Statistical and Transform Methods in Geophysical Signal Processing

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vi CONTENTS 5.1.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.1.6 Non-linear events: Chirps in ¢¡¤£ ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.1.7 Gap filling and recovery of near offset traces . . . . . . . . . . . . . . 157 5.1.8 Pre-stack surface consistent FX filters . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2 £¥¤ Projection Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.2.1 Wavenumber domain formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.2.2 Space domain formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2.3 Wrong formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3 ARMA formulation of Projection filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3.1 Estimation of the ARMA prediction error filter . . . . . . . . . . . . 166 5.3.2 Noise estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.3 ARMA and Projection Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.4 FX Processing Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4.1 Prediction of harmonic models using AR filters . . . . . . . . . . . . 176 5.4.2 £ ¤ algorithm, Canales (1984) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4.3 Linear prediction using AR filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4.4 ARMA filtering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.4.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 6 The KL transform and eigenimages 181 6.1 Mathematical framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.2 Eigenimage analysis of common offset sections . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.2.1 Eigenimages and application to Velocity Analysis . . . . . . . . . . . 194 6.3 A Matlab Code for Eigenimage Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.3.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 7 Radon Transforms 201 7.1 Slant Stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.1.1 The slant stack operator (conventional definition) . . . . . . . . . . 202 7.1.2 The inverse slant stack operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
CONTENTS vii 7.1.3 The sampling theorem for slant stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7.2 Discrete slant stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.2.1 The discrete slant stack operator (conventional definition) . . . . . 209 7.2.2 The least squares solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 7.2.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7.3 Parabolic Radon Transform (Hampson, 1986) . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.4 High resolution Parabolic Radon Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.4.1 Least squares Parabolic Radon transform . . . . . . . . . . . . . . . 219 7.4.2 High resolution parabolic Radon transform . . . . . . . . . . . . . . 220 7.4.3 Conjugate gradients and circulant matrices . . . . . . . . . . . . . . 221 7.4.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7.5 Programs for Slant Stack and Parabolic Radon Transforms . . . . . . . . . . 223 7.6 Time variant velocity stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.6.1 The conjugate gradients algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.6.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.7 High Resolution Radon Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.8 Interpolation problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 8 SeismicLab 247
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Page 3 and 4: Contents 1 Fourier Analysis 1 1.1 I
Page 5: CONTENTS v 4.2.3 Deconvolution in t

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