[SÁCH THAM KHẢO - FULLTEXT] TOÁN HỌC MOON.VN - TẬP 2 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - CHƯƠNG 1 HÀM SỐ

https://twitter.com/daykemquynhon 

https://plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

https://daykemquynhon.blogspot.com 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ 

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ(Phần 1) .................... 3 

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ(Phần 1-2-3) ........................................................... 49 

CHỦ ĐỀ 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ ......................................................................................... 100 

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ............................................................ 132 

CHỦ ĐỀ 5: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3 ..................................................... 171 

CHỦ ĐỀ 6: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG .............................. 191 

CHỦ ĐỀ 7: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC 1 ........................... 207 

CHỦ ĐỀ 8: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA ..................................................... 223 

CHỦ ĐỀ 9: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG .................................. 241 

CHỦ ĐỀ 10: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC ......................................... 252 

CHỦ ĐỀ 11: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SÔ ...................................................... 268 

Trang2 

Trang3 

Chương I. HÀM SỐ 

Chủ Đề 1: TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ(Phần 1) 

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA 

HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ 

1. Lý thuyết trọng tâm. 

Ký hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y f ( x) 

trên K . Ta nói: 

+) Hàm số y f ( x) 

= xác định 

= đồng biến (tăng ) nếu với mọi cặp x1 ; x 

2 

thuộc K mà x1 < x2 

thì 

( 1 ) < ( 2 ) tức là x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 

) 

f x f x 

Ví dụ 1:Xét hàm số y = f ( x) = 2x 

+ 1 

Xét x x 2x 2x 2x 1 2x 1 f ( x ) f ( x ) 

< ⇒ < ⇒ + < + ⇒ < suy ra hàm số 

1 2 1 2 1 2 1 2 

( ) 2 1 

y = f x = x + là một hàm số đồng biến trên R 

+) Hàm số y f ( x) 

= nghịch biến ( giảm ) nếu với mọi cặp x1 ; x 

2 

thuộc K mà x1 < x2 

thì 

( 1 ) > ( 2 ) tức là x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 

) 

f x f x 

Ví dụ 2:Hàm số y f ( x) 7x 

2 

= = − + là một hàm số đồng biến trên R 

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. 

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy: 

a) f ( ) 

b) f ( ) 

( ) ( ) 

f x2 − f x1 

x đồng biến trên K ⇔ > 0; ∀x ; x ∈ K x ≠ x 

x − x 

2 1 

( ) ( ) 

( ) 

1 2 1 2 

f x2 − f x1 

x đồng biến trên K ⇔ < 0; ∀x ; x ∈ K x ≠ x 

x − x 

2 1 

( ) 

1 2 1 2 

c) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến 

trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải. 

2 

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số y = f ( x) 

= x − 4 trên ( −∞ ;0) 

và trên ( 0;+∞ ) 

∀x , x ∈ −∞;0 , x ≠ x ta có: 

+) ( ) 

1 2 1 2 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

f x − f x x 

2 2 1 

− 4 − x2 

− 4 x 

2 2 x x . x x 

1 

− x − + 

2 

Xét A = = = = 

x − x x − x x − x x − x 

Vậy A x1 x2 0 

1 2 1 2 1 2 

1 2 1 2 1 2 1 2 

= + < (vì x , x ∈( −∞ ;0) 

). Vậy hàm số y = f ( x) 

nghịch biến trên ( −∞ ;0) 

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

1 2 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Đóng góp FULL TEXT bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial








∀x , x ∈ 0; +∞ , x ≠ x 

+) ( ) 

1 2 1 2 

f x − f x x 

2 2 1 

− 4 − x2 

− 4 x 

2 2 x x . x x 

1 

− x − + 

2 

Xét A = = = = 

x − x x − x x − x x − x 

Vậy A x1 x2 0 

Trang4 

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 

1 2 1 2 1 2 

1 2 1 2 1 2 1 2 

= + > (vì x , x ∈ ( 0; +∞ ) ). Vậy hàm số y = f ( x) 

nghịch biến trên ( 0;+∞ ) 

1 2 

ĐỊNH LÝ: Cho hàm số y = f ( x) 

có đạo hàm trên K. 

a) Nếu f ( x ) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K. 

b) Nếu f '( x ) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x ) nghịch trên K. 

Tóm lại xét trên K : f '( x) > 0 ⇒ f ( x) 

đồng biến; f '( x) 0 f ( x) 

Chú ý:Nếu f '( x) = 0( ∀x ∈ K ) thì y f ( x) 

Ghi nhớ công thức đạo hàm tại điểm x x0 

định lý trên. 

Ví dụ 1: Hàm số y = 5 là hàm hằng trên R 

2. Phương pháp giải 

< ⇒ nghịch biến. 

= là hàm số không đổi trên K. 

= là: f '( x ) 

0 

( ) − ( ) 

f x f x 

= lim 

x→x0 

x − x 

0 

0 

để chứng minh 

Ta sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số theo các bước sau: 

Bước 1: Tìm tập xác định. 

Bước 2: Tính đạo hàm f '( x) x ( i 1, 2,3..., n) 

xác định. 

i 

= mà tại điểm đó đạo hàm bằng 0 hoặc không 

Bước 3: Sắp xếp các điểm x 

i 

theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 

4 

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = 2x 

+ 1 

Lời giải 

TXĐ: D = R 

Ta có: y ' = 8x 

Bảng biến thiên 

3 

x −∞ 0 +∞ 

y’ − 0 + 

y +∞ 

Vậy hàm số y 

4 

= 2x 

+ 1 nghịch biến trên khoảng ( ;0) 

1 

+∞ 

−∞ , đồng biến trên khoảng ( 0;+∞ ) 

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y 2sin x 1 

Lời giải: 

⎡ π 

⎢ 

x = 

2 

Ta có: y ' = 2cos x = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ 3π 

x = 

⎢⎣ 2 


Trang5 

x 

( Do xét x ( 0;2π 

) 

= + trên khoảng ( 0;2π ) 

∈ ) 

π 3π 

0 2 

2 

y’ + 0 − + 

y 

1 

3 

⎛ π ⎞ 

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ và ⎛ 3 π ⎞ 

⎜ ;2 π ⎟ 

⎝ 2 ⎠ nghịch biến trên khoảng ⎛ π 3π 

⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

Chú ý: Ta có định lý mở rộng sau đây: 

Giả sử hàm số y = f ( x) 

có đạo hàm trên K . Nếu ( ) ( ( ) ) 

( ) 

− 1 

2π 

1 

f ' x ≥ 0 f ' x ≤ 0 , ∀x ∈ K và 

f ' x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến ) trên K. 

3 2 

Ví dụ 3:Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = x + 3x + 3x 

− 4 trên R 

Lời giải: 

2 

Ta có: ( ) 2 

y = 3x + 6x + 3 = 3 x + 1 ≥ 0 ∀x 

∈ R 

Mặt khác y ' = 0 chỉ tại điểm x = − 1 nên hàm số đồng biến trên R 

x −∞ 1 +∞ 

y’ + 0 + 

y 

−∞ 

− 5 

Chú ý: Các em có thể lập bảng biến thiên để xét dấu y’. 

+∞ 

m n q 

Để xét dấu cho biểu thức g ( x) ( x a) ( x b) ( x c) 

= − − − ta làm như sau: 

Bước 1: Tìm tất cả các nghiệm của g ( x ) và sắp xếp theo thứ tự tăng dần và điền vào trục số 














Bước 2: Cho x → +∞ để xác định dấu của g ( x ) khi x → +∞ . 

Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại. 

