卒論(pdf) - 地球惑星科学科 - 北海道大学

月 惑 星 の 重 力 場 におけるカウラ 則 と
カウラ 定 数 のスケーリング 則
Kaula’s rule and the scaling law of the Kaula constant
in the lunar-planetary gravity fields
北 海 道 大 学 理 学 部 地 球 惑 星 科 学 科
宇 宙 測 地 学 研 究 室
22090298
橋 本 実 奈
指 導 教 官 : 日 置 幸 介

目 次
要 旨 .................................................................................................................... 2
Abstract ............................................................................................................. 3
第 1 章 重 力 で 探 る 月 惑 星 ................................................................................ 4
1. 重 力 場 研 究 の 意 義 ・ 手 法 ......................................................................... 4
2. 本 研 究 の 目 的 ........................................................................................... 5
第 2 章 カウラの 法 則 ....................................................................................... 6
1.カウラの 法 則 とは .................................................................................... 6
2. 月 ・ 火 星 ・ 地 球 ・ 金 星 のカウラの 法 則 .................................................... 7
3. カウラ 定 数 ............................................................................................. 10
第 3 章 カウラ 定 数 のスケーリング 則 ............................................................ 14
1. スケーリング 則 とは ................................................................................. 14
2. 小 惑 星 ベスタ ........................................................................................ 17
3. 重 力 とカウラ 定 数 のスケーリング 則 ..................................................... 18
第 4 章 月 の 表 裏 の2 分 性 .............................................................................. 19
1. 月 の 表 裏 の 特 徴 ..................................................................................... 19
2.2 分 性 の 原 因 ( 仮 説 )........................................................................... 20
3. 天 体 内 でのカウラ 定 数 の 違 い ................................................................ 21
1 仮 想 的 な 月 ......................................................................................... 22
2 ジオイド 高 になおす ........................................................................... 24
3 仮 想 的 な 月 :カウラの 法 則 ................................................................ 27
4 カウラ 定 数 ......................................................................................... 28
5 表 裏 のカウラ 定 数 の 違 い: 考 察 ......................................................... 29
第 5 章 今 後 の 展 望 ......................................................................................... 30
1. 今 後 取 り 組 みたい 研 究 ............................................................................ 30
2. 月 の 重 力 探 査 の 歴 史 .............................................................................. 30
3.GRAIL ................................................................................................... 32
1GRAIL の 仕 組 み.................................................................................... 32
2 GRAIL の 性 能 .................................................................................... 33
4. 謝 辞 ......................................................................................................... 37
5. 参 考 文 献 ................................................................................................ 37
1

要 旨
月 惑 星 の 重 力 場 は 重 力 ポテンシャルを 球 関 数 展 開 した 際 の 係 数 (ストークス 係 数 )で
モデル 化 される。 月 惑 星 の 全 球 的 な 重 力 場 は、 地 球 は GRACE、 月 は SELENE や GRAIL と
いった 重 力 探 査 衛 星 で 観 測 される。 現 在 では 地 球 や 月 では 球 関 数 の 次 数 にして 数 百 次 ま
での 係 数 が 推 定 されており、 高 解 像 度 の 重 力 異 常 図 を 描 くことが 可 能 になった。 高 次 の
係 数 は 細 かい 重 力 異 常 の 特 徴 を、 低 次 の 係 数 は 大 局 的 な 構 造 を 反 映 しており、 研 究 の 用
途 に 応 じて 様 々な 解 像 度 の 重 力 異 常 が 用 いられる。
カウラの 法 則 とは、こういった 重 力 場 の 係 数 の 大 きさが 次 数 n の 2 乗 に 反 比 例 すると
いうおおざっぱな 目 安 (rule-of-thumb)である。 本 研 究 では、この 法 則 が 月 ・ 火 星 ・ 地 球 ・
金 星 で 良 く 成 り 立 ていることがを 明 らかにした。 球 関 数 の 次 数 が 高 いほど 重 力 異 常 の 波
長 が 小 さく、 低 次 のものほど 大 きい。つまりこの 法 則 は 重 力 異 常 の 振 幅 が 波 長 の 二 乗 に
比 例 して 大 きくなることに 対 応 している。
本 研 究 では、カウラの 法 則 の 比 例 定 数 のことをカウラ 定 数 と 呼 ぶ。 一 般 にカウラ 定 数
は 小 さい 天 体 ほど 大 きな 値 をとるが、ここでいうスケーリング 則 はその 値 が 表 層 重 力 の
2 乗 に 反 比 例 して 小 さくなるという 法 則 である( 本 来 の 文 献 [Kaula,1963]では 半 径 の4
条 に 比 例 、 質 量 の2 乗 に 反 比 例 すると 書 かれている)。 月 ・ 火 星 ・ 地 球 ・ 金 星 のカウラ
定 数 を 比 較 してみた 結 果 、これら4 天 体 に 関 してはスケーリング 則 がほぼ 成 り 立 つこと
がわかった。ある 天 体 がこの 法 則 から 外 れている 場 合 は、その 天 体 の 内 部 を 構 成 する 物
質 の 温 度 や 粘 性 等 が 他 の 地 球 型 天 体 と 違 っていることが 示 唆 される。 最 近 の Messenger
の 探 査 によると、 水 星 の 重 力 場 はこのスケーリング 則 から 下 にずれるらしい。その 原 因
として、 水 星 は 金 属 でできた 中 心 核 の 半 径 が 相 対 的 に 大 きいため、 岩 石 に 比 べて 小 さい
金 属 の 粘 性 が 低 次 の 重 力 異 常 を 小 さく 抑 えている 可 能 性 が 考 えられる。
月 には 表 側 と 裏 側 の 二 分 性 があることが 良 く 知 られている。 表 側 は 地 殻 が 薄 く 地 形 が
平 坦 であるが、 裏 側 は 地 殻 が 厚 く 凸 凹 が 多 い。 二 分 性 の 原 因 については 諸 説 あるが、 表
裏 の 熱 史 の 違 いを 反 映 している 可 能 性 が 高 い。 月 の 成 り 立 ちや 熱 史 は 重 力 異 常 図 からも
ある 程 度 推 測 できる。 本 研 究 でこれまで 天 体 間 で 比 較 していたカウラ 定 数 を、 同 一 天 体
の 半 球 間 で 比 較 することで、 地 下 構 造 や 熱 史 の 違 いを 考 察 した。その 結 果 、 裏 側 でより
大 きなカウラ 定 数 が 得 られ、 表 側 よりも 裏 側 の 重 力 異 常 が 相 対 的 に 大 きいことをカウラ
定 数 の 値 の 形 で 比 較 することができた。
2

Abstract
Gravity fields of the moon and planets are modeled as the sum of spherical harmonics of various
degrees/orders, and their coefficients are called as the Stokes’ coefficients. These coefficients with
degrees and orders complete to a few hundreds have been estimated using the tracking data of
artificial satellites such as GRACE (the earth), SELENE and GRAIL (the moon). High degree
coefficients show fine structure of the shallow mass distribution, and low degree coefficients
reflect global scale mass distribution of the body. Kaula’s rule-of-thumb predicts that the Stokes’
coefficients are inversely proportional to the square of the degree n of the spherical harmonics. In
this study, I confirmed that this is the case for the moon, the earth, Mars and Venus. Smaller
coefficients for higher degrees mean that the long wavelength components have larger amplitudes.
Here I refer to the factor to link 1/n 2 to the Stokes’ coefficients as the Kaula constant. The smaller
celestial body is considered to have a larger Kaula constant, and they are considered to obey a
scaling law that the coefficient is inversely proportional to the square of the surface gravity of the
body (in the original paper by. Kaula [Kauka,1963], the constant is suggested to scale with R 4 /M 2 ,
where R and M denote the radius and the mass of the body, respectively). This scaling law is
confirmed to hold true for the moon, Mars, Venus, and the earth. Departure from this scaling law
would imply some difference of the physical properties (such as viscosity) of the material that
makes up the interior of the body. Recent data on the gravity field of Mercury taken by
MESSENGER seem to indicate such a departure, which may reflect the unusually large relative
radius of the metallic core of Mercury.
The lunar farside and nearside are known to be very different, i.e. the nearside has thin crust and
flat terrain, whereas the farside has thick crust and rugged terrain. There are several hypotheses
for the origin of such lunar dichotomy, and many of those suggest some difference in thermal
history between the two sides. Such a difference can be studied with the gravitational field. Here I
compared the Kaula constant of these lunar two hemispheres by creating two hypothetical moons,
those composed of only farside and only nearside. The Kaula constant of the farside showed
slightly larger value than the nearside, suggesting colder internal temperature of the lunar farside .
3

