Superpositionsprinzip 2 Potentialströmungen !=const ann. Dazu überlagern wir eine Parallelströmung mit je einem Dipol und einem Potentialwirbel w(z) =U iV = const . Das zugehörige komplexe Potential ist mungenFluidmachanik <strong>II</strong> 38 Daraus folgt das komplexe Potential durch Bildung der Stammfunktion ( ⇥ y z y’ 37 z’ Das komplexe Potential ist Ums , z Dr. + Prof. R2 S. Viele Dr. Hickel i N. ln Potentialströmungen z, A. Adams , Dr. S. können Hickel durch Superposition konstante von Elementarströmungen hier zuDas Nullkomplexe gesetztbeschrieben wurde) Potential istwerden. Beispiel: z 2⇤ ⇥ Das komplexe Potential ist Zylinderumströmung = Parallelströmung + Dipol Potential F (z) =U( ⇥ Dipolmoment: z + R2 ⇥ e komplexe Geschwindigkeit y a ! beeinflussen iR kann. Dazu überlagern , wir M = eine ⇥RParallelströmung 2 U ⇥ ,) mit je einem F (z) =(U iV )z F (z) . ⇥z =U ⇥ z + R2 , M = ⇥R 2 U ⇥ , R 2 ⇥ # im Ursprung. Das zugehörige F (z) =U ⇥ z + R2 komplexe Potential z S , M = ⇥R 2 ist U 1 U ⇥ , z 2 i 1 S 2 x 2⇤z S’ Lösung wobei man noch a’ S der Übungsklausur Lösung der Übungsklausur Da F (z) keine Singularitäten bestätigen z ⇥ muß, daß diese Wahl von M tatsächlich al wobei man aufweist verschwindet die komplexe Zirkulat Ursprung Zirkulation F (z) =U mit demz + Radius R2 noch bestätigen muß, daß diese Wahl von M R ergibt. i ln z, te mit u = v =0liegen in ! −R wobei man noch bestätigen z muß, 2⇤ daß diese Wahl von M tatsächlich als S 38 Ursprung R Die komplexe C =0 Geschwindigkeit x’ mit 38 dem Radius R ergibt. berechnet man als R := Radius des Zylinders Ursprung mit dem Radius R ergibt. e i woraus sich die komplexe Die komplexe Geschwindigkeit Geschwindigkeit berechnet man als s =i ± ⌅ 1 2 S 38 32, = 1 S 2 x 4⇤U R 38 Geschwindigkeit R 2 Potentialströmungen ⇥ Die komplexe Geschwindigkeit w(z) =U ⇥ 1 r 2 e berechnet 2i man als R 2 ⇥ , R w(z) =U 1 R 2 z w(z) =U ⇥ 1 2 i 2 ⇥ die LageFragenteil: der Staupunkte durch die Wahl von wie gewünscht beeinflussen. beeinflussen −iR kann. Dazuw(z) überlagern beeinflussen =U 2⇤z ⇥ wir 1 eine kann. Parallelströmung und den Geschwindigkeitsbetrag, r 2 e 2i r , 2 e Dazu 2i , überlagern mitwir je einem P ir zunächst den für Anwendungen wichtigen Fall, in dem die Staupunkte auf dem Zylinder beeinflussen 2Das Potentialströmungen komplexe kann. Potential Dazu überlagern ist im st also r s = R und sin ⇥ s = mit | | ⇥ 1. ⇥ Ursprung. wir eine Das Parallelströmung zugehörige komplexe mit je Poten einem im Ursprung. Das zugehörige komplexe Potential ist Das Vorzeichen der Zirkulation bestimmt den Umlaufsinn beeinflussen : > 0 resp. dessen Quadrat als ergibt. im Ursprung. kann. bedeutet Das zugehörige DazuUmlauf überlagern im math. pos. Sinn, Zylinderumströmung mit Staupunktverschiebung Potential F (z) =Uund ( Dipolmoment den Geschwindigkeitsbetrag, Zirkulation resp. dessen Quadrat ) a y ⇥ z + R2 ⇥ komplexe wir eine Potential Parallelströmung , M = ⇥R = Parallelströmung + Dipol + Potentialwirbel q 2 = U⇥ 2 2R 2 ⇥ 2 ist ⇥ mit je einem < 0 bedeutet Umlauf im math. neg. Sinn. Gemäß U ⇥ , imDefinition und Ursprung. der komplexen Die Staupunkte den Geschwindigkeitsbetrag, mit u = v =0liegen z Zirkulation ⇥ muß für den F (z) =U Das zugehörige z + R2 komplexe resp. F (z) R4 dessen Potential in =U Quadrat z ist + R2 Potential ist1. i ln z, als 1 r 2 cos 2 + r 4 . DieZirkulation q 2 U 2 2R 2 ⇥ z s R4 R 1 Staupunkte = r q 2 s R ei s =i ± ⌅ = U 2 2R 2 ⇥ i ln z, Potentialwirbel Q ist die F (z) Quellenstärke,für =U z + R2 Q>0 i spricht ln z, man von einer z Quelle R4 2⇤ für Q
Grenzschichtströmungen Grenzschichtgleichungen Kontinuitäts- und Impulsgleichung vereinfachen sich in ebenen, inkompressiblen Grenzschichten zu den Grenzschichtgleichungen mit folgenden Randbedingungen: Haftbedingung and der Wand Außenrand Einströmrand Der Druck kann auch vollständig aus den Grenzschichtgleichungen eliminiert werden, vgl. Bernoulli: Definitionen 99%-Grenzschichtdicke Verdrängungsdicke Impulsverlustdicke Lauflängen-Reynolds-Zahl, x wird von der Plattenvorderkannte gemessen Wandschubspannung Reibungsbeiwert Widerstandsbeiwert pro Einheitsbreite von-‐Kármán-‐Impulsintegral Für Grenzschichten an ebenen Platten bei Parallelströmung im Außenbereich gilt die integrale