Formelsammlung zur Prüfung Fluidmechanik II

lströmungen !
Eine komplexe 25 Zahl z = x+iy repräsentiert einen Vektor mit den Komp
¯z = x iy re i
2 Potentialströmungen
z ¯z = |z| 2 = r 2
y
"! x z=x+iy
Kapitel 1
Wirbel-Strömu
z1
¯z = Kartesische |z| 2 r 2
Re
Koordinaten Polarkoordinaten
1z = 1
Komplexe Zahlen
z = re 1 i = 1 ¯z
re i = 1 ¯z =
r2 |z| ¯z
2 = ¯z
"! x
!
daß die imaginäre Einheit i= ⌅ 1 die zweite Komponente des Vektor
!
!
z=x+iy
könneny
Re
z=x!iy
¯z =
r2 |z| 2 =
z ¯z ¯z
!"! x
der reellen
"! x
Analysis entsprechende Operationen definiert
"! x werde
wird als C = {x +iy|x, mit z yRe
⇤= R} x + , iy, i = i 2 ⌅ =
x, y ⌅ R Re 1, bezeichnet. 1, {F, z} 2 C; {x, y,
r, ⌅ R
Eine Funktion f(z) =f R (x, y)+if z I ¯z (x, y) nennt z man analytisch, wenn f R und f I stetig di erenzierbar sind
Im
z=x!iy
Eine und die Funktion Cauchy-Riemann-Di f(z) =f R (x, y)+if erentialgleichungen I (x, y) nennt man erfüllen. analytisch, wenn f R und kartesische f I stetig di erenzierbar Darstellung
z = x z=x!iy +iy
z = re
sind
Wirbel-Strömungen
i
"! x Man kann eine komplexe eine ! zweidimensionale Zahl in kartesischen Potentialströmung Koordinaten oderin inder
Pol
vonRe
F
und Einedie Funktion Cauchy-Riemann-Di f(z) heißt y konform, erentialgleichungen wenn z=x+iy x, f(z) y ⌅analytisch R erfüllen. ist und f ⇥ (z) r, ⇧= 0gilt. ⌅z=x!iy
R Die
x,
Abbildung
y ⌅ Rz=x!iy
"! z ⇥ x (z) in z existiert, muß dF/dz unahängig
Re(z)
z ⇥ = 1.1 =x
f(z) Definitionen r, ⌅ R r = |z| = und x 2 + yG
2 vo
Re z=x!
einmal
Eine ist dann Funktion winkeltreu f(z) heißt und es konform, gilt ⇥ = wenn . z f(z) = x +iy analytisch ist und f ⇥ (z) z ⇧= = 0gilt. re i
Diez Abbildung = x +iy Im(z)
dz =
z ⇥ z ⇥ =y
dx wählen und
= f(z) z = re i erhält
= atan y x
x, y ⌅ R x, y ⌅ R r, ⌅ R r, = arg(z)
ist dann winkeltreu und es gilt !
⇥ = . Re(z) =x r = |z| x 2 + yRe(z) 2 =x Als e i ⌅ R
Wirbel
x,
bezeichnet
y ⌅ R
= r = cos |z| + = i sin x 2 + ⇤ y 2 |e i man | =1 eine drehen
z z = x +iy z =
z=x!iy
x
"! x Im(z) =y
= atan y x
Re
= +iy
arg(z) polare z = re
z’ Darstellung
i dF
Im(z) =y z=x!iy
z re i
dz Begri
= @ @x = des +i@ z
atan@x Wirbels = y ist daher eher intui
z 1 Wirbel-Strömungen
x
1.1 Definitionen S1
und Grundbegri e i = cos + i sin e
z’
= x ,
arg(z) +iy
x, Re(z) y ⌅ R=xDie letzte Re(z) Zeile =x r = bezeichnet r, |z| = ⌅ R xman ⇤ |e i S
2 + r y= als 2 |z| Eulersche = x 2 + Relation y 2 .
f(z)
| 1=1
x, y ⌅ R e i = cos + i sin eines⇤ Wirbels |e i | =1 bedeutet nicht notwendig
S1
!
