(Pokus o konštruktivistický prístup k známej téme)

MATEMATIKA BILIARDU PRE VŠETKÝCH(Pokus o konštruktivistický prístup k známej téme)Hynek Bachratý, Katedra softvérových technológií, Fakulta riadenia a informatiky ŽU,ŽilinaÚvodPri slovnom spojení „biliard a matematika“ pravdepodobne väčšina z nás v podvedomí objavístarú, ale dobre fixovanú a zrejme aj veľmi podobnú spomienku na jednu úlohu z mladosti.Keď som sa pred niekoľkými rokmi rozhodol oprášiť a ponúknuť túto tému deťom na našichaktivitách, siahol som samozrejme po nej. Žiaľ po jej hlbšom preskúmaní a konfrontovaní sčerstvými skúsenosťami mi poriadne zhorkla. Posúďte sami. Na ilustráciu pretlmočím najskôrzadanie úlohy z nemeckého korešpondenčného seminára pre talentovaných žiakov zhrubanášho 7. ročníka ZŠ: „Máme za úlohu trafiť jednou guľou odrazom od mantinelu druhú guľu(na obrázku je nakreslená známa všeobecná situácia). Táto úloha sa rieši nasledujúcimspôsobom: Zostrojíme obraz druhej gule B v osovej symetrii podľa priamky p...“ (nasledujestručný popis a nákres nám známej konštrukcie). Týmto končí zadanie (!) a nasleduje úlohapre nadané 13 ročné deti: „Dokážte že táto konštrukcia je správna!“ (t.j. rovnajú sa uhlydopadu a odrazu). Nuž pokiaľ sa vám tento spôsob podávania matematiky páči, je najvyššíčas prestať čítať nasledujúci text. My ostatní si povedzme, že ide o kryštalickú ukážkutransmisívneho spôsobu predávania objavu - alebo v tomto podaní skôr návodu. Situácia jeale ešte o kus horšia. Takmer rovnaký postup riešenia tejto úlohy objavíte aj v našichnajpoužívanejších učebniciach matematiky pre žiakov 8. triedy ZŠ od autorského kolektívupána Šedivého. Nakoľko nejde o talentovaných žiakov, je im v hotovej forme ponúknutý ajdôkaz správnosti konštrukcie. Začína vám to niečo pripomínať? Skúste si teraz odpovedať na3 kontrolné otázky:• Stretli ste sa niekedy s iným využitím biliardu v matematike?• Podarilo sa vám kedysi „symetrické“ riešenie spomínanej úlohy objaviť samostatne (alebovás predbehol učiteľ)?• A zažili ste aspoň raz samostatný objav tohto riešenia u niekoho iného - spolužiaka,kolegu, žiaka?Moje odpovede sú „áno“ (vďaka Vladovi Burjanovi), „nie“, „nie“.Aj keď v úlohe na prvý pohľad vystupuje biliard ako motivačný prvok, podľa môjho názorubol týmto spôsobom skôr zneužitý ako použitý. Po prekonaní depresívnych pocitov som tútosituáciu pocítil ako výzvu pre hľadanie nového prístupu k téme. Stručne bez nároku naúplnosť a hierarchiu uvediem súhrn motívov a cieľov môjho bádania:• Pozitívny osobný vzťah aj ku matematike, aj ku biliardu.• Pevná viera, že motivačná sila biliardu musí viesť k širším a krajším možnostiam jehovyužitia.• Podobná viera, že v biliardových úlohách sa musí skrývať viac matematiky akoprecvičovanie úloh na osovú symetriu.• Zvedavosť.• Snaha pokúsiť sa priviesť deti k samostatnému objavu riešenia úvodnej úlohy.Po viac ako 5 rokoch práce s témou môžem konštatovať, že sa „zadarilo“. Z biliardov sa stalasnáď najrozsiahlejšia téma v oblasti záujmovej matematiky akú poznám. Na základevlastných skúseností môžem potvrdiť, že sa dá prezentovať pre deti od piateho ročníka ZŠ cezstredoškolákov až po vysokoškolákov (a tiež dospelé auditórium). Časový rozsah môže siahaťod 45 minútovej „jednohubky“ až po viachodinový seminár. Téma v sebe určite skrýva3

