PhD thesis - IAS

36 Introduction
Pour m = n − 1, un tore résonant est feuilleté en orbites périodiques de même
période. Bernstein et Katok ([BK87]) ont montré que si la partie intégrable est convexe,
il existe au moins n orbites périodiques qui persistent. Pour m = 1, un résultat analogue
est dû à Cheng ([Che99]), il démontre l’existence d’au moins deux tores de dimension
n − 1, sous l’hypothèse que la partie intégrable soit non dégénérée et que la fréquence
restreinte ˆω soit diophantienne.
En revanche, pour les cas intermédiaires 1 < m < n−1, on ne dispose que de résultats
partiels ([Tre91], [CW99]), qui requièrent des hypothèses supplémentaires sur la partie
intégrable ou sur la perturbation. La conjecture est la suivante : dans un système non
dégénéré, pour un tore m-résonant avec une fréquence restreinte ˆω diophantienne, il
subsiste au moins m + 1, et génériquement 2 m , tores de dimension n − m. Autrement
dit, leur nombre devrait être égal au nombre de points fixes d’une fonction régulière sur
le tore T m .
1.4.2 Théorie de Nekhoroshev
1.4.2.1. On peut déduire de la théorie KAM que pour un système presque-intégrable
suffisamment régulier et dont la partie intégrable n’est pas trop dégénérée, il existe une
constante c ′ telle que pour ε assez petit, on ait
|I(t) − I0| ≤ c ′√ ε, t ∈ R,
pour "beaucoup" d’actions initiales I0 ∈ B, celles dont l’évolution est quasi-périodique.
En effet, d’une part on sait que l’ensemble des tores KAM est gros au sens de la mesure
car son complémentaire a une mesure relative d’ordre √ ε (il n’est pas de mesure totale
à cause de la condition ε < cγ 2 ), et d’autre part chaque tore est √ ε-proche du tore non
perturbé sur lequel les variables d’action du système non perturbé sont constantes, ce
qui explique la variation des actions du système perturbé.
Pour n = 2, cette propriété de stabilité est même vraie pour toute solution, dans le
cadre du théorème KAM iso-énergétique d’Arnold : sur chaque niveau d’énergie, qui est
de dimension 3, persiste une famille de tores invariants de dimension 2 telle que chaque
composante connexe du complémentaire est bornée. Alors ou bien la solution est quasipériodique,
et sa variation est d’ordre √ ε, ou bien elle est "coincée" entre deux solutions
quasi-périodiques, et un argument utilisant la mesure des tores préservés montre que sa
variation est également d’ordre √ ε.
En 1964, Arnold ([Arn64]) a démontré qu’une telle propriété ne subsiste pas pour
n ≥ 3. Il a construit un exemple de système hamiltonien à trois degrés de liberté qui
possède une solution (θ(t), I(t)) telle que
|I(τ) − I0| ≥ 1,
avec τ = τ(ε), et ceci pour tout ε > 0 (on donnera plus de détails dans la section
suivante). Donc pour n ≥ 3, la théorie KAM ne fournit pas de résultat de stabilité
valable pour toutes les solutions.
On dit alors qu’un système est effectivement stable si il existe des constantes positives
b, c telles que pour toute action initiale I0,
|I(t) − I0| ≤ cε b , |t| ≤ T(ε),