z = Im(z) x +iy =y Das konjugiert
SIm(z) =y Komplexe = z atan = re yi
von z = erhält atanman y durch Spiegelung an der x-Achse:
x = arg(z)
f(z)
1
x = r, arg(z) ⌅Re(z) R =x r =
oder man wählt dz =idy und erhält
Die Als letzte Wirbel Zeile bezeichnet man man eineals Eulersche Relation .
z=x!iy ! drehendeDie Bewegung Re(z) letzte=x eZeile i von Fluidelementen bezeichnete r manum alsein !’ Eulersche gemeinsames Relation Zentrum. . Der
Die ¯z = x
i z = x +iy
= cos + i sin ⇤ |z| cos |e= i +
Zirkulation iy = re
!’
i xi 2 sin + y 2 ⇤ |e i z = reIm(z) i =y =
| =1 | =1
Re(z) =x eines Geschwindigkeitsfeldes dF
u bezglich der Kontur S,
Das Begri konjugiert des Wirbels Komplexe ist daher voneher z erhält intuitiv manDas und durch Im(z) konjugiert mathematisch Spiegelung =y Komplexe nicht an S2derpräzise von x-Achse: = zatan erhält formulierbar. y man durch DasSpiegelung Vorhandensein
der x-Achse:
x, y ⌅ RS
r, ⌅ R
2
definiert S als das Integral der Tangentialgeschwindigkeit entlang von S
eines Wirbels
2
¯z = x z = bedeutet
iy x = +iy Sre i nicht notwendigerweise, z = re
2
i daß Fluidelemente z ¯z =
26
rotieren |z| 2 Eulersche = müssen r 2 x = arg(z) r |z| = x 2 + ey i 2 = cos + i sin ⇤
Die letzte Zeile bezeichnet Die letzte Zeile man als bezeichnet Eulersche manRelation als Eulersche . Relation Relation . dz = 1 @
i @y + @
Im(z) =y
= atan y
e und umgekehrt :
¯z = i = cos + i sin
x iy = re i ⇤ |e i x
| =1
= arg(z) @y = @ i @ @y @y
Das konjugiert Komplexe Das konjugiert von z Komplexe erhält manvon durch z erhält Spiegelung Die man
Ausgewählte Re(z) =xRechenregeln
1
Wichtige elementare Funktionen sind:
r = |z| = x 2 + y 2
(S) u · ds .
Wichtige 26 26 elementare z ¯z = Im(z) |z| 2 Funktionen = =y r 2 26 sind: = atan y x = arg(z) z ¯z = |z| 2 = r 2 z = 1 letzte durch ean i
re i = 1 = der Zeile Spiegelung cos x-Achse: bezeichnet ¯z
+ i sin
¯z =
r2 2 2|z| Potentialströmungen
2 = ¯z an⇤ der|e man x-Achse: i | =1 als Eulersche Relation .
Da dF/dz in beiden Fällen gleich sein muß, müss
Die letzte Zeile bezeichnet man als Eulersche Relation .
¯z = x iy = re ¯z i
Das konjugiert Komplexe
Die = xletzte iy Zeile = rebezeichnet i man als
konjugiert
Eulersche Relation (2.5) zerfüllen. ¯z von
S komplexe
. Aus
z erhält
diesen 2 Potentialströmungen
folgt
man
wiederum:
durch Spiegelun
1. die Exponentialfunktion:
Das
1 e i = cos + i sin ⇤ |e i | =1
Zeile bezeichnetz = 1 konjugiert
man re als i = 1 Komplexe ¯z
1. die Exponentialfunktion:
Eulersche r2 Relation |z| 2 ¯z von z erhält
Zahl
1
man
3. der Logarithmus:
. z ¯z z = 1 durch Eine
re i = 1 Spiegelung Funktion f(z) an
n¯z ist =
r2 |z|
die 2 Oberflächennormale = ¯z der =fx-Achse:
R (x, y)+if I (x, y) nennt man analytisch, wenn f R und
z ¯z = |z| 2 = r 2 Das konjugiert
z ¯z = |z| 2 = r 2 Komplexe von z erhält¯z man = xdurch iy Spiegelung = re an der x-Achse:
@
3. 3. der der Logarithmus:
e z = e x+iy = e e iy
und die Cauchy-Riemann-Di z ¯z erentialgleichungen
auf 2 i
A und ds ist ein infinitesimales Kurvene
¯z = erfüllen.
