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46 Introduction Marco ([LM05]) qui ont obtenu (2(n − 3)) −1 dans le cas analytique, et enfin Ke Zhang ([Zha09]) qui a obtenu le résultat général. En conclusion, l’exposant de stabilité optimal a et l’exposant d’instabilité optimal a ′ vérifient 1 2n ≤ a < a′ 1 ≤ 2(n − 2) , et dans le cas Gevrey 1 2αn ≤ a < a′ ≤ 1 2α(n − 2) . 1.5.3.2. Dans le cas a priori instable, le théorème de Nekhoroshev ne s’applique pas (directement) et on ne connait donc pas de borne inférieure sur le temps d’instabilité τ(µ) dans ce contexte. Néanmoins, Lochak a conjecturé que le temps d’instabilité devait être polynomial en µ (parce que le "splitting" est polynomial en µ), et ceci malgré les premières estimations super-exponentielles obtenues dans [CG94]. La première estimation réaliste a été obtenue par Marco ([Mar96]), en utilisant la méthode des fenêtres d’Easton ([Eas78], [Eas81]). En adaptant l’exemple de Bessi, Bernard a obtenu une majoration de l’ordre de µ −2 ([Ber96], voir également [Cre01] pour la même estimation avec des méthodes géométriques). Dans [Loc99], Lochak conjecture que le temps optimal doit être µ −1 ln µ −1 , et ce fut complètement démontré par Berti, Bolle et Biasco ([BBB03]) par des méthodes variationnelles introduites par Bessi. Des mécanismes géométriques avec ce temps d’instabilité ont également été proposés par Cresson et Guillet ([CG03]) ainsi que par Treschev ([Tre04]). 1.6 Au voisinage d’un tore invariant linéairement stable Pour conclure, mentionnons rapidement un cadre un peu différent, que l’on peut qualifier de perturbation de système hamiltonien intégrable linéaire : il s’agit d’étudier la dynamique au voisinage d’un tore invariant quasi-périodique linéairement stable, isotrope et réductible. On va se contenter des deux cas particuliers extrêmes, à savoir celui d’un tore invariant quasi-périodique lagrangien (tore de dimension n) et celui d’un point fixe elliptique (tore de dimension 0), où les hypothèses d’isotropie et de réductibilité sont automatiques. 1.6.1 Au voisinage d’un tore lagrangien quasi-périodique 1.6.1.1. Commençons par le cas d’un tore invariant quasi-périodique lagrangien. Soit (M, Ω) une variété symplectique quelconque de dimension 2n, H : M → R un hamiltonien qui possède un tore invariant lagrangien dont la dynamique est quasi-périodique de fréquence ω ∈ R n . Il existe donc un plongement Φ : T n → M dont l’image T est invariante par le champ XH, et qui de plus conjugue la restriction de XH à T à un flot linéaire de fréquence ω sur T n . Puisque le tore est supposé lagrangien donc isotrope, par un théorème classique de Weinstein on peut identifier (de manière symplectique) un voisinage du tore avec T n ×R n et placer le tore en T n ×{0}. Si l’on fait un développement
1.6 - Au voisinage d’un tore invariant linéairement stable 47 limité du hamiltonien dans ces coordonnées (θ, I) ∈ T n × R n , on obtient par invariance du tore et de la fréquence H(θ, I) = ω.I + F(θ, I), où F(θ, I) = O(|I| 2 ). Considérons la partie principale h(I) = ω.I. C’est un système intégrable en coordonnées action-angle, dont la fréquence est désormais constante égale à ω. Le système complet peut se voir comme une perturbation de ce système intégrable linéaire, la taille de la perturbation étant essentiellement la distance au tore invariant. 1.6.1.2. Si l’on suppose que ω est non résonante, alors la théorie classique des perturbations s’applique : pour tout entier m ∈ N ∗ , il existe un difféomorphisme symplectique Φm de T n × R n qui fixe T n × {0} et tel que H ◦ Φm(θ, I) = Hm(I) + O(|I| m+1 ), où Hm est un polynôme de degré m. Ces polynômes Hm, m ∈ N ∗ , sont les invariants de Birkhoff. En réalité, on peut construire une série formelle H∞(I) ainsi qu’un difféomorphisme symplectique formel Φ∞ de T n × R n fixant le tore T n × {0} et conjuguant H à H∞. Cependant, la transformation Φ∞, ainsi que de la forme normale H∞ divergent en général (ce sont des résultats de Siegel, voir [AKN06], et Pérez-Marco, [PM03]). Il existe néanmoins deux moyens d’obtenir des informations sur la dynamique au voisinage de ce tore en utilisant cette forme normale. 1.6.1.3. On peut supposer le système analytique (ou Gevrey) et la fréquence ω diophantienne. Dans ce cas si ρ est la distance au tore invariant, en choisissant le nombre de normalisations m = m(ρ) convenablement (tendant vers l’infini lorsque ρ tend vers 0, comme en théorie de Nekhoroshev) on obtient une forme normale avec un reste exponentiellement petit en ρ. On en déduit facilement un résultat de stabilité pendant un temps exponentiel : chaque solution qui part à une distance au plus ρ du tore invariant reste à une distance d’ordre ρ pendant un temps T(ρ) qui est de l’ordre de exp(ρ −1 ) (voir [GG85], [BGG85] et [Fas90]). 1.6.1.4. Une autre possibilité revient à faire un nombre fini m ≥ 2 de normalisations et à considérer H ◦ Φm(θ, I) = Hm(I) + O(|I| m+1 ). On se ramène ainsi à une perturbation d’un système intégrable non linéaire, la partie intégrable étant donnée par le polynôme Hm. En supposant Hm non dégénéré ou escarpé, la théorie KAM ou de Nekhoroshev s’applique. La première nous donne l’existence de beaucoup de tores invariants dans un voisinage, tandis que la seconde donne un résultat de stabilité pendant un temps exponentiellement long. 1.6.1.5. C’est un fait assez remarquable, constaté par Morbidelli et Giorgilli ([MG95]), que l’on peut combiner la théorie "linéaire" avec les théories "non linéaires", dans le sens où l’on peut d’abord construire une forme normale de Birkhoff avec un reste exponentiellement petit puis ensuite appliquer la théorie KAM ou la théorie de Nekhoroshev pour obtenir des informations plus précises. On montre alors (assez facilement) que
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