Linear Programming

–p.1/2Linear Programmingกำหนดการเชิงเส้น (linear programming) เป็นคณิตศาสตร์ประยุกต์แขนงหนึ่งที่ถูกคิดค้นขึ้นมาเพื่อนำไปใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนย้ายกำลังทหารอาวุธยุธโธปกรณ์ และสัมภาระต่าง ๆจากฐานทัพหนึ่งไปยังอีกฐานทัพหนึ่ง ในระหว่างสงครามโลก

–p.2/2Linear Programmingปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2ส่วน คือ

–p.2/2Linear Programmingปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2ส่วน คือ1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)

–p.2/2Linear Programmingปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2ส่วน คือ1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)2. เงื่อนไขบังคับ (constrain)

–p.2/2Linear Programmingปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2ส่วน คือ1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)หมายถึง ฟังก์ชันของสิ่งที่ต้องการหาค่ามากที่สุด หรือหาค่าที่น้อยที่สุดในปัญหานั้น ๆ2. เงื่อนไขบังคับ (constrain)

–p.2/2Linear Programmingปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2ส่วน คือ1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)หมายถึง ฟังก์ชันของสิ่งที่ต้องการหาค่ามากที่สุด หรือหาค่าที่น้อยที่สุดในปัญหานั้น ๆ2. เงื่อนไขบังคับ (constrain)หมายถึง ระบบของสมการหรือของอสมการที่เป็นข้อจำกัดของฟังก์ชันจุดประสงค์

–p.2/2Linear Programmingปัญหาที่ใช้กำหนดเป็นปัญหาเชิงเส้น จะประกอบด้วยส่วนสำคัญ 2ส่วน คือ1. ฟังก์ชันจุดประสงค์ (objective function)หมายถึง ฟังก์ชันของสิ่งที่ต้องการหาค่ามากที่สุด หรือหาค่าที่น้อยที่สุดในปัญหานั้น ๆ2. เงื่อนไขบังคับ (constrain)หมายถึง ระบบของสมการหรือของอสมการที่เป็นข้อจำกัดของฟังก์ชันจุดประสงค์ ในกรณีที่เงื่อนไขบังคับออกมาในรูประบบของอสมการ จึงอาจเรียกเงื่อนไขบังคับนี้ว่า อสมการข้อจำกัด

–p.3/2Linear Programming Problemปัญหากำหนดการเชิงเส้น เป็นปัญหาที่ประกอบด้วยฟังก์ชันจุดประสงค์ซึ่งเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น และมีเงื่อนไขบังคับอยู่ในรูประบบของสมการเชิงเส้น หรืออสมการเชิงเส้นYFeasiblesolutionX

–p.4/2PROBLEM0. บริษัทแห่งหนึ่งต้องการผลิตสินค้า 2 ชนิด คือ ชนิด A และชนิดB สินค้าชนิด A มีกำไรชิ้นละ 10 บาท และสินค้าชนิด B มีกำไรชิ้นละ 12 บาท ในการผลิตสินค้าชนิด A ต้องใช้เวลาในการผลิต 2นาที ในเครื่องจักรเครื่องที่ 1 และ 1 นาทีในเครื่องจักรเครื่องที่ 2แต่ในการผลิตสินค้าชนิด B ใช้เวลา 1 นาที ในเครื่องจักรเครื่องที่ 1และ 3 นาทีในเครื่องจักรเครื่องที่ 2 ถ้าในการผลิตครั้งนี้ มีเวลาไม่เกิน 3 ชั่วโมงสำหรับเครื่องจักรเครื่องที่ 1 และ 5 ชั่วโมงสำหรับเครื่องจักรเครื่องที่ 2 จงหาว่าบริษัทแห่งนี้ควรจะผลิตสินค้าแต่ละชนิดจำนวนเท่าใด จึงจะได้กำไรมากที่สุด

–p.5/2Linear Programmingขั้นตอนการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาการกำหนดการเชิงเส้นโดยใช้กราฟ