Impulsgleichung Blasius Grenzschicht Grenzschichtdicken Reibungs- und Widerstandsbeiwert und somit O l2 2 1 Re ⇥ = O[1] Die für eine Grenzschicht vereinfachten Impulsgleichungen stellen zusammen mit der Kontinuitätsgleichung die Grenzschichtgleichungen dar: ⌅u ⌅x + ⌅v ⌅y =0, (3.4a) u ⌅u ⌅x + v ⌅u ⌅y = 1 ⇤ dp dx + ⇥ ⌅2 u ⌅y 2 , (3.4b) Die Lösung dieser Gleichungen kann mit den folgenden Randbedingungen (im allgemeinen numerisch) berechnet werden. An der Wand gilt die Haftbedingung u(x, y = 0) = 0 , (3.4c) v(x, y = 0) = 0 . (3.4d) Am Einströmrand gilt die Einströmrandbedingung u(x = x 0 ,y)=u 0 (y) . (3.4e) Am äußeren Rand bei großen y gilt die Außenrandbedingung u(x, y ⇤⌅)=U ⇥ , (3.4f) die in der numerische Behanldung meist bei einem festen y, daß ausreichend groß gewählt wird, aufgeprägt wird. Man beachte daß die Grenzschichtgleichung vom parabolischen Typ in x sind. Eine zusätzliche Randbedingung in x, stromab vom Einströmrand, darf daher nicht aufgeprägt werden. Im Sinne der gekoppelten Potentialströmungs-Grenzschicht-Verfahren wäre es sinnvoll, die Außenrandbedingung durch die vom potentialtheoreitschen Verfahren gelieferte Wandgeschwindigkeit u ⇥=0 (x, y = 0) auszudrücken. Hierzu macht man die wandnormale Koordinate zunächst auf einmal in der reibungsfreien Betrachtung und dann in der reibungsbehafteten Betrachtung dimensionslos. Man erhält also ỹ = y/l bzw. y = y/ als dimensionslose Wandabstände. Mit (3.3) kann man y = y ⇧ Re/l = ⇧ Reỹ schreiben, repsektive ỹ = y / ⇧ Re. Wählt man nun in der reibungsbehafteten Beschreibung einen dimensionslosen Wandabstand y fest und betrachtet wie sich der zugehörige Wandabstand ỹ bei wachsendem Re verhält , O 2 Re = O[1] Die für eine Grenzschicht vereinfachten Impulsgleichungen stellen zusammen mit der Kontinuitätsgleichung die Grenzschichtgleichungen dar: ⌅u ⌅x + ⌅v ⌅y =0, (3.4a) u ⌅u ⌅x + v ⌅u ⌅y = 1 ⇤ dp dx + ⇥ ⌅2 u ⌅y 2 , (3.4b) Die Lösung dieser Gleichungen kann mit den folgenden Randbedingungen (im allgemeinen numerisch) berechnet werden. An der Wand gilt die Haftbedingung u(x, y = 0) = 0 , (3.4c) v(x, y = 0) = 0 . (3.4d) Am Einströmrand gilt die Einströmrandbedingung u(x = x 0 ,y)=u 0 (y) . (3.4e) Am äußeren Rand bei großen y gilt die Außenrandbedingung u(x, y ⇤⌅)=U ⇥ , (3.4f) die in der numerische Behanldung meist bei einem festen y, daß ausreichend groß gewählt wird, aufgeprägt wird. Man beachte daß die Grenzschichtgleichung vom parabolischen Typ in x sind. Eine zusätzliche Randbedingung in x, stromab vom Einströmrand, darf daher nicht aufgeprägt werden. Im Sinne der gekoppelten Potentialströmungs-Grenzschicht-Verfahren wäre es sinnvoll, die Außenrandbedingung durch die vom potentialtheoreitschen Verfahren gelieferte Wandgeschwindigkeit u ⇥=0 (x, y = 0) auszudrücken. Hierzu macht man die wandnormale Koordinate zunächst auf einmal in der reibungsfreien Betrachtung und dann in der reibungsbehafteten Betrachtung dimensionslos. Man erhält also ỹ = y/l bzw. y = y/ als dimensionslose Wandabstände. Mit (3.3) kann man y = y ⇧ Re/l = ⇧ Reỹ schreiben, repsektive ỹ = y / ⇧ Re. Wählt man nun in der reibungsbehafteten Beschreibung einen dimensionslosen Wandabstand y fest und betrachtet wie sich der zugehörige Wandabstand ỹ bei wachsendem Re verhält , l Betrachten wir die stationäre Impulgleichung in y-Richtung u ⌅v ⌅x + v ⌅v ⌅y = 1 ⇤ ⌅p ⌅y + ⇥ ⌅2 v ⌅x 2 + ⇥ ⌅2 v ⌅y 2 , dann stellen wir durch Analyse der Größenabschätzungen für die einzelnen Terme fest, daß alle Terme bis auf den Druckgradienten verschwinden. Some wird die reduz y-Richtung für Grenzschichten reduziert zu ⌅p ⌅y =0. Als Folge ist der Druck p konstant in y über die Grenzschicht hinweg und nur von x ab ist gegeben durch den Druck in der Außenströmung und die resultierenden Druckkräfte (schlanken) Körper mit ausgebildeter und anliegender Grenzschicht (siehe hierzu au alleine das Ergebnis der reibungsfreien Außenströmung. Diese Tatsache macht man s zunutze: der Auftrieb als Druckresultierende (bzw. auch der induzierte Widerstand Strömung bei hohen Reynoldszahlen näherungsweise unabhängig von der Reynoldsz den Widerstand (insbesondere den Reibungswiderstand). Die Größenabschätzung für die Terme der stationären x-Impulsgleichung liefert: u ⇤u ⇤x +v ⇤u ⇤y = 1 ⇥ dp dx +⇥ ⇤2 u ⇤x 2 +⇥ ⇤2 u ⇤y 2 ⌅ ⌅ ⌅ ⌅ ⌅ O ⇧ U 2 l ⌃ O l U U ⇥ O ⇧ 1 ⇥ ⇥U 2 l ⌃ O ⇥ U l 2 ⇥ O ⇥ U 2 ⇥ ⌅ ⌅ ⌅ ⌅ ⌅ O[1] O[1] O[1] O 1 Re ⇥ O ⇧ l 2 2 1 Re ⌃ Was passiert mit nun l2 2 1 Re für Re ⇤⌃? Hierzu macht man eine Fallunterscheidun 1. : 2 l 2 ⇤ 0 langsamer als 1 Re ⇧. Dann ist O ⇤ l 2 2 1 Re ⌅ = O ⇤ 1 Re⌅ . Dieser Fall würde bedeuten, daß für große Re der Grenzfall der reibungsfreien schicht vorliegt. Dann kann die Haftbedingung an der Wand aber nicht erfüllt der Fall physikalisch unsinnig. Die für eine Grenzschicht vereinfachten Impulsgleichungen stellen zusammen mit der Kontinuitätsgleichung die Grenzschichtgleichungen dar: ⌅u ⌅x + ⌅v ⌅y =0, (3.4a) u ⌅u ⌅x + v ⌅u ⌅y = 1 ⇤ dp dx + ⇥ ⌅2 u ⌅y 2 , (3.4b) Die Lösung dieser Gleichungen kann mit den folgenden Randbedingungen (im allgemeinen numerisch) berechnet werden. An der Wand gilt die Haftbedingung u(x, y = 0) = 0 , (3.4c) v(x, y = 0) = 0 . (3.4d) Am Einströmrand gilt die Einströmrandbedingung u(x = x 0 ,y)=u 0 (y) . (3.4e) Am äußeren Rand bei großen y gilt die Außenrandbedingung u(x, y ⇤⌅)=U ⇥ , (3.4f) die in der numerische Behanldung meist bei einem festen y, daß ausreichend groß gewählt wird, aufgeprägt wird. Man beachte daß die Grenzschichtgleichung vom parabolischen Typ in x sind. Eine zusätzliche Randbedingung in x, stromab vom Einströmrand, darf daher nicht aufgeprägt werden. Im Sinne der gekoppelten Potentialströmungs-Grenzschicht-Verfahren wäre es sinnvoll, die Außenrandbedingung durch die vom potentialtheoreitschen Verfahren gelieferte Wandgeschwindigkeit u ⇥=0 (x, y = 0) auszudrücken. Hierzu macht man die wandnormale Koordinate zunächst auf einmal in der reibungsfreien Betrachtung und dann in der reibungsbehafteten Betrachtung dimensionslos. Man erhält also ỹ = y/l bzw. y = y/ als dimensionslose Wandabstände. Mit (3.3) kann man y = y ⇧ Re/l = ⇧ Reỹ schreiben, repsektive ỹ = y / ⇧ Re. Wählt man nun in der reibungsbehafteten Beschreibung einen dimensionslosen Wandabstand y fest und betrachtet wie sich der zugehörige Wandabstand ỹ bei wachsendem Re verhält , die Grenzschichtgleichungen dar: ⌅u ⌅x + ⌅v ⌅y =0, (3.4a) u ⌅u ⌅x + v ⌅u ⌅y = 1 ⇤ dp dx + ⇥ ⌅2 u ⌅y 2 , (3.4b) Die Lösung dieser Gleichungen kann mit den folgenden Randbedingungen (im allgemeinen numerisch) berechnet werden. An der Wand gilt die Haftbedingung u(x, y = 0) = 0 , (3.4c) v(x, y = 0) = 0 . (3.4d) Am Einströmrand gilt die Einströmrandbedingung u(x = x 0 ,y)=u 0 (y) . (3.4e) Am äußeren Rand bei großen y gilt die Außenrandbedingung u(x, y ⇤⌅)=U ⇥ , (3.4f) die in der numerische Behanldung meist bei einem festen y, daß ausreichend groß gewählt wird, aufgeprägt wird. Man beachte daß die Grenzschichtgleichung vom parabolischen Typ in x sind. Eine zusätzliche Randbedingung in x, stromab vom Einströmrand, darf daher nicht aufgeprägt werden. Im Sinne der gekoppelten Potentialströmungs-Grenzschicht-Verfahren wäre es sinnvoll, die Außenrandbedingung durch die vom potentialtheoreitschen Verfahren gelieferte Wandgeschwindigkeit u ⇥=0 (x, y = 0) auszudrücken. Hierzu macht man die wandnormale Koordinate zunächst auf einmal in der reibungsfreien Betrachtung und dann in der reibungsbehafteten Betrachtung dimensionslos. Man erhält also ỹ = y/l bzw. y = y/ als dimensionslose Wandabstände. Mit (3.3) kann man y = y ⇧ Re/l = ⇧ Reỹ schreiben, repsektive ỹ = y / ⇧ Re. Wählt man nun in der reibungsbehafteten Beschreibung einen dimensionslosen Wandabstand y fest und betrachtet wie sich der zugehörige Wandabstand ỹ bei wachsendem Re verhält , ⌅x ⌅y ⇤ dx ⌅y Die Lösung dieser Gleichungen kann mit den folgenden Randbedingungen (im allgemeinen numerisch) berechnet werden. An der Wand gilt die Haftbedingung u(x, y = 0) = 0 , (3.4c) v(x, y = 0) = 0 . (3.4d) Am Einströmrand gilt die Einströmrandbedingung u(x = x 0 ,y)=u 0 (y) . (3.4e) Am äußeren Rand bei großen y gilt die Außenrandbedingung u(x, y ⇤⌅)=U ⇥ , (3.4f) die in der numerische Behanldung meist bei einem festen y, daß ausreichend groß gewählt wird, aufgeprägt wird. Man beachte daß die Grenzschichtgleichung vom parabolischen Typ in x sind. Eine zusätzliche Randbedingung in x, stromab vom Einströmrand, darf daher nicht aufgeprägt werden. Im Sinne der gekoppelten Potentialströmungs-Grenzschicht-Verfahren