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Bachelor-Thesis
Materialplastizität von Silizium bei hohen
Temperaturen und deren Anwendung im
Finite-Elemente-Programm ANSYS
Bachelorarbeit Nr. 91/10
von:
Marco Dockhorn
geb. am 26.06.1986
in
Zwenkau
Matrikel-Nr: 43566
Hochschullehrer:
Betreuer:
Prof. Dr.-Ing. Carsten Klöhn, HTWK Leipzig
Dr.-Ing. Stephan Schönfelder, Fraunhofer CSP
M.Sc. Marcus Oswald, Fraunhofer CSP
Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig
Fakultät Maschinen- und Energietechnik
Studienrichtung Maschinenbau
(Halle, August – Oktober 2010)

Erklärung
Ich versichere wahrheitsgemäß, die Bachelorarbeit selbstständig angefertigt, alle benutzten
Hilfsmittel vollständig und genau angegeben und alles kenntlich gemacht zu haben, was
aus Arbeiten anderer unverändert oder mit Abänderungen entnommen wurde.
Halle, den
Marco Dockhorn

Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich für die wissenschaftliche Betreuung seitens der Hochschule
durch Herrn Prof. Carsten Klöhn bedanken.
Für die Durchführung der Arbeit am Fraunhofer-Center für Silizium-Photovoltaik, sowie
für die fachlichen Diskussionen und Anregungen gilt mein besonderer Dank Herrn Dr.-Ing.
Stephan Schönfelder und Herrn MSc. Marcus Oswald.
Ich danke allen Mitarbeitern, Hilfswissenschaftler und Praktikanten des Fraunhofer-Center
für Silizium-Photovoltaik und des Fraunhofer-Institut für Werkstoffmechanik für das stets
angenehme Arbeitsklima, sowie für die gute Zusammenarbeit und zahlreichen Diskussionen.

Inhaltsverzeichnis
V
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Grundlagen 4
2.1 Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Plastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Grundlegendes Konzept eines Stoffgesetzes . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Fließbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Fließgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.4 Materialverfestigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Theoretische Grundlagen der Versetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Kristallbaufehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Versetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Struktureigenschaften von Silizium und Kristallplastizität . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Aufbau und Eigenschaften der Kristallstruktur . . . . . . . . . . . . 35
2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium . . . . . . 37
2.4.3 Untersuchung der Verformungsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Plastizität in Silizium 48
3.1 Materialmodell nach Alexander und Haasen . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Beschreibung des Streckgrenzenbereiches . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Theorie der Anfangsverformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.3 Bestimmung der Fließspannungen aus statischen Versuchen . . . . . 57
3.1.4 Verformung nach der unteren Streckgrenze . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Experimentelle Bestimmung der Spannungs-Dehnungs-Kurve . . . . . . . . 61

Inhaltsverzeichnis
VI
3.2.1 Abhängigkeit von der Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 Abhängigkeit von der Abgleitgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte . . . . . . . . . . 66
3.3 Reflexion der Ergebnisse durch eigene Untersuchungen . . . . . . . . . . . 68
4 Diskussion der Anwendungen 74
4.1 Anwendbarkeit des Alexander–Haasen-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 Diskussion der Ergebnisse der Parameterbestimmung . . . . . . . . 74
4.1.2 Diskussion zur Anwendbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Ablaufplan für die Implementierung in ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5 Zusammenfassung und Ausblick 81
Literaturverzeichnis
A Messdaten
XIV
XXI

Abbildungsverzeichnis
VII
Abbildungsverzeichnis
Abb. 2.1 Klassifizierung des Materialverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Abb. 2.2 Elastisch–plastischer Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Abb. 2.3 Fließfläche im Hauptspannungsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Abb. 2.4 Fließkurve in der Deviatorebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Abb. 2.5 Fließkurven des Tresca-Werkstoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Abb. 2.6 Fließkurven des Huber–von Mises-Werkstoffs . . . . . . . . . . . . . . 21
Abb. 2.7 Verformungsarbeit der zusätzich aufgebrachten Belastung . . . . . . . 21
Abb. 2.8 Spannungszyklus eines ideal-plastischen Werkstoffes nach Drucker . . 25
Abb. 2.9 Linear-elastisch–ideal-plastisches Materialverhalten . . . . . . . . . . 27
Abb. 2.10 Fließbedingung mit Materialverfestigung . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Abb. 2.11 Linear-elastisch–plastischer Werkstoff mit Materialverfestigung . . . . 29
Abb. 2.12 Schematische Darstellung des Burgers-Vektors . . . . . . . . . . . . . 32
Abb. 2.13 Abgleitbewegung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Abb. 2.14 Abgleitbewegung in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Abb. 2.15 Aufbau der Diamantstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Abb. 2.16 Projektion der Diamantstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Abb. 2.17 Shockleysche Partialversetzungen in der Doppelgleitebene . . . . . . . 38
Abb. 2.18 Vollständige 60 ◦ –Versetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Abb. 2.19 Versetzungen in der Diamantstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Abb. 2.20 Frank–Read-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Abb. 2.21 Peierls-Mechanisus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Abb. 2.22 Experimentelle Untersuchung der Verformungsdynamik . . . . . . . . 45
Abb. 2.23 Definition des Schmidfaktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Abb. 3.1 Streckgrenzenbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Abbildungsverzeichnis
VIII
Abb. 3.2 Statische Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Abb. 3.3 Statische Versuchsdurchführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Abb. 3.4 Temperaturabhängigkeit der Spannungs-Dehnungs-Kurve . . . . . . . 64
Abb. 3.5 Temperaturabhängigkeit der Streckgrenze . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Abb. 3.6 Abhängigkeit der Streckgrenze von der Abgleitgeschwindigkeit . . . . 65
Abb. 3.7 Abhängigkeit der Streckgrenze von der Ausgangsversetzungsdichte . . 67
Abb. 3.8 Abhängigkeit der Spannungs-Dehnungs-Kurven von der Ausgangsversetzungsdichte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Abb. 3.9 Abhängigkeit der Streckgrenze von der Abgleitgeschwindigkeit und
dem Spannungsexponent n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Abb. 3.10 Abhängigkeit der Streckgrenze von der Temperatur und dem Spannungsexponent
n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Abb. 3.11 Ermittlung des Spannungsexponenten n . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Abb. 3.12 Ermittlung der Aktivierungsenergie U y . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Abb. 4.1 Flussdiagramm eines numerischen Lösungsalgorithmus . . . . . . . . . 78

Tabellenverzeichnis
IX
Tabellenverzeichnis
Tab. 3.1 Zusammenfassung der ermittelten Parameter . . . . . . . . . . . . . . 72
Tab. A.1 Zusammenfassung der gewonnenen Messwerte aus Versuchen von
Omri et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXII
Tab. A.2 Zusammenfassung der gewonnenen Messwerte aus Versuchen von
Schröter et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII
Tab. A.3 Zusammenfassung der gewonnenen Messwerte aus Versuchen von
Siethoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIV
Tab. A.4 Zusammenfassung der gewonnenen Messwerte aus Versuchen von
Yonenaga und Sumino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXV

Tabellenverzeichnis
X
Symbolverzeichnis
a [−] Abgleitung
ȧ [s −1 ] Abgleitgeschwindigkeit
ȧ W [s −1 ] Abgleitgeschwindigkeit im Wendepunkt der Kriechkurve
A [−] Verfestigungsfaktor
b [nm] Betrag des Burgers-Vektor
b [−] Burgers-Vektor
B 0 [−] empirische Konstante für die Beweglichkeit von Versetzungen
C y [−] Konstante
C [MPa] Steifigkeitstensor
C ijkl [MPa] Komponenten des Steifigkeitstensors
d [mm] Dicke
e [−] Raumdiagonale
f y [MPa] Fließkriterium
E [MPa] Elastizitätsmodul
G [MPa] Schubmodul
I [MPa] erste Invariante des Spannungstensors
II [MPa] zweite Invariante des Spannungstensors
III [MPa] dritte Invariante des Spannungstensors
J i [MPa] Invariante des Spannungsdeviators
k [eV] Boltzmann-Konstante
K [−] Multiplikationskonstante
l [mm] Länge
m [−] Spannungsexponent
n [−] erweiterter Spannungsexponent
N [cm −2 ] Versetzungsdichte

Tabellenverzeichnis
XI
N 0 [cm −2 ] Ausgangsversetzungsdichte
N m [cm −2 ] bewegliche Versetzungsdichte
r [−] Positionsvektor
R [mm] Radius
s [−] Richtung der Versetzungslinie
t [s] Zeit
t i [s] Zeitpunkt
T [K] Temperatur
T BDT [K] Spröd-Duktil-Übergangstemperatur
U [eV] Aktivierungsenergie der Versetzungsbewegung
U y [eV] Aktivierungsenergie der Fließspannung
W [J] Verformungsarbeit
α [ ◦ ] Winkel zwischen der Probenorientierung und der
Gleitebenennormalen
β [ ◦ ] Winkel zwischen der Probenorientierung und der Gleitrichtung
δ [−] Multiplikationsfaktor
δ ij [−] Kronecker-Delta
ε [−] Dehnung
ε e [−] elastische Dehnung
ε p [−] plastische Dehnung
˙ε [−] Dehnrate
ˆ˙ε p [−] hydrostatischer Anteil der plastische Dehnrate
˙ε ′p [−] deviatorischer Anteil der plastische Dehnrate
ε [−] Dehnungstensor
ε kl [−] Komponenten des Dehnungstensors
κ [−] Verfestigungsfaktor
λ [−] Plastizitätsmultiplikator
µ [−] Schmid-Faktor
ν [−] Poisson-Zahl

Tabellenverzeichnis
XII
σ [MPa] Spannung
˙σ [MPa] Spannungsinkrement
σ i [MPa] Hauptspannung
σ max [MPa] maximale Hauptspannung
σ min [MPa] minimale Hauptspannung
σ m [MPa] Misesspannung
σ e [MPa] Vergleichsspannung
σ [MPa] Spannungstensor
σ ij [MPa] Komponenten des Spannungstensors
ˆσ [MPa] hydrostatischer Anteil des Spannungstensors
σ ′ [MPa] deviatorischer Anteil des Spannungstensors
τ [MPa] Schubspannung
˙τ [MPa] Schubspannungsinkrement
τ eff [MPa] effektive Schubspannung
τ il [MPa] weitreichende innere elastische Spannung
τ is [MPa] innere elastische Spannung im Nahfeld
τ ly [MPa] untere Streckgrenze
τ uy [MPa] obere Streckgrenze
τ yT [MPa] Tresca-Fließschubspannung
τ max [MPa] maximale Schubspannung
χ [mm] mittlere freie Weglänge der Versetzung
Θ [MPa s −1 ] Verfestigungsrate
υ [m s −1 ] Versetzungsgeschwindigkeit

Abkürzungsverzeichnis
XIII
Abkürzungsverzeichnis
ABAQUS
ANSYS
BDT
CSP
IWMH
MISO
MKIN
VUMAT
Finite-Elemente-Programm der Firma Dassault Systèmes
Finite-Elemente-Programm der Firma ANSYS, Inc.
Spröd-Duktil-Übergang, brittle-ductile-transition
Center für Silizium-Photovoltaik
Institut für Werkstoffmechanik Halle, Fraunhofer Gesellschaft
Multilineares Materialmodell mit isotroper Verfestigung, multilinear isotropic
hardening material model
Multilineares Materialmodell mit kinematischer Verfestigung, multilinear
kinetic hardening material model
Benutzerdefiniertes Materialmodell des mechanischen Verhaltens, userdefined
mechanical material behavior

1 Einleitung 1
1 Einleitung
Für die Anwendung in der Mikroelektronik und Halbleiterindustrie nimmt der Werkstoff
Silizium einen hohen Stellenwert ein. Besonders im Bereich der Solarindustrie hat Silizium
sich als der Werkstoff etabliert. Es existieren heutzutage unterschiedliche Solarzellentypenypen
auf Basis verschiedener Werkstoffe. Die Siliziumwafer nehmen dabei mit einem
Marktanteil von über 80 % eine dominante Rolle ein [63]. Seine Materialeigenschaften,
kombiniert mit einem reichhaltigen natürlichen Vorkommen machen Silizium zu einem
einzigartigen Rohstoff in der Herstellung von Solarzellen, welcher vorraussichtlich nicht in
naher Zukunft angefochten wird. Mit einem Masseanteil von rund 27,5 % in der Erdkruste
steht das Element Silizium in beinahe unbegrenztem Ausmaß zur Verfügung. Die Entwicklung
neuer Solarzellenkonzepte verlangen immer dünner werdende Solarzellen, welche bei
reduzierter Größe und Gewicht dennoch eine größere Ausbeute des nutzbaren Lichtes
ermöglichen. Auch vom finanziellen Aspekt aus werden kostengünstigere Solarmodule angestrebt.
Zur Erreichung dieser Ziele müssen die Herstellungsprozesse optimiert werden,
was ein genaues Verständis der Materialeigenschaften, insbesondere der mechanischen und
physiaklischen Eigenschaften, vorraussetzt. [23, 32]
1.1 Motivation
Grundlegend kann die Herstellung von Siliziumwafern in zwei Arten unterteilt werden.
Zum einem erfolgt die Herstellung nach dem String-Ribbon-Verfahren [36], bei der temperaturbeständige
Drähte durch eine flüssige Silizumschmelze gezogen werden um ein
multikristallines Band von Siliziumkristallen zu erhalten. Zum anderen erfolgt das Aussägen
von Wafern aus einem mono- oder multikristallinen Siliziumblock, dem sogenannten

1 Einleitung 2
Ingot [38].
In einer vorrangegangen Arbeit von Ringo Köpge [32] wurde das Materialverhalten von
Silizium unterhalb des Spröd-Duktil-Übergangs untersucht. Im Mittelpunkt dieser Arbeit
stand das inelastische Verhalten der Siliziumwafer und der Einfluss von Schädigungen während
des Herstellprozesses, z. B. durch das Sägen der Siliziumblöcke. Zur Übertragung der
Erkenntnisse aus dieser Arbeit bei Temperaturen oberhalb des Spröd-Duktil-Überganges,
muss aufgrund hier herrschender duktiler Eigenschaften die Plastizität des Werkstoffes
mit berücksichtigt werden.
Des weiteren beruhen die computergestützen Simulationen bei der Kristallzüchtung am
Fraunhofer CSP derzeit auf einem elastischen Materialverhalten. Zur Optimierung der
Herstellungsprozesse darf aber nicht außer Acht gelassen werden, dass während der Abkühlung
der flüssigen Schmelze zu einem Festkörper ein Bereich durchlaufen wird, in dem
Silizium ein plastisches Materialverhalten aufweist. Dieses plastische Verhalten ist gekennzeichnet
durch komplexe Zusammenhänge der mikrostrukturellen Versetzungsbewegung
und unterliegt vielen äußeren und prozessbedingten Einflüssen. Eine genauere Beschreibung
des plastischen Verhaltens bildet daher die Grundlage für weitere Verbesserungen
des Herstellungsprozesses.
1.2 Aufgabenstellung
Im Rahmen dieser Arbeit soll das plastische Materialverhalten von Silizium bei hohen
Temperaturen untersucht werden. Dafür soll durch eine intensive Literaturrecherche der
aktuelle Stand der Technik und Möglichkeiten der Modellierung plastischen Verhaltens,
insbesondere für den Werkstoff Silizium, erarbeitet werden. Die für die Modellierung nötigen
Materialparameter und Abhängigkeiten der mechanischen Eigenschaften sind in diesem
Zusammenhang zu ermitteln und deren Anwendbarkeit zu überprüfen. Die Konsistenz
mit experimentellen Untersuchungen ist zu bewerten. Die gefundenen Materialdaten sollen
in Finite-Elemente-Programme übertragen werden. Während der Bearbeitung dieser
Themen hat sich die große Komplexität des plastischen Materialverhaltens, sowie deren

1 Einleitung 3
mathematische Formulierung und Lösung gezeigt. Im zeitlichen Rahmen dieser Arbeit
musste auf eine Implementierung in das Finite-Elemente-Programm ANSYS daher verzichtet
werden. Es werden Möglichkeiten diskutiert, wie eine Implementierung grundsätzlich
zu realisieren wäre.

2 Grundlagen 4
2 Grundlagen
Dieses Kapitel beinhaltet die Grundlagen der theoretischen Betrachtung von Elastizität
und Plastizität in Werkstoffen allgemein sowie werkstoffspezifische Informationen über
Silizium. Darunter sind sowohl der strukturelle Aufbau, also auch die Mechanismen der
Versetzungsbewegung zu verstehen, welche für das Verständnis der Materialmodelle und
zur Klärung des plastischen Verhaltens von Silizium von entscheidender Bedeutung sind.
An dieser Stelle ist es hilfreich eine Klassifizierung des Materialverhaltens vorzunehmen.
Solch eine Klassifizierung kann zunächst einmal an den aus Versuchen gewonnen Daten
durchgeführt werden in der Hinsicht, ob die Spannungs-Dehnungs-Kurve eine Abhängigkeit
von der Versuchsgeschwindigkeit aufweist oder nicht. Zeigt das Materialverhalten
keine Geschwindigkeitsabhängigkeit, kann weiter darin unterschieden werden, ob Hystereseerscheinunungen
(Verformungsgeschwichte hat einen Einfluss auf den aktuellen Zustand)
auftreten.
Sollte das Materialverhalten eine Geschwindigkeitsabhängigkeit aufweisen liegt ein besonderes
Augenmerk auf der Ausgleichskurve. Diese kann ebenfalls Hystereseerscheinungen
zeigen. Es ist demnach möglich das Materialverhalten von Werkstoffen anhand experimentell
beobachteter Gesichtspunkte in vier Klassen einzuteilen (siehe Abb. 2.1 oben):
i) geschwindigkeitsabhängig ohne Hysterese,
ii) geschwindigkeitsabhängig mit Hysterese,
iii) geschwindigkeitsunabhängig ohne Hysterese der Ausgleichskurve und
iv) geschwindigkeitsunabhängig mit Hysterese der Ausgleichskurve.
Diesen 4 Klassen lassen sich nun weiter vier mathematische Modellen zuordnen:

2 Grundlagen 5
Geschwindigkeitsunabhängig
Geschwindigkeitsabhängig
ó
ó
ó
ó
å
å
å
å
Mit Hysterese Ohne Hysterese Ohne Gleichgewichtshysterese
Mit Gleichgewichtshysterese
Abb. 2.1: Klassifizierung des Materialverhaltens nach experimentell beobachteten Gesichtspunkten
(oben) und nach deren mathematischer Beschreibung (unten). (vgl. [20])
i) Die Elastizitätstheorie beschreibt geschwindigkeitsabhängiges Materialverhalten ohne
Hysterese.
ii) Die Plastizitätstheorie beschreibt geschwindigkeitsabhängiges Materialverhalten mit
Hysterese.
iii) Die Viskoelastizitätstheorie beschreibt geschwindigkeitsunabhängiges Materialverhalten
ohne Hysterese der Ausgleichskurve.
iv) Die Viskoplastizitätstheorie beschreibt geschwindigkeitsunabhängiges Materialverhalten
mit Hysterese der Ausgleichskurve.
Physikalisch werden diese Theorien durch sogenannte rheologische Modell veranschaulicht
(vlg. Abb. 2.1 unten). Diese Modelle sind Netzwerke aus verschiedenen, einfachen (masselosen)
mechanischen Bauelementen wie der elastischen Feder, viskosen Dämpfern und
Coulombschen Reibelementen.
Die Elastizitätstheorie stellt die einfachste Form der rheologischen Modelle dar. Sie basiert
auf dem Wirken einer Reaktionskraft, welche der Deformation entgegenwirkt. Tritt dabei
weiter innere Reibung auf oder geht Energie während dieses Prozesses verloren, kommt

2 Grundlagen 6
die Viskoeleastizität zum tragen. Die zwei letztgenannten Erscheinungen werden ebenfalls
von der Plastizitätstheorie beschrieben, jedoch aus der Sicht innerer mikrostruktureller
Bewegungsprozesse. Die Viskoplastizitätstheorie stellt die allgemeinste Modellierung dar,
mit welcher jedes makroskopisch beobachtbare Phänomen beschrieben werden kann. Auf
die Theorien der Elastizität und Plastizität soll folgend näher eingegangen werden. [20]
2.1 Elastizitätstheorie
Festkörper weisen bei kleinen Dehnungen ein überwiegend elastisches Verhalten auf. Eine
Verformung oder Deformation wird beschrieben durch die Änderung der Form eines
Werkstoffes unter der Einwirkung einer äußeren Kraft. Sind die Verformungen reversibel,
also umkehrbar oder nicht dauerhaft, spricht man von einer elastischen Verformung. Nach
Altenbach [6] lässt sich die Elastizität “als das Vermögen eines Werkstoffes bezeichnen,
unter mechanischer Beanspruchung reversible Verzerrungen (bzw. Deformationen) aufzubauen.”
Bei Rücknahme der Belastung bildet der Werkstoff seine Verformungen zurück
und nimmt bei vollständiger Entlastung wieder seine Ausgangsgestalt an. Elastisches Verhalten
tritt auf, solange eine direkte Proportionalität zwischen den Spannungen und den
Dehnungen, σ ∝ ε besteht. Im nichtlinearem Fall ist dieser Zusammenhang durch
ε = σ f(σ) (2.1.1)
E
für den einachsigen Spannungszustand gegeben. Nehmen die Spannungen und Dehnungen
kleine Werte an, strebt die dimensionslose Funktion f(σ) gegen den Wert 1. Aus Gl. (2.1.1)
erhält man das Hooke’sche Gesetz
σ = E ε (2.1.2)
Die Proportionalitätskonstante E wird als Elastizitätsmodul bezeichnet, eine werkstoffspezifischen
Kenngröße. Dieses als linear-elastisch bezeichnete Verhalten ist tyisch für fast
alle Materialien mit Ausnahme weniger Stoffe, wie z. B. Elastomere. Für den mehrachsi-

