Soluciones del Examen Septiembre 2007 Problema 1

). (0.75pt) Calcular el coeficiente de correlación lineal entre X e Y. ¿Se puede afirmar queson independientes?. Justifica la respuesta.Tenemos quecorr(X, Y ) = cov(X, Y )σ X σ Y.Necesitamos calcular:cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ]σ 2 X = E[X2 ] − (E[X]) 2σ 2 Y = E[Y 2 ] − (E[Y ] 2 .Las distribuciones marginales de X e Y son las mismas, por lo tanto σX 2 = σ2 Y asi comoE[X] = E[Y ]. Además son simétricas respecto al valor 0, por lo que deducimos queE[X] = 0. Nos queda por calcularE[XY ] = (−1)(−1) × 1/8 + (−1)(0) × 1/8 + . . . + 1 × 1 × 1/8 = 0.E[X 2 ] = (−1) 2 × 3/8 + 0 2 × 2/8 + 1 2 × 3/8 = 6/8 = 2/3.Deducimos por lo tanto que cov(X, Y ) = 0 y por lo tanto corr(X, Y ) = 0. Esto NOimplica que sean independientes, de hecho una condición necesaria y suficiente para quelo sean esf X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y), ∀x, y.Aquí comprobamos que f X (0)f Y (0) = 1/16 que es diferente de f X,Y (0, 0) = 0. Por lotanto concluimos que NO son independientes.c). (0.75pt) Determinar P (Y > −1|X > −1).Por la definición de la probabilidad condicionada tenemosP(Y > −1|X > −1) =P (Y > −1 ∩ X > −1).P (X > −1)Por otra parte, tenemosP (Y > −1 ∩ X > −1) = f X,Y (0, 0) + f X,Y (0, 1) + f X,Y (1, 0) + f X,Y (1, 1) = 3/8.P(X > −1) = f X (0) + f X (1) = 5/8.Por lo tantoP (Y > −1|X > −1) = 3/85/8 = 3 5 .Problema 34