Value at Risk - Thierry Roncalli's Home Page

⇒

⇒
⇒

1 − α
T
⇒

1 − α
T
⇒

◦
⇒
⇒

P (t) t
t
FP (t)
⎛
FP (t) = max ⎝P (t − 1) , (3 + ξ) × 1
P (t − i)
60 i=1
ξ 0 ≤ ξ ≤ 1
60
⇒
⎞
⎠

⇒
⇒

⇒
ξ
Pr (X ≤ n) < 95%
Pr (X ≤ n) < 99.99%
Pr (X ≤ n) ≥ 99.99%
Pr (X ≤ n) n
⇒
n < 5
5 ≤ n ≤ 9 n > 10

(3 + ξ)
⇒
X
µ σ 2
α
Pr (|X − µ| > kσ) ≤ 1
k 2

(3 + ξ)
Pr (X ≤ µ + kσ) ≥ 1 − 1
2k 2
F
F (µ + kσ) ≥ 1 − 1
2k 2
α
F −1
X ≤ µ + kσ ⇐⇒ F −1
k ≤
1
2 − 2α
1 − 1
2k 2
= α

(3 + ξ)
µ
X
k
c = Φ −1 (α)
k c
α
k (1 − α) −1

(3 + ξ)
α
α c k k/ c k k/ c
α = 99.5%

◦
⇒

◦
⇒

◦
⇒

⇒
⇒

⇒
⇒

⇒
⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

u
R
K
⇒
a (u) = ∂u R (u)
K = (Ki (u))
Ki (u) ≡
=
ui
R (u) ai (u)
ui
R (u) ∂u R (u)

RORAC =

M
Km
m
ϕ (K)
C
K1 + . . . + K M ≤ C
ϕm (Km) = ϕ m ′
K ′
m
⇒

M
Km
m
ϕ (K)
C
K1 + . . . + K M ≤ C
ϕm (Km) = ϕ m ′
K ′
m
⇒

⇒

⇒

M
M = 16
⇒

M
M = 16
⇒

⇒
rt,n = α ⊤ t,n ft + ut,n

t,n
n t
αt,n
ft
ft M × 1
ut,n
⇒ α ⊤ t,n ft
⇒

t = Atft + ut
ft ∼ N (µ, Σ)
ut ∼ N (0, D)
ft ⊥ ut
⇒
At
At

ℓ = − NT
2
− 1
2
ℓ(µ, Σ, D| r) ≡
− 1
2
T
t=1
T
t=1
ln 2π
ln
AtΣA ⊤ t
T
t=1
ℓt(µ, Σ, D| rt)
+ D
(rt − Atµ)
⊤
AtΣA ⊤ t + D −1 (rt − Atµ)
θ = (µ, Σ, D)
ˆθ ML = arg max ℓ(r| µ, Σ, D)
Σ > 0
s.c.
D > 0

⇒
M N = 173 T = 1400
θ
⇒
At
V = AΣA ⊤ + D
∂V
∂ℓ
−1 = T
2
V (µ) = 1
T
V − 1
2
T
t=1
T
t=1
(rt − Atµ) ⊤ (rt − Atµ)
(rt − Atµ) ⊤ (rt − Atµ)

trace
Tt=1 (rt − Aµ)
⊤
AΣA⊤ + D −1 (rt − Aµ)
=
T
t=1 tr
V −1 (rt − Aµ) ⊤
(rt − Aµ)
= tr
V −1 T t=1 (rt − Aµ) ⊤
(rt − Aµ)
= tr
V −1T V
= NT
ℓ c = − NT
2
T
(ln 2π + 1) + ln T
2
− T
2 ln
T
(rt − Atµ) ⊤ (rt − Atµ)
t=1
ˆµ ML A † ˆr
A † ˆr

V = AHH ⊤ A ⊤ + ∆ 2
H
Σ ∆
⇒ θ
θ =
vechH
Diag∆
θ

ℓ ∝ − T
2 ln
− 1
2
∝ − T
T
2 ln
− T
2 tr
AHH ⊤ A ⊤ + ∆ 2
(rt − ˆr)
⊤
AHH ⊤ A ⊤ + ∆ 2−1 (rt − ˆr)
t=1
AHH ⊤ A ⊤ + ∆ 2
AHH ⊤ A ⊤ + ∆ 2
−1
ˆV
ˆV = 1
T
T
t=1
(rt − ˆr) ⊤ (rt − ˆr)

∆ V ℓ = − T
2
g (θ| r) = −
⎡
⎣
V −1 − V −1 ˆVV −1
vech T A⊤ V −1 − V −1 ˆV V −1 AH
Diag
T ∆
V −1 − V −1 ˆV V −1
⇒
⇒
⎤
⎦