2 Grundlagen 7
gen Spannungszustand muss das Hooke’sche Gesetz in seiner allgemeinen Form (lineare
Tensorgleichung 4. Stufe)
σ = C : ε
σ ij = C ijkl ε kl , i, j, k, l = 1..3
(2.1.3)
angewandt werden. σ bezeichnet den Spannungstensor mit seinen Komponenten σ ij , analog
ε den Verzerrungstensor mit seinen Komponenten ε kl . Der Steifigkeits- oder Elastizitätstensor
C besitzt der Notation C ijkl zufolge 81 Komponenten. Für linear-elastisches
Werkstoffverhalten sind die Tensoren σ und ε symmetrisch. Der Steifigkeitstensor reduziert
sich daher auf 32 bzw. aus weiterer energetischer Sicht durch die Symmetrieeigenschaft
auf 21 voneinander unabhängige Komponenten. Weist der Werkstoff weiter
Materialisotropie (Gleichberechtigung aller Richtungen im Material bezüglich der elastischen
Eigenschaften) auf, lässt sich der Steifigkeitstensor auf zwei elastische Konstanten
beschränken
C =
E
1 − ν
⎛
⎞
1 − ν ν ν
0 0 0
1 − 2ν 1 − 2ν 1 − 2ν
ν 1 − ν ν
0 0 0
1 − 2ν 1 − 2ν 1 − 2ν
ν ν 1 − ν
0 0 0
1 − 2ν 1 − 2ν 1 − 2ν
1
0 0 0 0 0
2
1
0 0 0 0 0
⎜
2
⎟
⎝
1
⎠
0 0 0 0 0
2
(2.1.4)
Die Poisson-Zahl oder Querkontraktionszahl ν beschreibt im Zugversuch das Verhältnis
zwischen relativer Dickenänderung ∆d/d zur relativen Längenänderung ∆l/l. [7]

2 Grundlagen 8
2.2 Plastizitätstheorie
Wirken auf den Körper Kräfte ein, dass bei anschließender Entlastung keine Rückverformung
bis zum Ausgangszustand mehr möglich ist, verändert sich das Werkstoffverhalten
und der Körper erfährt inelastische, sogenannte plastische Deformationen. Die plastischen
Eigenschaften eines Werkstoffes können, bedingt durch den zu untersuchenden Werkstoff
selbst (spezifische Kennwerte), als auch durch Abhängigkeiten von den Umgebungsbedingungen
(d. h. Temperatur, Versuchsdauer u. a.), stark variieren [27]. Im Gegensatz
zum elastischen Verhalten versteht man das Vermögen eines Werkstoffes zur Ausbildung
irreversibler Verformung, beginnend ab einem bestimmten Spannungsniveau als Plastizität.
Die mechanische Arbeit wird hierbei unumkehrbar in thermische Energie überführt
und steht dem Werkstoff danach nicht mehr zur Verfügung [8]. Bei vollständiger Entlastung
bleiben diese plastischen Anteile erhalten. Die Zeitabhängigkeit kann dabei oftmals
vernachlässigt werden. [6]
Reale Körper, welche ein elastisches Verhalten bis zu einem definierten Spannungs- oder
Dehnungsniveau aufweisen, werden als spröde oder duktile Werkstoffe betrachtet. Erfolgt
der Bruch innerhalb des elastischen Bereiches verhält sich dieser Werkstoff spröde. Ein
duktiles Werkstoffverhalten kennzeichnet sich durch ein plastisches Verhalten nach Überschreiten
der elastischen Grenze, das im Zuge steigender Verzerrungen zum Bruch führt.
Das Beanspruchungsniveau ist für den Übergang elastisch zu plastisch von entscheidender
Bedeutung. Im Falle linear-elastischen Werkstoffverhaltens werden die Dehnungen
vollständig durch das Hooke’sche Gesetz entsprechend Gl. (2.1.3) beschrieben. Erreicht
das Beanspruchungsniveau diesen Grenzwert, im folgenden als Streckgrenze f y bezeichnet,
bildet sich ein materialspezifisches Fließplateau aus. Dieses kann je nach Werkstoff
unterschiedlich stark ausgeprägt sein (siehe Abb. 2.2). Es kennzeichnet sich durch einen
zunehmenden Verzerrungszustand bei annähernd konstanten Spannungen aus. Das ausgeprägte
Fließplateau, auch ausgeprägte Streckgrenze genannt, kann mit stabilen Einschnürvorgängen
durch Bildung von Lüdersbändern in Verbindung gebracht werden. Fremdatome
(Legierungsbestandteile, Verunreinigungen etc.) behindern dabei die Versetzungs-

2 Grundlagen 9
ó
ó
a) b)
ƒy
ƒy
å p
å
å p
å
Abb. 2.2: Spannungs-Dehnungs-Kurve mit elastisch–plastischem Übergang. a) Schwach ausgeprägtes
Fließplateau. b) Ausgeprägtes Fließplateau.
bewegung (Versetzungsbewegung in Silizium, siehe Abschnitt 2.4.2). Die zum Losreißen
der Versetzungen erforderliche höhere Spannung wird zunächst lokal am Ort der höchsten
Spannungsspitze erreicht und bewirkt einen Gleitvorgang mit anschließender lokaler
Verfestigung. In den bereits abgeglittenen Bereichen entsteht durch einsetzende Verfestigung
eine Spannungsüberhöhung und führt zum Losreißen einer ‘Versetzungslawine’ in der
Nachbarschaft und zur Bildung von auf der polierten Oberfläche sichtbaren Gleitbänder.
Der Vorgang ist beendet, wenn sich die Lüdersbänder gleichmäßig über den beanspruchten
Bereich ausgebreitet haben [49]. Die weitere Deformation des Werkstoffes über diesen
Bereich hinaus führt zu einer Materialverfestigung, welche meist einen Spannungsanstieg
zu Folge hat. Wird der Werkstoff in diesem Bereich vollständig entlastet bleiben die plastischen
Dehnung ε p (vgl. Abb. 2.2) erhalten. Durch eine erneute Belastung setzt plastisches
Verhalten erst ab einem höheren Beanspruchungsniveau wieder ein. Das entgegengesetzte
Verhalten, die Materialentfestigung, findet wenig Anwendung in der Ingenieursarbeit und
ist daher seltener Gegenstand analytischer Betrachtungen. Entfestigung des Werkstoffes
führt zu einem Herabsenken der zur Aufrechterhaltung weiterer Dehnungen notwendigen
Fließspannung. Es wird zumeist bei der Modellierung des Werkstoffversagens herangezogen.
Zusammenfassend kann die Spannungs-Dehnungs-Kurve des elastisch–plastischen Werk-

2.2.1 Grundlegendes Konzept eines Stoffgesetzes 10
stoffmodells mit Materialverfestigung mathematisch beschrieben werden durch
⎧
σ
⎪⎨
für σ < f y
E
ε =
(2.2.1)
σ ⎪⎩
E + εp (σ) für σ ≥ f y
Die Funktion der plastischen Dehnung ε p (σ) kann sowohl mit Hilfe experimenteller Untersuchungen
als auch mittels numerischer Methoden (siehe Abschnitt 4.2) bestimmt werden.
[6, 25]
2.2.1 Grundlegendes Konzept eines Stoffgesetzes
Für die folgenden Überlegungen sollen zuvor einige Annahmen getroffen werden:
i) Das Werkstoffverhalten wird als zeitunabhängig vorrausgesetzt. Die Verzerrungen
treten in Folge plastischen Verhaltens auf. Kriechvorgänge finden nicht statt.
ii) Die Beanspruchung erfolgt quasistatisch, d. h. es seien kleine Deformationsgeschwindigkeiten
vorrausgesetzt.
iii) Zustandsänderungen erfolgen isotherm.
Änderungen der Zustandsgrößen nach der Zeit t stellen die Belastungsgeschichte dar. Sie
beschreiben also Zustandsänderungen (Inkremente) als Folge der Belastungsänderung.
Diese Annahme ist konsistent mit dem vorrausgesetztem zeitunabhängigen Werkstoffverhalten.
Werden weiter kleine Verzerrungen und ein homogener Werkstoff angenommen,
lassen sich entsprechend
˙ε = ˙ε e + ˙ε p (2.2.2)
die Verzerrungsinkremente ε additiv in einen elastischen und einen plastischen Anteil ε e
bzw. ε p zerlegen. [10]

2.2.1 Grundlegendes Konzept eines Stoffgesetzes 11
Innerhalb der phenomenologischen Modellierung des Werkstoffverhaltens kann die Formulierung
werkstoffspezifischer Gleichungen durch zwei grundlegende Methoden erfolgen.
Diese werden durch die induktive und die deduktive Schlussweise dargestellt. Die induktive
Schlussweise geht von einfachsten Zusammenhängen der Zustandsgrößen aus, welche
vielfach empirisch ermittelt und überprüft wurden (z. B. das Hooke’sche Gesetz) und
verallgemeinert diese schrittweise. Dadurch erhaltene Gleichungen können jedoch Widersprüche
enthalten und müssen dahingehend auf Konsistenz überprüft werden. Im Gegensatz
dazu bewegt sich die deduktive Schlussweise anfangs im allgemeinsten Rahmen und
prüft dessen physikalische und mathematische Verträglichkeit. Alle von dieser allgemeinen
Formulierung abgeleiteten speziellen Sonderfälle sind gleichfalls wiederspruchsfrei. [6]
Auf der Grundlage makroskopischer Beobachtungen kann für die phenomenologische Beschreibung
des elastisch–plastischen Werkstoffmodells zugrunde gelegt werden, dass rein
elastische Zustandsänderungen existieren, durch die keine irreversiblen Verzerrungsänderungen
hervorgerufen werden. Ebenfalls sind elastisch–plastische Zustandsänderungen mit
bleibenden Verzerrungsänderungen ˙ε p ≠ 0 möglich. Unter der Vorraussetzung eines isotropen
Materials kann das plastische Verhalten unabhängig vom hydrostatischen (allseitig
gleich wirkenden) Spannungsanteil angenommen werden, welcher eine reine Volumenänderung
bewirkt. Die Volumendehnung werden gegenüber den Verzerrungen als vernachlässigbar
klein angesehen und sind nahezu vollständig reversibel. Daraus folgt die isochore
Eigenschaft plastischer Verformungen sowie die deviatorische Eigenschaft der plastischen
Verzerrungsinkremente (reine Gestaltänderung ohne Volumenänderung) nach [10]
ˆ˙ε p = 0 ⇒ ˙ε p = ˙ε ′p (2.2.3)
Als allgemeine Definiton für diese Arbeit werden die hydrostatischen Anteile mit einemˆ
und die deviatorischen Anteile mit einem ′ gekennzeichnet.
Das elastisch–plastische Werkstoffmodell
Verschiedene Werkstoffe weisen bezüglich
ihres elastisch–plastischen Verhaltens wesentliche Unterschiede auf. Diese sind einersetits

2.2.1 Grundlegendes Konzept eines Stoffgesetzes 12
rein quantitativer (z. B. Größe der elastischen und plastischen Kennwerte), andererseits
auch qualitativer Art. Zu den qualitativen Unterschieden zählen insbesondere das Vorhandensein
eines linear-elastischen Bereiches, die Art und Ausbildung der Streckgrenze, die
Existenz eines Lüders-Bereiches oder das Verfestigungsverhalten im plastischen Bereich.
An ein elastisch–plastisches Werkstoffmodell ist die Forderung gestellt, die über alle bei
realen Werkstoffen auftretenden Unterschiede hinaus geltenden gemeinsamen Eigenschaften
zu beschreiben. Irgens [25] nennt in diesem Zusammenhang zwei primäre Grundsätze
der Plastizitätstheorie:
i) Die Definition einer Fließbedingung 1 , welche den Spannungszustand beim Wechsel
vom elastischen zum elastisch–plastischen Werkstoffverhalten eindeutig bestimmt
und
ii) die Erarbeitung eines Fließgesetzes, mit dessen Hilfe eine Beziehung zwischen den
Spannungen und plastischen Dehnungen hergestellt werden kann.
Zusätzlich erweitern Burth und Brocks [10] die beschriebenen Grundsätze noch um drei
weitere Aussagen:
iii) Nach dem elastischen Formänderungsgesetz gelte für alle rein elastischen Formänderungen
sowie elastischen Anteile bei Belastung im elastisch–plastischen Bereich
das Hooke’sche Gesetz, folgend dargestellt in seiner inkrementalen Form:
˙ε e = ˙σ E
iv) Gilt die Fließbedingung (siehe Abschnitt 2.2.2) als erfüllt, sind ausgehend von einem
beliebigen Spannungszustand zum Zeitpunkt t nur Zuständsänderungen mit
∂f[σ]/∂t ≤ 0 physikalisch zulässig. σ stellt den Spannungstensor mit seinen Komponenten
T ij = σ ij dar. Dies führt zur Beschreibung der Be- und Entlastungsbedingungen.
Die Funktion ∂f[σ]/∂t besitzt neben der Abhängigkeit vom Spannungszustand
σ noch weitere Abhängigkeiten von inneren Variablen, welche jedoch für die
1 In der Literatur wird auch häufig der Begriff des Fließkriteriums verwendet.

2.2.2 Fließbedingungen 13
Beschreibung des Lastzustandes vernachlässigt werden können. Der Skalar beider
Tensoren liefert
∂f[σ]
∂t
= ∂f[σ]
∂σ
⎧
⎨ : ˙σ < 0 ⇔ Entlastung
⎩= 0 ⇔ Belastung
Entlastungen sind immer mit elastischen Verzerrungsänderungen gemäß dem Hooke’schen
Gesetz, Belastungen hingegen mit elastischen und plastischen Verzerrungsänderungen
verbunden.
v) Das Verfestigungsgesetz beschreibt für einen gegebenen Zustand plastischer Verformung
die Änderung der Fließbedingung bei weiterer Belastung. Für plastische
Zustandsänderungen muss dabei jederzeit die Konsistenzbedingung ∂f[σ]/∂t = 0
erfüllt sein.
2.2.2 Fließbedingungen
Eine Fließbedingung definiert den Zustand, bei welchem der Werkstoff sein elastisches
Vermögen ausgeschöpft hat und erstes plastisches Fließen zeigt, so dass bleibende Verzerrungen
erfolgen. Wenn f[σ] eine skalarwertige Funktion des Spannungstensors σ sei,
dann kann die Fließbedingung für elastisch–ideal-plastisches Werkstoffverhalten wie folgt
beschrieben werden
⎧
= 0 ⇒ Beginn des Fließens
⎪⎨
f[σ] < 0 ⇒ elastisches Verhalten
(2.2.4)
⎪⎩ > 0 ⇒ nicht annehmbar
Die Funktion f[σ] bildet die Fließfunktion eines Werkstoffes. Für ein elastisch–plastisches
Werkstoffmodell mit Materialverfestigung wird die plastische Verformung durch Einführung
von Verfestigungsparametern in der Fließfunktion berücksichtigt (siehe Abschnitt 2.2.4).
Auf der Basis experimenteller Ergebnisse kann man schlussfolgern, dass hydrostatische
Spannungszustände σ = ˆσ ohne Einfluss auf den Fließbeginn sind. Die Aufspaltung des

2.2.2 Fließbedingungen 14
Spannungstensors in den hydrostatischen ˆσ und deviatorischen Anteil σ ′ ist durch
⎛
⎞
σ 11 0 0
ˆσ ij = ⎜ 0 σ
⎝ 22 0 ⎟
⎠
0 0 σ 33
(2.2.5)
bzw.
σ ′ ij = σ ij − 1 3 σ kk δ ij (2.2.6)
gegeben [34]. δ ij ist das Kronecker-Delta und wurde von Leopold Kronecker definiert als
[25]
⎧
⎨1 falls i = j
δ ij =
(2.2.7)
⎩0 falls i ≠ j
Die Fließfunktion zeigt nur eine Beeinflussung durch die deviatorischen Anteile des Spannungstensors
f[σ] = f[σ ′ ] (2.2.8)
Der Spannungstensor lässt sich eindeutig beschreiben durch die Hauptspannungen σ i und
deren Hauptspannungsrichtungen a i . Aufgrund der Richtungsunabhängigkeit der Eigenschaften
können für einen isotropen Werkstoff die Hauptspannungsrichtungen jedoch nicht
maßgeblich für das Fließen sein. Aus der Materialisotropie folgt somit, dass die Fließfunktion
als Funktion der drei Hauptspannungen bzw. derer Invarianten
I = σ ii = Sp σ,
II = 1 2 [σ ii σ ii − σ jj σ jj ] = 1 2
[
(Sp σ) 2 − |σ| 2] ,
(2.2.9)
III = Det σ

2.2.2 Fließbedingungen 15
geschrieben werden kann
f[σ] = f[σ 1 , σ 2 , σ 3 ] = f[I, II, III] (2.2.10)
Die Funktion Sp, die Spur eines Tensors, ist definiert als die Summe der Hauptdiagonalen
und Det bedeutet die Determinante des Tensors. Alternativ ist es auch gebräuchlich
die Invarianten der Deviatorspannung J i einzuführen. Nach der Definition der Deviatorspannung
ergibt sich die Summe seiner Hauptdiagonalen zu Null. Damit lässt sich die
Fließfunktion ebenfalls mit
J 1 = σ ′ ii = Sp σ ′ = 0,
J 2 = 1 2 σ′ ij σ ij ′ = 1 2 |σ′ | 2 ,
(2.2.11)
J 3 = Det σ ′
nach
f[σ] = f[J 2 , J 3 ] (2.2.12)
angeben. [25]
Die Fliebedingung aus (2.2.4) mit der Fließfunktion aus (2.2.12) kann geometrisch interpretiert
werden durch eine Fläche im Hauptspannungsraum, wobei die Hauptspannungen
σ i Koordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem darstellen (siehe Abb. 2.3).
Spannungszustände innerhalb dieser so genannten Fließfläche repräsentieren rein elastische
Zustände. Plastisches Fließen beginnt, wenn die Punkte auf die Fließfläche wandern.
Zustände außerhalb der Fläche sind nach (2.2.4) nicht möglich. Aus der Überlegung in
Gl. (2.2.8) ergibt sich, dass die Fließfläche eine zylindrische Fläche sein muss, jedoch nicht
zwingend mit kreisförmiger Querschnittsfläche. Ihre Achse stellt die Raumdiagonale e
e = (1 1 1) T 1 √3 (2.2.13)
dar. Wird zu einem Spannungszustand, repräsentiert durch einen Punkt innerhalb der

2.2.2 Fließbedingungen 16
ó 3
e
0
ó 1
ó 2
Abb. 2.3: Fließfläche im Hauptspannungsraum
Fließfläche, eine hydrostatische bzw. isotrope Spannung hinzuaddiert, verschiebt sich der
Spannungspunkt entlang einer parallelen Linie zum gerichteten Vektor e. In Übereinstimmung
mit Gl. (2.2.12) wird diese Linie nie die Fließfläche schneiden. Im Falle der
Materialverfestigung bewirkt das plastische Fließen eine Verschiebung oder Ausdehnung
der Fließfläche (siehe Abschnitt 2.2.4).
Eine Fläche durch den Ursprungspunkt des Hauptspannungsraums und normal zum gerichteten
Vektor e wird Deviatorebene bzw. π-Ebene genannt und durch
σ 1 + σ 2 + σ 3 = 0 (2.2.14)
beschrieben (siehe Abb. 2.4). Entsprechend Sp [σ ′ ] = 0 ≡ J 1 wird der deviatorische
Anteil eines beliebigen Spannungszustands durch einen Punkt in dieser Ebene dargestellt.
Die Querschnittskurve, welche sich aus der Überschneidung der Fließkurve mit der
Deviatorebene ergibt, nennt man Fließkurve. Punkte auf dieser Fließkurve weisen auf
plastisches Fließen hin. Aufgrund der Materialisotropie in Gl. (2.2.10) ist die Fließkurve
symmetrisch zu den drei auf die Deviatorebene projezierten Hauptspannungsachsen.
Für gleiches Fließverhalten bei Zug- und Druckbelastung f[σ] = f[−σ] ist sie ebenfalls
symmetrisch zu den Achsen, welche normal zu den projezierten Hauptspannungsachsen
liegen. Die kreisförmige Kurve und das innere Hexagon stellen die Fließkurven der zwei
wichtigstens elastisch–plastischen Materialmodelle dar: den Huber–von Mises Werkstoff
und den Tresca Werkstoff. [25, 10]

2.2.2 Fließbedingungen 17
(ó ) 3
Huber–v. Mises
Tresca
(ó ) 1
(ó ) 2
Abb. 2.4: Fließkurve in der Deviatorebene
Das Fließkriterium nach Tresca
Das Fließkriterium nach Tresca hat eine sehr direkte physikalische Beschreibung. Entsprechend
der Definition von Irgens [25] beginnt das Fließen in einem Element, wenn die
maximale Schubspannung τ max die Tresca-Fließschubspannung τ yT , bemessen am einachsigen
Spannungszustand, erreicht. Daher leitet sich auch eine weitere Bezeichnung des
Kriteriums ab, das maximale Schubspannungskriterium. Es beschreibt das Fließkriterium
für einen Tresca-Werkstoff. Die maximale Schubspannung
τ max = 1 2 (σ max − σ min ) (2.2.15)
ergibt sich mit σ max und σ min entsprechend
σ max = Max [σ 1 , σ 2 , σ 3 ] ,
σ min = Min [σ 1 , σ 2 , σ 3 ]
(2.2.16)
als maximaler bzw. minimaler Hauptspannung im Element. Für den einachsigen Spannungszustand
gilt: σ max = σ ≡ f y und σ min = 0. Daraus resultiert die Tresca-Fließschubspannung
τ yT = f y
2
(2.2.17)

2.2.2 Fließbedingungen 18
a) (ó )
b)
3
ƒ5
ƒ4
ƒ6
ƒ3
(ó 1 )
ƒ1 ƒ2 (ó )
2
-ƒy
ƒ4
ƒ3
ƒ5
ó 2
ƒ2
ƒy
ƒ1
ƒy ó 1
ƒ6
-ƒy
Abb. 2.5: Fließkurven des Tresca-Werkstoffs. a) In der Deviatorebene. b) Ebener Spannungszustand.
Die mathematische Formulierung des Fließkriteriums nach Tresca wird in
τ max = τ yT = f y
2
⇒ σ max − σ min = f y ⇒ Beginn des Fließens (2.2.18)
bzw.
f[σ] = σ max − σ min − f y (2.2.19)
in seiner allgemeinen Form angegeben. Im Hauptspannungsraum wird das Kriterium
durch eine regelmäßige hexagonale zylindrische Fließfläche mit einer regulären hexagonalen
Fließkurve in der Deviatorebene dargestellt. Abb. 2.5 zeigt die Darstellung in der
Deviatorebene (siehe Abb. 2.5a) und in der σ 1 σ 2 -Ebene des Hauptspannungsraumes (siehe
Abb. 2.5b). Die letzt genannte Abbildung stellt den ebenen Spannungszustand dar.
[25, 27]
Das Fließkriterium nach Huber–von Mises
Die Fließfläche mit der einfachsten mathematischen Beschreibung ist ein kreisförmiger Zylinder
im Hauptspannungsraum und repräsentiert die Fließbedingung nach Huber–von Mi-

