神奇的模式概率与“鞅数学与工程的对话

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数 学 经 纬
神 奇 的 模 式 概 率 与 “ 鞅 ”
李 硕 彥
数
A Dialogue between Math & Engineering
学
与
工
程
的
对
话
违 反 直 觉 的 模 式 概 率
William Feller 的 经 典 教 科 书 《 概 率 论 及 其 应 用 》 提 到 一
个 试 验 : 重 复 抛 掷 一 个 标 准 硬 币 , 一 直 到 连 续 6 次 出 现 人 头 。
用 H(= Head) 代 表 硬 币 的 人 头 那 面 ,T(= Tail) 代 表 尾 巴 ,
连 续 出 现 6 个 H 所 构 成 的 模 式 就 表 示 为 HHHHHH。 抛 掷 硬
币 的 次 数 就 叫 作 这 个 模 式 的 “ 等 待 时 间 ”, 它 是 一 个 随 机 变
量 , 最 小 值 是 6, 最 大 值 无 限 。Feller 问 : 这 个 等 待 时 间 的
均 值 有 多 大 ?
标 准 硬 币 的 H 和 T 出 现 的 概 率 均 等 , 所 有 2 6 = 64 个 由
H 和 T 构 成 的 长 度 为 6 的 模 式 都 有 相 同 的 机 会 出 现 。 如 果
抛 掷 硬 币 64,000,000 次 , 每 一 个 模 式 都 会 出 现 1,000,000 次
左 右 。 换 句 话 说 , 平 均 来 讲 每 掷 64 次 就 每 一 个 模 式 都 会 出
现 一 次 。 所 以 我 们 试 着 推 论 :
• 所 有 64 个 模 式 的 平 均 等 待 时 间 都 是 64。
数 学 文 化 / 第 3 卷 第 3 期 73

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William Feller 生 前 并 没 有 完 成 这 部 上 下 两 册 的 概 率 论 经 典 。 他 死 后 , 学 生 帮 忙 作 最 后 的 编 辑 、 付 印
真 的 可 以 这 样 推 论 吗 ? Feller 不 放 心 , 于 是 将 这 个 问
题 直 接 当 成 马 尔 科 夫 链 , 细 心 地 作 了 冗 长 的 计 算 , 结 果 是 :
• HHHHHH 模 式 的 平 均 等 待 时 间 不 是 64, 而 是 126。
这 否 定 了 前 面 的 推 论 。Feller 又 尝 试 另 一 个 长 度 为 6 的 模 式 :
• HHTTHH 模 式 的 平 均 等 待 时 间 不 是 64, 也 不 是 126,
而 是 70。
Feller 称 自 己 这 些 计 算 的 结 果 “ 违 反 直 觉 ”。
真 理 和 童 话 愉 快 地 吻 合 , 被 冷 落 一 旁 的 是 直 觉
当 科 学 真 理 与 直 觉 相 违 背 的 时 候 , 问 题 自 然 是 在 直 觉
那 一 方 。 平 均 来 说 , 每 抛 掷 硬 币 64 次 , 任 何 一 个 长 度 为 6
的 模 式 都 会 见 到 一 次 , 这 是 正 确 的 。 用 较 为 严 谨 的 数 学 语 言
来 说 :
• 每 一 个 长 度 为 6 的 模 式 的 平 均 “ 刷 新 时 间 ” 都 是 64。
刷 新 时 间 指 的 是 从 这 个 模 式 出 现 到 下 一 次 再 次 出 现 的 时 间 ,
它 也 是 一 个 随 机 变 量 。 譬 如 说 , 抛 掷 硬 币 出 现 了 这 个 序 列 :
…HTHHTTHHTHHTTTTHTHTTTTHHHHTTHHTTHHH…
其 中 三 个 红 色 的 H 代 表 HHTTHH 模 式 完 成 的 时 候 。 从 第 一
次 完 成 这 个 模 式 之 后 , 又 掷 了 硬 币 21 次 才 出 现 第 二 次 , 这
时 候 , 刷 新 时 间 这 个 随 机 变 量 就 取 值 为 21。 之 后 又 掷 了 4
次 就 出 现 第 三 次 。 这 回 , 刷 新 时 间 取 值 为 4。
HHTTHH 模 式 的 刷 新 时 间 的 最 小 值 是 4, 而 等 待 时
间 的 最 小 值 是 6。 两 个 随 机 变 量 明 显 地 不 同 , 而 等 待 时 间
只 可 能 偏 大 。 只 要 你 的 直 觉 将 两 者 区 分 开 来 , 结 论 就 应
该 是 :
• HHTTHH 模 式 的 平 均 等 待 时 间 > 64, 其 他 等 长 模 式 的
平 均 等 待 时 间 ≥ 64。
Feller 算 出 HHTTHH 的 平 均 等 待 时 间 为 70, 完 全 没 有 矛 盾 。
计 算 概 率 的 时 候 , 直 觉 是 最 重 要 的 , 但 也 是 最 易 引 入
陷 阱 的 。 底 下 我 们 再 用 一 个 例 子 来 看 一 般 的 直 觉 和 科 学 真 理
可 以 相 去 多 远 。 还 是 连 续 抛 掷 一 个 标 准 硬 币 , 看 THTH 和
HTHH 这 两 个 模 式 之 间 “ 哪 一 个 先 出 现 , 也 就 是 说 , 让 这
两 个 模 式 “ 赛 跑 ”。 从 平 均 等 待 时 间 来 看 ,THTH 是 20, 而
HTHH 是 18。 也 就 是 说 ,THTH 跑 得 比 较 慢 ,HTHH 比 较 快 。
那 么 ,
• 这 场 赛 跑 的 胜 算 比 (odds) 是 不 是 应 该 很 接 近 于 9 比 10
呢 ?