1 x iy = re i
3. der Logarithmus: 1
iert Komplexe Eine Funktion von e z = z erhält e x+iy f(z) man = =f edurch x e R iy (x, Spiegelung y)+if I an (x, der y) x-Achse: Eine nennt Funktion man analytisch, f(z) Eine =f Funktion
ln z = ln(re
wenn f R und i ) = ln r +i =
f I stetig di erenzierbar Um
|z| +iarg(z)
densind
rotationsbehafteten
+ i2⇤k
Anteil u ( )
R (x, y)+if f(z) heißt I (x, y) konform, nennt man wennanalytisch, f(z) analytisch wenn fist R und f ⇥ I (z) stetig ⇧= 0gilt. di eren D
z ¯z = |z|
x iy = und re i die ln ln Cauchy-Riemann-Di 2 = r
z = z = ln(re i ) i = ) = ln ln r +i r erentialgleichungen 2 z = 1
re i = 1 ¯z ¯z r2 |z| 2 = ¯z
z = 1
re i = 1 ¯z ¯z =
¯z =
r2 |z| 2 x ¯z iy = re i
z ¯z
z ¯z = |z| 2 = r 2 @x 2 = @2
@y@x = @2
@y 2 ) =0
z ¯z
2. die trigonometrischen Funktionen: und die
+i = ln = |z| z |z| = +iarg(z) ln(re i + erfüllen. Cauchy-Riemann-Di erentialgleichungen erfüllen.
) = i2⇤k + ln i2⇤k
+i mit = dem |z| +iarg(z) Hauptzweig + i2⇤k k =0und dem u (
k-ten ) trennen Nebenzweig zu A
Eine Funktion
ist dann winkeltreu und es gilt ⇥ = .
können, k ⇤= 0. verwendet m
2. Eine die trigonometrischen 1
Funktion f(z) heißt Funktionen: konform, wenn f(z) analytisch ist und f ⇥ (z) ⇧= 0gilt. Die Abbildung z ⇥ ⇥ = f(z)
|z| 2 = r 2
1 ist mit
re i = 1 mit dann dem dem cos ¯z winkeltreu z Hauptzweig = eiz + e iz
Eine
¯z =
r2 |z| 2 = ¯z und es gilt ⇥ .
cos z = eiz + e k iz
k , =0und sin mit z = dem dem eiz e iz Funktion f(z) heißt konform, wenn f(z) analytisch Potentialfeld ist und f ⇥ (z) eindeutige) ⇧= 0gilt. DieHelmholtz-Ze
Abbildung z ⇥
Um den rotationsbehafteten z = 1 f(z) Eine
re i = 1 =f Funktion R (x, y)+if
z ¯z
¯z ¯z =
Anteil r2 u ( |z|
, sin z = eiz k-ten Hauptzweig ) 2 = ¯z
= |z|
f(z) I =f (x, 2 =
y)
r
R (x, nennt 2
y)+if man I (x, analytisch, 1
y) nennt wenn man analytisch, f R f I wenn stetigfdi R und erenzierbar f I stetigsind
di erenzierbar sind
1
und die Cauchy-Riemann-Di und die Cauchy-Riemann-Di erentialgleichungen
k-ten der e Bewegung z ¯z
iz Nebenzweig k =0und Eine eines
erentialgleichungen erfüllen.
