GeoGebra dynamische Geometrie Algebra und Analysis für die Schule

wird dies in GeoGebra durch eine Konvention gelöst: Eine Funktion wird als f(x)=x 2 oder nur
x 2 geschrieben. Eine polynomiale Gleichung zweiten Grades in x und y und damit y = x 2 wird
als Kegelschnitt interpretiert.
Neue Möglichkeiten
GeoGebra bietet im Wesentlichen alle Funktionen eines DGS und kann natürlich auch wie ein
solches zum Konstruieren verwendet werden. Im Folgenden soll jedoch auf die neuen
Möglichkeiten durch die Einführung der Bidirektionalität eingegangen werden.
Analytische Geometrie
Die ersten Versionen von GeoGebra (Hohenwarter 2003) waren vor allem für den Einsatz im
Bereich der analytischen Geometrie prädestiniert. Als interessante neue Möglichkeiten sind
hier vor allem die Untersuchung von Zusammenhängen zwischen Parametern und
geometrischer Figur zu nennen.
Ein Beispiel ist die Bedeutung der Parameter p und q in der Parabelgleichung y = x 2 + p x +
q. In einem MathView Arbeitsblatt beeinflusst eine Veränderung von p oder q auch den Plot
der Parabel dynamisch (Elschenbroich 2001). Ein solches Arbeitsblatt kann auch mit
GeoGebra erstellt werden, wobei die Veränderung der Parameter in GeoGebra auch mittels
Pfeiltasten kontinuierlich möglich ist.
GeoGebra ermöglicht nun auch eine bidirektionalen Untersuchung der Parabelgleichung:
Geht man etwa von der Parabel y = x 2 + x + 1 aus, so kann diese sowohl durch Veränderung
ihrer Gleichung als auch durch Ziehen ihrer geometrischen Darstellung mit der Maus
verändert werden. Es sind also beide Repräsentationen direkt beeinflussbar.
Zusätzlich bietet GeoGebra auch geometrische Befehle, die ein CAS nicht kennt, für den
Einsatz in der Schule aber sehr hilfreich sein können: der Befehl Scheitel[par] liefert etwa
den Scheitelpunkt der Parabel und kann Ausgangspunkt für eine Untersuchung der
Zusammenhänge zwischen Scheitelpunkt und Parabelgleichung sein.
Dynamische Analysis
Anfangs beschränkten sich die symbolischen Fähigkeiten von GeoGebra auf die
Polynomvereinfachung zur Bestimmung der Normalform von Kegelschnitten. Damit wird
etwa die Gleichung x + y 2 = y + y 2 intern in x - y = 0 umgewandelt und als Gerade erkannt.
Dies ermöglicht die Eingabe von Geraden und Kegelschnittsgleichungen in beliebiger Form.
Mit der Version 2.0 wurde das neue Grundobjekt Funktion in x eingeführt und damit das Tor
zur Welt der dynamischen Analysis aufgestoßen. Auch für Funktionen gilt nämlich der
bidirektionale Ansatz: So ist es möglich, den Graphen einer Funktion mit der Maus zu ziehen
oder mit den Pfeiltasten zu verschieben, wobei gleichzeitig die algebraische Repräsentation
dynamisch verändert wird.
Seit Anfang dieses Jahres ermöglicht GeoGebra auch die symbolische Berechnung von
Ableitungen und Integralen. Lässt man sich nun die Ableitung oder das Integral einer
Funktion f anzeigen, so werden diese abhängigen Funktionen beim Ziehen von f mit der Maus
dynamisch verändert. Diese neue Möglichkeit nenne ich dynamisches Differenzieren bzw.
Integrieren. Da in GeoGebra alle Parameter aller Befehle dynamisch abhängig sind, kann
sogar die Ordnung einer Ableitung über einen Zahlparameter oder eine Streckenlänge
dynamisch verändert werden.

Abb. 3: Dynamische Kurvendiskussion
Eine wichtige Anwendung von CAS in der Schule ist das Lösen einfacher
Polynomgleichungen. Die geometrische Entsprechung dazu sind Schnittoperationen bzw. die
Nullstellenbestimmung von Polynomen. Das Schneiden von Geraden und/oder Kegelschnitten
war in GeoGebra von Anfang an möglich. Für Funktionen wurden diese Schnittoperationen
mit der aktuellen Version 2.4 realisiert. Die Befehle Nullstelle, Extremum und Wendepunkt
erlauben zusammen mit dem Zugmodus für Funktionen eine dynamische Kurvendiskussion
(Abb. 3).
Weitere Besonderheiten
Eine Besonderheit von GeoGebra ist die grafische Darstellung bestimmter Zahlenwerte.
Beispielsweise wird die Steigung einer Geraden als Steigungsdreieck oder das bestimmte
Integral einer Funktion als Fläche zwischen x-Achse und Funktionsgraph automatisch
visualisiert. Unter- und Obersummen werden durch Rechtecke dargestellt und können im
Hinblick auf Funktion, Intervallgrenzen und Anzahl der Rechtecke dynamisch verändert
werden (Abb. 4).
Abb. 4: Dynamische Unter- und Obersumme