答 案 是 否 定 的 , 其 实 这 是 一 面 倒 的 竞 赛 , 正 确 的 胜 算 比 是 9
比 5。 也 就 是 说 , 双 方 赢 的 概 率 各 自 是 9/14 和 5/14。 看 完
本 文 之 后 , 读 者 就 能 很 容 易 地 算 出 这 个 胜 算 比 , 当 然 也 能 立
刻 得 出 THTH、HTHH、HHHHHH、HHTTHH 的 平 均 等 待
时 间 , 而 且 完 全 不 需 要 马 尔 科 夫 链 的 冗 长 计 算 。
在 解 释 这 个 一 面 倒 的 现 象 之 前 , 还 有 一 点 小 小 的 补 充 :
• 这 个 一 面 倒 的 胜 算 比 是 倒 向 比 较 慢 的 那 个 模 式 。 平 均
每 14 场 赛 跑 ,THTH 赢 9 次 , 比 较 快 的 模 式 HTHH 反
倒 只 赢 5 次 。
模 式 的 概 率 就 是 这 么 神 奇 。 有 些 时 候 , 科 学 的 真 理 乍
听 之 下 好 像 是 童 话 故 事 。 事 实 上 , 用 童 话 故 事 来 解 释 这 个 胜
算 比 就 再 简 单 不 过 了 : 参 与 赛 跑 的 THTH 模 式 以 T 开 头 , 代
表 乌 龟 (Tortoise)。 另 一 个 参 赛 者 HTHH 以 H 开 头 , 代 表
野 兔 (Hare)。 童 话 故 事 里 , 龟 兔 赛 跑 通 常 是 乌 龟 胜 , 当 然
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也 有 说 是 野 兔 赢 的 , 两 种 说 法 的 比 例 大 约 是 9 比 5。 所 以 真
理 和 童 话 愉 快 地 吻 合 了 , 被 冷 落 一 旁 的 是 直 觉 。 当 然 , 这 只
是 文 字 游 戏 , 不 是 科 学 的 解 释 , 用 来 取 悦 小 孩 还 可 以 。
一 场 , 然 后 田 忌 小 胜 两 场 , 从 此 齐 王 不 再 当 田 忌 为 自 动 提 款
机 。 这 就 是 成 语 “ 田 忌 赛 马 ” 的 由 来 。
参 与 赛 跑 的 THTH 模 式 以 T
开 头 , 代 表 乌 龟 (Tortoise)。
对 手 HTHH 模 式 以 H 开 头 ,
代 表 野 兔 (Hare)。 乌 龟 的
平 均 等 待 时 间 是 20, 而 野 兔
是 18, 所 以 乌 龟 跑 得 比 较 慢 ,
野 兔 比 较 快 。 但 是 , 绝 大 多
数 的 时 候 是 乌 龟 跑 赢
上 驷
田 忌
齐 王
上 驷
中 驷
中 驷
古 今 中 外 的 田 忌 赛 马
上 述 受 冷 落 的 直 觉 只 是 未 受 过 训 练 的 直 觉 。 正 确 的 直
觉 是 什 么 ? 底 下 我 们 来 看 一 个 随 机 的 长 序 列 :
下 驷
下 驷
TTHTTHHTTHTHHTTHHHTTTTHTHHTHTTTHTTTTHTHHTHTT
THTHTHTTHTTHTHTTTHTHHTHTTHTHHHHTHHTTHTTHTHHT
HHTHHTHTTTHTTTTHTTTTTHTHHTHHTHHTHTTHTHHTHTTT
THTHHTHTTTHTHHTHHTHTTTHHTHHTHTHTTHTHTHHTHTHT
THTHHHHTHTHTTHTTH…
大 致 上 , 有 十 六 分 之 一 的 字 母 是 绿 色 的 H, 用 于 表 示 THTH
