Z - Ð¢ÐµÑ Ð½Ð¸Ñ‡ÐµÑÐºÐ¸ Университет - София - Филиал Пловдив

- 18 -
или bk
1
, , b2
k 2
е по-голямо от съответното a
j
, т.е за някое
j [ k 1,2k
2] bj > 2k
j . Тогава в първия случай
i
bj b2
k 1
2k
1 j > j 1 2k
1 j = 2k
или
b j
b1
j 1> 2k
j 1 j 1= 2k
Така че и в двата случая получаваме противоречие, т.е.
[2,k 1]
b b k i = b 2k
i 2k,
b i.
Аналогично
i
k
i
i
j [2, k 1] bj > j или
b k
= k . За всяко
2k
1
2k
1
2
b j
2 k j за всяко j [ k 1,2k
2] . Но b = k = i .
Следователно всички нестроги неравенства всъщност са равенства и единствеността е
доказана.
Тъй като за всяка пермутация ( b ), T((
b),
n)
k(
b)
1 , то няма смисъл да се
разглеждат разбивания с повече от 2k 1 части. Да разгледаме произволна пермутация
(b)
на разбиване с 2 k p части (p > 1) и нека първо p е четно число -
2
p = 2q,
q > 0. Да допуснем, че T((
b),
k ) 2k
. Тогава за всяко i = 1,2, ,k q
b b 2( k q)
1 2i
k
и следователно
Тъй
като
k
q
i=1
b
i
k
q
b
i
i=1
b
2( k
i 2( k q)
1 i
2
b
2( k
q)
1 i
q)
1 i
= k
2
2( k
q)
1
2i
k
q
i=1
2k.
i=1
i
i=1
, то след елементарни преобразования
2
2
получаваме q 0 . Полученото противоречие показва, че T((
b),
k ) > 2k
за разбивания
с k( b)
= 2k
2q
. Нека сега p е нечетно число - p = 2q
1, q > 0 Отново да допуснем,
2
че T((
b),
k ) 2k
. Тогава за всяко i = 1,2, , k q 1
bi b2(
k q)
i
2( k q)
2i
2k
Сумираме тези неравенства за i = 1,2, , k q 1 , прибавяме към получената
сума неравенствот b1 bk q
k q 1 2k
. Както по-горе ,тъй като
k q 1
i=1
2
b1
( b b ) b = k
i
2( k
q)
i
k
q
2
, то след елементарни преобразования получаваме
2
q 1 0 . Полученото противоречие показва, че T((
b),
k ) > 2k
k ( b)
= 2k
2q
1, с което Стъпка 1 е окончателно доказана.
и за разбивания с
Стъпка 2. За n = k
2 k f ( n)
= 2k
1 , при това съществува единствена
пермутация, водеща до f (n)
и тя е:
a i
= min{ i,2k
i 1}, i =1,2, ,2k
2.
Доказателството е съвършено аналогично на доказателството на Стъпка 1.
Стъпка 3. f ( n 1) f ( n)
{0,1}.
Нека min { T (( a),
n 1)} се достига за пермутацията b)
= ( b , b , , b ). Очевидно
не всички b = 1. Нека b > 1. Да разгледаме пермутацията
p
q
( b ) :
b
j
, j
q
bj = bq
1 , j = q
(
1 2 m