und ist nur be-
grenzt durch die Bruchdehnung. Unter Berücksichtigung der Verfestigung steigt die Fließ-
spannung mit wachsender Dehnung (Abb. 16b).
Abb. 16: Einachsiges Spannungs-Dehnungsverhalten /43/
a) linear-elastisch-ideal-plastisches Verhalten
b) linear elastisches Verhalten mit Verfestigung im plastischen Bereich
- 26 -

3.1.3.4 Berechnung des Zuwachses der plastischen Dehnung
Grundlagen
Wenn die Vergleichsspannung, die durch die Verwendung elastischer Eigenschaften berech-
net wurde, die Fließgrenze des Materials übersteigt, so muss eine plastische Deformation auf-
treten. Die plastische Dehnung reduziert dabei den Spannungszustand so, dass das Fließkrite-
rium erfüllt wird. Durch Verfestigung ändert sich die Fließbedingung und Gleichung (3-17)
muss in folgende Form umgewandelt werden /35/:
( { σ}
, κ,
{ α}
) = 0
F (3-20)
Hierin ist κ die plastische Verformungsarbeit, die sich aus der Summe der plastischen Ver-
formungsarbeit über die gesamte Belastungsgeschichte ergibt:
T
pl
∫{
σ } [ M ]{ dε
}
κ =
(3-21)
Mit [ M ]
⎡1
⎢
⎢
0
⎢0
= ⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎣0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0⎤
0
⎥
⎥
0⎥
⎥
0⎥
0⎥
⎥
1⎥⎦
Die Verschiebung der Fließfläche ist ebenfalls abhängig von der Belastungsgeschichte und
wird durch den Verschiebungsvektor { α } beschrieben:
pl
{ } = ∫ C{ dε
}
α (3-22)
C - Materialparameter
{ α } - Rückspannung („back stress“, Lage des Zentrums der Fließfläche)
Durch Differentiation von Gleichung (3-20) erhält man die zu erfüllende Bedingung:
T
⎧∂F
⎫
∂F
⎧∂F
⎫
dF = ⎨ ⎬
⎨ ⎬ α
⎩∂σ
⎭
∂κ
⎩∂α
⎭
[ M ]{ dσ
} + dκ
+ [ M ]{ d } = 0
T
pl
pl
Mit dκ = { σ } [ M ]{ dε
} aus (3-21) und { d } C{
dε
}
T
T
α = aus (3-22) folgt:
⎧∂F
⎫
∂F
⎧∂F
⎫
dF = ⎨ ⎬
⎨ ⎬ ε
⎩∂σ
⎭
∂κ
⎩∂α
⎭
T
pl
pl
[ M ]{ dσ
} + { σ } [ M ]{ dε
} + [ M ] C{
d } = 0
T
(3-23)
(3-24)
Der Spannungszuwachs kann mit den Zusammenhängen aus dem Fließgesetz wie folgt berechnet
werden:
⎛
⎧∂Q
⎫⎞
{ d σ}
= [ D]
⋅⎜
{ dε}
− λ ⋅ ⎨ ⎬⎟
⎝ ⎩∂σ
⎭⎠
- 27 -
(3-25)

Grundlagen
Mit dieser Beziehung kann Gleichung (3-24) nach dem Plastizitätsmultiplikator λ umgeformt
werden:
λ =
⎧∂F
⎫
⎨ ⎬
⎩∂σ
⎭
T
T
⎧∂F
⎫
⎨ ⎬
⎩∂σ
⎭
⎧dQ
⎫ ∂F
⎨ ⎬
⎩dσ
⎭ ∂κ
[ M ][ D]{
dε}
⎧dQ
⎫
⎨ ⎬
⎩dσ
⎭
⎧dF
⎫
⎨ ⎬
⎩dα
⎭
T
[ M ][ D]
− { σ } [ M ] − C [ M ]
T
⎧dQ
⎫
⎨ ⎬
⎩dσ
⎭
(3-26)
Die Größe des Zuwachses der plastischen Dehnung λ ist durch (3-26) mit dem gesamten
Dehnungszuwachs, dem momentanen Spannungszustand und den spezifischen Formen der
Fließfläche und des plastischen Potentials verknüpft. Der Zuwachs der plastischen Dehnung
ergibt sich gemäß:
{ dε } pl
⎧∂Q
⎫
= λ ⎨ ⎬
⎩∂σ
⎭
- 28 -
(3-27)

3.2 Materialien
3.2.1 Silizium
- 29 -
Grundlagen
Das Element Silizium ist heute der wichtigste Halbleiter und Bestandteil der meisten mikro-
elektronischen Bauelemente. Die Wafer zur Herstellung von Solarzellen können sowohl aus
monokristallinem als auch multikristallinem Silizium bestehen (Herstellung vgl. Abschnitt
2.1.2). Da sich Multisiliziumwafer aus einkristallinen Bereichen zusammensetzen, können
bekannte Eigenschaften des Einkristalls auf den Vielkristall übertragen werden /45/.
Die Atome des Siliziums sind in einer Diamantstruktur angeordnet. Diese entsteht aus zwei
kubisch-flächenzentrierten (kfz) Gittern, die in Richtung der Raumdiagonalen um ein Viertel
versetzt sind (Abb. 17a). Das heißt jedes Silizium-Atom ist über kovalente Einfachbindungen
mit jeweils vier weiteren Atomen verknüpft /46/. In Abb. 17b sind die drei wichtigsten Kristallebenen
dargestellt. Zur Beschreibung der Kristallorientierung werden die Millerschen In-
dizes verwendet und für den kubischen Kristall wurden die [ 100] -, [010] - und [ 001] -
Richtungen als übereinstimmend mit der x-, y- und z-Achse gewählt. Aufgrund der Konstellation
der Atome und der Bindungen ergeben sich unterschiedliche Steifigkeiten für verschiedene
Gitterrichtungen. Diese ausgeprägte Anisotropie muss bei der Berechnung beachtet werden
/45/. Aus der Kenntnis der Lage der Gitterebenen lassen sich die Materialeigenschaften
wie E-Modul, Querkontraktionszahl und Schubmodul ermitteln und müssen den entsprechenden
Richtungen im Koordinatensystem des Berechnungsmodells zugeordnet werden.
Abb. 17: Siliziumgitter und wichtigste Ebenen des Siliziumkristalls in der Elementarzelle /46/
Die 21 voneinander unabhängigen Materialparameter bei anisotropen Materialien reduzieren
sich aufgrund von neun Symmetrieebenen auf drei im kubischen Siliziumgitter, wenn das

Grundlagen
Achsensystem parallel zu den Kristallachsen orientiert ist. Dieses Verhalten wird als orthotrop
bezeichnet. Man erhält die Nachgiebigkeitsmatrix in der folgenden Form /48/, /47/:
[ S ]
⎡s
⎢
⎢
s
⎢s
= ⎢
⎢ 0
⎢ 0
⎢
⎣ 0
11
12
12
s
s
s
12
11
12
0
0
0
s
s
s
12
12
11
0
0
0
s
0
0
0
44
0
0
s
0
0
0
0
44
0
0 ⎤
0
⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
0 ⎥
⎥
s44
⎥⎦
(3-28)
Die Nachgiebigkeiten drücken die Dehnung als Funktion der Spannung aus. Für einkristalli-
nes Silizium sind die Konstanten bezogen auf das kristallografische Achsensystem in Tabelle
2 aufgeführt. Für eine uniaxiale Belastung können für eine gegebene Orientierung die elasti-
schen Konstanten, wie für einen isotropen Werkstoff definiert werden. Nach Auswertung von
(3-3) erhält man z.B. für eine uniaxiale Spannung σ i in [100]-Richtung:
1
s
E , GPa ,
12
= = 130 02 ν 100 100 ( 010) = ν 100 ( 001)
=− = 0 2785
, ,
s11 s11
1
G100 ( 010)
= = 79510 GPa
,
s
44
(3-29)
Zur Berechnung der Komponenten der Nachgiebigkeitsmatrix für ein beliebig orientiertes
Koordinatensystem ist die Transformation des Nachgiebigkeitstensors notwendig. Die Trans-
formation von einer Kristallachse i x in die beliebige Achse xi ' wird beschrieben durch:
x ' = l ⋅ x + m ⋅ x + n ⋅ x i = , ,
(3-30)
i i 1 i 2 i 3 123
Dabei sind l, m,n die Richtungskosini zwischen den Achsen des ursprünglichen und denen
des neuen Koordinatensystems. Die Beziehungen können z.B. aus /47/ entnommen werden,
wonach sich die Komponente s11' wie folgt ergibt:
4 4 4 ( 1)
s ' = s + s l + m + n −
11 11 c 1 1 1
(3-31)
1
mit sc= s11 −s12 − s44
2
Abweichend von der (100)-Orientierung können die zwei Querkontraktionszahlen in der
Schnittebene unterschiedlich groß sein, wobei weiterhin die Symmetrie der Nachgiebigkeitsbzw.
Elastizitätsmatrix erhalten bleibt, so dass gilt:
ν
E
xy
x
ν
=
E
yx
y
ν
E
yz
y
ν
=
E
zy
z
ν
E
zy
z
ν
=
E
xz
x
Um Verwechslungen zu vermeiden wird zwischen minor und major Poisson’s ratio für eine
Schnittebene unterschieden. Für einige wichtige Waferorientierungen sind die elastischen
- 30 -

- 31 -
Grundlagen
Konstanten in Tabelle 1 angegeben. In /49/ ist die Temperaturabhängigkeit der elastischen
Konstanten angegeben. Die Verringerung zwischen 150 und 1000 K ist nahezu linear.
Tabelle 1: Elastische Konstanten für unterschiedliche Waferorientierungen
Koordinatenrichtung E-Modul [MPa] Koordinatenebene Major poisson’s ratio Schubmodul
[MPa]
(001)-Wafer mit x-Achse in [ 100] -Richtung
x 130024 xy 0,2785 79510
y 130024 yz 0,2785 79510
z 130024 xz 0,2785 79510
(001)-Wafer mit x-Achse in [ 110] -Richtung
x 168960 xy 0,0625 50850
y 168960 yz 0,3619 79510
z 130024 xz 0,3619 79510
(111)-Wafer mit x-Achse in ⎡
⎣
110⎤
⎦ -Richtung
x 168955 xy 0,2621 66934
y 168955 yz 0,1803 57793
z 187688 xz 0,1803 57793
Multikristallines Silizium besteht im Prinzip aus vielen Einkristallen, die alle das oben erläu-
terte elastische Verhalten aufweisen. Die einzelnen Kristalle sind jedoch beliebig im Raum
orientiert. Sofern eine Gleichverteilung aller Richtungen vorliegt können sich die unterschied-
lichen Elastizitäten gegenseitig aufheben und der Werkstoff verhält sich trotz lokaler Ani-
sotropie global isotrop. Für die Mittelung der elastischen Konstanten wurden Methoden von
Voigt und Reuss entwickelt, die in /49/ und /50/ beschrieben sind. Hill hat nachgewiesen, dass
die Methode von Voigt eine obere Grenze und die von Reuss die untere Grenze für die Abschätzung
des Schubmoduls liefert /50/. Daher wird eine Mittelung der Ergebnisse von Voigt
und Reuss vorgeschlagen. Für Silizium beträgt der so ermittelte isotrope E-Modul 162,5 GPa
und die zugehörige Querkontraktionszahl 0,223. In der Realität ist eine ideale Verteilung
meist nicht gegeben und folglich sind mehr oder weniger starke Abweichungen von den theoretischen
Werten vorhanden.
Zur Vorhersage der Zuverlässigkeit von Siliziumstrukturen muss die probabilistische Bruchmechanik
angewendet werden, da die Festigkeitseigenschaften aufgrund des spröden Materialverhaltens
sehr stark streuen /51/. Einen Einfluss auf die Zuverlässigkeit hat ebenfalls die
Art der Fertigung und Bearbeitung der Bauteile /52/. Zur Charakterisierung des spröden Verhaltens
wird die Weibullverteilung angewendet, deren Parameter durch Experimente be-

- 32 -
Grundlagen
stimmt werden müssen. Durch dieses Vorgehen kann dem nachgewiesenen Größeneffekt und
der Defektverteilung Rechnung getragen werden /51/.
Die thermische Ausdehnung von Silizium ist bereits von mehreren Autoren untersucht wor-
den. Aufgrund der hohen Reinheit, des geringen Ausdehnungskoeffizienten und des hohen
Schmelzpunktes wird Silizium als Standardmaterial für die thermische Ausdehnung bei hohen
Temperaturen betrachtet /53/. Die Ausdehnung wird als isotrop angesehen und auf die Dia-
mantstruktur zurückgeführt (/53/, /54/). Umfangreiche Daten für Temperaturausdehnungsko-
effizienten oberhalb von 300 K bis 1500 K werden von Okada /54/ und Okaji /55/ angegeben.
Im Bereich von 14 bis 340 K können die Ergebnisse von Lyon et al. /56/ mit einer Unsicher-
−9
−1
heit von ± 10 K herangezogen werden. Die gegebenen Werte sind in Abb. 18 dargestellt.
Abb. 18: Differentieller Temperaturausdehnungskoeffizient basierend auf /54/, /55/, /56/
Für den differentiellen Temperaturausdehnungskoeffizienten wird von Okada eine empirische
Formel für den Temperaturbereich von 120 bis 1500 K mit der Bezugstemperatur 273,2 K
angegeben /54/:
3 4
( ( ( ) )
)
( ) ( )
− − −
α T = 3, 725⋅ 1−exp −5, 88⋅10 T − 124 + 5, 548⋅10 ⋅T ⋅10
K
6 −1
(3-32)
−7
−1
Die Genauigkeit der Gleichung wird mit 2 ⋅10 K angegeben. Sehr gut nachvollziehbare
Messungen werden von Okaji dargestellt, der für den differentiellen Ausdehnungskoeffizien-
ten im Temperaturbereich zwischen 300 und 1300 K folgende Gleichung angibt /55/:
α
2
3
4
5 −6
−1
( T ) = ( + B ⋅T
+ C ⋅T
+ D ⋅T
+ E ⋅T
+ F ⋅T
) ⋅10
K
A (3-33)
−5 −11
mit
A =− 3, 6599918 C =−8,6489150 ⋅ 10 E =−5,3256454⋅10 −2 −8 −14
B = 3,9577389⋅ 10 D = 9,6569768⋅ 10 F = 1,1548206⋅10

- 33 -
Grundlagen
−8
−1
Die größte Abweichung dieser Anpassung von den 80 Messpunkten beträgt 2,1⋅10
K . Im
Vergleich zu Okada ist die Abweichung der Gleichung im angegebenen Geltungsbereich klei-
ner als
0,1 10 K
−6 − 1
⋅ . In Tabelle 2 ist ein Auszug der für diese Arbeit interessanten Material-
parameter zusammengefasst.
Tabelle 2: Eigenschaften von Silizium
bei Raumtemperatur (20 °C) /45/, /49/
Dichte /49/ 2329 kg/m³
Schmelztemperatur /49/ 1412 °C
Wärmeleitfähigkeit /49/ 156 W/m K
Spezifische Wärmekapazität /49/
Thermischer Ausdehnungskoeffizient /49/
Elastische Nachgiebigkeiten des Si-Einkristalls [GPa -1 ] /49/
713 J/kg K
2,59
s
s
s
11
12
44
=
=
−6
⋅10 K
− 1
0,
007691
= −0,
002142
0,
012577
Gemittelte Eigenschaften nach Voigt-Reuss-Hill /49/ E = 162, 5 GPa
ν = 0223 ,
Bruchfestigkeit /45/ 0,57 … 4,9 GPa
Weibull Modul /45/ 3 … 30,6
3.2.2 Metallisierungspasten
Bei der Standardsolarzelle kommen Pasten mit
den Hauptbestandteilen Aluminium und Silber
zum Einsatz. Die Aluminiumpaste dient zur großflächigen elektrischen
Passivierung der
Rückseite durch die Bildung des BSF. Die Silberpaste kontaktiert in Form von Kontaktfin-
gern den Emitter auf der Vorderseite und sammelt die entstehenden Ladungsträger. Das Layout
wird durch breitere Streifen auf der Vorder- und Rückseite komplettiert, so dass die einzelnen
Zellen elektrisch verschaltet werden können. Die Pasten werden im Siebdruckverfahren
aufgebracht und anschließend eingebrannt.
Die Aluminiumpaste besteht aus Aluminiumpartikeln mit einem Durchmesser zwischen 1 und
10 µm, einer Glasfritte, organischen Bindern und
Lösemitteln /18/. Unter Glasfritte versteht
man ein poröses Material, z.B. ein Blei-Bor-Silikat-Glas, dass als Binder zwischen den Metallpartikeln
und dem Siliziumsubstrat fungiert und den Sinterprozess beim Einbrennen unterstützt
/57/. Die organischen Bestandteile verbessern das rheologische Verhalten der Paste.
Abb. 19 zeigt schematisch die Vorgänge während des Einbrennens der Aluminiumpaste. Oberhalb
von 660 °C (Schmelztemperatur des Aluminiums, /18/) entsteht eine flüssige Phase,

- 34 -
Grundlagen
die bei Erreichen der maximalen Temperatur aus 30 Atom-% Si und 70 Atom-% Al besteht
/6/ (Abb. 19a - c). Durch Diffusion von Aluminiumteilchen in das Silizium wird eine p+ Do-
tierung erzeugt /12/. Da nun unterschiedlich hoch dotierte p-Schichten aufeinander folgen,
entsteht ein elektrisches Feld, das so genannte BSF (Back Surface Field) /11/, /13/. Das BSF
ist besonders bei dünnen Solarzellen wichtig, da es durch seine passivierende Wirkung den
Wirkungsgrad steigert /5/. Bei Verringerung der Temperatur unter die eutektische Temperatur
der Al-Si-Legierung (577 °C, /14/) erstarrt die restliche flüssige Phase. Diese Al-Si-Schicht
hat die eutektische Zusammensetzung (11,7 % Si, /14/) und bestimmt den Reflexionsgrad der
Rückseite der Solarzelle und bewirkt durch die große Ausdehnung (bzw. Schrumpfung) des
enthaltenen Aluminiums eine Waferverbiegung /18/. Die mechanischen Eigenschaften der Al-
Si-Schicht sind dabei nur abhängig von ihrer Dicke, während die Eigenschaften der Al-Matrix
von den Prozessbedingungen (Partikelgröße, Flussmittel, Einbrennparameter) abhängen /6/.
Abb. 19: a-f) Schema zur Entstehung des Aluminium-BSF beim Einbrennprozess /18/;
g) REM-Aufnahme einer Q-Cells Standardzelle, IWM-H
h) REM-Aufnahme einer Q-Cells Standardzelle, IWM-H
Für die Silber-Paste ist die Zusammensetzung der Glasfrite ein wichtiger Bestandteil bei der
Kontaktherstellung, da das enthaltene Blei den Sintervorgang unterstützt /57/. Oberhalb von
600 °C tritt das enthaltene Bleioxid in Kontakt mit der Waferoberfläche und ätzt sich in die
Antireflexionsschicht und den Si-Emitter /58/. Als Ergebnis einer Redoxreaktion zwischen
Bleioxid und Silizium entsteht flüssiges Blei, das mit Silber ein flüssiges Silber-Blei-
Eutektikum bildet und das Silizium bei Temperaturen oberhalb von 700 °C lösen kann /57/.

- 35 -
Grundlagen
Beim Abkühlen nimmt die Löslichkeit des Silbers im Blei entsprechend des Zustandsdia-
gramms ab und Silberkristalle wachsen auf der Siliziumoberfläche.
Abb. 20: TEM Aufnahme des Ag/Si Kontakts mit Beugungsbildern der einzelnen Phasen /58/
Si-Substrat befindet sich unten und der Kontakt oben
P0-P4: Beugungsbilder von Ag die die gleiche Orientierung
wie Si aufweisen
GF: Glasfrite, diffuse Ringbeugung
Abb. 20 zeigt eine TEM-Aufnahme des Ag/Si Kontakts. Die Verbindung zum Silizium wird
durch kleine Ag-Kristalle mit einer Größe von 300 bis 400 nm gebildet, die bis zu 130 nm in
den Si-Emitter eindringen /59/. Die amorphe Glasfrite verteilt sich oberhalb der Ag/Si-
Verbindungsschicht zwischen den Ag-Kristalliten /59/. Ein Einlegieren wie bei der Al-Paste
ist bei der Silber-Paste allerdings nicht gewünscht, da die niedrige Löslichkeit von Silizium in
Silber unterhalb des Eutektikums (845 °C) zu großen Körnern führt, die die kleinen Verbindungskristallite
miteinander verbinden müssten /58/ Aus diesem Grund werden Einbrenntemperaturen
gewählt werden, die unterhalb dieser Temperatur liegen /59/.
Aufgrund der porösen Struktur und den Zusätzen differieren die effektiven
Eigenschaften der
Pasten von den Werten der Feststoffe. Zur Bestimmung des effektiven Elastizitätsmoduls und
des thermischen Ausdehnungskoeffizienten wurden Messungen vom Fraunhofer Institut für
Werkstoffmechanik in Freiburg durchgeführt. Die Methode beruht auf der Verformungsmessung
zweier unterschiedlicher Substrate, die mit demselben Material beschichtet wurden und
der Anwendung der Stoney-Gleichung (vgl. 2.2). Die Ergebnisse sind in Tabelle 3 aufgeführt
und den Feststoffwerten gegenübergestellt. Bei diesen Messungen liegt der E-Modul eine
Größenordnung unter den Feststoffwerten und folgt somit der vorangegangen Argumentation.
Der thermische Ausdehnungskoeffizient ist ebenfalls geringer, was auf eine gezielte Modifikation
der Pasteneigenschaften durch die Hersteller hindeutet, die inneren Spannungen zu
begrenzen.

Tabelle 3: effektive Eigenschaften von Silber- und Aluminiumpaste nach /60/
Material E Schicht
[ GPa ]
[ GPa]
−6 −1
E Feststoff
Schicht [ 10 K ]
- 36 -
Grundlagen
−6 −1
α α [ 10 K ]
Feststoff
Ag-Paste 7 ± 1
80 10 , 4 ± 1,
5
19 , 7
Al-Paste 6 ± 1
71 15 , 9 ± 1,
5
23 , 5
Zur Fließgrenze der Pasten werden in /60/ keine Angaben gemacht. Diese ist von einer Viel-
zahl von Faktoren abhängig, wie Korngröße, Verunreinigungen, Temperatur und Vorge-
schichte. In weichen Materialien wie Aluminium und Silber kommt hinzu, dass es keinen
scharfen Übergang zwischen elastischer und plastischer Deformation gibt, so dass eine gerin-
ge permanente Deformation auch bei sehr geringen Spannungen auftritt /31/. Eine exakte Be-
stimmung ist folglich nur schwer möglich und kann in weiten Bereichen schwanken wie die
Angaben in Tabelle 4 zeigen. Die Fließgrenze ist hierbei als die Spannung definiert, die erfor-
derlich ist, um eine bleibende Dehnung von 0,2 % hervorzurufen.
Tabelle 4: Fließgrenze von Aluminium und Silber bei RT
Material Umformgrad Fließspannung [MPa]
Aluminium, hochrein (99,999+ %) /31/ geglüht 15 – 20
40 % 80 – 90
Aluminium, kommerziell (99-99,7 %) /31/ geglüht 30 – 60
40 % 100 – 150
Silber (99,997+ %) /61/ geglüht 40 – 60
Die hohen Temperaturen beim Einbrennprozess liegen im Bereich der üblichen Glühtempera
turen für die beiden Grundwerkstoffe, so dass geringe Werte der Fließspannung bei Einbrenn-
temperatur zu erwarten sind. Durch die Zusätze in den Pasten, die zunehmende Deformation
und die Abnahme der Temperatur wird die Fließgrenze erhöht, so dass sich bei Raumtempera-
tur die höheren Werte ergeben können.