wäre es sinnvoll, die Außenrandbedingung durch die vom potentialtheoreitschen Verfahren gelieferte Wandgeschwindigkeit u ⇥=0 (x, y = 0) auszudrücken. Hierzu macht man die wandnormale Koordinate zunächst auf einmal in der reibungsfreien Betrachtung und dann in der reibungsbehafteten Betrachtung dimensionslos. Man erhält also ỹ = y/l bzw. y = y/ als dimensionslose Wandabstände. Mit (3.3) kann man y = y ⇧ Re/l = ⇧ Reỹ schreiben, repsektive ỹ = y / ⇧ Re. Wählt man nun in der reibungsbehafteten Beschreibung einen dimensionslosen Wandabstand y fest und betrachtet wie sich der zugehörige Wandabstand ỹ bei wachsendem Re verhält , die Grenzschichtgleichungen dar: ⌅u ⌅x + ⌅v ⌅y =0, (3.4a) u ⌅u ⌅x + v ⌅u ⌅y = 1 ⇤ dp dx + ⇥ ⌅2 u ⌅y 2 , (3.4b) Die Lösung dieser Gleichungen kann mit den folgenden Randbedingungen (im allgemeinen numerisch) berechnet werden. An der Wand gilt die Haftbedingung u(x, y = 0) = 0 , (3.4c) v(x, y = 0) = 0 . (3.4d) Am Einströmrand gilt die Einströmrandbedingung u(x = x 0 ,y)=u 0 (y) . (3.4e) Am äußeren Rand bei großen y gilt die Außenrandbedingung u(x, y ⇤⌅)=U ⇥ , (3.4f) die in der numerische Behanldung meist bei einem festen y, daß ausreichend groß gewählt wird, aufgeprägt wird. Man beachte daß die Grenzschichtgleichung vom parabolischen Typ in x sind. Eine zusätzliche Randbedingung in x, stromab vom Einströmrand, darf daher nicht aufgeprägt werden. Im Sinne der gekoppelten Potentialströmungs-Grenzschicht-Verfahren wäre es sinnvoll, die Außenrandbedingung durch die vom potentialtheoreitschen Verfahren gelieferte Wandgeschwindigkeit u ⇥=0 (x, y = 0) auszudrücken. Hierzu macht man die wandnormale Koordinate zunächst auf einmal in der reibungsfreien Betrachtung und dann in der reibungsbehafteten Betrachtung dimensionslos. Man erhält also ỹ = y/l bzw. y = y/ als dimensionslose Wandabstände. Mit (3.3) kann man y = y ⇧ Re/l = ⇧ Reỹ schreiben, repsektive ỹ = y / ⇧ Re. Wählt man nun in der reibungsbehafteten Beschreibung einen dimensionslosen Wandabstand y fest und betrachtet wie sich der zugehörige Wandabstand ỹ bei wachsendem Re verhält , 3 Grenzschichten 57 stellt man fest, daß ỹ ⇤ 0. D.h. insbesondere y =1, d.h. der Grenzschichtrand, stimmt in der reibungsfreien Betrachtung im Grenzfall großer Reynoldszahlen mit der Position der Wand in ỹ =0überein. Daher können wir alternativ zu (3.4f) auch vorschreiben, daß u(x, y = )=u ⇥=0 (x, y = 0) . (3.4g) Weiterhin kann man der Druck vollends eliminieren, indem man ausnutzt, daß in der Außenströmung die Bernoulli-Gleichung gilt, und man erhält folgenden Zusammenhang zwischen p(x) und U (x) : 1 ⌅ dp dx = U dU dx . (3.5) Alternativ zu (3.4b) erhält man dann: u ⇧u ⇧x + v ⇧u ⇧y = U dU dx + ⇤ ⇧2 u ⇧y 2 . (3.6) 3.1.1 Blasius Grenzschicht Ein wichtiger Spezialfall ist die Grenzschicht an einer ebene Platte mit dp/dx =0. In diesem Fall gelten folgende Randbedingungen: u(x ⇥ 0,y ⇤⌅)=U (x) =U ⇥ , (3.7a) u(x >0,y = 0) = 0 , (3.7b) v(x >0,y = 0) = 0 . (3.7c) Die Einströmrandbedingung ist: u(x =0,y >0) = U ⇥ . (3.7d) Die Grenzschichtgleichungen vereinfachen sich zu ⇧u ⇧x + ⇧v ⇧y =0, (3.7e) u ⇧u ⇧x + v ⇧u ⇧y = ⇤ ⇧2 u ⇧y 2 . (3.7f) Die Lösung dieser Gleichungen wurde in allgemeiner Form von Blasius 1908 ermittelt. Hierzu machte Blasius einen Ähnlichkeitsansatz , der erlaubte die beiden unabhängigen Variablen x und y auf eine unabhängige Variable ⇥ <strong>zur</strong>ückzuführen. Die physikalische Begründung für den Ähnlichkeitsansatz ist wie folgt. Zunächst macht man x und y mit den jeweiligen Längenskalen dimensionslos: x = x/l , y = y = y ⇥ ⇥l U . Da wegen des parabolischen Charakters der Grundgleichungen die Grenzschicht an einer Stelle x unbeeinfluß von der Längenskale l sein sollte, muß diese Längenskale eliminierbar sein. Eine Kombination von x und y so, daß die Längenskale l herausfällt, liefert die Ähnlichkeitsvariable ⇥ = y ⇧ x = y ⇤x/U ⇥ . (3.8) v = v ⇤U ⇤ /x = 1 2 (⇥f ⇥ f) . (3.10b) Eingesetzt in die Grenzschichtgleichgungen liefern diese Ausdrücke folgende gewöhnliche Di erentialgleichung für f(⇥): f ⇥⇥⇥ + 1 2 ff⇥⇥ =0. (3.11a) Diese Di erentialgleichung wird ergänzt durch folgende Randbedingungen: u(x, y = 0) = 0 ⌅ f ⇥ (⇥ = 0) = 0 , (3.11b) v(x, y = 0) = 0 ⌅ f(⇥ = 0) = 0 , (3.11c) u(x, y ⇥⇧)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1, (3.11d) u(x =0,y)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1. (3.11e) Diese Di erentialgleichung stellt ein nichtlineares gewöhnliches Randwertproblem dar, das nicht mehr geschlossen gelöst werden kann. Die Lösung wird numerisch, meist durch ein sogenanntes Schießverfahren, bestimmt und liefert als Ergebnis die sogenannte Blasius-Grenzschicht . Anstelle der Grenzschichtdicke verwendet man in der Praxis oft die sogenannte 99%-Grenzschichtdicke , deren allgemeine Definition lautet 99 = y(u =0.99U ⇤ ) . (3.12) Für die Blasius Grenzschicht ist die Verwendung dieser Definition der Grenzschichtdicke angebracht, da u(y = )=U ⇤ nur asymptotisch für y ⇥⇧erreicht wird. Für Blasius Grenzschicht ermittelt man aus der Lösung der obigen Di erentialgleichung folgende Abhängigkeit von der sogenannten Lauflängen-Reynoldszahl Re x = Ux/⇤, wobei x die von der Plattenvorderkante gemessene ” Lauflänge“der Grenzschicht ist: 99 x = 4.9 ⌃ Rex , (3.13) mit Re x = U ⇤x ⇤ . Typische Werte für (3.13)sind z.B. für Wasser mit U ⇤ =1m/s, bei einer Lauflänge von 1m, Re x ⇤ 67000 und 99 ⇤ 0.019 m. 0 Für die Blasius Grenzschicht ist C w = 1.328 ⇧ Rex . (3.18) Man kann auch die Vertikalgeschwindigkeit in Abhängigkeit von x angeben als v U ⇥ = 1 2 1 ⇧ Rex (⇥f f) , (3.19) Man stellt fest, daß v für y ⇥⌅einen endlichen Wert annimmt v U ⇥ ⇤ 0.861 1 ⇧ Rex , (3.20) was in der physikalischen Realität nur bedingt sinnvoll ist, da man erwartet, daß in großer Entfernung von der Grenzschicht der Verdrängungse ekt der Grenzschicht verschwindet. Dieser Widerspruch illustriert die Gültigkeitsgrenzen der Grenzschichtbeschreibung. Ein besser definiertes Längenmaß für die Grenzschicht als die Grenzschichtdicke ist die Verdrängungsdicke , deren allgemeine Definition lautet : 1 = ⌅ ⇥ 0 ⇥ 1 u U ⇤ dy . (3.21) Beachte hierbei, daß für den Fall, daß u(y) in y = u(y = )=U annimmt, u(y) =U für y> fortgesetzt wird. In diesem Fall kann man die Verdrängungsdicke auch wie folgt definieren 1 = ⌅ 0 ⇥ 1 u U ⇤ dy Gemäß der folgenden Skizze gibt die Verdrängungsdicke also an, um wieviel die Körperkontur aufgedickt werden muß um bei einer reibungsfreien Beschreibung den gleichen Massenstrom zu erzielen: ! 1 Man erkennt anhand der Definition, daß die Verdrängungsdicke auch für den Fall, daß die Außenströmungsgeschwindigkeit nur im Grenzfall y ⇤⇧erreicht wird, beschränkt bleibt. Für die Blasius Grenzschicht ist mit U = U 1 =1.72 ⇧ ⇥x U . (3.22a) Die im nächsten Abschnitt definierte Imulsverlustdicke berechnet man für die Blasius Grenzschicht als 2 =0.664 ⇧ ⇥x U . (3.22b) 3.1.2 Von Kármán Impulsintegral Die sogenannte Impulsverlustdicke ergibt sich, wenn man die oben angestellte Überlegung für die Verdrängungsdicke auf den Impuls überträgt: 2 = ⌅ 0 u U ⇥ 1 u U ⇤ dy . (3.23) Beachte, daß hier ebenfalls wie bei der Verdrängungsdicke u(y) =U für y> gilt, falls u(y = )=U . Also kann man obige Gleichung in diesem Fall ersetzten durch 2 = ⌅ 0 u U ⇥ 1 u U ⇤ dy Da die Wirkung der Grenzschicht bei großen Wandabständen nicht mehr spürbar sein soll müssen die Ableitungen ⇥u ⇥y , ⇥2 u ⇥y 2 , ... für y ⇤⇧verschwinden. Durch Integration der Grenzschichtgleichungen über y erhält man dann ⌅ 0 ⇥ u ⇧u ⇧x + v ⇧u ⇧y ⇤ dy = ⌅ 0 u du dx dy + ⌅ 0 µ ⇤ ⇧ 2 u ⇧y 2 dy ⌅ ⌅ 0 ⇥ u ⇧u ⇧x u du dx + v ⇧u ⇧y ⇤ dy = µ ⇤ ⇧u ⇧y 0 = ⌅ w ⇤ (⇥) . Aus der Kontinuitätsgleichung folgt v = ⌅ y 0 ⇧v ⇧y dy = y ⌅ 0 ⇧u ⇧x dy , Eingesetzt in die Grenzschichtgleichgungen liefern diese Ausdrücke folgende gewöhnliche Di erentialgleichung für f(⇥): f ⇥⇥⇥ + 1 2 ff⇥⇥ =0. (3.11a) Diese Di erentialgleichung wird ergänzt durch folgende Randbedingungen: u(x, y = 0) = 0 ⌅ f ⇥ (⇥ = 0) = 0 , (3.11b) v(x, y = 0) = 0 ⌅ f(⇥ = 0) = 0 , (3.11c) u(x, y ⇥⇧)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1, (3.11d) u(x =0,y)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1. (3.11e) Diese Di erentialgleichung stellt ein nichtlineares gewöhnliches Randwertproblem dar, das nicht mehr geschlossen gelöst werden kann. Die Lösung wird numerisch, meist durch ein sogenanntes Schießverfahren, bestimmt und liefert als Ergebnis die sogenannte Blasius-Grenzschicht . Anstelle der Grenzschichtdicke verwendet man in der Praxis oft die sogenannte 