Ghi nhớ: Qua nghiệm bội lẻ thì g ( x ) đổi dấu còn qua nghiệm bội chẵn thì g ( x ) không đổi 

dấu ( chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu). 

Ví dụ 4: Xét dấu của biểu thức f ( x) = ( x −1) ( x − 2 ) .( x − 4 ).( x − 5) 

Trang6 

2 3 4 

Bước 1: Ta thấy nghiệm của biểu thức trên là 1;2;4;5 sắp xép theo thứ tự tăng dần trên trục 

số 

Bước 2: Khi x → +∞ ta thấy f ( x ) > 0 

Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại. Do( x − 5) 4 

mũ chẵn nên qua 5 biểu thức 

không đổi dấu, do ( x − 4) 1 

mũ lẻ nên qua 4 biểu thức đổi dấu. 

Ta được bảng xét dấu f ( x ) như sau: 

x −∞ 1 2 45 +∞ 

y’ + 0 + 0 − 0 + 0 + 

Ví dụ 5:Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = f ( x) 

biết rằng f ( ) 

2 3 4 

định và liên tục trên R và f '( x) = ( x −1) ( x − 2) ( x − 4)( x − 5) 

Lời giải: 

Lập bảng xét dấu cho f '( x ) : 

x −∞ 1 2 45 +∞ 

y’ + 0 + 0 − 0 + 0 + 

x xác 

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;2) 

và ( 4;+∞ ) và hàm 

số đã cho nghịch biến trên khoảng (2;4) 

2 

2x 

− 8x 

+ 11 

Ví dụ 6: Hàm số y = 

2 

x − 4x 

+ 5 

−∞ ;2 

A. Nghịch biến trên khoảng ( ) 

B.Đồng biến trên khoảng ( −∞ ;2) 

và nghịch biến trên ( 2;+∞ ) 

C. Đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) 

D.Nghịch biến trên R \{ 2} 

Lời giải: 

Ngoài phương pháp sừ dụng bàng biến thiên hoặc xét dấu cho y ', các bạn có thê sử dụng 

CASIO cho ví dụ trên bằng cách như sau: 

Sử dụng máy tính Casio kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến 

Bước 1: Nhập hàm số gán x = X ( nhấn SHIFT- Dấu tích phân ). 

⎛ 

2 

d 2X − 8X 

+ 11 

⎜ 2 ⎟ 

dx X − 4X 

+ 5 

⎝ 

Trang7 

⎞ 

⎠ x = X 

Bước 2: Thay các giá trị trong khoảng cân chọn vào ( Ấn CALC nhập X = 3). 

CALC 3= ta được kết quả ( ( )) 

CALC 1 =ta được kết quả ( ( )) 

−1 

2 y ' 3 < 0 hàm số nghịch biến ). 

1 

2 

y ' 3 > 0 hàm số đồng biến ). 

Dựa vào kết quả trên suy ra B là đáp án đúng. 

R \ 2 . Trong chương trình toán THPT chúng ta chỉ 

Chú ý: Không viết hàm số nghịch biến trên { } 

học khái niệm hàm số đồng biến trên một khoảng, một đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn. 

II. VÍ DỤ MINH HỌA 

Ví dụ 1:Cho hàm số ( ) 

f x có f '( x) 0( x ) 

thuộc R . Khẳng định nào sau đây là đúng. 

≤ ∀ ∈ R và f '( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm 

( ) − ( ) 

f x f x 

A.Với mọi x1; 

x2 

∈R và x 1 

≠ x 2 

ta có: 

x − x 

1 2 

1 2 

( ) − ( ) 

f x f x 

B. Với mọi x1; 

x2 

∈R và x1 ≠ x2 

ta có: 

x − x 

1 2 

1 2 

< 0 

> 0 

( 1) − ( 2 ) 

( ) − ( ) 

f x f x 

C.Với mọi x1; 

x2 

∈R và x1 < x2 < x3 

ta có: 

f x f x 

2 3 

( 1) − ( 2 ) 

( ) − ( ) 

f x f x 

D. Với mọi x1; 

x2 

∈R x 1 

> x 2 

> x 3 

ta có: 

f x f x 

Lời giải: 

Hàm số ( ) 

f x có f '( x) ≤ 0( ∀x 

∈ R ) và ( ) 

2 3 

< 0 

< 0 

f ' x = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc R nên 

hàm số đã cho nghịch biến trên R suy ra với mọi x1; 

x2 

∈R và x1 ≠ x2 

ta có: 














( ) − ( ) 

f x f x 

1 2 

x − x 

1 2 

Với x1 x2 x3 

Trang8 

< 0 

< < ta có f ( x ) f ( x ) f ( x ) 

Với x1 x2 x3 

Chọn A . 

1 2 3 

> > ta có f ( x ) f ( x ) f ( x ) 

( 1) − ( 2 ) 

( ) − ( ) 

f x f x 

< < ⇒ > 0 

f x f x 

1 2 3 

2 3 

( 1) − ( 2 ) 

( ) − ( ) 

f x f x 

> > ⇒ > 0 

f x f x 

2 3 

3 2 

x x 

Ví dụ 2:Cho hàm số y = − − 2x 

+ 2 . Tìm khẳng định đúng. 

3 2 

−∞ ; +∞ 

m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 

A. Hàm số đồng biến trên R . 

B. Hàm số nghịch biến trên R 

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; − 1) 

và ( 2;+∞ ) 

D.Hàm số đồng biến trên ( − 1;2 ) 

Lời giải: 

Ta có: y ' x 2 x 2 ( x 1)( x 2) 

= − − = + − . Xét dấu cho y ' . 

x −∞ 1 2 +∞ 

y ' + 0 − 0 + 

Như vậy dễ thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; − 1) 

và ( 2;+∞ ) 

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − 1; 2 ). 

Chọn C. 

Ví dụ 3:[Trích đề thi THPT QG 2017] Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo 

hàm như sau 

x −∞ 2 0 2 +∞ 

y ' + 0 − || − 0 + 

Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 2;0) 

B. Hàm số đồng biến trên( −∞ ;0) 

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 0;2 ) 

D.Hàm số nghịch biến trên ( −∞; − 2) 

Lời giải 

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( − 2;0) 

;( 0;2 ) và đồng biến trên trcn các khoảng ( −∞; − 2) 

2;+∞ . 

và ( ) 

Chọn C. 

2 

Ví dụ 4:Cho hàm số y = 4x − x Khẳng định nào dưới đây là đúng? 



C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 0;2 ) và nghịch biến trên khoảng ( 2;4 ) 

D.Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;2 ) và đồng biến trên các khoảng ( 2;4 ) 

Lời giải: 

TXĐ: D = [ ] 

Do y ' 0 0 x 2 

Trang9 

4 − 2x 

0;4 . Ta có y ' = 

2 4x 

− x 

> ⇔ < < nên hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 

Do y ' 0 2 x 4 

Chọn C. 

2 

0;2 . 

2;4 . 

< ⇔ < < nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 

3 2 

Ví dụ 5:Cho hàm số y = x − 6x + 12x 

+ 1 . Khẳng định nào dưới đây là đúng? 



C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;2) 

và nghịch biến trên khoảng ( 2;+∞ ) 

D.Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;2) 

và đồng biến trên các khoảng ( 2;+∞ ) 

Lời giải 

2 

Ta có: ' 3 12 12 3( 2) 2 

y = x − x + = x − ∀x 

∈ R nên số đồng biến trên R 

Ví dụ 6:Cho hàm số y = − 2x 

− 1 Khẳng định nào sau đây là sai: 

A. Hàm số đã cho có đạo hàm là y ' = 

4x 

− 2 

2 

4x 

− 4x 

+ 1 


. 













