Modulo_1_de_A_y_T

1
Capítulo 1
Elementos de
aritmética
Contenido breve
Módulo 1
Razones y proporciones
Módulo 2
Sistemas numéricos
Módulo 3
Progresiones aritméticas y geométricas
Módulo 4
Sumatoria y productoria
El hombre de Vitrubio, de Leonardo da Vinci. Representación de la divina proporción.
Ejercicios
Capítulo 1, módulos 1 al 4
Presentación
La aritmética viene de la más oscura lejanía. No hay luz para penetrar en ella y saber
a ciencia cierta cuándo el hombre comenzó a contar. Se sospecha que el hombre
primitivo pudo conocer cuántos animales poseía, haciendo corresponder a cada
animal una pequeña piedra. Si, un tiempo después, tenía más piedras que animales,
era porque había perdido algunos de ellos. Este primitivo concepto de cardinalidad
fue el origen del concepto de número como ente abstracto y dio comienzo al difícil
y prolongado parto de una de las ramas más antiguas de las matemáticas, como es
la aritmética, llamada después por Gauss la reina de las matemáticas.
En lo que respecta a la aritmética, en la actualidad el número es una conquista de la
escuela elemental. Allí se enseña la correspondencia entre dos conjuntos y la relación
«tener el mismo cardinal», su transitividad y su reconocimiento como relación
de equivalencia. En esta etapa se evita el concepto de enumerar.
Se ha supuesto comúnmente que la aritmética es la rama más sencilla de las matemáticas.
El problema consiste en que las reglas fundamentales y las operaciones de
aritmética son extraordinariamente difíciles de definir. Así por ejemplo, el concepto
de número es un concepto holístico, pero aún más, problemas de aritmética, que
pueden ser expresados de tal modo que un niño pueda comprender su sentido, han
resistido durante siglos cualquier intento de resolución. Ejemplos de «sencillos»
problemas abiertos son la conjetura de Golbach y la existencia de números perfectos
impares.
Álgebra y trigonometría
21

De la teoría de números, Bell dice: «Es el último gran continente salvaje de las
matemáticas. Se divide en innumerables regiones, bastante fecundas por sí mismas,
pero todas más o menos indiferentes al bienestar de las demás, y sin ningún vestigio
de un gobierno central e inteligente. Si algún joven Alejandro está suspirando
por conquistar un nuevo mundo, éste se extiende ante él. La aritmética no tiene aún
a su Descartes, por no decir su Newton».
La numeración posee un significado muy profundo, puesto que es la aplicación del
conjunto de los números en el conjunto de los objetos numerados y contribuye a
poner en «orden» los objetos que componen el conjunto. Antiguamente, se asociaba
a la numeración de objetos la intuición perceptiva en forma de representaciones,
como las fichas de dominó; pero una de las condiciones de la concepción del
número es precisamente su permanencia a través de la diversidad de formas espaciales
de los conjuntos a los que se aplica y, por tanto, esto puede entrañar el peligro
de retardar la adquisición de este invariante.
En este capítulo se presentan conceptos básicos de aritmética, como razones y
proporciones, conjuntos numéricos, progresiones aritméticas y geométricas y
sumatoria y productoria.
22

Razones y proporciones
1
Introducción
En este módulo se tratarán conceptos aritméticos íntimamente relacionados entre
sí, a saber: razones, proporciones y regla de tres.
Leonardo da Vinci (1452-1519)
Da Vinci es uno de los grandes artistas del Renacimiento y
es famoso no sólo como pintor, sino también como escultor,
arquitecto, ingeniero y científico.
En el medioevo, la regla de tres era una herramienta básica para el comercio de la
época y servía para determinar las proporciones de capital, tierras o cada tipo de
bienes que correspondía a cada persona. El concepto de regla de tres se explica
conociendo el concepto de proporción y, a su vez, éste tiene sentido cuando se
conoce el concepto de razón. Estos sencillos conceptos han permeado la civilización
humana, hasta el punto de que proporciones famosas se encuentran en los
más disímiles campos del saber humano, como son los casos de la proporción áurea
y el número .
Objetivos
1. Desarrollar los conceptos de razón y proporción.
2. Desarrollar los conceptos de interés simple e interés compuesto.
3. Desarrollar el concepto de regla de tres.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es una razón?
2. ¿Qué es una proporción?
3. ¿Qué es una regla de tres simple?
4. ¿Qué es una razón inversa?
Contenido
1.1 Razón
1.1.1 Razones inversas
1.2 Proporciones
1.2.1 Extremos y medios de una proporción
1.2.2 Magnitudes directamente proporcionales
1.2.3 Magnitudes inversamente proporcionales
1.2.4 Regla de tres
1.3 Cálculo porcentual
Visite el sitio
http://docencia.udea.edu.co/cen/
AlgebraTrigonometria/
Vea el módulo 1 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Álgebra y trigonometría
23