3.2.3 Glas
Grundlagen
Die hauptsächlichen Komponenten des technisch im Bauwesen und der Solarindustrie ver-
wendeten Kalk-Natronglasses sind Siliziumdioxid (SiO2, 69 bis 74 % ), Natriumoxid (Na2O,
12 bis 16 % ), Calciumoxid (CaO, 5 bis 12 % ), Magnesiumoxid (MgO, 0 bis 6 % ) und Alu-
miniumoxid (Al2O3, 0 bis 3 % ), sowie kleinere Anteile anderer Stoffe /62/. Durch die amor-
phe Struktur ist Glas gut lichtdurchlässig und verhält sich vollständig isotrop. In der Photovol-
taik wird Glas mit einem niedrigen Eisengehalt verwendet, damit eine hohe Transmission im
nutzbaren Bereich des Lichtspektrums der Sonne zwischen 380 und 1200 nm erreicht wird
/63/. Der Transmissionsgrad liegt bei 95 %. Glas zeichnet sich weiterhin durch seine sehr gute
Witterungsbeständigkeit aus, so dass die geforderte Widerstandsfähigkeit gegenüber der Ein-
wirkung von Sauerstoff, Wasserdampf und atmosphärischer Verschmutzungen über den ge-
forderten Zeitraum von mehr als 20 Jahren erreicht werden kann.
−6
−1
Der thermische Ausdehnungskoeffizient wird mit 8,
5⋅10
K angegeben, kann jedoch in
Abhängigkeit von der chemischen Zusammensetzung deutlich variieren (z.B. Quarzglas /64/:
−6
−1
−6
−1
0,51⋅10
K , Borosilikatglas /65/: 3,25⋅10
K ). Die Ausdehnung ist somit beim Stan-
−6
−1
dardglas größer als bei Silizium ( 2,59 ⋅10 K ) und muss durch die Einbettungsfolie ausge-
glichen werden.
Glas verhält sich linear-elastisch ohne plastische Verformungen. Wie bei Silizium wird durch
mikroskopische und makroskopische Oberflächenverletzungen der Wert der Biegefestigkeit
vermindert. Die Biegefestigkeit ist deshalb nur statistisch über einen zulässigen Wert der
Bruchwahrscheinlichkeit definiert und ist der Wert, bei dem mit einer statischen Sicherheit
von 95% noch kein Bruch aufgetreten ist. In Tabelle 5 sind die technischen Richtwerte für
Kalk-Natronglas zusammengefasst.
Tabelle 5: Eigenschaften von Kalk-Natronglas nach DIN EN 572-1 /62/
Dichte 2500 kg/m³
Schmelztemperatur 1412 °C
Wärmeleitfähigkeit 1 W/mK
Spezifische Wärmekapazität 720 J/kg K
Thermischer Ausdehnungskoeffizient
(Mittelwert zwischen 20 °C und 300 °C)
−6
8,
5 ⋅10 K
Elastische Eigenschaften
- 37 -
E = 70
GPa
ν = 0,2
−1

3.2.4 Ethylen-Vinylacetat (EVA)
Grundlagen
Ethylen-Vinylacetat ist ein Copolymer auf Basis von Polyethylen. Die Eigenschaften sind
maßgeblich abhängig vom Vinylacetatanteil, welcher für Photovoltaikanwendungen bei rund
33 %
liegt, und dem Schmelzindex (MI), der die Viskosität eines Kunststoffs charakterisiert
/63/. Mit steigendem Vinylacetat-Gehalt wird die Kristallisation immer mehr behindert, wo-
durch die Elastizität erhöht und die Witterungsbeständigkeit, Spannungsrissbeständigkeit,
Klebrigkeit sowie Flexibilität verbessert wird /66/. Dabei wird jedoch die Chemikalienbestän-
digkeit verringert. Durch seine amorphe Struktur ist EVA transparent, wobei die Lichtdurch-
lässigkeit vom Kristallinitätsgrad beeinflusst wird /67/.
EVA ist die in der Photovoltaik am häufigsten eingesetzte Einbettungsfolie und wird nach
/63/ aus folgenden Gründen als Verkapselungsmaterial eingesetzt:
• hoher elektrischer Widerstand und damit gute elektrische Isolation
• niedrige Verarbeitungs- und Schmelztemperatur
• geringe Wasseraufnahme
• gute optische Transmission
Die Verarbeitung erfolgt bei ca. 150 °C. Bei dieser Temperatur wird das EVA aufgeschmol-
zen, glasklar und vernetzt dreidimensional /7/. Nach dem Abkühlen entsteht ein dauerhafter
Verbund, der die Zellen vor Umwelteinflüssen schützt. Aufgrund der Variationsmöglichkeiten
in der Zusammensetzung müssen die materialspezifischen Eigenschaften experimentell bestimmt
werden. Weiterhin sind Additive enthalten, die für eine schnellere Vernetzung sorgen
und Schutz vor Alterung durch UV-Strahlung, Licht und Wärme sorgen. In Tabelle 6 sind die
Herstellerangaben für die in dieser Arbeit verwendete Folie von der Firma Etimex zusammengefasst.
Tabelle 6: Eigenschaften von vernetztem EVA Vistasolar fast-cure 496.10 /68/
Dichte 960 kg/m³
Sekantenmodul bei 1 % Dehnung 10-14 MPa
Reißdehnung 500-700 %
Thermischer Ausdehnungskoeffizient -43 bis -20 °C
spezif. elektrischer Widerstand
- 38 -
-19 bis +10 °C
>10 °C
90 ⋅ 10
200 ⋅ 10
400 ⋅ 10
−6
−1
K
−6
−1
K
−6
−1
K
14
> 10 Ω⋅ cm

3.2.5 Rückseitenfolienverbund
Grundlagen
Für die Rückseitenisolation von kristallinen Solarmodulen gibt es eine Reihe von industriellen
Lösungen. Eine wichtige Rolle spielt dabei Polyvinylfluorid (PVF) /70/. Polyvinylfluorid
wurde Anfang der sechziger Jahre vom Kunststoffhersteller DuPont unter dem Handelsnamen
Tedlar® eingeführt und wird als Folie vertrieben. PVF zeichnet sich durch geringe Wasseraufnahme
(

3.3 Messtechnik
Grundlagen
Für einige der vorgestellten Materialien sind nicht alle benötigten Kennwerte für die Berech-
nung bekannt oder nur unzureichend untersucht. Dies betrifft vor allem die elastischen Eigen-
schaften der Metallisierungspasten und detaillierte Informationen zur Temperaturabhängigkeit
des Ausdehnungskoeffizienten von EVA und dem Rückseitenfolienverbund. Der Zugversuch
als klassische Methode zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls entfällt aufgrund der Struktur
der Pasten. Daher werden im Folgenden die Möglichkeiten vorgestellt die im Rahmen dieser
Arbeit angewendet werden. Neben der Bestimmung des Elastizitätsmoduls aus Härtemessun-
gen und aus der Waferverbiegung gibt es die Möglichkeit eine Beziehung zwischen der Ei-
genfrequenz und dem E-Modul aufzustellen. Der Ausdehnungskoeffizient wird durch die
Auswertung der Längenänderungs-Temperaturkurve in der Thermomechanischen Analyse
bestimmt.
3.3.1 Bestimmung des Elastizitätsmoduls aus Härtemessungen
DIN EN ISO 14577-1 beschreibt das Prüfverfahren für die instrumentierte Eindringprüfung
zur Bestimmung der Härte und anderer Werkstoffparameter. Der Prüfvorgang kann entweder
kraft- oder eindringtiefengeregelt durchgeführt werden. Während des Eindringvorgangs werden
die Kraft und der Weg der plastischen und elastischen Verformung gemessen. Diese kontinuierliche
Aufzeichnung der wirkenden Kraft und der sich ergebenden Eindringtiefe ermöglicht
die Ermittlung der Härte und anderer Werkstoffparameter. Das Ergebnis der Prüfung
sind Messwertpaare der Prüfkraft und der entsprechenden Eindringtiefe als Funktion der Zeit,
wie in Abb. 21a schematisch darstellt /71/.
Abb. 21: a) schematische Darstellung der Indentermesswertkurve mit den Analyseparametern /72/
b) Querschnitt durch einen Eindruck mit Analyseparametern /72/
- 40 -

Grundlagen
Oliver und Pharr haben eine Analysemethode entwickelt mit der der elastische Eindringmodul
EIT
aus der Entlastungskurve bestimmt werden kann. Dieser ist mit dem Elastizitätsmodul
des Probenwerkstoffs vergleichbar und kann wie folgt berechnet werden /71/, /72/:
E
IT
2
1−ν
S =
2
1 1−ν
i −
E E
π
Er = ⋅
2
r i
S
A
p
ν S, ν - Poisson-Zahl der Probe/ des Eindringkörpers
i
E r , E - reduzierter Modul des Eindringkontaktes, E-Modul des Eindringkörpers
i
S - Kontaktsteifigkeit
A - projizierte Kontaktfläche
p
(3-34)
(3-35)
Gleichung (3-35) basiert auf der Annahme einer achsensymmetrischen Kontaktfläche. King
konnte zeigen, dass sie auch für flache Stempel und pyramidale Eindringkörper verwendet
werden kann /75/. Die Kontaktsteifigkeit S wird bestimmt als Anstieg ( dF / dh ) der Kurve
für die Prüfkraftrücknahme bei maximaler Prüfkraft F . Als Ansatz für eine Ausgleichs-
rechnung der Entlastungskurve mit dem Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate wird eine
Exponentialfunktion mit den Parametern α , m und h f empfohlen /72/:
( ) m
f
F = α ⋅ h− h
max
(3-36)
Der Anstieg wird anschließend durch Differentiation dieser Ausgleichsfunktion bei h er-
mittelt (vgl. Abb. 21a). Diese Ansatzfunktion reagiert weniger sensitiv auf zeitabhängige
Vorgänge und besitzt eine geringere Abhängigkeit von der Anzahl der verwendeten Datenpunkte
/72/. Die Verwendung eines linearen Fits hat diese Vorteile nicht und sollte nur bei
Reduzierung der Entlastungskurve auf die oberen 30 % benutzt werden. Je nach Qualität der
Kurve kann der auszuwertende Bereich reduziert werden /71/.
Aus der Berechnungsvorschrift ergeben sich folgende Fehlerquellen:
6
• Werte des Eindringprüfkörpers (Diamant: ν = 007 , ;E = 11410 , ⋅ MPa,
/72/)
• Poisson-Zahl ν S der Probe
i i
• Abweichung des Anstiegs der Ausgleichsfunktion S
• Gerätenachgiebigkeit C f
• Bestimmung der projizierten Fläche p A
- 41 -
max

Grundlagen
Der Einfluss der Querkontraktionszahl wird als gering angesehen (/76/) und daher kann in
erster Näherung der Wert des Festkörpers verwendet werden. Die Ermittlung der Gerätenachgiebigkeit
ist vor allem bei der Prüfung von Materialien mit hohem E-Modul von Bedeutung.
Zur Berücksichtigung wird Gleichung (3-35) erweitert und mit der Kontaktnachgiebigkeit C
als Kehrwert der Kontaktsteifigkeit gilt:
E
r
=
1 π
⋅
( C − C f ) 2 ⋅ Ap
(3-37)
Die Bestimmung der projizierten Fläche ist eine signifikante Fehlerquelle. Für die maximale
Eindringtiefe wird davon ausgegangen, dass das Material dieselbe Form wie der Eindringkörper
annimmt /72/. Damit ein Mittelwert für den E-Modul gemessen wird, werden vergleichsweise
große flache Stempel (Kantenlänge: 37 und 367 µm) verwendet. Die projizierte Fläche
entspricht in diesem Fall der Querschnittsfläche des Indenters. Zur genaueren Analyse muss
die Eindruckgröße im Lichtmikroskop bestimmt werden. Weiterhin wird ein Kugelindenter
(Durchmesser: 100 µm) verwendet, für den die projizierte Kontaktfläche in Abhängigkeit von
der Kontakttiefe h c gegeben ist durch /73/:
Ap = 2 π ⋅ c
2
π ⋅ R ⋅ hc
− h
(3-38)
Fmax
mit hc = hmax
− ε ⋅
S
Hierbei ist ε eine geometrische Konstante. Für konische Indenter gilt ε = 0,
72 , für flache
Stempel ist ε = 1 und für einen Paraboloid (Spezialfall: Kugel) ε = 0,
75 . Eine zusätzliche
Unsicherheit in der Bestimmung der Kontaktfläche entsteht durch das Aufwölben von Material
an den Rändern, da die Aluminiumschicht relativ weich im Vergleich zum Substrat ist.
Durch diesen Vorgang ist die tatsächliche Kontaktfläche größer und damit werden die Härte
und der Elastizitätsmodul überschätzt.
Die Anwendung dieser Methode auf dünne Schichten ist nicht ohne weiteres möglich, da das
Oliver-Pharr Modell für ein monolithisches Material entwickelt wurde. In der Arbeit von Saha
/74/ werden die Grenzen der Oliver-Pharr-Analyse dargestellt. Es wurde gezeigt, dass die
Substratsteifigkeit die gemessene Kontaktsteifigkeit bereits bei kleinen Eindringtiefen beeinflusst
und es deshalb schwierig ist den E-Modul der Schicht aus den reinen Messwerten zu
bestimmen. Dies wird darauf zurückgeführt, dass das elastische Feld unter dem Indenter nicht
nur von der Schicht abhängig ist sondern einen größeren Einflussbereich besitzt, der bis in das
Substrat reicht. Damit nur die Eigenschaften der Schicht gemessen werden, wird als Richtwert
eine maximale Eindringtiefe von weniger als 10 % der Schichtdicke angegeben.
- 42 -

3.3.2 Messung des thermischen Ausdehnungskoeffizienten
Grundlagen
Die Grundlagen zur Bestimmung des Temperaturausdehnungskoeffizienten sind in DIN
51045-1 angegeben. Die Messgröße ist die temperaturabhängige Längenänderung Δ L , die
wie folgt definiert ist /77/:
Δ L = LT
− L
(3-39)
0
L - Länge bei der Temperatur T
T
L - Ausgangslänge bei Anfangstemperatur T (im Regelfall 20 °C)
0
Zur Bestimmung der thermischen Längenänderung einer Probe dient das Dilatometer. In Abb.
22 ist das Funktionsprinzip des verwendeten Dilatometers der Firma Shimadzu dargestellt.
Das Gerät besitzt neben der Möglichkeit der Ausdehnungsmessung noch die Möglichkeit der
temperaturabhängigen mechanischen Prüfung und wird deshalb als TMA (Thermisch Mecha-
nische Analyse) bezeichnet. Die Probe wird im Gerät einem Temperaturprogramm unterwor-
fen und die Längenänderung wird mechanisch mit einem Fühler detektiert. Dabei ist die An-
presskraft groß genug, um eine zuverlässige Ankopplung der Übertragungselemente an den
Prüfkörper sicherzustellen, verursacht selbst aber nur eine vernachlässigbar kleine Längenän-
derung. Die Bewegung wird induktiv aufgenommen. Andere Funktionsprinzipien basieren auf
einer berührungslosen Messung, wie z.B. einem Interferometer. Die Temperatur wird mit ei-
nem Thermoelement gemessen.
Abb. 22: Funktionsprinzip des Dilatometers Shimadzu TMA-60L /78/, Foto
- 43 -
0

Es werden zwei Messverfahren unterschieden:
Grundlagen
1. Stationäres Verfahren: Die Probe wird stufenweise aufgeheizt und bei jeder Tempe-
raturstufe wird nach Stabilisierung der Temperatur der Messwert
bestimmt.
2. Verfahren mit kontinuierlicher Temperaturänderung: Es wird mit kontinuierlich steigender
oder fallender Temperatur gemessen. In diesem Fall treten Temperaturdifferenzen
zwischen Probe, Haltevorrichtung und Thermosensor auf, so dass ein Korrekturwert
mit einem Referenzkörper bestimmt werden muss, der möglichst probenähnliche
wärmetechnische Eigenschaften besitzt.
Im Ergebnis erhält man eine Ausdehnungskurve ( T )
Δ , wobei die Ausdehnung positiv
oder negativ sein kann. Zur Auswertung sind abhängig vom Messverfahren Korrekturen not-
wendig, die in DIN 51045-1 /77/ beschrieben sind. Hierzu gehört die Längenänderung Δ LQ
der Haltevorrichtung und die Dilatometerkorrektur B L Δ , die das inhomogene Temperaturfeld
für die Haltevorrichtung und Schubstange zwischen Probenraum und Umgebung erfasst. Für
jede Messtemperatur ergibt sich somit die Längenänderung der Probe aus:
Δ L = ΔL
− ΔL
+ ΔL
(3-40)
M
B
Q
Nachdem die Längenänderung Δ L bekannt ist, kann die Berechnung des mittleren Ausdehnungskoeffizienten
nach Gleichung (3-8) erfolgen.
se ΔL
(3-8)
α ( T0;
T ) =
L ⋅ ΔT
0
Die Berechnung des differentiellen Temperaturausdehnungskoeffizienten erfordert die Differenzierung
der Längenänderungs-Temperaturkurve. Zu diesem Zweck wird eine empirische
Gleichung durch die Messpunkte L(
T )
L M
Δ gelegt, die sich nach der Methode der kleinsten Feh-
lerquadrate ergibt. Als ausreichend genau wird in DIN 51045-1 /77/ ein Polynom dritten Grades
vorgeschlagen:
2
3
ΔL
= a + b ⋅T
+ c ⋅T
+ d ⋅T
(3-41)
mit
ber
2
∑[
ΔLber
− ΔLgem
] = Minimum
Hierbei steht der Index ber für berechnet und gem für gemessen. Damit folgt aus der Defini-
tionsgleichung (3-9) für den differentiellen thermischen Ausdehnungskoeffizienten:
α
1
2
( T ) = ⋅ ( b + 2c
⋅T
+ 3d
⋅T
)
L
0
- 44 -
(3-42)

3.3.3 Messung der Waferverbiegung
- 45 -
Grundlagen
Für die Anwendung der in 2.2 vorgestellten Methode ist die Bestimmung der Waferkrüm-
mung erforderlich. Die Messung kann durch ein laseroptisches System erfolgen. Das Prinzip
besteht in der Messung der Verschiebung eines von der Oberfläche reflektierten Laserstrahls.
Die Änderung dieser Verschiebung ist proportional einer Variation des Winkels zwischen
dem einfallenden Laserstrahl und der Waferoberfläche. In Abb. 23 ist ein entsprechendes System
schematisch dargestellt, in dem Laser, Probe und Detektor fest sind. Die Bewegung des
reflektierten Lichtpunkts wird durch eine Photodiode detektiert.
Abb. 23: a) Strahlengang bei der Abtastung eines ebenen Wafers;
b) Strahlengang bei der Abtastung eines verformten Wafers /33/
In Abb. 23a ist der Strahlengang für einen ebenen Wafer dargestellt. Die schräge Abtastung
die durch den Drehspiegel erzeugt wird, wird durch die Linse in eine lineare Abtastung umgeformt.
Die Lichtstrahlen, die vom Wafer reflektiert wurden sind parallel zueinander und treffen
deshalb auf denselben Punkt auf der Photodiode. Abb. 23b zeigt den Strahlengang für
einen gekrümmten Wafer. Die reflektierten Strahlen dringen in verschiedenen Winkeln in die
Linse ein und treffen an verschiedenen Punkten auf die Photodiode. Wenn der Wafer eine
konstante Krümmung besitzt, verändert sich die Verschiebung linear mit dem Einfallswinkel.
Eine Darstellung der Strahlverschiebung als Funktion der Abtastungsentfernung ist eine gerade
Linie, deren Anstieg proportional zur Krümmung ist. Die Bestimmung der Krümmung
erfolgt mit einer Genauigkeit von
4
210 m 1 − −
⋅ /33/.
In der Praxis wird zur Messung der Verformung eine differentielle Methode angewendet. Dies
ist notwendig, da die Wafer bei der benötigten Genauigkeit weit entfernt davon sind vollstän-

Grundlagen
dig eben zu sein. Der Wafer wird vorwärts und rückwärts an einer festgelegten Anzahl von
Datenpunkten abgetastet. Zunächst wird eine Referenzmessung des unprozessierten Wafers
vorgenommen. Anschließend wird dieselbe Messung am beschichteten Wafer durchgeführt.
Die Ergebnisse der Messung werden nun Punkt für Punkt voneinander abgezogen. Die Effek-
te von lokalen Unebenheiten werden durch diese Prozedur eliminiert. Damit exakt dieselben
Punkte abgetastet werden, wird eine Referenzlinie am Flat des Wafers erzeugt, so dass die
Position wieder gefunden werden kann. Der Anstieg der Differenzdaten wird mit Hilfe einer
Ausgleichsrechnung mit der Methode der kleinsten Fehlerquadrate ermittelt. Der Proportionalitätsfaktor
für die Bestimmung der Krümmung aus dem Anstieg wird aus einer Referenzmessung
an einem Kugelspiegel mit einem bekannten Radius bestimmt. Der Abtastvorgang dauert
nur wenige Sekunden, weshalb Heizen und Kühlen kontinuierlich erfolgen können. Aus
diesem Grund kann die Krümmungsmessung direkt während des Temperaturzyklus erfolgen,
ohne dass eine Haltephase zur Stabilisierung erforderlich ist /33/.
3.4 FEM-Submodelling
Für die allgemeinen Grundlagen zur Finite Elemente Methode (FEM) sei auf die Fachliteratur
(/43/, /79/) und die Theory Reference des Programmsystems ANSYS /35/ verwiesen. Im Folgenden
soll das Submodelling als spezielle Modellierungstechnik näher vorgestellt werden. In
bestimmten Regionen, z.B. Absätze von Wellen oder in der aktuellen Problematik die Busbar
und Kontaktfinger auf der Zelle, kann das Netz zu grob sein um befriedigende Ergebnisse für
Spannungen in dieser Region zu erhalten. Die Ergebnisse abseits dieses Bereiches können
hingegen genau genug sein. Eine erneute Vernetzung des gesamten Modells mit feinerem
Netz ist zeitaufwändig und in Bezug auf den Anstieg der Rechenzeit unpraktikabel. Im Submodell
wird nur der interessierende Bereich erneut abgebildet und feiner vernetzt. Das Submodellkonzept
basiert auf dem empirisch ermittelten Prinzip von De Saint Venant, das in /38/
wie folgt formuliert ist:
„Werden Lastverteilungen auf einem kleinen Teil eines im Gleichgewicht befindlichen Körpers
durch statisch äquivalente Verteilungen (mit gleicher resultierender Kraft und gleichem
resultierenden Moment) auf diesem Körperteil ersetzt, so können die Unterschiede der von
ihnen verursachten Spannungen und Verzerrungen in Entfernungen, die groß sind im Vergleich
zur charakteristischen Abmessung des belasteten Körperteils, vernachlässigt werden.“
Vereinfacht kann man sagen, dass wenn die Schnittufer im Submodell weit genug von der
Spannungskonzentration entfernt sind, das Ergebnis äquivalent zu einem Gesamtmodell mit
feinem Netz ist.
- 46 -

Die Vorteile der Submodelltechnik kann man wie folgt zusammenfassen /35/:
• Genauere Ergebnisse eines bestimmten Bereiches im Modell
Grundlagen
• Reduzierung oder Eliminierung der Notwendigkeit komplizierter Übergangsregionen
• Experimentieren mit verschiedenen Ausführungen des interessierenden Bereiches ohne
das gesamte Modell zu verändern
In ANSYS ist Submodelling auf ebene Elemente, Volumen- und Schalenelemente beschränkt.
Das Vorgehen kann in 5 Schritte gegliedert werden /35/:
1. Aufbau und Lösen des Grobmodells/Globalmodells
2. Aufbau des Submodells
3. Durchführung der Schnittkanteninterpolation
4. Lösen des Submodells
5. Nachweisen, dass der Abstand zwischen Schnittkante und Spannungskonzentration ausreichend
ist
Abb. 24 Beispiel für den Ablauf einer Submodellberechnung /35/
In Abb. 24 ist der Ablauf einer Submodellberechnung beispielhaft für ein Anschlussstück
dargestellt. Das Grobmodell muss entgegen seiner Bezeichnung eine ausreichend feine Vernetzung
besitzen um die Verschiebungen korrekt zu berechnen. Bei der Erzeugung des Submodells
ist zu beachten, dass die Position in Bezug auf das globale Koordinatensystem mit
dem korrespondierenden Teil des Grobmodells übereinstimmt. Die Schnittkanteninterpolation
- 47 -

Grundlagen
wird vom Programmsystem automatisch für die gewählten Knoten auf der Grundlage der
Elementformfunktionen durchgeführt. Anschließend werden dieselben Randbedingungen und
Belastungen wie im Grobmodell aufgebracht. Der Nachweis der Erfüllung des Prinzips von
St. Venant wird praktisch durch den Vergleich von Contour- und Pfadplots der Spannungen
entlang der Schnitte von Submodell und Grobmodell durchgeführt. Wenn die Ergebnisse gut
übereinstimmen bedeutet dies, dass gute Schnittkanten ausgewählt wurden.
Eine besondere Möglichkeit des Submodellings ist das Solid-to-Shell-Submodelling. Dabei
besteht die Möglichkeit die Freiheitsgrade aus der Berechnung eines Schalenmodells auf ein
Submodell aus Volumenelementen zu übertragen. Die zu interpolierenden Freiheitsgrade
werden auf die Schalenebene projiziert, die mittig zum Grobmodell liegen muss. Eine Anwendung
dieser Interpolation ist jedoch nicht bei Elementen möglich, die ein Knotenoffset
besitzen /35/.
3.5 Versagensanalyse
Nachdem das Ergebnis für die Belastung der Zellen vorliegt, stellt sich die Frage nach der
Bewertung des Ergebnisses in Bezug auf die Zuverlässigkeit. Silizium fehlt die Möglichkeit
innere Defekte (Kerben, Fehlstellen, Risse) durch eine plastische Verformung auszugleichen,
weshalb eine statistische Streuung der Defektgrößen direkt zu einer im Vergleich zu Metallen
großen Streuung der mechanischen Eigenschaften führt /80/. Daher ist es im Allgemeinen
nicht möglich die Festigkeit genau (deterministisch) vorherzusagen und ein probabilistischer
Ansatz zur Vorhersage von Versagens- bzw. Überlebenswahrscheinlichkeiten ist notwendig.
Für spröde Materialien hat sich die Weibull-Verteilung zur Beschreibung der Zuverlässigkeit
etabliert /51/. Die Weibull-Statistik geht von der Annahme aus, dass ein einziger kritischer
Defekt bei einer gegebenen Belastung immer zum Bruch führt /80/. Des Weiteren werden nur
Zugspannungen als Ursache für Versagen angesehen. Die Bruchwahrscheinlichkeit P f für die
zweiparametrige Weibullverteilung ist gegeben als /41/:
m ⎡ V ⎛ σ ⎞ ⎤
Pf= 1−exp⎢−
⎜ ⎟ ⎥
⎢ V ⎝σ⎠ ⎥
0 0 ⎣ ⎦
(3-43)
Hierin ist σ die Spannung, mit der der Körper belastet wird, σ 0 eine materialspezifische
Spannung, bei der die Bruchwahrscheinlichkeit 63,2 % beträgt Der Parameter m wird als
Weibullmodul bezeichnet und ist ein Maß für die Streuung der Festigkeit. Ein großer Weibullmodul
ergibt sich, wenn sich die Streuung der Versagensspannungen verringert. Für
- 48 -

- 49 -
Grundlagen
m →∞ streuen die Messergebnisse nicht mehr, so dass σ 0 der Bruchspannung entspricht. V0
wird als Bezugsvolumen bezeichnet.
Abb. 25 Abhängigkeit der Versagenswahrscheinlichkeit von der Spannung für einige Weibullmoduln
In Gleichung (3-43) ist die Volumenabhängigkeit der Versagenswahrscheinlichkeit berück-
sichtigt. Diese Eigenschaft nennt man Größeneffekt, dass heißt die Wahrscheinlichkeit, dass
ein Bauteil einen Riss enthält, welcher bei einer bestimmten Krafteinwirkung zum Bruch führt
ist umso größer, je größer das Probenvolumen ist. Entsprechend des Rissursprungs kann diese
Wahrscheinlichkeit auch auf eine Fläche oder Kante bezogen werden.
Die bisherigen Überlegungen gelten nur, wenn das gesamte Bauteil mit einer einachsigen
Spannung σ belastet wird. Das ist aber in der Anwendung praktisch nie der Fall. Betrachtet
man ein Bauteil mit unterschiedlichen Spannungen σ i in den Teilvolumina Vi
, so ergibt sich:
m m
n ⎡ n
V ⎛ i σ ⎞ ⎤ ⎡
i V ⎛ i σ ⎞ ⎤
i
Pf = 1−∏exp ⎢− ⎜ ⎟ ⎥ = 1−exp
⎢−∑⎜
⎟ ⎥
i=
1 ⎢ V0 ⎝σ0 ⎠ ⎥ ⎢ i=
1 V0
⎝σ0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎠ ⎥
⎦
Nach einer Grenzwertbildung auf infinitesimal kleine Volumina folgt:
m
⎡ r
1 ⎛σ( x)
⎞ ⎤
Pf= 1−exp⎢− ⎜ ⎟ d ⎥
⎢ V ∫ V
⎝ σ ⎠ ⎥
0 V 0 ⎣ ⎦
(3-44)
(3-45)
Hierbei handelt es sich um die allgemeine Form der Weibullgleichung für beliebig belastete
Bauteile. Aus dem Integral lässt sich das effektive Volumen V ermitteln, welches je nach
Geometrie und Lastfall veränderlich ist. Damit ergibt sich nach Auswertung des Integrals
Gleichung (3-45) in der Form:
P
f
⎡ V
= 1−
exp⎢−
⎢ V
⎣
eff
0
m
⎛σ
⎤
eff ⎞
⎜
⎟ ⎥
⎝ σ 0 ⎠ ⎥
⎦
eff
(3-46)