výborné možnosti pre prácu SOČ a minimálne pre pedagogicky zameranú prácu ŠVOČ.Niektoré vhodné problémy je možné formulovať ako úlohy do rôznych súťaží. Som tiežpresvedčený, že ponúka široké možnosti pre využitie pri vyučovaní. Tak isto sa k jejjednotlivým častiam možno vracať aj po dlhšom časovom odstupe. Téma pokrýva viacerooblastí geometrie, ale aj teórie čísel a ďalších oblastí matematiky, a to od propedeutiky až poúroveň fixovania a používania už zažitých pojmov.Ako čítaťV nasledujúcom texte sa pokúsim čitateľa zoznámiť s jednotlivými oblasťami témy. Pôjde aleskôr o poznámky, návody a inšpirácie pre vlastnú prácu. Dôvodov je viacero. Samozrejmev prvom rade nechcem čitateľa obrať o možnosť samostatných objavov. Druhým problémomje rozsah článku. Chcem ale upozorniť na ešte jeden závažný dôvod. Ako som už spomenul,téma je značne rozsiahla a ponúka široké možnosti. Snáď viac ako mnohé iné zvádza k snahe„rýchlo povedať aj toto, stihnúť ešte tamto a spomenúť aj hento“. Myslím si, že v prvom radeby bola škoda čokoľvek uponáhľať. Preto považujem za vhodné až nutné tému si vlastnoručneohmatať a až na základe vlastnej skúsenosti starostlivo a primerane určiť rozsah, v ktorom juponúknuť svojim poslucháčom. Pozor, v celom tu uvedenom rozsahu by téma zabrala mnohohodín práce s veľmi šikovnými gymnazistami.Odporúčam, aby si čitateľ samostatne vyriešil čo najviac ponúknutých problémov. Navrhujemaj dodržať uvedené poradie, pretože formulácie neskorších úloh niekedy obsahujú návod nariešenie prechádzajúcich. Explicitne formulované úlohy sú určené pre čitateľov tohto článku,nie na priame použitie pre žiakov.Samozrejme v prípade záujmu alebo potreby veľmi rád osobne prekonzultujem všetkynejasnosti alebo príliš otvorené otázky.ZačínameZačiatok všetkých biliardových rozprávaní som venoval „spoločenskému“ úvodu.Porozprávali sme si o biliardových herniach, potrebnej výbave a rôznych typoch hier.Vysvetlili sme si rozdiel medzi už miznúcim gulečníkom, poolom, snookrom a čistým,bezdierovým biliardom alias karambolom. Ten posledný treba vychváliť ako hru ozajstnýchmajstrov, lebo v ňom budeme pokračovať. Tento klimatický úvod vždy zaujal a príjemnenaladil poslucháčov a umožnil „medzi rečou“ objasniť základné východiská:• Pravidlo rovnakého uhlu dopadu a odrazu gule od mantinelu.• Budeme hrať na „čistom“ obdĺžnikovom stole bez dier.• Pri sledovaní dráh a odrazov si nebudeme všímať rozmer gule, t.j. budeme hrať s„bodmi“.• Ak guľu dobre a silno trafíme, pohybuje sa po stole ak nie do nekonečna, tak aspoň takdlho ako potrebujeme.Na tabuli sa zároveň objavia prvé obrázky. Úvodné rozprávanie zakončíme upozornením, ženikto učený z neba nespadol, a na začiatok na hranie dostaneme len prázdny stôl a jednu guľu.Uzavreté dráhy a ich kreslenieNa prvý pohľad sa zdá, že s jednou guľou si veľa zábavy neužijeme. V skutočnosti ale ideo najrozsiahlejšiu časť témy. V tomto okamžiku rozdáme poslucháčom štvorčekový papiera začneme experimentovať. Použitie štvorčekového papiera odporúčam pre všetky vekovékategórie, určitepre ZŠ je nutné a ide o dôležitú súčasť témy.Veľmi skoro niekoho napadne „vystreliť“guľu kolmo na mantinel. Guľa sa rýchlo„zacyklí“ a pohybuje sa po tej istej dráhe.Spýtame sa, či niekto pozná ešte inúpodobnú dráhu. Okrem druhej „kolmice“4

