Vorlesungsskript - Institut für Programmierung und Reaktive Systeme

2.2 Reguläre Sprachen und endliche Automaten
Da der durch das Verfahren erzeugte DEA i. allg. nicht der “kleinstmögliche” Automat
ist, wird im Anschluß an die Potenzmengenkonstruktion ein weiteres Verfahren,
genannt Minimalisierung, durchgeführt, das zu dem erzeugten DEA einen weiteren
DEA konstruiert, der dieselbe Sprache akzeptiert und über eine minimale Zustandsmenge
verfügt. In dem durch die Potenzmengenkonstruktion erzeugten DEA kann
es noch Zustände mit gleichem “Akzeptanzverhalten” geben. Zwei Zustände p und q
besitzen das gleiche Akzeptanzverhalten, wenn der Automat aus p und q unter allen
Eingabewörtern entweder immer oder nie in einen Endzustand geht. Die Minimalisierung
beruht auf dem Zusammenfassen dieser Zustände zu einem gemeinsamen
Zustand.
Der folgende Algorithmus beschreibt das Verfahren der Minimalisierung.
Algorithmus Minimalisierung.
Eingabe: DEA M = (Q, Σ,δ,q0,F).
Ausgabe: DEA Mmin = (Qmin, Σ,δmin,q0,min,Fmin) mit Qmin minimal.
Methode: Die Zustandsmenge von M wird in eine Partition aufgeteilt, die schrittweise
verfeinert wird. Für Zustände in verschiedenen Klassen einer Partition
ist schon bekannt, daß sie verschiedenes Akzeptanzverhalten zeigen, d.h. daß es
mindestens ein Wort w gibt, unter welchem aus einem der Zustände ein Endzustand
erreicht wird und unter dem anderen nicht. Deshalb beginnt man mit der
Partition Π = {F,Q − F }. In jedem Iterationsschritt des Verfahrens wird eine
Klasse K aus der Partition entfernt und durch eine Menge von Verfeinerungen
Ki ersetzt. Dabei gilt, daß für alle Zustände q in einer Verfeinerung Ki der
Nachfolgezustand δ(q,a) unter einem Zeichen a in einer gemeinsamen Klasse
K ′ i liegt. Wird eine solche Verfeinerung gefunden, wird die Variable changed auf
true gesetzt. Der Algorithmus hält, wenn in einem Schritt die Partition nicht
mehr verfeinert wurde. Da in jedem Iterationsschritt nur Klassen der aktuellen
Partition evtl. in Vereinigungen neuer Klassen zerlegt werden, Q und damit
auch P(Q) aber endlich sind, terminiert das Verfahren. Die Klassen der dann
gefundenen Partition sind die Zustände von Mmin. Es gibt einen Übergang zwischen
zwei neuen Zuständen P und R unter einem Zeichen a ∈ Σ, wenn es einen
Übergang δ(p,a) = r mit p ∈ P und r ∈ R in M gab.
1 Π = {F,Q − F };
2 do changed := false ;
3 Π ′ := Π;
4 foreach K ∈ Π do
5 Π ′ := (Π ′ − {K}) ∪ {{Ki}1≤i≤n} , und die Ki sind maximal mit
6 K = �
1≤i≤n Ki , und ∀a ∈ Σ : ∃K ′ i ∈ Π : ∀q ∈ Ki : δ(q,a) ∈ K ′ i
7 if n > 1 then changed := true fi (∗ K wurde
aufgespalten ∗)
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