PhD thesis - IAS

28 Introduction
D’un autre point de vue, les variables d’action I(t) des systèmes intégrables sont
constantes pour tout temps.
Problème 3. Étudier l’évolution des variables d’action I(t) des solutions du système
(∗).
1.3.0.3. Ce dernier problème est motivé par des questions de mécanique céleste, en
particulier par le problème planétaire. Ici on considère un problème à 1 + N corps,
typiquement le Soleil et des planètes du système solaire, de position q0, q1, . . ., qN et de
masse m0, m1, . . .,mN. On suppose que la masse du premier corps est beaucoup plus
grosse que la masse des autres corps, et on note
ε = max
1≤i≤N
mi
Dans le cas du système solaire, ε est de l’ordre de 10 −3 . En première approximation, on
peut donc négliger l’interaction des planètes entre elles pour ne considérer que l’attraction
du corps massif. Cela revient à prendre ε = 0 et le système se découple alors en un
produit de N problèmes de Kepler que l’on sait intégrer. En particulier, les orbites planétaires
sont des ellipses, et le hamiltonien écrit en coordonnées action-angle ne dépend
que des demi-grands axes. Lorsque l’on restaure l’interaction des planètes, le système
planétaire devient une perturbation, de taille environ 10 −3 , d’un système intégrable et
étudier la stabilité des variables d’action revient à étudier la "déformation" éventuelle
des trajectoires elliptiques.
Dans la section suivante on exposera les deux théorèmes fondamentaux qui donnent
des éléments de réponses aux questions précédentes, le théorème des tores invariants
(théorème KAM) et le théorème de Nekhoroshev, mais avant cela on va commencer par
expliquer le principe commun sur lesquels ils reposent, qui est la construction de formes
normales. D’excellentes références sur ce sujet sont [LM88], [Ben05], [Ber06] et bien sûr
[AKN06].
1.3.1 Principe de moyennisation
Le principe de moyennisation est un principe physique qui remonte aux travaux de
Gauss, Lagrange et Laplace en mécanique céleste.
D’un point de vue moderne, on peut l’énoncer ainsi : on introduit la moyenne spatiale
de la perturbation
〈f〉(I) = f(θ, I)dθ,
T n
et on définit le système moyenné 〈H〉 = h + 〈f〉, qui est évidemment intégrable. Alors
le principe de moyennisation consiste à supposer que les solutions du système moyenné
sont de "bonnes approximations" de celles du système complet H = h + f.
L’idée, très naïve, qui sous-tend le principe est la suivante : on écrit le développement
en série de Fourier
f(θ, I) = 〈f〉(I) +
ˆfk(I)e 2πik.θ ,
m0
k∈Z n \{0}
.