Soluciones del Examen Septiembre 2007 Problema 1

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Problema 2II.1 El valor de una determinada señal s producida por un aparato sufre pequeñas perturbacionesque consideramos aleatorias.a). (0.5pt)¿Qué queremos decir con la expresión “las perturbaciones son aleatorias”? Introducela variable aleatoria conveniente.Cuando decimos que las perturbaciones son aleatorias, nos referimos al hecho que su valores impredecible: se añaden de manera inevitable al valor de la señal, sin que podamospredecir su valor exacto. La variable aleatoria que introducimos es S=”Valor de la señalproducida por el aparato.b). (0.5pt) Decidimos modelizar la distribución de los valores de la señal por una distribuciónNormal. ¿Cuál es, en tu opinión, el procedimiento que nos ha llevado a escogereste modelo de distribución para nuestra variable aleatoria? ¿Qué representan la mediay la desviación típica de esta variable aleatoria?Si hemos escogido el modelo de la distribución Normal, es seguramente porque al haberobservado muchos valores de la señal, nos hemos convencido que la distribución de losvalores observados de la variable presenta características compatibles con el modelo Normal:por ejemplo que el histograma de valores observados se podría ajustar por unacampana de Gauss. La media µ representa para este modelo el centro de la distribuciónde la variable mientras que la desviación típica σ mide su dispersión (por ejemplo, parauna distribución Normal, la probabilidad de que la variable tome valores entre µ ± 2σ es0.95).c). (0.75pt)Supongamos que la distribución de los valores de s se puede aproximar por unadistribución normal con media 12 y desviación típica igual a 0.5. ¿Cuál es la proporciónde los valores de la señal qué están comprendidos entre 11.75 y 12.25? ¿y mayores de13? ¿y mayores de 11?Tenemos S ∼ N (12, 0.5 2 ). Para calcular probabilidades asociadas a S, basta con tipificary buscar los valores en la tabla:11.75 − 12 12.25 − 12P(11.75 ≤ S ≤ 12.25) = P( ≤ Z ≤ )0.50.5= P(−0.5 ≤ Z ≤ 0.5) = φ(0.5) − φ(−0.5) = 2φ(0.5) − 1 ≃ 0.383.Por otra parte,P(S > 13) = P(Z > 2) = 1 − φ(2) = 0.0228,P(S > 11) = P(Z > −2) = 1 − φ(−2) = φ(2) = 0.9772.2
d). (0.75pt)Entre los valores de la señal que son mayores que 12.5, ¿cuál es la proporciónde valores que son mayores que 13?Queremos calcular P(S > 13|S > 12.5). Por la definición de la probabilidad condicionadatenemosP(S > 13 ∩ S > 12.5) P(S > 13)P(S > 13|S > 12.5) = =P(S > 12.5) P(S > 12.5)P(Z > 2)=P(Z > 1) = 1 − φ(2)1 − φ(1) ≃ 0.144.e). (0.75pt) Supongamos que observamos 100 realizaciones independientes de la señal s.¿Cuál es la probabilidad de que observemos más de 3 valores mayores de 13?Introducimos ahora la variable X =”número de valores mayores de 13 entre las 100realizaciones”. Estamos en la situación de un experimento dicotómico que repetimos 100veces, identificamos la distribución de X como una binomial con parámetros n = 100, yp = P(S > 13) = 1 − φ(2) = 0.0228.Nos piden P(X > 3). TenemosP(X > 3) = 1 − P(X ≤ 3) = 1 − [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)][( )( )100100= 1 − 0.0228 0 0.9772 100 + 0.0228 1 0.9772 9901( )( ]100100+ 0.0228 2 0.9772 98 +)0.0228 3 0.9772 9723= 1 − 0.805 = 0.1995.II.2 Sea (X, Y ) una variable aleatoria bidimensional discreta, cuya función puntual de probabilidadconjunta, viene dada por la tabla siguiente:X = −1 X = 0 X = 1Y = −1 1/8 1/8 1/8Y = 0 1/8 0 1/8Y = 1 1/8 1/8 1/8a). (0.5pt) Hallar las funciones puntuales de probabilidad marginal de X y de Y.Completamos la tabla, sumando por columnas y filas para obtener las distribucionesmarginales:X = −1 X = 0 X = 1 f YY = −1 1/8 1/8 1/8 3/8Y = 0 1/8 0 1/8 1/4Y = 1 1/8 1/8 1/8 3/8f X 3/8 1/4 3/83
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