2.2.2 Fließbedingungen 19
ses. Ein Spannungspunkt auf der Fließfläche kann durch den Positionsvektor r = (σ 1 σ 2 σ 3 ) T
dargestellt werden und erfüllt
r · r − (e · r) 2 = R 2 (2.2.20)
Für den einachsigen Spannungszustand σ 1 = f y kann der Spannungsdeviator nach
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 0 1 0 0
σ ′ = σ − ˆσ = ⎜0 0 0⎟
⎝ ⎠ f y − ⎜0 1 0⎟
⎝ ⎠
0 0 0 0 0 1
⎛ ⎞
2 0 0
f y
3 = ⎜0 −1 0 ⎟
⎝ ⎠
0 0 −1
f y
3
(2.2.21)
bestimmt werden. Aufgrund gleichen Fließverhaltens bei Zug- und Druckbelastung (ohne
vorrangegange Belastung) |σ| = f y müssen die den Fließbeginn kennzeichnenden Punkte
innerhalb der Deviatorebene auf einem Kreis mit dem Radius R liegen. Mit den deviatorischen
Spannungsanteilen in der Deviatorebene lässt sich dieser Radius R entsprechend
R =
√
(σ ′ 1) 2 + (σ ′ 2) 2 + (σ ′ 3) 2 =
√ (2
fy
3
) 2 (
+ − f ) 2 (
y
+ − f ) 2
√
y 2
=
3 3 3 f y (2.2.22)
berechnen. Zusammen mit (2.2.20) liefert es die Fließbedingung für einen Huber–von Mises
Werkstoff:
σ 1 2 + σ 2 2 + σ 3 2 − σ 1 σ 2 − σ 2 σ 3 − σ 3 σ 1 = f y
2
(2.2.23)
Die allgemeine Form der Fließbedingung kann als Funktion des Spannungstensors bzw.
der Deviatorspannungen erfolgen entsprechend
f[σ] = 3 2 σ : σ − 1 2 (Sp σ)2 − f y 2 ≡ 3 2 σ′ : σ ′ − f y
2
(2.2.24)
Auch die Darstellungsform mit Hilfe der Invarianten ist möglich und ergibt
f[σ] = I 2 − 3 II − f y 2 ≡ −3 II ′ − f y 2 = 3 J 2 − f y
2
(2.2.25)

2.2.3 Fließgesetze 20
Dieses Kriterium wurde 1913 von Richard von Mises aufgestellt. Bereits 1904 kam M. T.
Huber schon zu dem gleichen Ergebnis. Jedoch basierte sein Ansatz auf der Verformungsarbeit
des Materials. Unter der Annahme eines isotropen und linear-elastischen Werkstoffes
stützte er das Fließkriterium auf der Hypothese, dass Fließen dann auftritt, wenn
unter einachsigem Spannungszustand die Gestaltänderungsenergie eine Grenze erreicht.
Die Ergebnisse seiner Arbeit sind identisch zu denen von von Mises. Eine alternative Formulierung
erfolgt auf dem Konzept der Misesspannung σ M bzw. Vergleichsspannung σ e :
σ M ≡ σ e = √ 3 J 2 =
√
3
2 σ′ : σ ′ =
√
3
2 σ : σ − 1 2 (Sp σ)2 (2.2.26)
Das Fließkriterium kann nun wie folgt formuliert werden:
σ M ≡ σ e = f y ⇒ Beginn des Fließens (2.2.27)
Im Gegensatz zur Fließbedingung nach Tresca berücksichtigt die Huber–von Mises Bedingung
nicht die dritte Invariante der Deviatorspannung J 3 . Die einfache Beschreibung des
Fließkriteriums dürfte daher auch einer der Gründe für die häufige Verwendung sein. In
der Deviatorebene wird das Fließkriterium dargestellt durch einen Kreis (siehe Abb. 2.6a)
bzw. in der σ 1 σ 2 -Ebene des Hauptspannungsraumes ergibt sich für den ebenen Spannungszustand
eine Ellipse (siehe Abb. 2.6b). [10, 25, 27]
2.2.3 Fließgesetze
Das Fließgesetz beschreibt im weiteren Verlauf der plastischen Verformung die Beziehung
zwischen Spannungen und Dehnungen, nachdem die Fließbedingung erreicht wurde.
Für die Entwickung der Modelle hat es sich als gebräuchlich erwiesen, zuerst den
ideal–plastischen Verlauf zu beschreiben, und auf diesen dann die Materialverfestigung
aufzubauen.

2.2.3 Fließgesetze 21
a) (ó )
b)
ƒy
ó 2 3
-ƒy
ó 1
(ó ) 1
(ó ) 2
-ƒy
ƒy
Abb. 2.6: Fließkurven des Huber–von Mises-Werkstoffs. a) In der Deviatorebene. b) Ebener Spannungszustand.
ó
a)
ƒy
A
C
W > 0
B
D
å p
å
Abb. 2.7: Verformungsarbeit der zusätzich aufgebrachten Belastung für einen ideal–plastischen Werkstoff.
Ein Element wird von einem elastischen Spannungszustand in Punkt A in einen Spannungszustand
in Punkt B überführt. Die dabei verrichtete Arbeit ist gemäß dem Stabilitätspostulat
größer Null.
Das Drucker-Postulat
Aus einer energetischen Überlegung heraus können die Werkstoffe in drei Gruppen eingeteilt
werden: stabile, labile und indifferente Werkstoffe [16]. Man betrachte hierzu ein
Element eines sich in Ruhe befindlichen Körpers, welches durch einen Spannungsverlauf
von einem Spannungszustand σ a in einen Spannungszustand σ b überführt wird, wie in
Abb. 2.7 dargestellt. Der Vorgang werde als isotherm angenommen. Die Spannungsinkremente
der zusätzlichen Belastung (über σ a hinaus) verrichten bei den sich ergebenden

2.2.3 Fließgesetze 22
Verzerrungsinkrementen eine Verformungsarbeit,
∫ b
W = (σ − σ a ) : dε (2.2.28)
a
Anhand des Vorzeichens dieser Verformungsarbeit während der Belastung erfolgt nun die
Klassifizierung. Ist die verrichtete Arbeit positiv wird der Werkstoff als stabil bezeichnet.
Dem Körper muss also Energie von außen zugeführt werden, um seinen aktuellen Zustand
zu ändern. Analog dazu spricht man von labil, wenn die Volumenarbeit negativ ist. Für
den Fall W = 0 handelt es sich um einen indifferenten Werkstoff. Der Zustand des Körpers
kann also ohne Energiezu- oder -abfuhr in einen benachbarten Spannungszustand
überführt werden. Für den erstgenannten stabilen Werkstoff ergibt sich zudem noch eine
weitere Besonderheit. Die während eines vollständigen Belastungs- und Entlastungszyklus
verrichtete Arbeit sei stets positiv oder gleich Null. Diese Forderung entspricht dem Zweiten
Haupstsatz der Thermodynamik, dass während des Zyklus keine mechanische Energie
gewonnen werden kann
∫ b
a
(σ − σ a ) : dε ≥ 0 (2.2.29)
Werkstoffe sollten während isothermer Prozesse grundsätzlich stabil oder indifferent sein.
Auf die Bedeutung dieses Stabilitätspostulates bezüglich der plastischen Verformung soll
im nachfolgenden Abschnitt 2.2.3 eingegangen werden. [25, 28]
Das Allgemeine Fließgesetz
Das allgemeine Fließgesetz stellt eine Beziehung zwischen den plastischen Verzerrungen
und den Spannungen bzw. deren Inkrementen her. Die Verformungen in einem Element
eines elastisch–plastischen Werkstoffes hängen dabei von der Verformungsgeschichte ab
mit welcher das Element vordeformiert wurde. Im theoretischen Fall des ideal-plastischen
Verhaltens kann das Fließgesetz so formuliert werden, dass die Beziehungen zwischen den

2.2.3 Fließgesetze 23
Komponenten des plastischen Verzerrungstensors ε p bei Erfüllung der Fließbedingung
erhalten bleiben. Ist somit eine Komponente der plastischen Verzerrung bekannt können
daraus die anderen Komponenten entwickelt werden. [25]
Sobald plastische Verzerrungen eingetreten sind, herrscht kein einfacher linearer Zusammenhang
zwischen den Spannungen und den Dehnungen mehr. Es ist demnach nicht
möglich, eine eindeutige funktionale Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen
herzustellen. Es ist aber möglich, die notwendige Spannung (unter Beachtung der Historie)
anzugeben, welche ein plastisches Dehnungsinkrement dε p bewirken würde
dε p = dε p (σ) (2.2.30)
Hierfür muss dabei die Fließbedingung erfüllt werden [47]. Zuf Vereinfachung werden im
Folgenden die Notationen σ für die Koordinatenspannungen bzw. ε für die Koordinatendehnungen
in der Deviatorebene als sechsdimensionale Vektoren gemäß Gl. (2.2.31)
eingeführt.
σ = (σ 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 ) T , ε = (ε 1 ε 2 ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 ) T (2.2.31)
Man gehe von einem Element eines in Ruhe befindlichen Körpers aus, charakterisiert
durch den elastischen Spannungszustand σ a (vgl. Abb. 2.7). Durch eine äußere Einwirkung
nimmt das Element einen Spannungszustand σ c auf der Fließfläche ein, gefolgt von
einem plastischen Spannungsverlauf zum Zustand σ d . Bei Aufhebung der äußeren Einwirkung
soll der Spannungszustand σ b = σ a erreicht werden. Legt man das Stabilitätspostulat
zugrunde kann die verrichtete Arbeit des vollständigen Zyklus nach Gl. (2.2.29)
beschrieben werden. Gemäß Gl. (2.2.2) können die Dehnungsinkremente in einen elastischen
und einen plastischen Anteil zerlegt werden. Unter Beachtung, dass plastische
Dehnungsinkremente nur bei der Zustandsänderung C–D auftreten, ergibt sich aus dem

2.2.3 Fließgesetze 24
Stabilitätspostulat:
∫ b
∫ b
∫ d
(σ − σ a ) : dε = (σ − σ a ) : dε e + (σ − σ a ) : dε p ≥ 0 (2.2.32)
a
a
c
Da das elastische Verhalten unabhängig von der plastischen Formänderung angenommen
werden kann ist die während des vollständigen Zyklus verrichtete Arbeit der elastische
Formänderung stets gleich Null,
∫ b
a
(σ − σ a ) : dε e = 0 (2.2.33)
Damit reduziert sich Gl. (2.2.32) zu:
∫ b
∫ d
(σ − σ a ) : dε = (σ − σ a ) : dε p ≥ 0 (2.2.34)
a
c
Da die Gleichung/Ungleichung (2.2.34) für jeden Lastzyklus erfüllt sein muss kann allgemein
ausgesagt werden, dass
(σ c − σ a ) : dε p ≥ 0 (2.2.35)
gelten muss wenn der Spannungszustand σ c dem Fließkriterium genügt. Die linke Seite
der bildet einen Skalar, welcher gemäß dem Stabilitätspostulats nicht negativ sein darf.
Daraus ergibt sich, dass der Winkel, unter welchem sich die beiden Vektoren schneiden,
nicht größer als 90 ◦ sein kann. Da für den Zustand σ a keine weiteren Einschränkungen
vorgenommen wurden muss diese Bedingung für alle möglichen Lagen des Punktes A
gegeben sein (siehe Abb. 2.8). Dies ist nur dann der Fall, wenn der Vektor dε p von der
Fließfläche aus nach außen weist und die Fließfläche der Definition einer konvexen Flächen
entspricht. Ferner muss für jeden Fließpunkt gelten, dass der Vektor dε p mit der
äußeren Normalen der Fließfläche zusammenfällt. Die äußere Normale lässt sich durch

2.2.3 Fließgesetze 25
ƒ(ó)=0
ó a
0
A = B
ó c
D
C
då p
Abb. 2.8: Spannungszyklus eines ideal-plastischen Werkstoffes nach Drucker.
den Gradienten der Fließfunktion f bestimmen. Es ergibt sich die Beziehung
dε p = λ ∂f
∂σ , λ ≥ 0 (2.2.36)
mit dem Plastizitätsmultiplikator λ, der bestimmend für das Ausmaß der plastischen
Verzerrung ist. [25, 28]
Bestimmung des Faktors λ
Der Plastizitätsmultiplikator λ ist nicht wie der Elastizitätsmodul oder Gleitmodul als
Werkstoffkonstante aufzufassen. Vielmehr ist er eine skalare Funktion der Spannungen und
der Verzerrungsinkremente λ = λ (σ, dε) [28]. Für plastische Verformung gilt, dass neben
der Bedingung f = 0 sich auch die Inkremente der Fließfunktion zu Null ergeben müssen,
der Spannungszustand somit auch bei einer Änderung einen Punkt auf der Fließfläche
einnimmt. Es gilt die Beziehung
df = ∂f dσ = 0 (2.2.37)
∂σ
Ausgehend von der Beziehung des allgemeinen Hooke’schen Gesetzes
dσ = C dε e (2.2.38)

2.2.4 Materialverfestigung 26
mit den elastischen Verzerrungsinkrementen als Differenz zwischen der Gesamtdehnung
und der plastischen Dehnung, dε e = dε − dε p , folgt
dσ = C (dε − dε p ) (2.2.39)
Zusammen mit Gl. (2.2.36) erhält man
dσ = C
(
dε − λ ∂f )
∂σ
(2.2.40)
Durch Multiplikation beider Seiten mit ∂f/∂σ und Beachtung der Beziehung aus Gl. (2.2.37)
ergibt sich für den Plastizitätsmultiplikator
λ = C ∂f
dε ∂σ
C ∂f ∂f
∂σ ∂σ
(2.2.41)
bzw. unter Nutzung der entsprechenden Summationsindizes nach [28]
λ = C ijkl
C pqrs
∂f
∂σ ij
dε kl
∂f
∂σ pq
(2.2.42)
∂f
∂σ rs
Die bisher getroffenen Aussagen gelten für einen Werkstoff mit ideal–plastischem Verhalten.
Um das Fließgesetz auf allgemeine Spannungs-Dehnungs-Verläufe zu erweitern,
müssen Erscheinungen wie die Materialverfestigung mit einbezogen werden, da sie im Gegensatz
zum ideal–plastischen Fall auch nach Erreichen der Fließbedingung einen weiteren
Anstieg der Spannung mit wachsenden Dehnungen bewirken. Dies soll in dem folgenden
Abschnitt genauer betrachtet werden.
2.2.4 Materialverfestigung
Die zuvor behandelten Fließbedingungen beschreiben den Übergang des Werkstoffverhaltens
von rein elastisch zu elastisch–plastisch beim ersten Auftreten plastischer Verzerrungen,
dem Fließbeginn. Sie sind daher allein vom Spannungszustand abhängig. Be-

2.2.4 Materialverfestigung 27
ó
ƒy
Abb. 2.9: Linear-elastisch–ideal-plastisches Materialverhalten.
å
sitzen alle folgenden Zustandsänderungen weiter die bei erreichen der Fließbedingungen
nach (2.2.19) oder (2.2.24) wirkenden Spannung spricht man von einem elastisch–idealplastischen
Werkstoffverhalten (siehe Abb. 2.9). Nach Erreichen der Streckgrenze nimmt
die Verzerrung bei konstantem Spannungsniveau theoretisch unendlich zu. Bei realen
Werkstoffen steigt jedoch die Spannungs-Dehnungs-Kurve nach Überschreitung des Fließplateaus
zumeist weiter an. Die Fließbedingung verfestigender Werkstoffe ist demnach
gleichfalls eine Funktion der bis zum Momentanzustand auftretenden plastischen Verzerrungen.
Zur Berücksichtigung der Verfestigung werden einige Verfestigungsparameter κ i
eingeführt, womit die Fließfunktion nun dargestellt wird als Funktion f[σ, κ] mit κ = κ i .
Das Fließkriterium kann jetzt wie folgt formuliert werden
⎧
⎨= 0 ⇒ Beginn des Fließens
f[σ, κ] = f 1 [σ − σ 0 (κ)] − f y (κ)
(2.2.43)
⎩< 0 ⇒ elastisches Verhalten
σ 0 (κ) ist ein Spannungstensor, welche ausschließlich von den Verfestigungsparametern
abhängig ist. Die skalarwertige Größe f y (κ) repräsentiert die variable, gewöhnlich ansteigende
Streckgrenze.
Als Verfestigungsparameter bietet es sich an, die Verformungsarbeit pro Volumeneinheit
zu nutzen
∫ εp
κ = σ : dε p (2.2.44)
0

2.2.4 Materialverfestigung 28
ó 2
ó 1
a) b) ó 2
ó 1
ƒy
ƒy
-ƒy
-ƒy
ƒy
ƒy
-ƒy
Ausgangszustand
Folgezustand
-ƒy
Abb. 2.10: Fließbedingung mit Materialverfestigung. a) Isotrope Verfestigung. b) Kinematische Verfestigung.
mit dε p als dem plastischen Verzerrungsdifferential, welches sowohl vom momentanen
Spannungszustand als auch vom Spannungsinkrement während des Fließvorganges abhängig
ist. Die Untersuchung der in Gl. (2.2.43) gegebenen Fließbedingung liefert drei
Spezialfälle, welche für ingenieursmäßige Betrachtungen relevant sind
⎧
= 0, ⎪⎨
∂fy(κ) = 0 ⇒ ideal-plastisch
∂κ
σ 0 (κ) = 0, ∂fy(κ) > 0 ⇒ isotrope Verfestigung
(2.2.45)
∂κ
⎪⎩ ≠ 0, ∂fy(κ) = 0 ⇒ kinematische Verfestigung
∂κ
Die Theorie der isotropen Verfestigung besagt (vgl. Abb. 2.10a), dass sich die Fließfläche
während des verfestigenden Fließprozesses ausdehnt. Die entstehenden Fließflächen
sind entsprechende konzentrisch ausgerichtete Flächen zur ursprünglichen Fließfläche beim
Fließbeginn. Für proportional ansteigende Spannungen sowie für mäßige Dehnungen liefert
dieses Modell annehmbare Ergebnisse. Man kann davon ausgehen, dass ein isotroper
Werkstoff während der isotropen Verfestigung seine richtungsunabhängigen Eigenschaften
beibehält. Hingegen besagt die Theorie der kinematischen Verfestigung (vgl. Abb. 2.10b)
ein Wandern der Fließfläche im Spannungsraum bei gleichbleibender Form und Größe.
Die mechanischen Eigenschaften eines anfangs isotropen Werkstoffes sind nach der Verformung
anisotrop, da sie unterschiedliches Verhalten bei Zug- und Druckbelastung auf-

2.2.4 Materialverfestigung 29
ó
a) b)
ƒ/y
ƒy
ƒ/y
ƒy
ó
å
å
-ƒy
-ƒ´´ y
-ƒy
-ƒ´´ y
Abb. 2.11: Linear-elastisch–plastischer Werkstoff mit Materialverfestigung. a) Kinematische Verfestigung
f y ′′ + f y ′ = 2 f y . b) Isotrope Verfestigung f y ′′ = f y.
′
weisen. [10, 25]
Die Verfestigungsarten lassen sich ebenfalls im Zusammenhang mit dem Effekt der deformationsbedingten
mechanischen Anisotropie beschreiben. Dieser Effekt bewirkt Unterschiede
der plastischen Eigenschaften unter Druckbeanspruchung mit vorrangegangener
Zugbelastung und ausschließlicher Zug- oder Druckbeanspruchung. Man unterscheidet
grundsätzlich, wie in Abb. 2.11 dargestellt, zwischen zwei Formen (vgl. [25]):
i) Fall a) gilt für mäßige Dehnungen. Die Vordeformierung mit einer Spannung anderen
Vorzeichens führt zu einer Erniedrigung der Streckgrenze f ′′
y
< f y . Dieses Verhalten
wird als Bauschinger-Effekt bezeichnet. Wenn die Gleichung f ′′
y + f ′
y = 2 f y erfüllt
ist, zeigt der Werkstoff kinematische Verfestigung (siehe Abb. 2.11a) .
ii) Für große Dehnungen kann Fall b) Anwendung finden. Entgegen Fall a) führt die
Vordeformierung zu einer Erhöhung der Streckgrenze f ′′
y
isotroper Verfestigung, wenn f ′′
y = f ′
y (siehe Abb. 2.11b).
> f y . Man spricht von

2.3.1 Kristallbaufehler 30
2.3 Theoretische Grundlagen der Versetzungen
Idealkristalle zeichnen sich durch eine ideal angeordnete, ungestörte Kristallstruktur aus,
bei der jedes Atom einen fest definierten Abstand zu seinem Nachbarn besitzt. Die Struktur
realer kristalliner Festkörper unterscheidet sich aber zumeist erheblich von diesem
Idealabstand. Störungen des Kristallaufbaus, welche auch als Kristallbaufehler bezeichnet
werden, haben einen erheblichen Einfluss auf die mechanischen Eigenschaften des Werkstoffes.
Die Kristallbaufehler können anhand geometrischer Fesichtspunkte grundsätzlich
in vier Gruppen eingeteilt werden [49]:
i) nulldimensionale (punktförmige) Defekte,
ii) eindimensionale (linienförmige) Defekte,
iii) zweidimensionale (flächenhafte) Defekte und
iv) dreidimensionale (räumliche) Defekte.
2.3.1 Kristallbaufehler
Eindimensionale Defekte bilden die einfachste Form eines Fehlers der Kristallstruktur. Zu
ihr werden Leerstellen, Zwischengitteratome oder Substitutionsatome gezählt. Ursache für
das Vorhandensein solcher Punktdefekte sind unteranderem thermisch aktivierte Prozesse
(Diffusion), aber auch mechanische Deformationen oder die Einwirkung energetischer
Strahlungen sind für ihre Entstehung verantwortlich. Punktdefekte führen zu einer elastischen
Relaxation, d. h. einer elastischen Verspannung der Struktur durch Zusammenziehen
oder Aufweiten des Gitters im Nahfeldbereich. Zu den eindimensionalen Defekte zählen
die Versetzungen. Sie entstehen während des Kristallisattionsprozesses oder während mechanischer
Beanspruchung durch Einwirkung einer Schubspannung. Da Versetzungen in
einen direkten Zusammenhand mit der plastischen Verformung gebracht werden können,
soll an späterer Stelle noch einmal genauer auf sie eingegangen werden. Die Gruppe der

