Statistical and Transform Methods in Geophysical Signal Processing

iv CONTENTS
2.3.4 Least squares inversion of a minimum phase dipole . . . . . . . . . 43
2.3.5 Inversion of Minimum Phase sequences . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 MATLAB codes used in Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.1 Inversion of dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2 Amplitude and phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.3 Least squares inversion of a dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4.4 Eigenvalues of the Toeplitz matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.5 Least square inverse filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 The autocorrelation function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5.1 The Toeplitz matrix and the autocorrelation coefficients . . . . . . . 56
2.6 Inversion of non-minimum phase wavelets: optimun lag Spiking filters . . 59
3 Discrete Fourier Transform 61
3.1 The Z transform and the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1.1 Inverse DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1.2 Zero padding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.3 The Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.4 Working with the DFT/FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 The 2D DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 On the Design of Finite Impulse Response filters . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.1 Low Pass FIR filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.2 High Pass filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Deconvolution of reflectivity series 79
4.1 Modeling normal incidence seismograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Normal incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Impulse response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Deconvolution of reflectivity series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 The autocorrelation sequence and the white reflectivity assumption 86
4.2.2 What to do with the noise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88