VLASTNOSTÍ OSOVÝCH AFINIT

VYUŽITÍ PROGRAMU CABRI PRO ZJIŠŤOVÁNÍVLASTNOSTÍ OSOVÝCH AFINITNaďa Stehlíková 1 , Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakultaÚvodPřipomeňme nejdříve, že afinní transformace roviny (nebo afinita) je taková transformace,která zachovává kolinearitu a dělicí poměr. Osová afinita je pak afinní transformace, která mápřímku samodružných bodů. Z toho pak plyne konstrukce obrazu libovolného bodu (obr. 1).Osová afinita je dána osou o a párem odpovídajících si různých bodů neležících na ose (vzoruA a obrazu A‘). Zapisujeme (o,A,A‘). Spojnice bodů A a A‘ určuje tzv. směr afinity.Při hledání obrazu bodu X nejdříve zkonstruujemeprůsečík P přímky AX s přímkou o (P = P‘, cožplyne z to, že přímka o je přímka samodružnýchbodů). Obraz bodu X, tedy bod X‘, leží naprůsečíku přímky A’P‘ a přímky rovnoběžnés přímkou AA‘ a procházející bodem X (to plynez definice afinity).Osové afinity patří mezi geometrické transformacestudované v rámci syntetické i analytickégeometrie na vysoké škole. Jejich syntetickéstudium je však značně náročné na rýsování.Chceme-li, by studenti sami některé vlastnostiosových afinit vyvodili, pak je pro ně značněObr. 1obtížné vyznat se v náčrtku, kde se brzy objevízměť čar. Proto jsem při výuce tohoto tématu naPedagogické fakultě UK v Praze začala využívat programu Cabri geometrie II.Program Cabri je využíván ve výuce matematiky na všech úrovních. Řadu námětů je možnénajít na českém portálu tohoto programu (http://www.pf.jcu.cz/cabri/), 2 případně na světovýchstránkách věnovaných Cabri (seznam je na http://www.cabri.com/en/liens.htm). Konkrétníukázky použití programu zejména na úrovni základní a střední školy jsou častými námětyčlánků v českých časopisech pro učitele – Matematika, fyzika, informatika a Učitelmatematiky. Tvorba maker je podrobně prezentována např. v knize Schumann & Green(1994). Tento článek je příspěvkem k využití programu v rámci vysokoškolské přípravybudoucích učitelů. Cíl použití Cabri v přípravě učitelů je tedy dvojí. Za prvé je pro něprostředkem pro vyvození nových matematických poznatků a za druhé získávají samizkušenosti, které mohou dále zúročit při vlastní učitelské práci.Osové afinity v kurzu „Geometrické transformace“Kurz „Geometrické transformace, analytický přístup“ zaujímá v rámci přípravy budoucíchučitelů 2. stupně základní školy a střední školy specifické místo tím, že se snaží využívatkonstruktivistických přístupů k výuce (Hejný, Kuřina, 2001). Studenti sami si majíprostřednictvím vhodně volených gradovaných úloh vyvodit řadu poznatků, které jsou1 Příspěvek byl podpořen grantem GAUK 500/2004/A-PP/PedF.2 Přímo osovými afinitami v programu Cabri se zabývá seminární práce Gabriely Sosnovyjové na stráncehttp://www.pef.zcu.cz/pef/kmt/cabri/mgkp2001/osova/index.html.94