99%-Grenzschichtdicke , deren allgemeine Definition lautet 99 = y(u =0.99U ⇤ ) . (3.12) Für die Blasius Grenzschicht ist die Verwendung dieser Definition der Grenzschichtdicke angebracht, da u(y = )=U ⇤ nur asymptotisch für y ⇥⇧erreicht wird. Für Blasius Grenzschicht ermittelt man aus der Lösung der obigen Di erentialgleichung folgende Abhängigkeit von der sogenannten Lauflängen-Reynoldszahl Re x = Ux/⇤, wobei x die von der Plattenvorderkante gemessene ” Lauflänge“der Grenzschicht ist: 99 x = 4.9 ⌃ Rex , (3.13) mit Re x = U ⇤x ⇤ . Typische Werte für (??)sind z.B. für Wasser mit U ⇤ =1m/s, bei einer Lauflänge von 1m, Re x ⇤ 67000 und 99 ⇤ 0.019 m. 3 Grenzschichten 59 Die allgemeine Definition des sogenannten Reibungsbeiwertes ist C f = ⇧ W ⇥ 2 U 2 ⇥ , (3.14) wobei die Wandschubspannung ⇧ W = ⌅⇤ ⌃u ⌃y y=0 (3.15) verwendet wird. Für die Blasius Grenzschicht verhält sich C f (x) gemäß C f = 0.664 ⇧ Rex . (3.16) Die allgemeine Defintion des Widerstandsbeiwertes pro Einheitsbreite ist C w = 1 l ⌅ l 0 C f dx . (3.17) Für die Blasius Grenzschicht ist C w = 1.328 ⇧ Rex . (3.18) Man kann auch die Vertikalgeschwindigkeit in Abhängigkeit von x angeben als v U ⇥ = 1 2 1 ⇧ Rex (⇥f f) , (3.19) Man stellt fest, daß v für y ⇥⌅einen endlichen Wert annimmt v U ⇥ ⇤ 0.861 1 ⇧ Rex , (3.20) was in der physikalischen Realität nur bedingt sinnvoll ist, da man erwartet, daß in großer Entfernung von der Grenzschicht der Verdrängungse ekt der Grenzschicht verschwindet. Dieser Widerspruch illustriert die 3 Grenzschichten 59 Die allgemeine Definition des sogenannten Reibungsbeiwertes ist C f = ⇧ W ⇥ 2 U 2 ⇥ , (3.14) wobei die Wandschubspannung ⇧ W = ⌅⇤ ⌃u ⌃y y=0 (3.15) verwendet wird. Für die Blasius Grenzschicht verhält sich C f (x) gemäß C f = 0.664 ⇧ Rex . (3.16) Die allgemeine Defintion des Widerstandsbeiwertes pro Einheitsbreite ist C w = 1 l ⌅ l 0 C f dx . (3.17) Für die Blasius Grenzschicht ist C w = 1.328 ⇧ Rex . (3.18) Man kann auch die Vertikalgeschwindigkeit in Abhängigkeit von x angeben als v 1 1 3 Grenzschichten 59 Die allgemeine Definition des sogenannten Reibungsbeiwertes ist C f = ⇧ W ⇥ 2 U 2 ⇥ , (3.14) wobei die Wandschubspannung ⇧ W = ⌅⇤ ⌃u ⌃y y=0 (3.15) verwendet wird. Für die Blasius Grenzschicht verhält sich C f (x) gemäß C f = 0.664 ⇧ Rex . (3.16) Die allgemeine Defintion des Widerstandsbeiwertes pro Einheitsbreite ist C w = 1 l ⌅ l 0 C f dx . (3.17) Für die Blasius Grenzschicht ist C w = 1.328 ⇧ Rex . (3.18) Man kann auch die Vertikalgeschwindigkeit in Abhängigkeit von x angeben als v U ⇥ = 1 2 1 ⇧ Rex (⇥f f) , (3.19) Man stellt fest, daß v für y ⇥⌅einen endlichen Wert annimmt v U ⇥ ⇤ 0.861 1 ⇧ Rex , (3.20) was in der physikalischen Realität nur bedingt sinnvoll ist, da man erwartet, daß in großer Entfernung von der Grenzschicht der Verdrängungse ekt der Grenzschicht verschwindet. Dieser Widerspruch illustriert die Gültigkeitsgrenzen der Grenzschichtbeschreibung. Ein besser definiertes Längenmaß für die Grenzschicht als die Grenzschichtdicke ist die Verdrängungsdicke , deren allgemeine Definition lautet : 3 Grenzschichten 61 da v(y = 0) = 0. ⇤ ⇥ 0 v ⌅u ⌅y dy = ⇥ 0 ⌅ ⌃ y 0 ⌅u ⌅x dy ⇧ ⌥ ⌅u ⌅y dy = y 0 ⌅u ⌅x dyu ⇥ 0 + ⇥ 0 ⌅u ⌅x udy = ⇥ 0 ⌅u ⌅x dyu + ⇥ 0 u ⌅u ⌅x dy . Dies eingesetzt in (⇥) gibt ⇥ 0 ⇥ u ⌅u ⌅x u du dx u ⌅u ⌅x + u⌅u ⌅x ⇤ dy = ⇤ w ⇥ ⇤ ⇥ 0 u ⌅(u u) ⌅x dy + ⇥ 0 (u u) ⌅u ⌅x dy + ⇥ 0 (u u) du dx dy = ⇤ w ⇥ ⇤ d dx ⇥ 0 u (u u) dy + du dx ⇥ 0 (u u) dy = ⇤ w ⇥ ⇤ d dx ⌅ ⌃u 2 ⇥ 0 u u ⇥ 1 u u ⇤ dy ⇧ ⌥ + du dx u ⇥ 0 ⇥ 1 u u ⇤ dy = 1 2 ⇤ w ⇥ 2 . Für eine Parallelströmung u (x) im Außenbereich erhält man dann nach Division beider Seiten mit u 2 d 2 dx + 1 u du dx ( 1 +2 2 )= 1 2 C f . (3.24) Dies ist die integrale Impulsgleichung für Grenzschichten an ebenen Platten nach von Kármán und Pohlhausen (1921). 3.1.3 Pohlhausen Grenzschicht Die Grenzschichtlösung nach Pohlhausen beruht auf einer näherungsweisen Lösung der integralen Impulsgleichung. Mit einem Polynomansatz für u(y) gemäß u = a + by + cy 2 + dy 3 , wobei y = y/ (x), läßt sich eine Lösung von (3.24) konstruieren: u = 3 2 y 1 2 y 3 . 