Grundlagen
In dieser Arbeit wird für die praktische Berechnung der Bruchwahrscheinlichkeit auf der
Grundlage der Ergebnisse des FE-Modells und den Weibullparametern die Software CARES
in der Version 8.1 verwendet. Als Bruchkriterium wird das Principle of Independent Action
(PIA) verwendet. Hierbei werden die Einzelüberlebenswahrscheinlichkeiten für jedes Element
aufmultipliziert (vgl. (3-44)) und es wird davon ausgegangen, dass die Bruchwahrscheinlich-
keit eines Elementes keine Auswirkung auf die Versagenswahrscheinlichkeit eines anderen
Elementes hat. Es handelt sich um ein phänomenlogisches Modell, dass nicht auf die Ursache
des Versagens eingeht, jedoch aufgrund seiner Einfachheit weit verbreitet ist. Zunächst wird
eine Bruchfunktion ψ eingeführt /81/:
⎛ σ ⎞ 1 ψ =
⎜
⎟
⎝σ
0 ⎠
m
⎛σ
⎞ 2
+
⎜
⎟
⎝ σ 0 ⎠
m
⎛ σ 3 ⎞
+
⎜
⎟
⎝σ
0 ⎠
m
(3-47)
Da in einem Modell immer endlich große Teilvolumina vorhanden sind, wird mit (3-44) gear-
beitet, so dass folgt:
P
f
n ⎡ Vi
1− exp⎢−
ψ ⋅
⎣ i 1 V0
= ∑ =
⎤
⎥
⎦
(3-48)
Zur Auswertung müssen zunächst aus der ANSYS Ergebnisdatei die Elemente mit den dazu-
gehörigen Hauptspannungen ausgelesen werden. Bei einer Untersuchung in Hinblick auf Volumenfehler
wird das gesamte Modellvolumen herangezogen. Zur Ermittlung der Bruchwahrscheinlichkeit
aufgrund von Oberflächenfehlern werden lediglich die Elemente an der Modelloberfläche
genutzt. Die Beträge der Hauptspannungen liegen in der Ergebnisdatei an den
Knotenpunkten der Elemente vor. Da jedoch in der FE-Rechnung die genauen Ergebnisse an
den Gauss-Punkten bestimmt werden, rechnet CARES mit den Elementformfunktionen auf
diese zurück. Um die Gauss-Punkte bildet CARES Subvolumen, wodurch eine weitere Verfeinerung
des Elementvolumens erreicht wird. Jedes Subvolumen mit der ausgewerteten
Bruchfunktion stellt nun einen Summanden in (3-48) dar. Für die Genauigkeit der Ergebnisse
ist zu beachten, dass die Elementgröße klein genug sein muss, damit die Spannungen im Element
angenähert als homogen angesehen werden können bzw. die Spannungsgradienten nicht
zu groß sind, so dass (3-48) gegen (3-45) konvergiert.
- 50 -

4 Messungen
4.1 Dickenbestimmung und Struktur der Metallisierungspaste
Messungen
Aus einer Q-Cells Standardzelle wurden 4 Proben entnommen und davon Querschliffe angefertigt.
Probe 1 und 2 befinden sich an frei gewählten Stellen in der Zelle, Probe 3 gehört zur
Busbar und Probe 4 ist vom Rand entnommen. In den Aufnahmen wurden an mehreren Stellen
die Abmessungen der Aluminiumschicht, der AlSi-Schicht, der Kontaktfinger, der Busbar
und der Silberschicht unter der Busbar bestimmt.
Abb. 26: Probe 1, Querschliff REM -Aufnahme des Aluminium-BSF
Abb. 26 zeigt repräsentativ die Struktur der Aluminiumrückseitenbeschichtung. Man erkennt
das poröse Gefüge mit den vorhandenen Verunreinigungen. Die Aluminiumpartikel haben
eine Größe zwischen 1 und 5 µm und sind nur lokal miteinander verbunden. Für die mittlere
Schichtdicke wurde 28,7 µm ermittelt. Hingegen ist die AlSi-Schicht strukturell relativ dicht,
wobei die Dicke zum Teil sehr unterschiedlich ist. Es wurden maximal 9,2 µm gemessen und
Unterbrechungen beobachtet (Abb. 26 Vergrößerung). Der Mittelwert liegt bei 5 µm.
In Abb. 27a ist die typische Form eines Kontaktfingers zu sehen, die einem aufgeschütteten
Hügel gleicht. Der Kontaktfinger läuft sehr flach aus, so dass nur wenige Partikel auf dem
Silizium vorhanden sind. Im Mittel wurde eine Breite von 135,8 µm zwischen den äußeren
Spitzen bestimmt und eine mittlere Höhe von 15,2 µm. Eine Legierungsschicht, wie bei der
Aluminiumpaste, ist nicht zu sehen. In der Vergrößerung in Abb. 27a sind kleine Silberkristalle
erkennbar, die in das Silizium hineingewachsen sind und die Verbindung herstellen. In
Abb. 27b ist die Aufnahme der Busbar mit der gemessenen Breite (2,067 mm) dargestellt, die
der Herstellerangabe entspricht. Abb. 27d zeigt den Übergang des Silberstreifens auf der
Rückseite zur Aluminiumpaste. Aus der Lage der Partikel wird klar, dass zuerst das Silber
aufgebracht wurde und anschließend das Aluminium, weshalb im Übergangsbereich die Gesamtdicke
der Rückseitenschicht mit 65 µm deutlich größer ist als der Mittelwert. Im Mittel
ist die Silberschicht mit 26,5 µm etwas dünner als die Aluminiumschicht.
- 51 -

Abb. 27: a) Probe 2, REM-Aufnahme eines Kontaktfingers
b) Probe 3, REM-Aufnahme der Busbar
Messungen
c) Probe 3, REM-Aufnahme Übergänge von Al-Schicht zur Ag-Schicht unter der Busbar
d) Probe 4, REM-Aufnahme des Randbereichs der Solarzelle
In Abb. 27d ist der Randbereich der Zelle mit dem Auslauf der Aluminiumrückseitenbe-
schichtung dargestellt. Der Anstieg des Auslaufs beträgt in der vorliegenden Aufnahme zwi-
schen 7 und 8° und der Randabstand liegt bei 2,062 mm. Tabelle 8 fasst die Messergebnisse
zusammen.
- 52 -

Tabelle 8: Ergebnisse der Schichtdickenbestimmung
Schicht Wertebereich Mittelwert
Si 314 – 327 µm 321 µm
Al-Si-Schicht 0 – 9,2 µm 5 µm
Al-Paste 21,3 – 32,2 µm 28,7 µm
Dicke der Busbar 14,8 – 25,5 µm 18,2 µm
Dicke der Kontaktfinger 9,4 – 17,6 µm 15,2 µm
Kontaktfingerbreite 118,1 – 168,6 µm 135,8 µm
Messungen
Abb. 28: a) vereinfachte mathematische Beschreibung der Querschnittsfläche eines Kontaktfingers
b) statisch äquivalenter Rechteckquerschnitt
Für die Nachbildung der Kontaktfinger in einem FE-Modell ist es unpraktikabel die tatsächlich
gemessene Form abzubilden. Ausgehend von einer mathematischen Beschreibung mit
einem Polynom 4. Grades (Abb. 28a) soll zur Vereinfachung ein statisch äquivalenter Rechteckquerschnitt
ermittelt werden (Abb. 28b). Da effektiv nur zwei Parameter zur Verfügung
stehen, können zwei Ansätze verfolgt werden:
1. gleiche Flächenträgheitsmomente bezogen auf das definierte Achsensystem
I xx = Ixxeqv Iyy= I
(4-1)
yyeqv
( )
⎛ ⎞
Ixx = ∫y dA = ∫y dydx = ∫ ⎜ y dy⎟dx = y( x)
⎜ ∫ ⎟ 3 ∫
A A −b/ 2⎝ 0 ⎠ −b/
2
3
beqv ⋅heqv
I xxeqv =
3
dx =
⋅ ⋅
9009
b/ 2 y( x ⎛ ) ⎞ b/ 2
2 2 2 2
Iyy = ∫x dA = ∫x dydx = ∫ ⎜x dy⎟dx = x y( x)
dx
⎜ ∫ ⎟ ∫
A A −b/ 2⎝ 0 ⎠ −b/
2
3
heqv ⋅beqv
I yyeqv =
12
b/ 2 y x
b/ 2 3
2 2 2 1 3 1024 bh
heqv eqv
= 0 , 803344 h b = 0,
657719b
- 53 -
(4-2)

2. gleicher Schwerpunkt und Querschnittsfläche
S
Seqv
eqv
Messungen
y = y A = A
(4-3)
A =
A
y
y
eqv
S
Seqv
b / 2
∫
y
−b
/ 2
= b
( x)
eqv
1
= ⋅
A
h
=
2
b / 2
−b
/ 2
eqv
8 ⋅ b ⋅ h
dx =
15
⋅ h
∫
eqv
1
2
y
( x)
2
8 ⋅ h
dx =
21
16 h
7b
heqv = = 0,
761905 h beqv
= = 0,
7b
21
10
(4-4)
Durch den zweiten Ansatz wird die Wirkung auf andere Komponenten besser abgebildet, da
der Steineranteil durch die gleiche Querschnittsfläche und Schwerpunktslage genauer be-
stimmt wird.
4.2 Eindruckversuche
4.2.1 Versuchsdurchführung
Die Eindruckversuche zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls der Aluminiumpaste wurden
mit dem Mikrohärtetester SHIMADZU DUH-202 durchgeführt. In Abb. 29 sind Aufbau und
Funktionsweise des Gerätes schematisch dargestellt. Die Lastaufbringung erfolgt elektromagnetisch
über den Indenter auf die Versuchsprobe. Dabei wird die Eindringtiefe induktiv über
eine Tauchspule, die als Differentialtransformator arbeitet, gemessen. Kraft und Weg werden
von der Software am PC aufgezeichnet.
Abb. 29: a) Aufbau Mikrohärtetester SHIMADZU DUH-202 /82/, b) Eingespannte Probe
- 54 -

Messungen
Zunächst wurden Messungen an einem Aluminiumblock zur Bestimmung der Gerätesteifig-
keit durchgeführt. Für die Bestimmung des E-Moduls der Pasten wurden aus einer bedruckten
Solarzelle Proben herausgetrennt, die mit der Klemmvorrichtung auf der Stahlunterlage der
Maschine eingespannt wurden (vgl. Abb. 29b). Die Prüfung wurde kraftgeregelt durchgeführt
mit einer Haltephase am Ende des Eindringens, damit der Effekt von zeitabhängigen Kriech-
vorgängen minimiert wird. Zur Nullpunktbestimmung der Kraft-Eindringtiefe-Kurve wird der
erste gemessene Kraftanstieg genutzt. Dies hat in einigen Versuchen zu Fehlern geführt die
nachträglich durch eine lineare Anpassung der ersten 10 % der Belastungskurve und Extrapo-
lation eines neuen Nullpunkts korrigiert wurden. In Tabelle 9 sind die verwendeten Eindring-
körper und die aufgebrachten Maximalkräfte aufgeführt.
Tabelle 9: Bezeichnung der Messungen
Messung-Nr. Eindringkörper Max. Kraft
Ref-1 Flacher Stempel (Kantenlänge: 37 µm) 800 mN
Ref-2 Kugel (Durchmesser: 100 µm) 1000 mN
1 Flacher Stempel (Kantenlänge: 367 µm) 1200 mN
2 Flacher Stempel (Kantenlänge: 37 µm) 500 mN
3 Flacher Stempel (Kantenlänge: 37 µm) 300 mN
4 Kugel (Durchmesser: 100 µm) 200 mN
Jede Messung umfasst zehn Eindrücke, deren Ergebnisse mit Hilfe von Mathematica ausge-
wertet wurden. Die Auswerteprozedur umfasst die folgenden Schritte:
1. Einlesen der Messdaten
2. Nullpunktkorrektur
3. Extrahieren der Entlastungskurve
4. Verschieben der Entlastungskurven auf einen gemeinsamen Nullpunkt
5. Fit der Entlastungskurve mit Gleichung (3-36)
6. Bestimmung der Kontaktsteifigkeit bzw. -nachgiebigkeit
7. Ermittlung der Kontakttiefe zur Berechnung der projizierten Fläche
8. Berechnung des E-Moduls mit Gleichung (3-34)
Die Nullpunktkorrektur ist besonders für die Auswertung der Eindrücke mit der Kugel wich-
tig, da die Flächenfunktion direkt von der maximalen Eindringtiefe abhängt.
- 55 -

4.2.2 Messergebnisse und Diskussion
Messungen
In Abb. 30 sind die auf einen gemeinsamen Nullpunkt bezogenen Entlastungskurven der Re-
ferenzmessungen dargestellt. Man erkennt vor allem bei der Kugel nur relativ geringe Unter-
schiede im Anstieg der einzelnen Messungen. Folglich ist die zu erwartende Streuung der
Ergebnisse gering. Der Referenzkörper ist ein polierter Aluminiumblock mit einem Elastizi-
tätsmodul E = 70400 MPa und der Querkontraktionszahl ν = 0, 347 . Hiermit kann nach
Al
der experimentellen Bestimmung der Kontaktnachgiebigkeit C die folgende Gleichung für
die Berechnung der Gerätenachgiebigkeit gefunden werden:
C
f
π
= C −
2 ⋅ A
p
2
2
⎛1 −ν
⎞
Al 1−ν
i
⋅
⎜ +
⎟
⎝ E Al Ei
⎠
Al
(4-5)
Die ermittelten Werte sind in Tabelle 10 aufgeführt. Erwartungsgemäß sind diese nicht sehr
stark von der Geometrie des Indenters abhängig.
Abb. 30: a) Entlastungskurven, Messung Ref-1, Lichtmikroskopaufnahme des Eindrucks
b) Entlastungskurven der Messung Ref-2, Lichtmikroskopaufnahme des Eindrucks
In Abb. 31 sind die extrahierten Entlastungskurven für Messung 4 bezogen auf einen gemein-
samen Nullpunkt repräsentativ dargestellt. Trotz gleicher Maximalkraft unterscheiden sich die
Kurvenverläufe sehr deutlich in ihrem Anstieg, vor allem im Vergleich zu den Referenzme-
- 56 -

Messungen
sungen. Alle weiteren Messungen zeigen ähnlich große Schwankungen in den Kurvenverläu-
fen. Die unterschiedlichen Anstiege der Kurven führen zur relativ großen Streuung der Er-
gebnisse für den Elastizitätsmodul. Mögliche Ursachen liegen in der lokal unterschiedlichen
Partikelgröße, Einschlüssen aus Pastenzusätzen und in der Rauhigkeit der Oberfläche, wo-
durch vor allem bei den Stempeln kein vollständiger Kontakt gewährleistet werden kann. Die
Vermessung der Oberfläche im Lichtmikroskop war kaum möglich, da die Eindrücke besonders
bei den geringen Eindringtiefen durch die Rauhigkeit kaum von der restlichen Oberfläche
zu unterscheiden waren (vgl. Abb. 31).
Tabelle 10: Berechnete Gerätenachgiebigkeit für die Referenzmessung
Messung-Nr. Indenter Gerätenachgiebigkeit [mm/N]
Ref-1 Stempel −5 −5
8, 708⋅ 10 ± 0, 745⋅ 10
Ref-2 Kugel −5 −5
8, 635⋅ 10 ± 0, 630⋅ 10
Abb. 31: Entlastungskurven der Messung 4, verschoben auf gemeinsamen Nullpunkt, Lichtmikroskopaufnahme
des Eindrucks
Tabelle 11 fasst die Messergebnisse zusammen. Bei Messung 1 war eine Reduzierung des
Auswertebereiches der Entlastungskurve auf 50 % notwendig, da durch die starke Krümmung
der Kurven zuvor kein akzeptabler Fit möglich war. Für diese Messung wurde im Mittel der
geringste E-Modul (2,9 GPa) bestimmt. Da jedoch die Auswertung immer mit der Maximalfläche
erfolgte, ist es möglich durch Überschätzung der Kontaktfläche den E-Modul zu unterschätzen.
In den Messungen 2 bis 4 war die Anpassung der Entlastungskurven mit der Exponentialfunktion
sehr gut möglich. In Messung 2 und 3 treten vergleichsweise große E-Moduli
(bis zu 22,9 GPa) auf. Es wurden jedoch auch Werte bestimmt, die in den Bereich von Messung
1 fallen. Der erhöhte E-Modul kann eine mögliche Folge des Einflusses des Siliziumsubstrats
sein, wenn ein Eindruck in einem besonders dünnen Bereich der Rückseitenschichtung
erfolgt. Auffällig ist der sehr große Bereich für die maximale Eindringtiefe, wobei sich
- 57 -

Messungen
die Kontakttiefe, die nach der Auswertung der Entlastungskurve bestimmt wird, einen sehr
viel kleineren Bereich ergibt, der zur aufgebrachten Maximalkraft passt. Messung 4 besitzt
die geringste Streuung. Durch den gegebenen mathematischen Zusammenhang zwischen
Kontakttiefe und projizierter Fläche ist hier eine bessere Abschätzung der Kontaktfläche mög-
lich gewesen.
Tabelle 11: Messergebnisse
Messung-Nr. 1 2 3 4
E-Modul
Wertebereich [GPa] 1,9 – 5,9 6,9 – 22,9 0,99 – 13,6 2,7 – 7,5
Mittelwert [GPa] 2,9 14,7 5,5 5,6
Standardabw. [GPa] 1,2 5,1 4,4 1,5
Standardabw. [%] 41,3 34,7 80,0 26,8
Max. Eindringtiefe
Wertebereich [µm] 3,72 – 6,15 5,21 – 6,95 3,58 – 10,18 3,05 – 4,35
Kontakttiefe
Wertebereich [µm] 2,58 – 5,26 4,55 – 5,80 2,95 – 3,93 2,46 – 3,94
Aufgrund der großen Streuung der Ergebnisse kann die Messung des Eindringmoduls nur
einen Anhaltspunkt für den Elastizitätsmodul liefern. Die Analyse der Messungen ist schwie-
rig, da plastische Deformation, Verfestigung, Kriechvorgänge und eine mögliche Delaminati-
on zum Verformungsprozess unter dem Indenter beitragen. Weiterhin wird die Probe nur in
einem kleinen Bereich belastet, so dass nur sehr lokale Informationen bestimmt werden. Aus
diesem Grund ist eine sehr große Anzahl von Eindrücken notwendig um einen verlässlichen
Mittelwert zu bestimmen /83/.
Die Messungen mit den Stempeln sind durch die große Unsicherheit in der Bestimmung der
Kontaktfläche und den großen Wertebereich ungeeignet für eine richtige Einschätzung des
Elastizitätsmoduls. Mit der Kugel konnten die Messungen definierter erfolgen, wobei hier die
kleinsten Kräfte und Eindringtiefen vorlagen. Die Messungen bestätigen die Größenordnung
des E-Moduls aus den Literaturstellen, wonach ein E-Modul von 3,5 (/84/) bzw. 6 GPa (/30/)
angeben wird. Aus den Ergebnissen sind jedoch große lokale Schwankungen der Eigenschaf-
ten zu erkennen, so dass im Endeffekt immer nur effektive Eigenschaften für die gesamte
Rückseitenbeschichtung bestimmt werden können und eine Vielzahl von Eindrücken notwendig
ist. Die Auswirkungen auf Berechnungsergebnisse werden in Abschnitt 5.3.3 untersucht.
- 58 -

4.3 Messung des Temperaturausdehnungskoeffizienten
4.3.1 Versuchsdurchführung
- 59 -
Messungen
Die Messung der thermischen Ausdehnung erfolgte mit der TMA-60L der Firma Shimadzu.
Für drei Proben der in Tabelle 12 aufgeführten Materialien wurden die Längenänderungs-
Temperatur-Kurven im angegebenen Temperaturbereich aufgenommen und jeweils die Auf-
heizkurve ausgewertet.
Tabelle 12: Material und Temperaturbereich für die Messung des Ausdehnungskoeffizienten
Material Temperaturbereich
Glas -40 °C bis 150 °C
EVA-Folie (vernetzt) -40 °C bis 150 °C
Die Glasproben wurden aus einer 3 mm Glasscheibe entnommen und mit dem Schubstangenaufbau
gemessen (Abb. 32a). Der gleiche Aufbau wurde für die EVA-Folie verwendet, die
zuvor bei 150 °C für 30 min vernetzt wurde. Eine genauere Messung der Folie wäre im Zugaufbau
möglich gewesen (Abb. 32b). Diese Messung konnte aus technischen Gründen jedoch
nicht erfolgen.
Abb. 32 Messaufbauten für die Längenänderungsmessung
a) Schubstangenaufbau
b) Zugaufbau
Die Probenlänge wird durch das System absolut gemessen. Zu Beginn der Messung wird für
T = 25 ° C
0
der Nullpunkt festgelegt. Anschließend wird eine Basislinie des Aufbaus aufge-
nommen um die Ausdehnung der Messaufnehmer zu bestimmen. Zur Auswertung der Messergebnisse
wurden die folgenden Schritte durchgeführt:
1. Einlesen der Basislinie Δ LB ( T )
2. Einlesen der Messkurven Δ
( T )
L M

3. Ermitteln der Längen L0 i für T 0 = 25 ° C der einzelnen Proben
4. Erzeugen der korrigierten Messwerte für die Längenänderung:
( T ) = L ( T ) − L − ΔL
( T )
ΔLi Mi 0 i B
5. Mittelung der Messergebnisse für die relative Längenänderung:
⎛ ΔL
⎜
⎝ L
N
( T ) ⎞ 1 ⎛ ΔL
( T )
0
⎟
⎠
m
= ⋅
N
i
∑ ⎜
i= 1 L0i
⎝
6. Ausgleichsrechnung für die Kurve ( L( T ) / L0
) m
⎞
⎟
⎠
Δ zur Bestimmung von α th
Messungen
Je nach Material kann die Ausgleichsrechnung nicht für den gesamten Temperaturbereich
durchgeführt werden, sondern muss stückweise erfolgen. Dies betrifft vor allem die EVA-
Folie, da sich im Verlauf der Längenänderungs-Temperaturkurve die Umwandlungen, wie
Glasübergang und Schmelzen in Form von deutlichen Änderungen der thermischen Ausdeh-
nung äußern. Aufgrund der notwendigen Umsetzung des Ausdehnungskoeffizienten in einen
linearisierten Wert ist die Bestimmung des differentiellen Ausdehnungskoeffizienten unnötig
und der Ausdehnungskoeffizient wird in der folgenden Form ermittelt:
α
se
( )
( T )
L
T
T T L ⎟ 1 ⎛ Δ ⎞
= ⋅ ⎜
− 0 ⎝ 0 ⎠
m
(4-6)
Da an den gewählten Intervallgrenzen Unstetigkeiten auftreten können, wird an diesen Stellen
der Ausdehnungskoeffizient gemittelt. Zur Bestimmung der Messabweichung wird das gauß-
sche Fehlerfortpflanzungsgesetz angewendet. Für die Bestimmung des mittleren Ausdehnungskoeffizienten
ergibt sich der relative Messfehler zu /77/:
δα
se
α
se
=
⎛ δ L
⎜
⎝ L0
0
⎞
⎟
⎠
2
⎛ δ ΔL
⎞ δ T
+ ⎜ ⎟ +
⎝ ΔL
⎠
2
2
+ δ T
( ) 2
T − T
0
2
0
(4-7)
Die Messung der Ausgangslänge erfolgt mit einer Genauigkeit von δ L L = ± 1 % . Die Un-
0 / 0
sicherheit in der Bestimmung der Längenänderung setzt sich zusammen aus den Anteilen der
Basislinie, der Bestimmung der Messlänge und einem Kalibrierfehler. Hierfür kann eine Ge-
nauigkeit von δ ΔL / ΔL
= ± 3 % angegeben werden, wobei die größtmögliche Auflösung des
Gerätes bei 0 , 25 μm liegt /78/. Die erreichbare Messgenauigkeit ist besonders von der Größe
der Ausgangslänge abhängig, da hiervon die auftretende Längenänderung abhängt. Das heißt,
um eine Längenänderung in einem vorgegebenen Temperaturintervall aufzulösen, ist eine
bestimmte Ausgangslänge erforderlich. Für Glas ist beispielsweise ein Ausdehnungskoeffi-
−6
−1
zient von 8,
5 ⋅10 K zu erwarten. Damit die Längenänderung in einem Temperaturintervall
von z.B. 10 K aufgelöst werden kann, ist eine Mindestprobenlänge von 2,9 mm notwendig
- 60 -

Messungen
oder es muss ein größeres Temperaturintervall gewählt werden. Die Abweichung in der Tem-
peraturmessung wird bestimmt durch die Temperaturauflösung ( 0,
01 K ) und den Tempera-
turunterschied zwischen Probe und Thermoelement ( ± 0,
3 K ) /55/. Die Gesamtunsicherheit
se
in der Bestimmung von α ist gemäß (4-7) vom betrachten Temperaturintervall abhängig. In
unmittelbarer Nähe der Bezugstemperatur ist die Abweichung sehr groß, fällt in einem Abstand
von mehr als 10 K jedoch deutlich ab. Im Mittel wird eine Abweichung von 4 % oder
weniger bezogen auf den angegebenen Wert des Ausdehnungskoeffizienten erreicht.
4.3.2 Messergebnisse und Diskussion
Die Ergebnisse der Ausgleichsrechnung und die berechneten Ausdehnungskoeffizienten mit
den zugehörigen Abweichungen können Anlage A2 entnommen werden.
Abb. 33 rel. Längenänderung in Abhängigkeit von der Temperatur für Glas
Abb. 33 zeigt den Messverlauf und die zugehörige Ausgleichsrechnung für das untersuchte
Solarglas. Der Verlauf ist im Rahmen der Messgenauigkeit linear und der aus dem Anstieg
−6
−1
ermittelte Ausdehnungskoeffizient beträgt ( )
7,
94 ± 0,
74 ⋅10
K . Die Messunsicherheit ist
mit 9,3 % im Vergleich zu den Folienmessungen größer, da der vergleichsweise kleine Ausdehnungskoeffizient
zu Längenänderungen Nahe der Auflösungsgrenze führt. Unter Berücksichtigung
der Messunsicherheit ist der ermittelte Wert in guter Übereinstimmung mit den
bekannten Literaturwerten /86/.
- 61 -

Messungen
Abb. 34 rel. Längenänderung in Abhängigkeit von der Temperatur für EVA (Etimex fast-cure 496.10)
In Abb. 34 ist der Verlauf der relativen Längenänderung in Abhängigkeit von der Temperatur
für die EVA-Folie dargestellt. Aus dem Verlauf der Ausdehnungskurve kann man charakteristische
Temperaturbereiche ableiten. So erkennt man den Glasübergang bei ca. -15 °C als deutliche
Änderung in der thermischen Ausdehnung, da die Beweglichkeit der Molekülketten ab
diesem Punkt stark zunimmt und die Kettenabstände entsprechend größer werden. Ab 35 °C
wird das Aufschmelzen der Vinylacetatgruppen zunächst als scheinbar geringere Ausdehnung
bis 50 °C detektiert. Die zugeführte thermische Energie wird hier zum Großteil für das Auflösen
der Kristallstrukturen benötigt. Nachdem die geordnete Struktur der Molekülketten aufgelöst
ist, erfolgt eine verstärkte Ausdehnung aufgrund der erhöhten Beweglichkeit der Ketten
bis 60 °C. Der weitere Verlauf ist wieder annähernd linear mit einem zum Temperaturbereich
zwischen -15 und 30 °C vergleichbaren Anstieg. Für die mechanische Wirkung der Folie bedeutet
dies, dass in dem Temperaturbereich, in dem die Steifigkeit zunimmt, die thermische
Ausdehnung abnimmt, womit eine teilweise Kompensation dieses Materialverhaltens möglich
ist.
- 62 -

