Formelsammlung zur Prüfung Fluidmechanik II

ausgehende Reibungswiderstand kann so alleine natürlich nicht berücksichtigt und werden. Dieser Reibungswiderstand
macht den Großteil des Gesamtwiderstandes aus, so z.B. ist der⇥
Anteil des ! Reibungswiderstandes
⇥
⇧⌅⇤⌃
⇥x
⇧⌅⇤⌃
⇥ ⇥y
⇧⌅⇤⌃ ⇧⌅⇤⌃
⇥
0,h)=⇥
"=const
für ein Verkehrsflugzeug im Reiseflug ca. 80%.
!= const = ⇥ ⇥x
+ ⇥ ⇥y=u
A = 1 S
= r sin =v =r cos
2 Ch . ⌅⇥
f(z) = a n z n .
= r( u sin + v cos )=ru
⇥
⇧⌅⇤⌃
⇥x
⇧⌅⇤⌃
⇥ ⇥y ⇥
n= ⌅
Damit ist für eine Neumann-Randbedingung Wegen ⇧⌅⇤⌃ der Orthogonalität ⇧⌅⇤⌃
"
bekannt von Stromlinien und entlang unddeP
:
=u
Potentialströmungen
22
= r sin
!
=v =r cos
Laurent-Reihen
⇤
sind eine Verallgemeinerung der aus der reellen bedingung Analysis bekannten gefordert werden. Potenz-Reihen. Die in der Vorlesung Strömungslehre I be
2.1 Geschwindigkeitspotential
!= const
⇧ · ⇧⇥ =0
Wegen der Orthogonalität von Stromlinien und Potentiallinien
2.3.3 ⇥ A ⇥DieElementarströmungen
xkomplexe Definitionen 2 = h 2 Integration + x
2 1 . entspricht dem Wegintegral in zwei 2 Potentialströmungen
Reibungse Raumdimensionen. ekt und kann
" Wennvon man einer einerotationsfreien Funktion und daher reibungsfreie
komplex Potentialfunktion
integriert muß ! ein
werden.
exaktes Stromfunktion Integral der inkompressiblen Wird der Gradientenoperator Kontinuitätsgleichung dieser ⇤ Gleichung · u =0.
In diesem Für eine Abschnitt rotationsfreie werden Strömung die28 man also zunächst den genauen Integrationsweg ⇧ · angeben. ⇧⇥ =0 Ist aber f(z) analytisch
wichtigsten ist dieElementarströmungen Geschwindigkeit u der zur Gradient Beschreibung einer Potentialfunktion zweidimensionaler ⇥Po-
tentialströmungen mittels
2 Potentialströmungen
auf Das einemGeschwindigkeitsfeld Gebiet A bis auf isolierte einer Singularitäten Potentialströmung (Punkte mitz, Stromfunktion Eine z = denen Wandkontur Inkompressible x + iy, f(z) i= ⇥ ⇧ nicht definiert ist 1, {F, 2-D definiert einer z} man Strömungen wird ⌅Potentialströmung C; die durch ist) Forderung {x, und y, : ⇤, sind tri ⇥} tvollständig ⌅ R. immer F (z) eine istdurch
eine Stromlinie, analytischedaF
u = ⇤⇥ u ( . ) des Superpositionsprinzips anhand ihrer komplexen
=
Wird eine der
Darstellung
Stromfunktion " Gradientenoperator
besprochen.
bzw. umläuft Ψ beschreibbar in
⇥
dieser
⇥⇥ (2.1) Gleichung in Polarkoordinaten au
ist der Gradient einer Potentialfunktion Φ. Isolinien von man die ⇥ Forderung
Wegen Φ, d.h. ⇤⇥ Linien ⇥ 0Φ ist = const, das Geschwindigkeitsfeld sind Potentiallinien. rotationsfrei. Eine Strömung y = u, ⇥
deren x = Geschwindigkeitsfeld
v. ⇥r ⇥r + 1 ⇥ 1 ⇥⇥
=0
r ⇥ r ⇥
(x 1 ,x 2 )= C der Integrationsweg S keine Singularität, dann eine ist immer zweidimensionale das tangential Integral wegunabhängig:
Potentialströmung zur Wandoberfäche in dergerichtet komplexenist. Zahlenebene Daher kann dar. eine Da die Wand komp
28 2 Potentialströmungen
h x F (z) den, in z
y zwas existiert, eine Möglichkeit muß dF/dz unahängig zur Darstellung vom Weg von derfesten Annährung Wänden, z + dz ohne ⇥ ztatsä
sein
Parallelströmung ⇤ 2x 1 + ⇤f 1 (x 2 ) , ⇤
⇤ b einmal dz = dx wählen und
gemäß (2.1) aus einer skalaren Funktion berechnet werden kann, nennt
⇥
Isolinien man
⇥⇥
Aufgrund der Definitionen von Stromfunktion und von Potentialströmung Ψ, d.h. Linien . Ψ = const, sind Stromlinien.