2.3.1 Kristallbaufehler 31
zweidimensionalen Kristallbaufehler bilden Stapelfehler sowie Grenzflächen zwischen den
Kristallen. Reale Werkstoffe liegen meist multikristallin vor, d. h. sie bestehen aus mehreren
Kristallen, wobei jeder Kristall eine eigene kristallographische Orientierung besitzt.
Die Kristalle, auch Körner genannt, werden durch Korngrenzen voneinander getrennt. Beträgt
der Winkelunterschied zwischen bei benachbarten Körnern maximal 15 ◦ , spricht man
von Kleinwinkelkorngrenzen, andererseits von Großwinkelkorngrenzen. Zwillingsgrenzen
entstehen, wenn die Orientierung beider Körner an der Grenzfläche gespielt ist. Weiter
zählen auch die Werkstoffoberfläche selbst und Phasengrenzen, z. B. an inkohärenten oder
teilkohärenten Ausscheidungen, zu diesen Grenzflächen. Als Stapelfehler bezeichnet man
eine Störung des periodischen Aufbaus der Atomschichten durch parallele Verschiebung
der aufeinanderliegenden Atomschichten zueinander. Der letzten Gruppe, den räumlichen
Defekten, gehören Anhäufungen von Punktfehlern, sowie Hohlräume und Ausscheidungen
von Verunreinigungen oder Phasen an. Hohlräume können z. B. während des Erstarrungsvorganges
entstehen. Ohne eine gerichtete Wärmeabfuhr erstarrt der Körper von außen
nach innen, wobei durch Volumenkontraktion im Körper ein Hohlraum entsteht, welcher
auch als Lunker bezeichnet wird. Ausscheidungen von Verunreinigungen sind eine Folge
der Löslichkeitssättigung. Da ein Werkstoff im flüssigen Zustand in der Regel eine geringere
Löslichkeit gegenüber dem Festkörper aufweist, besitzt während der Erstarrung die
Restschmelze eine wesentlich höhere Konzentration an Fremdstoffen. Es bilden sich Bereiche
hoher Fremdstoffkonzentration, welche sich durch Diffusion zu Blöcken verbinden
und eine massive Verzerrung des Gitters zur Folge haben können. Phasen hingegen stellen
homogene, chemisch stabile Verbindungen dar, indem sich der Basiswerkstoff mit Fremdelementen
vereint und eine Überstruktur ausbildet mit eigenen chemischen, mechanischen
und physikalischen Eigenschaften. Eine der wohl bekanntesten Vertreter ist die intermediäre
Phase ‘Zementit’ im metastabilen Eisen-Kohlenstoff-Diagramm. [18, 32, 49]

2.3.2 Versetzungen 32
b
Abb. 2.12: Schematische Darstellung einer Versetzung mit der Versetzungslinie ⊥ senkrecht zur Bildebene.
Dargestellt ist ein vollständiger Umlauf (rot) um die Versetzungslinie (links) und der
gleiche Umlauf im ungestörten Gitter (rechts) mit Burgers-Vektor (grün).
2.3.2 Versetzungen
Durch Versetzungen ist die regelmäßige Anordnung der Kristallnetzebenen entlang einer
Linie, der Versetzungslinie, gestört und lokal verzerrt. Diese Verzerrung führt zu elastischen
Spannungen in der Kristallstruktur. Richtung und Größe der Versetzung werden
durch den Burgers-Vektor beschrieben. Zu seiner Bestimmung wird im gestörten Kristall
ein voller Umlauf um die Versetzung herum konstruiert. Überträgt man diesen Umlauf,
wie in Abb. 2.12 dargestellt, auf das ungestörte Gitter ist dieser nicht mehr geschlossen.
Der fehlende Vektor, welcher diesen Umlauf schließen würde, ist der Burgers-Vektor b.
Der Winkel, welcher sich zwischen Burgers-Vektor und Versetzungslinie ergibt, ist bestimmend
für den Charakter der Versetzung. Im Allgemeinen Fall kann dieser Winkel beliebig
groß sein. In realen Kristallen jedoch treten bestimmte Winkel bevorzugt auf. Die bevorzugten
Burgers-Vektoren sind die am kürzesten möglichen Gittervektoren zwischen
benachbarten Atomen, und Versetzungslinien befinden sich bevorzugt in den am dichtesten
gepackten Ebenen im Kristallgitter. Man unterscheidet zwei Grenzfälle in kubisch
primitiven Gittern, die Stufenversetzung und die Schraubenversetzung. Bei einer Stufenversetzung
stehen Burgers-Vektor und Versetzungslinie orthogonal zueinander, bilden
somit einen rechten Winkel. Eine im Kristall wirkende Schubspannung τ hat eine Abgleiten
einer Ebene zur Folge. Da ein starres Abgleiten der Ebene als ganzes energetisch
ungünstig ist, erfolgt eine schrittweise Auflösung und Neubildung der Bindungen zwischen
den Atomen. Dieses schrittweise Abgleiten der Ebene wird durch eine Versetzung reali-

2.3.2 Versetzungen 33
siert und ist in Abb. 2.13 dargestellt. Die Versetzung wandert dabei immer parallel zur
wirkenden Schubspannung und zur Gleitebene. Tritt die Versetzung an der Grenzfläche
aus, bildet sie eine Stufe durch Verschiebung des Gitters um genau einen Atomabstand.
Bei der Schraubenversetzung verlaufen Burgers-Vektor und Versetzungslinie parallel zueinander,
schließen somit den Winkel 0 ◦ ein. Die Versetzungslinie liegt ebenfalls parallel
zur Gleitebene und der anliegenden Schubspannung (siehe Abb. 2.14). Ein vollständiger
Umlaufs um die Versetzungslinie herum ergibt den Verlauf einer Helix, was den Namen
der Schraubenversetzung erklärt. [9, 32, 49]
Die Erzeugung einer Versetzungslinie ist mit der Aufwendung von Energie verbunden,
der sogenannten Linienenergie. Die Linienenergie gibt an, wieviel Energie nötig ist um
eine Längeneinheit Versetzungslinie zu bilden durch Gitterverzerrung. Sie wird folglich
in Form elastischer Verzerrungsenergie im Nahfeldgitter der Versetzungs gespeichert. Da
dieser Prozess ebenfalls ein Minimum an Energie anstrebt, werden Versetzungen bevorzugt
in den am dichtesten gepacktesten Ebenen gebildet, den Gleitebenen. Weil die durch
die Versetzung entstehende Gitterverzerrung ebenfalls ein Maß für die Linienenergie ist
streben Versetzungen einen kleinen Burgers-Vektor an bzw. dissoziieren in mehrere Teilversetzungen
(wenn möglich) mit kleineren Burgers-Vektoren. [9]
2.4 Struktureigenschaften von Silizium und
Kristallplastizität
Der besondere strukturelle Aufbau von Silizium führt zu einem Werkstoffverhalten, welches
in vieler Hinsicht unterschiedlich zu dem üblichen bekannten Verhalten von z. B.
Metallen ist. Ein wichtiger hier vorab zu erwähnender Fakt ist die Tatsache, dass Silizium
bei Raumtemperaturen ein sprödes Verhalten zeigt, sich aber bei hohen Temperaturen
gut plastisch verformen lässt. Der Übergang zwischen sprödem und duktilem Verhalten ist
folglich ein thermisch aktivierter Prozess, auf dem in Verbindung mit dem Mechanismus
der Versetzungsbewegung genauer eingegangen werden soll.

2.3.2 Versetzungen 34
a)
ô
b)
ô
ô
ô
Abb. 2.13: Abgleitbewegung in der Ebene (gestrichelte Linie) eines kubisch primitiven Gitters. Die
Versetzungslinie ⊥ verläuft senkrecht zur Schubspannungsrichtung und Bildebene. a) Starres
Abgleiten. b) Schrittweises Abgleiten durch Bewegung einer Versetzung. [32]
ô
Abb. 2.14: Entstehung einer Schraubenversetzung durch Abgleitung eines Teils einer Ebene in Richtung
der Schubspannung. Die Versetzungslinie ist mit einer dicken Linie gekennzeichnet. Darstellung
der Ebenen oberhalb (hell, gestrichelte Bindungen) und unterhalb (dunkel, durchgezogene
Linien) der Versetzung. [32]
ô

2.4.1 Aufbau und Eigenschaften der Kristallstruktur 35
2.4.1 Aufbau und Eigenschaften der Kristallstruktur
Kristalline Werkstoffe sind Körper, deren Atome oder Moleküle nicht zufällig im Raum,
sondern regelmäßig in einem Kristallgitter angeordnet sind. Reduziert man diese Anordnungen
auf die einfachste, sich wiederholende Einheit ergibt sich eine Elementarzelle, auch
Einheitszelle genannt. Elementarzellen sind durch weitere Eigenschaften gekennzeichnet.
Sich gegenüberstehende Flächen sind stets parallel und sie weisen die vollständige Symmetrie
des Kristallgitters auf. Die Menge aller möglichen Elementarzellen im Raum werden
Bravais-Gitter genannt. Nach der getroffenen Definition der Elementarzelle existieren 14
verschiedene Bravais-Gitter. Eine detaillierte Darstellung der Bravais-Gitter erfolgt in
[29, 33, 51]. Eines dieser Gitter stellt das kubisch-flächenzentrierte (kfz) Gitter dar. Es
besitzt eine kubische Elementarzelle (alle Seiten gleich lang, alle Winkel gleich 90 ◦ ) mit je
einem Atom auf den acht Eckpunkten und je einem weiteren Atom im Zentrum auf den
sich ergebenden sechs Flächen.
Silizium besitzt eine Diamantstruktur [5]. Der Aufbau der Diamantstruktur ergibt sich
aus zwei kfz-Gittern, wobei das zweite Gitter um (√ 3/4 ) a relativ zum Ersten entlang
der Raumdiagonalen [111] verschoben ist. Die kristallographische Orientierung im Raum
erfolgt anhand der Miller-Indizes [51]. Die Längenangabe a ist ein Gitterparameter und besitzt
die Größe einer Kantenlänge des kfz-Gitters. Abb. 2.15 zeigt den Aufbau dieser Diamantstruktur.
Die Diamantstruktur ermöglicht eine dreidimensionale kovalente Bindung,
bei der sich jedes Atom in einer tetraedischen Umgebung mit vier nächsten Nachbarn
befindet [5, 24]. Die Wechselwirkung zwischen den nächsten Nachbarn dominiert diese
Bindungsart [24]. Der Abstand zu den nächsten Nachbarn ergibt sich somit zu (√ 3/4 ) a.
Die dicht gepacktesten Ebenen (maximale Packungsdichte der Atome auf diesen Ebenen)
sind gleich dem kfz-Gitter die {111}–Ebenen. Diese sind durch die Verschiebung des
zweiten Gitters jedoch als Doppelebenen ausgebildet. Entsprechend Abb. 2.16 ergibt sich
auch die Stapelfolge dieser Ebenen. A-B-C-A-B-C sei die Stapelfolge der {111}–Ebenen
des ersten kfz-Untergitters und α-β-γ-α-β-γ die des zweiten Untergitters. Es ergibt sich
für die Diamantstruktur die Stapelfolge Aβ-Bγ-Cα-Aβ-Bγ-Cα, wobei die Atomlagen Aβ
(oder äquivalente Paare) eine (111)–Doppelebene bilden. Diese eng beieinanderliegenden

2.4.1 Aufbau und Eigenschaften der Kristallstruktur 36
a) b)
[001]
[010]
3 a
4 [111] a
[100]
Abb. 2.15: Aufbau der Diamantstruktur von Silizium. a) Relative Verschiebung von zwei kfz-Gittern.
a) b) Diamantstruktur mit kovalenten Bindungen.
(111)
[111]
[112]
A
â
B
ã
C
á
A
â
B
ã
Gleitebene
Zwischenebene
(111)
(111)
Abb. 2.16: Projektion der Diamantstruktur auf die (1¯10)–Ebene. Gekennzeichnet sind die Lage der
Gleit- und Zwischenebene, die Stapelfolge der dichtgepacktesten Doppelgleitebenen sowie
die {111}–Halbebenen (gestrichelt umrandet).

2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium 37
doppelten Ebenen sind verbunden durch die dreifache Anzahl an Bindungen als zwischen
den (dreimal so weit entfernten) αA, βB, γC Ebenenpaaren zu finden sind [5].
2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium
In kristallinen Werkstoffen ist die plastische Deformation hauptsächlich gekennzeichnet
durch die Vorgänge der Nukleation (Bildung), Migration (Ausbreitung), Multiplikation
und Annihilation (Auslöschung) von Versetzungen. Die dominanteste Form der Versetzungsbewegung
ist das Versetzungsgleiten in den aktivierten Gleitsystemen. Sie wird gekennzeichnet
durch die Versetzungsgeschwindigkeit mit welcher sich die Versetzungen im
Werkstoff bewegen und ist im wesentlichen abhängig von der im Gleitsystem herrschenden
Schubspannung und der Temperatur. Diese Vorgange sind zumeist allgemein in vielen
Werkstoffen gültig, es sollen dabei aber auch die Besonderheiten der Diamantstruktur mit
berücksichtigt werden.
Versetzungsbewegung in den Gleitebenen
Die plastische Verformung eines Körpers findet duch Scherung statt. Scherung bedeutet
das Abgleiten von Atomlagen parallel zu den Gleitebenen in eine festgelegte Richtung,
der Gleitrichtung. Gleitebene und Gleitrichtung bilden zusammen ein Gleitsystem [49].
Man erwartet das Auftreten von Gleitung in den {111}–Ebenen in 〈110〉–Richtungen, da
das Gitter der Diamantstruktur noch immer auf einem kfz-Gitter beruht. Diese Tatsache
wurde von Kocks [30] bei Messungen der Ätzgrübchendichte und Treuting [59] mittels
Röntgentopografie bestätigt. Innerhalb der Diamantstruktur stellt sich die Frage, ob die
Scherung im Aβ–Doppelgleitsystem oder zwischen den βB–Ebenenpaaren (oder äquivalenten
Paaren) stattfindet. Nach Shockley [52] kann die Scherung zwischen βB wesentlich
leichter erfolgen und sollte daher die dominantere Form der Scherung darstellen. Scherung
in den Doppelgleitsystemen ermöglicht die Dissoziation einer Versetzung mit dem
Burgers-Vektor b = a/2 〈110〉 in zwei Partialversetzungen (b = a/6 〈112〉) [5, 37]. Die

2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium 38
ã
ã
A
â
P 1
P 2
á á á ã
B
ã
C
á
Abb. 2.17: Shockleysche Partialversetzungen P 1 , P 2 in der Doppelgleitebene und der sich ausgebildete
Stapelfehler.
Aufspaltung der Versetzung führt zu einem Fehler in der Stapelfolge der Packungsdichte,
einem sogenannten Shockley’schen Stapelfehler oder Zwillingsscherung. Dieser Flächendefekt
tritt in den Doppelgleitebenen auf und wird durch die beiden Versetzungslinien
der Partialversetzungen begrenzt. Bei diesem Prozess wird für Werkstoffe mit geringer
Stapelfehlerenergie, zu denen auch Silizium gezählt wird, Energie aus der sich bildenden
Gitterverzerrung gewonnen. In Abb. 2.17 sind solche dissoziierten Partialversetzungen
dargestellt. Das Partial P 1 ist durch einen Stapelfehler (Lage der Atome wechselt von der
γ– auf die α–Konfiguration) mit dem Partial P 2 entgegengesetzter Richtung verbunden.
Gleitfähige Versetzungen scheinen bevorzugt als solche dissoziierten Versetzungen aufzutreten
[37].
Zu den wichtigsten Arten von Versetzungen zählen die 60 ◦ –Versetzungen und die Schraubenversetzungen.
Die Bezeichnung 60 ◦ beschreibt hier den Winkel zwischen der Versetzungslinie
s und dem Burgers-Vektor b (siehe Abb. 2.19a). Für Schraubenversetzungen
beträgt dieser Winkel 0 ◦ . Aus Abb. 2.15 kann die Bildung von 60 ◦ –Versetzungen gedanklich
durch das Entfernen oder zusätzliche Einfügen der in Abb. 2.16 dargestellten
Halbebenen erfolgen. Entlang der Grenze dieser Extrahalbebenen entsteht eine dichte
Reihe ungepaarter Bindungen. Der Einschub solcher Ebenen erfolgt bis auf die Gleitbzw.
Mischebenen der aktiven Gleitsysteme. Daraus ergeben sich, wie in Abb. 2.18 dargestellt,
zwei unterschiedliche Möglichkeiten der Versetzungsbildung einer 60 ◦ –Versetzung.
Bei Schraubenversetzungen hingegen treten keine ungepaarten Bindungen auf. Der schraubenförmige
Charakter einer solchen Versetzung lässt sich in Abb. 2.19b durch Vergleich
mit einer ‘normalen’, hexagonalen Struktur vergleichen. Ein normales Hexagon wird beschrieben
durch die Atomfolge 7–8–9–10–11–12–7. Das Atom an Position 7 bildet den
Anfang und das Ende dieses Ringes. Durch eine Schraubenversetzung wird das Gitter

2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium 39
in der Art verändert, dass sich für ursprüngliche Hexagon nun die Atomfolge 13–2–3–
14–15–16–17 ergibt. Zwischem den Anfang und Ende dieser Struktur an den Positionen
13 bzw. 17 ergibt sich eine Lücke. Der Vektor # » 13–17 entspricht dem Burgers-Vektor und
fällt mit der Versetzungslinie zusammen. Die sich um die Versetzungslinie ergebenden
Hexagone sind verdreht, wie es in Abb. 2.19b anhand aufgedickter Linie der Atomfolge
17–4–3–14–15–16–17 dargestellt ist.
Versetzungsmultiplikation
Neben dem Gleiten bereits bestehender Versetzungen bilden sich während der plastischen
Verformung eine Vielzahl neuer Versetzungen. Die Ausgangsversetzungsdichte (Versetzungsdichte
vor Beginn der Verformung) kann dabei um mehrere Zehnerpotenzen ansteigen.
Unter der Versetzungsdichte versteht man die Versetzungslinienlänge im Werkstoff
je Volumen. Eine Erhöhung der Versetzungsdichte muss damit nicht zwingend eine Erhöhung
der Einzelversetzungsanzahl bedeuten, sondern kann auch durch Vergrößerung
der vorhanden Versetzungslinien erfolgen. Die Versetzungsdichte von Silizium kann bei
plastischer Verformung von anfangs nahezu versetzungsfreien Material bzw. Material mit
einer Ausgangsversetzungsdichte von rund 10 4 cm −2 auf rund 10 8 bis 10 9 cm −2 ansteigen.
Grund hierfür sind verschiedene im Werkstoff wirkende Versetzungsquellen. Eine
der wohl bekanntesten Versetzungsquellen arbeiten nach dem sogenannten Frank–Read-
Mechanismus (vlg. Abb. 2.20). In der Gleitebene liegt eine an zwei Hindernissen verankerte
Versetzungslinie AB. Die Hindernisse können andere Versetzungslinien, Ausscheidungen,
a) b)
A
â
B
ã
C
á
A
â
A
â
B
ã
C
á
A
â
Abb. 2.18: Vollständige 60 ◦ –Versetzungen. Ansicht projeziert auf die (1¯10)–Ebene. a) In der Gleitebene.
b) In der Mischebene.

2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium 40
a)
b)
b
s
s
Abb. 2.19: Versetzungen in der Diamantstruktur. a) 60 ◦ –Versetzung mit gekennzeichneten Richtungen
der Versetzungslinie s und des Burgers-Vektors b. b) Schraubenversetzung. Die Atomfolge
7–8–9–10–11–12–7 zeigt ein ‘normales’ Hexagon. Die Atomfolge 17–4–3–14–15–16–17 zeigt
ein verdrehtes Hexagon (aufgedickte Linien) durch die Schraubenversetzung. [22]
b
Einschlüsse oder Kristallbaufehler darstellen. Durch die einwirkende Schubspannung beginnt
sich die Versetzungslinie auszubauen. Erreicht sie einen instabilen Zustand wird
durch Annihilation der sich berührenden Versetzungsbögen ein neuer Versetzungsring abgelöst.
Das übrig gebliebene Segment AB kehrt darauf hin wieder in seine ursprüngliche
Lage zurück um durch erneutes Bauchen den Vorgang wiederholen zu können. [49]
Der Frank–Read-Mechanismus ist die dominante Form der Versetzungsmultiplikation bei
Werkstoffen mit hoher Ausgangsversetzungsdichte. Bei anfangs versetzungsfreiem Material
wäre diese Form jedoch aufgrund der wenigen vorhanden Versetzungen nicht sehr
effektiv. Hier kommen zu Beginn der plastischen Verformung andere Versetzungsquellen
zum tragen. Schäfer [48] konnte durch Ritzversuche an Probenoberflächen nachweisen,
dass Oberflächenfehler eine Versetzungsquelle bilden. Dadurch kommt es verstärkt am
äußeren Rand der Probe zu einer Versetzungsmultiplikation, während das Probeninnere
relativ versetzungsfrei bleibt [42]. Durch fortschreitende Deformation wandern diese Versetzungen
dann in das Probeninnere. Bei den heutigen Wafern aus Silizium kann aber
durch chemische Behandlung und Feinpolitur von einer fehlerfreien Oberfläche ausgegangen
werden. Daher müssen für diese Wafer andere Versetzungsquellen aktiviert werden.
Auch können an Ausscheidungen wie SiO 2 in sauerstoffhaltigen Silizium sowie an
Doterierungselementen Versetzungen entstehen. Da die Dotierung im wesentlichen die
elektrischen Eigenschaften der Wafer bestimmt kann angenommen werden, dass sie die
dominanten Versetzungsquellen in heutigen monokristallinen Wafern mit nahezu verset-

2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium 41
ô
A
A
A
A
B
B
B
B
Abb. 2.20: Versetzungsmultiplikation mittels des Frank–Read-Mechanismus.
zungsfreiem Werkstoff darstellen.
Orowan [41] stellte hierbei eine Beziehung zwischen der Versetzungsdichte mobiler Versetzungen
N m , der Versetzungsgeschwindigkeit υ und der Abgleitgeschwindigkeit ȧ auf. Er
betrachtete als erster die plastische Deformation als dynamischen Prozess. Er beschrieb
die plastische Dehnungsgeschwindigkeit mit der Dichte mobiler Versetzungen N m und dem
Betrag des Burgers-Vektors b nach folgende Beziehung
ȧ = b N m υ (2.4.1)
Eine alternative Formulierung ist durch
ȧ = b Ṅm χ (2.4.2)
möglich mit χ als der mittleren freien Weglänge der Versetzungen und Ṅm als der zeitlichen
Änderung der mobilen Versetzungsdichte. Diese Formulierung resultiert aus der
Tatsache, dass im Allgemeinen weder die Versetzungsdichte noch die Versetzungsgeschindigkeit
während des Verformungsprozesses als konstante Größen angenommen werden
können.
Peierls-Mechanismus
Die Versetzungsbewegung unterliegt im Werkstoff einigen Einschränkungen. Peierls [43]
postulierte eine Einschränkung der Versetzungsbewegung einer Versetzungslinie durch ein
periodisches Potential, welches sich mit einer Periodizität von Betrag des Burgers-Vektors
wiederholt. Dieses Peierlspotential besitzt ein Potentialtal und einen Potentialwall. Ei-

