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2.2.2 Fließbedingungen 14
Spannungstensors in den hydrostatischen ˆσ und deviatorischen Anteil σ ′ ist durch
⎛
⎞
σ 11 0 0
ˆσ ij = ⎜ 0 σ
⎝ 22 0 ⎟
⎠
0 0 σ 33
(2.2.5)
bzw.
σ ′ ij = σ ij − 1 3 σ kk δ ij (2.2.6)
gegeben [34]. δ ij ist das Kronecker-Delta und wurde von Leopold Kronecker definiert als
[25]
⎧
⎨1 falls i = j
δ ij =
(2.2.7)
⎩0 falls i ≠ j
Die Fließfunktion zeigt nur eine Beeinflussung durch die deviatorischen Anteile des Spannungstensors
f[σ] = f[σ ′ ] (2.2.8)
Der Spannungstensor lässt sich eindeutig beschreiben durch die Hauptspannungen σ i und
deren Hauptspannungsrichtungen a i . Aufgrund der Richtungsunabhängigkeit der Eigenschaften
können für einen isotropen Werkstoff die Hauptspannungsrichtungen jedoch nicht
maßgeblich für das Fließen sein. Aus der Materialisotropie folgt somit, dass die Fließfunktion
als Funktion der drei Hauptspannungen bzw. derer Invarianten
I = σ ii = Sp σ,
II = 1 2 [σ ii σ ii − σ jj σ jj ] = 1 2
[
(Sp σ) 2 − |σ| 2] ,
(2.2.9)
III = Det σ