Für eine
Inkompressible
inkompressible
Potentialströmungen
Strömung folgt wegen
genügen
⇤ · u =0:
einer Die Stromfunktion
⇥r ⇥r
Potentialfunktion + 1 erhält
2 Potentialströmungen 2 Potentialströmungen zu begrenzen, bietet. ⇥ Da 1 ⇥⇥ jede Stromlinie ⇥⇥
=0 folgt ⇥ u
r
Die Differenz hat
⇥
von folgene
r ⇥ r
Ψ1 und Eigenschaften: ⇥r + 27 eine u 1 Wand ⇥⇥
27 darstellen kann, mu
28 f(z)dz = f(z)dz = f(z)dz = ···= f(z)dz = F (b) F (a)
=0
Bei einer Parallelströmung r ⇥
Ψ2 auf zwei Stromlinien S1
(x 1 ,x 2 Laplacegleichung
)= C 2 und S2 entspricht dem Volumenfluss pro Einheitsbreite
Aufgrund ⇥
2 ⇥
2 ⇥ · ⇥⇥ = ⇤ ⇤⇥
⇥ = der Definitionen V21 zwischen diesen Stromlinien.
x 2 +
1 x 2 + von Stromfunktion ⇤x ⇤x
2 x 2 =0. und + ⇤ ⇤⇥
= uv + uv =0, ⇥⇥
Potentialfunktion ⇤y ⇤y ⇥ u
folgt r
1. Linien ⇥(x,
⇥r + u 1 ⇥⇥ Diese Gleichung ist erfüllt, wenn
h x handelt es sich um eine konstante Strömung an dF z 2 Potentialströmungen
y inder eine Stelle feste u einer Richtung, Wanddie eine also Stromlinie durch vorliegt. Das kann entweder dur
S
S
1x 2 +
1 S
f 2 (x 1 ) .
2 a
parallele Geschwindigkeitsvektoren dargestellt wird.
lungsprinzip, oder allgemeiner durch das Überlagern von Elementarström
mit z mit = x z + = iy, x i= + iy, ⇧ i= 1, ⇧ dz = ⇥⇥
⇥x +i⇥⇤ ⇥x ,
{F, 1, z} {F, ⌅ C; z} ⌅{x, C; y, {x, ⇤, ⇥} y, ⇤, ⌅ ⇥} R. F ⌅(z) R. ist F (z) eine istanalytische einev
oder =0
besprochen Sman wählt dz =idyanalytische und erhält Funktion Funktion und stellt und stellt
z 1 werden, y) erreicht =const
r ⇥ werden. sind ⇥⇥Stromlinien:
(2.2)
eine zweidimensionale eine zweidimensionale
3
⇥ · ⇥⇥ = ⇤ ⇤⇥ und
⇤x ⇤x + somit ⇤ ⇤⇥ bilden Potential- und Stromlinien Dieseorthogonale Gleichung ist Kurvenscharen.