第 1 章 重 力 で 探 る 月 惑 星
1. 重 力 場 研 究 の 意 義 ・ 手 法
月 や 惑 星 の 起 源 や 成 り 立 ちを 探 る 方 法 には 大 きく 分 けて2つある。1つ 目 は 化 学 的 手
法 ( 物 質 科 学 的 手 法 )、2つ 目 は 物 理 学 的 手 法 ( 力 学 的 ・ 電 磁 気 学 的 手 法 )である。 前
者 は 実 際 に 直 接 探 査 機 で 地 表 の 岩 石 を 採 取 したサンプルや 隕 石 などを 同 位 体 分 析 や 質
量 分 析 などの 手 法 を 用 いてそのサンプルがどこの 由 来 であるか、どのような 環 境 下 で 形
成 されたか、などを 調 べる。 後 者 は 本 研 究 のメインの 手 法 であり、 例 えば 月 や 惑 星 の 重
力 場 を 観 測 することで 起 源 ・ 成 り 立 ちを 探 る。
重 力 場 を 調 べることが 月 惑 星 の 起 源 ・ 成 り 立 ちを 探 ることに 繋 がる 理 由 は、その 天 体
の 重 力 場 は 地 表 の 特 徴 や 表 面 下 の 内 部 構 造 を 反 映 しているためである。 特 に 内 部 の 構 造
に 関 しては 地 表 の 様 子 からはうかがい 知 ることが 出 来 ないので、 重 力 場 を 観 測 すること
が 重 要 な 手 段 となる。 内 部 の 様 子 を 知 ることは、その 天 体 の 起 源 や 形 成 過 程 を 探 ること
につながる。
重 力 場 によって 内 部 の 様 子 を 知 ることができるのは、 簡 単 にいえば 重 力 は 天 体 の 内 部
に 周 囲 より 密 度 の 大 きいものがあれば 大 きくなり、 周 囲 より 密 度 の 小 さいものがあれば
小 さくなるためである。こうして 探 査 機 の 軌 道 は 重 力 の 影 響 で 少 しずつ 変 わり、それを
解 析 することで 内 部 の 質 量 分 布 が 大 まかにわかるのである。
実 際 に 重 力 場 を 解 析 する 方 法 は、 例 えば 月 であれば SELENE(Selenological and
Engineering Explorer, 打 ち 上 げ 後 は「かぐや」の 愛 称 で 知 られる)や 最 新 の 重 力 探 査
機 GRAIL (Gravity Recovery and Interior Laboratory)から 得 られる 衛 星 追 尾 データ
から、 軌 道 を 解 析 するための 特 別 なプログラムで 重 力 場 を 推 定 する。 得 られた 重 力 場 は
C 言 語 やフォートランなどのプログラム 言 語 を 用 いて 図 として 可 視 化 する。 重 力 場 は 球
面 調 和 関 数 の 足 し 合 わせとしてモデル 化 されるので、 重 力 場 モデルはそれらの 係 数 のセ
ットとして 与 えられる。SELENE は、これまで 直 接 観 測 できなかった 月 の 裏 側 の 重 力 場
をリレー 衛 星 を 用 いた 衛 星 間 追 尾 によって 明 らかにした。その 結 果 月 の 重 力 場 は 次 数
150 次 ほどまで 明 らかになった。 最 も 新 しい 月 探 査 機 である GRAIL では、 同 じ 低 い 軌 道
を 周 回 する 双 子 衛 星 間 の 追 尾 によって、450 次 におよぶ 細 かい 重 力 異 常 の 構 造 を 明 らか
にした。
一 般 に 次 数 が 高 くなるほど 空 間 波 長 の 短 い 細 かい 特 徴 をとらえることができ、 低 次 の
重 力 場 はその 天 体 の 大 局 的 な 質 量 分 布 を 表 す。 例 えば2 次 の 項 は、 自 転 による 赤 道 のふ
くらみや 潮 汐 変 形 を 表 す。それらと 力 学 的 扁 平 率 を 組 み 合 わせることによって、 天 体 の
慣 性 モーメントがわかる。その 大 きさは、 天 体 の 中 心 への 質 量 集 中 度 の 指 標 であり、 金
属 コアの 大 きさなどが 推 定 できる。たとえば 均 一 な 内 部 構 造 を 持 つ 球 状 の 物 体 の 慣 性 モ
4

ーメントは 下 記 の 計 算 によると(2/5)MR 2 となり(M は 天 体 の 質 量 、R は 半 径 を 示 す)、 得
られた 慣 性 モーメントの 係 数 が(2/5)より 小 さいと 金 属 核 の 存 在 が 示 唆 される。
ρ
v
(rrrrr) 2 dd =
0
R
R
π
0
π 2π
2π
ρ(rrrrr) 2 rrrrrr∅
0
= ρ r 4 sss 3 θθ∅dddd = 2 5 MR2
rrr dd
0 0 0
極 座 標 (r, θ, ∅)で 計 算 した 半 径 R で 質 量 M を 持 つ 一 様 な 天 体 の 慣 性 モーメント
2. 本 研 究 の 目 的
本 研 究 では 月 惑 星 の 重 力 場 におけるカウラ 則 と、カウラ 定 数 のスケーリング 則 につい
て 議 論 する(それらが 何 を 意 味 するかは2 勝 で 詳 しく 述 べる)。 月 惑 星 研 究 の 最 終 目 標
はその 起 源 や 進 化 を 明 らかにすることであり、 特 に 月 に 関 しては、 同 期 自 転 のため 地 球
からの 追 尾 では 裏 側 の 重 力 場 が 求 められなかった。これが SELENE により 劇 的 に 改 良
され、さらに 米 国 の 最 新 の 月 の 探 査 ミッション GRAIL により 全 球 の 重 力 場 解 析 が 非 常 に
高 精 度 になった。その 結 果 、 月 の 起 源 や 成 り 立 ちを 明 らかにするための 一 歩 として 月 の
表 裏 の2 分 性 を 明 らかにする 研 究 が 日 々 進 んでいる。2 分 性 を 明 らかにするには 月 の 熱
的 な 歴 史 、“ 熱 史 ”の 解 明 が 必 須 である。2 分 性 に 関 しては 第 4 章 で 詳 しく 述 べるが、
表 裏 での 熱 史 の 違 いが2 分 性 の 主 な 原 因 であると 推 測 されている。
重 力 場 を 解 析 することは、 直 接 見 ることはできない 地 下 の 構 造 を 知 ることができる。
特 に 地 形 と 重 力 異 常 を 比 較 することによって、アイソスタシーの 状 態 を 推 察 でき、 天 体
内 部 の 熱 的 な 構 造 を 議 論 することができる。 特 にカウラ 則 やカウラ 定 数 は、 天 体 全 体 の
重 力 場 の 特 徴 を 反 映 するため、 天 体 の 平 均 的 な 内 部 の 物 性 や 温 度 を 比 較 する 良 い 尺 度 と
なる。また 一 つの 天 体 内 でも 半 球 毎 のカウラ 定 数 の 違 いから、 月 の 表 裏 や 火 星 の 南 北 の
ような2 分 性 の 原 因 となった 出 来 事 が 解 明 できるかも 知 れない。 本 研 究 では、 月 惑 星 の
起 源 ・ 成 り 立 ちを 明 らかにするための 一 歩 として 重 力 場 解 析 という 切 り 口 で、 特 に 全 球
の 重 力 異 常 を 特 徴 づけるカウラ 則 やカウラ 定 数 を 天 体 間 で 比 較 することにより、 比 較 惑
星 学 的 に 新 しい 知 見 を 得 ることを 目 標 とする。
5