2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium 42
ô
1
2
2
Abb. 2.21: Peierls-Mechanismus der Versetzungsbewegung mittels Kinkpaarbildung. ❥ 1 Kinkbildung.
❥2 Kinkausbreitung.
ne Versetzung strebt eine energetisch günstige Position an und befindet sich daher im
Potentialtal (Gleichgewichtslage). Um gleiten zu können muss die Versetzung aus dem
Potentialtal über den Potentialswall herausgehoben werden in nächste Potentialtal. Für
die dichtgepacktesten Ebenen mit den dichtgepacktesten Richtung ist der Potentialwall
am niedrigsten. Gleitvorgänge werden bevorzugt in diesen System stattfinden. Eine Bewegung
der Versetzungslinie als Ganzes erweist sich jedoch als energetisch ungünstig, weshalb
zunächst ein kurzes Segment über den Potentialwall gehoben wird. Begrenzt wird
das Segment von zwei Knicken der Versetzungslinie in der Gleitebene. Ein solcher Knick
wird als Kinke bezeichnet [31]. Da es zur Bildung von zwei Kinken kommt, spricht man
von Kinkpaaren. Nach deren Bildung entfernen sich die Einzelkinken von einander (Migration
bzw. Kinkdiffusion). Bei dieser Bewegung entlang der Versetzungslinie haben die
Kinken ebenfalls ein Potentialreflief zu überwinden (Peierlspotential zweiter Ordnung),
was gegenüber dem Heben der gesamten Versetzung mit einer niedrigeren Energie verbunden
ist. Die Versetzungsbewegung erfolgt somit durch segmentweises Herausheben
der Versetzungslinie über den Potentialwall (siehe Abb. 2.21) und ist abgeschlossen mit
der Annihilation der Kinken am Ende der Versetzungslinie (Versetzungslinien enden an
den Oberflächen der Kristalle oder bilden Versetzungsringe) oder durch Zusammentreffen
zweier entgegengesetz polarisierter Kinken. Der Vergleich der Aktivierungsenergie der
Versetzungsbewegung einer Schraubenversetzung mit der Bildungsenergie eines Kinkpaares
zeigt gute Übereinstimmung [5, 35]. Die Bildungsenergie konnte zwischen 2,2..2, 4 eV

2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium 43
bestimmt werden [5, 58]. Schäfer [48] wies zudem nach, dass die Aktiveriungsenergie
für eine 60 ◦ –Versetzung und eine Schraubenversetzung nahezu gleich sind. Die Versetzungsbewegung
in Silizium bei hohen Temperaturen wird somit hauptsächlich durch den
Überwindungsprozess des Peierlspotentials bestimmt.
Zur Bestimmung der Größe der Streckgrenze ist es nunmehr nur noch erforderlich die
Größe der kritischen Schubspannung zu bestimmen, welche nötig ist um ein Gleitsystem
zu aktivieren. Die minimale Spannung um eine Versetzung zu bewegen, ist die Peierls-
Spannung zur Überwindung des Peierls-Potentials. Bei Untersuchungen bei hohen Temperaturen
zeigt sich jedoch in der Regel, dass die kritische Schubspannung unterhalb der
Peierls-Spannung liegt. Da der Peierls-Mechanismus einer thermisch aktivierter Prozess
ist, kann durch das heftige Schwingen der Atome bei hohen Temperaturen das Peierls-
Potential leichter überwunden werden. Bei Raumtemperatur verhält sich Silizium spröde,
d. h. dass die Streckgrenze größer als die Bruchspannung des Werkstoffes ist. Der Werkstoff
wird ohne plastische Dehnung brechen. Mit zunehmender thermischer Aktivierung
tritt ab einem bestimmten Temperaturbereich plastische Deformation auf und das Werkstoffverhalten
wechselt von spröde zu duktil. Man spricht vom spröd–duktil-Übergang
bzw. von der englischen Bezeichnung brittle–ductile transition (BDT). Dieser Übergang
ist jedoch stark abhängig von den Umgebungsbedingungen und lässt sich daher nicht
auf einen genauen Wert festlegen. Die spröd–duktil-Übergangstemperatur liegt in einem
Bereich von etwa T BDT = 700..800 ◦ C. [18]
Versetzungsgeschwindigkeit
Die Messung der Geschwindigkeit von Versetzungen erfolgt mittels eines chemischen Anätzens
niedrig indizierter Oberflächen, um die Durchstoßpunkte der Versetzungen als Ätzgrübchen
sichtbar zu machen [12, 26]. Nachdem in einem ersten Ätzvorgang die Lage der
Versetzungen bestimmt wurde wird die Probe anschließend für die Dauer einer festgelegten
Zeit belastet. Bei einem anschließenden zweiten Ätzvorgang kann die neue Lage
der Versetzungen bestimmt werden. Aus der so ermittelten Weglänge und der Dauer der
belastung wird die Versetzungsgeschwindigkeit jeder Versetzung bestimmt und über al-

2.4.2 Versetzungsbildung und Versetzungsbewegung in Silizium 44
le Versetzungen gemittelt. Die so ermittelte Versetzungsgeschwindigkeit ist jedoch eine
Funktion in Abhängigkeit von sowohl der angelegten Schubspannung τ, also auch der
Temperatur T . Eine Änderung der Versuchstemperatur zeigt dabei eine große Beeinflussung
der Geschwindigkeit [48]. Die Temperatur stellt einen einfach zu regulierenden
Parameter dar. Schwieriger zu regulieren ist dagegen die Schubspannung. Chaudhuri et
al. [12] haben eine Abhängigkeit von der Schubspannung nach υ ∝ τ m bestimmt. Der
Faktor m wird als Spannungsexponent bezeichnet und nimmt für Halbleiter Werte zwischen
1 und 2 an. Alexander und Haasen [5] gehen in ihrem Modell davon aus, dass sich
die Versetzungen entsprechend des Peierls-Mechanismus mit Hilfe der Kinkpaarbildung
bewegen. Unter dieser Voraussetzung und der weiteren Annahme, die von der angelegten
Spannung verrichtete Arbeit sei klein gegenüber dem thermischen Beitrag zur Kinkpaarbildung,
erhalten sie für die Versetzungsgeschwindigkeit υ den Ausdruck
υ = B(T ) τ m (2.4.3)
Der Term B stellt eine Funktion von der Temperatur dar und ist ein Maß für die Beweglichkeit
von Versetzungen und durch
(
B(T ) = B 0 exp − U )
k T
(2.4.4)
gegeben. Zusammen mit Gl. (2.4.3) ergibt sich somit für die Versetzungsgeschwindigkeit
folgende Beziehung
(
υ = B 0 τ m exp − U )
k T
(2.4.5)
Hier ist U die Aktiverungsenergie, welche sich aus der Energie zur Bildung und Ausbreitung
der Kinkpaare zusammensetzt. Die Konstante k bezeichnet die Boltzmann-Konstante
und B 0 ist eine empirische Konstante.

2.4.3 Untersuchung der Verformungsdynamik 45
2.4.3 Untersuchung der Verformungsdynamik
Unter der Verformungsdynamik versteht man die makroskopische Deformation des Einkristalls
in Abhängigkeit von der Zeit. Zur Bestimmung des Verformungsverhaltens eines
Werkstoffes führt man experimentelle Untersuchungen durch, bei denen zum einen
die Fließspannung τ (herrschende Schubspannung im aktiven Hauptgleitsystem) und zum
anderen die Abgleitung a als Funktion der Zeit ermittelt werden. Da eine gleichzeitige Bestimmung
beider Parameter zu komplex wäre, ist es gebräuchlich eine Variable während
des Versuchs konstant zu halten. Daraus ergeben sich zwei unterschiedliche Versuchsarten,
welche folgend für diese Arbeit als statischer und dynamischer Versuch definiert werden.
Im statischen Versuch, dem sogenannten Kriechversuch, wird auf die Probe eine Last
aufgebracht und während der Versuchsdauer konstant gehalten, τ = const. Es erfolgt die
Messung der Abgleitung a bzw. der Abgleitgeschwindigkeit ȧ. Im Gegensatz dazu wird bei
der dynamischen Versuchsart die Abgleitgeschwindigkeit konstant gehalten (ȧ = const.)
und gemessen wird die Beziehung zwischen der angelegten Spannung σ bzw. der daraus
resultierenden wirkenden Schubspannung τ und der Dehnung ε bzw. Abgleitung a im
Kristall. Typische Ergebnisse der beiden Versuchsarten zeigt Abb. 2.22. In beiden Fällen
erfolgt eine Messung der Dehnungen als Summe aus elastischem und plastischem Anteil.
Der plastische Anteil ergibt sich durch Abziehen der elastischen Anteile von der Gesamtdehnung.
[5]
a
a) ô b)
ô III
a W
t W t
ô uy
ô
ô II
I
ô ly
a uy a ly
Abb. 2.22: Experimentelle Untersuchung der Verformungsdynamik. a) Statische Versuchsart (Kriechversuch).
b) Dynamische Versuchsart.
a

2.4.3 Untersuchung der Verformungsdynamik 46
Die aus den Versuchen direkt gewonnen Größen für Spannung und Dehnung müssen jedoch
für eine Vergleichbarkeit der Ergebnisse auf die in den Hauptgleitebenen wirkenden
Schubspannungen und Abgleitungen umgerechnet werden, da die werkstoffspezifischen
Größen abhängig von der Orientierung der Proben sind. Das Schmid’sche Schubspannungsgesetz
[18, 21] stellt eine solche Beziehung her. Plastische Verformung setzt mit
dem Erreichen oder Überschreiten einer Grenzspannung, der Streckgrenze ein. Durch unterschiedliche
Orientierungen der Proben kann der Wert der Streckgrenze jedoch variieren.
Der Beginn der plastischen Verformung ist mit einer massiven Versetzungsbewegung verbunden.
Die Versetzungsbewegung wird infolge einer Krafteinwirkung in der Gleitebene
in Richtung des Burgers-Vektors ausgelöst. Für die Versetzungsbewegung und damit den
Beginn der plastischen Verformung ist also die in der Gleitebene resultierende Schubspannung
maßgeblich, die einen kritischen Wert erreicht oder überschreitet. Mit zunehmender
Temperatur wird durch den thermisch aktivierten Prozess der Versetzungsbewegung die
notwendige kritische Schubspannung reduziert. Das Schmidsche Schubspannungsgesetz
wird durch die Gleichungen
τ = µ σ (2.4.6)
bzw.
da = 1 dε (2.4.7)
µ
dargestellt [42]. Hier bereichnet µ den Schmid-Faktor, welcher sich (siehe Abb. 2.23) mit
α als dem Winkel zwischen der Probenorientierung und der Gleitebenennormalen und β
als dem Winkel zwischen der Probenorientierung und der Gleitrichtung nach Gl. (2.4.8)
berechnet.
µ = cos α cos β (2.4.8)
Bei einer vorgegebenen Kristallorientierung der Probe können die Schmidfaktoren aller
Gleitsysteme berechnet werden. Das System, welches den größten Schmid-Faktor aufweist,

2.4.3 Untersuchung der Verformungsdynamik 47
F
ô
â
á
n
F
Abb. 2.23: Definition des Schmidfaktors als Teil der Kristallplastizität. Winkelbeziehungen zwischen
der Probenorientierung (in Zugrichtung), der Gleitebenennormalen n und der Gleitrichtung.
wird als erstes System die kritische Schubspannung (alle Gleitsysteme besitzen die gleiche
kritische Schubspannung) erreichen und daher als Hauptgleitsystem bezeichnet. Man
spricht von Einfachgleitung. Es besteht ebenfalls die Möglichkeit, dass mehrere Systeme
den gleichen Schmid-Faktor besitzen. In diesem Fall tritt Doppel- oder Mehrfachgleitung
auf.

3 Plastizität in Silizium 48
3 Plastizität in Silizium
Im wissenschaftlichen Erkenntnisprozess über das Werkstoffverhalten bildet die Modellbildung
eine wichtige Arbeitsmethode in der Ingenieursarbeit. Die Modelle der Werkstoffmechanik
sollen dabei das reale Werkstoffverhalten möglichst wirklichkeitsnah abbilden.
Eine exakte Abbildung ist aber meist nicht möglich, da ein realer Werkstoff nicht über das
gesamte Volumen konstante Eigenschaften besitzt und dies zu lokal beschränkten Effekten
führt. Im Verlauf der Modellbildung müssen daher bewusst wesentliche Erscheinungen
herausgehoben werden, wohingegen weniger bedeutende Erscheinungen vernachlässigt
werden. Die Entscheidung darüber muss zumeist anfangs subjektiv getroffen werden und
erst ein anschließender Vergleich des Modells mit realen, experimentell ermittelten Werten
kann diese Entscheidung objektivieren. Die gesetzte Zielstellung bestimmt dabei die
Genauigkeit des Approximationsgrades. Zur Analyse des Deformationszustandes werden
zunächst lokale Effekte nicht berücksichtigt. Es erfolgt eine Mittelung (Homogenisierung)
des Werkstoffes über das gesamte Volumen. Dies führt dazu, dass die entwickelten Modelle
noch einfach zu handhaben, jedoch in ihrer Aussagekraft deutlich eingeschränkt sind. Hinzunahme
weiterer lokaler Erscheinungen verbessert die Genauigkeit der Approximation,
führt aber gleichfalls zu einer Aufwandssteigerung im Lösungsprozess der Modellgleichungen.
Der klassische Weg der Modellbildung führt vom physikalischen zum mathematischen
Modell. Die physikalischen Modelle basieren auf experimentellen Untersuchungen des zu
modellierenden Werkstoffes. Auftretende Effekte werden theoretisch betrachtet, beschrieben
und in Gleichungen formuliert. Mathematische Modelle hingegen sind weitestgehend
als allgemein gültige Gleichungen aufzufassen, welche für den speziellen Fall angepasst
werden. Es werden dabei mathematische Beziehungen zwischen abhängigen und unabhängigen
Variablen hergestellt, welche den Spannungs-Dehnungs-Verlauf beschreiben. Die
Anpassung der mathematischen Gleichungen an die realen Kurvenverläufe geschieht mittels
der Definition von Koeffizienten. Diese repräsentieren werkstoffspezifische Größen und

3 Plastizität in Silizium 49
müssen experimentell ermittelt werden.
In dem folgenden Kapitel sollen die Grundlagen der Modellbildung des mechanischen
Werkstoffverhaltens bzw. der mechanischen Eigenschaften von Silizium dargestellt werden.
Die in den Grundlagen vorgestellten Stoffmodelle finden bei der Modellierung der
Plastizität von Silizium kaum Anwednungen. Dies mag mit den komplexen Abhängigkeiten
der Beziehungen zwischen Spannungen und Dehnungen in Zusammenhang gebracht
werden. Stattdessen erfolgt die Modellierung im Rahmen des von Alexander und Haasen
entwickelten Modells [5]. Dieses 1969 entwickelte Modell stellt das heute immer noch
dominante Konzept für Silizium (und andere Werkstoffe mit Diamantstruktur) in der
Ingenieurspraxis dar.
Die folgenden Aussagen dieser Arbeit, insbesondere über die Versetzungsbewegung im
Werkstoff, beziehen sich auf monokristallines Silizium. Bei multikristallinen sind weitere
Effekte mit einzubeziehen, wie die Behinderung der Versetzungsbewegung durch die
vorhanden Korngrenzen. Sowohl die Art Einflusses als auch deren Ausmaß bei der Betrachtung
multikristallinen Siliziums auf die Spannungs-Dehnungs-Kurve konnten mit der
verwendeten Literatur nicht bestimmt werden.
3.1 Materialmodell nach Alexander und Haasen
Das Modell von Alexander und Haasen beschreibt das Deformationsverhalten von Halbleiterkristallen
mit Diamantstruktur bei niedriger Ausgangsversetzungsdichte. Es stellt
allgemeine Beziehungen zwischen plastischer Deformation und dem daraus resultierenden
Spannungsverlauf unter Beachtung des dynamischen Verhaltens der Versetzungsbewegung
und Versetzungsmultiplikation dar. Die Zusammenhänge wurden aus experimentellen Untersuchungen
zum plastischen Verhalten von Silizium und Germanium, aber auch anderen,
der Diamantstruktur ähnlichen Werkstoffen wie Indium-Antimonid gewonnen. [5]
In den Grundlagen (siehe Abs. 2 wurde die Streckgrenze als der Punkt definiert, bei
dem Spannung und Dehnung durch einsetzendes plastisches Fließen die linear anteigen-

3.1.1 Beschreibung des Streckgrenzenbereiches 50
de Hooke’sche Gerade verlassen. Um in dem folgenden Abschnitten Missverständnisse zu
vermeiden, muss daher die Streckgrenze neu definiert werden. Ausgehend von experimentellen
Ergebnissen versteht man unter dem Streckgrenzenbereich ein auftretendes lokales
Maximum, als obere Streckgrenze bezeichnet, mit anschließendem lokalen Minimum, der
unteren Streckgrenze, in der Spannungs-Dehnungs-Kurve.
3.1.1 Beschreibung des Streckgrenzenbereiches
Unabhängig von der experimentellen Versuchsart (Zug-, Druck-, Biege- oder Torsionsversuch)
ergibt sich stets der prinzipielle Verlauf der Spannungs–Dehnungs–Kurve bei
dynamischer Versuchsart, wie er in Abb. 3.1 dargestellt ist. Zu Beginn erfolgt ein linearer
Anstieg der Spannung, welcher im Sinne des Hooke’schen Gesetzes durch den Elastizitätsmodul
bzw. bei Betrachtung der in den Hauptgleitebenen wirkenden Schubspannungen
durch den Gleitmodul G bestimmt wird. In dem Kristall mit wenigen eingewachsenen
Versetzungen (Ausgangsversetzungsdichte ist gering) kann eine konstante Dehnungsgeschwindigkeit
entsprechend der Proportionalität ȧ ∝ υ nach Gl. (2.4.1) nur dann erreicht
werden, wenn die Deformationgeschwindigkeit ˙τ/G groß ist. Daraus resultiert eine große
wirkende Schubspannung und es ergibt sich aus Gl. (2.4.5) für die vorhandenen Versetzungen
eine hohe Versetzungsgeschwindigkeit. Dies deckt sich ebenfalls mit der Vorstellung,
dass die wenigen vorhanden Versetzungen nahezu ungehindert im Kristall wandern könô
ô uy
ô ly
a uy a ly
Abb. 3.1: Darstellung des Streckgrenzenbereiches beim Übergangs vom elastischen zum plastischen Materialverhalten.
Markiert sind die Schubspannungen und Gleitungen für die obere (τ uy ,a uy )
und untere Streckgrenze (τ ly ,a ly ).
a

3.1.1 Beschreibung des Streckgrenzenbereiches 51
nen. Ab etwa 2/3 der oberen Streckgrenze steigt die Spannung nicht mehr linear mit der
elastischen Dehnung an. Der Ansteig dτ/da flacht merklich ab und durchwandert schließlich
ein lokales Maximum. Die obere Streckgrenze τ uy (upper yield point) ist erreicht.
Durch die bereits beschriebenen Mechanismen der Versetzungsmultiplikation beginnt in
diesem Bereich eine starke Vergrößerung der ursprünglichen Versetzungsdichte. Bei Erreichen
der oberen Streckgrenze konnten bereits bei Proben mit anfänglich etwa 10 4 cm −2
durch Messungen der Ätzgrübchendichte Versetzungsdichten von 10 7 bis 10 8 cm −2 festgestellt
werden [5]. Nach dessen Überschreitung fällt die Spannung ab. Der Abfall geschiet
aber nicht abrupt, sondern sinkt kontinuierlich über einen Bereich von etwa 1 % Dehnung.
Der genaue Mechanismus für den Spannungsabfall ist nach, in dieser Arbeit verwendeten
Literaturstand nocht nicht geklärt. Bis zur oberen Streckgrenze scheint eine Art von
Barriere die Versetzungsbewegung zu unterbinden. Durch die immer weiter ansteigende
Spannung beginnen zunächst einzelne Versetzungen unter günstigeren Bedingungen zu
wandern. Dies könnte das Abflachen des Kurvenanstieg vor Erreichen der oberen Streckgrenze
erklären. Ab einem entsprechend hohem Spannungsniveau bricht dann die Barriere
auf und Versetzungsbewegung beginnt lawinenartig zu starten. Das Gitter kann nun die
zuvor aufgestauten Spannungen durch Versetzungsbewegung abbauen. Durch die große
Versetzungsdichte beginnen die Versetzungen in Wechselwirkung miteinander zu treten.
Bei ihrer Bewegung behindern sie sich gegenseitig durch Schneiden von Versetzungslinie
oder Aufstauen an Hindernissen. Ebenfalls bauen die Versetzungen große Gitterverzerrungen
auf, welche in Eigenspannungsfelder um die Versetzungen resultieren. Diese müssen
von den anderen Versetzungen überwunden werden und wirken der Geschwindigkeit der
Versetzungen entgegen. Nach der Reduzierung der Spannung durchläuft die Spannungs–
Dehnungs–Kurve ein lokales Minimum. Die untere Streckgrenze τ ly (lower yield point)
kann in Verbindung mit einem ausgeprägtem Streckgrenzenbereich stehen, bei dem ohne
Verfestigungserscheinungen über einen Dehnungsbereich die Spannung nicht merklich
ansteigt und folgt aus einer inohomogenen Deformation des Kristalls durch Bildung und
Ausbreitung von Lüdersbändern. An die untere Streckgrenze schließt sich der Bereich der
Materialverfestigung an, welcher im später folgenden Abschnitt 3.1.4 genauer beschrieben
werden soll.

3.1.2 Theorie der Anfangsverformung 52
Nach der Ansicht von Alexander und Haasen [5] beruht der Effekt des Streckgrenzenmaximums
in Kristallen mit Diamantstruktur auf dem Johnsten–Gilman-Effekt. Nach dieser
Theorie führt die geringe Ausgangsversetzungsdichte zu größtenteils elastischen Dehnungen,
weshalb ein schneller Anstieg der Spannung stattfindet und die Versetzungen sich
entsprechend schnell bewegen. Gleichzeitig nimmt auch durch Versetzungsmultiplikation
die Versetzungsdichte zu [4]. Andere Effekte wie der Cotrell-Effekt, welcher auf dem Loslösen
der Versetzungen an wolkenförmigen Ansammlungen von Verunreinigungen beruht,
scheinen aufgrund der hohen erreichbaren Reinheiten des monokristallinen Siliziums im
Czochralski- oder FZ-Verfahren nicht in Frage zu kommen. Experimentelle Untersuchungen
zeigten zudem eine Reihe von Faktoren, welche das Auftreten und das Ausmaß der
oberen und unteren Streckgrenze in Silizium entscheidend beeinflussen:
i) Temperatur T ,
ii) Abgleitgeschwindigkeit ȧ,
iii) mechanische Härte des Werkstoffes,
iv) Orientierung der Proben,
v) Ausgangsversetzungsdichte des Kristalls,
vi) Grad der Verformungsinhomogenität.
3.1.2 Theorie der Anfangsverformung
Besonders der Bereich erster plastischer Verformungen, bestimmt durch das Auftreten
einer oberen und unteren Streckgrenze, unterscheidet sich stark von dem anderer Werkstoffe.
Durch die stark ablaufende Versetzungsmultiplikation im Bereich der oberen Streckgrenze
kann von einer großen Beeinflussung dieser untereinander ausgegangen werden. In
dem folgenden Abschnitt soll daher die Multiplikationsrate der Versetzungen sowie deren
Wechselwirkung genauer betrachtet werden.