⇒
ρ
(ˆρ ML) i,j =
ˆH ML ˆH ⊤
ML i,j
ˆH ML ˆH ⊤
ˆH ML i,i
ML ˆH ⊤
ML j,j
⇒
⇒

⇒
⇒
⇒

⇒
⇒
⇒

⇒
⇒
⇒

⇒
⇒
⇒

⇒
⇒
⇒

⇒
⇒
⇒

⇒
⇒
⇒

⇒
⇒
⇒

⇒
⇒
⇒

ζ
ζ
ζ
ζ ∼ LN
µ, σ 2
µ
σ

ζ
ζ
ζ
ζ ∼ LN
µ, σ 2
µ
σ

N (t)
N (t; τ)
[t, t + τ]
N (t; τ) =
t+τ
t
N (s) ds
N (t; τ)
λ
τ
λ

λ = 50

Fϱ
ϱ (t) =
N(t;τ)
j=1
α
Fϱ
ζj
EC = F −1
ϱ (α)
⇒

Fϱ
ϱ (t) =
N(t;τ)
j=1
α
Fϱ
ζj
EC = F −1
ϱ (α)
⇒

Fϱ
ϱ (t) =
N(t;τ)
j=1
α
Fϱ
ζj
EC = F −1
ϱ (α)
⇒

Fϱ
ϱ (t) =
N(t;τ)
j=1
α
Fϱ
ζj
EC = F −1
ϱ (α)
⇒

Fϱ
ϱ (t) =
N(t;τ)
j=1
α
Fϱ
ζj
EC = F −1
ϱ (α)
⇒

Fϱ
ϱ (t) =
N(t;τ)
j=1
α
Fϱ
ζj
EC = F −1
ϱ (α)
⇒

ζ + N
ζ + N = max (ζ1, . . . , ζn, . . . , ζ N) N
ζn
F
G N (ζ) = Pr
ζ + N
≤ ζ
= Pr (ζ1 ≤ ζ, . . . , ζn ≤ ζ, . . . , ζ N ≤ ζ)
= F (ζ) N
g N f
g N
g N (ζ) = ∂ ζG N (ζ)
= NF (ζ) N−1 f (ζ)
F−1 G −1
N
(α) = F−1
α 1 N

ζ +
N

ζ +
N

⇒

t
Xt = nt
j=1 ζj nt
Yt = Xt
nt
⇒
t
Xt = nt
j=1 ζj
Yt = Xt
nt

m v ζ
E [Xt] = nt × m
var [Xt] = nt × v
⇒

Xt
⇒

Xt
⇒

Xt
⇒

⇒
⇒

⇒ ρ
ρ (X1, X2) = cov (X1, X2)
σ (X1) σ (X2)
⇒ τ
τ (X1, X2) = Pr
X 2 1 − X1
1 X 2 2 − X1
2 ≥ 0
− Pr
X 2 1 − X1
1 X 2 2 − X1
2 < 0
⇒ ς
ς (X1, X2) = ρ (F1, F2)

⇒
τ = 2
π
ς = 6
π
arcsin ρ
arcsin ρ
2

⇒
τ = 2
π
ς = 6
π
arcsin ρ
arcsin ρ
2

⇒
τ = 2
π
ς = 6
π
arcsin ρ
arcsin ρ
2

⇒
τ = 2
π
ς = 6
π
arcsin ρ
arcsin ρ
2

(X1, X2, . . . , X N)
X1, X2, . . . , X N
C
N
C (u1, . . . , un, . . . , u N) =
Pr (U1 ≤ u1, . . . , Un ≤ un, . . . , U N ≤ u N)

X1, . . . , Xn, . . . , X N N
Fn
C (F1 (x1) , . . . , F N (x N)) = F (x1, . . . , x N)
F (x1, . . . , x N)
F (x1, . . . , x N) = C (F1 (x1) , . . . , F N (x N))
⇒

ς (X1, X2) = 12
τ (X1, X2) = 4
[C (u, v) − uv] du dv
2
[0,1]
C (u, v) dC (u, v) − 1
2
[0,1]
max {F1 (x1) + F2 (x2) − 1, 0} ≤ F (x1, x2)
F (x1, x2) ≤ min {F1 (x1) , F2 (x2)}
⇒
C− (u1, u2) = max {u1 + u2 − 1, 0}
C + (u1, u2) = min {u1, u2}
⇒ C− (u1, u2) ≤ C (u1, u2) ≤ C + (u1, u2)

C (u1, . . . , u N) =
⎧
⎨
C (u1, . . . , u N) = Φρ
N
⎩
n=1
⇒
u −1/α
n
− N + 1
⎫−α
⎬
⎭
Φ −1 (u1) , . . . , Φ −1
(uN)

C (u1, . . . , u N) =
⎧
⎨
C (u1, . . . , u N) = Φρ
N
⎩
n=1
⇒
u −1/α
n
− N + 1
⎫−α
⎬
⎭
Φ −1 (u1) , . . . , Φ −1
(uN)

C (u1, . . . , u N) =
⎧
⎨
C (u1, . . . , u N) = Φρ
N
⎩
n=1
⇒
u −1/α
n
− N + 1
⎫−α
⎬
⎭
Φ −1 (u1) , . . . , Φ −1
(uN)

χ
χ = lim
x1−→sup ∆x 1
Pr (X2 > x1| X1 > x1)
χ
χ = lim χ (u)
u−→1− χ (u) = 2 −
ln C (u, u)
ln u
χ
χ = lim
α−→1 −
Pr X2 > F −1
2 (α) X1 > F −1
1 (α)
= lim
α−→1 −
= lim
α−→1 −
Pr (X2 > V aRα (X2)| X1 > V aR1 (X2))
1 − 2α + C (α, α)
1 − α

χ χ
[0, 1]
¯χ
¯χ = lim ¯χ (u)
u−→1− ln (Pr (X2 > x1))
¯χ (u) = 2
− 1
ln (Pr (X2 > x1| X1 > x1))
¯χ
¯χ [−1, 1]
ρ
¯χ ρ