y sa mala čochvíľa objaviť klasická, kosoštvorcová trajektória. Tento nápad treba patričnevychváliť a ujasniť si na ňom, čo budeme rozumieť pod uzavretými (cyklickými, opakujúcimisa) dráhami (trajektóriami, obehmi,..).S mladšími žiakmi (alebo keď je totreba) si už pri tejto dráhe môžeme overiť,či je dodržané pravidlo o uhle dopadua odrazu. Môžeme (najlepšie na tabuli kdenemáme štvorčekovú sieť) použiť„dokreslený“ obrázok a intuitívnekonštatovať zhodnosť štyroch menších obdĺžnikov a útvarov v nich. Druhú možnosť ponúkanákres dráhy na štvorčekovom papieri, kde je môžeme zhodnosť uhlov overiť pomocoupomeru akým dráha križuje štvorčekový raster. Tieto spôsoby môžeme na overeniekorektnosti odrazov použiť aj neskôr, aj keď postupom času sa dodržiavanie tohto pravidlastane samozrejmosťou a už mu nevenujeme pozornosť. Sledovanie pomeru stúpania dráhy jeale aj dôležitou pomôckou pri jej korektnom kreslení, takže táto skúsenosť sa nestratí.V tomto okamžiku dostávajú všetci chuť na skúmanie ďalších uzavretých dráh. Navrhnemevniesť do skúmania systém. Guľu vždy postavíme do stredu ľavého zvislého mantinelu,a volíme určité miesto na hornom mantineli do ktorého namierime guľu. Nasleduje veľká„maľovacia“ časť práce. Poslucháčom postupne zadávame jednotlivé miesta „zásahov“a nechávame ich kresliť trajektórie. Je potrebné, aby si ich dostatočne veľa naozaj nakreslilkaždý z nich. Tempo sa líši, preto úlohy zadávame jednotlivcom, ale snažíme sa koordinovaťpostup celej skupiny. Počas kreslenia postupne zadávame už aj nižšie uvedené úlohy. Prizávažnejších z nich je ale vhodný plenárny postup, môžeme ich preto prezentovať až keďvšetci dosiahnu určitý stupeň vhľadu do problematiky. Ďalej uvediem prehľad oblastí, ktorésú v tejto etape zaujímavé a povšimnutiahodné.• Samotná práca so štvorčekovým papierom a zoznámenie sa s ním je veľkým prínosom.Pokiaľ si žiaci zvyknú pracovať soštvorčekovým papierom, otvára sa námširoká oblasť ďalšieho využitia (pozrinapr. skriptá (1)). V našom prípade násštvorčekový papier „strategicky“odbremení (hlavne u mladšíchposlucháčov) od geometricky ťažkej podmienky zhodnosti uhlova umožní nám prácu a zbieranie skúseností aj bez nej. Keď saprípadne k problému uhlov vrátime, budeme na jeho riešenie užomnoho lepšie pripravení.• Samotné kreslenie dráh chytí zväčša za srdce všetkých. Niektoríbezproblémovo postupujú v riešení úloh. Vyskytujú sa ale ajproblémy, ktoré treba jednotlivo prebrať a pomôcť odstrániť. Výnimočne sa stretnemes prípadmi, kedy poslucháč vôbec nevyužíva pomoc štvorčekového papiera, a načrtne siobdĺžnik voľne mimo rastra. Tiež prekvapujúca, ale už častejšia situácia je, keď zvolenýzvislý počet štvorčekov stola (napriek začiatku v strede mantinelu) je nepárny.K prekonaniu týchto úvodných ťažkostí väčšinou stačí pripomínať možnosť čo najlepšievyužiť raster papiera. Správne „jemné“ naladenie rozmeru stola k jednotlivým úlohám jezložitejší problém a vrátime sa k nemu. Druhým častým problémom je nekorektnékreslenie dráhy – od nedodržania pravidla uhlov až po skrúcanie čiary a nedodržanie jejpriameho smeru. Tu je skvelým pomocníkom štvorčekový raster, kde je ľahké ukázaťresp. nájsť miesta, kde sa pomery križovania rastra líšia (napr. na začiatku čiary je 2:1, poodraze 3:1 a pod.). Uvedomenie si a sledovanie týchto pravidiel je cennou skúsenosťou.• Vyššie spomenutý súvis kreslenia dráh a pomerov križovania rastra smeruje hlavneu mladších žiakov k propedeutike problematiky podobnosti útvarov, koeficientupodobnosti a prípadne aj priamej úmery. Podľa môjho názoru ide o dobrý štart do tejto5

