FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZISVOLTI1) Verificare che f(x) = √ x è continua in x 0 per ogni x 0 ≥ 0.2) Verificare che f(x) = 1 x − 1 x 0è continua in x 0 per ogni x 0 ≠ 0.3) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f(x) = [sin x] (parteintera di sin x).4) Disegnare il grafico e studiare i punti discontinuità della funzione f(x) = M(sin x) (mantissadi sin x).5) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f(x) = 2x2 −5x−3x 2 −4x+3 .6) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f(x) = x+33x 2 +x 3 .7) Determinare k ∈ R in modo che la funzione⎧2x ⎪⎨+ 4x se x ≥ 1f(x) =⎪⎩ −x + k se x < 1sia continua su R.1

2 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI8) Determinare a, b ∈ R in modo che la funzione⎧log(1 + x) se −1 < x ≤ 0⎪⎨f(x) =a sin x + b cos x se 0 < x < π 2⎪⎩ x se x ≥ π 2sia continua sul suo dominio.9) Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione f(x) = log(1+x2 )√ 3−sin x.10) Determinare il dominio e studiare la continuità della funzione f(x) = M(3 + 1 4cos 2x).11) Disegnare il grafico e studiare la continuità della funzione⎧ ]x[ 1⎪⎨ xse x ≠ 0f(x) =⎪⎩ 1 se x = 0.12) Disegnare il grafico e studiare la continuità della funzione⎧x sin ⎪⎨xse x ≠ 0f(x) =⎪⎩ 1 se x = 0.

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 3SOLUZIONI1) Per verificare che f(x) = √ x è continua in x 0 , con x 0 ≥ 0, conviene esprimere la differenzaf(x) − f(x 0 ) in modo da maggiorarla, se possibile, con la differenza x − x 0 o con una funzionedi x − x 0 . In questo caso, razionalizzando, abbiamo√ x −√x0 = (√ x − √ x 0 )( √ x − √ x 0 )√ x +√x0= x − x 0√ x +√x0.Tenendo conto che √ x ≥ 0 per ogni x ≥ 0,| √ x − √ x 0 | = |x − x 0|√ x +√x0≤ |x − x 0|√x0.Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da |x − x 0 | < δ segua |f(x) −f(x 0 )| < ε. Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0,tale che da |x − x 0 | < δ segua|x − x 0 |√x0< ε.Quest’ultima condizione equivale a |x − x 0 | < √ x 0 ε, pertanto basta scegliere δ ≤ √ x 0 ε.2) Si vuole verificare che f(x) = 1 x − 1 x 0è continua in x 0 per ogni x 0 ≠ 0. Operando comenell’esercizio precedente, cerchiamo di esprimere la differenza f(x) − f(x 0 ) in modo da maggiorarla,se possibile, con la differenza x − x 0 o con una funzione di x − x 0 . In questo caso,abbiamo1x − 1 = x 0 − x.x 0 xx 0Supponiamo che x 0 > 0 (per x 0 < 0 il procedimento è simile); poichè f non è definita in0, conviene scegliere x in un intorno di x 0 che non contenga 0. Se scegliamo, per esempiol’intorno di centro x 0 e raggio x 0 /2, I =] x 02, 3 2 x 0[, allora per ogni x ∈ I si haPertanto, per ogni x ∈ I si hax · x 0 > x 02 · x 0 = x2 02.∣ 1 x − 1 ∣ ∣∣ |x 0 − x| = < 2 |x 0 − x|.x 0 xx 0Fissato ora ε > 0, cerchiamo di determinare δ > 0, tale che da |x − x 0 | < δ segua |f(x) −f(x 0 )| < ε. Sfruttando la disuguaglianza precedentemente provata, basta determinare δ > 0,tale che da |x − x 0 | < δ segua2 |x 0 − x|x 2 0< ε.x 2 0

