Studying Rudin's Principles of Mathematical Analysis Through ...

Contents
1 The Real and Complex Number Systems 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Example: √ 2 is not rational . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Remark: Gaps in Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Definition: Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Definition: Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Ordered Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Definition: Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Definition: Ordered Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Definition: Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Definition: Supremum & Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 Examples: Bounds, Sup, and Inf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.6 Definition: The Least-upper-bound Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.7 Theorem: Sup & Inf Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Definition: Field & Field Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 Proposition: Implications of the Addition Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4 Proposition: Implications of the Multiplication Axioms . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.5 Proposition: Implications of the Multiplication Axioms . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.6 Definition: Ordered Field and Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.7 Proposition: Ordered Field Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 The Real Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Theorem: Q ⊂ R and R has the least-upper-bound property . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Theorem: Archimedean Property of R and Q is Dense in R . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Theorem: Uniqueness of y n = x and n√ x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.4 Decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 The Extended Real Number System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5.1 Definition: Extended Real Number System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 The Complex Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Definition: Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.2 Theorem: Complex Numbers Form a Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.3 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.4 Definition: i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.5 Theorem: i 2 = −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.6 Theorem: (a, b) = a + bi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.7 Definition: z, Re[z], Im[z] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.8 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.9 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.10 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.11 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6.12 Theorem: Schwartz Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
iii