• Je načase spomenúť „dráhy s nepárnym menovateľom“. Už experiments najjednoduchšou z nich (mierime do 1/3) ukáže, kde je problém: guľa sa dostala dorohu. Ponúkajú sa dve možnosti pokračovania. V tom jednoduchšom povieme, že tietodráhy profesionálni hráči neuznávajú a nebudeme sa im venovať. Môžeme ešte na párobrázkoch intuitívne zistiť, že podobné problémy prináša každá dráha, ktorá „povykrátení“ má nepárny menovateľ. Druhou možnosťou je prijať pravidlo, že guľa saz rohu odráža a vracia po rovnakej dráhe. Trajektóriu tak možno dokresliť a vzniknepekný obrázok, tzv. rybka. Pri zložitejších nepárnych trajektóriách sa ryby množiaa vytvárajú akvárium. Tieto obrázky majú hlavne estetický význam a neprinášajú zásadnenové výsledky. Tým je skôr zistenie, že prostredníctvom symetrie sa dajú nepárne dráhypreviesť na párne. Zaujímavé je prípadné všeobecné štúdium a charakterizácia „rohových“dráh. Pre rozhodnutie venovať alebo nevenovať sa nepárnym dráham je ale asirozhodujúce časové hľadisko.• Úloha: Dokážte, že pre X=1/2 a Y=m/(2n+1) je dráha rohová. Platí tvrdenie aj naopak?• Až pri prezentácii témy pre žiakov 5. ročníka ZŠ som si uvedomil jej ďalší prínos – určitúpropedeutiku zlomkov. Aj keď títo žiaci o zlomkoch ešte na matematike nepočuli, pokyn„namieriť do ¾ mantinelu“ im nerobil problém, pojem dobre poznali z hovorovéhojazyka. Dával som si ale pozor, aby som nepoužíval klasický zlomkový zápis, hodnotysom písal napr. ako „3Z4“ alebo slovom a nechal deti, nech si volia vlastný spôsob zápisu.Okrem toho, že si neskôr na štvorčekovom papieri (pri správne volenom rozmere) bezväčších problémov vedeli určiť 5/8 alebo 7/10 stola ma veľmi potešili spontánne výkrikya objavy tipu „do 6/8 netreba kresliť, to je to isté ako ¾“.Uzavreté dráhy a mantinelyPokiaľ nám to čas alebo úroveň poslucháčov dovoľuje, po získaní dostatočného množstvaskúseností a tiež obrázkov rôznych uzavretých obehov môžeme pristúpiť k ďalšej časti:skúmaniu ich rôznych číselných charakteristík. Opäť pomocou odvolania sa na skutočnú hrupripomenieme, že za majstrovské údery sa považujú tie, pri ktorých sa guľa odráža odmantinelu. Čím viac odrazov, tým lepšie. Skúsme naše uzavreté dráhy preskúmať z tohtohľadiska. Koľko odrazov od mantinelov obsahujú? A dá sa toto číslo nejakým spôsobomvopred odhadnúť?Podľa veku a úrovne poslucháčov sa nám ponúkajú rôzne možnosti ako sa tejto úlohy zhostiť,akú zvoliť obtiažnosť zadania a akú hĺbku a formalizáciu riešenia. Tu je niekoľko možnýchprístupov, začneme od jednoduchších úloh:• Pomerne rýchlo nás k „uhádnutiu“ výsledkov vedie prehľadné zorganizovaniea usporiadanie získaných hodnôt. (V tomto okamžiku by ich mal mať k dispozícii ajčitateľ.) Pokiaľ si spočítame počty nárazov pre dráhy typu 1/n a usporiadame ich dotabuľky, stačí sa spýtať aký bude počet nárazov pre nasledujúcu dráhu v poradí:½ => 4, ¼ => 6, 1/6 => 8, 1/8 => 10, 1/10 => 12, 1/12 => ?Aj najmenšie deti uhádnu resp. vycítia a vedia použiť „vzorček“ a sú schopné smerovať ajk jeho zdôvodneniu.• Hľadanie pravidla pre počet odrazov pre jednoduché dráhy typu 1/n ponúka viaceromožností. Môžeme začať zvedomením si a rozdelením odrazov na horné, dolné, ľavéa pravé. Tým sa situácia stane ešte prehľadnejšia. Jedným z možných postupov je potomsledovanie taktu pohybu gule v zvislom smere a jeho porovnanie s vodorovným pohybom.Všímame si hornú, stredovú a dolnú polohu gule. Jej pohyb po vystrelení má potomrytmus (S – na začiatku) H S D S H S D ... Polohy H a D zodpovedajú odrazom odhorného a dolného mantinelu. Keďžesme na začiatku mierili do polohy 1/n, n-té písmeno v postupnosti zodpovedánárazu na pravý mantinel, a ďalších npísmen nás privedie späť k ľavému7