⎛ 1 ⎞ 

B. Hàm số nghịch biến trênkhoảng ⎜ −∞; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ và đồng biến trên khoảng ⎛ 1 ⎞ 

⎜ ; +∞ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên R 

1 

D.Hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm x = 

2 

Lời giải: 

Ta có: y ' = 2x − 1 = 

2 

4x − 4x + 1 ⇒ y ' = 

8x 

− 4 

= 

4x 

− 2 

. 

2 

2 4x − 4x + 1 

2 

4x − 4x 

+ 1 

1 

Do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm x = . 

2 

⎛ 1 ⎞ 

Hàm sổ nghịch biến trên khoảng ⎜ −∞; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ và đồng biến trên khoảng ⎛ 1 ⎞ 

⎜ ; +∞ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

Chọn C. 

2 

Ví dụ 7 :[Trích đề thi THPTQG 2017] Cho hàm số y = 2x 

+ 1 . Mệnh đề nào dưới 

đây đúng? 

A. Hàm số nghịch biến trong khoảng ( − 1;1) 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng( 0;+∞ ) 

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên ( −∞ ;0) 

D.Hàm số nghịch biến trong khoảng ( 0;+∞ ) 

Lời giải: 

2 

Ta có: y ( x ) 

Trang10 

2x 

⎧ y ' > 0 ⇔ x > 0 

' = 2 + 1 ' = ⇒ ⎨ 

2 

2x 

+ 1 ⎩ y ' < 0 ⇔ x < 0 

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;0) 

, đồng biến trên khoảng ( 0;+∞ ) 

Chọn B. 

Ví dụ 8:Hàm số y = 2x sin 2x 

đồng biến trên khoảng nào: 

Lời giải: 

A.( −∞ ;0) 

B.( 0;+∞ ) C.( −∞ ; +∞ ) D.( −∞ ; + 1) 

Ta có: y ' 2 2cos 2x 2( 1 cos 2x) 0( x ) 

= + = + ≥ ∀ ∈ R . 

Do dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm do vậy hàm số đã cho đồng biến trên R 

Chọn C. 

Câu 9:Cho hàm số y = f ( x) 

liên tục và xác định trên R biết 

Trang11 

( ) ( ) ( ) 

2 2 2 4 

'( ) 1 2 5 

f x = x x − x + x − Khẳng định nào sau đây là đúng. 



C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − 2;0) 

và nghịch biến trên khoảng ( 1;5 ) 

D.Tất cả các ý trên sai 

Lời giải: 

2 

Ta có: f '( x) x ( x 1) 2 ( x 2) 2 ( x 5) 4 

0( x ) 

= − + − ≥ ∀ ∈ R . 

Đau bằng xảy ra chi tại x = 0; x = 1; x = − 2; x = 5 nên hàm số đã cho đồng biến trên R . 

Chọn A. 

Câu 10: Cho hàm số y f ( x) 

( )( ) ( ) 

= liên tục và xác định trên R biết 

2 5 

f '( x) = 1− x 2 − x x + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng. 



C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − 1;1) 

và nghịch biến trên khoảng ( −∞; − 1) 

và ( 1;+∞ ) 

D.Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( − 1;1) 

và đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) 

và ( 1;+∞ ) 

Lời giải: 

Tập xác định: D = R . Lập bảng xét dấu của y ' : 

x −∞ − 1 1 2 +∞ 

y ' − 0 + 0 − 0 − 

Dựa vào bảng xét dấu ta có: Hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;1) 

các khoảng ( −∞; − 1) 

và ( 1;+∞ ) 

Chọn C. 

Ví dụ 11: Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên R . 

x 

A. y = B. y = 

x + 1 

Lời giải: 

x 

2 

x + 1 

2 

C. ( ) 2 

− và nghịch biến trên 

y − x −1 − 3x 

+ 2 D. y = tan x 

x 

Các hàm số y = và y = tan x không xác định trên R nên ta loại đáp án A và D. 

x + 1 














Ví dụ 12: Hàm số nào sau đây đồng biến trên R ? 

4 2 

x −1 

3 

A. y = x − 2x 

− 5 B. y = − x + 1 C. y = D. y = x + 3x 

− 1 

x + 1 

Lời giải 

Hàm số: 

Trang12 

3 

y x x 

đồng biến trên R 

Chọn D 

= + 3 − 1 có tập xác định là R và có y 

2 

Ví dụ 13: Hàm số y = x + 1− 2 x + 3x 

+ 3 : 

A. Đồng biến trên ( − 1; +∞ ) và nghịch biến trên ( −∞; − 1) 

B. Đồng biến trên ( 1;+∞ ) và nghịch biến trên ( −∞ ;1) 

C. Đồng biến trên ( −∞; − 1) 

và nghịch biến trên ( − 1; +∞ ) 

D. Đồng biến trên ( −∞; − 2) 


Lời giải 

( ) 

2 

2x 

+ 3 x + 3x + 3 − 2x 

+ 3 

Ta có: y ' = 1− = 

2 2 

x + 3x + 3 x + 3x 

+ 3 

Xét 

2 

x x x ⎨ 2 

x 

⎪ 2 2 

x + 3x + 3 = 4x + 12x 

+ 9 

2 

' 3x 

3 0 

⎧ −3 

⎪x 

≥ 

+ 3 + 3 = 2 + 3 ⇔ ⇔ = −1 

⎩ 

= + > ( x ) 

∀ ∈ R nên hàm số 

Nhận thấy với x > − 1 thì y ' < 0 và x < − 1 thì y ' > 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên 

( −∞; − 1) 


Chọn C 

3 

Ví dụ 14: Hàm số y = x + x − cos x − 4 

A. Đồng biến trên R 

B. Nghịch biến trên R 

C. Đồng biến trên ( −∞; − 1) 


D. Đồng biến trên ( 0;+∞ ) và nghịch biến trên ( −∞ ;0) 

Lời giải 

Ta có y ' 3x 2 1 sinx=3x 2 

( 1 sinx) 0( x ) 

= + + + + ≥ ∀ ∈R nên hàm số đồng biến trên R 

Chọn A 

Ví dụ 15: Hàm số y = cos 2x − 2x 

+ 3 



C. Đồng biến trên ( −∞ ;0) 

và nghịch biến trên ( 0;+∞ ) 

D. Đồng biến trên ( 0;+∞ ) và nghịch biến trên ( −∞ ;0) 

Lời giải 

Ta có: y x ( x) 

Trang13 

' = −2sin 2 − 2 = − 2 1+ sin 2 ≤ 0 ∀x 

∈ R . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm nên 

hàm số đã cho nghịch biến trên R 

Chọn B 

2x 

−1 

Ví dụ 16: Cho hàm số y = . Hàm số đã cho: 

( x −1) 2 

A. Đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;0) 

và ( 1;+∞ ) và nghịch biến trên khoảng ( 0,1 ) 

B. Đồng biến trên khoảng ( 0;1 ) và nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ;0) 

và ( 1;+∞ ) 

C. Đồng biến trên khoảng ( −∞ ;0) 


D. Đồng biến trên khoảng ( 1;+∞ ) và nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;0) 

Lời giải 

Ta có TXĐ: \{ 1} 

D = R và y ' = 

−2x 

( x −1) 3 

⎡x 

< 0 

Lập bảng xét dấu ta có: y ' > 0 ⇔ 0 < x < 1, y ' < 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