4 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTIQuest’ultima condizione equivale a |x − x 0 | < ε x2 02; affinchè essa sia soddisfatta per x ∈ Ibasta quindi scegliere δ ≤ min{ε x2 02, x 02}.3) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f(x) = [sin x](parte intera di sin x). Conviene osservare che, poichè sin x è periodica, di periodo 2π, anche fha la stessa proprietà. Pertanto è sufficiente limitarsi a studiare f in un intervallo di ampiezza2π. Consideriamo, ad esempio, x ∈ [−π, π]. Tenendo conto che [n] = n per ogni n intero,segue che f(x) = sin x per x = −π, −π/2, 0, π/2, π. Inoltre [y] = 0 per ogni y ∈ [0, 1[, quindif(x) = 0 per ogni x tale che sin x ∈ [0, 1[, ovvero per ogni x ∈ [0, π] \ {π/2}. Analogamente,essendo [y] = −1 per ogni y ∈ [−1, 0[, segue f(x) = −1 per ogni x tale che sin x ∈ [−1, 0[,ovvero per x ∈] − π, 0[.Possiamo pertanto disegnare il grafico richiesto, e verificare che vi sono punti di discontinuità.In ±π e 0 la funzione f ha discontinuità di prima specie, in quantolim f(x) = 0, limx→±π− f(x) = −1,x→±π +In x 0 = π 2lim f(x) = −1, limx→0− f ha una discontinuità eliminabile, in quantof(x) = 0,x→0 +lim f(x) = 0 e f( πx→ π 2 ) = 124) Come nel caso precedente la funzione f(x) = M(sin x) (mantissa di sin x) risulta periodicadi periodo 2π. Consideriamo pertanto il problema posto nell’intervallo [−π, π]. Per tracciareil grafico ricordiamo che M(n) = 0 per ogni intero n, da cui segue f(x) = 0 per ogni x taleche sin x sia intero, ovvero per x = −π, −π/2, 0, π/2, π. Inoltre, poichè da y ∈]0, 1[ segueM(y) = y, allora per gli x tali che sin x ∈]0, 1[, ovvero per x ∈]0, π[\{π/2}, si ha f(x) = sin x.Invece, da y ∈]−1, 0[ segue M(y) = y+1, e quindi per x ∈]π, 0[\{−π/2}, si ha f(x) = sin x+1.Si osserva ora che f ha punti di discontinuità di prima specie, per x = π, 0, π/2, π. Infattilim f(x) = 0, limx→±π− f(x) = 1,x→±π +In x = π 2lim f(x) = 1, limx→0− f(x) = 0.x→0 +la funzione f ha invece un punto di discontinuità eliminabile, poichèlim f(x) = 1, e f( πx→ π 2 ) = 0.2

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 55) Per disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f(x) = 2x2 −5x−3x 2 −4x+3 ,occorre preliminarmente determinarne il dominio. Poichè il denominatore si annulla perx = 1, 3 si ha subito che dom(f) = R\{1, 3}. Poichè anche il numeratore si annulla per x = 3possiamo decomporre numeratore e denominatore, ottenendof(x) =(x − 3)(2x + 1)(x − 3)(x − 1) = 2x + 1x − 1 = 2 + 3x − 1per ogni x ∈ R \ {1, 3}. Il grafico di f si può ricavare facilmente da quello di g(x) = 1/xmediante traslazioni e cambiamenti di scala. Per quanto riguarda i punti di discontinuità,x = 3 è un punto di discontinuità eliminabile, in quanto non appartiene al dominio, ma esistefinito il limitelimx→3f(x) = lim(2 + 3 )= 7x→3 x − 1 2 .Per x = 1, punto esterno al dominio di f, si ha invecelim f(x) = −∞, limx→1− f(x) = +∞.x→1 +Con abuso di linguaggio si usa dire anche che 1 è punto di discontinuità di seconda specie.Il grafico di f è riportato in figura 1.3020100−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0−10−20Fig. 1: Grafico di f, (esercizio 5)6) Si vuole disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità della funzione f(x) = x+33x 2 +x 3 .L’esercizio è simile al precedente. Si verifica facilmente che dom(f) = R \ {−3, 0}, e per talipuntif(x) = 1 x 2 .