Capítulo 1: Elementos de aritmética
1.1 Razón
Se llama razón de dos números enteros, al cociente de la división del primero por el
segundo. Por ejemplo: la razón de 15 a 5 es 15 3
5 y la de 4 a 20 es 4
1 .
20 5
Los números que se comparan se llaman términos de la razón.
1.1.1 Razones inversas
Dos razones son inversas cuando los términos de una son los mismos de la otra,
pero dispuestos en orden inverso. Por ejemplo: 5 y
4
4 5
2 3
y
3 2
también lo son.
son razones inversas y
1.2 Proporciones
Se llama proporción la expresión de la igualdad de dos razones. Por ejemplo
15 20
, en que cada razón es igual a 5.
3 4
1.2.1 Extremos y medios de una proporción
a c
Dada la proporción , donde a, b, c, d son números enteros, a y d se llaman
b d
extremos de la proporción y b y c se llaman medios de la proporción. Hay que hacer
notar que en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los
medios. La proporción a c se puede escribir alternativamente de la forma siguiente:
a : b :: c : d, y se lee: a es a b como c es a
b d
d.
1.2.2 Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes variables son directamente proporcionales cuando haciéndose
una de ellas 2, 3, 4... n veces mayor o menor, la otra se hace también 2 , 3, 4... n veces
mayor o menor. Ejemplos de ello son el salario de un obrero y la duración de su
trabajo, o el camino recorrido por un móvil que marcha siempre con igual velocidad,
y el tiempo.
1.2.3 Magnitudes inversamente proporcionales
Dos magnitudes variables son inversamente proporcionales cuando, haciéndose la
primera 2, 3, 4... n veces mayor o menor, la segunda se hace también 2, 3, 4... n veces
menor o mayor. Por ejemplo: el número de obreros y el tiempo que emplean en
24

ejecutar un trabajo dado, o la velocidad de un tren y el tiempo empleado para
recorrer un espacio dado.
Módulo 1: Razones y proporciones
1.2.4 Regla de tres
Se llama regla de tres un problema en que, dados los valores correspondientes de
varias magnitudes directa o inversamente proporcionales, se trata de buscar una de
ellas, cuando se conocen todas las demás.
Es decir, la regla de tres es una operación por medio de la cual se busca el cuarto
término de una proporción, de la cual se conocen los otros tres.
Ejemplo 1
Un ciclista recorre 150 km en 5 horas. ¿Cuántos recorrerá en 7 horas?
Solución
Ya que las horas y los kilómetros son magnitudes directamente proporcionales,
tenemos la proporción 150 5 150
, o sea x 7 210 km.
x 7 5
Ejemplo 2
Si 12 obreros se tardan 30 días en acabar una obra, ¿cuántos obreros se necesitarán
para acabar la misma obra en 24 días?
Solución
Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales, tene-
12 24 12 30
mos la siguiente proporción: , o sea x 15 obreros.
x 30 24
Ejemplo 3
Para hacer 180 m de una obra, 15 obreros han trabajado 12 días, a razón de 10 horas
por día. ¿Cuántos días de 8 horas necesitarán 32 obreros para hacer 600 m de la
misma obra?
Solución
a. Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos x
1
los días que
necesitarán los 32 obreros para hacer el trabajo, en el supuesto de que
las demás magnitudes queden fijas. O sea:
15 obreros 12 días
32 obreros x1
Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales,
se tiene:
15 x1
12 15
; x1
días.
32 12 32
Escuche La divina
proporción en su
multimedia de Àlgebra y
trigonometría
Álgebra y trigonometría
25