4.4 Verformungsmessung
4.4.1 Versuchsdurchführung
Messungen
Eine Verformungsmessung wurde an einem mit Silberpaste bedruckten {100}-Siliziumwafer
(4 Zoll, ( 525 ± 20)μm
) durchgeführt. Die Pastendicke wurde im Auflichtverfahren am IR-
Mikroskop mit der Waferoberfläche als Referenz bestimmt. Dabei wurde sowohl am Rand als
auch in der Mitte des Wafers gemessen, wobei im Randbereich eine geringere Schichtdicke
festgestellt wurde. Diese Diskrepanz wird zum Teil durch die Verbiegung beeinflusst. Des
Weiteren kann das Material in der Mitte beim Bedrucken nicht so fließen, wie am Rand, so
dass eine höhere Dicke in der Wafermitte möglich ist. Von den 20 Messpunkten schwanken
die Ergebnisse im Bereich von 7 bis 16 µm. Der berechnete Mittelwert liegt bei 10 , 5 μm .
Nach der in 3.3.3 beschriebenen Methode erfolgte die Abtastung des Wafers entlang einer
Linie (Linescan) in der Symmetrieebene. Die Messung wurde zu verschiedenen Temperaturen
für Aufheizen und Abkühlen im Temperaturintervall zwischen 22 und 180 °C durchgeführt.
Bei der untersuchten Geometrie handelt sich um ein axialsymmetrisches Problem, wobei der
Einfluss des Waferflats und einer Exzentrizität der Beschichtung vernachlässigt wird, da in
vergleichenden FE-Berechnungen nur ein vernachlässigbar kleiner Unterschied festgestellt
wurde. Da angenommen werden kann, dass der Elastizitätsmodul der Beschichtung geringer
als der des Siliziumsubstrats ist und das Schichtdickenverhältnis t / bei 0,02 liegt, sind die
f tS
Voraussetzungen zur Anwendung der Stoney-Gleichung mit einem Approximationsfehler
unter 5 % erfüllt. Um aus den Messdaten jedes Linescans, der eine Biegelinie darstellt, den
Krümmungsradius zu ermitteln, wird auf die kinematischen Zusammenhänge aus der linearen
Theorie zurückgegriffen. Zunächst gilt, dass die Krümmung der Biegelinie konstant ist und
die Biegelinie somit durch ein Polynom zweiten Grades wiedergegeben werden kann /87/.
Entsprechend erfolgt eine Ausgleichsrechnung der ermittelten Verschiebungsdaten mit der
folgenden Funktion:
2
w x = A⋅
x + B ⋅ x +
(4-8)
( ) C
Unter der Voraussetzung kleiner Verformungen gilt als Zusammenhang zwischen dem
Krümmungsradius und der Krümmung der Biegelinie:
1
≈ w′
′ ( x)
= 2 ⋅ A
R
Damit kann mit Gleichung (2-1) die Spannung in der Beschichtung berechnet werden:
(4-9)
σ f
2
ES
⋅ t S
= −
3⋅
1−ν
⋅ t
⋅ A
(4-10)
( )
S
f
- 63 -

Messungen
Aus diesem Zusammenhang kann nun zu jeder Temperatur eine Spannung zugeordnet werden.
Zur berechneten Spannung ist anzumerken, dass die Gleichung nur in der Mitte des Wafers
gilt und nicht in den Randbereichen. Für die Fehlerbetrachtung muss beachtet werden,
dass die Stoney-Gleichung von einer homogenen Spannungsverteilung in der Schicht ausgeht.
Diese Voraussetzung ist aufgrund der ungleichmäßigen Dickenverteilung nicht vollständig
gewährleistet, ist bei kleinen Verformungen allerdings ausreichend genau /32/. Die Unsicherheit
für die Bestimmung der Beschichtungsdicke anzugeben, ist insofern schwierig, dass ein
Mittelwert gefunden werden muss, der die Wirkung der Beschichtung auf den Wafer richtig
abbildet. Das heißt eine zu geringe Schichtdicke bewirkt eine Überschätzung der auftretenden
Spannungen in der Schicht, die in Folgeberechnungen auf zu hohe Werte führt. Allerdings ist
nicht davon auszugehen, dass die wahre homogenisierte Schichtdicke die gleiche Streubreite
besitzt, wie der Mittelwert der Messungen. Um den Homogenisierungsfehler abzuschätzen
wird von den Messwerten der Größtwert sowie ein weiteres Mal der Minimalwert entfernt
und jeweils der Mittelwert gebildet. So erhält man für den kleineren Mittelwert eine Schicht-
dicke von 10 , 0 μm als untere Grenze und als obere Grenze eine Schichtdicke von 10 , 9 μm .
Die Unsicherheitsgrenzen sind in diesem Fall unsymmetrisch. Als Abschätzung für den
Größtfehler wird mit ± 05μm , gearbeitet, so dass der relative Fehler 5 % beträgt. Diese Un-
sicherheit stellt einen systematischen Fehler bei der Berechnung der Spannungen dar, da in
jede Berechnung derselbe Wert einfließt. Dieser systematische Fehler hat den größten Einfluss
auf den berechneten Spannungswert nach (4-10). Dieselbe Aussage gilt für die Waferdi-
cke. Geht man davon aus dass E S mit 1 % , tS mit ± 20 μm und R mit 1 % Genauigkeit be-
kannt sind, kann die Gesamtunsicherheit angegeben werden durch:
δ σ f
σ
f
=
2
2
δ ES δ R δ t f δ t
+ + + 2 ⋅
E R t t
S
f
S
S
= 1,
4 % + 12,
6 % = 14,
0 %
(4-11)
Der zweite Summand zeigt noch einmal deutlich, dass bei der Spannungsberechnung auf der
Grundlage der Verformungsergebnisse die größte Abweichung durch die systematischen Fehler
hervorgerufen wird.
4.4.2 Messergebnisse und Diskussion
Die Darstellung der Verformungs-Temperaturkurve in Abb. 35a unterstützt die These des
Auftretens einer plastischen Deformation. Der Verlauf von Aufheiz- und Abkühlkurve stimmt
nicht überein und die maximale Verformung von 95,6 µm erhöht sich auf 104,6 µm bei 22 °C.
Dies gilt entsprechend für die Spannungen (Abb. 35b). Beim Aufheizen erfolgt zunächst eine
- 64 -

Messungen
elastische Relaxation durch die stärkere Ausdehnung der Silberpaste gegenüber dem Silizium.
Die Abnahme von Spannung und Verformung mit steigender Temperatur ist bis 70 °C linear.
In der Folge wird der Anstieg stetig kleiner und bis zur maximal eingestellten Temperatur von
180 °C geht die Verbiegung auf nahezu Null zurück. Zu Beginn des Abkühlens findet man
ebenfalls einen annähernd linearen Temperaturbereich, der sich zwischen 180 und 140 °C
befindet. Zwischen 140 °C und Raumtemperatur wird die Zunahme von Spannung und Verformung,
wie beim Aufheizen, stetig geringer.
Abb. 35 a) max. Verformung in Abhängigkeit von der Temperatur
b) Spannungs-Temperaturkurve für den bedruckten Wafer (t_Si: 525 µm, t_Ag: 10.5 µm)
Die Verringerung der Relaxation ab 70 °C kann nur zu einem kleinen Teil durch eine temperaturbedingte
Verringerung des Elastizitätsmoduls erklärt werden, da sonst eine Reduzierung
des berechneten E-Moduls um bis zu 40 % auftritt. Eine Erklärung für die weitere Abnahme
und den Folgeverlauf ist möglich, wenn man annimmt, dass ab 70 °C bei Spannungen von
50 MPa eine plastische Deformation eintritt. Das heißt die temperaturabhängige Fließgrenze
des Materials verringert sich stärker als die Spannungen in der Schicht durch die elastische
Relaxation abnehmen. Der elastische Bereich beim Abkühlen ist etwas geringer als beim
Aufheizen, da die Fließgrenze bei den höheren Temperaturen schneller erreicht wird. Dabei
ist die Fließgrenze beim Abkühlen offensichtlich höher als beim Aufheizen, was auf eine Verfestigung
hindeutet. Legt man eine kinematische Verfestigung in der Beschichtung zu Grunde
verschiebt sich die Fließfläche wie in Abb. 36a schematisch für Raumtemperatur und 180 °C
dargestellt. In diesem Fall verändert sich die Lage der Fließgrenze so, dass bei höheren Temperaturen
ein Fließen auch bei abnehmender Spannung in der Schicht erfolgt und die obere
Fließgrenze höher als im Ausgangzustand ist. Aus diesem Grund ist nach dem Abkühlen die
Verbiegung bei Raumtemperatur höher. Trägt man die Spannungen als Funktion der Dehnung
auf, ist der in Abb. 36b qualitativ dargestellte Verlauf als Hysterese denkbar. In dieser Dar-
- 65 -

Messungen
stellung ist zu beachten, dass eine höhere Dehnung mit einer niedrigeren Temperatur verbun-
den ist. Folglich wird die eigentliche Verfestigung von einer Zunahme der Fließgrenze mit
abnehmender Temperatur überlagert.
Abb. 36 a) Veränderung der Fließfläche durch kinematische Verfestigung
b) schematische Darstellung des Spannungs-Dehnungsdiagramm zur Erklärung des Spannungs-Temperatur
Verhaltens
Für die Aussagen zum elastischen Verhalten der Beschichtung kann man im linearen Bereich
der Kurve, bei Vernachlässigung der Temperaturabhängigkeit, mit Gleichung (2-4) arbeiten.
Die Auswertung erfolgt zwischen zwei benachbarten Temperaturen, so dass eine Modifikation
der Gleichungen wie folgt aussieht:
2
E
E
S ⋅ t
f
(4-12)
S
Δσ f = −
⋅ Δκ
= ⋅ ( α S −α
f ) ⋅ ΔT
6 ⋅ 1−ν
⋅ t 1−ν
( ) ( )
S
f
f
In dieser Gleichung sind E f , α f und ν f unbekannt. Für ν f wird der Wert von reinem Silber
angenommen, da die mögliche Schwankungsbreite der Querkontraktion keinen großen Einfluss
auf das Ergebnis besitzt. Da ein Vergleichssubstrat nicht zur Verfügung stand, kann nur
eine Aussage zum Parameter E ( α −α
)
f
⋅ im Temperaturintervall ΔT
gemacht werden.
S
f
Nach Umstellung der Gleichung (4-12) folgt:
Δσf⋅( 1−νf)
(4-13)
E f ⋅( αS − α f ) =
ΔT
Im linearen Bereich erhält man, bezogen auf die Temperaturdifferenz, einen annähernd konstanten
Wert und als Mittelwert -0,725 MPa/K für das Aufheizen und -0,799 MPa/K für das
Abkühlen. Die Zahlenwerte sind negativ, da α f größer als α S ist. Der höhere Wert beim
Abkühlen kann durch einen höheren Ausdehnungskoeffizienten der Schicht bei höheren
Temperaturen begründet werden. Eine Rückwirkung der Verfestigung auf die elastischen Ei-
- 66 -

- 67 -
Messungen
genschaften, wenn z.B. das Gefüge dichter wird, muss näher untersucht werden. Ohne die
genaue Kenntnis des Ausdehnungskoeffizienten ist nur eine Abschätzung des Wertebereichs
des Elastizitätsmoduls möglich. Nimmt man als Randwerte der Ausdehnung
(Ag-Paste nach /30/) und
−6 −1
19, 4 10 K
10, 4⋅ 10 K
−6 −1
⋅ (reines Silber) erhält man einen Elastizitätsmodul
zwischen 27,4 und 59,5 GPa, wobei die Unsicherheit wie bei der Spannungsberechnung 14 %
beträgt. Diese Werte sind im Vergleich zu den Angaben in /30/ sehr viel größer. Allerdings
werden in der Literaturstelle weder die Zusammensetzung der Paste noch die Prozessbedin-
gungen genannt, so dass ein Vergleich kaum möglich ist. Wenn der Ausdehnungskoeffizient
α z.B. aus einer TMA-Messung bekannt ist, kann E exakter berechnet werden.
f
Abschließend ist zur durchgeführten Messung zu sagen, dass eine exakte Untersuchung des
Werkstoffverhaltens weitaus umfangreichere Experimente erforderlich macht. Ein zyklisches
Aufheizen und Abkühlen in einem kleinen Temperaturintervall ist sinnvoll um die elastischen
Kennwerte besser abzuschätzen, da eine merkliche Temperaturabhängigkeit vorhanden ist.
Weiterhin muss ein größerer Temperaturbereich untersucht werden, so dass das plastische
Verhalten und die Verfestigungsmechanismen besser verstanden werden und aufgestellte
Thesen zu untermauern oder zu verbessern. Die Angabe der Fließgrenze für bestimmte Tem-
peraturen ist ebenfalls möglich, wobei immer die Überlagerung von plastischer Deformation
und Verfestigung erfolgt. Die Fehlerabschätzung hat für den vorliegenden Versuch allerdings
gezeigt, dass die berechneten Spannungen, neben dem Approximationsfehler der Berech-
nungsgleichung, mit einem hohen systematischen Fehler behaftet sind, wenn die Beschich-
tungsdicke nicht genauer bestimmt werden kann.
f

5 Berechnungen zum Einbrennprozess
Berechnungen zum Einbrennprozess
Im Folgenden Kapitel wird ein Modell zur Berechnung von Verformungen und Spannungen,
die durch den Einbrennprozess entstehen, vorgestellt. Zunächst wird die strukturbedingte Einstellung
einer Vorzugsrichtung bei der Verbiegung untersucht. In Hinblick auf die Anwendung
der Submodelltechnik werden anschließend die Einflüsse von Kontaktfingern und Busbar,
sowie der Materialkennwerte der Paste auf die Verformung untersucht. Nach diesen
grundlegenden Untersuchungen werden die geometrischen Parameter in Hinblick auf dünne
Zellen verändert und die Veränderung der Eigenspannungen verglichen. Der Vergleich von
Spannungen kann auf dieser Detaillierungsstufe nur qualitativ erfolgen. Zum Abschluss wird
gezeigt, wie durch die Anwendung der Submodelltechnik die Bereiche hoher thermomechanischer
Spannungen näher untersucht werden können.
5.1 FE-Modell für die Solarzelle
5.1.1 Allgemeine Angaben und Voraussetzungen
Die Modellierung der Zelle erfolgt basierend auf dem Layout der multikristallinen Q-Cells-
Zelle Q6LTT /88/, wobei durch Ausnutzung der Symmetrie nur ein Viertel der Zelle modelliert
werden muss. Dabei ist nur die Geometrie der Zelle bekannt, jedoch keine spezifischen
Prozessierungsparameter. Zur Beschreibung der Zelle werden die in Abb. 37 aufgeführten
Parameter verwendet. Für die Berechnung der Abkühlung der Zelle von Einbrenntemperatur
auf Raumtemperatur (20 °C) gelten die folgenden Annahmen:
• thermische Dehnung aller Schichten ist Null bei der Eutektikumstemperatur des AlSi
(577 °C, vgl. 3.2.2)
• Al-Paste und Ag-Paste werden durch ein bilineares elastisch/ideal-plastisches Materialmodell
abgebildet
• Keine zeitabhängigen Vorgänge (Kriechen)
• Zeitlicher Verlauf der Temperaturänderung hat keinen Einfluss auf das Endergebnis
• Antireflexschicht wird vernachlässigt, wegen geringer Dicke (0,07 µm /15/) und vergleichbarer
thermischer Ausdehnung in Bezug auf Si
• Materialkennwerte sind in Abhängigkeit von der Temperatur gegeben
Für den Vergleich werden als Referenzergebnisse die Verformungen und Spannungen der
Solarzelle mit den in Tabelle 13 aufgeführten Parametern verwendet. Die Werte orientieren
sich an den Messergebnissen (vgl. 4.1), wurden zur Vereinfachung auf ganze Zahlen gerundet
und die Zelldicke auf einen aktuellen Wert angepasst. Die in Tabelle 14 angegebenen Materi-
- 68 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
alkennwerte beziehen sich auf Raumtemperatur, werden jedoch in der Simulation nach Mög-
lichkeit in Abhängigkeit von der Temperatur verwendet (vgl. Anlage A3). In der Tabelle ist
der mittlere lineare Ausdehnungskoeffizient für das Temperaturintervall von 577 °C bis 20 °C
angegeben.
Abb. 37: Parameter für das Zellmodell, Layout basiert auf Q6LTT von Q-Cells
Tabelle 13: Parameterwerte für die Referenzzelle
L 156 mm Al_rand 1,5 mm t_Ag 25 µm
B 156 mm Ag_Breite 4 mm t_KF 15 µm
BB_abstand 75 mm Ag_rand 15 mm KF_Anzahl 75
BB_rand 4 mm t_Si 200 µm KF_Breite 100 µm
BB_Breite1 2 mm t_Al 30 µm KF_rand 1,5 mm
BB_Breite2 0,5 mm t_BB 20 µm
Tabelle 14: Materialkennwerte bei Raumtemperatur (20 °C)
Material E [GPa] ν σ y [MPa]
se
α [10 -6 K -1 ]
Silizium 162,5 0,223 --- 3,33
Silber-Paste 7 0,37 43,0 10,4
Aluminium-Paste 6 0,347 39,5 15,9
- 69 -

5.1.2 Aufbau des Modells der Solarzelle
Berechnungen zum Einbrennprozess
Das FE-Modell wurde mit der Software ANSYS® 12.0 unter Verwendung der programmei-
genen APDL Skriptsprache erstellt. Zur Modellierung der dünnen Struktur wird ein Schalen-
modell mit SHELL91-Elementen aufgebaut. Das Element besitzt 8 Knoten, kann aus bis zu
100 Schichten aufgebaut sein und unterstützt geometrische Nichtlinearität sowie nichtlineares
Materialverhalten. Zusätzlich bietet das Element die Möglichkeit, die Knoten auf die Ober-
bzw. Unterseite zu verschieben. Dies wird angewendet um den Randabstand der Al/Ag-
Rückseitenbeschichtung zu beachten. Hierzu werden die Vorder- und Rückseite der Zelle
unabhängig erzeugt, wobei die Knoten der Elemente auf der Vorderseite auf die Unterseite
(Bottom) und die Knoten der Rückseite auf die Oberseite (Top) verschoben werden (vgl. Abb.
38). Die Knoten werden anschließend zusammengefügt, so dass sich die übereinanderliegenden
Elemente dieselben Knoten teilen und damit die Anzahl der Freiheitsgrade reduziert werden
kann. Der Nachteil dieses Vorgehens ist, dass ein „shell-to-solid“ Submodell nicht möglich
ist /35/. Die Busbar und Kontaktfinger werden durch ein zusätzliches Layer dargestellt.
Als Elementkantenlänge wurde 1 mm gewählt, wobei für eine ausreichend genaue Verschiebungslösung
2 mm möglich sind. Ausgehend von diesem Modell gibt es eine reduzierte Variante
ohne Kontaktfinger.
Abb. 38: Anwendung der Knotenverschiebung für den Elementtyp SHELL91
Zu den Schalenmodellen gibt es analoge Volumenmodelle, für die 20 Knoten-Elemente des
Typs SOLID95 verwendet wurden. Diese dienen zum einen dem Abgleich der Schalenmodelle
und in ihrer Hauptfunktion als Grundlage für ein Submodell, das detaillierte Informationen
liefern soll. Für die Erzeugung der Verschiebungslösung ist im Globalmodell ein Element für
jede Schicht ausreichend. Aus dem Ergebnis wird die Lage der maximalen Belastung bestimmt
und die entsprechenden Bereiche für das Submodell ausgewählt. In Abb. 39 ist die
Vernetzung des Volumenmodells ohne Kontaktfinger dargestellt.
- 70 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
Abb. 39: Vernetzung des Viertelmodells ohne Kontaktfinger (rot: Silber, cyan: Silizium, violett: Alu-
minium), links: Ansicht von oben, rechts: Ansicht von unten
Für die Berechnung der Abkühlung wird als Referenztemperatur die Eutektikumstemperatur
des AlSi eingegeben und allen Elementen wird Raumtemperatur zugewiesen. An den entsprechenden
Stellen wurden die Symmetriebedingungen erzeugt. Der Mittelpunkt der Zelle wird
als Festpunkt definiert, so dass eine freie Verformung in jede Richtung möglich ist. Aufgrund
des hohen Schlankheitsgrades und der Berücksichtigung temperaturabhängiger Materialkennwerte
erfolgt die Berechnung nichtlinear.
5.2 Verzweigungsproblematik
Bei der Auswertung der Berechnungsergebnisse wurde eine Abhängigkeit der Verbiegungsform
von geometrischen Parametern, wie der Lage der Busbar, der Beschichtungsdicke sowie
Materialparametern festgestellt. Zudem ist es möglich, dass für dieselbe Geometrie bei einer
unterschiedlichen Anzahl von Berechnungsschritten (Substeps) unterschiedliche Verbiegungsformen
berechnet werden. Dieses Verhalten tritt nur bei geometrisch nichtlinearer Berechnung
auf und ist mit der Verzweigungsproblematik aus der klassischen Stabilitätstheorie
vergleichbar. Das heißt, für ein- und dieselbe Geometrie existieren zwei oder mehr benachbarte
Gleichgewichtslagen. Die Herausbildung der Vorzugsrichtung wird verursacht durch die
Busbar, Kontaktfinger und den Silberstreifen auf der Rückseite, da Berechnungen für einen
gleichmäßig beschichteten Wafer ohne Busbar stets eine kreisförmig symmetrische Verbiegung
ergaben. Diese Komponenten stellen Imperfektionen der Struktur dar, die das Verformungsverhalten
beeinflussen. Ein Zusammenhang mit dem Einsetzen der plastischen Deformation
der Rückseitenbeschichtung wurde nicht festgestellt. Für eine ausreichend große Anzahl
von Substeps, vor allem im Bereich des Verzweigungspunktes, konvergiert die Berech-
- 71 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
nung gegen die wahrscheinlichste Form. Andererseits führt eine zu niedrige Anzahl von
Substeps zu einer anderen Verbiegungsform, wenn der Verzweigungspunkt „übersprungen“
wird. Bei starker Temperaturabhängigkeit der Materialparameter muss auf diese Problematik
besonders geachtet werden.
Abb. 40 Entwicklung der Zellverformung in Abhängigkeit von der Temperatur, Referenzgeometrie
a) Verformung in Abhängigkeit von der Temperatur
b) Verformungs-Temperatur-Diagramm mit der Bestimmung des Verzweigungspunktes
Abb. 40 zeigt die Herausbildung einer Vorzugsrichtung für die Referenzgeometrie in Abhängigkeit
von der Temperatur. Zunächst verformt sich die Zelle mit einer kreisförmigen Symmetrie,
wie in einer linearen Berechnung. Ab einer bestimmten Temperatur (in der gewählten
Konfiguration: ca. 490 °C) stellt sich eine Vorzugsrichtung ein. Diese Temperatur soll im
Folgenden in Anlehnung an die kritische Last der Stabilitätstheorie als kritische Temperatur
bezeichnet werden. Der Verzweigungspunkt kann nur durch eine sehr hohe Anzahl von
Substeps exakt identifiziert werden, wobei bereits ab einer Anzahl von 40 Substeps eine gute
Wiedergabe der Verformungs-Temperaturkurve möglich ist. Für die Referenzberechnung
wurde im Temperaturintervall zwischen 530 und 450 °C eine Temperaturänderung von 1 K je
Berechnungsschritt gewählt, während im restlichen Bereich größere Schritte zugelassen wurden.
Die Identifizierung des Verzweigungspunktes kann durch den Vergleich der Verschiebungen
der Randmittelpunkte erfolgen, da die Verschiebungs-Temperaturkurve des Randpunktes,
der zur Biegeachse gehört, ein betragsmäßiges Maximum besitzt (Abb. 40b rote Kurve).
In Anwendung dieser Feststellung wird die kritische Temperatur als die Temperatur defi-
- 72 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
niert, bei der die Verschiebung des Randmittelpunktes der Biegeachse ihr Maximum besitzt.
Bis zum Erreichen der kritischen Temperatur sind die Verschiebungen in etwa gleich
( ± 0,
001 mm ). Nach Überschreiten der kritischen Temperatur driften die beiden Werte aus-
einander und es stellt sich die Vorzugsrichtung ein.
Abb. 41 Verzweigungsproblematik bei der Berechnung der Waferverbiegung in Abhängigkeit von
verschiedenen Parameter
In Abb. 41a und b sind beispielhaft Möglichkeiten aufgezeigt wie sich die Biegefläche in Ab-
hängigkeit von der Geometrie und bei einer Veränderung der Materialparameter verändert.
Bei der Veränderung des Materialparameters liegt allerdings eine zu grobe Einteilung der
Berechnungsschritte am Verzweigungspunkt vor. Wie sich die Anzahl der Substeps auf das
Endergebnis und den Verformungsverlauf während der Abkühlung auswirkt, ist in Abb. 41c
und d dargestellt. Für den Fall, der zur Verbiegung um die y-Achse führt, treten Konvergenz-
probleme auf, so dass vom Programm eine zusätzliche Lastschrittteilung durchgeführt wird,
weshalb im Beispiel statt der vorgegebenen 40 Substeps 42 durchgeführt wurden. Der 1. Fall
ergibt eine kreisförmig symmetrische Verbiegung und stellt einen Spezialfall für kleine Ver-
formungen dar (lineare Berechnung) und tritt in der Regel nur bei zu geringer Berechnungs-
- 73 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
schrittzahl auf. Pro Berechnungsschritt erfolgt im Fall 1 eine Temperaturänderung von 56 K,
die in diesem Fall zu groß ist, um das richtige Ergebnis zu liefern. In den Fällen 2 und 3 erfolgt
die Biegung jeweils bevorzugt um eine der Symmetrieachsen, wobei die Größe der Endverformung
nahezu identisch ist. Dies ist darin begründet, dass die Verbiegung vor allem
durch den sehr viel größeren Anteil des Aluminiums bestimmt wird, dessen Verteilung annähernd
symmetrisch ist.
Die Problematik ist ebenfalls im Verformungs-Temperatur-Diagramm zu sehen, in dem die
Verschiebungen der Randmittelpunkte dargestellt sind (Abb. 41d). Wie im Folgenden noch
gezeigt wird hängt der Kurvenverlauf entscheidend von den elastischen Eigenschaften der Al-
Paste ab. Zu Beginn ist der Anstieg der Kurven noch gleich, da die Verbiegung, die durch die
Thermospannung verursacht wird, noch relativ gering ist und damit die Verbiegungsform
symmetrisch ist. In der Ausschnittvergrößerung des Diagramms sieht man, wie ab 500 °C die
Kurvenverläufe auseinanderlaufen. Für den Fall 1 bleiben die Verschiebungen der Randmittelpunkte
gleich, während für Fall 2 (Verbiegung um die y-Achse) der Punkt UZ_L einen
deutlichen Zuwachs der Verformung aufweist bzw. für Fall 3 (Verbiegung um die x-Achse)
der Punkt UZ_B. Die Mittelpunkte des jeweils anderen Randes verschieben sich ab dem Verzweigungspunkt
wieder nach oben. Zusätzlich geht mit dem Umschlagen in eine bestimmte
Richtung die geometrische Steifigkeit der Struktur verloren, was auf die im Fall 2 und 3 im
Vergleich zu Fall 1 erhöhte Endverformung führt. Unter 250 °C erfolgt bei allen 3 Fällen der
Übergang in eine Gerade mit flachem Anstieg, der auf das Einsetzen der plastischen Deformation
der Paste zurückzuführen ist, wobei ein geringer Zuwachs der Fließspannung mit abnehmender
Temperatur erfolgt. Aus diesen Beobachtungen folgt, dass die Berechnung bei
einer zu großen Schrittweite wie im Fall 1 das Verhalten der Struktur nicht korrekt abbilden
kann. Zudem ist eine globale Einteilung der Berechnungsschritte nicht sehr günstig, da im
Prinzip nur im Temperaturintervall des Verzweigungspunktes eine geringe Schrittweite (max.
1 bis 2 K) erforderlich ist, während außerhalb dieses Bereiches größere Temperaturschritte
(10 bis 15 K) möglich sind.
Ein weiteres Problem liegt im veränderten Spannungsbild (vgl. Abb. 42), das sich mit den
Belastungen in weiteren Prozessschritten und im Betrieb überlagert. Zwischen Fall 2 und 3
dreht sich das Spannungsfeld um 90° mit dem Maximum in der Nähe der Biegeachse. In Fall
2 wird durch den Steifigkeitssprung am Auslauf der Busbar eine zusätzliche Spannungsspitze
erzeugt. Zu den Spannungsverläufen ist anzumerken, dass mit dem Aneinandergrenzen von
unterschiedlichen Materialien auf der Rückseite, Sprünge in der Steifigkeit (Kontaktfinger,
Busbar) und dem Wegfall der Verformungsbehinderung bei der thermischen Ausdehnung
- 74 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
(freier Rand), Sprünge im Spannungsverlauf verbunden sind. Zum Beispiel bewirkt die Silberpaste
wegen der geringeren thermischen Ausdehnung im Vergleich zum Aluminium weniger
Zwänge, weshalb im Silizium neben der Busbar die 1. Hauptspannung geringer ist. Für
das Silizium unter der Busbar entsteht ein günstiger Druckspannungszustand und wegen der
beidseitigen Aufbringung ist die Verformung geringer. Aus diesem Grund dürfen bei der Auswertung
nur ungemittelte Elementspannungen verwendet werden, da gemittelte Knotenspannungen
das Ergebnis stark verfälschen können. Ebenfalls gut zu sehen ist die Existenz eines
globalen Spannungsfelds in dem kleine Störungen (Verringerung der 1. Hauptspannung)
durch die Kontaktfinger vorhanden sind. Der 1. Fall ist von der Belastung her besonders ungünstig,
da nun zwei Bereiche in der Nähe der Kanten eine maximale Spannung aufweisen.
Abb. 42 1. Hauptspannung im Si auf der Oberseite für die drei Fälle, symmetrisches Viertel
Aus den verschiedenen Spannungsbildern folgen unterschiedliche Bruchwahrscheinlichkeiten.
Eine quantitative Aussage zur Bruchwahrscheinlichkeit erfordert eine quantitative Aussage zu
den Spannungen. Dies ist jedoch aufgrund der unzureichenden Kenntnis der Pasteneigenschaften
schwierig. Ein Vergleich der Belastungszustände untereinander ist jedoch möglich,
wobei sich eine erhöhte Bruchwahrscheinlichkeit für Fall 1 ergibt. Fall 2 besitzt im Vergleich
zu Fall 3 nur eine leicht erhöhte Versagensrate. Bei allen Fällen ist das Versagen aufgrund
von Oberflächendefekten sehr viel wahrscheinlicher als das Versagen durch Volumendefekte.
Die Bruchwahrscheinlichkeit allein durch die generierten thermischen Spannungen ist für die
4
200 µm Zelle allerdings relativ gering (< 10 %). Dies ist offensichtlich, da die Eigenspan-
−
nung höchstens 20 % der charakteristischen Spannung von 97 MPa beträgt. Allerdings werden
beim Handling der Solarzellen in der Fertigung oder durch Belastungen im Betrieb die
Eigenspannungen durch äußere Beanspruchungen überlagert, so dass sich in Bruchversuchen
nach dem Einbrennen niedrigere Bruchkräfte ergeben /89/.
- 75 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
Die Aufnahmen von realen Zellverbiegungen in Abb. 43 sollen zeigen, dass in der Praxis
ebenfalls unterschiedliche Verformungsrichtungen möglich sind. Im realen Prozess kommen
zusätzliche geometrische und materialbedingte Variationen hinzu, die ein bestimmtes Verhal-
ten begünstigen können, z.B. die durch den Sägeprozess bedingte Keilform der Wafer, inhomogene
Dicke der Paste und lokale Unterschiede in den Eigenschaften der Pasten. Eine Aussage
zur Häufigkeit der Verbiegung in eine bestimmte Richtung kann nicht getroffen werden,
daher sollten bei der Berechnung der Verbiegung prinzipiell beide Zustände berücksichtigt
werden.
Abb. 43 Aufnahmen realer Waferverbiegungen /6/, /60/
5.3 Einflüsse auf die Verformung
5.3.1 Kontaktfinger
Die Beachtung der Kontaktfinger stellt für die numerische Simulation vor allem einen enormen
Rechenaufwand dar, da sie aufgrund ihrer geringen Größe sehr kleine Elemente erfordern.
Durch eine überschlägige Berechnung des Flächenträgheitsmoments Ixx mit und ohne
Kontaktfinger für den in Abb. 44a dargestellten Querschnitt soll der Fehler abschätzt werden,
der sich ergibt, wenn die Kontaktfinger vernachlässigt werden. Für die konkreten Werte der
Referenzzelle kann man die Abweichung zwischen der exakten Berechnung und der Vereinfachung
als Funktion der Zelldicke darstellen. Man erhält den in Abb. 44b dargestellten Zusammenhang,
wonach der Fehler mit abnehmender Zelldicke zunimmt, jedoch selbst bei sehr
geringen Zelldicken unter 5 % liegt. Hinzu kommt der im Vergleich zum Silizium um eine
Größenordnung niedrigere effektive Elastizitätsmodul der Silberpaste. Ein Unterschied zwischen
einzelnen Waferformaten ist nicht zu erwarten, da mit steigender Größe auch die Anzahl
der Kontaktfinger zunimmt.
- 76 -