第 2 章 カウラの 法 則
1.カウラの 法 則 とは
重 力 場 は 球 面 調 和 関 数 ( 球 関 数 )P nm (sinθ)とストークス 係 数 C nm , S nm を 用 いて 以 下 の
ように 表 される。G は 万 有 引 力 定 数 、M は 質 量 、n は degree 、m は order、である。
カウラの 法 則 (Kaula’s Rule-of-thumb)とは、さまざまな 月 ・ 惑 星 の 重 力 場 で、ストーク
ス 係 数 の 大 きさは 球 関 数 の 次 数 n の 2 乗 に 反 比 例 するという 法 則 で、 重 力 研 究 の 草 分 け
である 米 国 のウィリアム・カウラ(William Kaula, 1926-2000)が 1966 年 に 提 唱 した 経 験 則
である。 以 下 の 式 はカウラ 定 数 の 定 義 で、C lm , S lm は 標 準 偏 差 で l は 次 数 、m は 位 数 を 表
している
この 法 則 は 地 球 型 惑 星 ではある 程 度 成 り 立 つことが 知 られているが、 本 研 究 では 全 球
重 力 場 が 得 られている 衛 星 や 惑 星 全 体 について 改 めてそれを 調 べた。
図 1 の 通 り、 次 数 は 高 次 項 のものほど 振 幅 が 小 さく、 低 次 項 のものほど 大 きい。つま
り 重 力 異 常 の 振 幅 が 次 数 の2 乗 に 反 比 例 して 小 さくなることに 対 応 している。それは 重
力 の 水 平 勾 配 が 異 なる 次 数 間 であまり 違 わないためである。
6

振 幅 大
低 次 項
振 幅 小
高 次 項
図 2-1
低 次 のものは 振 幅 が 大 きくなり、 高 次 のものは 振 幅 が 小 さくなる 様 子 を 表 している。 天 体 に 当 てはめる
と、 小 さな 天 体 は 重 力 異 常 が 大 きいため 表 面 が 凸 凹 しており、 大 きい 天 体 ほどアイソスタシーにより 打 ち
消 され 異 常 が 小 さくなり 表 面 はなだらかになる。つまり 重 力 異 常 の 振 幅 は 次 数 の2 乗 に 反 比 例 して 小 さく
なる。
2. 月 ・ 火 星 ・ 地 球 ・ 金 星 のカウラの 法 則
月 、 火 星 、 地 球 、 金 星 の 重 力 データを 解 析 してカウラの 法 則 が 成 り 立 つのかを 調 べた 結
果 が 図 2-2-a から e である。 月 は Hanada et al.,2009、 火 星 は David E. Smith et al.,1999、
地 球 は Torsten Mayer-Guerr et al.,2004、 金 星 は A. S. Konopliv et al.,1998 から
重 力 データを 得 た。 横 軸 が 次 数 、 縦 軸 がストークス 係 数 の 大 きさである。 縦 軸 は 実 際 に
は 次 数 n の 係 数 が 2n+1 個 存 在 するので、それらを 2 乗 して 平 均 したものの 平 方 根 で 代
表 させた。 図 2-2-a から e の 灰 色 の 曲 線 はカウラ 則 のモデル 曲 線 で、これら 4 つの 天 体
では 次 数 が 大 きくなると 係 数 が 小 さくなるという 特 徴 をよく 表 しているので、この 法 則
はおおむね 成 り 立 っていると 言 える。
7

図 2-2-a
月 のカウラの 法 則
縦 軸 が 係 数 、 横 軸 が 次 数 で 灰 色 の 曲 線 がカウラの 法 則 のモデル 曲 線 、 黄 緑 色 が 月 の 実 測 値 。 次 数 が 大 き
くなると 係 数 が 小 さくなるという 特 徴 をよく 表 している。 青 い 曲 線 が 誤 差 である。 高 次 になるほど 誤 差
が 大 きくなるが、それでも 100 次 までは 誤 差 より 実 測 値 の 曲 線 が 上 回 っているため 正 確 なデータといえ
る。
図 2-2-b 火 星 のカウラの 法 則
赤 い 曲 線 は 火 星 の 実 測 値 でその 他 は 上 図 と 同 じ。 火 星 も 次 数 が 大 きくなると 係 数 が 小 さくなるという 特
徴 をよく 表 している。
8

図 2-2-c 地 球 のカウラの 法 則
青 い 曲 線 は 地 球 の 実 測 値 でその 他 は 上 図 と 同 じ。 地 球 も 次 数 が 大 きくなると 係 数 が 小 さくなるという 特
徴 をよく 表 している。
図 2-2-d
黄 色 の 曲 線 は 金 星 の 実 測 値 でその 他 は 上 図 と 同 じ。 金 星 も 次 数 が 大 きくなると 係 数 が 小 さくなるという
特 徴 をよく 表 している。
9

図 2-2-e
4 つの 天 体 のカウラの 法 則
横 軸 が 次 数 、 縦 軸 がストークス 係 数 の 大 きさ。a-d までをまとめたもの。 縦 軸 は 実 際 には 次 数 n の 係 数
が 2n+1 個 存 在 するのでそれらを 2 乗 して 平 均 したものの 平 方 根 である。これら 4 つの 天 体 は 次 数 が 大 きく
なると 係 数 が 小 さくなるという 特 徴 をよく 表 している。
3. カウラ 定 数
カウラ 定 数 とは、 図 2-2 の 灰 色 のカウラ 則 のモデル 曲 線 と 実 測 値 の 誤 差 が 最 小 になる
値 で、 定 義 は 以 下 の 通 りである。( 地 球 の 場 合 ) 標 準 偏 差 を 係 数 の 個 数 で 割 り 平 方 根 を
とったものがカウラ 定 数 である。
誤 差 が 最 小 になる 値 をこの 4 つの 天 体 に 関 して 求 めた。その 結 果 が 図 2-3 である。 縦
軸 は RMS misfit なので 図 2-2 の 縦 軸 とは 異 なり、 実 測 値 と 平 均 値 の 誤 差 の 平 均 であり、
横 軸 はカウラ 定 数 。 解 析 した 結 果 月 は 0.00035、 火 星 は 0.00013、 地 球 は 0.0000082、
金 星 は 0.00001 になった。これより、 小 さい 天 体 ほどカウラ 定 数 は 大 きくなることがわ
かる。
10

図 2-3-a
月 のカウラ 定 数
縦 軸 は RMS misfit で 実 測 値 と 平 均 値 の 誤 差 の 平 均 、 横 軸 はカウラ 定 数 。 値 は 0.00035。
図 2-3-b
火 星 のカウラ 定 数
値 は 0.00013。
11

図 2-3-c
地 球 のカウラ 定 数
値 は 0.0000082。
図 2-3-d
金 星 のカウラ 定 数
値 は 0.00001。
12

0.000001
0.00001 0.0001
図 2-3
4 つの 天 体 のカウラ 定 数
4 天 体 すべてのカウラ 定 数 をまとめたもの。 上 図 と 同 じで 縦 軸 は RMS misfit で 実 測 値 と 平 均 値 の 誤 差 の 平
均 、 横 軸 はカウラ 定 数 。 小 さい 天 体 ほどカウラ 定 数 が 大 きくなる。
13

第 3 章 カウラ 定 数 のスケーリング 則
1. スケーリング 則 とは
重 力 場 を 球 関 数 展 開 した 係 数 (ストークス 係 数 )の 大 きさが 次 数 の 二 乗 に 反 比 例 して
小 さくなるというのがカウラ 則 である。スケーリング 則 は、この 比 例 定 数 を 様 々な 地 球
型 惑 星 や 衛 星 で 比 較 したときに、それらが 天 体 の 表 層 重 力 の2 乗 に 反 比 例 して 小 さくな
るという 法 則 である。 本 来 の 文 献 では、カウラ 定 数 は 半 径 の4 乗 に 比 例 、 質 量 の2 乗 に
反 比 例 するとなっているが、 表 層 での 重 力 が 質 量 を 半 径 の2 乗 で 割 ったものに 比 例 する
ことを 考 えると、 上 記 のようなことになる。 本 研 究 では、カウラの 法 則 の 他 にこのスケ
ーリング 則 も 成 り 立 つのかも 調 べた。
このスケーリング 則 を 図 3-1 に 模 式 的 に 示 す。 同 じ 次 数 の 重 力 異 常 を 異 なる 大 きさの
天 体 で 比 較 すると、 小 さな 天 体 ほど 振 幅 が 大 きくなることを 示 している。この 原 因 の 一
つは、 大 きな 天 体 は 表 面 重 力 が 大 きいので( 同 一 密 度 なら 表 面 重 力 は 半 径 に 比 例 )、 丸
くなろうとする 力 がより 強 く 働 くことである。さらに 天 体 が 大 きいと、 内 部 に 熱 を 保 ち
やすい( 放 射 性 壊 変 による 単 位 質 量 あたりの 発 熱 量 が 同 じなら、 熱 流 量 は 半 径 に 比 例 )
ので、リソスフェアが 薄 くなり、アイソスタシーによって 重 力 異 常 が 打 ち 消 されやすく
なることも 原 因 の 一 つであろう。
振 幅 大
小 さな 天 体
低 次 項
振 幅 小
大 きな 天 体
図 3-1
同 じ 次 数 の 重 力 異 常 を 異 なる 大 きさの 天 体 で 比 較 すると、 小 さな 天 体 ほど 振 幅 が 大 きくなることを 示 し
ている。この 原 因 の 一 つは、 大 きな 天 体 は 表 面 重 力 が 大 きいので( 同 一 密 度 なら 表 面 重 力 は 半 径 に 比 例 )、
丸 くなろうとする 力 がより 強 く 働 くことである。
14