> 1 

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;1 ) và nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ;0) 

và ( 1;+∞ ) 

Chọn B 

Ví dụ 17: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( ;0) 

3 2 

4 

A. y = − x + 3x 

+ 1 B. y = − x + 1 

3 2 

4 2 

C. y = x − 3x 

+ 4 D. y = −x − x + 2 

Lời giải 

3 2 

Hàm số y = − x + 3x 

+ 1 và y x x 

−∞ là: 

4 2 

= − − + 2 nghịch biến trên ( −∞ ;0) 














3 2 

Hàm số y x 3x 

4 

Chọn C 

Trang14 

= − + đồng biến trên khoảng ( −∞ ;0) 

Ví dụ 18: Hàm số nào sau đây không đơn điệu trên R 

3 2 

A. y = − x + 6x − 12x 

+ 3 

B. y = x + sin x 

3 

4 

x 

C. y = 2x 

+ 1 D. y = + 2x − sin 2x 

+ 1 

3 

Lời giải 

Từ 

3 2 

y x x x 

= − + 6 − 12 + 3 suy ra y ' = − 3x 2 + 12x − 12 = −3( x − 2) 2 

≤ 0 ∀x 

∈ R nên hàm số 

nghịch biến trên R 

Hàm số y = x + sin x có y ' = 1+ cos x ≥ 0 ∀x 

∈ R nên hàm số đồng biến trên R 

Hàm số 

3 

x 

y 2x sin 2x 

1 

3 

' = + 2 + 2cos 2 = + 2 1+ cos 2 ≥ 0 ∀x 

∈ R nên 

= + − + có y x 2 x x 2 

( x) 

hàm số đồng biến trên R 

4 

3 

Hàm số y = 2x 

+ 1 có y ' = 8x < 0 ⇔ x < 0 và y ' > 0 ⇔ x > 0 do đó hàm số này không đơn 

điệu trên R 

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

1 4 3 

Câu 1:Hàm số y = x + x − x + 5 đồng biến trên: 

2 

A.( −∞; − 1) 

và 

⎛ 1 ⎞ 

C. ⎜ −1; 

− ⎟ 

2 

⎝ ⎠ và ( ) 

⎛ 1 ⎞ 

⎜ ;2 ⎟ B.( ) 

⎝ 2 ⎠ ; 1 

−∞ − và ( 2;+∞ ) 

2;+∞ D. ⎛ 1 ⎞ 

⎜ ; +∞ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

− x + 2x 

− 4 

Câu 2: Hàm số y = 

đồng biến trên: 

x − 2 

A.( 0;2 ) và ( 2;4 ) 

B.( 0;2) 

và ( 4;+∞ ) 

C.( −∞ ;0) 

và ( ) 

4;+∞ D.( ;0) 

x + 1 

Câu 3: Cho hàm số y = . Phát biểu nào sau đây đúng? 

1 − x 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;1) 

B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −∞ ;1) 

và ( 1;+∞ ) 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞;1) 

∪ ( 1;+∞ ) 

−∞ và ( 2;4 ) 

D. Cả hai câu A và B đều đúng 

x 

Câu 4: Cho hàm số y = 

Trang15 

2 

− 2x 

+ 1 

. Phát biểu nào sau đây đúng? 

x − 2 

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 1;2 ) và ( 2;3 ) 

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 1;3 ) 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1;2 ) ∪ ( 2;3 ) 

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ;1) 

và ( 3;+∞ ) 

2 3 

Câu 5: Cho hàm số y = 3x − x . Phát biểu nào sau đây sai? 

A. Hàm số nghịc biến trên các khoảng ( −∞ ;0) 

và ( 2;3 ) 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;2 ) 

C. Hàm số nghịc biến trên khoảng ( −∞ ;2) 

và ( 2;3 ) 

D. Cả hai câu A và B đều kết luận đúng 

Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) 

xác định trên khoảng K . Điều kiện đủ để hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên K là: 

f ' x > 0 tại hữu hạn điểm thuộc khoảng K 

A. ( ) 

f ' x ≥ 0 với mọi x ∈ K 

B. ( ) 

f ' x > 0 với mọi x ∈ K 

C. ( ) 

f ' x ≤ 0 với mọi x ∈ K 

D. ( ) 

Câu 7: Hàm số y = 1− 

x 

2 

A. Nghịch biến trên đoạn [ 0;1 ] 

B. Nghịch biến trên khoảng ( −∞ ; +∞ ) 

C. Đồng biến trên đoạn [ 0;1 ] 

D. Đồng biến trên khoảng ( −∞ ; +∞ ) 


xác định trên đoạn [ ; ] 

trên đoạn [ ; ] 

a b là: 

A. f ( x ) liên tục trên ( a; 

b ) và f '( x ) > 0 với mọi x ∈ [ a; 

b] 

B. f '( x) 

≥ 0 với mọi x ∈ [ a; 

b] 

C. f ( x ) liên tục trên [ a; 

b ] và f '( x ) < 0 với mọi x ∈ ( a; 

b) 

a b . Điều kiện đủ để hàm số nghịch biến 














D. f '( x) 

≤ 0 với mọi x ∈ [ a; 

b] 

4 2 

Câu 9: Cho hàm số y = x − 2x 

− 5 . Kết luận nào sau đây đúng? 

A. Hàm số đồng biến với mọi x 

B. Hàm số nghịch biến với mọi x 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞; − 1) 

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 1;0 ) và ( 1;+∞ ) 

4 

Câu 10: Cho hàm số y = x + . Kết luận nào sau đây là đúng? 

x 

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −∞ ;2) 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;+∞ ) 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 2;2) 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − 2;2) 

2 

Câu 11: Hàm số y = 2 + x − x nghịch biến trên khoảng 

⎛ 1 ⎞ 

A. ⎜ ;2 ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

Trang16 

⎛ 1 ⎞ 

B. ⎜ −1; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

2 

x − x + 1 

Câu 12: Cho hàm số y = . Kết luận nào sau đây sai? 

x −1 

A. Hàm số có 2 khoảng đồng biến 

B. Hàm số có 2 khoảng nghịch biến 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞ ;0) 

và ( 2;+∞ ) 

D. Hàm số có 3 điểm tới hạn 

Câu 13: Hàm số nào đồng biến trên ( 1;+∞ ) ? 

1 3 2 

A. y = x − x − 3x 

+ 1 B. y = x − 1 

3 

C.( 2;+∞ ) 

D.( − 1;2 ) 

4 2 

3 2 

C. y = − x + 2x 

+ 1 

D. y = − x + 3x + 3x 

+ 1 

Câu 14: Hàm số nào nghịch biến trên ( 1;3 ) ? 

1 2 

2x 

− 5 

A. y = x − 2x 

+ 3 

B. y = 

2 

x −1 

2 

2 3 2 

x + x −1 

C. y = x − 4x + 6x 

+ 9 

D. y = 

3 

x −1 

Câu 15: Hàm số có chiều biến thiên khác với chiều biến thiên của các hàm số còn lại là 

A. f ( x) 

= B. ( ) 

+ 

Trang17 

x − 2 

x 2 

3 

C. f ( x) 

= x + x − cos x − 4 

D. f ( x) 

3 2 

f x x x x 

= − 6 + 17 + 4 

= 

2 3 

x + 1 

2 

−x 

− x + 

Câu 16: Hàm số nào sau đây không cùng chiều biến thiên trên R ? 