k ⇤= kFunktion 0. ⇤= dem 0. k-ten ist komplex Nebenzweig di erenzierbar, k ⇤= 0. wenn
2
2i
ist dann winkeltreuFluidelementes und es gilt ⇥ (FE)
erfüllen. z
z = 1
re i = 1 ¯z ¯z =
r2 |z| 2 = ¯z z = 1
re i = 1 @ ¯z 2 ¯z
=
r2 |z| 2 = ¯z
@y 2 = @2
@x@y z = @2
¯z @x 2 ) =0
z ¯z = . vom rotationsfreien Anteil
Ein gegebenes Geschwindigkeitsfeld läß
u ( ) trennen Eine Eine
z ¯z zuFunktion Funktion
können, f(z) f(z)
2 verwendet
Eine =f heißt R Funktion (x, konform,
man y)+if
2i die
f(z) I (ohne (x, wenn heißt y) f(z)
weitere nennt konform, analytisch man Beachtung
wenn analytisch,
Eine ist f(z) und Funktion
der
analytisch fwenn ⇥ (z)
Randbedingungen S ⇧=
1 f
f(z)
R
0gilt. ist und und
=f
fDie I fstetig R ⇥ (z) Abbildung (x, erfüllen
bis
⇧= di
y)+if
auf
0gilt. erenzierbar also z
ein
Die I ⇥(x, jeweils zAbbildung ⇥ y) = sind f(z) nennt die Laplace zman n⇥ Sz ⇥ analyt = Gleich
Eine Funktion f(z) =f
f(z
Eine Funktionistist komplex di Eine di erenzierbar, Funktionwenn
ist wenn zkomplex di erenzierbar, wenn
z’
ion f(z) =f R Helmholtz (x, y)+if I (x, y) Zerlegung nennt man analytisch, wenn f R und f I stetig di erenzierbar f ⇤ f(z) zf(z 0 )
f(z)
1
aber rotationsbehafteten Anteil u
(z 0 ) = sind lim
( ) ze
Potentialfeld und ist
eindeutige) die dann Cauchy-Riemann-Di winkeltreu
Helmholtz-Zerlegung
ist dann und es winkeltreu gilt erentialgleichungen ⇥ R (x, y)+if I (x, y) nennt man analytisch, wenn f R und f I stetig di erenzierb
=
:
und . es gilt erfüllen.
⇥ = und . die Cauchy-Riemann-Di Potentialströmungen ! erentialgleichungen ist =0eineerfüllen.
Folge z’ der
und die Cauchy-Riemann-Di erentialgleichungen erfüllen.
z⇥z 0 z z
uchy-Riemann-Di Jedes erentialgleichungen S
0
Ein 1 erfüllen. kann als Summe eines S
f(z)
1 Anteils
ion f(z) fheißt ⇤ f(z) f(z 0 )
(z 0 und konform, ) =
eines
lim
z⇥zwenn divergenzfreien f(z) analytischf ist ⇤ f(z) 0 )
f ⇤ gegebenes EineGeschwindigkeitsfeld Funktion
f(z) f(z
f(z)
0 )
heißt S1
Eine konform, läßt Funktion sich wenn in einen f(z) f(z) zrotationsfreien heißt analytisch konform, Eine ist Anteil und zwenn Funktion f ⇥ u f(z) ( ) ⇧= und analytisch 0gilt. f(z) ne
einen
Folge Die heißt divergenzfreien S
f(z) ist Abbildung der
und konform, z’
Rotationsfreiheit
f
(z 0 ) = lim
(z
Anteils und 0 ) ! = f ⇥ (z) lim
dargestellt ⇧= 0gilt. Die Abbildung werden: unabhängig z ⇥ z ⇥ vom
0 0 z z z = f(z) Weg der Annäherung z ⇥ z
0 z 0
z⇥z 0 z z 0
u ⇥ (z) z ⇧= ⇥wenn existiert. = u ( 0gilt. z ⇥ ) = 1 f(z) Die
der
+ u ( ) z’ Abbildung analytisch Geschwindigke
z ⇥istzu
!
, S
⇥
aber rotationsbehafteten Anteil u ( ) 2
ist dann winkeltreu und es Sist zerlegen: gilt ⇥ = .
1 dann winkeltreu S 0 und es giltist ⇥ = dann . winkeltreu komplexen
inkeltreu und es gilt ⇥ 1
S und esPotentials gilt
2
= .
Jede auf einem Kreisring konvergente
!’
Laurentreihe
S
⇥ = F (z) . die Potentialfunktion
f(z)
1
!’
f(z)
1 stellt dort eine analytische Fun
unabhängigvom vomWeg Weg der der Annäherung unabhängig z vom z ⇥z Der rotationsfreie z Anteil, mit ⇥ 0 u Weg z ( 0 ) existiert. =0 der ! Annäherung z z ⇥ z
, ist der
z’
Gradient einer S 0 existiert.