図 3-2 はこれまでの4つの 天 体 の 重 力 異 常 を 解 析 したものである。あえて 同 じカラー
スケールで 描 くことで、 地 球 型 惑 星 や 衛 星 の 中 では 大 きい 方 である 地 球 や 金 星 は 前 述 の
通 りアイソスタシーが 良 く 成 り 立 っているため 重 力 異 常 が 比 較 的 小 さい 様 子 がわかり、
図 3-1 をわかりやすく 反 映 している。この 図 は 100 次 で 解 析 したが 現 在 では 地 球 は 360
次 、 月 は 450 次 まで 解 析 でき 高 解 像 度 の 重 力 場 地 図 をつくることが 可 能 になった。
図 3-2-a 月 の 重 力 異 常 (Hanada et al.,2009 からデータを 得 た)
大 きさの 異 なる4つの 天 体 のフリーエア 重 力 異 常 を 同 じカラースケールで 描 いたもの。 月 は 地 球 、 金 星
に 比 べて 小 さな 天 体 で、それほどアイソスタシーがはたらいておらず 異 常 が 大 きい( 特 に 裏 側 の 重 力 異 常
が 大 きい)
図 3-2-b 火 星 の 重 力 異 常 (David E. Smith et al.,1999 からデータを 得 た)
大 きさの 異 なる4つの 天 体 のフリーエア 重 力 異 常 を 同 じカラースケールで 描 いたもの。 火 星 も 月 と 同 じ
で 4 つの 天 体 の 中 では 重 力 異 常 が 大 きい。
15

図 3-2-c 地 球 の 重 力 異 常 (Torsten Mayer-Guerr et al.,2004 からデータを 得 た)
大 きさの 異 なる4つの 天 体 のフリーエア 重 力 異 常 を 同 じカラースケールで 描 いたもの。 月 、 火 星 に 比 べ
て 大 きい 天 体 である 地 球 、 金 星 はアイソスタシーがよくはたらいており 重 力 異 常 が 相 対 的 に 小 さい。
図 3-2-d 金 星 の 重 力 異 常 (A. S. Konopliv et al.,1998 からデータを 得 た)
大 きさの 異 なる4つの 天 体 のフリーエア 重 力 異 常 を 同 じカラースケールで 描 いたもの。 金 星 も 地 球 同 様
アイソスタシーがよくはたらいており 比 較 的 重 力 異 常 が 小 さい。
16

2. 小 惑 星 ベスタ
これまで 調 べてきた4つの 天 体 に 加 え、より 小 さな 小 惑 星 でもスケーリング 則 が 成 り
立 つかを 調 べたい。 小 惑 星 の 中 では 一 番 大 きいセレスでも 直 径 約 910km と 月 の 半 分 程 度
と、これまでに 見 てきた 天 体 に 比 べると 大 分 小 さい。ここで、ある 程 度 重 力 場 が 調 べら
れている 小 惑 星 ベスタに 関 して 概 略 を 述 べておく。
ベスタは 火 星 と 木 星 の 間 を 公 転 している 小 惑 星 である。 直 径 は 約 500km で、セレス、
パラス( 直 径 約 520km)に 次 いで 小 惑 星 帯 では 3 番 目 に 大 きい。ベスタはNASAが 2007
年 に 打 ち 上 げた 探 査 機 ドーンにより 地 表 の 地 形 や 組 成 に 関 して 詳 細 が 調 査 された。ドー
ンのリモートセンシングによるスペクトル 観 測 により、 表 面 の 物 質 が 隕 石 のような 始 原
的 な 物 質 ではなく 分 化 した 物 質 であることが 見 いだされた。これはベスタは 小 惑 星 とし
ては 珍 しく、 太 陽 系 の 惑 星 のように 天 体 内 部 が 層 状 構 造 となっていることを 示 唆 してい
る。ベスタの 一 番 外 側 はマグマオーシャンから 晶 出 した 低 カルシウム 輝 石 が 表 面 を 覆 っ
ており、その 下 はユークライトの 上 部 地 殻 、ダイオジェナイトの 下 部 地 殻 、 次 いでオリ
ビンのマントルで 構 成 されていると 推 測 されている。ベスタは 表 面 地 形 が 詳 細 に 調 べら
れており、 地 形 を 構 成 する 物 質 の 密 度 を 適 当 に 仮 定 することにより、 重 力 分 布 に 換 算 す
ることができる。すなわちベスタの 重 力 分 布 は 他 天 体 のように 探 査 機 の 軌 道 変 化 の 計 測
から 求 めたわけではなく、 計 測 された 地 形 と 密 度 の 仮 定 に 基 づいて 計 算 されたものであ
ることに 注 意 が 必 要 である。
図 3-3 ベスタの 地 表 の 様 子
http://dawn.jpl.nasa.gov/より
半 径 が 約 500km と 月 の3 分 の1 程 の 小 さい 天 体 のため、 重 力 異 常 は 相 対 的 に 大 きいと 考 えられる。
17

3. 重 力 とカウラ 定 数 のスケーリング 則
図 3-4 に 月 、 地 球 、 火 星 、 金 星 、ベスタの 表 面 重 力 とカウラ 定 数 の 関 係 を 示 す。 縦 軸
がカウラ 定 数 、 横 軸 が 表 面 重 力 である。スケーリング 則 が 成 り 立 っていれば、これらの
データは 赤 い 直 線 と 同 じ 傾 きを 持 つ 線 上 に 分 布 するはずである。カウラ 定 数 の 値 は 前 の
章 で 求 めたものを 用 い、ベスタに 関 しては 前 述 の 通 り 地 形 モデルから 推 定 されたもので
およそ 1.1E-2 とした。(A. S. Konopliv et al.,2010) 表 層 重 力 は 地 球 を 1.00 とすると
月 は 0.17、 火 星 は 0.38、 金 星 は 0.91 とした。
5つの 天 体 はおおむね 赤 い 直 線 にのっており、ストークス 係 数 が 表 層 重 力 の2 乗 に 反
比 例 して 小 さくなるというスケーリング 則 が 大 体 成 り 立 つことを 示 唆 している。この 法
則 からずれる 天 体 は 内 部 の 物 質 や 温 度 に 特 徴 があると 思 われるが、 未 発 表 ながら
MESSENGER の 観 測 によると 水 星 はこの 法 則 から 外 れるらしい(S.J. Goossens, NASA/GSFC
personal communication)。 水 星 内 部 はコア( 金 属 )の 部 分 が 相 対 的 に 大 きく、 低 次 の
部 分 の 重 力 異 常 を 小 さく 抑 えているからであると 推 測 されている。それは 岩 石 に 比 べ 金
属 が 相 対 的 に 粘 性 が 低 いためそうなると 考 えられる。
ベスタ
Kaula constant
月
火 星
金 星
地 球
図 3-4
ベスタ、 月 、 地 球 、 火 星 、 金 星 の 五 つの 天 体 について
表 層 重 力 ( 地 球 を1とする)と 重 力 のカウラ 定 数 を 比 較 したもの。スケーリング 則 が 成 り 立 てば、これ
らの 点 は 赤 い 直 線 と 同 じ 傾 きを 持 って 線 上 に 分 布 するはずである。
18

第 4 章 月 の 表 裏 の2 分 性
1. 月 の 表 裏 の 特 徴
月 の 表 と 裏 はほぼ 正 反 対 の 特 徴 を 示 している。 例 えば 表 側 は 地 殻 が 比 較 的 薄 く、 平 坦
な 地 形 であるが、 裏 側 は 地 殻 が 厚 く 凸 凹 で 高 地 が 多 い。また 表 側 は 海 とよばれる 玄 武 岩
地 域 が 広 範 囲 に 広 がっており、マスコンと 呼 ばれる 大 きな 正 の 重 力 異 常 を 示 す 盆 地 があ
るが、そのほかの 部 分 の 重 力 異 常 の 振 幅 は 小 さい。 一 方 裏 側 は 大 規 模 な 海 がなく、 重 力
異 常 の 振 幅 が 大 きい。 図 4-1 は 表 裏 の 地 表 の 様 子 であり、 表 側 と 裏 側 の 地 形 の 違 いが 顕
著 に 見 てとれる。 更 に 表 側 には 熱 源 となる 放 射 性 物 質 が 多 く 存 在 することもわかってい
る。
表
図 4-1 写 真 に 見 る 月 の 表 裏
の 比 較 、
http://photojournal.jpl.nasa.gov
/target/Moon より。 月 の 表 は 玄
武 岩 で 覆 われた 海 が 大 きな 面 積
裏
を 占 めている。 裏 側 にはほとんど
海 はなく、 隕 石 が 衝 突 した 跡 のク
レーターで 覆 われている。 表 側 の
地 形 は 比 較 的 平 坦 であるのに 対
し、 裏 側 は 高 地 が 多 いなど、 表 と
裏 で 特 徴 が 二 分 している。
19