3 

A. f ( x) 

= x − x − cos x − 4 

B. f ( x) = sin 2x + 2x 

− 3 

3 

C. f ( x) 

= x + x − cos x − 4 

D. f ( x) = cos 2x − 2x 

+ 3 

Câu 17: Hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên khoảng ( ; ) 

A. Hàm số y = f ( x + 1) 

đồng biến trên ( a; 

b ) 

B. Hàm số y = − f ( x) − 1 nghịch biến trên ( a; 

b ) 

C. Hàm số y = − f ( x) 

nghịch biến trên trên ( a; 

b ) 

D. Hàm số y = f ( x) + 1 đồng biến trên ( a; 

b ) 

a b . Mệnh đề nào sau đây sai? 

3 


. Nhận định nào dưới đây là Đúng? 

A. Tập xác định D = ⎡ 3;0⎤ ⎡ 

⎣ 

− 

⎦ 

∪ 

⎣ 

3; +∞) 

B. Hàm số nghịch biến trên ( − 1;1) 

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( − 1;0 ) và ( 0;1 ) 

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; − 3) 

và ( 3;+∞ ) 

5 4 3 

Câu 19: Hàm số y = 6x − 15x + 10x 

− 22 



C. Đồng biến trên khoảng ( −∞ ;0) 


D. Nghịch biến trên khoảng ( 0;1 ) 

2 

Câu 20: Cho hàm số sau: y = − x + x + 8 chọn câu phát biểu đúng nhất: 

A. Hàm số đồng biến trên R 


C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − 8; +∞ ) 

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 8; +∞ ) 














2 

Câu 21: Cho hàm số y = x − 9 . kết luận sau về khoảng đơn điệu là: 

A. Hàm số đồng biến trên ( 3;+∞ ) 

B. Hàm số nghịch biến trên ( 3;+∞ ) 

C. Hàm số nghịch biến trên ( −∞; − 3) 

D. Hàm số đồng biến trên ( 4;8 ) 

3 2 

Câu 22: Cho hàm số y = − x + 3x − 3x 

+ 1 , mệnh đề nào sau đây là đúng: 

A. Hàm số luôn nghịch biến B. Hàm số luôn đồng biến 

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 1 

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 

2x 

− 4 

Câu 23: Trong các khẳng định sau về hàm số y = , hãy tìm khẳng định đúng? 

x −1 

A. Hàm số có một điểm cực trị 

B. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu 

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định 

D. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 

Câu 24: Hàm số y = 25 − x 

A. Đồng biến trên khoảng ( − 5;0) 

và ( 0;5 ) 

Trang18 

? 

B. Đồng biến trên khoảng ( − 5;0) 

và nghịch biến trên khoảng ( 0;5 ) 

C. Nghịch biến trên khoảng ( − 5;0) 

và đồng biến trên khoảng ( 0;5 ) 

D. Nghịch biến trên khoảng ( − 6;6) 

x 


x 

2 

2 

− x − 3 

+ x + 7 

A. Đồng biến trên khoảng ( − 5;0) 

và ( 0;5 ) B. Đồng biến trên khoảng ( − 1;0 ) và ( 1;+∞ ) 

C. Nghịch biến trên khoảng ( − 5;1) 

D. Nghịch biến trên khoảng ( − 6;1) 

x + 1 

Câu 26: Cho hàm số y = . Hãy tìm khẳng định đúng: 

x − 1 

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; − 1) 

và ( − 1; +∞ ) 

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; − 1) 

và ( − 1; +∞ ) 

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ;1) 

và ( 1;+∞ ) 

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;1) 

và ( 1;+∞ ) 

2x 

+ 7 


x + 2 

có đồ thị ( ) 

C . Hãy tìm mệnh đề sai: 

A. Hàm số luôn nghịch biến trên R 

B. Hàm số có tập xác định là D = R \{ −2} 

7 

C. Đồ thị cắt trục hoành tại điểm A ⎛ 

⎜ 

− ⎞ ;0 ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

D. Có đạo hàm y ' = 

Trang19 

−3 

( x + 2) 2 

4 2 


+ 3 . Tìm khẳng định đúng. 

A. Nghịch biến trên các khoảng ( −∞; − 1) 

và ( 0;1 ) 

B. Đồng biến trên các khoảng ( −∞; − 1) 

và ( 0;1 ) 

C. Nghịch biến trên các khoảng ( − 1;0 ) và ( 1;+∞ ) 

D. Nghịch biến trên R 

2x 

− 5 

Câu 29: Hàm số y = đồng biến trên: 

x + 3 

A.( − 3; +∞ ) B. R C.( ;3) 

2 

x − 2x 


1− 

x 

A. Nghịch biến trên các khoảng ( −∞ ;1) 

và ( 1;+∞ ) 

B. Đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;1) 

và ( 1;+∞ ) 

C. Nghịch biến trên R 

D. Đồng biến trên R 

x 


2 

x + 1 

A. Nghịch biến trên các khoảng ( −∞; − 1) 

và ( 1;+∞ ) 

B. Đồng biến trên các khoảng ( −∞; − 1) 

và ( 1;+∞ ) 

C. Nghịch biến trên ( − 1;1) 

D. Đồng biến trên R 

−∞ D. R \{ 3} 

Câu 32: Cho các hàm số y = f ( x) ; y = g ( x) 

là các hàm số dương trên ( a; 

b ) , ( ) 

trên ( a; 

b ) . Khi đó, hàm số nào sau đây đồng biến trên ( ; ) 


a b ? 

f ' x > 0 













A. f ( x) g ( x ) B. 

Trang20 

f 

( x) 

( ) 

g x 

( ) 

( ) 

g x 

C. 

f x 

D. f ( x) + g ( x) 

Câu 33: Cho các hàm số y = f ( x) ; y = g ( x) 

là các hàm số dương trên ( a; 

b ) , ( ) 

trên ( a; 

b ) , g '( x ) > 0 trên ( a; 

b ) . Khi đó, hàm số nào sau đây đồng biến trên ( ; ) 

A. f ( x) g ( x ) B. 

f 

( x) 

( ) 

g x 

( ) 

( ) 

g x 

C. 

f x 

x 

Câu 34: Cho hàm số y = . Tìm câu đúng trong các câu sau 

2 

x + 1 

A. Hàm số đồng biến trên ( − 1;1) 

và nghịch biến trên ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) 

B. Hàm số nghịch biến trên ( − 1;1) 

C. Hàm số đồng biến trên ( −∞; − 1) 

và ( 1;+∞ ) 

D. Hàm số đồng biến trên ( − 1;1) 

, nghịch biến trên ( −∞; − 1) 

và ( 1;+∞ ) 

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 

a b ? 

f ' x > 0 

D. f ( x) − g ( x) 

01.D 02.A 03.D 04.A 05.C 06.C 07.A 08.C 09.D 10.B 

11.A 12.C 13.B 14.C 15.D 16.A 17.A 18.A 19.A 20.B 

21.B 22.B 23.C 24.B 25.C 26.C 27.A 28.A 29.A 30.A 

31.A 32.B 33.A 34.D 

TÍNH DÒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 

(Phần 2-3) 

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHẤP GIẢI 

TÍNH DƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ 

1. Lý thuyết trọng tâm. 

Dấu của tam thức bậc 2:Xét tam thức bậc 2: y ax 2 bx c( a 0) 

2 ⎧a 

> 0 

+) y 0( x ) ax bx c 0( x ) 

≥ ∀ ∈R ⇔ + + ≥ ∀ ∈R ⇔ ⎨ . 

⎩ ∆ ≤ 0 

2 ⎧a 

> 0 

+) y 0( x ) ax bx c 0( x ) 

≥ ∀ ∈R ⇔ + + ≥ ∀ ∈R ⇔ ⎨ . 