Abb. 44 a) Querschnitt für die Berechnung von Ixx
Berechnungen zum Einbrennprozess
b) Verlauf der Abweichung zwischen der Berechnung von Ixx mit und ohne Kontaktfinger
Ausgehend von diesem Zusammenhang kann man davon ausgehen, dass die Kontaktfinger
keinen signifikanten Einfluss auf die Größe der Verformung haben. Um dies nachzuweisen,
wurde mit dem Schalenmodell die Abkühlungsberechnung für eine 6“ Zelle mit und ohne
Kontaktfinger für unterschiedliche Zelldicken und Waferformate durchgeführt, wobei darauf
geachtet wurde, dass dieselbe Verbiegungsform verglichen wird. Die Ergebnisse sind in Abb.
45 dargestellt. Wie bereits vermutet ist der sich ergebende Fehler in Bezug auf die Verformung
mit max. 2,6 % vernachlässigbar klein, so dass die Modellvereinfachung in Bezug auf
die Verformung zulässig ist und in weiteren Untersuchungen angewendet wird.
Abb. 45 Abweichung zwischen der max. Verformung für Berechnung mit und ohne Kontaktfinger
a) in Abhängigkeit von der Zelldicke, b) in Abhängigkeit vom Zellformat
Für die Betrachtung der Spannungen ist dies nur bedingt richtig. Das globale Spannungsfeld
wird durch die Kontaktfinger kaum beeinflusst, allerdings treten lokal Störungen im Span-
- 77 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
nungsverlauf auf. Dies soll durch den in Abb. 46 dargestellten Verlauf der 1. Hauptspannung
σ 1 und der relativen Abweichung σ 1
Δ entlang des Pfades x = 0 veranschaulicht werden. Die
Verformung erfolgt in der gewählten Konfiguration um die y-Achse, so dass die 1. Haupt-
spannung im gewählten Schnitt der Spannung σ xx entspricht. Durch die größere thermische
Ausdehnung der Kontaktfinger, werden im Silizium lokal Druckspannungen erzeugt, die der
Biegespannung entgegen wirken. Hieraus resultieren die Sprünge im Spannungsverlauf, wenn
Kontaktfinger vorhanden sind. Man sieht weiterhin das globale Spannungsfeld, das nur geringfügig
von den Kontaktfingern beeinflusst wird, weshalb der Verlauf der blauen (ohne KF)
und der roten (mit KF) Kurve nahezu deckungsgleich ist. Im vereinfachten Modell werden
zudem immer geringfügig höhere Spannungen berechnet, da die Verformung durch das Fehlen
der Kontaktfinger stets größer ist. In der Darstellung der relativen Abweichung erkennt
man, dass unter den Kontaktfingern bis zu 45 % geringere Spannungen auftreten. Die Abweichung
im globalen Spannungsfeld liegt dabei konstant unter 5 %. Eine quantitative Beurteilung
der dargestellten Spannungen kann nur im Submodell mit gesicherten Materialkennwerten
erfolgen. Aus diesem Grund werden die folgenden Ergebnisse immer bezogen auf das
Ergebnis der Referenzzelle dargestellt.
Abb. 46 Vergleich der berechneten 1. Hauptspannung auf der Oberfläche des Si mit und ohne Kontaktfinger
entlang des Pfades x = 0, 6 Zoll, t_Si: 200 µm, BB_abstand: 90 mm
a) Absolutwerte der Spannung entlang des Pfades
b) rel. Abweichung bezogen auf die Berechnung mit Kontaktfinger
- 78 -

5.3.2 Busbar
Berechnungen zum Einbrennprozess
Der Einfluss der Busbars wird durch eine Veränderung des Busbarabstandes zwischen 40 und
120 mm für eine 6“ Zelle mit einer Siliziumdicke von 200 µm untersucht. Aufgrund der Ver-
zweigungsproblematik ergeben sich wieder unterschiedliche Verbiegungsformen. Dies bestä-
tigt, dass die Busbar eine Ursache für die Problematik ist. Bei gleicher Verbiegungsform hat
der Busbarabstand jedoch keinen wirklichen Einfluss auf das Ergebnis, wie die Darstellung
der maximalen Verformung in Abhängigkeit von der Temperatur zeigt (Abb. 47). Für die gewählte
Geometrie erfolgt zwischen einem Busbarabstand von 80 mm auf 90 mm eine Änderung
der Verformungsrichtung. Die maximale Verbiegung bei Raumtemperatur ist bei der
Verbiegung um die y-Achse etwas größer als bei der Verbiegung um die x-Achse. Der Wechsel
der Verbiegungsrichtung kann durch die Verschiebung der Steifigkeit der Busbar erklärt
werden, so dass bei geringem Busbarabstand die Verformung um die x-Achse (senkrecht zu
den Busbars) begünstigt wird und bei größer werdendem Abstand die Verbiegung um die y-
Achse (parallel zu den Busbars) wahrscheinlicher wird. Da die Spannungsverteilung hauptsächlich
von der Verbiegungsform abhängt, entstehen durch die Verschiebung der Busbar nur
geringfügige Unterschiede in Bezug auf den Maximalwert der Spannung.
Abb. 47 Temperatur-Verformungskurve in Abhängigkeit vom Busbarabstand;
max. Verformung, 6 Zoll, t_Si: 200 µm
- 79 -

5.3.3 Parameter der Metallisierungspasten
Berechnungen zum Einbrennprozess
Die Hauptursache der Zellverbiegung ist der Unterschied in der thermischen Ausdehnung
zwischen Silizium und Aluminiumpaste. Der Verformungsverlauf in Abhängigkeit von der
Temperatur wird von den Werkstoffparametern (E-Modul, Ausdehnungskoeffizient, Fließ-
spannung) und der Schichtdicke der Paste bestimmt. Zur Untersuchung des Einflusses der
einzelnen Komponenten wird die Abkühlberechnung für eine Zelle mit den Referenzabmes-
sungen nach Tabelle 13 durchgeführt.
Abb. 48 Veränderung der Schichtdicke der Pasten, 6 Zoll, t_Si: 200 µm, BB_abstand: 75
a) maximale Verformung in Abhängigkeit von der Temperatur
b) Verschiebung des Randpunktes der Biegeachse in Abhängigkeit von der Temperatur
c) Änderung der max. Verbiegung und 1. Hauptspannung bei Raumtemperatur
Für die Variation der Beschichtungsdicke wird t_Al = t_Ag gesetzt und für 10 bis 30 µm er-
hält man die in Abb. 48 dargestellten Verformungskurven. Für den Verlauf der Verformungs-
kurve bedeutet die Verringerung der Schichtdicke einen flacheren Anstieg und damit wird der
Verzweigungspunkt zu niedrigeren Temperaturen verschoben, und der Bereich, in dem das
Umschlagen in eine bestimmte Richtung erfolgt, wird breiter. Die Temperatur, bei der die
- 80 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
Fließgrenze der Paste erreicht ist, wird nur geringfügig von der Schichtdicke beeinflusst. Dies
ist daran zu erkennen, dass der Übergang in die Gerade bei derselben Temperatur erfolgt. Im
Endzustand erhält man die Abnahme der Verbiegung mit abnehmender Schichtdicke als einen
linearen Zusammenhang (vgl. Abb. 48c). Dies folgt direkt aus der Stoney-Näherung (vgl.
2.2). Geht man davon aus, dass bei derselben Temperaturänderung derselbe Spannungszu-
stand in der Paste vorliegt, ist der Krümmungsradius R proportional zu 1 /t . Das bedeutet
mit abnehmender Schichtdicke nimmt der Krümmungsradius zu und als Folge wird die Ver-
biegung geringer. Mit der geringeren Verbiegung nimmt ebenfalls die Spannung in der Zelle
ab, so dass eine Optimierung auf eine geringe Pastendicke bereits seit Jahren erfolgt (Ent-
wicklung von „low-bow“-Pasten /85/). Für die Pastendicke gibt es jedoch bestimmte funkti-
onsbedingte Grenzen, da eine ausreichende Menge vorhanden sein muss um ein geschlosse-
nes BSF zu bilden /6/.
Zur Untersuchung des Einflusses der Werkstoffparameter werden Skalierungsfaktoren einge-
führt, die eine Absenkung oder Erhöhung der Ausgangswerte bewirken oder eine Streuung
wiedergeben können. Ein Faktor fc_alpha von 0,7 bedeutet z.B. eine Verringerung der ther-
mischen Ausdehnung auf 70 % des Ausgangswertes. Die Faktoren gelten gleichberechtigt für
Aluminium- und Silberpaste.
Abb. 49 Veränderung des Ausdehnungskoeffizienten der Pasten bezogen auf die Referenzwerte,
6 Zoll, t_si: 200 µm, BB_abstand: 75
a) maximale Verformung in Abhängigkeit von der Temperatur
b) Verschiebung des Randpunktes der Biegeachse in Abhängigkeit von der Temperatur
Die Veränderungen von Ausdehnungskoeffizient und E-Modul bewirken eine Veränderung
der Spannung in der Paste in Abhängigkeit von der Temperatur (vereinfachter Zusammen-
hang: σ = ⋅ Δα
⋅ ΔT
), so dass das Verformungs-Temperaturverhalten beeinflusst
Paste
E Paste
- 81 -
al

- 82 -
Berechnungen zum Einbrennprozess
wird. Abb. 49a zeigt die max. Verformung in Abhängigkeit von der Temperatur für unter-
schiedliche Werte des Ausdehnungskoeffizienten. Der Faktor 0,7 entspricht einem mittleren
Ausdehnungskoeffizienten von
−6 −1
11, 1 10 K
⋅ und für 1,4 liegt der Wert mit
22, 3⋅ 10 K
−6 −1
nahe der Literaturangabe für reines Aluminium. Eine Vergrößerung des Ausdehnungskoeffi-
zienten erhöht den Anstieg der Temperatur-Verformungskurve und somit führen gleiche
Temperaturänderungen zu größerer Verbiegung. Als Folge wird der Verzweigungspunkt zu
höheren Temperaturen verschoben und der Bereich in dem Umschlagen in eine bestimmte
Richtung erfolgt wird schmaler (Abb. 49b). Die Fließgrenze der Paste wird durch den größeren
Spannungszuwachs in kleineren Temperaturintervallen ebenfalls früher erreicht. Eine
Verringerung des Ausdehnungskoeffizienten hat den gegenläufigen Effekt, wobei nur für die
Verringerung auf 70 % der thermischen Ausdehnung die Fließgrenze der Al-Paste bei Raumtemperatur
nicht erreicht wird. Sobald die Fließgrenze überschritten wurde, hängt die Verformung
nicht mehr vom Ausdehnungskoeffizienten ab, sondern nur noch von der temperaturbedingten
Zunahme der Fließgrenze mit fallender Temperatur. Die Verbiegungsform ist bei allen
Berechnungen gleich geblieben. Damit bleibt das Spannungsbild bei Raumtemperatur
unverändert, solange eine plastische Deformation erfolgt. Nur der geringste Ausdehnungskoeffizient
und die daraus folgende geringere Verbiegung haben eine geringere Maximalspannung
zur Folge.
Abb. 50 Veränderung des Elastizitätsmoduls der Paste bezogen auf den Ausgangswert
a) maximale Verformung in Abhängigkeit von der Temperatur
b) Verschiebung des Randpunktes der Biegeachse in Abhängigkeit von der Temperatur
Ein analoges Verhalten zeigt sich bei der Veränderung des Elastizitätsmoduls der Paste (Abb.
50). Die gewählten Faktoren decken den Bereich aus den Messungen in Abschnitt 4.2 ab, so
dass der E-Modul zwischen 1,2 und 15,6 GPa liegt. Ein niedriger E-Modul verringert den

Berechnungen zum Einbrennprozess
Anstieg der Kurve und verschiebt die kritische Temperatur zu niedrigeren Werten. Weiterhin
wird der Temperaturbereich in dem das Umklappen in eine bestimmte Richtung erfolgt ver-
breitert. Die niedrige Steifigkeit bedeutet ebenfalls, dass die plastische Deformation der Paste
später oder nicht mehr auftritt und somit die Endverformung geringer ist als mit den Aus-
gangswerten. Die Erhöhung des E-Moduls verschiebt die kritische Temperatur zu höheren
Werten (vgl. lokales Maximum der Randverbiegung, Abb. 50b) ebenso wie das Einsetzen der
plastischen Deformation. Die Zunahme der Verformung ist anschließend nur noch abhängig
von der Zunahme der Fließgrenze der Paste mit abnehmender Temperatur. Die Verbiegungsform
ist in allen Fällen gleich geblieben und erfolgte um die x-Achse. Damit gilt wie beim
Ausdehnungskoeffizient, dass sich das Spannungsbild bei Raumtemperatur nicht verändert,
solange eine plastische Deformation erfolgt, und somit die Spannung gleich bleibt. Entsprechend
sind die geringeren E-Modul-Werte mit niedrigeren Spannungen verbunden.
Abb. 51 Veränderung der Fließgrenze der Pasten bezogen auf den Ausgangswert
a) maximale Verformung in Abhängigkeit von der Temperatur
b) Änderung der max. Verbiegung und 1. Hauptspannung bei Raumtemperatur
Im Ergebnis besitzen die elastischen Konstanten nur einen Einfluss auf den Endzustand, wenn
die Verformung im elastischen Bereich bleibt. Das dies in der Regel nicht der Fall ist, wurde
bereits in Experimenten nachgewiesen (/6/) und macht die effektive Fließspannung zum entscheidenden
Parameter für die Bestimmung des Verformungszustandes nach dem Einbrennprozess.
Beim Erreichen der Fließgrenze werden die darüber hinaus entstehenden Spannungen
in eine plastische Deformation umgesetzt, so dass nur noch eine geringe Zunahme der Verbiegung
der Zelle durch Erhöhung der Fließgrenze mit abnehmender Temperatur erfolgt. Dies
soll mit den in Abb. 51a dargestellten Kurven für unterschiedliche Fließspannungswerte gezeigt
werden. Die Höhe der Fließgrenze hat keinen Einfluss auf den elastischen Teil der Ver-
- 83 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
formungskurve und ebenso auf die Lage der kritischen Temperatur. Eine Identifizierung der
Fließgrenze ist durch die Wahl eines elastisch-ideal-plastischen Verhaltens besonders einfach,
da die Verformungs-Temperatur-Kurve in eine Gerade übergeht sobald der vorgegebene Wert
für eine Temperatur erreicht ist. Man erkennt wie durch die Verringerung der Fließgrenze die
Endverformung verringert wird. Der Zusammenhang ist in diesem Fall linear, so dass eine
Halbierung der Fließgrenze eine Halbierung der maximalen Verformung sowie der Spannung
bewirkt (Abb. 51b). Mit zunehmender Fließgrenze nimmt hingegen die Verformung zu, bis ab
einem Faktor von 1,7 die Verformung rein elastisch bleibt und somit der Endzustand nur noch
von den elastischen Kennwerten abhängt.
5.4 Zelldicke und Zellformat
Von besonderem Interesse sind die aus der Verringerung der Zelldicke und einer Veränderung
des Zellformats entstehenden Auswirkungen auf die Zellverbiegung und die 1. Hauptspannung.
Da die Pastenkennwerte in Abhängigkeit vom Einbrennprozess schwanken können sind
die Ergebnisse in Abb. 52 normalisiert bezogen auf die Berechnungsergebnisse der Referenzzelle
dargestellt.
Abb. 52 Veränderung von Verbiegung und Spannung für Veränderung der Zelldicke und des
Zellformat (normiert für 6 Zoll, t_si: 200 µm)
Erwartungsgemäß steigen mit abnehmender Zelldicke (Verringerung des Flächenträgheitsmomentes)
die Verbiegung und die maximale Spannung. Der Zusammenhang ist exponentiell.
Die Halbierung der Zelldicke von 200 µm auf 100 µm bedeutet mit den verwendeten
Parametern eine Erhöhung der Zellverbiegung um den Faktor 4,4 während sich die maximale
Hauptspannung mehr als verdoppelt. Die Bruchwahrscheinlichkeit für Oberflächendefekte
wird hierdurch vergrößert, da die effektive Fläche gleich bleibt.
Die Vergrößerung des Zellformats hat hingegen nur einen kleinen Effekt auf die Spannungen.
Dies kann mit dem theoretischen Zusammenhang aus der linearen Theorie (vgl. 2.2) begrün-
- 84 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
det werden, wonach der Krümmungsradius bei gleichmäßiger Beschichtung der Oberfläche
angenähert konstant und damit unabhängig von der Größe der Oberfläche ist. Folglich bleibt,
aufgrund des Zusammenhangs σ ∝ 1/
R , die Spannung annähernd konstant. Die Zunahme der
1. Hauptspannung vom 6 Zoll zum 8 Zoll-Format liegt bei nur 4 %, während die Verbiegung
um 80 % zunimmt.
Neben der überproportionalen Vergrößerung der Zellverbiegung, die Handlingprobleme nach
sich zieht, ist eine Zunahme der Bruchwahrscheinlichkeit in Hinblick auf die Zuverlässigkeit
dünner Zellen zu erwarten. So erhöht sich die Bruchwahrscheinlichkeit von einem geringen
−4
Wert für die 200 µm Zelle von 3,
3⋅10
% auf 5,5 % für eine 100 µm-Zelle. Das bedeutet für
eine Stückzahl von 1 Million, dass von den 200 µm Zellen 3 bis 4 ausfallen würden, während
von den 100 µm Zellen 55000 ausfallen und dies allein aufgrund des Einbrennens ohne die
Berücksichtigung einer äußeren Belastung. Hierdurch zeigt sich die Bedeutung der thermischen
Beanspruchung der Zelle beim Einbrennprozess. Allerdings müssen für exaktere Aussagen
die Pasteneigenschaften genauer bekannt sein und die mechanische Wirkung auf die
Zelle muss systematisch untersucht werden.
5.5 Berechnungen mit dem Submodell
Für die genauere Untersuchung von Details wurde die Submodelltechnik angewendet. Auf der
Grundlage der Verschiebungslösung des vereinfachten Modells ohne Kontaktfinger kann für
einen nahezu beliebigen interessanten Bereich der Zelle eine genauere Lösung mit höherer
Netzfeinheit erzielt werden. Die Demonstration des Berechnungsgangs erfolgt anhand von
zwei Beispielen für eine 6 Zoll Zelle mit einer Dicke von 200 µm. Im ersten Fall wird die
Verbiegung um die y-Achse erzeugt, indem ein Busbarabstand von 90 mm gewählt wird. Im
zweiten Fall wird die Verbiegung um die x-Achse mit einem Busbarabstand von 75 mm untersucht.
Zunächst wird die Verschiebungslösung des Globalmodells erzeugt (Abb. 53a). Aus dem
Spannungsplot der 1. Hauptspannung wird der Bereich identifiziert, in dem die Maximalspannung
auftritt. In diesem Fall sollen die Spannungen an der Busbar untersucht werden, die
zwischen 15 und 18 MPa liegen (Abb. 53b). Bei der Wahl der Schnittkanten ist darauf zu achten,
dass ein Schnitt nicht durch einen Kontaktfinger geht. Für das Beispiel wurden die
Schnittkanten: x1 = 35 mm, x2 = 55, y1 = 58, y2 = 78 gewählt. Jetzt kann das Submodell für
diesen Bereich erzeugt werden und aus der bekannten Verschiebungslösung des Globalmodells
werden die Randbedingungen des Submodells an den Schnittkanten ermittelt (Abb. 53c).
- 85 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
Die Elementgröße wurde für das Submodell von 2 mm auf 0,4 mm verringert und im Silizium
sind 3 Elemente über die Dicke vorhanden. Nach dem Lösen können zunächst die Verschiebungsplots
für den Submodellbereich verglichen werden, die prinzipiell identisch sein müssen
(Abb. 53d). Abweichungen treten auf, wenn die Schnittkanten nicht mit den vorhandenen
Knoten im Globalmodell zusammenfallen und die Freiheitsgrade durch die Elementformfunktionen
interpoliert wurden. Da die Verschiebungsergebnisse übereinstimmen, ist die Freiheitsgradinterpolation
gelungen und das Spannungsergebnis kann ausgewertet werden.
Abb. 53 a) bis e) Ergebnisse der Submodellberechnung für Fall 1 (6 Zoll 200 µm, Verbiegung um
die y-Achse)
f) Orte der Spannungsüberhöhung
g) Bruch einer Solarzelle (Kantenlänge: 156 mm, 180 µm) /89/
In Abb. 53e ist die 1. Hauptspannung dargestellt. Bis auf den Bereich direkt neben der Busbar
liegen die Werte wieder zwischen 15 und 18 MPa. Die Maximalwerte liegen jedoch zwischen
22 und 25 MPa direkt an den Kanten der Busbar. Dieser Effekt ist zum einen darin begründet,
dass an dieser Stelle eine Ecke vorliegt, die eine Spannungsspitze bewirkt. Hinzu kommt ein
Randschichteffekt der durch die Kombination von Schichten mit unterschiedlichen Eigenschaften
entsteht /90/. Die Spannungsüberhöhung an dieser Stelle stellt eine mögliche Ursa-
- 86 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
che des Versagens entlang der Busbars dar, wie es von Kohn et al. beobachtet wurde (Abb.
53g, /89/). Weiterhin erkennt man wieder die lokalen Störungen im Spannungsfeld entlang
der Kontaktfinger, wobei an den Rändern ebenfalls Überhöhungen in den Spannungen zu sehen
sind. Für das erhaltene Ergebnis muss nun der Nachweis erbracht werden, dass das Prinzip
von Saint Venant erfüllt ist. Das heißt, es muss gezeigt werden, dass das Spannungsfeld
durch die Randbedingungen an den Schnittkanten nicht beeinflusst wird. Hierzu werden die
Spannungen auf Pfaden entlang der Schnittkanten verglichen. Diese sind in Abb. 54 für die
Oberseite der Zelle dargestellt. Es handelt sich um ungemittelte Elementergebnisse, weshalb
Sprünge vorhanden sind. Die Spannungsverläufe für das Submodell an den Schnitten mit x =
konstant zeichnen sich durch eine lokale Veränderung der Spannungen durch den Einfluss der
Kontaktfinger aus, da diese im Globalmodell nicht vorhanden sind. Für den Schnitt y = konstant
sind nur Unterschiede aufgrund der größeren Netzfeinheit vorhanden. Unter Berücksichtigung
dieser Zusammenhänge stimmen alle Verläufe gut überein und es kann davon ausgegangen
werden, dass die Wahl der Schnittkanten richtig war und das Ergebnis akzeptiert werden
kann.
Abb. 54 Vergleich der 1. und 3. Hauptspannung für Silizium auf der Oberseite der Zelle entlang der
Schnittkanten für das Submodell
a) Pfaddefinition, b) Spannungen für den Schnitt x = x1,
c) Spannungen für den Schnitt x = x2, d) Spannungen für den Schnitt y = y1
- 87 -