Capítulo 1: Elementos de aritmética
Escuche Razones famosas del
número pi en su multimedia de
Àlgebra y trigonometría
b. Conocido el número de días x
1
que necesitan 32 obreros para hacer 180 m de
una obra, trabajando 10 horas diarias, consideremos el número de días que
se demorarían haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea x
2
el
número de días de 8 horas, entonces
10 horas x
1
días
8 horas x2
Ya que las razones son inversas, se tendrá que:
10
8
x
x
2
1
10 12 15 10
x2 x1 ; por tanto x2
días.
8 32 8
c. Por fin, si comparamos los días con la cantidad de trabajo, y sabiendo que 32
obreros hacen 180 m de obra en x
2
días de ocho horas, se pregunta en
cuántos días de 8 horas esos 32 obreros harán 600 m de la obra. O sea:
x2
x
180 m
600 m
Ya que las razones son directas, se tendrá:
x2 180
x 600
x
O sea que
7
16
de día.
x
x
2
600 días.
180
12 15 10 600 días
32 8 180
y por tanto x 23 días más
Ejemplo 4
Una partícula con velocidad constante recorre 1.200 m en 80 segundos. Determine:
a. Qué distancia recorrerá en media hora.
b. Qué tiempo tardará en recorrer 1.500 m.
Solución
a. 1.200 m 80 seg
x
1.800 seg
Ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene que:
26

Módulo 1: Razones y proporciones
1.200 80
,
x 1.800
b. 80 seg 1.200 m
x
1.500 m
x
1.200 1.800
m, o sea x = 27.000 m.
80
Ya que las magnitudes son directamente proporcionales, se tiene que:
Ejemplo 5
80 1.200 80 1.500
, x
seg; o sea x = 100 seg.
x 1.500 1.200
Un grupo de 8 obreros, los cuales trabajan todos con la misma eficiencia, ejecuta
una cierta obra trabajando durante 20 días. ¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la
misma obra dos de los obreros del grupo?
Solución
20 días 8 obreros
x
2 obreros
Ya que las magnitudes son inversamente proporcionales, se tiene:
Ejemplo 6
20 2
,
x 8
20 8
x días, o sea x = 80 días.
2
Un grupo formado por 9 hombres que trabajan todos con igual eficiencia ejecuta
una obra trabajando durante 28 días a razón de 6 horas diarias. Determine cuántos
días hubieran tenido que trabajar 7 hombres del mismo grupo para realizar la misma
obra, trabajando a razón de 8 horas diarias. ¿En cuánto tiempo podrían ejecutar la
misma obra dos de los obreros del grupo?
Solución
a. Consideremos primero solamente los obreros, y llamemos x
1
los días que
necesitan los 7 hombres para hacer el trabajo, en el supuesto de que las
demás magnitudes queden fijas. O sea:
9 hombres 28 días
7 hombres x
1
días
Ya que los obreros y los días son magnitudes inversamente proporcionales,
se tiene:
9 x1
9 28
; x1
días.
7 28 7
b. Conocido el número de días x1
que necesitan 7 hombres para hacer la obra
trabajando 6 horas diarias, consideremos el número de días que se demorarían
haciendo la misma obra, trabajando 8 horas diarias. Sea x 2
el número de días
Álgebra y trigonometría
27