–p.5/2Linear Programmingขั้นตอนการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาการกำหนดการเชิงเส้นโดยใช้กราฟ1. เขียนกราฟของระบบอสมการที่เป็นเงื่อนไขบังคับ2. หาจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด

–p.5/2Linear Programmingขั้นตอนการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาการกำหนดการเชิงเส้นโดยใช้กราฟ1. เขียนกราฟของระบบอสมการที่เป็นเงื่อนไขบังคับ2. หาจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด3. นำจุดมุมแต่ละจุดไปแทนค่าเพื่อหาฟังก์ชันจุดประสงค์

–p.5/2Linear Programmingขั้นตอนการหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดของปัญหาการกำหนดการเชิงเส้นโดยใช้กราฟ1. เขียนกราฟของระบบอสมการที่เป็นเงื่อนไขบังคับ2. หาจุดมุมของรูปหลายเหลี่ยมทั้งหมด3. นำจุดมุมแต่ละจุดไปแทนค่าเพื่อหาฟังก์ชันจุดประสงค์4. หาจุดมุมซึ่งทำให้ได้ค่าฟังก์ชันจุดประสงค์มากที่สุด (น้อยที่สุด)

–p.6/2EXAMPLE1. จงหาค่ามากที่สุดของ P = 5x + 3y เมื่อกำหนดเงื่อนไขบังคับดังนี้2x + 4y ≤ 805x + 2y ≤ 80x ≥ 0y ≥ 0

–p.7/2EXAMPLE2. จงหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดที่ทำให้ค่า C = 9x + 15yมีค่าน้อยที่สุด ภายใต้เงื่อนไขบังคับ ดังนี้3x + 4y ≥ 24x + 3y ≥ 9x ≥ 0y ≥ 0

–p.8/2EXAMPLE3. จงหาค่ามากที่สุดและค่าน้อยที่สุดของ P = 2x + 3yภายใต้เงื่อนไขบังคับ ดังนี้2x + 3y ≤ 30y − x ≤ 5x + y ≥ 50 ≤ x ≤ 10y ≥ 0

–p.9/2PROBLEM1. โรงงานผลิตเฟอร์นิเจอร์แห่งหนึ่ง ผลิตโต๊ะและตู้ออกจำหน่ายในการผลิตเฟอร์นิเจอร์นี้จะใช้คนงาน 2 ประเภท คือ ช่างไม้และช่างสีการผลิตโต๊ะหนึ่งตัว ช่างไม้และช่างสีต้องทำงานเป็นเวลา 15 ชั่วโมงและ 5 ชั่วโมงตามลำดับ และในการผลิตตู้ช่างไม้และช่างสีต้องทำงานเป็นเวลา10 ชั่วโมงและ 10 ชั่วโมง ตามลำดับถ้าในแต่ละวันช่างไม้และช่างสีที่มีอยู่หลายคนทำงานรวมกันไม่เกิน 60 ชั่วโมง และ 40 ชั่วโมง ตามลำดับ และกำไรที่ได้จากการขายโต๊ะและตู้อย่างละ 1 ชิ้น เท่ากับ 300 และ 400 บาทตามลำดับ แล้วโรงงานควรจะผลิตโต๊ะและตู้ออกจำหน่ายวันละจำนวนเท่าใด จึงจะมีกำไรสูงสุด

–p.10/2PROBLEM2. ในการผลิตขนม 2 ชนิด ชนิดหนึ่งใช้แป้ง 20 กรัม น้ำตาล 20กรัมต่อขนม 1 ชิ้น ส่วนอีกชนิดหนึ่งใช้ แป้ง 20 กรัม น้ำตาล 30กรัม ต่อขนม 1 ชิ้นในแต่ละวันเขามีแป้งและน้ำตาลในการใช้ทำขนมทั้งสองชนิด4,000 กรัม และ 3,000 กรัม ตามลำดับถ้าขนมชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองขายได้กำไรชิ้นละ 3 บาทและ 2.50 บาท ตามลำดับผู้ผลิตควรผลิตขนมแต่ละชนิดจำนวนเท่าไร จึงจะได้กำไรมากที่สุด