- 88 -
Berechnungen zum Einbrennprozess
Für das Submodell als Teil der Gesamtzelle kann ebenfalls eine Bruchwahrscheinlichkeit
P (Submodell)
bzw. Zuverlässigkeit P ( Submodell)
mit CARES berechnet werden. Auf-
f
S
grund der feineren Vernetzung, vor allem über die Dicke, ist der erhaltene Wert sehr viel ge-
nauer (vgl. 3.5). Da sich die Gesamtzuverlässigkeit der Zelle als Produkt der Zuverlässigkeit
seiner Teilvolumina oder Teilflächen ergibt, kann mit dem Ergebnis des Submodells die Ab-
schätzung für die Bruchwahrscheinlichkeit der Gesamtzelle ( Zelle)
bessert werden:
P in folgender Form ver-
P (Zelle) 1−
P ( Submodell) ⋅ P ( Zelle − Submodell)
(5-1)
f
= S
S
Die Zuverlässigkeit P ( Zelle − Submodell) kann entweder aus dem Ergebnis des Globalmo-
dells mit geringerer Genauigkeit berechnet werden oder es werden weitere Submodelle der
Zelle untersucht und anschließend die Gesamtbruchwahrscheinlichkeit ermittelt. Diese wäre
gegeben durch:
P (Zelle) = 1−
f
N
∏
i=
1
S
P
S
( Submodell i)
f
(5-2)
Im Beispiel liegt die nach (5-1) ermittelte Bruchwahrscheinlichkeit für Oberflächendefekte
−4
−4
bei 3,
4 ⋅ 10 % . Mit dem reinen Globalmodell wurden 2,
9 ⋅10
% bestimmt.
Im zweiten Fall ist das Vorgehen analog. Nachdem die Verschiebungslösung des Globalmo-
dells vorhanden ist (Abb. 55a), wird aus dem Spannungsplot ein interessanter Bereich mit
einer hohen 1. Hauptspannung ermittelt. In diesem Fall ist es die Region mit den Schnittkan-
ten: x1 = 53 mm, x2 = 78, y1 = 0, y2 = 26. Die Spannungen liegen erneut zwischen 15 und
18 MPa (Abb. 55b). Für das Submodell wird die Elementgröße von 2 mm auf 0,5 mm verrin-
gert und im Silizium sind 3 Elemente über die Dicke vorhanden. Als Ergebnis ergibt sich der
in Abb. 55c dargestellte Verlauf der 1. Hauptspannung. Die Maximalwerte steigen auf 18 bis
21 MPa. Wiederum erkennt man die durch die Kontaktfinger hervorgerufenen lokalen Störungen
im Spannungsfeld. Unter den Kontaktfingern sinkt die Spannung ab, während an den
Rändern Überhöhungen auftreten. Der Nachweis für die Einhaltung des Prinzips von Saint
Venant ist in Abb. 55d für die 1. und 3. Hauptspannung im Schnitt x = x1 dargestellt. Größere
Differenzen zwischen den Pfadplots sind erneut nur durch die Kontaktfinger vorhanden. Für
−4
die Bruchwahrscheinlichkeit durch Oberflächendefekte ergibt sich ein Wert von 3,
2 ⋅10
% .
−4
Die Zunahme des Wertes ist im Vergleich zum Globalmodell ( 2,
4 ⋅10
% ) größer als im
vorherigen Beispiel, da in diesem Fall der Submodellbereich mit der höheren Genauigkeit

Berechnungen zum Einbrennprozess
größer ist. Das bedeutet im Globalmodell wird die Bruchwahrscheinlichkeit durch das zu gro-
be Netz unterschätzt.
Abb. 55 Fall 2 Submodellberechnung für die Verbiegung um die y-Achse
a) Verschiebungsergebnis Globalmodell, b) 1. Hauptspannung Globalmodell
c) 1. Hauptspannung Submodell, d) Vergleich der 1. und 3. Hauptspannung für Silizium
auf der Oberseite der Zelle entlang des Schnittes x = x1
5.6 Diskussion der Ergebnisse
Alle vorgestellten Ergebnisse für die Parameteruntersuchung beruhen auf Annahmen zum
qualitativen Verhalten und aus der Literatur abgeleiteten Werten bezüglich der mechanischen
Eigenschaften der Paste. An den Temperatur-Verformungskurven sind die Vereinfachungen
deutlich zu erkennen. Da auf Verfestigungsmechanismen verzichtet und nur linearisierte Temperaturabhängigkeiten
verwendet wurden, geben die berechneten Kurven den tatsächlichen
Verlauf nur stark vereinfacht wieder. Eine Überprüfung der Ergebnisse durch Experimente
und die Kennwertermittlung war im erforderlichen Umfang nicht möglich. Aus diesem Grund
sind Angaben zur absoluten Verbiegung, Spannungen und zur Bruchwahrscheinlichkeit unter
diesen Einschränkungen zu betrachten.
Zur Untersuchung der grundlegenden mechanischen Vorgänge während des Einbrennvorgangs
kann das entwickelte Modell jedoch verwendet werden. In Hinblick auf die Anwen-
- 89 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
dung der Submodelltechnik wurde gezeigt, dass die Vernachlässigung der Kontaktfinger für
eine ausreichend genaue Verschiebungsberechnung zulässig ist und das globale Spannungsfeld
abgebildet werden kann. Besonders wichtig für die Verformungsberechnung ist die Berücksichtigung
der Lage der Busbars, da diese eine Orientierung der Waferverbiegung verursacht.
Die Herausbildung der Vorzugrichtung ist verbunden mit einer Verzweigungsproblematik.
Diese kann zu unterschiedlichen Verbiegungsformen führen, wenn die Berechnungseinstellungen
verändert werden, im Besonderen die Anzahl der Berechnungsschritte. Durch
gezielte Verringerung der Schrittweite, bei einer kritischen Temperatur, kann die wahrscheinlichste
Verformung bestimmt werden. Die Beachtung der Problematik ist notwendig, da ohne
die richtige Biegefläche die Lage der maximalen Eigenspannungen falsch bestimmt wird.
Der Verformungszustand bei Raumtemperatur ist im Bereich der untersuchten Werkstoffkennwerte
unabhängig von der thermischen Ausdehnung und dem E-Modul, da im Regelfall
bis zum Erreichen von Raumtemperatur eine plastische Deformation der Paste eintritt. Eine
plastische Deformation wird in der Verformungskurve sichtbar durch den Übergang in eine
Gerade bzw. durch eine Änderung des Anstieges. Die Fließgrenze stellt den begrenzenden
Parameter dar, der die Größe der Verformung bei Raumtemperatur bestimmt. Das heißt im
Umkehrschluss, dass es möglich ist auf mehreren Wegen dieselbe Endverformung zu erzeugen,
so dass eine veränderte Temperaturabhängigkeit der elastischen Kennwerte mit einer
bestimmten Kombination aus Fließspannung und Verfestigungsparameter zum selben Ergebnis
führen kann. Daher sollte bei der Beurteilung der Zellverbiegung nicht nur der Endzustand
sondern auch der Verlauf der Verformungs-Temperaturkurve betrachtet werden. Für den
Spannungszustand bei Raumtemperatur ist hauptsächlich die Endform nach dem Einbrennprozess
ausschlaggebend und somit wird dieser ebenfalls von der Fließgrenze der Paste bestimmt.
Besonders wichtig bei der Auswertung der Spannungsergebnisse ist die Verwendung
der ungemittelten Elementspannungen, da im Spannungsfeld Sprünge vorhanden sind, die
durch Steifigkeitsänderungen (Busbar, Kontaktfinger) und Änderung der Materialeigenschaften
vorhanden sind. Solche Unstetigkeiten würden bei der Verwendung der gemittelten Knotenspannungen
zu einer falschen Interpretation der Ergebnisse führen. Die größten Zugspannungen
treten an der Waferoberseite auf, während die großflächig beschichtete Rückseite unter
Druckspannungen steht. Die Lage des Maximums ist dabei von der Verbiegungsform abhängig.
Bei der Untersuchung der Verminderung der Zelldicke wurde eine deutliche Zunahme der
Eigenspannungen im Vergleich zur Referenzzelle (6 Zoll, 200 µm) festgestellt. Bei der Reduzierung
auf 120 µm und weniger steigt die maximale Spannung auf mehr als das Doppelte an
- 90 -

Berechnungen zum Einbrennprozess
und die Verbiegung verdreifacht sich. Aus diesen Ergebnissen folgt eine deutlich erhöhte
Bruchwahrscheinlichkeit dünner Zellen. Allein aufgrund des Eigenspannungszustands steigt
−4
die Bruchwahrscheinlichkeit von einem geringen Wert ( 3,
3⋅10
% ) auf über 5 % an. Hierbei
handelt es sich um Bruchwahrscheinlichkeiten aufgrund von Oberflächendefekten, die sehr
viel höher sind als die Bruchwahrscheinlichkeiten durch Volumendefekte. Bei dieser Berech-
nung wird allerdings von den gleichen charakteristischen Bruchwerten ausgegangen, so dass
ein Größeneffekt des Materials unberücksichtigt bleibt.
Die Anwendung der Submodelltechnik wurde für zwei Beispiele demonstriert. Mit dieser
Methode ist es möglich genauere Spannungsergebnisse in bestimmten Regionen der Zelle zu
erzielen. Hierbei zeigt sich, dass an den Rändern der Busbar und an Kontaktfingern Span-
nungsüberhöhungen entstehen. Diese sind zum einen durch die geometrische Vereinfachun-
gen bedingt, da die Finger und die Busbar im Modell scharfe Ecken besitzen und damit eine
Kerbwirkung hervorrufen, die so nicht vorhanden ist. Die Spannungsspitzen können zusätz-
lich in Verbindung mit einem Randschichteffekt gebracht werden, der eine mögliche
Versagensursache in diesen Bereichen darstellt. Die Untersuchung dieser Bereiche kann mit
dem Submodell erfolgen, wenn ein Rissursprung bei experimentellen Beobachtungen vermu-
tet wird. Die genaue Kenntnis der Pasteneigenschaften ist dabei eine grundlegende Vorausset-
zung, damit mit dem entwickelten Modell die inneren Spannungen, die durch das Einbrennen
hervorgerufen werden, richtig abgebildet werden und Aussagen zur Bruchwahrscheinlichkeit
gemacht werden können. Aus diesem Grund ist die Entwicklung eines Charakterisierungsver-
fahrens für die Metallisierungspasten dringend erforderlich um weitere Einblicke in das me-
chanische Verhalten der Solarzelle zu erhalten. Eine weitere Anwendung des Modells wäre
die Berechnung der notwendigen Temperatur für eine Unterkühlung, die zur Verringerung der
Verbiegung und damit des Eigenspannungszustand genutzt werden könnte (vgl. 2.4).
- 91 -

6 FE-Modell der eingebetteten Solarzelle
FE-Modell der eingebetteten Solarzelle
Die Berechnung eines Moduls mit sämtlichen Details angefangen bei Glasscheibe und Einbet-
tungsfolie bis hin zur Zelle mit den Zellverbindern ist unpraktikabel und rechentechnisch äu-
ßerst aufwändig. Es wird deshalb wieder auf das Submodellkonzept zurückgegriffen. Des
Weiteren wird kein komplettes Modul berechnet, sondern nur ein laminierter Zellstring. Zu-
nächst muss ein vereinfachtes Globalmodell aufgebaut werden, das eine ausreichend genaue
Verschiebungslösung für ein Submodell liefert, in dem die Details abgebildet werden können.
Auf Basis dieser Lösung können in interessanten Bereichen die Spannungen in der Zelle be-
rechnet werden.
Abb. 56 Foto, laminierter String /91/
6.1 Allgemeine Angaben und Methodik
Von den Belastungen für die Zellen, die in Abschnitt 2.1.6 und 2.1.7 vorgestellt wurden, wer-
den nur die in Tabelle 15 aufgeführten Lastfälle untersucht. Lastfall 1 berechnet hierbei die
Änderung des Eigenspannungszustandes durch den Laminierprozess, der in jede Berechnung
eingeht, in der die Eigenspannungen berücksichtigt werden sollen. Die Übertragung der Ei-
genspannungen aus dem Einbrennprozess konnte aus programmtechnischen Gründen nicht
realisiert werden, weshalb diese zunächst unberücksichtigt bleiben. Die Lastfälle 2 und 3 ent-
sprechen den Normprüfungen.
Tabelle 15: Lastfälle
Lastfall Bezeichnung Beschreibung
1 Laminierung Abkühlen von 150 °C auf 20 °C
2 TCT Abkühlen von 20 °C auf -40 °C, Erwärmen
auf +85 °C, Abkühlen auf 20 °C
3 Mechanische Last 2400 Pa als Druck auf die Frontscheibe,
Fest/Loslagerung, für verschiedene Temperaturen
- 92 -

FE-Modell der eingebetteten Solarzelle
Der Berechnungsgang ist in Abb. 57 schematisch dargestellt. Die Freiheitsgradinterpolation
muss für jeden Lastfall einzeln durchgeführt werden, während die Geometrie und Schnittkanten
am Submodell gleich bleiben. Das Ergebnis des Globalmodells kann dabei ohne weiteres
für mehrere Submodelle verwendet werden, wenn z.B. die Belastung an einer anderen Stelle
untersucht werden soll.
Abb. 57 Schema des Ablaufs einer Berechnung
Für die Berechnungen gilt die Annahme, dass die thermische Dehnung aller Schichten bei der
Laminiertemperatur Null ist. Das bedeutet es sind keine Vorspannungen durch den Lötprozess
oder das Einbrennen vorhanden. Wie in 2.1.6 aufgezeigt wurde, erfolgen vor dem Laminieren
bereits eine Reihe von Temperaturwechseln. Aufgrund der Starttemperatur wird ein Teil dieser
thermischen Spannungen zwischen den Schichten erzeugt. Der zeitliche Verlauf der Temperaturänderung
soll hierbei keinen Einfluss auf das Endergebnis besitzen. Dies ist ebenfalls
nur bedingt richtig, da ein bei Abkühlung auftretendes Temperaturgefälle eine zusätzliche
Verwölbung des Laminates bewirken kann. Die Verformungen sollen im Rahmen des Prozesses
klein bleiben, so dass die Anwendung der linearen Theorie möglich ist. Als Materialkennwerte
werden die in Anlage A3 aufgeführten Daten verwendet.
- 93 -

6.2 Globalmodell
FE-Modell der eingebetteten Solarzelle
Das Globalmodell liefert die Verschiebungslösung für die Schnittflächen im Submodell. Von
der Güte dieser Lösung hängt in hohem Maße die mögliche Genauigkeit im Submodell ab.
Das Modell erlaubt eine vergleichende Betrachtung zwischen unterschiedlichen Parametern
des Zellstrings und der hervorgerufenen Verformung. Die Bewertung von Spannungen in der
Zelle ist mit diesem Modell in der Regel nur qualitativ möglich.
In Abb. 58 ist der Aufbau des Globalmodells schematisch dargestellt. Aufgrund der Größe
eines kompletten Zellstrings ist eine Reihe von Vereinfachungen notwendig um ein praktikables
Berechnungsmodell zu erhalten. Aus diesem Grund wird der Zellstring, der die Zelle und
die Zellverbinder enthält, durch Schichtelemente wiedergegeben, so dass eine effektive Steifigkeit
abgebildet wird und das unterschiedliche Ausdehnungsverhalten der Komponenten
erhalten bleibt (Abb. 58a). Es wird davon ausgegangen, dass die Folie sich der Geometrie des
Strings anpasst und diesen vollständig umschließt. Da der Zellverbinder sich auf bzw. unter
den Zellen befindet ist es notwendig in diesem Bereich zusätzliche Schichtelemente zu verwenden,
die einen Teil der Folie enthalten. Der Stringbereich beinhaltet die in den Schnitten
der Abb. 58b dargestellten geometrischen Teilbereiche mit den jeweiligen Materialeigenschaften.
Der Übergang des Zellverbinders von einer Zelle zur nächsten kann, wie in Abb.
58c dargestellt, in verschiedenen Vereinfachungsstufen erfolgen. Die erste aufgezeigte Möglichkeit
ist berechnungstechnisch aufwändiger, da das lokale Verformungsverhalten etwas
genauer erfasst wird und es sind mehr Iterationen notwendig. Das Verschiebungsergebnis
verändert sich dabei aber nur unwesentlich gegenüber der Darstellung als gerader Verbinder.
Aufgrund der tatsächlichen Form des Übergangs zwischen den Zellen durch den Zellverbinder
ist, bezogen auf dieses Detail, streng genommen keine Viertelsymmetrie vorhanden. Das
Gesamtsystem verformt sich dennoch weitgehend symmetrisch, so dass hier zur Einsparung
von Elementen und damit Rechenzeit eine entsprechende Vereinfachung getroffen wird. Die
Zelle mit dem Zellverbinder stellt hierbei ein sich wiederholendes Muster dar, so dass eine
beliebige Anzahl von Zellen möglich ist und sich durch den Wechsel von gerader und ungerader
Zellanzahl nur die Lage der Symmetrieebene für x = 0 ändert.
Zur Realisierung werden 20 Knoten-Volumenelemente vom Typ SOLID186 mit der Schichtoption
verwendet. Für die Einbettungsfolie wird derselbe Elementtyp ohne die Schichtoption
verwendet. Dies soll die richtige Abbildung der Schubdeformation durch die Folie gewährleisten.
Die Front- und Rückseite werden durch 8 Knoten-Schalenelemente vom Typ
SHELL281 nachgebildet, deren Knoten so verschoben werden, dass sie mit denen der Elemente
der Einbettungsfolie verbunden werden können. Das Vorgehen ist analog zum Zellmo-
- 94 -

FE-Modell der eingebetteten Solarzelle
dell. Für eine orientierende Lösung können die genannten Elementtypen durch die korrespon-
dierenden linearen Elemente ersetzt werden.
Abb. 58 a) Globalmodell (Seitenansicht)
b) Globalmodell, Schnitt durch den Stringbereich, Ansicht von oben
c) Vereinfachungsformen des Zellverbinders, Seitenansicht
- 95 -

6.3 Submodelle
FE-Modell der eingebetteten Solarzelle
In der Einleitung wurde bereits aufgezeigt, wie die Ergebnisse des Globalmodells in eine
Submodellrechnung einfließen. Je nach Belastung können sich unterschiedliche interessante
Bereiche ergeben, die näher untersucht werden müssen. In Abb. 59 sind die verwendeten
Submodelle mit ihrer Positionierung im Globalmodell dargestellt. Folgende Bereiche wurden
definiert:
• Bereiche um den Zellverbinder (Lötkontakt, Submodell 1 und 2)
• Zelle mit Busbar und aufgelötetem Lötband (Submodell 3)
• Ecken und Rand der Zelle (Submodell 4 bis 6)
Abb. 59 Lage der verwendeten Submodelle mit Querschnitten durch das Laminat
Jedes Submodell wird mit 20 Knoten-Volumenelementen vom Typ SOLID186 aufgebaut.
Über die Höhe sind für das Silizium mindestens 2 Elemente vorgesehen, während für die an-
deren Schichten ein Element als ausreichend genau angesehen wird. Der Zellverbinder wird
mit Splines erstellt um eine möglichst gute Wiedergabe der Form zu erzielen.
- 96 -

7 Sensitivitäten
Sensitivitäten
In diesem Abschnitt sollen Auswirkungen, die durch die Änderung ausgewählter Parameter
für die Belastung der eingebetteten Zelle entstehen, aufgezeigt und diskutiert werden. Zunächst
werden mechanische Lasten und thermisch induzierte Lasten getrennt voneinander
untersucht. Anschließend wird die Kopplung beider Teilvorgänge behandelt. Durch dieses
Vorgehen ist es möglich die Wirkung der einzelnen Belastungen besser zu analysieren und zu
beurteilen. Für die Parameteruntersuchung ist es zweckmäßig eine Referenz zu definieren und
bestimmte Ergebnisse für den Vergleich auszuwählen (vgl. Abb. 60). Diese können sich je
nach Lastfall ändern. Als Vergleichsergebnisse für die mechanische Belastung sind folgende
Größen interessant:
• Mittendurchbiegung des Strings (u_mitte)
• Max. 1. Hauptspannung in der Mitte der mittleren Zelle (s1_rand)
• Spannungen am Zellverbinder (s1_band)
Für die thermische Belastung sind dies:
• Verschiebungen an der Ecke der Glasscheibe (u_rand), zur Beschreibung der Verwölbung
wird die Vertikalverschiebung genutzt (uz_rand)
• Verschiebung der Zellenden (u2, u1)
• Veränderung des Zellabstandes ( Δ u= u1− u2)
• Max. 1. Hauptspannung (s1_max)
Abb. 60 Definition der Auswerteparameter für die Sensitivitätsstudie
Für die Auswertung der Spannungen sind in der Regel die Submodelle der jeweiligen Region
notwendig. Als Referenz für eine vergleichende Betrachtung soll ein laminierter String mit
den in Tabelle 16 angegebenen Parametern dienen.
- 97 -

Tabelle 16: Parameter des Referenzlaminats
Zellanzahl 3
Zellgröße 6 Zoll (156 x 156 mm, 200 µm)
Abstand der Zellen im Verbund 2 mm
Frontabdeckung Glas 3 mm
Einbettungsmaterial EVA 0,4 mm
Rückseitenmaterial Tedlar-Polyester-Tedlar-Folienverbund 0,1 mm
Abmessungen 493 x 162 x 4,15 mm
7.1 Mechanische Belastung
Sensitivitäten
In diesem Abschnitt wird die Belastung der eingebetteten Zellen losgelöst von den thermi-
schen Spannungen für eine Flächenlast von 2400 Pa untersucht. Es werden die Auswirkungen
dargestellt, die sich durch eine Veränderung der Zelldicke, der Polymerdicke und der Steifigkeit
des Polymers ergeben. Die Steifigkeitsänderung der Folie wird durch Veränderung der
Temperatur zwischen -40 und +60 °C hervorgerufen. Dem Polymer liegen dabei die in Anlage
A3 aufgeführten Kennwerte des EVA zugrunde. Für die Parameterstudien wird ein Laminat
aus drei Zellen (156 x 156 mm²) mit einer 3 mm Glasscheibe und 100 µm Rückseitenfolie
verwendet. Die Lagerung erfolgt idealisiert als Schneidenlager an der Glasscheibe, so dass
das Verformungsergebnis mit Hilfe der Balkentheorie nachvollzogen werden kann (vgl. Abb.
61). Die Belastung ist hierbei so gewählt, dass sich die Zellen auf der Zugseite des Laminates
befinden und die mittlere Zelle aufgrund des maximalen Biegemomentes die maximale Belastung
erfährt.
7.1.1 Zelldicke
Abb. 61 Schema der Lagerung für die mechanische Belastung
Für diese Untersuchung wurde die Zelldicke zwischen 120 und 200 µm variiert und eine konstante
Dicke der Polymerlage von 0,4 mm verwendet. In Abb. 62a ist die max. Verformung
des Laminats bezogen auf die Referenz mit einer 200 µm Zelle bei 20 °C in Abhängigkeit von
der Prüftemperatur dargestellt. Man erkennt, dass mit steigender Temperatur durch die Ab-
- 98 -

Sensitivitäten
nahme der Polymersteifigkeit die Verbiegung größer wird. Bei höheren Temperaturen nähern
sich die Verbiegungsergebnisse an, so dass jetzt hauptsächlich die Tragfähigkeit der Glas-
scheibe von Bedeutung ist. Mit abnehmender Temperatur nimmt der Elastizitätsmodul des
EVA durch Erreichen des Glasübergangs deutlich zu, wodurch die Übertragung von Schub-
spannungen zu den Zellen zunimmt und somit deren Steifigkeit zum Tragverhalten der Struk-
tur stärker herangezogen wird ( ESi ≅ 2 , 3⋅
EGlas
).
Abb. 62 a) max. Laminatverbiegung normiert auf t_si: 200 µm und 20 °C
b) qualitative Darstellung des Dehnungs- und Spannungsverlaufs in der Laminatmitte
c) Durchbiegung des Laminates (t_si: 200 µm, 20 °C)
d) Horizontalverschiebung von Glasscheibe (oben) und String (unten) (t_si: 200 µm, 20 °C)
- 99 -