2.2 分 性 の 原 因 ( 仮 説 )
1で 述 べたような2 分 性 が 生 じる 原 因 として、 現 時 点 では 大 きく 以 下 の3つが 提 唱 さ
れている。
1 潮 汐 作 用 (Garrick-Bethell et al.,2010)
これは、かつて 月 と 地 球 の 距 離 が 小 さかった 時 代 に 月 の 表 側 の 潮 汐 力 が 裏 より 大 きく、
表 側 に 潮 汐 加 熱 が 効 果 的 に 働 いたとする 説 である。
2 衝 突 (Jutzi&Asphaug,2011)
これは、 月 の 起 源 とされる 出 来 事 であるジャイアントインパクトで 生 じた 小 さな 月 (a
companion moon)が 月 の 裏 側 に 衝 突 して 堆 積 し、 地 殻 が 厚 くなったとする 説 である。
3 衝 突 (Nakamura et al.,2012)
これは 大 きな 衝 突 によって、 表 側 に 存 在 する 嵐 の 大 洋 (Procellarum basin)が 生 じ、
表 側 の 表 層 が 再 溶 融 したとする 説 である。
ちなみに、 上 の3つ 以 外 では Parmentier が 提 唱 したマントル 転 倒 説 がある。 月 の 初
期 にマグマオーシャンが 固 化 するのに 伴 い 結 晶 分 化 作 用 が 起 こり、 月 の 深 部 ほど 密 度 が
低 い 物 質 が 蓄 積 し 逆 に 浅 部 ほど 密 度 の 高 い 物 質 が 蓄 積 する。そのため 重 力 的 に 不 安 定 と
なりマントル 転 倒 が 起 こる。そのため 放 射 性 物 質 が 深 部 に 移 動 し、それが 熱 源 となるこ
とでマントルが 再 溶 融 して 火 成 活 動 が 発 生 する。つまりマントルの 再 溶 融 が 起 こるのに
月 の 表 裏 で 時 間 的 なずれが 生 じれば 熱 史 が 変 化 し、 二 分 性 が 生 じたとする 説 である。
(Parmentier et al., 2002)
20

3. 天 体 内 でのカウラ 定 数 の 違 い
前 述 の 通 り、 月 の 表 裏 の 二 分 性 はかなり 顕 著 である。それは 部 分 的 には 月 の 熱 の 歴 史 、
“ 熱 史 ”の 違 いを 反 映 していると 推 測 できる。たとえば 表 側 は 比 較 的 最 近 まで 火 成 活 動
があり、 大 規 模 な 衝 突 に 続 く 大 量 の 玄 武 岩 溶 岩 の 噴 出 があった。また 重 力 異 常 の 振 幅 が
小 さいのはリソスフェアが 薄 くアイソスタシーの 達 成 度 が 高 いことを 反 映 していると
考 えられる。 一 方 裏 側 は、モスクワの 海 を 除 いて 衝 突 盆 地 は 溶 岩 で 埋 められていない。
また 地 形 の 凹 凸 がそのまま 重 力 異 常 に 反 映 されており、これらの 地 形 はモホ 面 の 起 伏 を
もたらさずに 厚 いリソスフェアに 力 学 的 に 支 えられているように 見 える。
こういった 熱 史 の 違 いは 重 力 場 の 凹 凸 の 度 合 に 反 映 されているだろう。3 章 では、 異 な
る 天 体 の 間 のカウラ 定 数 を 比 較 し、その 大 きさの 違 いが 天 体 の 全 体 的 な 重 力 異 常 の 凸 凹
の 物 差 しとして 有 用 であることを 議 論 した。 本 章 では、 月 の 表 裏 の 重 力 場 の 違 いをカウ
ラ 定 数 の 違 いとして 定 量 化 し、その 値 がどの 程 度 異 なるかを 推 定 してみたい。それは、
表 と 裏 の 熱 史 の 違 いを 表 す 一 つの 指 標 となるだろう。
しかし 球 関 数 は 本 質 的 にグローバルな 関 数 であるため、 表 と 裏 の 半 球 でそれぞれのカ
ウラ 定 数 を 通 常 の 方 法 で 直 接 求 めることは 不 可 能 である。ではストークス 係 数 を 半 球 で
どのように 定 義 できるだろうか。 本 研 究 では、 全 球 が 表 だけ、 裏 だけになる 仮 想 的 な 月
を 考 え、それらの 重 力 場 についてストークス 係 数 を 改 めて 推 定 し、それらを 用 いてカウ
ラ 定 数 を 調 べるという 手 順 をとった。
21

1 仮 想 的 な 月
月 の 経 度 は 表 側 の 中 心 が 0 度 と 定 義 されている。 従 って、 表 側 は 経 度 0~90 度 と
270~360 度 の 部 分 である。ここでは 経 度 90~270 度 の 裏 側 に 相 当 する 部 分 に、 表 側 と 同
じ 重 力 異 常 の 分 布 を 仮 定 することによって、 全 球 が 表 に 相 当 する 重 力 場 を 持 つ 仮 想 的 な
月 を 考 えた。 図 4-2-a にその 様 子 を 示 す。
nearside
↓
図 4-2-a 全 球 が 表 の 仮 想 的 な 月 の 重 力 場
経 度 90~270 度 の 裏 側 に 相 当 する 部 分 に、 表 側 と 同 じ 重 力 異 常 の 分 布 を 仮 定 した。
22

月 の 裏 側 に 相 当 する 経 度 90~270 度 の 部 分 と 同 じ 重 力 異 常 を、 本 来 表 側 である 部 分 に
仮 定 し、 全 球 が 裏 側 に 相 当 する 重 力 場 を 持 つ 仮 想 的 な 月 を 考 えた。 図 4-2-b はその 様 子
を 示 す。
farside
↓
図 4-2-b 全 球 が 裏 の 仮 想 的 な 月 の 重 力 場
月 の 裏 側 に 相 当 する 経 度 90~270 度 の 部 分 と 同 じ 重 力 異 常 を、 本 来 表 側 である 部 分 に 仮 定 した。
23

2 ジオイド 高 になおす
次 に 全 球 が 表 、または 裏 の 仮 想 的 な 月 その1とその2の 重 力 場 をカウラ 定 数 の 形 で 比
較 してみよう。そのためには、いったん 重 力 場 を 球 関 数 で 展 開 してストークス 係 数 に 変
換 する 必 要 がある。 重 力 場 よりジオイド 高 の 方 が 単 純 な 数 式 で 球 関 数 展 開 できるため、
重 力 場 で 行 ったことと 同 じ 操 作 をジオイド 高 で 行 い、 両 面 が 表 の 仮 想 的 な 月 と 両 面 が 裏
の 仮 想 的 な 月 をジオイド 高 で 求 める。ちなみにジオイド 高 とは、 地 球 では 等 ポテンシャ
ル 面 のうち 平 均 海 水 面 に 一 致 するものの、 基 準 楕 円 体 からの 高 さであるが、 月 には 海 面
がないため 平 均 半 径 の 球 面 を 高 さの 基 準 としている。 図 4-3-a と 図 4-3-b はそのように
して 求 めた 仮 想 的 な 月 のジオイド 高 である。 以 下 の 式 はストークス 係 数 で 表 したジオイ
ド 高 である。
n mmm n
h = R (C̅nn cos m∅ + S̅nn sin m∅) P m n (cos θ)
n=0 m=0
hはジオイド 高 変 化 、C̅nnS̅nnは 標 準 偏 差 。hは 標 準 偏 差 を 球 関 数 に 掛 けたものの 重 ね 合 わせで 表 現 で
きる。
24

