PhD thesis - IAS

26 Introduction
1.2.2 Dynamique des systèmes intégrables
1.2.2.1. Pour comprendre la dynamique d’un système intégrable, on est en particulier
amené à étudier la dynamique d’un champ de vecteurs constant égal à ω ∈ R n sur le
tore, qui engendre bien sûr un flot linéaire (ou un flot de translation de vecteur ω). De
tels flots (ou tores) sont parfois appelés flots (ou tores) de Kronecker de fréquence ω, les
solutions sont qualifiées de quasi-périodiques. Leur dynamique est entièrement comprise,
elle dépend d’une propriété algébrique du vecteur fréquence ω. Plus précisément, à un
tel vecteur on associe un module de résonance
M(ω) = {k ∈ Z n | k.ω = 0} = ω ⊥ ∩ Z n ,
où le . désigne le produit scalaire euclidien de R n , et ⊥ l’orthogonal relativement à ce
produit. C’est un sous-module de Z n , et son rang dicte la dynamique.
Si le rang est nul, autrement dit si
k ∈ Z n , k.ω = 0 =⇒ k = 0,
on dit que la fréquence est non résonante (et par extension le tore est dit non-résonant).
Dans ce cas, il n’est pas difficile de montrer que le flot est minimal (toutes les orbites sont
denses) et uniquement ergodique (il existe une unique mesure de probabilité invariante
par le flot, qui dans ce cas n’est rien autre que la mesure de Haar), et c’est le prototype
de système dynamique à spectre discret.
Si le rang de M(ω) vaut m ≥ 1, la fréquence est dite résonante de multiplicité m, et
dans ce cas le tore T se décompose en une famille continue à m paramètres de sous-tores
invariants, chacun de dimension n − m, sur lesquels le flot est à nouveau minimal et
uniquement ergodique. Par exemple, si m = n, on obtient trivialement un tore invariant
constitué de points fixes et si m = n − 1, le tore est feuilleté en orbites périodiques de
même période.
1.2.2.2. Pour conclure, mentionnons le cas particulier des résonances standard de multiplicité
m, qui par définition sont de la forme (ˆω, 0) ∈ R n−m × R m , avec ˆω ∈ R n−m
non résonant. Le module de résonance de (ˆω, 0) est alors engendré par les m derniers
vecteurs de la base canonique de Z n , autrement dit
M(ˆω, 0) = {k ∈ Z n | k1 = · · · = kn−m = 0}.
Le terme "standard" est justifié par la proposition suivante.
Proposition 1.12. Soit ω une fréquence résonante de multiplicité m. Alors il existe
une matrice A ∈ GLn(Z) telle que
où ˆω ∈ R n−m est non résonant.
ω = A(ˆω, 0),
Ce résultat est très utile lorsque l’on étudie une résonance fixée : en effet A préserve
Z n , elle induit alors un automorphisme linéaire du tore T n qui se relève en un difféomorphisme
linéaire symplectique ΦA(θ, I) = (Aθ, t A −1 I), et on se ramène ainsi à une
résonance standard, quitte à considérer le hamiltonien H ◦ ΦA.