mantinelu. Dráha sa uzavrela, spočítame horné a dolné odrazy a pridáme 2 odrazy odkolmých mantinelov. Variantom tohto postupu, ktorý súvisí so „zlomkovou zápletkou“témy, je sledovanie rytmu zlomkov 1/n, 2/n, 3/n z hľadiska výšky gule v týchtomomentoch. Čoskoro sa nahliadne, ktoré menovatele zodpovedajú hornej, dolneja stredovej polohe gule. Postupy pre riešenie tohto jednoduchšieho problému je možnéďalej rozvinúť a použiť v nasledujúcom.• Aj pre zložitejšie dráhy všeobecného typu k/n môžeme začať inventarizácioua tabuľkovaním hodnôt známych dráh. Určitý problém tu prekvapujúco pôsobí kráteniezlomkov. Posúďte sami:1/8 => 10, 2/8 => 6, 3/8 => 14, 4/8 => 4, 5/8 => 18, 6/8 => 10, 7/8 => 22.Poriadny chaos, ktorý ale zmizne pokiaľ sa obmedzíme len na zlomky v základnom tvare:1/8 => 10, 3/8 => 14, 5/8 => 18, 7/8 => 22.Sledovaním podobných tabuliek vieme odhadnúť niektoré vzorčeky. Problematika je aleo stupeň zložitejšia.• Úloha: Nájdite vzorec pre určenie počtu odrazov pre dráhy typu X=1/2 a Y=m/2n. Silnépovahy si môžu zovšeobecniť aj hodnotu X.• Táto úloha nie je triviálna a zaujmete ňou už aj vysokoškoláka alebo „áčkového“olympionika. Okrem rozvinutia vyššie spomenutýchmetód môžete napr. uvažovať o rozklade „vektora“prvého úderu na vodorovnú a kolmú zložku a sledovaťsúvis týchto dvoch hodnôt a z nich plynúceho taktupohybu vo vodorovnom a zvislom smere. Pri jednejz prezentácií témy sa objavil ešte jeden zaujímavýpostup. Ilustrujeme ho na obrázku 5/8 dráhy. Prvý„výstrel“ ide z polohy ½ do polohy 5/8. V ľavom hornomrohu stola sa ale nachádzajú ďalšie rovnobežné dráhy, ktoré by spôsobili rovnaký obehgule. Pri nich by sme mierili z 3/10 do 3/8 alebo z 1/10 do 1/8 mantinelu. Začína saobjavovať určitá zaujímavá algebra dvojíc zlomkov popisujúcich rovnobežné dráhy. Ešteraz a bez krátenia:(5/10 => 10/16) ~ (3/10 => 6/16) ~ (1/10 => 2/16)Poslednú dvojicu považujeme v určitom význame za „minimálnu“, zodpovedá extrémnejpolohe dráhy v ľavom hornom rohu. A načo je to dobré? Okrem samotnej úlohy popisurovnobežných dráh nám „minimálny“ popis prvého úderu umožňuje iný, ľahší postupriešenia mantinelových (a ďalších) problémov.• Úloha: Popíšte „algebru rovnobežných dráh“. Nájdite vzorec pre počet odrazov pomocouhodnôt „minimálnej“ dráhy.Uzavreté dráhy a ich kríženieNastal čas na ďalší krok v abecede biliardu. Netešte sa na viac gulí, stále zostávame priuzavretých dráhach. Teraz si ale budeme všímať, koľkokrát dráha križuje samú seba.Križovanie dráh gúľ pohybujúcich sa po stole je opäť problémom aj skutočného biliardu.Podcenenie tzv. tušov vám často prekazí inak skvelo premyslený úder.Problém je o stupeň ťažší ako počítanie odrazov, je však jeho logickým pokračovaním.Môžeme použiť a rozvíjať postupy (metodické aj matematické) z predchádzajúcich častí.Bojovníci sa majú na čo tešiť:Úloha: Nájdite vzorec pre určenie počtu prekrížení pre dráhy typu X=1/2 a Y=m/2nOstatným možno trochu nekorektne dám malú radu. Môžete si všimnúť, že po nakreslení dráhsú vzniknuté „ornamenty“ zložené z rôzneho počtu základných tvarov – kosoštvorcov.V biliarde sa tento útvar nazýva diamant, a môžete ho ako pomocné značky nájsť na okrajochkvalitnejších stolov. Napríklad vyššie nakreslená trajektória 5/8 pozostáva zo 4 stĺpcov po 5diamantov. Ďalší postup je vcelku jasný. Z popisu rozostavenia diamantov ľahko určíme8