↓
図 4-3-a 月 の 仮 想 的 な 重 力 場 から 求 めたジオイド 高
上 図 が 全 球 が 表 の 仮 想 的 な 月 の 重 力 場 ( 図 4-2-1)で、 下 図 がそれから 求 めたジオイド 高 。 重 力 場 よりジ
オイド 高 の 方 が 単 純 な 数 式 で 球 関 数 展 開 できるため、 一 旦 ジオイド 高 に 直 した。
25

↓
図 4-3-b 月 の 仮 想 的 な 重 力 場 から 求 めたジオイド 高
上 図 が 全 球 が 裏 の 仮 想 的 な 月 の 重 力 場 ( 図 4-2-2)で、 下 図 がそれから 求 めたジオイド 高 。 図 4-3-1 と 同
じく 重 力 場 よりジオイド 高 の 方 が 単 純 な 数 式 で 球 関 数 展 開 できるため、 一 旦 ジオイド 高 に 直 した。
26

表 も 裏 もジオイド 高 に 直 すと 重 力 異 常 の 図 に 比 べ 割 と 滑 らかで 単 純 になる。それは 下
記 のストークス 係 数 から 重 力 場 を 求 める 式 とジオイド 高 を 求 める 式 を 比 較 するとわか
るように、 重 力 場 を 求 める 式 の 各 項 では 高 次 項 の 成 分 をより 強 調 するような 式 になって
いるからである。
∞ n
F = GG
r 2 1 + (n + 1) R r n (C nn cos m∅ + S nn sin m∅) P nn (sin θ)
n=2 m=0
球 関 数 で 表 した 重 力 の 大 きさ。R は 月 の 標 準 半 径 、F は 重 力 の 大 きさでC nn S nn はストークス 係 数 。
P nn は 球 関 数 。
n mmm n
h = R (C̅nn cos m∅ + S̅nn sin m∅) P m n (cos θ)
n=0 m=0
そして 最 後 にジオイド 高 のデータから 球 関 数 展 開 をしてストークス 係 数 を 求 め、カウ
ラ 定 数 を 導 く。
∆C̅ nn
= 1
∆S̅nn 4π
0
2π
d∅
π
sin θ dd
0
cos m∅
× hP nn (cos θ)
sin m∅
ジオイド 高 からストークス 係 数 を 求 める 式 。hは 上 式 で 求 めたジオイド 高 。
3 仮 想 的 な 月 :カウラの 法 則
今 まで4 天 体 のカウラの 法 則 を 求 めた 時 と 同 じように、 横 軸 に 次 数 を 取 り、 縦 軸 にそ
の 次 数 のストークス 係 数 の 自 乗 和 の 平 方 根 を 取 った 図 を 示 す。
27

図 4-2 月 の 表 裏 について、ストークス 係 数 と 次 数 の 関 係 を 比 較 したもの。 紫 色 の 曲 線 が 裏 側 だけの、 緑
色 の 曲 線 が 表 側 だけの 仮 想 的 な 月 の 係 数 を 示 す。 双 方 とも 係 数 は 次 数 の 自 乗 に 反 比 例 するというカウラの
法 則 が 成 り 立 つ。 裏 側 の 方 がやや 係 数 が 大 きい(カウラ 定 数 が 大 きい)。カウラの 法 則 に 従 うことと、カウ
ラ 定 数 が 表 裏 で 異 なることを 確 認 するのが 目 的 なので、この 図 では 60 次 までしか 解 析 していない。
4 カウラ 定 数
表 側 のカウラ 定 数 は 0.00024、 緑 色 の 曲 線 の 方 。 裏 側 のカウラ 定 数 は 0.00036 で 紫 色
の 曲 線 の 方 。 裏 の 方 が 若 干 カウラ 定 数 が 大 きいのは 月 がマグマオーシャンの 頃 、 裏 側 の
方 が 表 側 よりも 地 表 が 比 較 的 早 く 冷 めて 固 まったため 隕 石 の 衝 突 による 細 かいクレー
ターが 消 えずにそのまま 残 ったものが 多 く、 表 側 よりも 重 力 異 常 が 大 きくなってしまい
それがカウラ 定 数 に 反 映 されたと 考 えることができる。
図 4-3 表 側 のみ、 裏 側 のみという 仮 想 的 な 月 のストークス 係 数 について、 様 々なカウラ 定 数 を 仮 定 して
カウラ 則 からのずれをプロットしたもの。
既 に、 月 、 地 球 、 火 星 、 金 星 で 行 ったのと 同 じ 手 法 で、 仮 想 的 な 月 その1とその2に 対 して、 実 測 値 と
モデルの 差 が 最 小 になるようにカウラ 定 数 を 求 めた。 表 側 のカウラ 定 数 は 2.4X10 -4 と 推 定 された( 緑 色 の
曲 線 )。 裏 側 のカウラ 定 数 は 3.6X10 -4 となった( 紫 色 の 曲 線 )。
28

5 表 裏 のカウラ 定 数 の 違 い: 考 察
前 述 の 通 り、 表 裏 の2 分 性 は 衝 突 や 潮 汐 加 熱 などの 結 果 、 天 体 の 熱 的 な 状 態 が 表 と 裏
で 異 なる 状 況 になったことによると 考 えられる。 従 って、 月 の 熱 史 を 表 と 裏 で 比 較 する
ことは2 分 性 の 原 因 の 解 明 につながるだろう。また 二 分 性 の 原 因 の 解 明 は、 月 の 起 源 の
解 明 にも 繋 がる。 本 研 究 で 月 の 表 裏 のカウラ 定 数 を 比 較 した 理 由 は、 月 の 起 源 や 進 化 を
探 るにあたって、 熱 史 の 解 明 の 重 要 性 を 証 明 するためである。
第 二 章 で、 月 を 含 めた4 天 体 のカウラ 定 数 は、 天 体 のサイズが 大 きいほどアイソスタ
シー 補 償 の 達 成 度 合 いが 高 く、 重 力 異 常 が 小 さくなる( 図 3-2 参 照 )、 すなわちカウラ
定 数 が 小 さくなることを 示 した。 月 の 表 裏 のカウラ 定 数 を 求 めた 結 果 、 表 側 が 2.4 x 10 -4
で 裏 側 が 3.6 x 10 -4 であり、 裏 の 方 のカウラ 定 数 が 若 干 大 きくなった。それは 熱 史 の 違
い( 具 体 的 には 衝 突 盆 地 が 形 成 された 頃 のリソスフェアの 厚 さの 違 い)を 反 映 している
と 考 えられる。 熱 史 の 違 いの 尺 度 として、 重 力 異 常 の 大 きさを 一 つの 数 字 で 代 表 できる
カウラ 定 数 は 極 めて 有 用 であるといえよう。しかし 表 裏 のカウラ 定 数 はそれほど 大 きな
差 ではないことが 図 4-4 からもわかる。これはスケーリング 則 の 図 で、 表 裏 のカウラ 定
数 の 値 を 加 えたものである。このような 微 々たる 差 でも 表 裏 で 熱 史 に 違 いがあったこと
を 示 唆 できる。
29