⎩ ∆ ≤ 0 

= + + ≠ ta đã biết. 

Kiến thức về bất phương trình: 

Ta có: bất phương trình: m f ( x) 

x D m Max f ( x) 

Trang21 

≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ . 

Bất phương trình: m ≤ f ( x) ∀x ∈ D ⇔ m ≤ Min f ( x). 

Kiên thức lượng giác: 

+) Ta có: −1 ≤ cos u( x);sin u( x) ≤ 1; Do đó − a ≤ asin u ≤ a ; − a ≤ a cosu ≤ a . 

2 2 2 2 

+) − a + b ≤ a sin x + bcos 

x ≤ a + b hay 

2. Phương pháp giải. 

Đối với hàm số bậc 3 chứa tham số m. 

3 2 

Xét hàm số y = ax + bx + cx + d( a ≠ 0) ta có: 

D 

D 

asin 

x + bcos 

x ≤ a + b 

2 2 

⎧⎪ 3a 

> 0 

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ + + ≥ ∀ ∈ ⇔ ⎨ ∆ ≤ ⎪⎩ 

2 

Hàm số đồng biến trên R y ' 0( x R) 3ax 2bx c 0( x R ) 

Hàm số nghịch biến biến trên 

2 

⎧⎪ 3a 

< 0 

R ⇔ y ' ≤ 0( ∀x ∈ R) ⇔ 3ax + 2bx + c ≤ 0( ∀x 

∈R 

) ⇔ ⎨ ∆ ≤ ⎪⎩ 

Hàm số đồng biến trên D y ' 0( x D) 

⇔ ≥ ∀ ∈ . 

Hàm số nghịch biến trên D y ' 0( x D) 

⇔ ≤ ∀ ∈ . 

' ' 0 

y 

Chú ý: Trong trường hợp hệ số a chứa tham số m ta cần xét hệ số a = 0 trước. 

ax + b 

Đối với hàm số phân thức y = 

cx + d 

. 

Ta có: y = ax + b ⇒ y ' = 

ad − bc . 

cx + d cx + d 

( ) 2 

Nếu ad = bc thì hàm số đã cho là hàm hằng. Do đó: 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó ⇔ ad − bc > 0 . 

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó ⇔ ad − bc < 0. 

⎧ad 

− bc > 0 

⎪ 

D = i j ⇔ y > ∀x ∈ i j ⇔ ⎨ d 

⎪ − ∉ ( i; 

j) 

⎩ c 

Hàm số đồng biến trong miền ( ; ) ' 0 ( ; ) 

⎧ad 

− bc < 0 

⎪ 

D = i j ⇔ y < ∀x ∈ i j ⇔ ⎨ d 

⎪ − ∉ ( i; 

j) 

⎩ c 

Hàm số nghịch biến trên miền ( ; ) ' 0 ( ; ) 


' ' 0 

y 













a. u( x) 

+ b ad − bc ' 

Chú ý: Với hàm số hợp : y = ⇒ y ' = 

. u 

2 

( x) 

. 

c. u( x) + d ⎡⎣ 

c. 

u ( x) 

+ d ⎤⎦ 

II. VÍ DỤ MINH HOẠ 

PHẦN 1: HÀM SỐ BẬC BA CHÚA THAM SỐ 

1 3 2 

Ví dụ 1: Hàm số y = x + ( m + 1) x − ( m + 1) 

x + 1 đồng biến trên tập xác định của nó 

3 

khi và chỉ khi 

⎡m 

≥ −1 

A. − 2 < m < − 1 B. ⎢ 

⎣m 

≤ −2 

Lời giải: 

Ta có: y ' x 2 2( m 1) x ( m 1) 

Trang22 

⎡m 

> −1 

C. ⎢ 

⎣m 

< −2 

D. −2 ≤ m ≤ − 1 

= + + − + . Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu 

⎧⎪ 

a = 1 > 0 

hạn điểm) ⇔ ⎨ 2 

⇔ ( m + 1)( m + 2) 

≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ −1. 

∆ ' ' ( m 1) ( m 1) 

0 

y = + + + ≤ 

⎪⎩ 

Chọn D. 

3 

2 x 

2 

y = m − 1 + m + 1 x + 3x 

+ 5 . Đổ hàm số đồng biến trên R thì: 

3 

Ví dụ 2:Cho hàm số ( ) ( ) 

A. m ≥ 2. 

B. m ≤ − 1 

C. m ≤ − 1 hoặc m ≥ 2 

D. m = ± 1 

Lời giải: 

Ta có m = −1⇒ y = 3x 

+ 5 hàm số đồng biến trên R . 

2 

Với m = 1⇒ y = 2x + 3x 

+ 5 hàm số này không đồng biến trên R . 

2 2 

m ≠ ± ta có: ( ) ( ) 

Với 1 

y ' = m − 1 x + 2 m + 1 x + 3. Hàm số đồng biến trên R 

⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điểm) 

⎧ ⎡m 

> 1 

2 

⎧ a m 1 0 ⎪⎢ 

⎪ = − > ⎪⎣m < −1 ⎡m 

≥ 2 

⇔ ⎨ 2 ⇔ 

2 ⎨ ⇔ ⎢ 

⎪∆ ' ' = ( m + 1) − 3( m −1) 

≤ 0 m 2 m < −1 

⎩ 

≥ 

y 

⎪⎡ ⎣ 

⎪⎢ 

⎩⎣m 

≤ −1 

⎡m 

≥ 2 

Kết hợp các trường hợp ta có ⎢ là giá trị cần tìm . 

⎣m 

< −1 

Chọn C . 

3 2 


Trang23 

1 

y = − x + mx + 3m + 2 x + 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số 

3 

m để hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞ ; +∞ ) 

⎡m 

≥ 2 

A. ⎢ 

⎣m 

≤ −1 

Lời giải: 

Ta có: 

B. m ≤ 2 

C. −2 ≤ m ≤ 1 D. −1 ≤ m ≤ 0 

2 

y ' = − x + 2mx + 3m 

+ 2 . Hàm sổ nghịch biến trên R ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu 

⎧⎪ a = − 1 < 0 

hạn điểm) ⇔ ⎨ ⇔ −2 ≤ m ≤ −1. 

2 

⎪⎩ ∆ ' 

y ' = m + 3m 

+ 2 ≤ 0 

Chọn C. 

3 2 

Ví dụ 4: Xác định m để hàm số y = x − 2mx + 12x 

− 7 đồng biển trên R 

A. −3 ≤ m ≤ 3 B. − 3 < m < 3 C. m < 3 

D. − 1< m < 1 

Lời giải: 

2 

Ta có: y ' = 3x − 4mx 

+ 12 . Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điểm) 

⎧⎪ a = 1 > 0 

⇔ ⎨ ⇔ −3 ≤ m ≤ 3 

2 

⎪⎩ ∆ ' 

y ' = 4m 

− 36 ≤ 0 

Chọn A. 

3 2 

Ví dụ 5: Xác định m để hàm số y = − x + mx − 3x 

+ 4nghịch biển trên R 

A. −3 ≤ m ≤ 3 B. − 3 < m < 3 C. m < 3 

D. − 1< m < 1 

Lời giải: 

Ta có: 

2 

y ' = − 3x + 2mx 

− 3. Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn 

⎧⎪ a = − 3 < 0 

điểm) ⇔ ⎨ ⇔ −3 ≤ m ≤ 3 

2 

⎪⎩ ∆ ' 

y' 

= m − 9 ≤ 0 

Chọn A. 