3.1.2 Theorie der Anfangsverformung 53
Effektivspannung
Wie bereits zuvor erwähnt, beginnen die Versetzungen mit zunehmender Anzahl in Wechselwirkung
miteinander zu treten. Eine statistische Verteilung von N parallelen Versetzungen
bewirken eine mittlere innere Schubspannung nach
τ i =
G b
2π (1 − ν) N 1 2 (3.1.1)
Hier ist G der in dem Hauptgleitsystem wirkende Schubmodul, eine werkstoffspezifische
und gleichfalls von der Temperatur abhängige Größe, b der Betrag des Burgers-Vektors,
ν ist die Poisson-Zahl und N die Gesamtversetzungsdichte. Die Beachtung der inneren
Schubspannung ist wichtig, da sie bereits nach sehr kleinen Deformationen eine Größenordnung
vergleichbar mit der aufgebrachten Schubspannung τ erreicht. Innerhalb des
Kristalls wirkt die innere Schubspannung der aufgebrachten Schubspannung entgegen.
Unter der Bedingung, dass die Versetzungsbewegung fortschreiten muss, um plastische
Deformation zu ermöglichen, führt Haasen [19] eine effektive Schubspannung ein, welche
die maßgebende Spannung ist um Versetzungsbewegung zu ermöglichen
τ eff = τ − τ i (3.1.2)
Gl. (3.1.1) lässt sich nun in Gl. (3.1.2) einsetzen
τ eff = τ −
G b
2π (1 − ν) N 1 2 (3.1.3)
Um den entstanden Ausdruck zu vereinfachen, wird aus dem Term bestehend aus Schubmodul,
Poisson-Zahl und Betrag des Burgers-Vektors ein Verfestigungsfaktor A definiert
A =
G b
2π (1 − ν)
(3.1.4)
Damit folgt aus Gl. (3.1.3)
τ eff = τ − A N 1 2 (3.1.5)

3.1.2 Theorie der Anfangsverformung 54
Der Verfestigungsfaktor A charakterisiert die Veränderungen der Werkstoffeigenschaften
bei plastischer Verformung durch Verfestigung. Die Verfestigung zeigt sich durch eine
Erhöhung der Fließspannung bzw. eine Erhöhung des Widerstandes gegen eine Verformung,
welcher durch zunehmende Gitterverzerrung folgt. Der Verfestigungsfaktor lässt
sich durch experimentelle Untersuchungen ermitteln.
Multiplikationsgesetze
Bereits kleine Dehnungen führen bei Halbleitern mit Diamantstruktur zu einem erheblichen
Anstieg der Versetzungsdichte um mehrere Zehnerpotenzen. Eine allgemeine Beziehung
der Versetzungsdichte in Abhängigkeit von der Dehnung bzw. Abgleitung N (a)
existiert aber nicht [5]. Es zeigen sich Unterschiede bei der Wahl der Versuchsart, statischer
oder dynamischer Versuch. Bei letzt genannter Versuchsart erweitert sich die Abhängigkeit
in Bezug auf die Abgleitgeschwindigkeit. Grund hierfür sind die wirkenden Multiplikationsmechanismen.
Grundsätzlich existieren zwei voneinander verschiedene Prozesse der
Versetzungsmultiplikation:
i) Das Wirken statischer (ortsunveränderlicher) Versetzungsquellen, wie z. B. Frank–
Read-Quellen oder Oberflächenfehler, welche während des Vorgangs der plastischen
Verformung unveränderlich sind.
ii) Die Evolution der Versetzungen.
Letztgenannter Prozess beschreibt die Multiplikationsrate beweglicher Versetzungen in
Proportionalität zu ihrer Bewegungslänge und dem bereits zurückgelegten Weg
dN = N m υ δ dt (3.1.6)
Das Multiplikationsgesetz nach Gl. (3.1.6) zeigt, dass die zeitliche Änderung der Versetzungsdichte
von der mittleren Versetzungsgeschwindigkeit υ, der mobilen Versetzungsdichte
N m und von einem Multiplikationsfaktor δ abhängig ist. Nach Peissker et al. [44] ist

3.1.2 Theorie der Anfangsverformung 55
dieser Faktor entsprechend abhängig von der effektiven Schubspannung und einer Konstanten
K, welche eine werkstoffspezifische Größe darstellt und experimentell ermittelt
werden muss.
δ = K τ eff (3.1.7)
Modellgleichungen
Mit Hilfe der Gleichungen (2.4.3), (2.4.4) und (3.1.7) ist es nun möglich, die explizit angegebenen
Gleichungen (2.4.1) und (3.1.6) genauer zu definieren. Hierzu sind aber noch
zwei Annahmen zu treffen. Entsprechend Abschnitt 3.1.2 muss die Schubspannung τ in
Gl. (2.4.3) durch τ eff ersetzt werden, da die effektive Schubspannung im direkten Zusammenhang
mit der Bewegung der Versetzungen steht. Es ergibt sich somit
υ = B(T ) τ eff
m
(3.1.8)
In den Gleichungen (2.4.1) und (3.1.6) wird die mobile Versetzungsdichte durch die Gesamtversetzungsdichte
ersetzt, N m = N. Dieser Schritt beruht auf experimentellen Beobachtungen
und stellt eine Näherung bei kleinen Dehnungen dar. Die eingewachsene
Versetzungsdichte N 0 mit Anteilen unbeweglicher Versetzungen ist bereits bei kleinen
Dehnungen vernachlässigbar gering gegenüber der Gesamtversetzungsdichte. Bilden sich
während der Verformung unbewegliche Versetzungen aus, nehmen sie meist die Form von
Dipolen ein und tragen somit wesentlich geringer zur inneren Schubspannung bzw. zur
effektiven Schubspannung bei [5]. Diese Dipole kennzeichnen sich dadurch, dass Versetzungen
entgegengesetzten Vorzeichens sich bei genügend kleiner Entfernung zueinander
(< 10 b) durch Klettern annihilieren können. Ein vollständiger Burgersumlauf, welcher
beide Versetzungslinien enthält, liefert als Ergebnis Null. Ein Dipol erscheint somit nach
außen als ‘neutral’. Dennoch bildet er ein Spannungsfeld aus, welches aber im Gegensatz
zu einzelnen Versetzungen nach außen schneller abfällt.

3.1.2 Theorie der Anfangsverformung 56
Aus den getroffenen Annahmen folgen
ȧ ≡ da
dt = N b B(T ) ( τ − A N 1/2) m
,
(
= N b B ) (
0 τ − A N
1/2 m
exp − U ) (3.1.9)
k T
Ṅ ≡ dN
dt = N K B(T ) ( τ − A N 1/2) m+1
,
(
= N K B ) (
0 τ − A N
1/2 m+1
exp − U ) (3.1.10)
k T
Gleichung (3.1.9) und (3.1.10) sind die eindimensionalen Gleichungen des Modells von
Alexander und Haasen. Sie beschreiben die zeitliche Veränderung der Versetzungsdichte
und der Abgleitung eines Werkstoffes mit Diamantstruktur. Ihre Lösung liefert die Versetzungsdichte
bzw. die plastische Dehnung zu einem bestimmten Zeitpunkt t. Hierzu
müssen die Gleichungen nach der Zeit integriert werden
a(t) − a 0 =
N(t) − N 0 =
∫ t [
(
N b B ) (
0 τ − A N
1/2 m
exp − U )]
dt (3.1.11)
k T
t 0
∫ t [
(
N K B ) (
0 τ − A N
1/2 m+1
exp − U )]
dt (3.1.12)
k T
t 0
Aufgrund der Zeitabhängigkeit der aufgebrachten Schubspannung τ, der inneren Schubspannung
τ i = A N 1/2 und der vorhandenen Versetzungsdichte N können die Gleichungen
(3.1.11) und (3.1.12) nicht analytisch gelöst werden. Außerdem sind die beiden Gleichungen
nicht unabhängig voneinander, weshalb deren mathematische Lösung nur mittels iterativer
numerischer Methoden erfolgen kann. Eine solcher Lösungsansatz wurde in der
Dissertation von Bános [9] für die Versetzungsmultiplikation während des Kristallzüchtungsprozesses
untersucht.

3.1.3 Bestimmung der Fließspannungen aus statischen Versuchen 57
3.1.3 Bestimmung der Fließspannungen aus statischen Versuchen
Statische Versuche beschreiben die zeit- und temperaturabhängige plastische Deformation
eines Werkstoffes unter Last. Die Lasteinwirkung wird dabei während des Versuches
konstant gehalten und es ergibt sich daher für eine konstante Temperatur T die plastische
Dehnung. Der S-förmige Kurvenverlauf (siehe Abb. 3.2) lässt sich prinzipiell in
drei Bereiche unterteilen. Der Beginn ist geprägt von schnell ablaufenden Vorgängen der
Versetzungsmultiplikation und bewirkt ein Kriechen des Werkstoffes, eine mit der Zeit
fortschreitende plastische Verformung unter ruhender Last, welche durch transkristalline
Versetzungsbewegung und Leerstellendiffusion hervorgerufen wird. Die plastische Dehnung
steigt in diesem Bereich exponentiell an. Mit Zunahme der Versetzungsdichte treten
innere Schubspannung durch Wechselwirkung der Versetzungen untereinander auf. Diese
inneren Schubspannungen machen sich dadurch bemerkbar, dass die Prozesse der Versetzungsbewegung
und Versetzungsmultiplikation verlangsamt werden. Die Kriechkurve
durchschreitet ein Maximum der Abgleitgeschwindigkeit, welcher durch einen Wendepunkt
mit einem Wechsel der Kurvenkrümmung von positiv zu negativ gekennzeichnet ist.
Darauf folgend beginnt der Werkstoff mit weiterer Zunahme der inneren Schubspannung
zu verfestigen. Er nähert sich asymptotisch einen Zustand an, an dem die aufgebrachte
äußere Belastung vollständig durch die inneren Schubspannungen kompensiert wird und
die plastische Verformung somit als ‘abgeschlossen’ angesehen werden kann. Abb. 3.2 zeigt
den Verlauf einer solchen Kriechkurve. Die Koordinaten für Abgleitung und Zeit wurden
in der Darstellung auf den Wendepunkt der Kurve (a W , t W ) normiert. [5, 44]
Peissker et al. [44] führten numerische Integrationen der vorgestellten Gleichungen (3.1.11)
und (3.1.12) durch. Unter der Annahme, dass bis zum Erreichen des Wendepunktes der
Kriechkurve die inneren Schubspannungen klein sind und somit gegenüber der aufgebrachten
Last vernachlässigt werden können, A N 1/2 ≪ τ, bestimmten sie eine Beziehung für
die Versetzungsdichte im Bereich des Wendepunktes. Der Wendepunkt ist definiert durch

3.1.3 Bestimmung der Fließspannungen aus statischen Versuchen 58
Abb. 3.2: Darstellung der Kriechkurve bei statischer Versuchsdurchführung. Die Koordinaten wurden
auf den Wendepunkt (a W , t W ) normiert. [44]
die Forderung d 2 a/dt 2 = 0. Als Ergebnis erhält man
N W = N(t W ) =
( 2
m + 2
) 2
τ
(3.1.13)
A
Diese Beziehung eingesetzt in Gl. (3.1.11) liefert die stationäre Kriechgeschwindigkeit ȧ W
am Wendepunkt
ȧ W =
(
4 m m b B 0
(m + 2) m+2 A τ m+2 exp − U )
2
k T
(3.1.14)
Nach Ansicht von Alexander und Haasen [5] entspricht der Zustand am Wendepunkt der
Kriechkurve in etwa dem Zustand bei Erreichen der unteren Streckgrenze im dynamischen
Versuch. Beide Zustände sind gekennzeichnet durch ein Optimum der Versetzungsdichte,
bei dem ein Maximum der Abgleitgeschwindigkeit (statischer Versuch) bzw. Abgleitung
(dynamischer Versuch) bei einer minimalen Schubspannung erreicht wird. Die Schubspannung
an der unteren Streckgrenze τ ly (N ly = N W ) kann somit durch umstellen von
Gl. (3.1.14) ermittelt werden aus
[
]
(m + 2) m+2 1/(m+2) [
]
A 2
τ ly =
ȧ 1/(m+2) U
exp
4 m m b B 0 (m + 2) k T
(3.1.15)

3.1.4 Verformung nach der unteren Streckgrenze 59
bzw. nach weiterer Vereinfachung
τ ly = m + 2
m
( ) A 2 m 2 1/(m+2) [
]
ȧ 1/(m+2) U
exp
4 b B 0 (m + 2) k T
(3.1.16)
Der Vorfaktor, welcher sich aus Spannungsexponent m, Verfestigungsfaktor A, Betrag
des Burgers-Vektor b und Beweglichkeitskonstanten B 0 , kann zu einer Konstanten C y ,
welche ebenfalls wie die darin enthaltenen Größen eine werkstoffspezifische Größe darstellt
und experimentell ermittelt werden muss. Damit kann eine allgemein gültige Form von
Gl. (3.1.16) angegeben werden
[ ] U
τ y = C y ȧ 1/n exp
n k T
(3.1.17)
mit dem zusammengefassten Exponenten n = m + 2. Gleichung (3.1.17) gilt gleichfalls
für die obere und untere Streckgrenze, da der Wert von n verschieden ist. Zwischen dem
Spannungsexponent n, der Aktivierungsenergie der Fließspannung U y = U/n und der Aktivierungsenergie
der Versetzungsbewegung U besteht ein theoretischer Zusammenhang
für beide Streckgrenzen. Da sich der Mechanismus der Versetzungsbewegung nicht ändert,
erwartet man bei einer konstanten Temperatur, dass die Aktivierungsenergie für die
Versetzungsbewegung in beiden Streckgrenzenpunkten gleich ist. Es folgt daraus, dass
n ly U ly = U = n uy U uy (3.1.18)
gilt. Diese Tatsache konnte bereits vielfach in Experimenten beobachtet werden [15, 42,
50, 53, 55, 57].
3.1.4 Verformung nach der unteren Streckgrenze
Der weitere Verlauf der Spannungs-Dehnungs-Kurve nach Überschreitung der unteren
Streckgrenze ist gekennzeichnet durch fortschreitende Materialverfestigung und Kristallerholung.
Die Ermittlung des Kurvenverlaufes erfolgt ebenfalls in dynamischer Versuchs-

3.1.4 Verformung nach der unteren Streckgrenze 60
Abb. 3.3: Spannungs-Dehnungs-Kurve von undotierten Silizium-Kristallen in 〈123〉–Richtung im Druckversuch.
Kurve a bei T = 1300 ◦ C, Kurve a bei T = 1000 ◦ C. [23]
weise. Das Ergebnis wird zumeist auch als Verfestigungskurve bezeichnet und beschreibt
die nötige Spannung, welche aufgebracht werden muss, um ein weiteres Abgleiten mit
kontstanter Abgleitgeschwindigkeit zu gewährleisten. Wie in Abb. 3.3 ersichtlich ist, unterscheidet
man 5 Bereiche der Verfestigungskurve. Im Kurvenverlauf b ist Bereich
charakterisiert durch eine kleine, konstante Verfestigungsrate Θ I = dτ/da und geht über
in Bereich
❧ II , welcher eine deutlich größere, aber dennoch konstante Verfestigungsrate
Θ II aufweist. Es schließt sich für Kurve b ein Bereich
❧ III an, der einen abflachenden Kurvenverlauf
zeigt und als der Bereich erster dynamischer Erholung zu betrachten ist. Kurve
b repräsentiert den Verlauf der Verfestigungskurve bei niedrigeren Temperaturen, wobei
niedrig hier meint, dass die Temperatur ausreichend hoch ist um plastische Deformation
zu ermöglichen. Bei höheren Temperaturen, oberhalb von 80 % der Schmelztemperatur
T S [23], ist die Existenz weiterer Bereich erkennbar. In Kurve a aus Abb. 3.3 schließt sich
an
III ❧ ein weiterer Bereich IV ❧ an, welcher durch erneute Verfestigung bei konstanter
Verfestigungsrate gekennzeichnet ist und in einen Bereich ❧ V erneuten Abflachens des
Verlaufes übergeht, der zweiten dynamischen Kristallerholung.
Die genauen mikrostrukturellen Zusammenhänge, welche zu diesen Stadien der Materialverfestigung
führen, sind indess noch nicht eindeutig geklärt. Nach Gindin et al. [17]
❧ I

3.1.4 Verformung nach der unteren Streckgrenze 61
sind die Bereiche vor Eintreten erster dynamischer Erholung, bedingt durch eine intesive
Versetzungsbewegung in primären und sekundären Gleitebenen, gekennzeichnet lokale
Strukturen mit Gruppen wirr angeordneter unbeweglicher Versetzungen. Diese stellen zusammen
mit Versetzungsdipolen erhebliche Hindernisse für die Bewegung einzelner mobiler
Versetzungen dar. Zur Überwindung der Hindernisse ist eine höhere Energie nötig.
Als Folge daraus steigt die Spannung an. Ab einem gewissen Spannungsniveau tritt ein
weiterer Mechanismus in Kraft, welcher auf Eigendiffusion basiert, dem Versetzungsklettern
[56]. Durch Einlagerung von Leerstellen in den Gitterhalbebenen der Versetzungen
wird es den Stufenversetzungen ermöglicht, ihre Lage zu verändern und energetisch günstigere
Positionen einzunehmen. Da dieser Prozess zu einer Entzerrung des Gitters führt
werden elastische Spannungen abgebaut und der Kurvenverlauf flacht ab. Ein, dem Versetzungsklettern
ähnlicher Prozess ist nach Ansicht von Siethoff [54] für das Auftreten
der zweiten dynamischen Kristallerholung verantwortlich. Das Quergleiten von Schraubenversetzungen.
Dies ist ein thermisch aktivierter Vorgang, weshalb er unterhalb von
0,8 T S nicht auftritt. Hier nehmen durch Umordnung die Schraubenversetzungen energetisch
günstigere Positionen ein und bauen elastische Spannungen durch Gitterentzerrung
ab. Der verfestigende Bereich dazwischen ist laut Siethoff [56] durch die Überlagerung von
Kletter- und Quergleitprozessen zu erklären. Die 60 ◦ -Versetzungen treten mit Schraubenversetzungen
in den primären und sekundären Gleitebenen in Wechselwirkung und bilden
auf diese Weise ein stabiles, hexagonal angeordnetes Versetzungsnetzwerk aus, welches
zum einen Versetzungen bindet, zum anderen ein Hindernis für andere gleitfähige Versetzungen
darstellt.
3.2 Experimentelle Bestimmung der
Spannungs-Dehnungs-Kurve
Wegen seiner wachsenden Bedeutung in der Halbleiterindustrie wurde Silizium sowie andere
Werkstoffe mit Diamantstruktur (Germanium, Indium-Antimonid) vielfach Gegen-

3.2.1 Abhängigkeit von der Temperatur 62
stand experimenteller Untersuchungen in den vergangenen Jahrzehnten. Besonders die
Untersuchung der für diese Werkstoffe charakteristischen Streckgrenze lag dabei oft im
Fokus der Experimente. Die Versuchsdurchführungen erfolgten in dynamischen (konstante
Dehnrate) Zug- oder Druckversuchen. Ein Einfluss der Versuchsart (Zug oder Druck) auf
die Messergebnisse konnte von Over et al. [42] ausgeschlossen werden, weshalb die Ergebnisse
aus allen Versuchen vergleichbar werden. Variable Parameter waren die Temperatur,
die Dehnrate, die Ausgangsversetzungsdichte sowie die kristallografische Orientierung der
Proben in Lastrichtung.
Wie schon aus dem Modell von Alexander und Haasen [5] hervorgeht, ist die Streckgrenze
abhängig von verschiedenen Faktoren. Die obere Streckgrenze stellt sich als eine Funktion
von vorrangig der Temperatur, der Verformungs- bzw. Abgleitgeschwindigkeit und
der Ausgangsversetzungsdichte dar. Für die untere Streckgrenze konnten Abhängigkeiten
gleichfalls von der Temperatur und der Verformungsgeschwindigkeit gefunden werden, jedoch
keine oder nur nur eine geringe Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte.
Um die einzelnen Einflussfaktoren und deren Wirkung genau untersuchen zu können,
wurden während der Versuche einzelne Parameter konstant gehalten, andere hingegen
während der Messreihen verändert. So war es üblich, über mehrere Messungen bei gleicher
Probenorientierung und konstanter Dehnrate die Versuchstemperatur in einem Temperaturintervall
zu variieren. Umgekehrt wurde aber gleichfalls die Versuchstemperatur
konstant gehalten und die Proben bei unterschiedlichen Dehnraten verformt. Auf die dabei
gefunden Ergebnisse soll nun einzeln etwas näher eingegangen werden.
3.2.1 Abhängigkeit von der Temperatur
In Abb. 3.4 sind die von Omri et al. [40] erhaltenen Spannungs-Dehnungs-Kurven von anfangs
versetzungsfreien Siliziumproben bei verschiedenen Temperaturen dargestellt. Man
erkennt deutlich die Temperaturabhängigkeit der oberen und unteren Streckgrenze. Mit
steigender Temperatur nehmen die Spannungswerte beider Streckgrenzen ab, wobei bei
der oberen Streckgrenze jedoch eine viel stärkere Beeinflussung durch die Temperatur be-

3.2.2 Abhängigkeit von der Abgleitgeschwindigkeit 63
obachtet werden kann. Die Abnahme der Spannung mit steigender Temperatur lässt sich
auf den thermischen aktivierten Prozess des Peierls-Mechanismus zurückführen. Bei höheren
Temperaturen ist eine geringere zusätzliche Energieaufbringung von außen notwendig
ist um den Potentialwall zu überwinden und Versetzungsbewegung zu ermöglichen. Das
Verhältnis zwischen oberer und unterer Streckgrenze τ uy /τ ly nähert sich mit steigender
Temperatur immer weiter dem Wert 1 an. Nach Omri et al. [40] verschwindet das lokale
Maximum in der Kurve, welches die obere Streckgrenze kennzeichnet, bei Temperaturen
oberhalb von 1050 ◦ C. Obere und untere Streckgrenze fallen oberhalb dieser Temperatur
zu einer Streckgrenze zusammen. Siethoff und Brion [55] stellten bei ihren Untersuchungen
fest, dass sich diese Temperaturgrenze mit zunehmender Ausgangsversetzungsdichte
zu höheren Temperaturen verschiebt. Darüber hinaus beobachteten sie eine Erhöhung
der Aktivierungsenergie der Versetzungsbewegung U in diesem von ihnen bezeichneten
‘Hochtemperaturbereich’, was sie durch einen Wechsel im Mechanismus der Eigendiffusion
begründet. Genauere Untersuchungen dieses Effektes müssen zur besseren Klärung
jedoch noch folgen. Trägt man die Spannungswerte der Streckgrenzen in einer halblogarithmischen
Darstellung der Spannung über die reziproke Temperatur auf, dem sogenannten
Arrhenius-Plot, lässt sich der mathematische Zusammenhang erkennen. Entsprechend
des Modells von Alexander und Haasen [5] besitzen nach Gl. (3.1.18) die Streckgrenzenspannungen
eine logarithmische Abhängigkeit von der Temperatur, τ y ∝ exp [U/ (n k T )]
(siehe Abb. 3.5 rechts). Im Arrhenius-Plot ergeben sich daher für die Temperaturabhängigkeit
bei verschiedenen Dehnraten parallele Linien, wie sie in Abb. 3.5b aus Versuchen
von Siethoff [53] dargestellt sind. Der Anstieg der Kurven wird durch den Faktor U/n bestimmt.
Es ist zu erkennen, dass die obere Streckgrenze eine größere Beeinflussung durch
die Temperatur aufweist und daher die Kurven einen steileren Anstieg besitzen.
3.2.2 Abhängigkeit von der Abgleitgeschwindigkeit
Ähnlich der Untersuchung der Temperaturabhängigkeit wurden viele Experimente bei
konstanten Temperaturen und variierenden Dehnraten durchgeführt. Dadurch wurde es

3.2.2 Abhängigkeit von der Abgleitgeschwindigkeit 64
Abb. 3.4: Darstellung der experimentell aufgezeichneten Spannungs-Dehnungs-Kurven anfangs versetzungsfreier
Proben bei konstanter Abgleitgeschwindigkeit a = 2 · 10 −5 s −1 und unterschiedlichen
Temperaturen. [40]
Abb. 3.5: Darstellung der aufgezeichneten Temperaturabhängigkeit der Streckgrenzenspannungen.
Links. Darstellung der Spannung der oberen und unteren Streckgrenze als Funktion der Temperatur
bei zwei Abgleitgeschwindigkeiten von anfangs versetzungsfreien Proben [40]. Rechts.
Arrhenius-Plot der oberen (τ so ) und unteren Streckgrenze (τ su ) als Funktion der reziproken
Temperatur bei zwei Abgleitgeschwindigkeiten von anfangs versetzungsbehafteten Proben mit
N 0 ≈ 10 4 cm −2 [53]. Anmerkung: Die Einheit kp/mm 2 entspricht durch Multiplikation mit
dem Wert 9,80665 der Einheit N/mm 2 .