第 5 章 今 後 の 展 望
1. 今 後 取 り 組 みたい 研 究
本 研 究 では 月 、 火 星 、 地 球 、 金 星 についてカウラ 則 やスケーリング 則 を 調 べてきたの
で、 今 後 はそれに 加 え 水 星 についても 研 究 していきたいと 思 っている。 図 3-4 に 作 成 し
たスケーリング 則 のグラフに 水 星 のカウラ 定 数 を 加 えると、 水 星 だけ 他 の 地 球 型 惑 星 が
乗 る 赤 い 直 線 から 下 に 有 意 にずれるらしい(S.J. Goossens, GSFC, pers. comm.)。それ
は 水 星 の 内 部 を 構 成 する 物 質 の 物 性 が 他 の4 天 体 とは 異 なることを 示 唆 している。
MESSENGER で 測 定 された 水 星 の 全 球 重 力 場 が 公 開 された 時 点 で、 水 星 について 重 力 異 常
やカウラ 定 数 などを 調 べ、 水 星 の 形 成 や 進 化 などの 解 明 に 繋 げていきたい。
さらに 月 において、カウラ 定 数 の 違 いを 用 いて 天 体 の 二 分 性 について 調 べたので、 今
後 は 火 星 など 月 以 外 の 二 分 性 を 示 す 天 体 についても 調 べてみたい。 火 星 は 南 北 両 半 球 で
特 徴 が 分 かれており、 南 北 のそれぞれの 半 球 のカウラ 定 数 を 比 較 するのは 興 味 深 い。 火
星 の 北 半 球 の 低 地 は 月 の 表 側 と 同 様 に、 巨 大 な 衝 突 が 原 因 と 考 える 説 が 有 力 視 されてお
り、そういった 二 分 性 の 原 因 を 探 ることも 重 要 な 研 究 対 象 である。
最 後 に、 本 研 究 では 月 の 重 力 場 の 解 析 は 本 研 究 では SELENE(かぐや)から 得 たデータ
を 使 用 していたが、 米 国 の 月 の 最 新 探 査 ミッション GRAIL (Gravity Recovery and
Interior Laboratory)のデータが 公 開 されるのを 機 に、より 詳 細 な 月 の 重 力 場 を 調 べて
月 の 起 源 や 成 り 立 ちなどの 研 究 に 新 しい 切 り 口 で 挑 んでいきたい。
2. 月 の 重 力 探 査 の 歴 史
現 在 までに 得 られた 月 の 全 球 重 力 場 モデルは、GRAIL という 最 新 の 月 の 重 力 探 査 のた
めに 打 ち 上 げられた 双 子 衛 星 から 得 られたものが、 最 も 高 精 度 である。ここで 簡 単 に 月
の 重 力 探 査 の 歴 史 を 振 り 返 ってみる。
従 来 月 の 重 力 探 査 は 地 球 局 と 月 を 周 回 する 衛 星 の 間 のドップラー 追 尾 法 (2-way
Doppler tracking)と 呼 ばれる 方 法 が 主 流 であった。これは 地 球 上 の 局 から 衛 星 に 向 け
てマイクロ 波 を 照 射 し、それを 受 信 した 衛 星 が 地 球 局 に 向 けてマイクロ 波 を 返 信 すると
いう 仕 組 みである。ドップラー 効 果 によって 送 信 周 波 数 と 受 信 周 波 数 が 異 なるため、こ
の 違 いにより 衛 星 の 視 線 方 向 の 速 度 を 観 測 できる。(Sjogren et al., 1972)。 視 線 速 度
から 衛 星 の 軌 道 を 推 定 し、 軌 道 要 素 の 時 間 変 化 から 重 力 の 非 球 対 称 成 分 の 情 報 が 得 られ
るわけである。
しかし 月 は 同 期 自 転 をしているため、 衛 星 が 月 の 裏 側 を 周 回 している 間 は 地 球 から 電
波 を 送 受 信 できない。そのため 2-way Doppler では 月 の 表 側 の 重 力 データしか 直 接 得 る
30

ことができなかった。その 問 題 を 解 決 したのが、 日 本 の JAXA が 2007 年 に 打 ち 上 げた
SELENE(かぐや)である。SELENE は 4-way ドップラー 観 測 (4-way Doppler tracking)
を 採 用 し、 表 側 より 若 干 精 度 は 劣 るものの 裏 側 の 重 力 場 の 直 接 計 測 に 初 めて 成 功 した。
この 観 測 法 は Rstar(おきな)という 小 型 のリレー 衛 星 を 用 いていることが 特 徴 で、 主 衛
星 が 月 の 裏 側 にいる 間 にリレー 衛 星 がその 信 号 を 地 球 の 局 にリレーし、ドップラー 周 波
数 を 計 測 するのである。 更 に 相 対 VLBI という 手 法 により 子 衛 星 が 発 する 電 波 を 追 跡 し
て 軌 道 を 決 定 し、 重 力 場 の 精 度 を 高 めている。こちらは2つの 子 衛 星 (Rstar,Vstar)
に 搭 載 された 電 波 源 からの 電 波 を 国 立 天 文 台 の 地 上 望 遠 鏡 で 受 信 する。 子 衛 星 間 の 距 離
の2 重 差 を1mmの 精 度 で 観 測 できるため 大 気 、 電 離 層 による 揺 らぎがキャンセルされ
る。そして SELENE の 次 に 開 発 されたのが 米 国 の GRAIL である。それについては 次 項 で
説 明 する。
http://www.kaguya.jaxa.jp/ja/equipment/rsat_j.htm より
図 5-1
4-way ドップラー 観 測 と 相 対 VLBI。4-way ドップラー 観 測 は Rstar(おきな)というリレー 衛 星
を 用 い、 月 の 裏 側 にいる 主 衛 星 の 発 射 する 電 波 をリレー 衛 星 が 地 球 局 に 中 継 することによって、 裏 側 にい
る 主 衛 星 のドップラー 周 波 数 を 計 測 するものである。 相 対 VLBI は2つの 子 衛 星 (Rstar,Vstar)に 搭 載 さ
れた 電 波 源 からの 電 波 を 地 上 の 電 波 望 遠 鏡 で 受 信 し、 子 衛 星 間 の 距 離 の2 重 差 を1mmの 精 度 で 観 測 する
ものである。
31

3.GRAIL
今 後 の 研 究 で GRAIL のデータを 使 用 していきたいと 考 えているため、GRAIL に 関 して
説 明 する。 一 言 でいえば GRAIL は 双 子 衛 星 間 の 距 離 変 化 により 重 力 場 を 計 測 する GRACE
(Gravity Recovery and Climate Experiment)の 月 版 といえるものである。ちなみに GRACE
は 地 球 の 重 力 探 査 機 で、 重 力 の 時 間 変 化 という 切 り 口 で 気 候 変 動 や 地 震 時 の 質 量 移 動 に
関 して 様 々な 成 果 を 上 げている。ちなみに 本 研 究 でプロットした 地 球 の 重 力 データは
GRACE のものを 使 用 した。
1GRAIL の 仕 組 み
GRAIL は GRACE と 同 じように2 機 の 衛 星 を 使 用 している。この 双 子 衛 星 間 の 距 離 をマ
イクロ 波 測 距 システムという 方 法 で 図 ることで 重 力 異 常 を 解 析 することができる。マイ
クロ 波 測 距 システムとは 高 度 約 50km の 軌 道 上 を2つの 衛 星 が 離 れて 周 回 し、 重 力 の 変
化 によって 伸 び 縮 みする 互 いの 距 離 を 正 確 に 測 定 することで 重 力 場 を 計 測 する 方 法 で
ある。SELENE におけるリレー 衛 星 を 用 いた 月 の 裏 側 の 重 力 計 測 の 手 法 を、H-L SST
(High-Low Satellite-to-satellite tracking)とすると、GRAIL や GRACE の 手 法 は L-L
SST (Low-low Satellite-to-satellite tracking)と 言 える。お 互 いの 距 離 を 測 定 する
だけでなく、 地 球 と2つの 衛 星 の 距 離 も 計 測 している。この 三 角 測 量 のような 仕 組 みが
高 精 度 な 重 力 場 の 計 測 を 可 能 にしている。 最 低 で 高 度 50km と 非 常 に 低 い 軌 道 も 大 気 の
ない 月 でのみ 実 現 できた 特 徴 であり、 地 球 でも 達 成 できない 重 力 場 高 次 項 の 計 測 を 可 能
にしている。
GRAIL
http://science.nasa.gov/missions/grail/より
32

GRAIL
http://science.nasa.gov/missions/grail/より
図 5-2 双 子 衛 星 を 用 いた 重 力 探 査 用 の 月 周 回 衛 星 システムである GRAIL のしくみ。マイクロ 波 測 距 シス
テムで 双 子 衛 星 間 の 距 離 を 計 測 する。 高 度 約 50km の 同 一 の 軌 道 上 を2つの 衛 星 が 離 れて 周 回 し、 月 の 重 力
場 の 非 球 対 称 成 分 の 変 化 によって 伸 び 縮 みする 互 いの 距 離 を 正 確 に 測 定 して、 月 の 全 球 重 力 場 を 計 測 する
システムである。
2 GRAIL の 性 能
GRAIL は 前 述 のような 仕 組 みで 重 力 場 を 測 定 するが、 得 られる 重 力 場 は SELENE(かぐ
や)をはるかに 凌 ぐ 高 精 度 を 誇 る。 図 5-3-a,b は GRAIL のデータを 用 いて Zuber et al.
(2012)が 解 析 した 重 力 異 常 図 で、A がフリーエア 異 常 、B がブーゲー 異 常 である。ブー
ゲー 異 常 は 低 次 項 を 取 り 除 いたもので、この 図 では 6 次 以 下 を 取 り 除 いてある。ちなみ
にフリーエア 異 常 とは、 天 体 の 中 心 からの 距 離 の 補 正 であるフリーエア 補 正 を 施 したも
ので、アイソスタシーからのずれとして 物 理 的 な 意 味 がある。ブーゲー 異 常 とはジオイ
ド( 平 均 海 水 面 )と 測 定 点 の 間 の 物 質 ( 主 に 地 殻 岩 石 )の 引 力 を 補 正 したブーゲー 補 正
を 施 したもので 地 下 構 造 を 反 映 する。GRAIL の 月 重 力 場 モデルは 最 大 次 数 が 420 次 と 高
く、 細 かい 重 力 異 常 まではっきりと 見 える。
ここで 明 らかになったことの 一 つとして 挙 げられるのは、 月 の 表 裏 の 重 力 異 常 はとも
に 98% 以 上 は 地 形 の 凹 凸 を 反 映 したものであるという 点 である(Zuber et al., 2012)。
33