erfüllt, wenn ⇥r = u
(x = uv + uv =0,
1 ,x 2 )= C Potentialströmung Potentialströmung yin der in komplexen y der komplexen
u
Zahlenebene Zahlenebene dar. Da dar. dieDa komplexe die komplexe Ableitung Ableitung von von
u
dF
F (z) in F (z)
Zwischen ⇤y Potentialfunktion ⇤y und Stromfunktion gelten weiterhin
Aufgrund Stromlinien der Definitionen sind immer vonorthogonal Stromfunktion zu und Potentiallinien, Potentialfunktion dies folgtaus d⇥ der =0Definition ⇥ dx| gemäß1Definition ⇥⇥
Stromlinie
von Strom- = dy| die
h x z existiert, in z existiert,
1x 2 . muß dF/dz muß dF/dz unahängig unahängig vom Weg vom der WegAnnährung der Annährung v z + dzz + ⇥dz z sein. ⇥ z Man sein. x
dz = 1 ⇥⇥
i ⇥y + ⇥⇤
⇥y = ⇥⇤ i ⇥⇥
⇥y ⇥y kann Man daher kann daher
⇥⇥
Stromlinie
w
S
einmal einmal dz = dx dz wählen = dx wählen und erhält und erhält
u
2
und Potentialfunktion
und somit bilden Potential- u
v
⇥ · ⇥⇥ ⇤ Cauchy-Riemann-Di und
⇤⇥
⇤x ⇤x + ⇤ Stromlinien erentialgleichungen, orthogonale Kurvenscharen. die für ⇥r die = komplexen u
= u r
Da2.2 dF/dz u inBernoulli-Gleichung beiden Fällen gleich Beschreibung sein muß, r ⇥ müssen von für ⇥Potentialströmungen und ⇤ die Cauchy-Riemann-Di von e
⇤⇥
Zwischen dF Potentialfunktion Bedeutung und = uv + uv =0,
⇤y ⇤y Stromfunktion sind (siehe Abschnitt gelten weiterhin 2.3.2): 1 ⇥⇥
gemäß Definition = u r
die
Also besteht in Polarkoordinaten folgender Zusa
Cauchy-Riemann-Di 2. Die Di erenz von ⇥
Aus obigen Definitionen
erentialgleichungen,
folgen ferner
die
die
für
Cauchy-Riemann
die komplexen Beschreibung
Differentialgleichungen
von Potentialströmungen 1 und ⇥ 2 auf zwei von Stromlinien S 1 und S 2 entspric
und somit bilden Potential- und u = Stromlinien ⇤ orthogonale Kurvenscharen.
Bedeutung kartesische sind (siehe Koordinaten Abschnitt 2.3.2): ⇤x = ⇤⇥
r ⇥
(2.5a)
⇤y
Also
Polarkoordinaten
diesen besteht Stromlinien Polarkoordinaten u r = ⇥ : folgender ⇥r = 1 ⇥⇥
1) =⇥(0,h) ⇥(0, 0) = 1 Bereits in der Vorlesung
b
dz = dF ⇥⇥
dz ⇥x = +i⇥⇤
⇥⇥ Man kann w auch darstellen in Polarkoordinaten :
⇥x ⇥x +i⇥⇤ , ⇥x ,
v
x
(2.5) erfüllen. Aus diesen folgt wiederum:
Strömungslehre I wurde die Bernoulli-Gleichung
rZusammenhang ⇥
zwischen Po
Zwischen Potentialfunktion 2 Ch .
u
Man kann w auchw darstellen =(u r iuin ⇥ )e Polarkoordinaten i⇥ ⇥
chung :
2 ⇥
x
Sentlang einer ausgezeichneten Kurve besprochen. Es wurde gefunde
oder man oderwählt man wählt dz =idy dz =idy und
und
erhält und erhält
⇥x 2 = ⇥2 ⇤
x3
⇥y⇥x =
⇥2 ⇥
⇥y 2 ⇤ ⇥ =0
Stromfunktion gelten weiterhin gemäß Definition die
Cauchy-Riemann-Di erentialgleichungen, die für die komplexen Beschreibung von Potentialströmungen 2
u = ⇤ von
Bedeutung sind
⇤x ⇤⇥ v ⇤ (2.5a)
(siehe
⇤y
⇤y = ⇤⇥
der Impulsgleichung
u r = ⇥ (2.5b)
⇤x
⇥r = 1 für eine reibungsfreie
⇥⇥
u = 1 Strömung
⇥
Strömungsrichtung teste u in A: u = ⇥⇥ mit einem Potential fü
Man kann dF
a 1 > 0, u 2 =0, unter der Bedingung, r daß ⇥ man entweder
r ⇥
entlang
⇥r
einer Stromlinie integrie
dz = wdF
1 ⇥⇥
i ⇥y + ⇥⇤
Abschnitt = ⇥⇤ i ⇥⇥
dz = darstellen 1 w ⇥⇥ =(u
i ⇥y + r ⇥⇤ in
iu
Polarkoordinaten
⇥y ⇥y
= ⇥ )e ⇥⇤ i⇥ i ⇥⇥
⇥
:
2 ⇤
z=r e i!