Das interaktive, dynamische Konstruktionsprotokoll ermöglicht die schrittweise
Wiederholung einer Konstruktion, das nachträgliche Einfügen von Konstruktionsschritten an
beliebiger Stelle und sogar das Ändern der Konstruktionsreihenfolge.
Mit GeoGebra können übrigens auch dynamische Arbeitsblätter für einen Internet Browser
erstellt werden. Solche Arbeitsblätter sind besonders dann nützlich, wenn die Schülerinnen
und Schüler mit der Bedienung der Software noch nicht so vertraut sind. Beispiele für solche
dynamischen Arbeitsblätter sind auf der Homepage von GeoGebra zu finden:
www.geogebra.at.
Technisches
GeoGebra wurde von Grund auf neu in Java entwickelt. Die Software arbeitet weitgehend
numerisch. Für symbolisches Differenzieren, Integrieren und Termvereinfachungen (simplify,
expand, factor) wurde die JSCL (Java Symbolic Computing Library) in GeoGebra integriert.
Für den EPS Export wird das Java EPS Graphics2D Package und für die Darstellung von
LaTeX Formeln der Viewer HotEqn verwendet. GeoGebra ist open source und damit frei
verfügbar nach der GNU General Public License.
Rück- und Ausblick
Die Entwicklung von GeoGebra wurde im Zuge meiner Diplomarbeit begonnen und wird
derzeit im Rahmen einer Dissertation aus Mathematik Didaktik an der Universität Salzburg
fortgeführt. Dieses Dissertationsprojekt wird von der Österreichischen Akademie der
Wissenschaften gefördert. GeoGebra hat bereits mehrere Bildungssoftware Preise gewonnen:
European Academic Software Award 2002 (Ronneby, Schweden), L@rnie Award 2003
(Wien), digita 2004 (Köln) und Comenius 2004 (Berlin).
Durch den Einsatz der frei verfügbaren Software in Schulen und viele anregende
Rückmeldungen von Lehrern wird die Funktionalität von GeoGebra ständig erweitert. Dabei
wird großes Augenmerk darauf gelegt, bei allen Neuerungen Dynamik und Bidirektionalität
zu ermöglichen. GeoGebra verbindet die Möglichkeiten von DGS und CAS in einer neuen
Art und Weise, die hoffentlich zu einem verständlichen Mathematikunterricht beiträgt.
Literatur
Duval, Raymond (1999): Representation, vision, and visualization: Cognitive functions in
mathematical thinking. Basic issues for learning. In: Hitt & Santos (Hrsg.) (1999):
Proceedings of the twenty-first annual meeting of the North American Chapter of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education, Band 1, 3–26.
Elschenbroich, Hans-Jürgen (2001): Lehren und Lernen mit interaktiven Arbeitsblättern.
Dynamik als Unterrichtsprinzip. In: Herget & Sommer (Hrsg.) (2001): Lernen im
Mathematikunterricht. Hildesheim: Franzbecker, 31–39.
Hohenwarter, Markus (2003): GeoGebra – dynamische Geometrie und Algebra. In: Der
Mathematikunterricht 4 / 2003, 33–40.
Noss, Richard und Hoyles, Celia (1996): Windows on Mathematical Meanings. Learning
Cultures and Computers. Dortrecht: Kluwer.
Schumann, Heinz (1991): Schulgeometrisches Konstruieren mit dem Computer. Stuttgart:
Teubner und Metzler. www.mathe-schumann.de
Schumann, Heinz und Green, David (2000): New protocols for solving geometric calculation
problems incorporating dynamic geometry and computer algebra software. In:
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 31, 319–
339.

Links
GeoGebra: http://www.geogebra.at
Oberstufenlehrplan Österreich 2004:
http://www.bmbwk.gv.at/schulen/unterricht/lp/abs/ahs_lehrplaene_oberstufe.xml
JSCL: http://jscl-meditor.sourceforge.net
HotEqn: http://www.esr.ruhr-uni-bochum.de/VCLab/software/HotEqn/HotEqn.html
Java EPS package: http://www.jibble.org/epsgraphics