Statistical and Transform Methods in Geophysical Signal Processing

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iv CONTENTS 2.3.4 Least squares inversion of a minimum phase dipole . . . . . . . . . 43 2.3.5 Inversion of Minimum Phase sequences . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 MATLAB codes used in Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1 Inversion of dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.2 Amplitude and phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.3 Least squares inversion of a dipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4.4 Eigenvalues of the Toeplitz matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.5 Least square inverse filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.5 The autocorrelation function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5.1 The Toeplitz matrix and the autocorrelation coefficients . . . . . . . 56 2.6 Inversion of non-minimum phase wavelets: optimun lag Spiking filters . . 59 3 Discrete Fourier Transform 61 3.1 The Z transform and the DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.1 Inverse DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.2 Zero padding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.3 The Fast Fourier Transform (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.4 Working with the DFT/FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 The 2D DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 On the Design of Finite Impulse Response filters . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.1 Low Pass FIR filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.2 High Pass filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4 Deconvolution of reflectivity series 79 4.1 Modeling normal incidence seismograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Normal incidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.2 Impulse response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Deconvolution of reflectivity series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.1 The autocorrelation sequence and the white reflectivity assumption 86 4.2.2 What to do with the noise? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
CONTENTS v 4.2.3 Deconvolution in the frequency domain . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3 Sparse deconvolution and Bayesian analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.1 Norms for sparse deconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3.2 Modifying ¢¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.3 Iterative solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.3.4 Hyperparameter selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4 Bayesian inversion of impedance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.5 Linear programming impedance inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5.1 Constrained minimization using linear programming . . . . . . . . 116 4.5.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.5.3 Linear programming code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.6 Non-minimum phase wavelet estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.6.1 Non-minimum phase system identification . . . . . . . . . . . . . . 120 4.6.2 The bicepstrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.6.3 The tricepstrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.6.4 Computing the bicepstrum and the tricepstrum . . . . . . . . . . . 125 4.6.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.7 Minimum entropy deconvolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.7.1 Minimum Entropy estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.7.2 Entropy norms and simplicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.7.3 Wiggins’ algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.7.4 Frequency domian algorithm (Sacchi et. al, 1994) . . . . . . . . . . 142 4.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5 Signal-to-noise-ratio Enhancement 147 5.1 £¥¤ filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.1.1 The signal model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.1.2 AR FX Filters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.1.3 Data resolution matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.1.4 The convolution matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
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Page 7 and 8: CONTENTS vii 7.1.3 The sampling the

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