Schwarz-Christoffel Formula for Multiply Connected Domains

12 (2012), No. 2 Schwarz-Christoffel Formula for Multiply Connected Domains 459
∑
and summation of the results obtained (including 1 n
2 m=1
term) yields
(32)
ϕ k (z) = c k + 1 2
for |z − a k | ≤ r k .
n∑ ∑M m
m=1 l=1
∑ Mm
l=1
(
β lm ln z lm − z
z lm − w + ∑ ln z lm − z(k ∗ 1 )
z
k 1 ≠k lm − w(k ∗ 1 )
+ ∑ k 1 ≠k
+ ∑ k 1 ≠k
∑
ln z lm − z(k ∗ 2 k 1 )
z lm − w ∗ k 2 ≠k 1
(k 2 k 1 )
∑
k 2 ≠k 1
∑
ln z lm − z(k ∗ 3 k 2 k 1 )
z
k 3 ≠k lm − w ∗ 2 (k 3 k 2 k 1 )
for the second
)
+ · · ·
− ∑ (1 − iξ k1 ) ln a k 1
− z
a k1 − w − ∑ ∑
(1 − iξ k2 ) ln a k 2
− z(k ∗ 1 )
a
k 1 ≠k
k 1 ≠k k 2 ≠k k2 − w ∗ 1 (k 1 )
− ∑ ∑ ∑
(1 − iξ k3 ) ln a k 3
− z(k ∗ 2 k 1 )
a k3 − w ∗ k 1 ≠k k 3 ≠k 2
(k 2 k 1 )
− ∑ k 1 ≠k
k 2 ≠k 1
∑
∑
k 2 ≠k 1 k 3 ≠k 2
∑
k 4 ≠k 3
(1 − iξ k4 ) ln a k 4
− z ∗ (k 3 k 2 k 1 )
a k4 − w ∗ (k 3 k 2 k 1 )
+ · · · ,
6. Construction of f ′ (z)
Substitute equation (32) for ϕ k in (25) and write the result for the function
F (z; ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ) = exp(Ω(z)) in the form of the infinite product
{ ⎡
n∏ ∏M m ( ) ( )
βlm /2
zlm − z
n∏
⎤ zlm − z ∗ βlm /2
(k)
(33) F (z; ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ) =
⎣
⎦
z
m=1
lm − w
z
l=1
k=1 lm − w(k)
∗
⎡ ( )
n∏
⎤ ∏ zlm − z ∗ βlm /2 }
(k
× ⎣
1 k)
⎦ · · ·
z lm − w ∗ k=1 k 1 ≠k
(k 1 k)
[
∏ n ( ) ] ⎡ ( ) ⎤
1−iξk
ak − w
n∏ ∏ ak1 − w ∗ 1−iξk1
(k)
×
⎣
⎦
a k − z
a
k=1
k=1 k 1 ≠k k1 − z(k)
∗
⎡
( ) ⎤
n∏ ∏ ∏ ak2 − w ∗ 1−iξk2
(k
× ⎣
1 k)
⎦ · · · .
a k2 − z ∗ k=1 k 1 ≠k k 2 ≠k 1
(k 1 k)
This product converges uniformly in every compact subset of D\{∞}.