Strömung
mit:
u = u ( ) + u ( ) , 2 Potentialfunktion u -> Potentialströmung
Jedeauf auf einem Kreisring konvergente Jede S2
auf einem Laurentreihe Kreisring stellt stellt konvergente dort dort eine eine Laurentreihe analytische
⌅⇥
( dar.
! z ) z’ = S2
Wichtige elementare S
(1.1)
S
2
stellt Funktion
Funktionen
dort dar dar eine
sind:
!’
z
!’ z’
In deranalytische komplexenFunktion Beschreibung dar definiert man eine
S
S
1
1
S
Sf(z) = a n z n .
Der divergenzfreie Anteil, f(z)
1
1. ⌅ · u ( ) =0 ⇤ divergenzfreier
mit: ⌅⇥ ⌅⇥ !
mit · ⌅⇥
u ( ) 1
S
=0
f(z)
1S
2
, ist im allgemeinen n= rotationsbehaftet ⌅
⇥ u ( S S
f(z) ) 2
1
S ! 1. die Exponentialfunktion:
F nach S1
z: = -> Wirbelströmung
ds
Wichtige f(z) f(z) = = elementare a n az n . Funktionen f(z) sind: = a n z n n z n 2
Wichtige elementare S
!
f(z)
2
.
. !’ Funktionen sind:
!’ !
Laurent-Reihen sind eine Verallgemeinerung2. der ⌅⇥u aus der ( ) !’
reellen =0 ⇤Analysis rotationsfreier
1. ⌅ bekannte
n= · n= u ( ⌅
) ⌅=0 ⇤ divergenzfreier n= Anteil,
8
S⌅
2
1. Sdie Exponentialfunktion:
Wichtige elementare 1. die Exponentialfunktion: Ein Zusammenhang e z = e x+iy S= ezwischen x e iy
2
Wichtige Funktionen elementare sind:
w(z) Zirkulation = dF
Funktionen
und der Rotation von u ist g
2
Die komplexe sind:
S2
Integration entspricht dem Wegintegral in zwei Raumdimensionen.
Laurent-Reihen 2.
Wirbelströmungen
⌅⇥u sind sindeine eine Verallgemeinerung Laurent-Reihen
S
( ) 2
S
dz = @ @x +i@ @x = u iv =(u r
der sind der aus eine aus der Verallgemeinerung
2
der reellen reellen Analysis der bekannten aus der reellen Potenz-Reihen. Analysis Alsbekannten Wirbelstärke Potenz-Reihen. bezeichnet man die
lementare Funktionen esind:
z =0
= e x+iy ⇤ rotationsfreier
= e x e
Die Die komplexe Integration entspricht Die komplexe iy Anteil.
Integralsatz . Allgemein gilt für ein stetig di erenzierbares Geschwindigke
1. die Exponentialfunktion: 1. die Exponentialfunktion: ekomplex z = e2. x+iy die integriert = trigonometrischen e x e iy muß man also zunächst den genauen Integrationsweg angeben
dem dem Integration Wegintegral entspricht zwei in zwei Raumdimensionen. dem Wegintegral Wenn inWenn ⇥zwei man
mit
Funktionen:
1. man Raumdimensionen. eine Starrkörperrotation z = eine re
S i✓ 2
Funktion , q = |w|, Wenn ↵ mit = man dem atan(v/u). eine Geschwindigkeitsf
Funktion
Als Definitionen Wirbelstärke Wichtige bezeichnet elementare man Funktionen die Rotation sind: des Geschwindigkeitsvektors:
auf einem Gebiet A bis auf isolierte Singularitäten (Punkte z, in denen f(z) nic
xponentialfunktion:
komplex integriert muß muß man man komplex also ealso z = zunächst e x+iy Wichtige
integriert = den eden x muß genauen man also Integrationsweg zunächst den angeben. u genauen · ds = Ist Ist Integrationsweg (⇥aber f(z) u) f(z) · n dA analytisch angeben. . ⇥ Ist aber ⇤ f(z) analytisch
2. Wirbelstärke die trigonometrischen bezeichnet Funktionen: die Rotation
2.