počet odrazov aj prekrížení dráhy. A zistiť štruktúru diamantov s už získanými skúsenosťamitiež nie je zásadný problém.Úloha: Vytvorte „teóriu diamantov“ a použite ju na riešenie predchádzajúcich úloh.Uzavreté dráhy a čo ešte zostaloNa záver ešte spomeniem niekoľko zaujímavých možností rozvinutia tejto časti témy.Väčšinou k nim došlo náhodne pri niektorej prezentácii témy a zaslúžia si našu pozornosť.• Pri hraní sas témou naseminári táboraSEZAMu dostaljedenz poslucháčovnápad: a čo nekonečný stôl? Času sme mali dosť, upravili sme preto jeden stôl, vcelkunáhodne namierili guľu a vyslali ju do nekonečna. Rozhodujúci rozhovor odznel o chvíľu:„A čo ak tam ten mantinel vrátime?“ „Aha, a kam?“ V tom okamžiku sa nám súčasnerozsvietilo takmer všetkým. Nekonečný pásik je vlastne univerzálnou pomôckou prezostrojenie ľubovolnej dráhy. Stačí ho mať na priesvitnej fólii a správne skladať...Nebudem vás oberať o potešenie z domýšľania možností tohto triku. Spomeniem len, žes odstupom času ma najviac potešil fakt, že sa tu prvý krát, prirodzene a na detský popudobjavila osová súmernosť.• Aj keď na prvý pohľad to tak nevyzerá, silnou zbraňou (alebo pekným spestrením) témymôže byť použitie rekurencie. Takmer v každom okamžiku skúmania uzavretých obehovnás k nemu privedie nevinná otázka „a nedajú sa výsledky z menších stolov použiť naväčšie?“ Už len myšlienka dvojnásobného predĺženia stolu (vo vodorovnom smere)významne pomôže pri riešení väčšiny problémov a úloh. Možností je pri tom samozrejmeviac. Pri tomto skúmaní opäť čoskoro narazíme na osovú symetriu. Za povšimnutie tiežstojí skutočnosť, že týmto prístupom sa dá veľmi rýchlo, elegantne a komplexne zvládnuťproblematika „nepárnych“ dráh. Ich „zdvojnásobením“ sa dostaneme do známych oblastía ľahko získavame odpovede na všetky zaujímavé otázky.• Už v predchádzajúcom bola párkrát spomenutá možnosť zovšeobecnenia úvodnéhoúderu. Hodnota X, t.j. poloha gule pri ľavom mantineli môže byť iná ako ½. A vovšeobecnosti nemusí ísť ani o zlomok, môžeme miesto neho používať reálne číslo. Zrejmesi vieme predstaviť zdôvodnenie, ktoré naše skúmanie obmedzí na štvorcový stôl sostranou 1. Hodnoty X a Y potom môžu byť reálne čísla z intervalu (0,1). A prečo vlastnemusí guľa ležať pri mantineli?• A na záver tejto časti si nemôžem odpustiť klasický obrat: a ako by vyzerali neuzavretédráhy?Konečne dve gule!Pokiaľ sme sa dopracovali až na toto miesto, čaká nás zaslúžená odmena. Naozaj nadišiel časobrátiť list a pustiť sa do novej skupiny úloh. A prichádza čas aj na tú klasickú: trafiť jednouguľou druhú. Samozrejme priamy zásah zodpovedajúci nakresleniu úsečky nie je problémom,a rýchlo preto pridávame podmienku zásahu po odraze od mantinelu. Ale pozor, východiskáspomenuté na začiatku tohto článku stále zostávajú v platnosti. Tak isto zatiaľ zostávame naštvorčekovom papieri, ktorý riešenie tejto úlohy odkláňa do iných oblastí. A aj keď je možnétúto časť témy prezentovať samostatne, prihováram sa za jej zaradenia až po (prípadnestručnejšom) absolvovaní „kurzu“ uzavretých dráh. Tam získané skúsenosti totiž umožňujúomnoho lepšiu prácu.Najskôr na štvorčekoch a pekne pomaly9

