Projection markovienne de processus stochastiques

tel-00766235, version 1 - 17 Dec 2012
Sous l’hypothèse que soit t δ.δ est uniformément elliptique soit ξ est un processus
à sauts pur (δ = 0) dont le compensateur des sauts a une singularité
de type α-stable en 0, nous construisons un processus de Markov X
qui a la même distribution que ξ à chaque instant (Théorème 2.2). Un
outil clé est un résultat d’unicité pour l’équation de Kolmogorov forward associéeàunopérateurintegro-différentiel
non-dégénéré(Théorème 2.1). X est
défini comme la solution d’un problème de martingale associé à un opérateur
integro-différentiel dont les coefficients sont exprimés comme espérance conditionnelle
des caractéristiques locales de ξ. Le reste du chapitre consiste à
montrer quecetteconstructions’applique àdenombreux exemples deprocessus
aléatoires rencontrés dans les applications. La construction du Chapitre
2 permet en particulier de montrer que la distribution marginale d’une semimartingale
est l’unique solution d’une équation integro-differentielle (EID)
“forward”: il s’agit de l’équation de Kolmogorov vérifiée par le processus de
Markov X qui “mime” ξ.
Le chapitre 3 donne une dérivation analytique directe de ce résultat,
sous des hypothèses plus faibles. Ces résultats permettent de généraliser
l’équation de Dupire (1995) pour les prix d’options à une large classe de
semimartingales discontinues, dont ce chapitre présente plusieurs exemples.
L’enoncé des résultats distingue bien les hypothèses sous lesquelles la valeur
de l’option vérifie cette EID, des conditions qui garantissent qu’elle en est
l’unique solution.
Le chapitre 4 étudie le comportement asymptotique, à temps petit, de
quantités de la forme E[f(Xt)] pour des fonctions f régulières, généralisant
les résultats existants dans le cas où ξ est un processus de Lévy ou un processus
de diffusion au cas général de semimartingales discontinues.
Lechapitre5donneuneapplicationdecesrésultatsàl’évaluationd’options
sur indice. L’application des résultats du Chapitre 3 permet de réduire ce
problème de grande dimension (d ∼ 100) à la résolution d’une équation
integro-différentielleunidimensionnelle, etl’utilisationdesrésultatduChapitre
5 permet d’obtenir une approximation numérique dont la complexitée est
linéaire (et non exponentielle) avec la dimension. La précision numérique de
cette approximation est montrée sur des exemples.
Mots clés : projection markovienne, équation de Kolmogorov, semimartingale,
problème de martingale, équation forward, équation de Dupire.
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