Rencontre du Non-Linéaire

50 M. Hubert & N. Vandewalle
Figure 1. Rebond d’une goutte sur une surface de fluide vibrée verticalement. Notons le décollage périodique de
la goutte ainsi que sa déformation importante. D’après [12].
z p (t) = Acos(ωt). (1)
⎧
d
⎪⎨
(
z 1
m 1
dt 2 +β dz1
dt − dz )
2
+k(z 1 −z 2 −L)+m 1 g = 0,
dt
d ⎪⎩
(
z 2
m 2
dt 2 −β dz1
dt − dz )
2
−k(z 1 −z 2 −L)+m 2 g = N 2 (t),
dt
(2)
où z désigne la hauteur par rapport à la position moyenne du plan et les indices p, 1 et 2 désignent
respectivementle plan, la masse1et la masse2. Laréactionnormaledue auplan est notéeN 2 . Définissant
la pulsation naturelle du ressortcomme ω 0 = √ k/(m 1 +m 2 ), le coefficient de dissipation de l’amortisseur
comme ξ = β/2ω 0 (m 1 +m 2 ) et le rapport de masse comme µ = m 1 /m 1 +m 2 , nous pouvons introduire
les quantités sans dimension suivantes : la fréquence réduire Ω = ω/ω 0 , l’accélérationréduite Γ = Aω 2 /g,
le temps réduit φ = ωt, la hauteur réduite α = z/A et la longueur réduite l = L/A. Les équations du
mouvement deviennent
⎧
d
⎪⎨
2 α 1
dφ 2 + 2ξ ( dα1
µΩ dφ − dα 2
dφ
d ⎪⎩
2 α 2
dφ 2 − 2ξ
(1−µ)Ω
)
+ 1
( dα1
dφ − dα 2
dφ
où n 2 correspond à la réaction normale sans dimension.
α p (φ) = cos(φ). (3)
µΩ 2 (α 1 −α 2 −l)+ 1 Γ = 0,
)
−
1
(1−µ)Ω 2 (α 1 −α 2 −l)+ 1 Γ = n 2(φ),
(4)
3 Seuil de rebond
Afin d’étudier le comportement du ressort rebondissant, il est utile de calculer la valeur minimale de
l’accélération réduite Γ th qu’il faut appliquer au plan oscillant afin de permettre au ressort de décoller.
Afin d’obtenir ce seuil de rebond, partons de l’hypothèse que le ressort repose sur le plan. La masse m 2
en suit donc le mouvement tandis que nous supposerons que la masse m 1 oscille à la fréquence du plan,
avec un déphasage éventuel. Ceci nous donne comme solution