Prvá úloha bude veľmi jednoduchá. Požiadame deti, aby si nakreslili dve gule rovnakovzdialené od mantinelu a namaľovali akým spôsobom môžemejednou po odraze od mantinelu trafiť druhú. Úloha je veľmijednoduchá a deti ju zvládnu. Môžeme si na nej objasniťa pripomenúť niektoré dôležité skutočnosti:• Podstatou úlohy je určiť miesto na mantineli, na ktoré máme zamieriť „nábehovou“ guľou(to je tá do ktorej triafame, Angličania ju nazývajú „tágovou“ guľou).• Treba vhodne využiť raster štvorčekového papiera.• Existuje viac „správnych“ rozmerov resp. postavení gulí v rastri.• Máme opäť viacero možností ako si overiť korektnosť dráhy (odrazu).• Konštrukcia je v zásade podobná pri rôznych rozmeroch situácie (vzdialenosť gulí odmantinelu a od seba).Po prvej nasleduje druhá úloha: nábehová guľa je od mantinelu dvakrát ďalej ako druhá. Pririešení tejto úlohy je určenie správneho rozmeru (umiestneniav rastri) a overenie korektnosti odrazu mierne zložitejšie, aleskúsenosti z predchádzajúcich častí nás vedú správnym smerom.Pokračujeme v zadávaní ďalších úloh, keď meníme a striedamevzdialeností gúľ od mantinelu. Pomery zostávajú celočíslené, napr.1:2, 3:1, 1:3, 2:3, 3:4,... Spočiatku deti opäť pracujú samostatnevlastným tempom, časom by sme mali ich postup zladiť, prezentovať výsledky na tabuli atď.Pri riešení tejto kaskády úloh opäť prichádza k slovupodobnosť trojuholníkov, sledovanie pomerov križovanie2a3arastra jednotlivými časťami dráhy, prostredníctvom zadaniaúloh (pokiaľ k tomu neprídu poslucháči sami pri riešení)môžeme upozorniť na význam kolmých čiar medzi guľamia mantinelmi. Po nakreslení dostatočného množstva obrázkov máme dosť skúseností naformulovanie a vyriešenie niektorých základných a súvisiacich problémov. Tieto sú hlavnepre menšie deti cennými objavmi:• Aké sú pre daný celočíselný pomer vzdialeností vhodné umiestnenia gulí (a mantinelu)v rastri?• V akom pomere potrebujeme deliť vzdialenosť medzi kolmými priemetmi gúľ namantinel?• Na koľko častí treba mať rozdelenú úsečku, ak ju chceme rozdeliť v celočíselnom pomereA:B?V kreslení na štvorčekovom papieri môžeme pokračovať v podstate neobmedzene. Časom saale tento postup vyžije a neprináša ďalšie nové skúsenosti. Už v tejto forme je možné prejsťk úlohám typu „guľa => dolný mantinel => horný mantinel => guľa“ atď., ale nezískamežiadne zásadne nové poznatky.Dosť bolo štvorčekov...Ďalší postup uvediem opäť v komentároch o poznámkach:• Zásadnou zmenoua rozvitím témy je (v tomtookamžiku vhodné)odstránenieštvorčekového papiera.Pokiaľ pri uzavretýchobehoch sa raster dalnahradiť pomocným3a2a2a3a10

ozdelením stola a v podstate sme zopakovali pôvodný postup, teraz sme postavený predzásadne novú úlohu: rozdeliť danú úsečku v danom celočíselnom pomere. Ide o klasickúgeometrickú úlohu, ktorej riešenie vedia objaviť alebo aspoň na ňom zmysluplne pracovaťuž talentovaní šiestaci. To ale neznamená, že by nezaujala aj stredoškolákov, môžeme lenočakávať rýchlejší postup a prechod k ďalším problémom. Je dobré poskytnúť na tútočasť deťom dosť času (prípadne aj viac dní) a nechať ich objavovať. Pri dobrej motiváciivedia vymyslieť viacero správnych aj nesprávnych konštrukcií, o ktorých sa dá priďalšom stretnutí veľmi užitočne diskutovať. Väčšinou sa objavili aj dve „kánonické“konštrukcie, ktoré ilustrujem na obrázkoch. Špeciálnekolmé polohy pomocných čiar pritom väčšinou„vyhrávali“ a budili väčšiu dôveru, objavovali sa ale aj„šikmé“ varianty. Opäť môžeme vidieť použitú osovúsymetriu, teraz ako pomôcku pre delenie úsečky. Nájdusa ale aj krásne špeciality. Popíšem konštrukciusiedmaka pre delenie úsečky v pomere 2:1. BodomA vediem ľubovolnú úsečku BC tak, aby A bol jejstredom. Nájdem stred S úsečky DB a spojím hos bodom C. Priesečník DA s SC delí DA v pomere 2:1.