Capítulo 1: Elementos de aritmética
que necesitarían:
Escuche Da Vinci en su
multimedia de Àlgebra y
trigonometría
6 horas x1
días
8 horas x2
días
Ya que las razones son inversas, se tendrá:
O sea
6
8
x
2
x
6 x
.
8
2
1
; x2
x1
6 9 28
27 días.
8 7
1.3 Cálculo porcentual
Las definiciones, fórmulas y métodos de trabajo que son necesarios para la comprensión
de los ejercicios que se presentan a continuación son una aplicación
específica del concepto de regla de tres.
En problemas de cálculo porcentual, si llamamos p el porcentaje, B el valor de ese
porcentaje, C el valor base sobre el que se calcula el porcentaje, se tendrá que:
100 p
C B
Como estas magnitudes son directamente proporcionales, se tendrá que:
Ejemplo 7
100 p
.
C B
Halle el 12% de 8.000 pesos.
Solución
Si llamamos p al porcentaje, C al capital y B al valor de ese porcentaje, se tendrá:
100 p
C B
Las magnitudes son directamente proporcionales. En nuestro caso, p = 12,
C = 8.000. Se trata de hallar B.
100 p p C
; B .
C B 100
12 8.000
O sea que B 960 pesos.
100
28

Ejemplo 8
Módulo 1: Razones y proporciones
Halle de qué número es 48 el 8%.
Solución
En este caso p = 8, B = 48. Se trata de hallar C.
100 p 100
B
; C
C B p
100
48
8
600.
Ejemplo 9
Halle qué porcentaje es 51 de 170.
Solución
Los datos son B = 51 y C = 170. En este caso la incógnita es p.
100
51
p
30%.
170
Ejemplo 10
Halle de qué número es 408 el 70% más.
Solución
El 70% más de un número es el 170% de éste. Entonces, en este caso, tenemos que
B = 408 y p = 170.
100
B 100
408
C 240.
170 170
El número pedido es 240.
Ejemplo 11
Halle de qué número es 546 el 9% menos.
Solución
El problema equivale a preguntar de qué número es 546 el 91%. Por tanto, p = 91%,
B = 546 y la incógnita es C.
100
B 100546
C 600, que es el número pedido.
p 91
Álgebra y trigonometría
29

Capítulo 1: Elementos de aritmética
Ejemplo 12
Se han mezclado 40 g de alcohol con cierta cantidad de agua, de tal modo que el
alcohol utilizado representa el 20% de la mezcla resultante. Calcule la cantidad de
agua que contiene la mezcla.
Solución
Tomemos como valor base la cantidad total de gramos de alcohol y agua que forman
la mezcla, cantidad que designamos por C. Como la cantidad de alcohol es de 40 g,
que representa el 20% de la mezcla, tenemos que p = 20 y B = 40.
B C
Las tres magnitudes p, B y C están ligadas por la fórmula , donde en este
p 100
caso C es la cantidad total de mezcla.
100
B 10040
C 200 g.
p 20
Sabemos que la mezcla solamente contiene alcohol y agua; como hay 40 g de alcohol,
los gramos de agua serán 200 – 40 = 160.
Ejemplo 13
Se dispone de dos tipos de acero: el tipo A, que contiene 5% de níquel, y el tipo B,
que contiene 40%. Se desea saber qué cantidad de cada tipo será necesario emplear
para obtener 70 toneladas de un nuevo tipo de acero que contenga el 30% de níquel.
Solución
Sea x la cantidad de toneladas necesarias del tipo A. Entonces serán necesarias
70 x toneladas del tipo B.
La cantidad de níquel aportada por las x toneladas del tipo A es
5
100 x .
40
La cantidad de níquel aportada por las 70 x toneladas del tipo B es 70 x.
100
5 40 70 30 70,
100 100 100
Por tanto, x x
5x 2800 40x
2.100,
35x
700, x
20 toneladas.
En consecuencia, serán necesarias 20 toneladas del tipo A y 50 toneladas del tipo B.
30

Ejemplo 14
Módulo 1: Razones y proporciones
Entre dos locales A y B hay almacenados un total de 2.000 sacos de azúcar. Si del
local A se transporta el 20% al local B, entonces en los dos locales habrá el mismo
número de sacos. ¿Cuántos sacos había en cada local?
Solución
Sea x el número de sacos en el local A.
Sea 2.000 – x el número de sacos que había en el local B.
Entonces:
20 20
x x 2.000 x
x,
100 100
2
2x x
2.000,
5
x
1.250.
Por lo tanto había 1.250 sacos en el local A y 750 en el local B.
Álgebra y trigonometría
31