3.2.2 Abhängigkeit von der Abgleitgeschwindigkeit 65
Abb. 3.6: Darstellung der aufgezeichneten Abhängigkeit der Streckgrenzenspannungen von der Abgleitgeschwindigkeit.
Doppellogarithmische Darstellung der oberen (τ so ) und unteren Streckgrenze
(τ su ) als Funktion der Abgleitgeschwindigkeit bei zwei Temperaturen von anfangs versetzungsbehafteten
Proben mit N 0 ≈ 10 4 cm −2 [53].
ermöglicht, den Einfluss der Abgleitgeschwindigkeit auf die Streckgrenzenspannungen zu
bestimmen. Typische Messergebnisse, welche in den Experimenten gewonnen wurden, sind
in Abb. 3.6 von Siethoff [53] dargestellt. Die Abbildung zeigt die doppellogarithmische
Darstellung der oberen und unteren Streckgrenzenspannung als Funktion der Abgleitgeschwindigkeit.
Analog zu den Arrhenius-Plot bei der Temperaturabhängigkeit ergeben
sich auch hier in der doppellogarithmischen Darstellungen parallele Geraden. Die Abhängigkeit
der Abgleitgeschwindigkeit kann aus Gl. (3.1.17) durch die Proportionalität
τ y ∝ ȧ 1/n beschrieben werden. Der Faktor 1/n kennzeichnet dabei den Anstieg der Geraden
in Abb. 3.6. Es ist zu erkennen, dass die Kurven für die obere und untere Streckgrenze
verschiedene Anstiege besitzen, aber nicht mit der Temperatur variieren. Dies lässt auf
einen unterschiedlichen Spannungsexponent n = m + 2 für die obere und untere Streckgrenze
schließen.

3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte 66
3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte
Experimentelle Untersuchungen zum Einfluss der Ausgangsversetzungsdichte auf die Spannung
im Bereich der Streckgrenze wurden von Doerschel et al. [15] durchgeführt. Sie verglichen
das Verformungsverhalten anfangs versetzungsfreier mit dem versetzungsbehafteter
Kristalle bei ansonsten gleichen Versuchsbedingungen für beide Kristallarten. Die Proben
wurden bei einer Abgleitgeschwindigkeit von ȧ = 1,45 · 10 −4 s −1 und innerhalb eines
Temperaturintervalles von T = 850...1025 ◦ C im dynamischen Druckversuch verformt. Die
kristallografische Orientierung war für Einfachgleitung in 〈123〉–Richtung ausgelegt. Über
die Berechnung des Schmid-Faktors µ für alle 12 möglichen Gleitsysteme (vier Gleitebenen
mit je drei Gleitrichtungen) lässt sich zeigen, dass bei dieser Orientierung nur eine
Gleiteben mit einer Gleitrichtung den höhsten Schmid-Faktor aufweist und demzufolge als
aktives Gleitsystem zu betrachten ist. Für eine Orientierung in 〈111〉–Richtung würden
dagegen drei Gleitebenen mit je zwei Gleitrichtungen aktiviert und es würde Mehrfachgleitung
(sechs aktive Gleitsysteme) vorliegen. Zur Untersuchung der Versetzungsdichte
wurde der Maschinenantrieb bei Erreichen festgelegter Punkte (obere Streckgrenze, im
Bereich des Spannungsabfalls, untere Streckgrenze, vgl. Abb. 3.8) gestoppt und die Proben
unter dieser Spannung schnell abgekühlt. Anschließend erfolgte mit Hilfe der Ätzgrübchenmethode
[12, 26] eine Messung der Versetzungsverteilung entlang der Stabachse
in Verformungsrichtung. Das Ergebnis dieser Messung ist in Abb. 3.7 dargestellt. Die
anfangs versetzungsbehafteten Proben zeigen bereits im Anfangsstadium der plastischen
Verformung ein relativ einheitliches Niveau der Versetzungsdichte über das gesamte Probenvolumen
(siehe Abb. 3.7b), während die ehemals versetzungsfreien Proben im Bereich
der oberen Streckgrenze eine stark inhomogene Verteilung aufweisen (siehe Abb. 3.7a).
Bis Erreichen der unteren Streckgrenze hat sich jedoch auch hier das gesamte Volumen
relativ homogen mit Versetzungen aufgefüllt. Ein Grund hierfür kann nach Ansicht von
Schäfer [48] und Over et al. [42] die unterschiedlich wirkenden Versetzungsquellen sein.
Während bei Proben mit eingewachsenen Versetzungen die Versetzungsbildung dominierend
mittels Frank–Read-Quellen abläuft, werden bei versetzungsfreien Proben die Versetzungen
hauptsächlich an Oberflächenfehlern, Verunreinigen und Rissen im Volumen

3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte 67
a) b)
Abb. 3.7: Darstellung des Verlaufs der Versetzungsdichte entlang der Stabachse für definierte Punkte
der Spannungs-Dehnungs-Kurve. a) Anfangs versetzungsfreies Material. b) Anfangs versetzungsbehaftetes
Material mit N 0 = 6,5 · 10 4 cm −2 . Die Messungen der Versetzungsdichte
erfolgten für die Kurven 1 ❥ bzw. 4 ❥ bei der oberen Streckgrenze, für 2 ❥ bzw. 5 ❥ im Bereich
des Spannungsabfalls zwischen oberer und unterer Streckgrenze und für 3 ❥ bzw. 6 ❥ bei der
unteren Streckgrenze [15].
Abb. 3.8: Darstellung der Spannungs-Dehnungs-Kurven für anfangs versetzungsbehaftete (Verlauf ❥ 1 ,
❥2 , ❥ 3 ) und versetzungsfreie (Verlauf ❥ 4 , ❥ 5 , ❥ 6 ) Proben [15].

3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte 68
entstehen. Diese Versetzungsquellen sind im Vergleich zu den Frank–Read-Quellen relativ
träge bzw. können die so entstanden Versetungen nicht schnell genug lokale Spannungsfelder
überwinden und werden in ihrer Bewegung gehindert. Die daraus folgende inhomogene
plastische Verformung führt zu größeren Spannungen der oberen Streckgrenze im Vergleich
zu den versetzungsbehafteten Proben (siehe Abb. 3.8). An der unteren Streckgrenze ergab
sich für die Probe 6 ❧ (versetzungsfrei) eine etwa dreifach höhere Versetzungsdichte als für
Probe 3 ❧ (versetzungsbehaftet). Bedingt durch den höheren Anteil mobiler Versetzungen
ist für die versetzungsfreie Probe eine größere Spannung der unteren Streckgrenze feststellbar.
Doerschel et al. [15] begründen diese Erscheinung mit einem höheren Anteil an
ortsfesten, unbeweglichen Versetzungen, welche die beweglichen Versetzungen behindern.
Dadurch könne es zum Quergleiten der Versetzungen auf sekundären Ebenen kommen
wodurch weitere Gleitebenen aktiviert werden und in Folge der größeren Anzahl aktiver
Gleitsysteme die Versetzungsdichte ansteigt.
3.3 Reflexion der Ergebnisse durch eigene
Untersuchungen
Im folgendenen Abschnitt sollen die experimentell ermittelten Werte einiger Autoren mit
errechneten Werten aus dem Modell von Alexander und Haasen [5] verglichen werden.
Die dafür notwendigen Messwerte wurden aus der Literatur extrahiert und in Tabelle
zusammengefasst (siehe Tab. A.1 bis A.4).
Die Ermittlung der Parameter des Alexander–Haasen Modells erfolgte auf Grundlage der
Gl. (3.1.17), welche für die rechnergestützte Auswertung der Messwerte noch angepasst
wurde. Innerhalb der Exponentialfunktion exp [U/ (n k T )] wurden die Aktiverungsenergie
der Versetzungsbewegung U und der Spannungsexponent n zu einem Faktor, der Aktivierungsenergie
der Fließspannung U y zusammengefasst. Damit zeigt sich Gl. (3.1.17) in

3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte 69
folgender Darstellung,
[ ]
τ y = C y ȧ 1/n Uy
exp
k T
(3.3.1)
Die Gründe dafür liegen in einer voneinander unabhängigen Auswertung der Abhängigkeiten
von der Temperatur und der Abgleitgeschwindigkeit, da n und U y mit jeweils
nur einer variablen Größe verknüpft sind. Die Anpassung der Funktion aus Gl. (3.3.1)
bzw. die Ermittlung der Parameter n, U y und C y erfolgte mit Hilfe des mathematisch–
naturwissenschaftlichen Programmpaketes Mathematica R○ .
Zunächst sollen die allgemeinen Auswirkungen der Parameter auf das Alexander–Haasen-
Modell genauer betrachtet werden. Hierzu wird Gl. (3.3.1) bei einer konstanten Abgleitgeschwindigkeit
als Funktion der Temperatur, und analog dazu bei einer konstanten Temperatur
als Funktion der Abgleitgeschwindigkeit ausgewertet für verschiedene Werte der
Parameter n, U y und C y , wobei immer je zwei Parameter konstant gehalten werden.
In allen Abbildung gilt, dass der Parameterwert von der roten zur blauen Kurve in aufsteigender
Folge dargestellt ist. Es zeigt sich, dass in der Darstellung der Streckgrenze
als Funktion der Abgleitgeschwindigkeit der Anstieg der Kurven lediglich durch den Parameter
n beschrieben wird, entsprechend der Beziehung τ y ∝ ȧ 1/n (siehe Abb. 3.9a).
Die Parameter U y und C y bewirken nur eine parallele Verschiebung der Kurven (siehe
Abb. 3.9b bzw. Abb. 3.9c). Im Gegensatz dazu wird der Anstieg der Kurven bei Darstellung
der Streckgrenze als Funktion der reziproken Temperatur (Arrhenius-Plot) durch
den Parameter U y entsprechend τ y ∝ exp [U y / (k T )] bestimmt (siehe Abb. 3.10b) und
n und C y führen zu einer Parallelverschiebung (siehe Abb. 3.10a bzw. Abb. 3.10c). Aus
diesen Untersuchungen folgt, dass sich n und U y unabhängig voneinander in der jeweiligen
Darstellung als Anstieg der Kurven ermitteln lassen.
Nachdem der Einfluss der Parameter geklärt wurde, sollen diese Parameter aus Experimenten
verschiedener Autoren ermittelt und miteinander verglichen werden. Dies soll
hier exemplarisch für die Experimente von Siethoff aus [53] durchgeführt werden. In
Abb. 3.11 sind die experimentell ermittelten Werte (Punkte) sowie die durch Anpassung
der Parameter über die Fit-Funktion von Mathematica R○ erhaltenen Geraden für die obere

3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte 70
Τ MPa
100.0
Τ MPa
100.0
Τ MPa
100.0
50.0
50.0
50.0
10.0
10.0
10.0
5.0
5.0
5.0
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
0.1
10 6 10 4 0.01 1
(a) n
a s 1
0.1
a s 1
10 6 10 4 0.01 1
0.1
(b) U y (c) C y
10 6 10 4 0.01 1
a s 1
Abb. 3.9: Abhängigkeit der Streckgrenze von der Abgleitgeschwindigkeit bei verschiedenen Werten für
a) n, b) U y und c) C y in doppellogarithmischer Darstellung.
Τ MPa
100.0
Τ MPa
100.0
Τ MPa
100.0
50.0
50.0
50.0
10.0
10.0
10.0
5.0
5.0
5.0
1.0
1.0
1.0
0.5
0.5
0.5
10 4
0.1
6 7 8 9 10 11 T
K1
(a) n
10 4
0.1
6 7 8 9 10 11 T
K1
0.1
(b) U y (c) C y
6 7 8 9 10 11
10 4
T
K1
Abb. 3.10: Abhängigkeit der Streckgrenze von der Temperatur bei verschiedenen Werten für a) n, b)
U y und c) C y im Arrhenius-Plot.

3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte 71
Τ MPa
100
50
20
10
5
2
1
10 5 10 4 0.001 0.01
a s 1
Abb. 3.11: Ermittlung des Spannungsexponenten n aus experimentell gewonnen Werten (Punkte) nach
[53] in einer doppellogarithmischen Darstellung der Spannung als Funktion der Abgleitgeschwindigkeit
für verschiedene Temperaturen. Die Geraden sind das Ergebnis der Parameteranpassung.
Obere Streckgrenze für T = 1173 K (schwarz) und T = 1273 K (rot). Untere
Streckgrenze für T = 1173 K (blau) und T = 1273 K (grün).
Streckgrenze bei T = 1173 K (schwarz) und T = 1273 K und die untere Streckgrenze bei
T = 1173 K (blau) und T = 1273 K (grün) dargestellt. Für alle Proben lag eine Orientierung
für Einfachgleitung in 〈123〉 sowie eine Ausgangsversetzungsdichte von N 0 ≈ 10 4
vor. Es lässt sich erkennen, dass die Anstiege bezüglich der jeweiligen Streckgrenze nur
minimal voneinander Abweichen, im Vergleich beider Streckgrenzen zueinander aber eine
merkliche Abweichung des Anstieges feststellbar ist. Die Anpassung mittels Mathematica
lieferte für die obere Streckgrenze n = 2,10 (schwarz) bzw. n = 2,06 (rot) und für die
untere Streckgrenze n = 2,82 (blau) bzw. n = 2,77 (grün). Die Ertmittlung der Aktivierungsenergie
der Fließspannung U y erfolgt analog dazu aus der doppellogarithmischen
Darstellung der Spannung als Funktion der reziproken Temperatur nach Abb. 3.12. Punkte
zeigen die experimentellen Messwerte, die Geraden der Anpassung von Gl. (3.3.1) für
die obere Streckgrenze bei ȧ = 4,77 · 10 −4 s −1 (schwarz) und ȧ = 2,39 · 10 −4 s −1 (rot) und
die untere Streckgrenze bei ȧ = 4,77 · 10 −4 s −1 (blau) und ȧ = 2,39 · 10 −4 s −1 (grün). Die
Anpassung liefert für die obere Streckgrenze U y = 1,07 eV (schwarz) bzw. U y = 1,08 eV
(rot) und für die untere Streckgrenze U y = 0,80 eV (blau) bzw. U y = 0,79 eV (grün). Der
nun noch fehlende Parameter C y lässt sich in beiden Darstellungen durch Vorgabe der zuvor
ermittelten Parameter n und U y bestimmen. Um eine möglichst genaue Anspassung

3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte 72
Τ MPa
100
50
20
10
5
2
1
7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 104 T 1K
Abb. 3.12: Ermittlung der Aktivierungsenergie der Fließspannung U y aus experimentell gewonnen Werten
(Punkte) nach [53] in einer halblogarithmischen Darstellung der Spannung als Funktion
der reziproken Temperatur für verschiedene Abgleitgeschwindigkeiten. Die Geraden sind das
Ergebnis der Parameteranpassung. Obere Streckgrenze für ȧ = 4,77 · 10 −4 s −1 (schwarz)
und ȧ = 2,39 · 10 −4 s −1 (rot). Untere Streckgrenze für ȧ = 4,77 · 10 −4 s −1 (blau) und
ȧ = 2,39 · 10 −4 s −1 (grün).
zu gewährleisten und weil die einzelnen Werte um weniger als 10 % voneinander abwichen,
wurde der Parameter aus beiden Varianten ermittelt und anschließend gemittelt. Aus den
Experimenten von Siethoff konnte die Konstante zu C = 2,6 · 10 −2 für die obere und
C = 4,9 · 10 −2 für die untere Streckgrenze bestimmt werden.
Die ermittelten Parameter (gemittelt) aus den experimentellen Untersuchungen von Siethoff
und anderer Autoren sind in Tab. 3.1 zusammengefasst. Die Aktivierungsenergie
der Versetzungsbewegung ist zusätzlich mit angegeben. Entsprechend der Vereinfachung
berechnet sie sich aus U = U y n. Aus Tab. 3.1 lässt sich erkennen, dass die errechneten
Tab. 3.1: Zusammenfassung der ermittelten Parameter verschiedener Quellen für das Alexander–
Haasen-Modell.
❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤
Parameter
Streckgrenze
n U y /eV C y /10 −2 U/eV Ref.
τ ly
τ uy 2,08 1,08 2,6 2,25 [53]
- 1,06 - - [40]
2,37 1,06 0,7 2,51 [62]
2,84 0,81 4,8 2,30 [50]
2,80 0,80 4,9 2,24 [53]
- 0,81 - - [40]
2,90 0,80 5,8 2,32 [62]
Parameter für die untere Streckgrenze eine ziemlich große Übereinstimmung miteinander

3.2.3 Abhängigkeit von der Ausgangsversetzungsdichte 73
zeigen. Bei der oberen Streckgrenze weisen die Parameter hingegen ein größere Streuung
auf, auf dessen Gründe im folgenden Diskussionsteil näher eingegangen werden soll.

