Lecture Notes Discrete Optimization - Applied Mathematics

Contents
1 Preliminaries 1
1.1 Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Algorithms and Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Growth of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Sets, etc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Basics of Linear Programming Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Minimum Spanning Trees 7
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Coloring Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Kruskal’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Prim’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Matroids 14
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Greedy Algorithm for Matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Shortest Paths 18
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Single Source Shortest Path Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2.1 Basic properties of shortest paths . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2.2 Arbitrary cost functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2.3 Nonnegative cost functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 All-pairs Shortest-path Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Maximum Flows 27
iii