58 3 Grenzschichten Entsprechend entdimensionalisiert man die x-Geschwindigkeit und die Stromfunktion: u = u U ⇤ , f(⇥) = ⌅ ⌃ ⇤xU⇤ . (3.9) Drückt man die dimensionslosen Geschwindigkeiten durch die Stromfunkion aus, so erhält man u = f ⇥ (⇥) , (3.10a) v = v ⇤U ⇤ /x = 1 2 (⇥f ⇥ f) . (3.10b) Eingesetzt in die Grenzschichtgleichgungen liefern diese Ausdrücke folgende gewöhnliche Di erentialgleichung für f(⇥): f ⇥⇥⇥ + 1 2 ff⇥⇥ =0. (3.11a) Diese Di erentialgleichung wird ergänzt durch folgende Randbedingungen: u(x, y = 0) = 0 ⌅ f ⇥ (⇥ = 0) = 0 , (3.11b) v(x, y = 0) = 0 ⌅ f(⇥ = 0) = 0 , (3.11c) u(x, y ⇥⇧)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1, (3.11d) u(x =0,y)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1. (3.11e) Diese Di erentialgleichung stellt ein nichtlineares gewöhnliches Randwertproblem dar, das nicht mehr geschlossen gelöst werden kann. Die Lösung wird numerisch, meist durch ein sogenanntes Schießverfahren, bestimmt und liefert als Ergebnis die sogenannte Blasius-Grenzschicht . Anstelle der Grenzschichtdicke verwendet man in der Praxis oft die sogenannte 99%-Grenzschichtdicke , deren allgemeine Definition lautet 99 = y(u =0.99U ⇤ ) . (3.12) Für die Blasius Grenzschicht ist die Verwendung dieser Definition der Grenzschichtdicke angebracht, da u(y = )=U ⇤ nur asymptotisch für y ⇥⇧erreicht wird. Für Blasius Grenzschicht ermittelt man aus der Lösung der obigen Di erentialgleichung folgende Abhängigkeit von der sogenannten Lauflängen-Reynoldszahl Re x = Ux/⇤, wobei x die von der Plattenvorderkante gemessene ” Lauflänge“der Grenzschicht ist: 99 x = 4.9 ⌃ Rex , (3.13) mit Re x = U ⇤x ⇤ . Typische Werte für (3.13)sind z.B. für Wasser mit U ⇤ =1m/s, bei einer Lauflänge von 1m, Re x ⇤ 67000 und 99 ⇤ 0.019 m. 60 3 Grenzschichten ! 1 Man erkennt anhand der Definition, daß die Verdrängungsdicke auch für den Fall, daß die Außenströmungsgeschwindigkeit nur im Grenzfall y ⇤⇧erreicht wird, beschränkt bleibt. Für die Blasius Grenzschicht ist mit U = U 1 =1.72 ⇧ ⇥x U . (3.22a) Die im nächsten Abschnitt definierte Imulsverlustdicke berechnet man für die Blasius Grenzschicht als 2 =0.664 ⇧ ⇥x U . (3.22b) 3.1.2 Von Kármán Impulsintegral Die sogenannte Impulsverlustdicke ergibt sich, wenn man die oben angestellte Überlegung für die Ver- 58 3 Grenzschichten Entsprechend entdimensionalisiert man die x-Geschwindigkeit und die Stromfunktion: u = u U ⇤ , f(⇥) = ⌅ ⌃ ⇤xU⇤ . (3.9) Drückt man die dimensionslosen Geschwindigkeiten durch die Stromfunkion aus, so erhält man u = f ⇥ (⇥) , (3.10a) v = v ⇤U ⇤ /x = 1 2 (⇥f ⇥ f) . (3.10b) Eingesetzt in die Grenzschichtgleichgungen liefern diese Ausdrücke folgende gewöhnliche Di erentialgleichung für f(⇥): f ⇥⇥⇥ + 1 2 ff⇥⇥ =0. (3.11a) Diese Di erentialgleichung wird ergänzt durch folgende Randbedingungen: u(x, y = 0) = 0 ⌅ f ⇥ (⇥ = 0) = 0 , (3.11b) v(x, y = 0) = 0 ⌅ f(⇥ = 0) = 0 , (3.11c) u(x, y ⇥⇧)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1, (3.11d) u(x =0,y)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1. (3.11e) Diese Di erentialgleichung stellt ein nichtlineares gewöhnliches Randwertproblem dar, das nicht mehr geschlossen gelöst werden kann. Die Lösung wird numerisch, meist durch ein sogenanntes Schießverfahren, bestimmt und liefert als Ergebnis die sogenannte Blasius-Grenzschicht . Anstelle der Grenzschichtdicke verwendet man in der Praxis oft die sogenannte 99%-Grenzschichtdicke , deren allgemeine Definition lautet 99 = y(u =0.99U ⇤ ) . (3.12) Für die Blasius Grenzschicht ist die Verwendung dieser Definition der Grenzschichtdicke angebracht, da u(y = )=U ⇤ nur asymptotisch für y ⇥⇧erreicht wird. Für Blasius Grenzschicht ermittelt man aus der Lösung der obigen Di erentialgleichung folgende Abhängigkeit von der sogenannten Lauflängen-Reynoldszahl Re x = Ux/⇤, wobei x die von der Plattenvorderkante gemessene ” Lauflänge“der Grenzschicht ist: 99 x = 4.9 ⌃ Rex , (3.13) mit Re x = U ⇤x ⇤ . Typische Werte für (3.13)sind z.B. für Wasser mit U ⇤ =1m/s, bei einer Lauflänge von 1m, Re x ⇤ 67000 und 99 ⇤ 0.019 m. 60 3 Grenzsc ! 1 Man erkennt anhand der Definition, daß die Verdrängungsdicke auch für den Fall, daß die Außenström nur im Grenzfall y ⇤⇧erreicht wird, beschränkt bleibt. Für die Blasius Grenzschicht ist mit U = 1 =1.72 ⇧ ⇥x U . Die im nächsten Abschnitt definierte Imulsverlustdicke berechnet man für die Blasius Grenzschicht 2 =0.664 ⇧ ⇥x U . 