6 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTIIn x = −3 si ha una discontinuità eliminabile, in quanto esiste finitomentre in x = 0 si halim f(x) = 1x→−3 9 ,lim f(x) = +∞,x→0ovvero una discontinuità di seconda specie. Il grafico di f è riportato in figura 2.100908070605040302010−2.0 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0Fig. 2: Grafico di f, (esercizio 6)7) Per determinare k ∈ R in modo che la funzione⎧2x ⎪⎨+ 4x se x ≥ 1f(x) =⎪⎩ −x + k se x < 1sia continua su R, si può cominciare ad osservare che f(x) è continua per ogni x ≠ 1, inquanto composta da funzioni continue (in questo caso, polinomi). Basta quindi studiare lacontinuità in x = 1. Perchè f sia continua in x = 1 occorre che i limiti destro e sinistro dif(x) per x → 1 siano finiti ed uguali al valore f(1). Calcoliamo quindilimx→1f(x) = lim + k) = k − 1,− −(−xx→1lim f(x) = lim + 4x) = 6.x→1 + x→1 +(2x2Imponendo la condizione k − 1 = 6 troviamo k = 7, che è il valore cercato. Per ogni altrovalore di k la funzione f corrispondente risulta discontinua in x = 1.

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 78) Per determinare a, b ∈ R in modo che la funzione⎧log(1 + x) se −1 < x ≤ 0⎪⎨f(x) =a sin x + b cos x se 0 < x < π 2⎪⎩ x se x ≥ π 2sia continua sul suo dominio, osserviamo innanzitutto che dom(f) =] − 1, +∞[. Inoltre, negliintervalli aperti ]−1, 0[, ]0, π 2 [, ] π 2, +∞[ la funzione f(x) è continua in quanto composizione difunzioni continue (logaritmo, polinomi, seno e coseno). Resta quindi da studiare la continuitànei punti di raccordo x = 0 e x = π 2. In ciascuno di tali punti si ha continuità se i limitidestro e sinistro sono finiti ed uguali al valore assunto da f. Calcoliamo pertantolimx→0x→0f(x) = lim log(1 + x) = 0, lim− −x→0f(x) = lim sin x + b cos x) = b.− −(ax→0Ne segue che f è continua in 0 se e solo se b = 0. Inoltrelim f(x) = lim (a sin x + b cos x) = a, limx→ π −x→ π −22f(x) = lim x = π x→ π −x→ π − 2 ,22da cui risulta che f è continua in x = π 2 se e solo se a = π 2 .9) La funzione f(x) = log(1+x2 )√ 3−sin x è definita su tutto R, in quanto per ogni x ∈ R si ha 1+x 2 ≥ 1 > 0e 3 − sin x ≥ 2 > 0. Per ogni x ∈ R essa è continua, in quanto composta da funzioni continue.10) La funzione f(x) = M( 1 2 + 1 4cos 2x) è definita su tutto R. Per ogni x ∈ R essa è continua, inquanto composta dalla funzione g(x) = 1 2 + 1 4cos 2x, che è continua per ogni x ∈ R, e ha perimmagine Im (g) = [1/4, 3/4], e dalla funzione M(x) che è continua per ogni x ∈ [1/4, 3/4].11) La funzione⎧ ]x[ 1⎪⎨ xse x ≠ 0f(x) =⎪⎩ 1 se x = 0.è discontinua nei punti x = 1/n, per ogni n intero (positivo o negativo) ed ha in tali puntidiscontinuità di prima specie. In tutti gli altri punti di R è continua.

8 FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI12) La funzione⎧x sin ⎪⎨xse x ≠ 0f(x) =⎪⎩ 1 se x = 0è discontinua per x = 0, dove ha una discontinuità eliminabile, in quantoIn tutti gli altri punti di R è continua.Il grafico di f è riportato in figura 3.lim f(x) = 0, f(0) = 1.x→00.80.60.40.20.0−3 −2 −1 0 1 2 3−0.2Fig. 3: Grafico di f, (esercizio 12)