v tradičním vyučování předány jako hotové (viz také Kuřina, 2002). Kurz byl popsán např.v Stehlíková (2002, 2003).Studium afinit v rovině následuje po studiu shodností v rovině. Osové afinity zaujímajív rámci afinit v rovině důležité místo a jako takovým je jim věnována značná pozornost.Studenti se s nimi setkávají prakticky poprvé (kromě krátkého úvodu v rámci kurzu„Elementární geometrie“). Snaha zadat úlohy, které by vedly k samostatnému odhalenízákladních vlastností osových afinit, zpočátku narážela na výše zmíněný technický nedostatek– studenti spotřebovali tolik energie na narýsování obrazů bodů, že jim už příliš nezbývalo nato, aby dokázali z konečného, poměrně chaotického obrázku něco vyčíst. Proto jsem serozhodla zapojit do výuky program Cabri geometrie.Nejdříve se studenty vyvodíme výše zmíněnou konstrukci obrazu bodu v osové afinitě nazákladě definice afinity v rovině a osové afinity. Pak vytvoříme makro, s pomocí kterého jemožné nalézt obraz bodu, přímky, trojúhelníka a mnohoúhelníka v osové afinitě. Proinvolutorní osovou afinitu, která je dána dvěma různoběžkami (jedna z nich je osa, druháurčuje směr afinity), jsou vytvořena zvláštní makra. Tyto makra mají studenti k dispozici,když ve skupinách pracují u počítačů na úlohách zadaných učitelem. S programem Cabri seseznámili již v kurzu „Elementární geometrie“ a jeho ovládání jim většinou nečiní žádnéproblémy. Kromě použití maker musí umět pracovat s funkcí „Stopa“ a zjišťovat velikostúsečky a obsah útvaru.Sada úlohCílem níže uvedené sady úloh je objev základních vlastností osové afinity 3 : rovnoběžnépřímky se zobrazí do rovnoběžných přímek, čtverec a obdélník se zobrazí do rovnoběžníka,kružnice se zobrazí do elipsy, obsah obrazce se zachovává u elace (podtyp osové afinity, v nížje osa afinity rovnoběžná se směrem afinity) a u involutorní osové afinity 4 , samodružnépřímky jsou ty, které patří do směru afinity (plus osa), elace má jeden samodružný směr,ostatní osové afinity mají dva samodružné směry, velikost úsečky rovnoběžné s osou afinityse nemění apod. Několik úloh je věnováno problematice skládání osových afinit.Úloha 1: Nadefinujte si osovou afinitu, (a) která není ani elací ani involutorní afinitou,(b) která je elací, (c) která je involutorní osovou afinitou. Pak si mimo osu zvolte bod X anajděte pomocí makra „Obraz bodu v osové afinitě“ jeho obraz. Označte všechny objekty.Pohybujte vzorem, obrazem a osou a sledujte, jak se mění poloha obrazu X‘. Svá pozorováníevidujte.Úloha 2: Jako v úloze 1, jen zkoumejte obraz přímky.Úloha 3: Zjistěte, které přímky jsou v osové afinitě samodružné. Prozkoumejte elaci,involutorní osovou afinitu a ostatní osové afinity. Podobně řešte pro samodružné směry.Úloha 4: Co je obrazem čtverce v osové afinitě?Úloha 5: Co je obrazem kružnice v osové afinitě?Úloha 6: Nadefinujte si nějaký mnohoúhelník a sledujte, které jeho vlastnosti zůstanouv osové afinitě zachovány a které se mění.3 Díky omezenému rozsahu článku uvádím vlastnosti pouze zkratkovitě, a ne pomocí matematických vět.4 Často se setkávám s chápáním osové afinity jako analogie osové souměrnosti, což vede k tomu, že studentiautomaticky předpokládají, že všechny osové afinity jsou involutorní.95

Úloha 7: Zjistěte, jak mění osová afinita délky.Úloha 8: Zjistěte, zda a jak osová afinita mění obsah.Úloha 9: Co je složením osové afinity (o,X,X 1 ) a osové afinity (o,X 1 ,X 2 )? (Kuřina, 2002,s. 167)Úloha 10: Zjistěte, co je složením osové afinity (o,X,X 1 ) a posunutí o vektor rovnoběžnýs osou o.Úloha 11: Zjistěte, co je složením involutorní osové afinity a posunutí o vektor ležící vesměru afinity.Úloha 12: Jsou dány dvě osové afinity f, g s osami p, q a směry Ω, . Popište geometrickýtvar afinity h = g ° f, kdy (a) p = q, Ω = , (b) p = q, p ∫ Ω, Ω ≠ , (c) p = q, Ω ≠ , žádnáz afinit f, g není elací, (d) p ≠ q, p je rovnoběžná s q, Ω = , f není elace, (e) p ≠ q, p jerovnoběžná s q, Ω = , f je elace, (f) p ≠ q, p je rovnoběžná s q, Ω ≠ , f ani g není elace,(g) p, q jsou různoběžné, q ∫ Ω, p ∫ .Úloha 13: Dokažte větu: Nechť je dán trojúhelník ABC a směr s tak, že A‘ = f(A) (f je afinita)leží na rovnoběžce se směrem s vedené bodem A, bod B‘ = f(B) leží na rovnoběžce se směrems vedené bodem B a obdobně bod C‘. Pak f je buď posunutí, nebo osová afinita.Úloha 14: Ověřte, že každou afinitu lze napsat jako složení nejvýše dvou osových afinit.Ilustrace studentských pracíK úloze 1 a 2: Pomocí těchto dvou úloh se studenti mají seznámit s prostředím aexperimentálně si ověřit, jak se asi osové afinity chovají. Evidence poznatků je zatímchaotická (obr. 2). Ukazuje se výhodnost použití Cabri. Zatímco dříve, když si studenti měliklasicky zakreslitnějakou osovouafinitu, často seomezili na ten typ,který jim bylpředveden. Toznamená, pokudvyučující zakreslilbody A a A‘Obr. 2v jednépolorovině danéosou o, pak i oninadále zakreslovali osové afinity takto. Dynamičnost počítačové geometrie je navádí k tomu,aby experimentovali s polohou bodu A‘ a pohybovali jím v obou polorovinách.K úloze 5: Na obr. 3 je zakreslenasituace, v níž je nalezen obrazkružnice k v osové afinitě (o,A,A‘).Pomocí pohybu bodu A‘ je možné zjistit,v jaké speciální poloze je obrazemkružnice opět kružnice.Obr. 3K úloze 8: Na obr. 4 je ilustrován postupzjišťování vlivu osové afinity na obsah96