3.1.2 Von Kármán Impulsintegral Die sogenannte Impulsverlustdicke ergibt sich, wenn man die oben angestellte Überlegung für drängungsdicke auf den Impuls überträgt: 2 = ⌅ 0 u U ⇥ 1 u U ⇤ dy . 3 Grenzschichten 59 Die allgemeine Definition des sogenannten Reibungsbeiwertes ist C f = ⇧ W ⇥ 2 U 2 ⇥ , (3.14) wobei die Wandschubspannung ⇧ W = ⌅⇤ ⌃u ⌃y y=0 (3.15) verwendet wird. Für die Blasius Grenzschicht verhält sich C f (x) gemäß C f = 0.664 ⇧ Rex . (3.16) Die allgemeine Defintion des Widerstandsbeiwertes pro Einheitsbreite ist C w = 1 l ⌅ C f dx . (3.17) 58 3 Grenzschichten Entsprechend entdimensionalisiert man die x-Geschwindigkeit und die Stromfunktion: u = u U ⇤ , f(⇥) = ⌅ ⌃ ⇤xU⇤ . (3.9) Drückt man die dimensionslosen Geschwindigkeiten durch die Stromfunkion aus, so erhält man u = f ⇥ (⇥) , (3.10a) v = v ⇤U ⇤ /x = 1 2 (⇥f ⇥ f) . (3.10b) Eingesetzt in die Grenzschichtgleichgungen liefern diese Ausdrücke folgende gewöhnliche Di erentialgleichung für f(⇥): f ⇥⇥⇥ + 1 2 ff⇥⇥ =0. (3.11a) Diese Di erentialgleichung wird ergänzt durch folgende Randbedingungen: u(x, y = 0) = 0 ⌅ f ⇥ (⇥ = 0) = 0 , (3.11b) v(x, y = 0) = 0 ⌅ f(⇥ = 0) = 0 , (3.11c) u(x, y ⇥⇧)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1, (3.11d) u(x =0,y)=U ⇤ ⌅ f ⇥ (⇥ ⇥⇧)=1. (3.11e) Diese Di erentialgleichung stellt ein nichtlineares gewöhnliches Randwertproblem dar, das nicht mehr geschlossen gelöst werden kann. Die Lösung wird numerisch, meist durch ein sogenanntes Schießverfahren, bestimmt und liefert als Ergebnis die sogenannte Blasius-Grenzschicht . Anstelle der Grenzschichtdicke verwendet man in der Praxis oft die sogenannte 99%-Grenzschichtdicke , deren allgemeine Definition lautet 99 = y(u =0.99U ⇤ ) . (3.12) Für die Blasius Grenzschicht ist die Verwendung dieser Definition der Grenzschichtdicke angebracht, da u(y = )=U ⇤ nur asymptotisch für y ⇥⇧erreicht wird. Für Blasius Grenzschicht ermittelt man aus der Lösung der obigen Di erentialgleichung folgende Abhängigkeit von der sogenannten Lauflängen-Reynoldszahl Re x = Ux/⇤, wobei x die von der Plattenvorderkante gemessene ” Lauflänge“der Grenzschicht ist: 99 x = 4.9 ⌃ Rex , (3.13) mit Re x = U ⇤x ⇤ . 3 Grenzschichten 59 Die allgemeine Definition des sogenannten Reibungsbeiwertes ist C f = ⇧ W ⇥ 2 U 2 ⇥ , (3.14) wobei die Wandschubspannung ⇧ W = ⌅⇤ ⌃u ⌃y y=0 (3.15) verwendet wird. Für die Blasius Grenzschicht verhält sich C f (x) gemäß C f = 0.664 ⇧ Rex . (3.16) Die allgemeine Defintion des Widerstandsbeiwertes pro Einheitsbreite ist C w = 1 l ⌅ l 0 C f dx . (3.17) Für die Blasius Grenzschicht ist C w = 1.328 ⇧ Rex . (3.18) Man kann auch die Vertikalgeschwindigkeit in Abhängigkeit von x angeben als v U ⇥ = 1 2 1 ⇧ Rex (⇥f f) , (3.19) Für die Grenzschicht kann man aus den Navier-Stokes-Gleichungen vereinfachte Gleichungen unter Aus zung der besonderen geometrischen Eigenschaften der Grenzschicht herleiten. Dies sind die sogenan Grenzschichtgleichungen . Um die geometrischen Besonderheiten einer Grenzschicht zu erkennen, betrachten wir folgende Skizze: °° ! !(x) u( )=U y x ! U = U ! Die Grenzschicht zeichnet sich durch folgende Geschwindigkeitsskalen und Längenskalen aus: Geschwindigkeitsskale in x-Richtung U = U : Geschwindigkeit am Grenzschichtrand in x-Richtu Längenskale in x-Richtung l (z.B. Sehnenlänge eines Profiles), ⇥ : Dichte des Fluides (hier ⇥ = const angenommen), Längenskale in y-Richtung (x) : Grenzschichtdicke mit u( )=U . Mit diesen Skalen kann man in den Navier-Stokes-Gleichgungen auftretende Geschwindigkeitsgradie folgendermaßen abschätzen. Betrachten wir zunächst den reibungsfreien Fall, in dem sich keine Grenzsch ausbildet. Dann ist die Längenskale in y-Richtung nicht wie im reibungsbehafteten Fall, sondern die gle Längenskale wie in x-Richtung, nämlich l. Also kann man ⇤u/⇤y abschätzen durch ⇤u ⇤y ⇥ U l . In der reibungsbehafteten Strömung kann aber ⇤u/⇤y abgeschätz werden durch eine finite Di erenz zwisc den Werten am Grenzschichtrand und an der Wand ⇤u ⇤y ⇥ U 0 0 = U . Da ⇤ l wird ⇤u/⇤y in einer reibungsfreien Betrachtung viel zu klein abgeschätzt, d.h. die reibungs Theorie versagt und kann Grenzschichtphänomene nicht beschreiben. //////////////////////////////////////////////////////////////////////
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