3 2 

Ví dụ 6:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x + x − mx − 5 đồng biến trên R 

1 

1 

4 

1 

A. m < − B. m ≤ − C. m ≤ − D. m ≥ 

3 

3 

3 

3 

Lời giải 

2 

Ta có: y ' = 3x + 2x − m . Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điểm) 














⎧a 

= 3 > 0 1 

⇔ ⎨ ⇔ m ≤ − 

⎩ ∆ ' 

y' 

= 1 + 3m 

≤ 0 3 

Chọn B. 

Ví dụ 7:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( ) 

nghịch biến trên tập xác định của nó. 

Trang24 

3 2 2 

y x m x m x m 

= − + 3 −1 − 3 − 4 + 1 

1 

1 

A. m ≥ B. m ≥ 1 

C. m ≥ 0 

D. m ≥ 

2 

2 

Lời giải: 

Ta có: ' 3 6( 1) 3 3⎡ 

2( 1) 

y = − x 2 + m − x − m 2 = ⎣− x 2 + m − x − m 

2 ⎤ 

⎦ 

. Hàm số nghịch biến trên 

R ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điểm) 

⎧⎪ a = − 1 < 0 1 

⇔ ⎨ ⇔ − 2m 

+ 1≤ 0 ⇔ m ≥ 

⎪⎩ ∆ = m − − m ≤ 

Chọn A. 

2 2 

' 

y' 

( 1) 0 2 

1 

y = x + 2x + m + 1 x − 3m 

. Hàm số đã cho dồng biến trên R 

3 

3 2 


với giá trị m là: 

A. m ≥ 3 

B. m < 3 

C. m ≤ 3 

D. m > 3 

Lời giải: 

2 

Ta có: y ' = x + 4x + m + 1. Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điểm) 

⎧⎪ a = 1 > 0 

⇔ ⎨ ⇔ m ≥ 3 

⎪⎩ ∆ ' 

y' 

= 4 − ( m + 1) 

≤ 0 

Chọn A. 

y x m x mx 

3 2 

= −2 − 6 + 3 + 24 + 2 để 

Câu 9:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( ) 

nghịch biến trên R 

A. m < − 9 

B. − 9 < m < − 1 C. m ≥ − 9 

D. −9 ≤ m ≤ − 1 

Lời giải: 

2 2 

Ta có: ( ) ⎡ ( ) 

y ' = −6x − 12 m + 3 x + 24m = 6 ⎣−x − 2 m + 3 x + 4m⎤ 

⎦ 


R ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điểm) 

⎧⎪ a = − 1< 

0 

2 

⇔ ⎨ ⇔ m + 10m + 9 ≤ 0 ⇔ −9 ≤ m ≤ −1 

2 

⎪⎩ ∆ ' 

y' 

= ( m + 3) + 4m 

≤ 0 

Chọn D. 

3 2 

Câu 10:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( ) 

nghịch biến trên tập xác định của nó. 

Trang25 

1 

y = − x + 2x + 2m + 1 x − 3m 

+ 2 

3 

5 

5 

5 

A. m ≤ 0 

B. m ≥ C. m < − D. m ≤ − 

2 

2 

2 

Lời giải: 

Ta có: 

điểm) 

2 

y ' = − x + 4 x + (2m 

+ 1) . Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn 

⎧a 

= − 1< 

0 5 

⇔ ⎨ ⇔ m ≤ − 

⎩ ∆ ' 

y' 

= 4 + 2m 

+ 1 ≤ 0 2 

Chọn D. 

3 2 2 

y x m x m x m 

Câu 11:T ìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( ) 

đồng biến trên tập xác định của nó. 

= − 3 − 2 + 3 − 4 + 1 

A. m < 1 

B. m ≥ 1 

C. m ≥ 0 

D. m ≤ 1 

Lời giải: 

y ' = 3x − 6 m − 2 x + 3m 

Ta có: ( ) 

2 2 

Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điểm) 

⎧⎪ a = 3 > 0 

⇔ ⎨ ⇔ − 4m 

+ 4 ≤ 0 ⇔ m ≥1 

( ) 2 2 

⎪⎩ ∆ ' 

y ' = 9 m − 2 − 9m 

≤ 0 

Chọn B. 

3 

x 2 

Ví dụ 12:Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = + mx + 4x 

+ 3 luôn tăng trên 

3 

R . 

A. − 1< m < 1 B. − 2 < m < 2 C. −1≤ m ≤ 1 D. −2 ≤ m ≤ 2 

Lời giải: 

2 

Ta có: y ' = x + 2mx 

+ 4. Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điểm) 

⎧⎪ a = 1 > 0 

⇔ ⎨ ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 

2 

⎪⎩ ∆ ' 

y' 

= m − 4 ≤ 0 

Chọn D. 

Ví dụ 13:Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 














1 ( 2) 

3 2 

2 8 

2 1 

Trang26 

( ) ( ) 

y = m + x − m + x + m − x + m − luôn nghịch biến trên R 

3 

A. − 2 < m < 1 B. m < − 2 

C. m ≤ 1 

D. m ≤ − 2 

Lời giải: 

Xét m = − 2 ta có y = − 10x 

+ 3 (hàm số này luôn nghịch biến trên R ). 

y ' = m + 2 x + 2 m + 2 x + m −8. 

Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại 

2 

Ta có: ( ) ( ) 

hữu hạn điểm) 

⎧⎪ 

m + 2 < 0 ⎧⎪ 

m < −2 

⇔ ⎨ 

⇔ 2 

2 

⎨ 

⇔ m < − 

⎪⎩ 

∆ ' = ( m + 2) − ( m + 2) ( m −8) ≤ 0 ⎪⎩ 

( m + 2)( 9 − m) 

≥ 0 

Kết hợp 2 trường hợp. 

Chọn D. 

Câu 14:Tìm các giá trị thực của tham số m đổ hàm số ( ) 

biến trên R . 

⎡m 

≥ 0 

A. m = 0 

B. − 2 < m ≤ 0 C. ⎢ 

⎣m 

≤ −2' 

Lời giải: 

Với m = 0 ⇒ y = 2x 

+ 1( hàm số luôn đồng biến trên R ). 

2 

Với m 1 y x 2x 

1 

Với m 

= − ⇒ = + + hàm số đồng biến trên ( − 1; +∞ ) 

2 

1 

= + − + 2 + 1 đồng 

3 

2 3 2 

y m m x mx x 

2 3 

+ m ≠ 0 . Ta có y ' = ( m + m) 

x − 2mx 

+ 2 hàm số đồng biến trên R . 

⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điềm ) 

3 

⎧ a = m + m > 

2 

⎧ m + m > m > 

⎪ 

0 ⎪ 0 ⎡ 0 

⇔ ⎨ ⇔ 

2 2 ⎨ ⇔ 

2 

⎢ 

∆ ' 

' 

2( ) 0 2 0 m 2 

y 

= m − m + m ≤ ⎪⎩ 

m + m ≥ ⎣ ≤ − 

⎪⎩ 

⎡m 

> 0 

Vậy ⎢ là giá trị cần tìm . 

⎣m 

≤ −2 

Chọn C. 

Câu 15: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) 

biến trên khoảng R . 

⎡m 

> 0 

D. ⎢ 

⎣m 

≤ −2' 

1 

= − + − 2 + 1nghịch 

3 

2 3 2 

y m m x mx x 

⎡ 2 

2 

2 

A. 0 ≤ m ≤ B. 0 < m ≤ C. ⎢ 

m ≥ 

3 

3 

3 

⎢ 

⎣m 

≤ 0 

Lời giải: 

Với m = 0 ⇒ y = − 2x 

+ 1( hàm số luôn nghịch biến trên R ). 