–p.11/2PROBLEM3. นักธุกิจผู้หนึ่งต้องการทำความสะอาดตู้ 5 ตู้ โต๊ะ 12 ตัว และหิ้งหนังสือ 18 หิ้ง เขามีคนงานที่ทำงานนี้อยู่สองคน คนที่หนึ่งสามารถที่จะทำความสะอาดตู้ได้ 1 ตู้ โต๊ะ 3 ตัว และหิ้งหนังสือ 3 หิ้งต่อชั่วโมง ส่วนคนที่สองสามารถทำความสะอาดตู้ 1 ตู้ โต๊ะ 2 ตัวและหิ้ง 6 หิ้งต่อชั่วโมง คนที่หนึ่งได้รับค่าแรง 25 บาทต่อชั่วโมงและคนที่สองได้รับค่าแรง 22 บาทต่อชั่วโมง เพื่อที่จะเสียค่าแรงน้อยที่สุดเขาควรจะจ้างคนทั้งสองทำงานคนละกี่ชั่วโมง

–p.12/2PROBLEM4. อุตสาหกรรมในครัวเรือนแห่งหนึ่ง ผลิตเก้าอี้ 2 ชนิด คือชนิดธรรมดา กับชนิดพิเศษ โดยเก้าอี้ชนิดธรรมดาแต่ละตัวจะต้องเสียเวลาผลิตขั้นต้น 1 ชั่วโมง ขั้นที่สอง 2 ชั่วโมง และขายได้กำไรตัวละ30 บาท ส่วนชนิดพิเศษ แต่ละตัวเสียเวลาในการผลิตขั้นต้น 2ชั่วโมง ขั้นที่สอง 2 ชั่วโมงและขายได้กำไรตัวละ 50 บาทโรงงานที่ผลิตขั้นต้นและขั้นที่สองทำงานวันละ ไม่เกิน 8 และ 10ชั่วโมง ตามลำดับ จงหาว่าอุตสาหกรรมภายในครัวเรือนนี้ ควรผลิตเก้าอี้แต่ละชนิดเป็นจำนวนเท่าใดในแต่ละวัน จึงจะได้กำไรมากที่สุดและกำไรเป็นเท่าใด

–p.13/2PROBLEM5. โรงงานอุตสาหกรรมแห่งหนึ่งผลิตสินค้า 2 ชนิด คือ A และ Bสินค้าทั้งสองชนิดจะต้องผลิตโดยใช้เครื่องจักร 2 เครื่องเครื่องแรกสามารถใช้งานได้วันละ 12 ชั่วโมง แต่เครื่องที่ 2 สามารถใช้งานได้เพียง 8 ชั่วโมงเท่านั้น สินค้า A จะต้องผลิตโดยใช้เครื่องจักรเครื่องแรก และเครื่องที่ 2 เป็นเวลา 2 ชั่วโมงเท่ากันส่วนสินค้า B แต่ละชิ้นจะต้องผลิตโดยใช้เครื่องจักรเครื่องแรก 3ชั่วโมง และเครื่องจักรเครื่องที่สอง 1 ชั่วโมงถ้าโรงงานได้กำไรจากการขายสินค้า A และสินค้า B ชิ้นละ 600บาท และ 700 บาท ตามลำดับ และโรงงานสามารถขายสินค้าทุกชิ้นที่ผลิตได้ จงหาจำนวนสินค้า A และ B ที่โรงงานควรจะผลิตในแต่ละวัน เพื่อให้ได้กำไรสูงสุด