Sensitivitäten
Der Einfluss der Zellen ist trotz der geringen Dicke nicht vernachlässigbar, wie der Vergleich
zum Berechnungsergebnis ohne eingebettete Zellen zeigt, wobei die gleiche Laminatdicke
wie bei der Referenz vorliegt (orange Kurve). Die Verformung der reinen Glassscheibe ist im
Vergleich hierzu nur noch ein wenig größer (0,3 %). Das heißt die Folie an sich beeinflusst
die Verformung nur in sehr geringem Maße, da der Elastizitätsmodul im Vergleich zum Glas
und den Zellen mindestens um den Faktor 1000 geringer ist. Entscheidend ist die Steifigkeit
der Verbindung, die die Folie zu den Zellen herstellt. So erfolgt bei -40 °C für die 200 µm
Zelle eine Verringerung der Durchbiegung um ca. 17 % gegenüber Raumtemperatur, während
es bei der 120 µm Zelle 8 % sind. Unterhalb von -20 °C ist der Steifigkeitszuwachs der Folie
nur noch gering, so dass sich die Verformung nicht mehr signifikant verändert. Durch die
Verringerung der Zelldicke wird die Verbiegung größer, da ein steifer Anteil der Struktur
abnimmt. Die Anwendung der Verbundbalkentheorie mit konstanter Dehnung über die Höhe
(gestrichelte Linie in Abb. 62b) ist für den vorliegenden Aufbau nicht möglich, da der geringe
Schubmodul der Folie eine deutliche Schubdeformation zulässt, so dass sich die eingebetteten
Zellen gegenüber der Glasscheibe verschieben können (vgl. Abb. 62b bis d).
Durch die stärkere Ankopplung der Zellen bei niedrigen Temperaturen erfolgt die in Abb. 63a
dargestellte Zunahme der 1. Hauptspannung in der Zelle um 49 % bei der 200 µm Zelle und
bis zu 80 % bei der 120 µm Zelle beim Vergleich von 20 °C und -40 °C. Aus dieser Darstel-
lung erkennt man ebenso die Entkopplung der Zellen von der Struktur, wenn sich die Poly-
mersteifigkeit bei steigender Temperatur verringert, da nun das Abgleiten durch den verrin-
gerten Schubmodul einfacher erfolgen kann. Die maximale Spannung in der 200 µm Zelle
geht auf 54 % gegenüber Raumtemperatur zurück, wenn die Temperatur 60 °C beträgt. Eben-
falls erkennbar ist die Zunahme der Belastung auf die Zelle, wenn deren Dicke verringert
wird. Dieses Verhalten kann auf das verringerte Widerstandsmoment und die größere Verformung
zurückgeführt werden. Bei jeder untersuchten Temperatur ist die Belastung der dünneren
Zellen bezogen auf die 200 µm Zelle höher. Bei Raumtemperatur ist z.B. die Spannung
um 29 % höher, wenn die 120 µm Zelle mit der 200 µm Zelle verglichen wird. Wie in der
Darstellung der 1. Hauptspannung in Abb. 63b und c zu sehen ist, liegen die Zellen vollständig
auf der Zugseite des Laminates, weshalb sowohl auf der Ober- als auch Unterseite Zugspannungen
auftreten. Der Maximalwert der Spannung liegt entsprechend dem maximalen
Biegemoment in der mittleren Zelle. Auffällig ist, dass sich an den Zellübergängen die Spannungen
verringern. An diesen Stellen ist hauptsächlich das Folienmaterial vorhanden, womit
die Struktur lokal geschwächt ist. An diesen Stellen können die Zellen der Belastung ausweichen,
die durch die Folie übertragen wird, weshalb die Spannung abnimmt. Das heißt an den
- 100 -

Sensitivitäten
Zellenden kann die Verschiebung der Zellen relativ ungehindert ausgeführt werden. Dies trifft
nicht auf den Bereich zu, in dem sich der Zellverbinder befindet. Dieser verhindert die Bewe-
gung der äußeren Zellen relativ zur mittleren Zelle, so dass hier lokal erhöhte Spannungen
auftreten können, die größer als in der Zellmitte sein können. In Abb. 62a ist die maximale
Verformung ohne Zellverbinder für die Referenz enthalten. Man erkennt, dass ein Einfluss
vorhanden ist, jedoch keine signifikante Änderung des Verhaltens auftritt. Dies gilt ebenso für
die Spannungen in der Zellmitte, wobei die lokalen Spannungsspitzen an den Zellübergängen
verschwinden.
Abb. 63 a) Veränderung der 1. Hauptspannung in der mittleren Zelle normiert auf t_si: 200 µm, 20 °C
b) 1. Hauptspannung der Zellen (t_si: 200 µm, 20 °C), Ansicht von oben
c) 1. Hauptspannung der Zellen (t_si: 200 µm, 20 °C), Ansicht von unten
Abb. 64 zeigt das Berechnungsergebnis für die Spannungen am Zellverbinder aus den Submodellen.
Man erkennt, dass die qualitative Abbildung des Spannungsverlaufs bereits im
Globalmodell sehr gut ist. Ebenso wird die Größenordnung des Zahlenwertes unter Berücksichtigung
der groben Vernetzung und der Vereinfachungen schon gut erreicht. Die genauere
Modellierung des Zellverbinders und die feinere Vernetzung ermöglicht jedoch eine genauere
Einschätzung der Belastung. Zum einen entsteht eine Beanspruchung in Längsrichtung auf
der Seite der Zelle, auf die der Zellverbinder gelötet wird. Im Submodell 1 ist das die Obersei-
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Sensitivitäten
te und im Submodell 2 die Unterseite (vgl. Abb. 64d, e). Diese Spannung entsteht als Reakti-
on auf den Zug, den der Zellverbinder erfährt, da die innere Zelle die Bewegung der äußeren
behindert. Auf der jeweils gegenüberliegenden Seite entsteht durch die Verbiegung der Zelle
eine Spannung in y-Richtung in der Nähe der Zellkante (vgl. Abb. 64c, f). Die Spannungs-
komponenten der Ebene können Anhang A4 entnommen werden. Im Vergleich der beiden
Submodelle ergibt sich die höchste Beanspruchung immer in der mittleren Zelle. Der Trend
für die Veränderung der Spannungen bei abnehmender Zelldicke in diesem Detail ist dabei
derselbe, wie in der Zellmitte.
Abb. 64 Spannungen am Zellübergang für Referenzlaminat (t_si: 200 µm, 20 °C)
a) 1. Hauptspannung, Globalmodell, Ansicht von unten
b) Vernetzung der Submodelle
c) 1. Hauptspannung, Submodell 1: äußere Zelle, Ansicht von unten
d) 1. Hauptspannung, Submodell 1: äußere Zelle, Ansicht von oben
e) 1. Hauptspannung, Submodell 2: mittlere Zelle, Ansicht von unten
f) 1. Hauptspannung, Submodell 2: mittlere Zelle, Ansicht von oben
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7.1.2 Polymerdicke
Sensitivitäten
Zur Untersuchung des Einflusses der Polymerdicke erfolgt eine Variation zwischen 0,3 und
0,8 mm, wobei die Zelldicke bei 200 µm liegt. Wie in Abb. 65a zu erkennen ist, hat eine ge-
ringe Polymerdicke bei niedrigen Temperaturen eine größere Durchbiegung zur Folge, wäh-
rend bei höheren Temperaturen die Durchbiegung abnimmt. Eine Vergrößerung der Polymerdicke
hat den entgegengesetzten Effekt. Zwischen 0 und 20 °C ist nur ein geringer Unterschied
zwischen den einzelnen Ergebnissen zu erkennen.
Abb. 65 a) max. Laminatverbiegung normiert auf t_eva: 0,4 mm und 20 °C
b) qualitativer Dehnungsverlauf über die Laminathöhe (durchgezogene Linie) mit Veränderung
bei geringerer Foliedicke (gestrichelte Linie)
c) Durchbiegung des Laminates bei -40 °C (t_si: 200 µm, t_eva: 0,8 mm)
d) Durchbiegung des Laminates bei 60 °C (t_si: 200 µm, t_eva: 0,8 mm)
Zur Erklärung dieses Verhaltens müssen zwei Mechanismen berücksichtigt werden. Zum einen
wird durch die Veränderung der Polymerdicke das Flächenträgheitsmoment I variiert.
Hierbei wird der Abstand der Zellen von der neutralen Faser erhöht. Oberhalb von Raumtemperatur
ist dieser Effekt aufgrund des geringen Elastizitätsmoduls nicht dominant, so dass die
Wirkung auf die Biegesteifigkeit EI nur gering ist. Des Weiteren wird durch die Folie Schub
auf den Zellstring übertragen, wodurch die Zugsteifigkeit des Zellstrings für die effektive Bie-
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Sensitivitäten
gesteifigkeit herangezogen wird. Der Schubverbund ist stärker ausgeprägt, wenn die Schicht-
dicke gering ist, da sich bei gleichem Gleitwinkel eine geringere Abgleitung des Zellstrings
gegenüber der Glasscheibe einstellen kann (vgl. Abb. 65b). Auf Grundlage dieser Überlegun-
gen ist oberhalb von 20 °C die Schubübertragung zwischen dem Glas und den Zellen über die
Polymerfolie ausschlaggebend. Unterhalb von 0 °C ist diese Wirkung durch die Steifigkeitszunahme
im Glasübergang stärker ausgeprägt und wird nun durch die Zunahme der Biegesteifigkeit
ergänzt, wodurch sich das Laminat mehr der Verbundbalkentheorie annähert. In Abb.
65c und d ist dargestellt, wie groß die Variation der Durchbiegung zwischen den beiden Extremtemperaturen
für die größte Polymerdicke von 0,8 mm ist. Die Verformungsbilder sind
nahezu identisch, während sich der Maximalwert bei 60 °C um 52 % gegenüber -40 °C erhöht.
Damit folgt, dass besonders in Laminaten mit dicken Folienschichten eine große Variation
der Verformung in Abhängigkeit von der Prüftemperatur auftreten kann.
Abb. 66 Veränderung der 1. Hauptspannung in der mittleren Zelle normiert für t_eva: 0.4 mm, 20 °C
In Abb. 66 kann man erkennen, dass sich die Vergrößerung der Foliendicke in einer verringerten
Belastung der Zellen äußert. Für die 0,8 mm Folie ergibt sich bei 20 °C eine Verringerung
der Spannung um 20 % gegenüber der Referenz. Dieses Verhalten kann auf die verringerte
Verbundwirkung zurückgeführt werden. Oberhalb von 20 °C nimmt der übertragbare
Schub durch die Verringerung des Schubmoduls der Folie ab, so dass sich die Spannungen in
den Zellen weiter verringern. Unterhalb von 20 °C wird durch die Erhöhung der Foliensteifigkeit
eine höhere Belastung auf die Zellen übertragen und die Sensitivität auf die Foliendicke
verringert sich, wobei sich weiterhin die dünnste Folie als besonders schädlich erweist.
Hierbei sind zwischen 45 und 48 % höhere Spannungen gegenüber Raumtemperatur vorhanden.
In Abb. 67 sind die Spannungsplots für die größte und die kleinste Polymerdicke für drei
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Sensitivitäten
Temperaturen gegenübergestellt. Man sieht, dass mit der dünneren Folie die Belastung der
Zellen deutlich zunimmt. Bei der dünnen Folie ist die Entlastung der Zellen am Zellübergang
ebenfalls geringer, so dass die äußeren Zellen ebenfalls höher belastet sind. Bei der dickeren
Folie treten, aufgrund der insgesamt niedrigeren Spannung, die Bereiche um den Zellverbinder
mit den lokal erhöhten Werten stärker in den Vordergrund.
Abb. 67 1. Hauptspannung im Silizium für T = 60 °C, 20 °C und -40 °C, Ansicht von unten
a) t_eva: 0.8 mm; b) t_eva: 0,3 mm
Auf der Grundlage der durchgeführten mechanischen Simulationen wurde festgestellt, dass
keine direkte Verbindung zwischen erhöhter Durchbiegung des Laminats und Belastung der
Zellen aufgestellt werden, wenn die Schichtdicke des Polymers verändert wird. Oberhalb von
Raumtemperatur weisen die Zellen in den Laminaten mit hoher Durchbiegung geringere
Spannungen auf. Für die Veränderung der Zelldicke, bei gleichbleibender Foliendicke, ist die
Folgerung, dass aus größerer Durchbiegung eine höhere Spannung folgt, zutreffend. Die Belastung
der Zellen wird durch die Übertragung von Schubspannungen durch die Folie hervorgerufen.
Aus diesem Grund sind dickere Folien vorzuziehen da sie eine größere relative Verschiebung
der Zellen gegenüber dem Glas zulassen und somit die Zellen von der äußeren Last
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Sensitivitäten
entkoppeln. Durch die Nichtberücksichtigung von Kriechvorgängen werden Relaxationsvor-
gänge in der Folie vernachlässigt, die den Spannungszustand in den Zellen verringern können.
Somit ist davon auszugehen, dass die berechneten Spannungen höher ausfallen als in Versuchen.
In aktuellen Experimenten ist allerdings vor allem unterhalb von Raumtemperatur nur
eine relativ geringere Kriechneigung von EVA festgestellt worden /92/.
7.2 Thermische Belastung
Im Folgenden werden die Belastungen der Zellen untersucht, die durch das Abkühlen von
Laminiertemperatur und das Durchführen der Temperaturwechselprüfung verursacht werden.
Hierfür werden die in Abb. 68 aufgeführten Temperaturschritte berechnet. Für die Untersuchung
der reinen Temperaturbelastung wird als Festpunkt der Knoten gewählt, der auf der
Unterseite der Glasscheibe in der Mitte liegt.
7.2.1 Referenzergebnis
Abb. 68 Schema der durchzuführenden Berechnungsschritte
Im Gegensatz zur rein mechanischen Betrachtung ist das Verformungsverhalten der einbetteten
Zellen unter Temperaturbelastung weitaus komplexer, wodurch es notwendig ist, vor der
Parameteruntersuchung das Verhalten des Referenzstrings ausführlich darzustellen. In Abb.
69 ist die Verwölbung der Glasscheibe in Abhängigkeit von der Temperatur dargestellt. Man
erkennt, dass oberhalb von 60 °C die Verwölbung relativ gering ist, da das unterschiedliche
Schrumpfungsverhalten von Silizium und Glas durch die geringe Steifigkeit der Folie ausgeglichen
werden kann. Durch die Zunahme der Steifigkeit werden die Zellen unter 60 °C stärker
an die Glasscheibe gekoppelt und aufgrund der größeren Schrumpfung von Glas gegenüber
Silizium erfolgt die Verbiegung in Richtung der Frontseite, die bis zum Erreichen des
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Sensitivitäten
Glasübergangs stetig zunimmt. Im Glasübergang ist der Verbiegungszuwachs geringer und
kann sogar zurückgehen. Dieser Effekt ist mit dem starken Zuwachs der Foliensteifigkeit im
Glasübergangsbereich verbunden, so dass die Schrumpfung der Folie der Verbiegung in Rich-
tung der Frontscheibe entgegenwirkt. Ab -20 °C bleibt die Steifigkeit des EVA unverändert
und die Verbiegung nimmt weiter zu. Bei der Wiedererwärmung erkennt man eine leichte
Verschiebung zwischen den Kurven, die auf die plastische Deformation des Kupferbandes
hindeutet und damit einen Einfluss auf das Gesamtverhalten besitzt. Die zusätzlich dargestell-
te Horizontalverschiebung hängt nur vom Ausdehnungskoeffizienten des Glases ab und folg-
lich sind die Verläufe über den gesamten Temperaturbereich linear gemäß dem definierten
Materialverhalten.
Abb. 69 Darstellung der Glaswölbung in Abhängigkeit von der Temperatur, Referenzlaminat
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Sensitivitäten
Abb. 70b zeigt die Verschiebung der Zellenden (rote und grüne Kurve) für die Abkühlung
von 150 °C auf -40 °C. Zunächst verschiebt sich die äußere Zelle stärker in Richtung Koordi-
natenursprung als die innere Zelle. Der Zellabstand wird somit kleiner. Ab 40 °C sind die
Verschiebungszuwächse in etwa gleich und bei -5 °C verringert sich die Bewegung der äußeren
Zelle, während die Relativverschiebung der inneren Zelle größer wird. Folglich wird der
Zellabstand wieder größer. Dieses Verhalten ist über die gesamte Laminatbreite gleich. Als
Ursache sind zwei Umstände zu nennen:
1. Hoher Steifigkeitszuwachs der Folie durch den Glasübergang ab ca. 20 °C (Anstieg
des Schubmodul von 2,5 auf 22 MPa), wodurch eine zunehmende Ankopplung der
Zellen an die Glasscheibe erfolgt
2. Eigenspannungszustand der Folie
Bei Temperaturen über 60 °C kann die Folie das unterschiedliche Ausdehnungsverhalten von
Silizium und Glas durch ihre geringe Steifigkeit ausgleichen, wobei sich Glas stärker zusam-
menzieht als Silizium. Dabei stellt sich eine immer größer werdender Verzerrungswinkel γ
zwischen der Glasscheibe und den Zellen ein und damit eine Schubbelastung der Folie. Durch
den Steifigkeitszuwachs, der zunächst durch das Kristallisieren der Vinylacetatgruppen und
anschließend durch den Glasübergang erfolgt (Abb. 70e), und den bereits aufgebauten Spannungszustand
verringert sich die Möglichkeit des Folienmaterials den Ausdehnungsunterschied
auszugleichen. Die Ankopplung der Zellen an die Glasscheibe wird vergrößert und es
setzt eine Rückstellbewegung ein, wobei der Verzerrungswinkel nicht mehr so stark zunimmt
und unter 0 °C kleiner wird (vgl. Abb. 70c). Damit bewegen sich die Zellen wieder auseinander
(Abb. 70d). Der Zellverbinder und sein plastisches Verhalten scheiden als Ursache aus, da
die Berechnung ohne Zellverbinder ein qualitativ ähnliches Verhalten aufweist.
Der Vergleich dieser Ergebnisse mit einer Messung aus /92/ zeigt unterhalb von Raumtemperatur
ein abweichendes Verhalten. Hier wird eine verringerte Ausdehnung festgestellt jedoch
kein Auseinanderdriften, wie im Modell. Eine Begründung liegt in der Nichtberücksichtigung
von Kriech- und Relaxationsvorgängen, die den Spannungszustand in der Folie verringern.
Somit hat die Steifigkeitszunahme im Glasübergang nicht diese ausgeprägte Wirkung zur
Folge. Dass der Spannungszustand in der Folie eine wichtige Rolle spielt, zeigen Berechnungen
mit einer Referenztemperatur von 25 °C bei denen der Ausdehnungseffekt nicht auftritt.
Die Verwendung von Kriechmodellen ist prinzipiell möglich, kann jedoch aus praktischen
Gesichtspunkten nicht erfolgen, da im Moment nicht ausreichend Daten zur Aufstellung eines
Kriechmodells vorhanden sind.
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Sensitivitäten
Abb. 70 a) Einführung der Bezeichnungen, qualitative Darstellung der Verschiebungen von Zelle
und Glas für 20 °C und -40 °C
b) Verschiebung der Zellenden am Zellverbinder und der korrespondierenden darüberliegenden
Knoten der Glasscheibe
c) Verzerrungswinkel zwischen Glasscheibe und Zelle
d) Zellabstandsänderung mit und ohne Zellverbinder bezogen auf 150 °C
e) Veränderung des Schubmodells der EVA-Folie für die Berechnung
In Anlage A4 sind die qualitativ zu bewertenden Spannungsergebnisse für das Globalmodell
dargestellt. Hierbei erweisen sich die Bereiche entlang der Busbar und vor allem die Bereiche
in der Nähe der Zellverbinder als kritisch, weshalb für diese Bereiche die Submodellbetrachtung
durchgeführt wird. Die Belastung der Zelle ist in den übrigen Bereichen sehr gering, da
die geringe Ausdehnung des Siliziums dazu führt, dass hauptsächlich Druckspannungen in der
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Sensitivitäten
Zelle wirken. In Abb. 71 ist die 1. Hauptspannung im Submodell 2 der inneren Zelle für die
einzelnen Temperaturstufen dargestellt. Das Ergebnis für Submodell 1 und die Aufschlüsse-
lung für die Spannungskomponenten in der Ebene sind in Anlage A4 enthalten.
Abb. 71 1. Hauptspannung am Zellverbinder im Submodell der inneren Zellen (Submodell 2)
a) Ansicht von oben b) Ansicht von unten
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Sensitivitäten
Auf der Oberseite der Zelle tritt das Maximum am Ende der Busbar auf, an dem kein Kupfer-
band mehr vorhanden ist, während auf der Unterseite noch Lötband befestigt ist. Die Haupt-
komponente ist hierbei eine Spannung σ xx , die durch die höhere Schrumpfung des Kupfer-
bandes im Vergleich zu Silizium entsteht (vgl. Abb. 72a). Auf der Unterseite ergibt sich folglich
eine Druckspannung. Im restlichen Bereich der Busbar wird diese Verformung durch den
symmetrischen Aufbau verhindert, d.h. wenn das Lötband auf der Ober- und Unterseite an
derselben Stelle abschließt ist diese Biegespannung nicht oder in geringerem Maße zu erwarten.
Bei der Erwärmung auf 85 °C nehmen die Spannungen auf der Oberseite wieder ab, da
sich die Differenz zur dehnungsfreien Temperatur verringert. Bei Raumtemperatur verändert
sich der Maximalwert durch das Verfestigungsverhalten des Kupferbandes. Weiterhin treten
an den Rändern der Busbar Spannungen auf, die hauptsächlich in y-Richtung (senkrecht zur
Busbar) wirken und durch die Verformung des gesamten Laminates zur Frontseite entstehen.
Hierbei befinden sich die Zellen auf der Zugspannungsseite. Das Kupferband erzeugt durch
seine größere Ausdehnung gegenüber Silizium eine Druckspannung unter der Busbar die der
Zugspannung entgegen wirkt, weshalb auf der Oberseite nur am Rand Zugspannungen entstehen.
Abb. 72 qualitative Darstellung der Verformungen als Ursache für die Spannungsentstehung
a) Ende der Busbar, Zellübergang b) Unter der Busbar
Auf der Unterseite treten die größten Spannungen unterhalb der Busbar mit der Hauptkomponente
in y-Richtung auf. Durch die Verformung des gesamten Laminates zur Frontseite erhöhen
sich diese Biegespannungen deutlich bei einer Abkühlung auf -40 °C. Durch diese Verbiegung
wird die Zelle und das Kupferband, dass durch den großen Ausdehnungsunterschied
zu Silizium bereits plastifiziert ist, in einen Zustand wie in Abb. 72b schematisch dargestellt
verformt. Durch die plastische Deformation bleibt diese Form des Kupferbandes auch bei der
Wiedererwärmung erhalten, so dass sich durch die abnehmenden Druckspannungen (Verringerung
des Ausdehnungsunterschieds) nun die höheren Spannungen bei 85 °C ergeben. Die
Änderung der Lastreihenfolge kann an diesem Punkt zu unterschiedlichen Ergebnissen führen.
Wenn sofort nach dem Laminierschritt wieder auf 85 °C aufgewärmt wird, erhält man
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Sensitivitäten
eine Verringerung der Spannungen in der Zelle. Die Größe der Zellbelastung und deren Bere-
chenbarkeit sind somit nicht nur von den Eigenschaften des Kupferbandes und der Nachbil-
dung der plastischen Deformation abhängig, sondern ebenfalls von der Abfolge der Belastun-
gen. Hinzu kommt, dass das Spannungsbild von den Eigenschaften der Siebdruckpasten und
dem nicht abgebildeten Lot beeinflusst wird.
Die Schlussfolgerung aus den vorliegenden Betrachtungen ist somit, dass bei Temperaturbelastung
der Versagensursprung an den Busbars sehr wahrscheinlich ist, da vor allem hier die
Maxima der 1. Hauptspannung auftreten. Das Maximum der Belastung ist erwartungsgemäß
bei -40 °C vorhanden. Allerdings ist bei der durchgeführten Lastreihenfolge bei 85 °C ebenfalls
eine erhöhte Beanspruchung gegenüber Raumtemperatur festgestellt worden, so dass
zwangsläufig der gesamte Temperaturwechsel untersucht werden muss.
7.2.2 Zelldicke
Analog zur Untersuchung für mechanische Belastung wurde die Zelldicke zwischen 120 und
200 µm variiert und eine konstante Dicke der Polymerlage von 0,4 mm verwendet.
Abb. 73 Glasverbiegung in Abhängigkeit von der Zelldicke
Aus Abb. 73 und Abb. 74a erkennt man, dass eine Verringerung der Zelldicke die Verbiegung
der Glasscheibe vermindert. Dieses Verhalten ist vergleichbar mit der Verringerung der
Schichtdicke der Aluminiumpaste bei der bedruckten Zelle. Das für die Laminatverbiegung
bestimmende Biegemoment aus den Thermospannungen verringert sich durch die Verringerung
der Zelldicke und so geht bei -40 °C die Verbiegung um bis zu 60 % zurück. Weiterhin
kann man aus dem Verlauf schlussfolgern, dass die Schichten oberhalb von 40 °C nahezu
ungehindert gegeneinander abgleiten können und die Glasverbiegung bis zu dieser Tempera-
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Sensitivitäten
tur somit nur geringfügig verändert wird. Unterhalb dieser Temperatur driften die Kurven
sichtbar auseinander und bei 0 °C geht die Verbiegung im Glasübergang der Folie zum Teil
wieder zurück. Bei abnehmender Zelldicke ist zudem eine größere Differenz zwischen der
Abkühlung und Wiedererwärmung vorhanden, so dass auf ein größeres plastisches Verhalten
geschlossen werden kann. In Abb. 74b ist zu sehen, dass bei abnehmender Zelldicke eine Zu-
nahme der Horizontalverschiebung um bis zu 10 % auftritt. Die Zellen werden nun durch die
aufgelöteten Kupferbändchen stärker zusammengedrückt, da ihr Querschnitt abnimmt. Dabei
erfahren die Zellenden geringere Relativverschiebungen gegenüber der Glasscheibe, so dass
die Verringerung des Zellabstandes ebenfalls geringer wird (Abb. 74c). Die deutlichste Änderung
erkennt man für Schritt 1 (Abkühlung von Laminiertemperatur auf 20 °C) bei der sich
eine um 19 % geringere Veränderung des Zellabstandes ergibt. Der Zellabstand ist somit bei
verringerter Zelldicke größer, wodurch eine größere Dehnung des Zellverbinders und somit
eine höhere Belastung zu erwarten ist. Den Einfluss der plastischen Deformation des Zellverbinders
erkennt man in den drei voneinander verschiedenen Ergebnissen für Raumtemperatur,
wobei sich nach dem letzten Schritt die Unterschiede der Zellverschiebung verringern.
Abb. 74 Veränderung des Verhaltens bei den untersuchten Berechnungsschritten in Abhängigkeit
von der Zelldicke normiert auf t_si: 200 µm
a) max. Verbiegung b) Horizontalverschiebung des Strings
c) Änderung des Zellabstandes d) Veränderung der max. Hauptspannung
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Sensitivitäten
Abb. 74d zeigt die Veränderung der 1. Hauptspannung aus den Berechnungen mit den Sub-
modellen 1 und 2. Betrachtet man ausschließlich den Laminierschritt und die Abkühlung auf
-40 °C ergibt sich eine Erhöhung der Zellbelastung um bis zu 45 % im Vergleich von 120 und
200 µm Zelle. Dieses Verhalten wird hauptsächlich von der lokalen Zellbiegung durch das
Kupferband beeinflusst, welches eine größere Verformung der dünneren Zellen erzeugt. Hier-
bei erhöhen sich vor allem die Spannungen auf der Zellunterseite. Beim Wiedererwärmen auf
20 °C in Schritt 3 erhält man allerdings keine signifikanten Unterschiede mehr zwischen den
verschiedenen Zelldicken und in Schritt 3 kehrt sich der Trend um. Die Erklärung für dieses
Verhalten liegt in der geringeren Gesamtverformung des Strings bei abnehmender Zelldicke.
Hierdurch verringert sich ebenfalls die bleibende Deformation des Kupferbandes, die sich bei
-40 °C auf der Unterseite der Zelle ausgebildet hat und die Biegespannungen verursacht (vgl.
Abb. 72b). Die Abnahme der Spannungen bei 85 °C ist allerdings geringer als die Zunahme in
vorherigen Schritten. Nach der erneuten Abkühlung auf Raumtemperatur in Schritt 5 ist wieder
nur eine geringe Differenz zwischen den einzelnen Spannungsergebnissen festzustellen.
Für die Auslegung ausschlaggebend sind nach diesen Ergebnissen vor allem die Schritte 1
und 2, da hier die größten Spannungen auftreten.
7.2.3 Polymerdicke
Diese Untersuchung erfolgt für eine Variation der Polymerdicke zwischen 0,3 und 0,8 mm,
mit einer konstanten Zelldicke von 200 µm. Mit zunehmender Polymerdicke nimmt bei
Raumtemperatur und darunter die Verbiegung des Laminates ab, während oberhalb von
Raumtemperatur die Verformung zur Rückseite größer wird (Abb. 75).
Abb. 75 Glasverbiegung in Abhängigkeit von der Foliendicke
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Sensitivitäten
Besonders unterhalb der Glasübergangstemperatur verändert sich die Verformung mit zuneh-
mender Foliendicke deutlich. Die Zunahme der Foliensteifigkeit macht sich besonders bei der
0,8 mm Folie bemerkbar. Unterhalb von 0 °C ergibt sich ein Rückgang der Verbiegung. Die-
ser Trend kehrt sich erst nach dem Ende der Steifigkeitsänderung bei -20 °C wieder um. Der
Effekt wird durch die in Abhängigkeit vom Abstand mögliche Schubdeformation zwischen
der Glasscheibe und den Zellen hervorgerufen. Ein größerer Abstand ermöglicht eine höhere
Schubverzerrung und die Schichten können sich leichter gegeneinander verschieben, wodurch
die Verbiegung geringer wird. Bei 85 °C arbeitet das Glas hauptsächlich gegen die Folie, so
dass sich eine größere Verformung zur Rückseite ergibt (vgl. Abb. 76a). Die Zunahme der
Schubdeformation wird in der höheren Horizontalverschiebung des Strings als Abgleiten
sichtbar (Abb. 76b). Diesem Zusammenhang folgend tritt mit steigender Polymerdicke eine
größere Veränderung des Zellabstandes auf (Abb. 76c). Hierdurch können die Zellen der
Schrumpfung des Zellverbinders besser folgen, so dass die Belastung des Zellverbinders tendenziell
geringer wird.
Abb. 76 Veränderung des Verhaltens bei den untersuchten Berechnungsschritten in Abhängigkeit
von der Polymerdicke normiert auf t_eva: 0,4 mm
a) max. Verbiegung b) Horizontalverschiebung des Strings
c) Änderung des Zellabstandes d) Veränderung der max. Hauptspannung
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Sensitivitäten
Im ersten Schritt der Abkühlung erhöht sich bei steigender Foliendicke die Spannung auf der
Oberseite der Zelle, die in Längsrichtung wirkt. Im Gegenzug verringert sich die Biegespan-
nung (y-Richtung) an den Rändern der Busbar, die durch die Verringerung der Verformung
des Zellstrings hervorgerufen wird. In der Gesamtheit ergibt sich die niedrigste Spannung bei
einer Polymerdicke von 0,6 mm. Diese Tendenz ist bei der Abkühlung auf -40 °C noch deutlicher
ausgeprägt, wobei die Belastung um 27 % gegenüber der Referenz zurückgeht (Abb.
76d). In den Folgeschritten zeigt sich, dass eine Erhöhung der Foliedicke zu geringeren Spannungen
führt, jedoch oberhalb von 0,6 mm keine signifikante Veränderung mehr vorhanden
ist. Aus dieser Untersuchung folgt, dass bei geringen Foliendicken die Beanspruchung der
Zellen aufgrund der Verbiegung des Gesamtlaminates dominant ist. Durch die Erhöhung der
Foliendicke erhöht sich die Zugbelastung durch den Zellverbinder, so dass hier ein mögliches
Optimierungspotential vorhanden ist. Auf der Grundlage der vorliegenden Berechnungen sind
in Bezug auf die maximale 1. Hauptspannung Foliedicken um 0,6 mm günstig für die Beanspruchung
der Zellen.
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7.3 Thermisch-Mechanische Belastung
Sensitivitäten
In diesem Abschnitt erfolgt die Überlagerung der zuvor gezeigten Belastungen. Hierbei wird
nur auf das Referenzlaminat eingegangen. Zunächst werden die Eigenspannungen aus dem
Laminationsprozess aus der Abkühlung von 150 °C auf 20 °C berechnet und anschließend
wird von Raumtemperatur auf eine Prüftemperatur für die mechanische Belastung erwärmt
bzw. abgekühlt. Die Lagerung erfolgt gemäß Abb. 61. Abb. 77 kann man entnehmen, dass der
festgestellte Trend für die Laminatverformung bei reiner mechanischer Belastung sich eben-
falls unter Berücksichtigung der thermischen Eigenspannungen bestätigt. Hierbei ist darauf zu
achten, dass durch Eigenspannungen bereits eine Verformung zur Rückseite vorhanden, die
noch von der Gesamtverbiegung abgezogen werden muss. Für die Verformung ist folglich
eine Superposition der Ergebnisse von 7.1 und 7.2 möglich.
Abb. 77 Darstellung der Laminatverbiegung in Abhängigkeit von der Prüftemperatur, Referenz
Zur Spannungsbewertung werden erneut Submodelle verwendet. In diesem Fall sind die Bereiche
um den Zellverbinder (Submodell 1 und 2) sowie der Bereich unter dem Zellverbinder
in der mittleren Zelle (Submodell 3) interessant. Für jede untersuchte Temperatur liegt im
Submodell die Spannungsverteilung vor der Aufbringung der mechanischen Last vor, so dass
die Ergebnisse mit und ohne äußere Last verglichen werden können. Da die größten mechanischen
Spannungen bei -40 °C auftreten, beschränken sich die nachfolgenden Betrachtungen
auf diese Temperatur. Aufgrund der Belastungsart und Lagerung entstehen, wie in 7.1 gezeigt
wurde, hauptsächlich Spannungen in Längsrichtung (x-Richtung). Die thermischen Spannungen,
die entlang der Busbar durch den Zellverbinder hervorgerufen werden, werden hiervon
nur in geringem Maße beeinflusst, da die Hauptkomponente eine Spannung in y-Richtung ist.
Diese Zusammenhänge können sehr gut im Submodell 3 nachvollzogen werden, das sich in
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Sensitivitäten
der Mitte des Zellstrings an der Busbar befindet. Von besonderem Interesse sind die Spannungen
auf der Zellunterseite. Weitere Ergebnisse können Anlage A4 entnommen werden. In
Abb. 78 sind die Spannungen σ xx , σ yy und σ 1 für die Unterseite der Zelle ohne und mit äu-
ßerer Belastung darstellt. Man erkennt, dass es sich bei σ xx um Druckspannungen handelt.
Vom Schritt 2 ohne äußere Last erfolgt eine Reduzierung der wirkenden Druckspannungen im
Schritt 3 um einen Wert von ca. 74 MPa. Allerdings bleibt der Druckspannungszustand weiter
erhalten. Die Spannung σ yy verändert sich nur geringfügig durch die äußere Last und unter
der Busbar verringert sich die max. Zugspannung. Zum einen ist dies bedingt durch die Querkontraktion
und zum anderen durch die fortschreitende plastische Verformung des Zellverbinders,
so dass sich die Spannungen umlagern. Als Folge verringert sich die 1. Hauptspannung.
Abb. 78 Veränderung der Spannungen in Submodell 3, Referenzlaminat, Ansicht von unten
a) thermische Eigenspannungen b) Überlagerung mit äußerer Belastung
Die analoge Betrachtung am Zellverbinder ist in Abb. 79 im Submodell 2 durchgeführt worden.
Durch die zusätzliche Zugbeanspruchung am Zellverbinder erhöht sich die Spannung
- 118 -