4 Diskussion der Anwendungen 74
4 Diskussion der Anwendungen
Die Ergebnisse der eigenen Untersuchung sollen in diesem Abschnitt näher beleuchtet und
die möglichen Ursachen identifiziert und diskutiert werden. Im Anschluss daran erfolgt
die Ausarbeitung eines prinzipiellen Ablaufplanes für die Implementierung in das Finite-
Elemente-Programm ANSYS, wobei auch auf die Methoden der numerischern Simulation
eingegangen werden soll.
4.1 Anwendbarkeit des Alexander–Haasen-Modells
Folgend soll die Anwendbarkeit des Alexander–Haasen-Modells diskutiert werden. Darunter
seien neben der Gegenüberstellung der Vor- und Nachteile dieses Modells auch die
Auswertung der eigenen Untersuchungen und mögliche Erweiterungen zu verstehen.
4.1.1 Diskussion der Ergebnisse der Parameterbestimmung
Die Ermittlung der Parameter des Alexander–Haasen-Modells aus Abs. 3.3 zeigen für
die experimentell ermittelten Werte verschiedener Autoren eine relativ gute Übereinstimmung.
Es kann gezeigt werden, dass der Spannungsexponent zu n = 2,85 ± 0,05, die
Aktivierungsenergie der Fließspannung zu U y = (0,81 ± 0,05) eV und die Konstante zu
C y = (5,2 ± 0,6) · 10 −2 bestimmt wurde. Die sich daraus ergebende Aktivierungsenergie
der Versetzungsbewegung stimmt mit U = (2,29 ± 0,05) eV gut mit der Bildungsenergie
eines Kinkpaares überein, welche zwischen 2,2 und 2,4 eV angenommen wird [5, 58].
Für die untere Streckgrenze τ ly lässt sich nur eine geringe Streuung der in Tab. 3.1 dargestellten
Werte erkennen. Dagegen weisen die Parameter für die obere Streckgrenze τ uy

4.1.2 Diskussion zur Anwendbarkeit 75
deutlich größere Abweichungen auf. Dies kann auf die deutlich geringer Anzahl an auswertbaren
Messwerten (vgl. Tab. A.1 bis A.4) zurückzuführen sein. Aber auch der Einfluss
der Ausgangsversetzungsdichte kann der Grund hierfür sein. Die Proben mit einer eingewachsenen
Versetzungsdichte von N 0 ≈ 1 · 10 4 cm −2 [53] zeigen mit einer gefunden
Aktivierungsenergie U = 2,25 eV gute Übereinstimmung mit der unteren Streckgrenze
und bestätigen die in Gl. (3.1.18) getroffene Annahme, dass der Mechanismus der Versetzungsbewegung
für beide Streckgrenzen gleich ist. Dagegen weisen die Proben mit
N 0 ≈ 2 · 10 4 cm −2 [62] eine Aktivierungsenergie von U = 2,51 eV für die obere Streckgrenze
auf. Da die obere Streckgrenze nach Alexander und Haasen [5] eine Abhängigkeit
von der Ausgangsversetzungsdichte besitzt, welche in der speziellen Gleichung (3.1.17)
für die Streckgrenzenspannungen nicht berücksichtigt wird, kann ein etwas höheres N 0
für letztgenannte Proben eine mögliche Erklärung sein. Aufgrund der geringen Differenz
der Ausgangsversetzungsdichten sowie der großen Schwankung der Konstanten C y (siehe
Tab. 3.1) wird jedoch eine Abweichung aufgrund weniger Messdaten als wahrscheinlicher
angesehen. Ebenfalls denkbar wäre eine Beeinflussung der Messwerte durch die Testmaschinen.
Prinzipiell sind auftretende Ungenauigkeiten der Testmaschinen, welche sich
negativ auf den aufgenommenen Spannungs-Dehnungs-Verlauf und somit die Messwerte
auswirken, nicht auszuschließen. Diese können in Verbindung mit auftretenden Reibkräften
an den Einspannungen oder mit Bewegungen einzelner Maschinenteile in Verbindung
stehen, aber auch menschlische Fehler, wie eine nicht exakte Positionierung der Proben,
sind denkbar.
4.1.2 Diskussion zur Anwendbarkeit
Das Alexander–Haasen-Modell war seit seiner Einführung immer wieder Gegenstand wissenschaftlicher
Untersuchungen gewesen und hat sich bei der Validierung von experimentellen
Ergebnissen bewährt. Es erfasst die Spannungs-Dehnungs-Kurve von Werkstoffen
mit Diamantstruktur in Abhängigkeit von Temperatur und Abgleitgeschwindigkeit, wobei
besonders der Bereich bei Beginn plastischen Fließens mit dem Auftreten einer oberen und

4.1.2 Diskussion zur Anwendbarkeit 76
unteren Streckgrenze beschrieben wird. Hingegen kann es nach Überschreitung der unteren
Streckgrenze nur bedingt Aussagen über den weiteren Spannungs-Dehnungs-Verlauf
machen, welcher durch mehrstufige Verfestigung gekennzeichnet ist. Ein Phänomen, welches
besonders bei Belastungen mit daraus folgenden großen Dehnungen zu einer deutlichen
Abweichung der Simulationsergebnisse vom realen Werkstoffverhalten führen kann.
Die aus dem Modell hervorgegangene Gl. (3.1.17) liefert indess Streckgrenzenspannungen,
welche in guter Übereinstimmung zu realen Versuchen stehen. Jedoch werden in den experimentellen
Grundlagen des Alexander–Haasen-Modells nicht alle Abhängigkeiten des
Streckgrenzenbereiches erfasst. So gehen Faktoren wie die kristallografische Orientierung
der Kraftwirkung oder Art und Grad der Dotierung, welche für die elektrischen Eigenschaften
der Wafer von entscheidender Bedeutung sind, nicht mit in die Gleichung ein.
Als Schwierigkeit haben sich die komplexen Abhängigkeiten der einzelnen Faktoren untereinander
herausgestellt, wodurch die Modellgleichungen (3.1.10) und (3.1.11) nur mittels
numerischer Methoden gelöst werden können. Hierauf soll in Abschnitt 4.2 näher eingegangen
werden.
Auch die während der Entwicklung des Modells von Alexander und Haasen getroffenen
Annahmen und Vereinfachungen bilden einen Ansatzpunkt für weitere Optimierungen
und Erweiterungen. So stellt die Multiplikationskonstante K, welche in Gl. (3.1.7) definiert
wurde, im klassischen Modell [5] eine unabhängige Größe dar. Nach Vallino et al.
[60] tritt zu Beginn der plastischen Verformung gleichzeitig Quergleiten von Schraubenversetzungen
auf, welches durch Aktivierung sekundärer Gleitsysteme zusätzliche Versetzungsquellen
in den Multiplikationsprozess mit einbezieht. Quergleiten ist ein thermisch
aktivierter Vorgang. Die Konstante K sollte daher als ein temperaturabhängiger Faktor
neu definiert werden [14].
Ebenfalls wurde im klassischen Modell die mobile Versetzungsdichte N m in der Evolutionsgleichung
der Versetzungsmultiplikation nach Gl. (3.1.6) durch die Gesamtversetzungsdichte
N ersetzt, unter der Annahme, dass die Anzahl unbeweglicher Versetzungen
gegenüber gleitfähigen Versetzungen vernachlässigbar klein ist bzw. sie sich bevorzugt
als Dipolversetzungen anordnen und bei der Bestimmung der Ausgangsversetzungsdichte

4.1.2 Diskussion zur Anwendbarkeit 77
durch Anätzen nicht sichtbar werden. Diese Dipolversetzungen bilden im Nahfeld elastische
Spannungen aus, welche die Versetzungsbewegung gleitfähiger Versetzungen behindern.
Die Effektivspannung, bestimmend für die Versetzungsbewegung und definiert
in Gl. (3.1.2), sollte nach Cochard et al. [14] um eine zusätzliche, nur im Nahfeld von
Versetzungshindernissen wirkende, innere Spannung erweitert werden
τ eff = τ − τ is − τ il (4.1.1)
mit τ is als der im Nahfeld der Hindernisse wirkenden inneren Spannung (short-range)
und der nach Gl. (3.1.1) weitreichenden, mittleren inneren elastischen Spannung τ il (longrange),
hervorgerufen durch die Gitterverzerrung gleitender Versetzungen selbst.
4.2 Ablaufplan für die Implementierung in ANSYS
Für eine Implementierung der Spannungs-Dehnungs-Kurve von Silizium im Finite-Elemente-
Programm ANSYS ist es zunächst erforderlich die Modellgleichungen des Alexander–
Haasen-Modells zu lösen. In Abschnitt 3.1.2 wurde bereits darauf hingewiesen, dass die
Gleichungen (3.1.9) und (3.1.10) nicht unabhängig voneinander gelöst werden können.
Es bedarf iterativer numerischer Methoden, um die gegenseitige Beeinflussung der verschiedenen
Variablen zu erfassen. Da die Versetzungsdichte die plastische Deformation
beeinflusst, die Komponenten der plastischen Dehnung aber von den Komponenten des
Spannungstensors abhängen, welcher wiederum eine Funktion der Versetzungsdichte und
des Deformationszustandes ist, kann die Lösung der Gleichungen des Modells von Alexander
und Haasen [5] nur schrittweise (iterativ) erfolgen.
In Abb. 4.1 ist eine schematische Darstellung eines solchen numerischen Lösungsalgorithmus
dargestellt. Im ersten Schritt erfolgt die Berechnung der Temperatur und des Spannungszustandes
im quasistationären Fall. Dies bedeutet, dass die Gleichungen (3.1.9) und
(3.1.10) beim Verformungsbeginn durch Definition der Anfangsbedingungen ε p 0 und N 0
gelöst und daraus Spannung und Temperatur zum Zeitpunkt t = t 0 berechnet werden

4.1.2 Diskussion zur Anwendbarkeit 78
START
Anfangstemperatur quasistatisch berechnen
Anfangsspannung quasistatisch berechnen
neuer Zeitpunkt:
t = t + dt
Temperatur zeitabhängig berechnen
Spannung zeitabhängig berechnen
Versetzungsdichte ermitteln
Komponenten der plastischen Dehnungen ermitteln
nein
Endzeitpunkt
erreicht
ja
STOP
Abb. 4.1: Flussdiagramm eines numerischen Algorithmus zur Lösung der zeitabhängigen Modellgleichungen
von Alexander und Haasen zur Bestimmung der Versetzungsdichte und der plastischen
Deformation. (vgl. [9])

4.1.2 Diskussion zur Anwendbarkeit 79
können. Im nächsten und jedem weiteren Schritt wird die Zeit auf den nächstfolgenden
Zeitpunkt t i erhöht und die zugehörige Temperatur und Spannung ermittelt. Unter
Verwendung der Spannung und der Versetzungsdichte aus dem jeweils vorrangegangen
Schritt t i−1 werden dann die aktuelle Versetzungsdichte und die Dehnungen aus (3.1.9)
und (3.1.10) ermittelt. Der Algorithmus ist beendet, wenn der festgelegte Endzeitpunkt
erreicht wurde. Für weiterführende Informationen bezüglich der Anwendung numerischer
Verfahren in Bezug auf das Alexander–Haasen-Modell sei an dieser Stelle auf die Arbeiten
der zitierten Autoren [9, 11, 13, 45, 46, 61] verwiesen. Es sei aber angemerkt,
dass ebenfalls analytische Lösungen möglich sind, welcher aber nicht mehr den eigentlichen
Modellgleichungen (3.1.9) und (3.1.10) zugrunde liegen, sondern Näherungen zu den
wirklichen Kurvenverläufen darstellen. Dabei werden die Koeffizienten in den Approximationsgleichungen
solange variiert, bis sie innerhalb eines festgelegten Toleranzintervalls
den realen Kurvenverläufen entsprechen. Petukhov [45] untersuchte solche analytischen
Approximationen und stellte seine Ergebnisse iterativen numerischen Verfahren gegenüber.
Welches mathematische Verfahren auch angewendet wird, als Ergebnis erhält man den
Verlauf der Schubspannung τ in Abhängigkeit von der Abgleitung a bzw. in Abhängigkeit
von der Zeit t, wobei letzterer unter Verwendung der Abgleitgeschwindigkeit als Funktion
der Abgleitung umgerechnet werden kann. Die Kurvenverläufe gelten entsprechend für eine
bestimmte Temperatur, Abgleitgeschwindigkeit, Orientierung und Ausgangsversetzungsdichte.
Für andere Ausgangs- und Umgebungsbedingungen müssen die Kurvenverläufe
nach genannten mathematischen Methoden neu ermittelt werden. Auf der Grundlage der
Kurvenverläufe kann nun die Implementierung im Finite-Elemente-Programm ANSYS
erfolgen. Zu diesem Zweck wird ein multilineares Materialmodell empfohlen. Es ermöglicht
die Definition eines multilinearen Kurvenverlaufes der Spannungs-Dehnungs-Kurve
durch Angabe von bis zu 20 temperaturabhängigen Kurven mit je bis zu 100 Spannungs-
Dehnungs-Paarungen [1, 2]. In Anbetracht der großen Anzahl von Kurvenpunkten sollte
die Approximation des Kurvenverlaufs durch lineare Einzelsegmente eine genügend große
Genauigkeit aufweisen. Das multilineare Modell nutzt die Fließbedingung nach Huber–von
Mises. Die Dokumentation von ANSYS [1, 2] empfiehlt für die Analyse großer Verformung

4.1.2 Diskussion zur Anwendbarkeit 80
die Nutzung des Materialmodelles mit isotroper Verfestigung, kurz MISO von der englischen
Bezeichnung multilinear isotropic hardening material model. Für kleine Dehnungen
sollte aber auf das Materialmodell MKIN zurückgegriffen werden, welches analog zu MISO
(multilinear kinematic hardening material model)eine kinematische Verfestigung vorraussetzt.
Es ist für die jeweilige Simulation das geeignetere Modell zu wählen.
Neben der Implementierung in ANSYS besteht des weiteren die Möglichkeit, einer Implementierung
im Finite-Elemente-Programm ABAQUS durchzuführen. Unter der Verwendung
eigener Subroutinen (genannt VUMAT - user-defined mechanical material behavior
[3]) lassen sich Stoffgesetze, wie die des Alexander–Haasen-Modells, einbinden. Für weiterführende
Informationen bezügich der Implementierung in ABAQUS sei auf die Autoren
in [14, 39] verwiesen.

5 Zusammenfassung und Ausblick 81
5 Zusammenfassung und Ausblick
Bei der Herstellung von Solarzellen für die Nutzung in der Photovoltaik durchläuft der
Werkstoff Silizium mehrere thermische Behandlungen. Schon bereits der Abkühlprozess
der flüssigen Siliziumschmelze zum Festkörper führt zu einem Zustand, in dem Silizium
plastisches Verformungsvermögen besitzt. Durch das Streben nach immer effektiveren
Herstellungsverfahren und zur Optimierung der bestehenden Prozessabläufe durch computerunterstützte
Simulationsverfahren muss daher ein tiefes Verständnis für das plastische
Verhalten von Silizum gewonnen werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurden die Modellierungsmöglichkeiten
des plastischen Verhaltens von Silizium näher untersucht. Hierfür
sollten durch eine intensive Literaturrecherche für die Modellbildung wichtige Materialdaten
erörtert werden. Die Abhängigkeit der Spannungs-Dehnungs-Kurve von den Umgebungsbedingungen
während der plastischen Verformung sollten zudem erarbeitet werden.
Bei Raumtemperatur weist Silizium ein sprödes Materialverhalten auf. Wird hingegen
eine bestimmte Temperaturschwelle, die Spröd-Duktil-Übergangstemperatur, von etwa
T = 700...800 ◦ C überschritten, zeigt sich ein duktiles Verhalten, weleches plastische Deformation
ermöglicht. Silizium, sowie weitere Werkstoffe mit einer Diamantstruktur, weisen
zu Beginn des plastischen Werkstofffließens einen besonderen Streckgrenzenübergang
auf. Im Gegensatz zu klassischen Werkstoffen, wie z. B. Stahl, ist hier das Vorhandensein
eines lokalen Maximums und Minimums im Spannungsverlauf bei einachsigen Versuchen
zu beobachten, welche auf die Besonderheiten des kristallographischen Aufbaus der Kristallstruktur
zuruckzuführen sind. Diese lokalen Extrema werden als obere und untere
Streckgrenze bezeichnet. Für die Modellierung des plastischen Verhaltens hat sich ein
Materialmodell von Alexander und Haasen seit nunmehr über 40 Jahren bewährt. Dieses
Modell war Gegenstand zahlreicher wissenschaftlicher Untersuchungen und wurde vielfach
durch experimentelle Ergebnisse validiert. Es basiert auf der Verknüpfung von für
Silizium spezifischen Eigenschaften des Materialverhaltens mit allgemein gültigen Bezie-

5 Zusammenfassung und Ausblick 82
hungen für die Versetzungsbewegung, welche die Basis für das Vorhandensein plastischer
Verformung darstellt. Die eindimensionalen mathematischen Gleichungen dieses Modells
können jedoch aufgrund starker Abhängigkeiten der variablen Parameter untereinander
nicht unabhängig voneinander gelöst werden, sondern es bedarf hierfür iterative numerische
Lösungsalgorithmen. Die Erarbeitung und Durchführung eines solchen Algorithmuses
überschreiten jedoch den zeitlichen und inhaltlichen Rahmen dieser Arbeit und müssen
das Ziel weiterer, an dieser Arbeit anknüpfenden Untersuchungen sein. Für die Implementierung
in das Finite-Elemente-Programm ANSYS wurde ein Ablaufplan erstellt. Auf
dieser Grundlage kann in weiteren Arbeiten mittels numerischer Verfahren der Spannungs-
Dehnungs-Verlauf während der Verformung berechnet und über einen Programmcode in
ANSYS eingebunden werden.
Eine, aus diesem Modell abgeleitete Beziehung für die analytische Berechnung der Streckgrenzenspannungen
wurde hinsichtlich ihrer Übereinstimmung mit experimentell gewonnen
Messwerten untersucht, sowie die dafür nötigen Materialparameter bestimmt. Es ergab
sich für die untere Streckgrenze eine gute Übereinstimmung für den Spannungsexponenten
n = 2,85±0,05, die Aktivierungsenergie der Fließspannung U y = (0,81 ± 0,05) eV
und der Konstanten C y = (5,2 ± 0,6)·10 −2 . Für die obere Streckgrenze zeigten diese Werte
eine größere Abweichung, wobei die Ursachen einerseits in der Streuung der Messwerte,
andererseits in Effekten während der Versuchsdurchführung zu suchen sind. Auch der
Einfluss der Versuchsbedingungen haben einen entscheidenden Einfluss auf das plastische
Materialverhalten. So führt eine Erhöhung der Versuchstemperatur zu einer Erniedriegung
des gesamten Spannungsverlaufes, wobei die obere Streckgrenze eine ausgeprägtere
Abhängigkeit von der Temperatur aufweist. Eine Erhöhung der Dehnungsgeschwindigkeit
hingegen führt zu deutlich höheren Streckgrenzenspannung, bis hin zum Versagen
der Probe durch Bruch, bereits im elastischen Bereich. Weitere Einflüsse stellen zudem
die Ausgangsversetzungsdichte sowie die kristallographische Orientierung der Proben dar,
wobei deren Auswirkungen auf das Materialverhalten noch nicht vollständig geklärt ist.
Für weiterführende Untersuchungen sollten diese Punkte im Fokus der Betrachtung stehen.
Ebenfalls (nach verwendetem Literaturstand) wissenschaftlich ungeklärt sind die
mikrostrukturellen Vorgänge nach Überschreitung der unteren Streckgrenze, welcher sich

5 Zusammenfassung und Ausblick 83
durch Verfestigungs- und Erholungsprozesse auszeichnet und ebenfalls komplexe Abhängigkeiten
aufweist. Es sollte Ziel weiterer Untersuchungen sein, die genauen Mechanismen
der Verfestigung in Silizium zu analysieren und durch mathematische Beschreibung das
bestehende Materialmodell zu erweitern, sowie in ANSYS zu implementieren.

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XIV
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Anhang
XX

A Messdaten
XXI

XXII
Tab. A.1: Zusammenfassung der gewonnenen Messwerte aus Versuchen von Omri et al.
τ ly τ uy T ȧ N 0 Orien-
MPa MPa K 10 −4 s −1 10 3 cm −2 tierung
Ref.
14,9 38,0 975 0,20 0
13,7 34,1 999 0,20 0
9,6 18,1 1024 0,20 0
5,9 10,3 1075 0,20 0
3,7 6,5 1124 0,20 0
2,7 4,2 1174 0,20 0
2,8 3,7 1225 0,20 0
2,9 3,4 1275 0,20 0
2,6 2,9 1327 0,20 0
1,9 - 1376 0,20 0
1,2 - 1425 0,20 0
0,6 - 1476 0,20 0 〈111〉 [40]
0,5 - 1527 0,20 0
0,4 - 1577 0,20 0
10,3 24,8 1123 2,00 0
6,4 11,2 1173 2,00 0
5,5 8,9 1224 2,00 0
4,1 4,9 1276 2,00 0
3,5 4,0 1327 2,00 0
3,0 - 1375 2,00 0
1,9 - 1426 2,00 0
1,4 - 1476 2,00 0
1,1 - 1527 2,00 0

XXIII
Tab. A.2: Zusammenfassung der gewonnenen Messwerte aus Versuchen von Schröter et al.
τ ly τ uy T ȧ N 0 Orien-
MPa MPa K 10 −4 s −1 10 3 cm −2 tierung
Ref.
1,1 - 1573 2,42 10
1,3 - 1573 5,00 10
3,2 - 1573 50,52 10
1,6 - 1373 1,18 10
1,9 - 1373 1,19 10
1,8 - 1373 1,20 10
2,7 - 1373 4,95 10
4,4 - 1373 11,55 10
5,0 - 1373 23,75 10
6,1 - 1373 48,62 10
8,8 - 1373 127,68 10
1,4 - 1579 4,80 10 〈123〉 [50]
2,9 - 1379 4,80 10
4,7 - 1279 4,80 10
6,0 - 1227 4,80 10
9,1 - 1177 4,80 10
12,8 - 1126 4,80 10
18,9 - 1075 4,80 10
31,2 - 1027 4,80 10
3,1 - 1579 50,00 10
6,4 - 1379 50,00 10
10,7 - 1279 50,00 10
20,5 - 1177 50,00 10

XXIV
Tab. A.3: Zusammenfassung der gewonnenen Messwerte aus Versuchen von Siethoff
τ ly τ uy T ȧ N 0 Orien-
MPa MPa K 10 −4 s −1 10 3 cm −2 tierung
Ref.
2,2 3,0 1370 2,39 10
3,5 6,2 1269 2,39 10
4,8 9,4 1221 2,39 10
6,8 14,0 1170 2,39 10
9,5 24,2 1119 2,39 10
13,8 37,6 1071 2,39 10
2,8 4,2 1370 4,77 10
4,5 8,7 1269 4,77 10
5,8 14,0 1221 4,77 10
8,3 20,2 1170 4,77 10
11,9 33,7 1119 4,77 10
17,4 53,3 1071 4,77 10
28,6 81,9 1020 4,77 10
3,6 6,2 1273 2,40 10 〈123〉 [53]
4,6 8,7 1273 4,77 10
6,4 15,0 1273 11,96 10
7,8 17,8 1273 24,30 10
10,4 27,9 1273 48,98 10
14,5 41,9 1273 119,44 10
5,1 10,2 1173 1,22 10
7,1 13,8 1173 2,40 10
8,5 19,7 1173 4,77 10
12,0 33,2 1173 11,96 10
15,8 44,7 1173 24,30 10
19,7 59,5 1173 49,98 10
27,2 94,3 1173 119,44 10

XXV
Tab. A.4: Zusammenfassung der gewonnenen Messwerte von Yonenaga und Sumino.
τ ly τ uy T ȧ N 0 Orien-
MPa MPa K 10 −4 s −1 10 3 cm −2 tierung
Ref.
3,3 3,8 1271 1,20 20
3,9 4,5 1222 1,20 20
5,5 8,6 1172 1,20 20
8,8 14,9 1122 1,20 20
12,6 30,5 1074 1,20 20
11,8 23,3 1073 1,20 20
5,7 6,9 1272 6,00 20
10,5 19,1 1172 6,00 20
10,9 20,4 1172 6,00 20
21,5 58,4 1074 6,00 20
- 48,2 1074 6,00 20
2,5 3,2 1273 0,58 20
3,1 3,7 1273 1,14 20
3,8 4,4 1273 2,32 20
5,6 7,0 1273 5,74 20
3,8 4,6 1173 0,23 20 〈123〉 [62]
4,8 8,4 1173 0,58 20
5,4 8,7 1173 1,13 20
7,7 13,3 1173 2,32 20
11,2 19,6 1173 5,77 20
10,5 21,8 1173 5,76 20
8,8 15,6 1073 0,23 20
8,8 13,1 1073 0,23 20
10,4 21,7 1073 0,57 20
11,0 19,3 1073 0,57 20
11,5 25,5 1073 0,58 20
12,5 23,2 1073 1,11 20
13,4 31,9 1073 1,18 20
15,7 36,5 1073 2,33 20
23,7 49,8 1073 5,51 20
21,8 60,2 1073 5,76 20