–p.14/2PROBLEM6. บริษัทผลิตโต๊ะเก้าอี้แห่งหนึ่ง การผลิตจะต้องผ่านขั้นตอน 2ขั้นตอน คือ การประกอบและการตกแต่งการประกอบมีชั่วโมงการทำงาน 60 ชั่วโมงต่อสัปดาห์แผนกตกแต่งมีชั่วโมงการทำงาน 48 ชั่วโมงต่อสัปดาห์การผลิตโต๊ะต้องใช้เวลาประกอบ 4 ชั่วโมง เวลาตกแต่ง 2 ชั่วโมงการผลิตเก้าอี้ต้องใช้เวลาประกอบ 2 ชั่วโมง เวลาตกแต่ง 4 ชั่วโมงถ้ากำไรที่ได้จากการขายโต๊ะเป็น 320 บาทต่อตัว และเก้าอี้เป็น 240บาทต่อตัว ตามลำดับ จงหากำไรสูงสุดในหนึ่งสัปดาห์

–p.15/2PROBLEM7. โรงงานแห่งหนึ่งมีการผลิตสินค้า 2 ชนิด คือ แบบ A และแบบ Bซึ่งแต่ละแบบจะทำกำไร 20 บาท และ 50 บาท ต่อชิ้นและทั้งสองแบบมีต้นทุน 100 และ 300 บาทต่อชิ้นแบบ A ใช้เวลาทำชิ้นละ 5 วัน แบบ B ใช้เวลาทำชิ้นละ 12 วันถ้าจะใช้เวลาทำไม่เกิน 75 วัน ด้วยเงินลงทุน 1800 บาทและต้องการหากำไรสูงสุดจะต้องผลิตสินค้าแต่ละแบบ ๆ ละกี่ชิ้น

PROBLEM8. โรงงานแห่งหนึ่งผลิตตุ๊กตา 2 ชนิด แต่ละชนิดต้องผ่านขั้นตอนการประกอบ 3 ขั้นตอน ถ้าระยะเวลาที่ใช้สำหรับการผลิตในขั้นตอนต่าง ๆ และกำไรที่จะได้รับต่อตัวเป็นดังนี้ตุ๊กตา ขั้นที่ 1 ขั้นที่ 2 ขั้นที่ 3 กำไร (บาท)ชนิดที่ 1 10 6 9 30ชนิดที่ 2 5 12 9 50หมายเหตุ เวลาที่ใช้ในการผลิดแต่ละขั้นตอน หน่วยเป็นนาทีและในแต่ละขั้นตอนมีเวลาทำงานได้วันละไม่เกิน 450, 480 และ450 นาทีตามลำดับ อยากทราบว่า ทางโรงงานแห่งนี้ควรผลิตตุ๊กตาชนิดที่ 1 และชนิดที่ 2 วันละกี่ตัวจึงจะได้กำไรมากที่สุดและกำไรมากที่สุดเท่าไร–p.16/2

–p.17/2PROBLEM9. บริษัทผู้ผลิตโทรทัศน์แห่งหนึ่งต้องการผลิตโทรทัศน์ขนาด 20 นิ้วทั้งชนิดขาวดำและชนิดสีกำลังการผลิตของบริษัท แห่งนี้ไม่เกิน 800เครื่องต่อเดือน โดยมีต้นทุนในการผลิตโทรทัศน์ขาวดำเครื่องละ2,500 บาท และชนิดสีเครื่องละ 3,500 บาท ในขณะเดียวกันบริษัทแห่งนี้จะมีกำไรเครื่องละ 1,500 บาทสำหรับโทรทัศน์ขาวดำและ 2,100 บาทสำหรับโทรทัศน์สีถ้าบริษัทแห่งนี้กำหนดเงินทุนในการผลิตไว้ไม่เกิน 2,500,000บาทต่อเดือน อยากทราบว่าบริษัทแห่งนี้ควรผลิตโทรทัศน์ทั้งชนิดขาวดำและชนิดสีอย่างละกี่เครื่องต่อเดือน จึงจะทำให้ได้กำไรมากที่สุดและกำไรมากที่สุดเท่าใด