例 えばクレーターのようにへこんだ 地 形 では 重 力 が 小 さく、クレーターのリムや 高 地 の
山 脈 では 重 力 が 大 きいという 具 合 である。 特 に 裏 側 はそれが 顕 著 である。B のブーゲー
異 常 の 図 からわかる 通 り、モホ 面 の 起 伏 のような 地 表 下 の 構 造 が 作 る 重 力 異 常 はそれほ
ど 大 きくない。 地 形 に 起 因 しない 重 力 異 常 の 顕 著 な 例 が、 表 側 に 多 く 存 在 するマスコン
盆 地 の 正 の 重 力 異 常 である。それらはブーゲー 異 常 の 図 でもはっきり 見 えている。
Zuber et al.(2012)より
図 5-3-a GRAIL のデータをもとに 描 いた 重 力 異 常 図 。GRAIL のデータを 用 いて Zuber et al. (2012)が 重
力 異 常 を 解 析 したもので A がフリーエア 異 常 であり、B がブーゲー 異 常 である。ブーゲー 異 常 は 低 次 項 を
取 り 除 いており、この 図 では 6 次 以 下 を 取 り 除 いてある。420 次 で 解 析 されているため 細 かいところまで
ハッキリと 見 える。
34

C
D
Zuber et al.(2012)より
図 5-3-b 図 5-3-1 から 特 徴 的 な 地 形 を 抜 き 出 したもの。C,Dともに 上 からフリーエア 異 常 、 地 形 、
ブーゲー 異 常 である。Cはコロレフ 衝 突 盆 地 周 辺 を、Dは 嵐 の 大 洋 の 西 端 をピックアップしたもの。ブー
ゲー 異 常 の 図 からわかるように 地 表 下 に 正 の 大 きな 重 力 異 常 をもたらす 構 造 が 存 在 することを 示 唆 してい
る。
詳 細 なブーゲー 異 常 図 からは、 今 までの 解 像 度 ではわからなかった 地 下 の 構 造 まで 推
定 できる。 月 の 初 期 の 歴 史 の 証 拠 となる 表 層 の 地 形 は 隕 石 の 衝 突 などによりほとんど 消
えてしまっているが、 地 下 の 構 造 は 保 存 されていることが 多 いからである。
Andrews-Hanna et al. (2012)では、 興 味 深 い 地 下 構 造 を 示 唆 するブーゲー 重 力 異 常 が
発 見 されたのでそれを 紹 介 する。 図 5-4 はブーゲー 異 常 とその 空 間 勾 配 の 図 であり C は
それらの 特 徴 的 な 重 力 異 常 を 示 す 部 分 を 切 り 出 した 図 である。C で 示 されているように
線 状 の 構 造 を 持 つ 重 力 異 常 がいくつか 観 測 されている。これは 月 の 初 期 にマグマがマン
トルから 湧 き 上 がってくるとき、マグマが 面 状 に 垂 直 に 貫 入 してきてそれが 重 力 異 常 と
して 現 れているのではないかと 推 測 されている。さらにそれと 同 時 にリソスフェアの 膨
張 が 起 こったということがこの 研 究 データで 初 めて 裏 付 けられた(Andrews-Hanna et
al., 2012)。このように 知 られざる 地 下 の 構 造 が 明 らかになっていくことで 表 層 の 特 徴
35

だけではわからなかった 熱 史 が 明 らかになり 月 の 新 たな 局 面 を 発 見 できることは 非 常
に 興 味 深 い。
Andrews-Hanna et al.(2012) より
Andrews-Hanna et al.(2012)より
図 5-4 上 からブーゲー 重 力 異 常 (A)・その 空 間 勾 配 (B)の 図 であり C はその 中 で 線 上 の 構 造 が 見 える 部 分
を 強 調 した 図 、 四 角 で 囲 った 部 分 を 下 の 図 の A-H で 示 す。これはマグマがマントルから 湧 き 上 がってくる
36

とき、マグマが 面 状 に 垂 直 に 貫 入 してきてそれが 重 力 異 常 として 現 れているのではないかと 推 測 されてい
る。
4. 謝 辞
この 論 文 を 書 くにあたり 研 究 室 の 方 々には 大 変 お 世 話 になりました。 特 に 指 導 教 官 で
ある 日 置 幸 介 教 授 にはプログラムの 走 らせ 方 、 卒 論 のテーマや 月 に 関 する 最 新 の 研 究 に
ついてなど、あらゆることを1から 教 えていただきました。 大 変 感 謝 しております。
5. 参 考 文 献
http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~geodesy/pdf/Matsuo_Msc_Thesis.pdf
http://www.kaguya.jaxa.jp/ja/equipment/rsat_j.htm
http://granite.phys.s.u-tokyo.ac.jp/ando/DPF091124/DPF091124_Matsumoto.pdf
http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~geodesy/pdf/ogawa_master.pdf
http://www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~psg/doc2011/tomomi_B/tomomi_B.pdf
地 球 物 理 学 講 義 ノート 日 置 幸 介
M.Zuber et al., Gravity Field of the Moon from the Gravity Recovery and Interior
Laboratory (GRAIL) Mission, Published December 5 2012,Science 8 February 2013:
Vol. 339 no. 6120 pp. 668-671, DOI: 10.1126/science.1231507
G.Bethell et al., STRUCTURE AND FORMATION OF THE LUNAR FARSIDE HIGHLANDS, Science
12 November 2010: Vol. 330 no. 6006 pp. 949-95, DOI:10.1126/science.1193424
J.Andrews-Hanna et al., Ancient Igneous Intrusions and Early Expansion of the
Moon Revealed by GRAIL Gravity Gradiometry, Published December 5 2012,Science
8 February 2013: Vol. 339, no. 6120 pp. 675-678, DOI: 10.1126/science.1231753
Jutzi & Asphaug, Forming the lunar farside highlands by accretion of a companion moon,
Published 3 August 2011, Nature 4 August 2011: 476, 69–72, DOI:
10.1038/nature10289
R.Nakamura et al., Compositional evidence for an impact origin of the Moon’s
Procellarum basin, Published 28 October 2012, Nature Geoscience 5 2012: 775–778, DOI:
10.1038/ngeo1614
37

W.L.Sjogren et al., Lunar Gravity via Apollo 14 Doppler Radio Tracking, Science
14 January 1972: Vol. 175
W.Kaula,1963
D. Smith et al., The Global Topography of Mars and Implications for Surface
Evolution, Science 28 May 1999: Vol. 284 no. 5419 pp. 1495-1503, DOI:
10.1126/science.284.5419.1495
T. Mayer-Guerr et al., The Regional Refinement of Global Gravity Field Models
from Kinematical Orbits, Proceedings of the Joint CHAMP/GRACE Science Meeting.
GeoForschungsZentrum Potsdam, July 6-8, 2004., p.14.1
A.Konopliv et al., Improved Gravity Field of the Moon from Lunar Prospector
Received 1 July 1998, Science 4 September 1998: Vol. 281 no. 5382 pp. 1476-1480,
DOI: 10.1126/science.281.5382.1476
H. Hanada et al., The Exploration of Lunar Gravity by VLBI Observations of SELENE
(Kaguya),2 May 2008, Trans. JSASS Space Tech. Japan Vol. 7, No. ists26, pp.
Tk_1_Tk5, 2009
A.Konopliv et al., The Dawn Gravity Investigation at Vesta and Ceres, Published
24 June 2011, Space Sci Rev 2011: Vol. 163 pp. 461-486, DOI:
10.1007/s11214-01109794-8
Parmentier,E.M., S. Zhong, M.T Zuber , Gravitational differentiation due
to initial chemical stratification: origin of lunar asymmetry by the creep of dense
KREEP? Earth Planet, 11 January 2002, Sci. Lett., 201 pp. 473-480.
38