Obr. 4útvarů. Pohybem obrazu A‘ lze experimentálně zjistit, že elace (obr. 4 vpravo, bod A‘ leží narovnoběžce s osou, přesnost není zcela „stoprocentní“) a involutorní osová afinita zachovávajíobsah. Tento poznatek je dokázán v následujících hodinách, kdy studenti odvodí a dokáží větuo souvislosti obsahu obrazu útvaru a determinantu matice afinity (absolutní hodnotadeterminantu matice elace a involutorní osové afinity je rovna 1).K úloze 13: Nástin důkazu je na obr.5. Trojúhelník ABC je zobrazen natrojúhelník A’B’C‘, směr je dánpřímkou s. Výsledná osová afinita jedána osou procházející body P1, P2,P3, které získáme jako průsečíkypřímek AC a A’C‘, BC a B’C‘, resp.AB a A’B‘. Pro prezentaci důkazupoužijeme funkci „Historie“, kteráumožňuje konstrukci provéstpostupně, krok po kroku.K úloze 14: Na obr. 6 je ilustrovánpostup práce. Dokazujeme, žeObr. 5afinitu f(ABC)=A’B’C‘ lze rozložitna dvě osové afinity. Nejprvezvolíme dva různoběžné směry s1 a s2 (je nutné je zvolit tak, aby nevzniklo posunutí). Vzor,tj. trojúhelník ABC, je zobrazen první osovou afinitou do trojúhelníka A*B*C*, a ten jedruhou osovou afinitou zobrazen do trojúhelníka A’B’C‘. Osy obou osových afinit bychommohli nalézt pomocí postupu z úlohy 13. Pro prezentaci opět využijeme funkci „Historie“.Obr. 697

ZávěrV programu Cabri pracují studenti zpravidla dvě vyučovací hodiny a výsledky své prácezpracovávají ve skupinách (nemusejí nutně udělat všechny úlohy, často pracují i doma).V dalších hodinách se řada vlastností, které byly objeveny experimentálně, dokáží analyticky.Studenti si postupně uvědomují i omezení syntetického přístupu. Zjišťují, že např. úlohy,které vedou ke skládání afinit, se dají nejlépe řešit analyticky. Experimentální řešení je v řaděpřípadů nemožné.V loňském roce byla na téma prezentované v tomto článku vypsána diplomová práce.Diplomantka ověřuje některé z výše uvedených úloh a navíc pro použití v programu Cabrirozpracovala úlohy, které se řeší analyticky. K tomu vytvořila makro „Souřadnice bodu“ a„Graf přímky“. Tak je možné v Cabri řešit i úlohy typu:Analyticky i synteticky najděte osu a dvojici „vzor – obraz“ pro osovou afinitu, která převádípřímku p do přímky p‘ a přímku q do přímky q‘, platí-li p: x–y–1=0, p‘: 2x–3y–7=0, q: y+2=0,q‘: x–2y–5=0.Literatura[1] Hejný, M., Kuřina, F. (2001). Dítě, škola a matematika. Konstruktivistické přístupyk vyučování. Praha: Portál.[2] Kuřina, F. (2002). 10 geometrických transformací. Praha: Prometheus.[3] Schumann, H., Green, D. (1994). Discovering geometry with a computer – using CabriGéometre. Chartwell – Bratt Ltd.[4] Stehlíková, N. (2002). Geometrické transformace – konstruktivistický přístup. InAusbergerová, M., Novotná, J. a Sýkora, V. 8. setkání učitelů matematiky všech typů astupňů škol. Praha: JČMF, s. 281–287.[5] Stehlíková, N. (2003). Ilustrace konstruktivistických přístupů k vyučování na vysokéškole. In Burjan, V., Hejný, M. a Jány, Š. Zborník príspevkou z letnej školy z teórievyučovania matematiky Pytagoras. Bratislava: EXAM, s. 83–88.98