y
⇥y
2.3.2): ⇥y ⇥y ⇥y
2 = ⇥2 ⇥
⇥x⇥y ˙V =
⇥2 ⇤
⇥x
ab = d⇥ 2 ⇤ ⇤ =0
schwindigkeitsfeldes, = ⇥ 2 ⇥ 1 .
1
v =
u ⇤ ⇤ ⇤y für Fluide mit konstanter Dichte
Stationär, ⇤x = ⇤⇥ ⇤⇥
u = 1 ⇥
also
= ⇥⇥ die Wirbelstärke, identisch verschwindet. Man er
Umläuft oder tri t ein (2.5b)
⇤x
Oft
geschlossener
ist eine Darstellung
Integrationsweg
von Potential-
S, der ganz im letzteren in
Stromfunktion
A liegt, Fall r ⇥
Singularitäten, mitineiner Polarkoordinaten ⇥r 2.3.1 auf dem so ist Wichtige
(2.5a) zweckmäßig: Fakten aus der kom
, ist die DaBernoulli-Gleichung dF/dz
w Da=(u dF/dz in r beiden
iu in ⇥ beiden )e
Fällen i⇥ ⇥ und ⇤ erfüllen also
z=r e
mit Fällen gleich derselben gleich sein muß, sein Konstante müssen muß, müssen ⇥ und⇥ ⇤und die ⇤Cauchy-Riemann-Di die i! jeweils die Laplace Gleichung. In der reellen zweidimensionalen
y
ganzen Gebiet gültigen Konstante.
unter ⇤y Verwendung des
y Unter
Dies gilt
Verwendung
für eine 2D
einer
Konfiguration
zeitabhängigen
Die komplexe Geschwindigkeit
1
mit Einheitsbreite in der x 3 Koord
Geschwindigkeitsbetrages q und des Druckes p
Potentialfunktion Φ(t) und der Bernoullikonstanten F(t)
Oft ist v = eine ⇤ Darstellung man für den Volumenfluß dann b ˙V 21 .
⇤y = ⇤⇥
läßt sich daher leicht angeben als
Für ein Fluid konstanter
Eine
Dichte
komplexe
erhält man
Zahl
die
z =
Bernoulli-Gleichung
x+iy repräsentiert
für
einen
Po
f(z)df = ⇥ Potentialströmungen u ist ⇥ =0eine erentialgleichungen
erentialgleichungen
Folge der Divergenzfreiheit der Geschwindigkeit,
u !
(2.5) erfüllen. (2.5) erfüllen. Aus diesen Aus diesen folgt
⇥ S (p)Resf(z
wiederum: folgt wiederum:
ne Folge der Rotationsfreiheit der Geschwindigkeit. In der komplexen Betrachtung stel
p ) .
2⇤i
z=r e2.3.1 Wichtige Fakten aus der komplexen Analysis:
von Potential- und Stromfunktion in Polarkoordinaten i!
r
u
komplexen Potentials r
zweckmäßig: daß die imaginäre (2.5b) Einheit i= ⌅ 1 die zweite Ko
+ qw(z) 2 ⇤x
2
A = p =U + qiV ⇥
.
const . 2 y
Eine komplexe Zahl z = können x+iy(2.12a)
⇥t + 1 F (z) die Potentialfunktion
2 ⇥⇤ ⇥2 + p und der Imaginärteil die Stromfunktio
p
S
⇥ 2 ⇥
+ G
repräsentiert
= F (t)
einen Vektor mit den Kompon
q 2 = w 2 = u 2 + v 2
daß die imaginäre Einheit i= y
⌅ der reellen Analysis entsprechende Opera
Hierin⇥x ist 2 = ⇥ 2 ⇥ ⇥2 ⇤
p der ⇥y⇥x Index =
⇥2 ⇥
⇤ ⇥ =0 (2.9a)
⇥x 2 = ⇥2 ⇤
⇥y⇥x der ⇥y =
⇥2 y
u
!
