Statistical and Transform Methods in Geophysical Signal Processing

Statistical and Transform Methods
in Geophysical Signal Processing
M. D. Sacchi
DEPARTMENT OF PHYSICS
UNIVERSITY OF ALBERTA

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Contact:
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2002 by M.D.Sacchi

Contents
1 Fourier Analysis 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Orthogonal Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 The Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Properties of the FT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 The FT of some signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Truncation in time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Living in a discrete World . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Z-transform and Convolution 21
2.1 Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 Discrete convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.2 An algorithm to compute the convolution sum . . . . . . . . . . . . 27
2.2 The Z transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Convolution and the Z-transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Deconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Elementary Signals: Dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Minimum phase dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2 Maximum phase dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.3 Autocorrelation function of dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
iii

iv CONTENTS
2.3.4 Least squares inversion of a minimum phase dipole . . . . . . . . . 43
2.3.5 Inversion of Minimum Phase sequences . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 MATLAB codes used in Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1 Inversion of dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2 Amplitude and phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.3 Least squares inversion of a dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.4 Eigenvalues of the Toeplitz matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.5 Least square inverse filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 The autocorrelation function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1 The Toeplitz matrix and the autocorrelation coefficients . . . . . . . 56
2.6 Inversion of non-minimum phase wavelets: optimun lag Spiking filters . . 59
3 Discrete Fourier Transform 61
3.1 The Z transform and the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Inverse DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.2 Zero padding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.3 The Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.4 Working with the DFT/FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 The 2D DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 On the Design of Finite Impulse Response filters . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.1 Low Pass FIR filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2 High Pass filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Deconvolution of reflectivity series 79
4.1 Modeling normal incidence seismograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Normal incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Impulse response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Deconvolution of reflectivity series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 The autocorrelation sequence and the white reflectivity assumption 86
4.2.2 What to do with the noise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

CONTENTS v
4.2.3 Deconvolution in the frequency domain . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Sparse deconvolution and Bayesian analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.1 Norms for sparse deconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3.2 Modifying ¢¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.3 Iterative solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3.4 Hyperparameter selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 Bayesian inversion of impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.5 Linear programming impedance inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.5.1 Constrained minimization using linear programming . . . . . . . . 116
4.5.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.5.3 Linear programming code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6 Non-minimum phase wavelet estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6.1 Non-minimum phase system identification . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6.2 The bicepstrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.6.3 The tricepstrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6.4 Computing the bicepstrum and the tricepstrum . . . . . . . . . . . 125
4.6.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.7 Minimum entropy deconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.7.1 Minimum Entropy estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.7.2 Entropy norms and simplicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.7.3 Wiggins’ algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.7.4 Frequency domian algorithm (Sacchi et. al, 1994) . . . . . . . . . . 142
4.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5 Signal-to-noise-ratio Enhancement 147
5.1 £¥¤ filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.1.1 The signal model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1.2 AR FX Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1.3 Data resolution matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.1.4 The convolution matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

vi CONTENTS
5.1.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.1.6 Non-linear events: Chirps in ¢¡¤£ ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.7 Gap filling and recovery of near offset traces . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.8 Pre-stack surface consistent FX filters . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.2 £¥¤ Projection Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2.1 Wavenumber domain formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.2.2 Space domain formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2.3 Wrong formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3 ARMA formulation of Projection filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3.1 Estimation of the ARMA prediction error filter . . . . . . . . . . . . 166
5.3.2 Noise estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.3.3 ARMA and Projection Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.4 FX Processing Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4.1 Prediction of harmonic models using AR filters . . . . . . . . . . . . 176
5.4.2 £ ¤ algorithm, Canales (1984) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.4.3 Linear prediction using AR filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4.4 ARMA filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.4.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6 The KL transform and eigenimages 181
6.1 Mathematical framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.2 Eigenimage analysis of common offset sections . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.2.1 Eigenimages and application to Velocity Analysis . . . . . . . . . . . 194
6.3 A Matlab Code for Eigenimage Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.3.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
7 Radon Transforms 201
7.1 Slant Stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.1.1 The slant stack operator (conventional definition) . . . . . . . . . . 202
7.1.2 The inverse slant stack operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

CONTENTS vii
7.1.3 The sampling theorem for slant stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.2 Discrete slant stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.2.1 The discrete slant stack operator (conventional definition) . . . . . 209
7.2.2 The least squares solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.2.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.3 Parabolic Radon Transform (Hampson, 1986) . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4 High resolution Parabolic Radon Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.4.1 Least squares Parabolic Radon transform . . . . . . . . . . . . . . . 219
7.4.2 High resolution parabolic Radon transform . . . . . . . . . . . . . . 220
7.4.3 Conjugate gradients and circulant matrices . . . . . . . . . . . . . . 221
7.4.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
7.5 Programs for Slant Stack and Parabolic Radon Transforms . . . . . . . . . . 223
7.6 Time variant velocity stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
7.6.1 The conjugate gradients algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
7.6.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.7 High Resolution Radon Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.8 Interpolation problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8 SeismicLab 247

viii CONTENTS
Preface
This course will focus on the application on modern processing and inversion techniques
to geophysical signal processing. We will also discuss the design and utilization
of multi-dimensional linear transforms to suppress deterministic and stochastic noise
from seismic records. The course is intended for upper level undergraduate and graduate
students in geosciences as well as for geophysicists interested in understanding
current technologies utilized in geophysical data processing.
About the author: M.D.Sacchi received a degree in Geophysics fron the National University
of La Plata in 1988 and a PhD in Geophysics from the University of British Columbia,
Vancouver, Canada, in 1996. Since 1997 he has been with the Department of Physics,
University of Alberta in Edmonton, Canada. He is currently an associate professor of
geophysics. His areas of interest are seismology, signal processing, imaging and inverse
theory.