Čo vy na to?• Ďalším prirodzením zovšeobecnením je upustenie odceločíselných pomerov vzdialeností gúľ od mantinelov.V zásade ide o riešenie všeobecnej úlohy zo začiatkutohto textu, aj keď teraz ju poslucháči chápu skôr akoúlohu na delenie úsečky v „geometricky“ zadanompomere. Aj keď riešenie tohto problému často spočívalen v (netriviálnom) uvedomení si možnosti použiťpostup z predchádzajúcej úlohy, odporúčam pokračovaťv týchto častiach témy už len s stredoškolskýmia staršími poslucháčmi.• Pokiaľ sme zvládli predchádzajúcu úlohu, nastalsprávny čas na pridanie ďalších odrazov odvodorovných mantinelov. Do hry priberieme aj šírku stola, je na nás či začneme sceločíselnými polohami alebo prejdeme rovno k všeobecnému „grafickému“ zadaniu.Možností riešenia je viacero (osové symetrie..), spoľahlivo ale zaberá a aj prirodzenejšiepôsobí konštrukcia s jednou pomocnou priamkou. Treba si len uvedomiť, ktoré kolmévzdialenosti na ňu (a v akom poradí) nanášať a ako použiť rovnobežné úsečky. Popochopení tejto konštrukcie nie je problém pridávať ďalšie a ďalšie odrazy od mantinelov.Poďme do kúta.Na záver popíšem ešte pár ďalších možností rozvíjania témy kuktorým som sa po pravde takmer nikdy nedostal. Ich ďalšierozpracovanie teda čaká na príležitosť - dôležitý bude zrejmedostatok času a ešte systematickejšia práca s témou. Najskôrchcem pripomenúť možnosť pridania kolmého mantinelu k úlohes dvomi guľami. Východiskovou situáciou sú jednoduché rohovéúdery, keď potrebujeme trafiť guľu s odrazom od vodorovnéhoa následne kolmého mantinelu. Môžeme opäť začať na štvorčekovom papieri s celočíselnýmipomermi vzdialeností. V tejto podobe ide hlavne o napínavé kreslenie. Myšlienku potommôžeme ďalej rozvíjať a zovšeobecňovať spôsobmi známymi z predchádzajúcich častí –hlavne „uberaním“ rastra a pridávaním mantinelov. Na tomto mieste je poctivé povedať, žeminimálne z hľadiska efektívnosti v tomto mieste už začínajú „vyhrávať“ postupy založené naosovej symetrii.112aDSaBAC

A prečo len obdĺžnik?Ďalším klasickým rozšírením témy biliardov sú netradičné tvary stolov. Úplne vlastnýmživotom žijú úlohy na kruhovom stole, ktoré čitateľ môže nájsť napr. v (2). V duchu tohtočlánku sa ale dá pokračovať hlavne v skúmaní uzavretých dráh a viacnásobných odrazov nastoloch v tvare rovnostranného trojuholníka a v rôznych pravouhlých trojuholníkoch,najlepšie s rozumnými hodnotami vnútorných uhlov. Ďalšou skupinou stolov sú kosoštvorcea rovnobežníky, nie moc „divoké lichobežníky atď. Ešte o stupeň napínavejším krokom jepridanie ďalšej dimenzie. Biliardové problémy v kocke, kvádri, štvorstene atď. čakajú nasvojich riešiteľov...ZáverPokiaľ sa čitateľ dopracoval až na toto miesto, netreba ho zamestnávať ďalšími nápadmi.Zopakujem len ponuku vítaného osobného kontaktu s hlbšími záujemcami o tému. Na záver siale môžeme naliať čistého vína – skutočný biliard je trochu iná ako matematická disciplína.Uhly dopadov a odrazov sa nerovnajú, gule nie sú body a majú dokonca hmotu a hmotnosťatď. Otvorene povedané, je to fyzika. Necháme ju odborníkom, záujemcom odporúčamzaujímavú stránku (4).Literatúra(1) M.Hejný, D.Jirotková, N.Stehlíková: Čtverečkovaný papír – most mezi geometriía aritmetikou(2) Bachratá, Bachratý, Burjan: Odborný program matematických krúžkov na II. stupni ZŠ(3) Hejný, Kuřina: Dítě, škola a matematika.(4) http://www.engr.colostate.edu/~dga/pool/e-mail: hynek@kst.fri.utc.sk12