⇥
2
Singularität ⇥y 2 ⇤ in ⇥ =0 Strömung dar. u !
A, ⇥ S (p) die Umlaufzahl dieser Singularität und Resf(z p ) das
(2.9a)
r
x
In der u
wird als C 1= die {x zweite +iy|x, Komponente y ⇤ R} , i = des ⌅ r
komplexen Beschreibung definiert man eine komplexe Geschwindigkeit als kompl
Vektors 1, bez
Oft ist eine Darstellung von Potential- und Stromfunktion in Polarkoordinaten u zweckmäßig:
x
Daraus 2 u
1) undResiduum folgt
damit
das komplexe von f in zPotential p . durch Bildung der Stammfunktion F (z) Diese nach (wobei Gleichung z: die beliebige hat folgende Integrationskonstante
hier 2 ⇤
Eigenschaften:
⇥ können der reellen Analysis entsprechende Operationen definiert werden
y
Man kann eine Stro
wird als C u r
r
{x +iy|x, y ⇤ R} , i = ⌅ komplexe Zahl in kartesischen Ko
zu Null gesetzt wurde)
⇥y ⇥
1, bezeichnet.
+ C 2 x 2 = ⇥ 2 !
⇤ ⇥2 ⇥
1Komplexe 2 ⇥x⇥y =
⇥2 ⇤
⇤ =0 (2.9b)
⇥y
2 + 2 = ⇥2 ⇥
x 2 ⇥x⇥y ⇥x =
⇥2 u
⇤
!
oder durch den
⇤
Geschwindigkeitsbetrag
⇤ =0
q = |w| = | ¯w| und xden vom Geschwindigkeitsvektor
(2.9b)
mit der reellen
r
2 ⇥x2 u
Aches eingeschlossenen Winkel
r
: w(z) 1. sie = gilt dF
im gesamten Strömungsgebiet mit derselben (möglicherweise z
2.3.2 Komplexe 1 Darstellung .
Darstellung
für 2D
zweidimensionaler !
Potentialströmungen u
Potentialströmungen
dz = ⇥⇥
⇥x +i⇥⇤ ⇥x = u iv =(u r iu ⇥ )e i⇥ = qe i ,
u
"
x b
! Man kann eine komplexe Zahl kartesischen Koordinaten oder in Polar
€ 2 ⇥F (z) und=(U ⇥⇤und erfüllen ⇤
hoder 2 iV )z erfüllen durch also . jeweils also den Geschwindigkeitsbetrag jeweils die Laplace die Laplace Gleichung. Gleichung. q = In |w| derIn = reellen | der ¯w| und F reellen (t), zweidimensionalen zweidimensionalen Betrachtung (2.12b) Betrachtung von von
x den vom Geschwindigkeitsvektor
! = !
mit der reellen
r
2
NachPotentialströmungen im 2 vorigen Aches Abschnitt eingeschlossenen ist ⇥ ist angegebenen =0eine w ⇥ = =0eine qeWinkel i
mit z = re i⇥ , q = |w|, = atan(v/u).
Folge Satz Folge über der : uDivergenzfreiheit die !
n
rder komplexe Divergenzfreiheit erenzierbarkeit der Geschwindigkeit, der Geschwindigkeit, existiertund ein komplexes und ⇤ =0eine
Folge Folge der Rotationsfreiheit der Rotationsfreiheit der Geschwindigkeit. der Geschwindigkeit. In derInkomplexen komplexen Betrachtung Betrachtung Zusammenhang
⇤ =0ei-
Potential27
Da F (z) keine
Komplexes
Singularitäten
Potential
aufweist verschwindet
u!