⇥ des
die trigonometrischencos bzw. ⇤ 8 umläuftZirkulation Funktionen: z = eiz + e iz
, sin z = eiz e iz
e z iy elementare Funktionen sind:
= e x+iy = e x e iy
der Integrationsweg ist 2 die über S keine die Fläche Singularität, 2iA integrierte, dann ist das Integral wegu
auf e z auf = e x+iy einem = Geschwindigkeitsfeldes
eGebiet x e iy AA1. bis bis die auf auf Exponentialfunktion:
auf isolierte einem Singularitäten Gebiet 1. Adiebis Exponentialfunktion: Wichtige elementare Funktionen auf (Punkte isolierte z, in z, denen Singularitäten denen f(z) flächennormale f(z) nicht (Punkte nicht definiert definiert Wirbelstärke.
z, ist) denen ist) und und tri f(z)
Nach trit
nicht =
sind:
t ⌅⇥u x
Stokes’schem
definiert ( ) = ist) ⌅⇥u
Satz
und= trirot t u =
cos z = eiz + e iz
⇥u 3
, sin z eiz e iz ⇥u 2
⇥ S
A
bzw. umläuft der = der ⌅⇥u Integrationsweg ( ) =
bzw.
⌅⇥u Sumläuft Skeine keine der Singularität, Integrationsweg ⇥x 2 ⇥x 3
⇥x 1
u 1 e 2 ⇥
y
2. die trigonometrischen 1
u(x) = ⌃
dann dann istSist das keine ⇤das Integral Singularität, kann ⇤sie wegunabhängig:
alternativ dann ist ⇤durch das Integral Integration wegunabhängig: ⇤der Geschwindigkeit
rigonometrischen Funktionen: 2 = rot u = ⌃ ⇥u
2i
b
1 ⇥u 3 ⌥
⌅ ⇥x 3 ⇥x 1 ⇧ =
⌅ x 1 ⇥ ⌥
cos z eiz + e iz
, sin z = eiz e iz
⇧
Aus ⇥
e z = e x+iy 2. die
= e x trigonometrischen
Funktionen:
e iy
Funktionen:
e z = e x+iy = e x e dem
⇥x
⇥u f(z)dz
2
2
iy
u 2
1. Stokes’schen e die Exponentialfunktion:
u
2
Integralsatz 2i resultiert (1.2) dann folgender Zusammenha
entlang = der f(z)dz A unschließenden = f(z)dz = ···= Kontur S
0
f(z)dz berechnet = F (b) F (a)
⇤ ⇤
werden
cos z = eiz + e
Wirbellinien iz ⇤ ⇤
cos
, sin z = sind eiz e ⇤
Integralkurven iz ⇤
z = eiz + e iz
⇤ ⇤ b
2
⇥x ⇤ b ⇥u 1 1. ⇥
⇤ tation Starrkörperrotation
⇤ b
1 ⇥x 2 ⇥x 3
u 3
deseGeschwindigkeitsfeldes:
mit dem Geschwindigkeitsfeld
cos
,
z =
sin eiz z = + eiz e iz e iz
, sin z = eiz e iz
2
3
2. die trigonometrischen 2. der Wirbelstärke
S
S 1 ⇥ S 2 ⇥⇤
Beispiel a
f(z)dz 2
f(z)dz 2i = =
f(z)dz Funktionen: die trigonometrischen 2
2i Funktionen: 2i e z = e x+iy = e x e iy
= = ···=
···= f(z)dz f(z)dz = = F f(z)dz = (b) F (b) F = (a) ···= F (a) f(z)dz = F (b) F (a)
dx
Beispiel 1
= dx 2
= dx Die Wirbelstärke beträgt dann (⇥ ist die Wink
3
(S) = u · ds x = · n dA ⇥.