模 式 完 成 的 时 候 。 有 十 六 分 之 一 是 红 色 的 H, 用 于 表 示
HTHH 模 式 完 成 的 时 候 。 两 者 的 个 数 大 致 相 等 , 但 是 分 布 的
方 式 不 同 , 有 一 半 的 绿 H 其 后 紧 跟 着 红 H, 但 是 在 每 一 个
红 H 之 后 的 3 个 字 母 绝 对 不 会 是 绿 H。 所 以 , 如 果 从 长 序
列 中 随 机 取 一 点 开 始 寻 找 有 颜 色 的 H, 第 一 个 碰 到 的 比 较 可
能 是 绿 的 。 如 果 用 跑 马 场 的 语 言 来 说 , 每 次 野 兔 跑 赢 的 时 候 ,
都 至 少 要 赢 一 个 马 身 , 而 乌 龟 赢 的 时 候 有 一 半 是 仅 赢 一 个 马
颈 。 野 兔 赢 的 少 , 但 都 是 大 胜 , 乌 龟 赢 的 多 , 但 常 是 小 胜 。
合 计 起 来 , 双 方 的 实 力 其 实 相 等 。
战 国 时 期 , 齐 国 的 国 王 总 是 用 赛 马 来 赢 公 子 田 忌 的 钱 。
有 一 天 , 齐 王 又 邀 请 田 忌 赛 三 场 马 , 当 时 齐 王 拥 有 全 国 第 1、
第 3、 第 5 快 马 , 而 田 忌 有 的 是 第 2、 第 4、 第 6。 不 敢 拒 绝
国 王 的 邀 请 , 但 是 明 摆 的 又 要 输 三 笔 钱 , 田 忌 实 感 为 难 。 这
时 , 军 事 谋 略 家 孙 膑 是 田 忌 的 座 上 客 , 他 教 田 忌 向 齐 王 建 议 :
加 大 赌 注 , 然 后 三 赛 二 胜 的 一 方 独 赢 。 齐 王 欣 然 同 意 , 等 着
收 取 一 大 笔 横 财 , 而 且 , 即 使 意 外 地 输 一 场 也 无 妨 , 等 于 是
买 了 双 保 险 。 比 赛 当 天 , 田 忌 祭 出 孙 膑 的 战 略 :“ 以 上 驷 对
中 驷 、 中 驷 对 下 驷 、 下 驷 对 上 驷 ”。 结 果 , 齐 王 的 上 驷 先 胜
3
THTH 常 跑 赢 HTHH 凭 的 就 是 孙 膑 的 小 胜 多 胜 战 略 。
1969 年 的 数 学 消 遣 杂 志 (J. Recreational Math) 中 ,Walter
Penney 也 提 到 了 掷 硬 币 的 赌 博 : 两 个 人 各 选 一 个 长 度 为 3 的
模 式 , 谁 的 模 式 先 出 现 就 赢 。 技 巧 是 要 让 对 手 先 选 模 式 , 然
后 针 对 它 选 一 个 的 最 优 的 克 星 。 那 个 年 代 , 美 国 有 一 个 中 学
生 就 将 这 个 游 戏 理 论 付 诸 实 践 , 赢 了 同 学 们 很 多 钱 。 只 可 惜 ,
他 的 实 践 成 果 太 过 辉 煌 , 差 点 被 学 校 开 除 。
抛 掷 硬 币 , 两 个 人 各
选 一 个 长 度 为 3 的 模
式 , 谁 的 模 式 先 出 现
就 赢 。 技 巧 是 要 让 对
手 先 选 模 式 , 然 后 针
对 它 选 一 个 的 最 优
的 尅 星 , 也 就 是 箭 头
所 指 向 的 模 式
TTT
2 :
1
3 :
1
THT
TTH
2 : 1
HTT
1 : 7 1 : 2
THH
HHT
HTH
3 :
1
2 :
1
7 : 1
HHH
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