PROBLEM10. นักโภชนาการแห่งศูนย์เภสัชกรรมแห่งหนึ่ง ให้คำแนะนำเกี่ยวกับอาหารแก่ผู้ป่วยคนหนึ่ง โดยแนะนำว่า ในอาหารแต่ละมื้อควรประกอบด้วยแคลเซียมอย่างน้อย 400 มิลลิกรัมธาตุเหล็กอย่างน้อย 10มิลลิกรัม และวิตามิน C อย่างน้อย 40 มิลลิกรัม โดยแนะนำอาหารสองชนิด A และ B อาหารชนิด A แต่ละออนซ์จะประกอบด้วยแคลเซียม 30 มิลลิกรัม ธาตุเหล็ก 1 มิลลิกรัม วิตามิน C 2มิลลิกรัม และคอเรสเทอรอล 2 มิลลิกรัม อาหารชนิด Bแต่ละออนซ์จะประกอบด้วยแคลเซียม 25 มิลลิกรัม ธาตุเหล็ก 0.5มิลลิกรัม วิตามิน C 5 มิลลิกรัม และคอเรสเทอรอล 5 มิลลิกรัมจงหาว่าควรใช้อาหารชนิด A และ B อย่างละกี่ออนซ์ ในการปรุงอาหาร1 มื้อ เพื่อให้ได้คอเรสเทอรอลต่ำสุดในขณะเดียวกันให้ได้ธาตุอาหารต่างๆอย่างน้อยตามที่ต้องการ–p.18/2

–p.19/2PROBLEM11. ค่าสูงสุดของ A เมื่อ A = Bx + y โดยที่x ≥ 0,y ≥ 0,x + y ≤ 2, 2x − y ≤ 2 เท่ากับเท่าใด (2539)

–p.19/2PROBLEM11. ค่าสูงสุดของ A เมื่อ A = Bx + y โดยที่x ≥ 0,y ≥ 0,x + y ≤ 2, 2x − y ≤ 2 เท่ากับเท่าใด (2539)12. สมการจุดประสงค์ 1500 − 8x − 10y โดยมีอสมการข้อจำกัดดังนี้x + y ≥ 40,x + y ≤ 100, 0 ≤ x ≤ 80, 0 ≤ y ≤ 70 ค่าสูงสุดของ Pเท่ากับเท่าใด (2540)

–p.19/2PROBLEM11. ค่าสูงสุดของ A เมื่อ A = Bx + y โดยที่x ≥ 0,y ≥ 0,x + y ≤ 2, 2x − y ≤ 2 เท่ากับเท่าใด (2539)12. สมการจุดประสงค์ 1500 − 8x − 10y โดยมีอสมการข้อจำกัดดังนี้x + y ≥ 40,x + y ≤ 100, 0 ≤ x ≤ 80, 0 ≤ y ≤ 70 ค่าสูงสุดของ Pเท่ากับเท่าใด (2540)13. กำหนดให้ P = ax + 2y และมีเงื่อนไขข้อจำกัดดังต่อไปนี้2x + y ≤ 50,x + 2y ≤ 70,x ≥ 0,y ≥ 0 ถ้าค่าสูงสุดของ P เท่ากับ100 แล้ว a เท่ากับเท่าใด (2544)

–p.20/2PROBLEM14. น้ำมันดีเซล 100 ลิตร ราคาต้นทุนลิตรละ 12 บาท และน้ำมันปาล์ม 120 ลิตรราคาต้นทุนลิตรละ 8 บาท ถ้าจะผสมน้ำมันสองชนิดนี้ รวมกันให้มีจำนวนไม่น้อยกว่า 150 ลิตรและขายน้ำมันผสมนี้ในราคาลิตรละ 11 บาท ให้ได้กำไรมากที่สุดแล้ว กำไรที่ได้เท่ากับเท่าใด (2545)

–p.21/2PROBLEM15. A pet supply company mixes two brands of dry dog food.Brand X costs §15 per bag and contains eight units ofnutritional element A, one unit of nutritional element B, andtwo units of nutritional element C. Brand Y costs §30 per bagand contains two units of nutritional element A, one unitnutritional element B, and seven unit of nutritional element C.Each bag of mixed dog food must contain at least 16 units, 5units, and 20 units of nutritional element A, B, and C,respectively. Find the number of bags of brands X and Y thatshould be mixed to produce a mixture meeting the minimumcost. What is the minimum cost?