⇤
S S 1 S 1 S 1 2 S 2 3S 2 S
S 1 a a S 2 a
2 ⇥
cos z = eiz + e iz
, sincos z = z eiz = eiz e+ iz e iz
, u(x) sin z = ⌃
eiz e iz
S1
S ⌅ x 1 ⇥ ⌥
A⇧
0
2
2i 2 2. die trigonometrischen 2i
Funktionen:
vergleiche mit Stromlinie
S1S1
S1
dx 1
Ganz analog zur Stromlinie definiert man die WirbellinieS
als Integralkurv
u
2
1
= dx 2
u 2
= dx 0
= ⌃
⌅ 0 ⌥
⇧
3
cos z = eiz + e iz
u 2⇥ , sin z = eiz e iz −
3 Die Wirbelstärke beträgt dann 2(⇥ ist die Winkelgeschwindigkeit) 2i
dx
S2S2
S2
Eine Wirbelfläche ist eine von Wirbellinien aufgespannte Fläche. ds = ⇥ (x(s),t) ⇤
0 2. Potentialwirbel mit dem Geschwindigkeitsfeld b
Eine Wirbelröhre ist eine Röhre, deren Mantel aus Wirbellinien besteht.
⇥ ⇤
Eine Wirbelröhre mit infinitesimal kleinem Querschnitt wird als
x
bWirbelfaden (s = ⌃
b⌅
0) 0 ⌥
= x⇧
0 .
bezeichnet. b x S
2 /r 2
3
2⇥ Man beachte, daß
s ist
Wirbelmodelle
S3S
der Kurvenparameter. u(x) = ⌃
in der vektoriellen
3
S3
⌅ x 1 /r 2 ⌥
Darstellung d
⇧
gespiegelten Geschwindigkeitsvektor enspricht. Da
Festkörperrotation
In der
Potentialwirbel
parameterfreien a Darstellung lautet diese0
2. Potentialwirbel mit dem GeschwindigkeitsfeldDefinition:
des physikalischen Geschwindigkeitsvektors in der
mit der Winkelgeschwindigkeit Ω
mit der Zirkulation Γ
a a
a
dx
Umläuft oder tri 1
t= ein dx ⇥
2
geschlossener = dx ⇤
3
x .
mitIntegrationsweg r = x 2 1 S, der ganz in A liegt, Sing
2 3
+ x2 2 . Die Wirbelstärke beträgt
1
Umläuft oder oder tri tri t ein t ein geschlossener Umläuft oder Integrationsweg tri t ein geschlossener S, S, der der ganz ganz in Integrationsweg 1Ain liegt, Af(z)df liegt, Singularitäten, = ⇥ 2 /r 2
2 3
2
2 3
3
0
u(x) = ⌃
S, ⌅ der
x 1 /r
⇥
ganz 2 ⌥
x x 2
2
so ⇧ist
so in Aistliegt, Singularitäten, so ist
! = 4 0 5
S (p)Resf(z p ) . 0, r ⌅= 0
1 1
= 1
⇥ S p ) f(z)df . = ⇥ f(z)df = ⇥ 2⇤i Analog
u(x)
zur
= 4
Stromfläche 0 definiert
x
man =
2 die Wirbelfläche als eine von Wirbel
p r
2 1
5
u(x) = 4 x 1
5
2
S
0
unbestimmt , r =0
⇥0
S (p)Resf(z ⇥ S (p)Resf(z p ) .
2⇤i 2⇤i
2⇤i p ) .
Wirbelröhre als eine Röhre, deren Mantel aus Wirbellinien besteht. Als W
p p
p
S S
S
Hierin istmit Wirbelröhre p der r = Index x 2 1
mitder + infinitesimal x2 2 Singularität . Die Wirbelstärke Obwohl kleinem A, das Querschnitt, ⇥beträgt
Geschwindigkeitsfeld S (p) die Umlaufzahl sodaß die Fluideigensch
intuitiv dieser Singu auss
Hierinististp pder der Indexder der Hierin Singularität ist p der in A, A, Index ⇥ S ⇥(p) S (p) der die die Singularität
Residuum Umlaufzahl als in
von
dieser konstant A,
f
dieser ⇥
in S (p)
z
Singularität angenommen p .
die Umlaufzahl 0,
Koordinatenursprung)
und und Resf(z werden Resf(z dieser r p
⌅= ) können. das 0 p ) Singularitätüberall das und Resf(z identisch p ) das null. Ei
=
Residuumvon vonf fininz p z.
p . Residuum von f in z p .
Gegenüberstellung unbestimmt der Eigenschaften
3. Rankine-Wirbel: , r =0der Wirbelstärke
Man kann
und
sich
der
das
Geschwind
Modell ein
2.3.2 Komplexe Darstellung zweidimensionaler Potentialström