"
die u komplexe Zirkulation 2. sie identisch gibt einen:
stellt der stellt y
Realteil
zwischen Druck p und Potentialfunkt
oder durch xdes
dy
F (z)
den
x !
u
1 )=p A C 2 = x2 Geschwindigkeitsbetrag
1
u r
h . (x, y)+i⇥(x, y)
q = |w| = | ¯w| und den vom Geschwindigkeitsvektor mit der
der
reellen
Realteil des
⇤ berechnet werden,
(2.8)
Aches komplexen komplexen Potentials
C =0eingeschlossenen Potentials 2 w F = Winkel (z) qe die F i
y
(z) Potentialfunktion die Potentialfunktion und der undImaginärteil der Imaginärteil die Stromfunktion die Stromfunktion der zugehörigen der u
r
mit z = x + iy, Die i 2 :
zugehörigen
w=u+iv
Geschwindigkeitskomponente = 1, {F, z} 2 C; {x, y, in, radialer } 2 R. Richtung F (z) istwird eineaus analytische den kartesischen V dx
ab
FunktionKomponenten und stellt
Strömung Strömung dar. dar.
gemäß folgender
Potentialströmung Vorschrift berechnetin der komplexen Zahlenebene dar. Da die komplexe Ableitung 1 und p 2 zweier
u!
"
3. da (2.3) nichtlinear x
eine zweidimensionale
ist, sind aber die Druckanteile p
In der Komplexe w Inkomplexen = der qekomplexen i
y
v
u
Geschwindigkeit
Beschreibung Beschreibung
⇥ definiert definiert man eine man komplexe eine
!
komplexe Geschwindigkeit Geschwindigkeit als komplexe als komplexe Ableitung Ableitung von von
Die ist Geschwindigkeitskomponente definiert als die komplexe inAbleitung radialer Richtung von F(z) nach wird aus z den kartesischen Komponenten gemäß folgender
2 einmal Vorschrift dz h 2 = berechnet dx wählen und erhält y
u
p A + C 2 von F (z) 2x 2 z existiert, muß dF/dz unahängig vom Weg der
im
Annährung
allgemeinen
z
nicht
+ dz !
superponierbar !
z sein. Man
p
kann
= p 1
daher
+ p 2 .
F (z) nach F (z) z: nach z:
q !
1
1 . u r = q cos(⇥ )=q(cos ⇥ cos + sin ⇥ sin ) = cos u + sin v,
x
a
w(z) = w(z) dF = die Geschwindigkeitskomponente in Umfangsrichtung gemäß
Die Geschwindigkeitskomponente u r = qdF
cos(⇥ dz dF ⇥⇥
)=q(cos ⇥incos radialer + sinRichtung ⇥ ) = wird cosaus u 2.3 den + sinkartesischen Zweidimensionale, v, Komponenten gemäß inkompressible folgender
Vorschrift dz = @ ⇥x +i⇥⇤
! = ! 1 Potent
berechnet @x +i@ ⇥x = u iv =(u
@x u = ,
r iu ⇥ )e i⇥ = qe i , (2.10)
dz = ⇥⇥
"!
x
⇥x +i⇥⇤ ⇥x = u iv =(u r iu ⇥ q)e i⇥ = ! qe i , x (2.10)
u
q sin(⇥ )= sin u + cos v.
w=u!iv
mit die z Geschwindigkeitskomponente
mit = rez i⇥ = , q re= i⇥ |w|, , q = |w|, Die = atan(v/u). komplexe = atan(v/u).
in Umfangsrichtung Zirkulation wirdgemäß
folgendermaßen Zur Vereinfachung berechnet wird :
q !
x für zweidimensionale Strömung folgende Nomenk
Man u
oder
r = beachte, q
man
cos(⇥
wählt
dass )=q(cos
dz =idy
in der ⇥vektoriellen cos
und erhält
⇥
+ sin Darstellung ⇥ sin ) = cosdie u komplexe + sin v, Geschwindigkeit dem an der x-Achse gespiegelten
Geschwindigkeitsvektor
u = q sin(⇥ )= sin
entspricht.
u + cos y v. y ⇥ Man beachte, daß der vektoriellen Darstellung die komplexe Geschwindigkeit gerade de
Linienx⇥ 1 = const x, xsind 2 = y, also udefinitionsgemäß 1 = u, u 2 = v, Stromlinien. ⇥u⇥ 2 = u 2 Linien + v 2 = mit q 2 konst .
die Geschwindigkeitskomponente
dF Die
in Umfangsrichtung gemäß const bezeichnet man als Potentiallinien :
dz = komplexe 1 @
i @y + Zirkulation @ C
@y = = @ wird w(z)dz
i @ folgendermaßen = (u iv)(dx gespiegelten berechnet +idy) Geschwindigkeitsvektor
x :
enspricht. Daher ist das konjugiert Komplexe ¯w = u+
@y u u des physikalischen Geschwindigkeitsvektors in der komplexen Ebene z .