Sensitivitäten
σ xx am Ende der Busbar um 41 MPa, während sich die Spannung σ yy an derselben Stelle um
18 MPa vermindert. Als Ergebnis erhöht sich die 1. Hauptspannung um 17 MPa und somit
besteht unter Last eine erhöhte Versagenswahrscheinlichkeit. Das die 1. Hauptspannung nur
als Anhaltspunkt zur Bewertung genutzt werden kann, zeigt sich in den Ergebnissen für das
Submodell 2 (Abb. 80). Die Zugbeanspruchung erhöht σ xx um 52 MPa und σ yy sinkt um
12 MPa. Die y-Richtung bleibt allerdings dominant, so dass sich der Maximalwert der 1.
Hauptspannung ebenfalls verringert. Eine genaue Bewertung kann durch die Anwendung ei-
nes Zuverlässigkeitskonzepts unter Beachtung des Größeneffektes (z.B. mit CARES/Life)
erfolgen.
Abb. 79 Veränderung der Spannungen in Submodell 2, Referenzlaminat, Ansicht von unten
a) thermische Eigenspannungen b) Überlagerung mit äußerer Belastung
Aus den Berechnungen erkennt man, dass die aufgebrachte mechanische Belastung nicht
zwangsläufig eine Erhöhung der 1. Hauptspannung bewirkt, obwohl eine Spannungskomponente
zunimmt. Im Großteil der Zelle ist die äußere Last nicht groß genug um die Druckspannungen
aus der Abkühlung soweit zu reduzieren, dass Zugspannungen entstehen, die zum
Versagen führen können. Da die aufgebrachte Last an der Grenze der ertragbaren Spannungen
- 119 -

Sensitivitäten
im Glas liegt, folgt aus den durchgeführten Berechnungen, dass die überlagerte mechanische
Beanspruchung keinen entscheidenden Faktor bei der Belastung der Zellen darstellt. Die
Hauptbelastung der Zellen durch die Temperaturwechsel an den Busbars und am Zellverbin-
der wird zum Teil verringert, kann sich jedoch auch erhöhen. Dabei ist das plastische Verhal-
ten des Zellverbinders ausschlaggebend. Nach der Abkühlung von Laminiertemperatur ist
bereits eine plastische Deformation aufgetreten, so dass die Belastung durch die Biegebean-
spruchung des Zellstrings hauptsächlich in eine zusätzliche plastische Deformation umgesetzt
wird.
Abb. 80 Veränderung der Spannungen in Submodell 1, Referenzlaminat, Ansicht von unten
a) thermische Eigenspannungen b) Überlagerung mit äußerer Belastung
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7.4 Diskussion
Sensitivitäten
Die mechanische Belastung ist nur eine rein theoretische Überlegung die experimentell nicht
direkt überprüft werden kann, da wie in der Folge gezeigt wurde signifikante Eigenspannun-
gen im Laminat vorhanden sind. Dieser Lastfall offenbart die Wechselwirkungen zwischen
Zellstring und Glasscheibe sehr viel einfacher als es unter Einbeziehung der thermischen Eigenspannungen
möglich gewesen wäre. Mit dieser Berechnung wurde gezeigt, dass Zelldicke
und Polymerdicke einen signifikanten Einfluss auf die Zellverbiegung haben. Diese Ergebnisse
wurden bereits in Experimenten bestätigt /91/. Von besonderem Interesse für einen Abgleich
der Berechnungsergebnisse mit Experimenten ist die auftretende Vergrößerung des
Zellabstandes durch die Steifigkeitszunahme der Folie während des Glasübergangs. In diesem
Fall muss untersucht werden, wie sich Kriechvorgänge, die unter dem steigenden Eigenspannungszustand
zunehmen, auf das Verschiebungsergebnis und auf die resultierenden Spannungen
auswirken. Die Diskrepanz zu den Ergebnissen in /93/ deutet an, dass hier ein Verbesserung
des Materialmodells der Polymerfolie notwendig ist. Dabei ist jedoch nicht auszuschließen,
dass die Größe des Beobachtungsfeldes im Experiment die Vorgänge nicht so auflösen
kann, wie die sehr lokale Auswertung an den Knoten im Modell.
Unter diesem Gesichtspunkt sind die vorgestellten Ergebnisse nur für eine kurzzeitige Belastung
übertragbar. Hinzu kommt das Auftreten von Temperaturgradienten während der Abkühlung,
aufgrund der unterschiedlichen Wärmeleitfähigkeit der Materialien, wodurch die Abkühlbedingungen
ebenfalls einen Einfluss auf das Ergebnis besitzen können. Die Kriecheffekte
bewirken im Thermocycle vor allem eine Relaxation, d.h. die thermisch bedingte Verwölbung
des Laminats geht mit der Zeit zurück und die vorhandene Belastung an den Zellverbindern
kann sich verringern. Unter der Biegebelastung bewirken diese Effekte eine Zunahme
der Laminatverformung in Abhängigkeit von der Zeit, so dass sich die Folie weicher verhält
und eine geringere Schubübertragung erfolgt. Zur Verbesserung des Modells ist die Abbildung
von Kriechvorgängen und die Charakterisierung des Polymers in Bezug auf die thermische
Ausdehnung und das Spannungs-Dehnungsverhalten von großer Bedeutung. In diesem
Zusammenhang muss ebenfalls untersucht werden, wie sich der Vernetzungsgrad und die
Alterung des Polymers auf die Eigenschaften auswirkt. Weiterhin fehlt die Vorbelastung
durch den Lötprozess. Hier liegt eine Fehlerquelle in der Berechnung der Spannungen, da der
Zellverbinder vor allem bei der thermischen Belastung der entscheidende Faktor für die Herausbildung
der Zellbelastungen ist. Die Ausbildung der lokalen Zellverbiegung, die die Spannungen
auf der Zellunterseite bewirkt, kann durch eine bereits vorhandene Plastifizierung
verändert werden, so dass wiederum die Folgeergebnisse verändert werden können.
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Sensitivitäten
Trotz der eben aufgeführten Einschränkungen und der genannten Verbesserungsansätze, zeigt
das entwickelte Modell bereits die Bereiche auf, die in einer experimentellen Verifikation zu
beachten sind. Die genannten Vorgänge werden die Lage der Spannungsmaxima entlang der
Busbar und an den Zellenden nicht verändern sondern beeinflussen hauptsächlich die Höhe
der Belastung nach den Temperaturschritten, die für die effektiven Zuverlässigkeitsaussagen
benötigt werden. Das grundsätzliche Verhalten bei den durchgeführten Parameterstudien wird
jedoch erhalten bleiben. Die Schubverzerrung der Folie erklärt alle wichtigen Effekte, die
Verformung betreffend, so dass das mechanische Verhalten erhalten bleibt. Inwieweit sich die
Trends verändern, die sich in den durchgeführten Berechnungen für die Spannungen ergeben
haben, ist schwierig abzuschätzen. Wie man in den Referenzergebnissen sieht, verändert sich
mit fortschreitender Zykluszahl durch die plastische Deformation des Zellverbinders das
Spannungsergebnis, so dass sich das Spannungsbild in Abhängigkeit vom Verfestigungsverhalten
signifikant verändern kann. Mit fortschreitender Zykluszahl tritt eine Umlagerung der
Spannungen auf.
Die Zunahme der Spannungen mit abnehmender Zelldicke ist keine überraschende Erkenntnis.
Allerdings liefert die Studie zur Polymerdicke einen möglichen Ansatz zur Optimierung,
da eine zu hohe Foliendicke keine Verminderung und zum Teil eine Erhöhung der Spannungswerte
bewirkt. Analog zum Zellmodell kann für das Submodell mit Hilfe eines Zuverlässigkeitskonzeptes
für spröde Werkstoffe eine Bewertung hinsichtlich der Versagenswahrscheinlichkeit
durchgeführt werden. Wie bereits gezeigt ergibt sich in diesem Fall eine Zuverlässigkeitsaussage
für den Submodellbereich, der einen Teil der Bruchwahrscheinlichkeit für
die gesamte Zelle darstellt.
Als Ergebnis der Überlagerung der mechanischen Last mit den thermischen Eigenspannungen
erhält man keine deutliche Veränderung der 1. Hauptspannung in den Zellen, da die Spannungsrichtung
der äußeren Last nicht mit der Richtung der vorhandenen Eigenspannungen
zusammenfällt. Da nur ein laminierter String untersucht wurde, können keine Schlüsse auf
das Verhalten in einem kompletten Modul getroffen werden, da hier Biegespannungen mit
Eigenspannungen an den Rändern der Busbars zusammenfallen können. Für den laminierten
Zellstring gilt jedoch, dass die größte Belastung der Zellen durch die Temperaturwechsel an
den Busbars und am Zellverbinder entsteht.
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8 Zusammenfassung und Ausblick
Zusammenfassung
Die vorliegende Masterarbeit befasst sich mit der numerischen Simulation der thermomecha-
nischen Vorgänge während des Einbrennens der Metallisierungspasten und den Belastungen
von eingebetteten Solarzellen. Zur Durchführung der Berechnung notwendige Materialeigen-
schaften wurden nach Möglichkeit experimentell bestimmt.
Die Berechnung der Zellverbiegung nach dem Einbrennprozess liefert Aussagen zum Eigen-
spannungszustand und ist wichtig für die Beurteilung der Zuverlässigkeit der Zellen in weite-
ren Fertigungsschritten der Solarmodulherstellung. Von besonderer Wichtigkeit für die Ver-
formungsberechnung hat sich die Berücksichtigung der Lage der Busbars herausgestellt. Diese
verursachen eine Orientierung der Zellverbiegung während der Abkühlung, so dass durch
eine Variation der Lage der Busbars die Verbiegungsrichtung beeinflusst und damit die Lage
der maximalen Zugeigenspannungen bei Raumtemperatur verändert werden kann. Anhand
von Variationen der Parameter der Metallisierungspasten wurde gezeigt, dass vor allem die
effektive Fließgrenze der Paste die Größe der Verbiegung und damit den Eigenspannungszustand
beeinflusst, während die elastischen Kennwerte, wie Temperaturausdehnungskoeffizient
und Elastizitätsmodul, nur den Verlauf der Temperatur-Verformungskurve beeinflussen. Eine
Untersuchung des Einflusses der Kontaktfinger ergab, dass ihre Berücksichtigung nicht notwendig
ist um eine ausreichend genaue Verschiebungslösung zu ermitteln. Im detaillierten
Submodell zeigt sich, dass Spannungsüberhöhungen an den Rändern von Busbar und Kontaktfingern
auftreten können. Eine Anwendung des entwickelten Submodells liegt in der Vorhersage
von Bruchwahrscheinlichkeiten und möglichen Rissursprüngen.
Mit dem Zellmodell wurden die Auswirkungen auf die Zellverformung und den Eigenspannungszustand
bei der Verringerung der Zelldicke im Vergleich zu einer Referenzzelle (6 Zoll,
200 µm) untersucht. Für eine Reduzierung der Zelldicke auf unter 120 µm wurde festgestellt,
dass sich die maximale Spannung mehr als verdoppelt und sich die Verformung verdreifacht.
Hierzu wurde auch die Bruchwahrscheinlichkeit aufgrund des Eigenspannungszustandes untersucht.
Dabei sind vor allem Oberflächen- und Kantendefekte dominierend. Während sich
−4
für die Referenzzelle nur ein relativ geringer Wert von 3,
3⋅10
% ergibt, erhöht sich die
Bruchwahrscheinlichkeit einer 100 µm Zelle auf über 5 %, allein aufgrund ihres Eigenspannungszustandes.
Die Ergebnisse für die Bruchwahrscheinlichkeit stehen jedoch unter dem
Vorbehalt, dass eine genaue Berechnung der Spannungen und damit der Bruchwahrscheinlichkeit
eine systematische Untersuchung der Eigenschaften der Metallisierungspasten und
- 123 -

Zusammenfassung
ihre Wirkung auf den Siliziumwafer erforderlich macht. Diese sind von den Einbrennparame-
tern abhängig und ein Charakterisierungsverfahren muss in Zukunft entwickelt werden.
Als Ansatzpunkt zur Charakterisierung der Metallisierungspaste wurde zunächst die Dicke
und Struktur des Materials auf einer kommerziellen Solarzelle bestimmt. An Proben aus die-
ser Zelle wurden Eindruckversuche mit unterschiedlichen Eindringkörpern (Stempel und Ku-
gel) zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls durchgeführt. Diese Messungen zeichneten sich
vor allem durch eine große Streuung der Ergebnisse aus. Als Ursachen kommen die poröse
Struktur der Paste und die sehr lokale Prüfung durch das Verfahren in Frage. Das bedeutet
Hohlräume und Inhomogenitäten besitzen eine große Auswirkung auf das Ergebnis. Der Mit-
telwert einer Mehrzahl von Messungen kann allerdings orientierende Aussagen liefern und ist
mit Literaturwerten vergleichbar, die auf anderen Methoden beruhen. Als günstigster Eindringkörper
wurde die Kugel identifiziert, wobei auf möglichst geringe Eindringtiefen zu achten
ist. Mit einer Messung der Verbiegung in Abhängigkeit von der Temperatur eines bedruckten
monokristallinen Siliziumwafers konnten die möglichen Mechanismen, die während
der Temperaturänderung auftreten, gezeigt werden und ein plastisches Verhalten der Paste
wurde nachgewiesen. Dieses Verfahren ist als Methode geeignet um effektive Eigenschaften
der Folie zu bestimmen. Dabei ist immer der Gesamtverlauf der Temperatur-
Verformungskurve heranzuziehen um das Verhalten richtig abzubilden. Für die Berechnung
der eingebetteten Zelle wurde der thermische Ausdehnungskoeffizient des Glases und der
EVA-Folie mit der TMA gemessen. Hierbei war vor allem die Temperaturabhängigkeit der
Ausdehnung der Folie von Bedeutung. Diese verändert sich an den charakteristischen Temperaturen,
wie Glasübergang und Schmelzbereich der Vinylacetatanteile, sehr deutlich und
konnte in den folgenden Berechnungen berücksichtigt werden.
Zur Simulation der eingebetteten Solarzelle wurde auf das Submodellkonzept zurückgegriffen.
Da vor allem die Methodik im Vordergrund stand, wurde für die Untersuchungen ein
laminierter String erstellt. Hierfür wurde ein vereinfachtes Globalmodell entwickelt mit dem
die Verschiebungen ausreichend genau berechnet werden. Zur Untersuchung von Details
wurden auf der Grundlage des Globalmodells detaillierte Submodelle abgeleitet. Die Parameteruntersuchungen
wurden getrennt für mechanische und thermische Belastung durchgeführt
und mit einer Referenz (Zelldicke: 200 µm, Dicke der EVA-Folie: 0,4 mm, Glasdicke: 3 mm)
verglichen. Bei der Berechnung einer mechanischen Belastung wurde gezeigt, dass sich durch
Verringerung der Zelldicke die Spannungen signifikant erhöhen können. Die auftretenden
Spannungen sind dabei abhängig von der Steifigkeit und der Dicke der Polymerfolie. Durch
Verringerung der Temperatur nimmt die Steifigkeit des Polymers zu, so dass bereits Tempera-
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Zusammenfassung
turunterschiede von 20 K eine 20 % höhere Belastung der Zellen bewirken können. Eine dün-
ne Polymerschicht wirkt sich ebenfalls nachteilig aus, da die Schubübertragung vom Glas auf
die Zellen zunimmt und damit ein größerer Anteil der äußeren Belastung auf die Zellen wirkt.
Für die Berechnung der Zellbeanspruchung durch die Abkühlung von Laminiertemperatur
und einen anschließenden Temperaturwechsel zwischen -40 °C und 85 °C ergab sich die maximale
Belastung entlang der Busbars, da hier der aufgelötete Zellverbinder für eine lokale
Biegung der Zelle sorgt. Die Gesamtverbiegung des Laminates wird vom Glas und vom Silizium
beeinflusst, so dass die höhere Ausdehnung eine Verformung zur Frontseite bewirkt. An
den Rändern und vor allem an den Zellenden treten die Maxima der 1. Hauptspannung auf,
wobei die größte Differenz zur spannungsfreien Temperatur bei der Abkühlung auf -40 °C zu
den höchsten Spannungswerten führt. Eine Parameteruntersuchung zur Verringerung der
Zelldicke zeigt zunächst eine deutliche Verringerung der Laminatverformung. Trotz der geringeren
Gesamtverformung erzeugt das Lötband eine höhere lokale Verformung, so dass eine
Erhöhung der 1. Hauptspannung um bis zu 45 % im Vergleich von 120 und 200 µm Zelle
auftritt. Eine Variation der Polymerdicke ergibt wiederum eine deutliche Veränderung in der
Gesamtverformung. Mit steigender Foliendicke ist eine deutliche Reduzierung der Verbiegung
bei Raumtemperatur und darunter vorhanden, da Glasscheibe und Zellstring nahezu ungehindert
gegeneinander arbeiten können. In Bezug auf die mechanischen Spannungen in den
Zellen ist bei geringen Foliendicken die Verbiegung des Laminates dominant, während eine
Erhöhung der Foliendicke die Zugbelastung durch den Zellverbinder erhöht, so dass an dieser
Stelle eine Optimierungsmöglichkeit vorhanden ist. Für die gewählten Parameter erhält man
in Bezug auf die maximale 1. Hauptspannung eine Foliedicke um 0,6 mm als Minimum der
Belastung mit einem Rückgang um 27 % gegenüber der Referenz. In der abschließenden
Überlagerung von thermischer und mechanischer Belastung hat sich gezeigt, dass für den untersuchten
laminierten String keine signifikanten Änderungen der 1. Hauptspannung auftreten,
da die Richtung der erzeugten mechanischen Spannungen nicht mit der der Eigenspannungen
zusammenfällt. In bestimmten Bereichen wurden allerdings auch höhere Spannungen hervorgerufen.
Das entwickelte Finite-Element-Modell des Zellstrings ist ein erster Schritt zur Modellierung
eines gesamten Solarmoduls. Mit diesem Modell können einfache Teststrukturen berechnet
werden und die Mechanismen die durch Temperaturwechsel und äußere mechanische Lasten
entstehen nachgebildet und erklärt werden. In weiteren Arbeiten ist die Verbesserung der Materialmodelle
der Polymerfolie und die Einbeziehung von Vorbelastungen, wie dem Lötprozess,
die wichtigsten Ansatzpunkte zur Anwendung auf die Praxis.
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/88/ Q-Cells AG, Datenblatt Q6LTT multikristalline Solarzelle, Feb. 2009
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Literaturverzeichnis
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/92/ C. Ehrich; Charakterisierung und Modellierung der thermischen Alterung von Verkap-
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/93/ Eitner et al.; Measuring thermomechanical displacements of solar cells in laminates
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/94/ C.H. Hsueh; Thermal stresses in elastic multilayer systems; Thin Solid Films 418,
2002, S. 182-188
- 131 -

10 Anlagenverzeichnis
A1 – Grenzen der Stoney Gleichung
A2 – Messung des Längenausdehnungskoeffizienten
A3 – Materialeigenschaften für die Modelle
A4 – Berechnungsergebnisse für das Referenzlaminat (CD)
- 132 -
Anlagenverzeichnis
Für die vollständige Version der Arbeit inklusive Anlagen können Sie gerne die im Impres-
sum aufgeführten Personen kontaktieren.
Vielen Dank!