Транспортные автомобильные потоки - Московский Физико ...

ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 4 65При этом траектории частиц не пересекаются. Тогдавместо f(t; x,v) достаточно плотности ρ(t,x)частиц в точке x вмоментt. Еслиx(t,x 0 ) —решениеэтого уравнения, то плотность меняется позаконуρ(t,x) =ρ(0,x 0 ),если x = x(t,x 0 ). Пусть теперь имеются два типаавтомобилей — со скоростями v и v 1 >vсоответственно.Медленные автомобили едут независимои для них одночастичная функция имеетвид (4). Перейдем в систему координат, движущуюсясо скоростью v. Если задать правила обгонадля быстрых автомобилей и выразить через нихизмененную скорость v 1 (t,x) «около» точек, соответствующихмедленным автомобилям, то получитсяплотность ρ 1 (t,x) быстрых автомобилей вдвижущейся системе координат. Плотность же висходной системе координат имеет вид ρ(t,x − vt).С гидродинамическими уравнениями (типаБюргерса) такие же проблемы для трафика, хотясуществуют строгие работы по выводу гидродинамическихуравнений для exclusion processes,см. обзоры [2, 8]. Заметим, что, безусловно, интереснобыло увидеть некоторые аналогии междупотоком автомобилей и движением жидкости. Однако,что касается связи между стохастическим игидродинамическим подходами, есть две возможности— либо выводить гидродинамические уравнениядля автомобильных потоков из микромоделей(по аналогии со статистической физикой), либополучать качественные закономерности транспортныхпотоков напрямую из детерминированногоили случайного движения частиц, что кажетсяавторам этого обзора более естественным.II.3. Снижение средней скоростииз-за ремонтных работПо длинной автотрассе едут автомобили с постояннойскоростью v, встречая препятствия. Препятствияобычно имеют малый размер в сравнениис расстояниями между ними, поэтому можнопредставлять их точками. Они возникают на произвольномучастке дороги (x,x+dx) ⊂ R за время(t,t + dt) ⊂ R с вероятностью λdxdt. Точнее говоря,пары (место и момент возникновения препятствия)(x j ,t j ) ∈ R×R + образуют пуассоновское точечноеполе Π на R×R + с интенсивностью λ. Другоеэквивалентное определение состоит в том, чтодля любого интервала I ⊂ R есть пуассоновскийпоток прибывающих препятствий интенсивностиλ|I|, причем в момент прибытия препятствие выбираетточку равномерно на интервале I.Предположим, что j-е препятствие находитсяна дороге некоторое случайное время τ j , после чегооно убирается с дороги. Будем считать, что τ j —независимые одинаково распределенные случайныевеличины с функцией распределения Q(t), независящие от пуассоновского точечного поля Π.Предположим, что первые два момента с.в. τ j конечны.Обозначим m Q = Eτ j и m (2)Q = Eτ2 j .Далее мы будем рассматривать два случая.В первом случае объезд запрещен и автомобильвынужден стоять до тех пор, пока не уберут препятствие,после чего автомобиль мгновенно набираетсвою скорость v. Во втором случае объездразрешен. Более точно, автомобилю требуетсянекоторое случайное время для того, чтобы объехатьпрепятствие или группу автомобилей, стоящихперед препятствием, причем время обгонане зависит от размера этой группы. Обозначимчерез η m,i случайное время объезда i-м автомобилемm-го препятствия. Мы предполагаем, что η m,iнезависимы и одинаково распределены с функциейраспределения F (u). Эти предположения естественныдля слабой нагрузки дороги, тогда передпрепятствием не будет много автомобилей. Случайбольшой нагрузки рассматривается ниже.Нашей первой задачей будет вычисление среднейскорости автомобиля. При сделанных предположенияхавтомобили не мешают друг другу, поэтомудостаточно рассмотреть какой-то один изних. Обозначим через T (x) случайное время, затрачиваемоеавтомобилем на прохождение расстоянияx. Мы хотим найти предел отношенияxT (x)при x →∞.Пусть b = λm Q , ζ — с.в. с плотностью распределенияh(t) =m −1Q(1 − Q(t)). (5)Отметим, чтоEζ = 1m Q∞∫где m (2)Q0t(1−Q(t))dt = 1∞∫ ( ) t2(1−Q(t))d =m Q 2= 12m Q∞∫00t 2 dQ(t) = m(2) Q,2m Q— второй момент распределения Q(t).Определим с.в. α =min(η,ζ), где равенство пораспределению, при этом с.в. η, ζ считаются независимымии с.в. η имеет функцию распределенияF (u). Положимa = Eα.Теорема 1. С вероятностью 1 при x →∞xT (x) → v1+abv . (6)Доказательство. Без ограничения общностиможно считать, что автомобиль выезжает в точкеx = 0 в момент времени t = 0. ПустьT 0 (x) — время простоя автомобиля. Тогда, очевидно,T (x) − T 0 (x) =v −1 x иxT (x) = xT (x) − T 0 (x)+T 0 (x) = 1v −1 + x −1 T 0 (x) .