S @y S
Komplexe Zirkulation ⇥ ⇥ ⇥ w=u+iv ⇥ w=u+iv
Die
u =
Komplexe
q sin(⇥
Zirkulation
)= sin
ist
u
analog
+ cos
zum
v.
Eine zweidimensionale inkompressible Strömung (nicht nur Potentialström
Die komplexe Realraum als Linienintegral der komplexen Geschwindigkeit definiert. Sie
Da dF/dz Zirkulation in beiden
C = wirdFällen w(z)dz folgendermaßen gleich
= (udx sein+ berechnet iv)(dx
muß, vdy)+i müssen
+idy) : (udy
v v eine und vdx)
(2.11)
skalare
setzt sich aus der realen Zirkulation Γ und den von der Kurve d die
S eingeschlossenen =0Funktion, Cauchy-Riemann-Di↵erentialgleichungen
⇥ dx die+
Stromfunktion
x Quellstärke dy =0 , beschrieben werden. Die Str
S
S
Q zusammen
S
S
⌅⇤⇥⇧ y
(2.5) ⇥erfüllen. Aus diesen ⇥ folgt wiederum: ⇥ ! !
⌅⇤⇥⇧
=u =v
C = w(z)dz = (u(udx iv)(dx + vdy)+i +idy) (udy vdx) = +iQ
(2.11)
@ 2
⇥ dx v = dy
S
@x 2 = @2 SS
⇥
@y@x = ⇥
@2
S
) =0 "! "!
x x
@y2 u (2.9a)
Hierin ist =
(udx + vdy)+i (udy vdx)
(udx + vdy) = +iQ
gemäss (1.3) die relle (physikalische) Zirkulation. (2.11)
Q = (udy vdx) =
S
S
S
@ 2 (n x u +
@y 2 = @2 S
n y v)ds = u · nds ist der Volumenstrom durch die Kurve S, der aus den von S eingeschlossenen
S
Hierin ist =
@x@y = (udx @2
) =0 w=u!iv w=u!iv
(2.9b)
@x + 2 = vdy) S
+iQ
gemäss (1.3) die relle (physikalische) Zirkulation. Q = (udy vdx) =
Quellen resultiert.
S
S
(n x u + n y v)ds = u · nds ist der Volumenstrom durch die Kurve S, der aus den von S eingeschlossenen
Man beachte, Manund
beachte, Sdaßerfüllen indaß derin vektoriellen also der vektoriellen jeweils S Darstellung die Darstellung Laplace die Gleichung. komplexe die komplexe Geschwindigkeit In der Geschwindigkeit reellen gerade zweidimensionalen gerade dem an dem deran x-Achse Betrachtung der x-Achse von
Hierin ist =
Quellen
(udx
resultiert.
+ vdy) gemäss (1.3) die relle (physikalische) Zirkulation. Q = (udy vdx) =
gespiegelten gespiegelten Potentialströmungen S Geschwindigkeitsvektor ist enspricht. =0eine enspricht. Daher Folge Daher istder dasDivergenzfreiheit ist konjugiert konjugiert Komplexe Komplexe der ¯w Geschwindigkeit, = u+iv ¯w = S u+iv die Darstellung die und Darstellung =0eine
physikalischen Folge der S Rotationsfreiheit Geschwindigkeitsvektors der Geschwindigkeit. der komplexen der komplexen Ebene In der Ebene z komplexen . z . Betrachtung stellt der Realteil des
(n x u + n y v)ds = u · nds ist der Volumenstrom durch die Kurve S, der aus den von S eingeschlossenen
Sdes physikalischen des
Quellen resultiert.
komplexen Potentials F (z) die Potentialfunktion und der Imaginärteil die Stromfunktion der zugehörigen