Với m 1 y ( x 1) 

Với m 

2 

= ⇒ = − hàm số nghịch biến trên ( −∞ ;1) 

2 

Trang27 

⎡ 2 

D. ⎢ 

m > 

3 

⎢ 

⎣m 

≤ 0 

2 3 

+ m ≠ 0 . Ta có y ' = ( m − m) 

x + 2mx 

− 2 hàm số nghịch biến trên R . 

⇔ y ' ≤ 0 ∀x ∈ R ( y ' = 0 tại hữu hạn điềm ) 

2 

⎧⎪ 

m − m < 0 ⎧0 < m < 1 2 

⇔ ⎨ 

⇔ 0 m 

2 2 ⎨ 

⇔ < ≤ 

2 

∆ ' = m + 2( m − m) 

≤ 0 ⎩3m − 2m 

≤ 0 3 

⎪⎩ 

2 

Vậy 0 < m ≤ là giá trị cần tìm. 

3 

Chọn A. 

y = −x − mx + 4m + 9 x + 5 

3 2 

Ví dụ 16:[Trích đề thi THPT QG năm 2017] Cho hàm số ( ) 

với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m đề hàm số nghịch biến trên khoảng 

( ; ) 

−∞ +∞ ? 

A. 4 B. 6 C. 7 D. 5 

Lời giải: 

( ) 

Ta có ( ) 

3 2 2 

' 4 9 5 ' 3 2 4 9 

y = −x − mx + m + x + = − x − mx + m + . 

Hàm số nghịch biến trên khoảng 

⎧a 

= − 3 < 0 

−∞ ; +∞ ⇔ ' < 0, ∀ ∈ −∞ ; +∞ ⇒ ⎨ ⇔ + 3 4 + 9 ≤ 0 

⎩ ∆ ' ≤ 0 

2 

( ) y x ( ) m ( m ) 

⇔ −9 ≤ m ≤ −3, 

m ∈Z ⇒ Có 7 giá trị của m thỏa mãn đề bài. 

Chọn C. 

3 2 

Ví dụ 17:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x − 3x + mx + 1 đồng biến 

trên khoảng ( 0;+∞ ) 

A. −3 ≤ m ≤ 3 B. m ≥ 3 

C. m > 3 

D. m < 3 

Lời giải: 

2 

Ta có: y ' = 3x − 6x + m 














Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞) ⇔ y ' = 3x 2 − 6x + m ≥ 0∀x 

∈ ( 0; +∞ ) 

Trang28 

( ) 

( ) 

2 

⇔ m ≥ − 3x + 6 x = g( x)( ∀x ∈ 0; +∞ ) ⇔ m ≥ max g x 

( 0; +∞) 

Mặt khác g '( x) 6x 6 0 x 1 

Do vậy Max g ( ) 

( x) 

Chọn B. 

0; +∞ 

= − + = ⇔ = . Ta có ( ) 

lim x = 0;lim g( x) = −∞ ; g(1) = 3. 

x→∞ 

= +∞ . Do đó m ≥ 3 là giá trị cần tìm. 

Chú ý: Các em nên tham khảo bài toán GTLN,GTNN của hàm số trước khi làm bài này để hiểu 

rõ vấn đề hơn. 

Ví dụ 18:Cho hàm số 

3 2 

y x x mx 

hàm sô đã cho nghịch biến trên khoảng ( 0;+∞ ) . 

x→∞ 

= − + 3 + 3 − 1. Xác định tất cả các giá trị của tham số m đê 

A. m < − 1 

B. m ≥ − 1 

C. m > − 1 

D. m ≤ − 1 

Lời giải: 

2 

Ta có: y ' 3x 6x 3m 

= − + + . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( ) 

( ) 

⇔ y ' ≤ 0∀x 

∈ 0; +∞ 

( ) 

2 

⇔ m ≤ x − 2 x = g( x) ∀x ∈ 0; +∞ ⇔ m ≤ min g( x) 

( 0; +∞) 

2 

Xét g( x) x 2x( x ( 0; )) 

= − ∈ +∞ ta có: g '( x) = 2x − 2 = 0 ⇔ x = 1 

lim g( x) = 0;lim = +∞ ; g(1) = − 1 nên min g( x) = − 1 

x→∞ 

x→∞ 

( 0; +∞ ) 

Do đó m ≤ −1là giá trị cần tìm. 

Chọn D. 

0;+∞ . 

1 3 2 

Ví dụ 19:Cho hàm số y = x + x − mx + 1. Xác định tất cả các giá trị của m để hàm 

3 

số nghịch biến trên đoạn [ − 2;0] 

. 

A. m∈R B. m ≥ 0 

C. m > 0 

D. m < 0 

Lời giải: 

= + − . Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn [ −2;0 ] ⇔ y ' ≤ 0( ∀x 

∈[ − 2;0] 

) 

2 

Ta có: y ' x 2x m 

[ ] 

( ) 

2 

⇔ m ≥ x + 2 x = g( x)( ∀x ∈ −2;0 ) ⇔ m ≥ Max g x 

[ −2;0] 

Mặt khác g '( x) = 2x + 2 = 0 ⇔ x = − 1 

Lại có g ( − 2) 

= 0; g(0) = 0; g( − 1) = − 1. Do vậy Max g [ ] 

( x) 

−2;0 

= 0 

Vậy m ≥ 0 là giá trị cần tìm. 

Chọn B. 

1 3 2 

Ví dụ 20: Cho hàm số y = − x + 2x + mx + 1. Xác định tất cà các giá trị của m để 3 

3 

hàm số đồng biến trên đoạn [ ] 

Trang29 

0; 2 . 

A. m∈R B. m ≥ 0 

C. m > 0 

D. m < 0 

Lời giải: 

= + + . Hàm số đã cho đồng biến trên đoạn [ 0;2 ] ⇔ y ' ≥ 0( ∀x 

∈ [ 0;2] 

) 

2 

Ta có: y ' x 4x m 

( [ ]) [ 0;2] 

⇔ ≥ − = ∀ ∈ ⇔ ≥ 

( ) 

2 

m x 4 x g( x) x 0;2 m Max g x 

Mặt khác g '( x) = 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2 

Ta có g ( 2) 

= − 4; g(0) = 0 do đó [ ] 

( ) 

Vậy m ≥ 0 là giá trị cần tìm 

Chọn B. 

Max g x = 0 

PHẦN 2: HÀM SÓ PHÂN THỨC CHỨA THAM SỐ 

Ví dụ 1: Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số 

xác định. 

⎡m 

≥ 2 

A. − 2 < m < 2 B. −2 ≤ m ≤ 2 C. ⎢ 

⎣m 

≤ −2' 

Lời giải: 

TXĐ: D \{ m} 

0;2 

mx − 4 

y = đồng biến trên các khoảng 

x − m 

⎡m 

> 2 

D. ⎢ 

⎣m 

< −2' 

2 

− m + 4 

= R . Ta có y ' = . Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định 

2 

x − m 

( ) 

( ) 

⇔ y > ∀x ∈ D ⇔ − m + > ∀x ∈ D ⇔ − < m < 

2 

' 0 4 0 2 2 

Chú ý: Với bài toán này các em không được giải y ' ≥ 0 vì khi y ' = 0 ⇔ m = ± 2 thì 

y = ∀x ∈ D không thoã mãn dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. 

' 0( ) 

Chọn A. 

mx − 3 

Ví dụ 2: Xác định tất cá các giá tri của m để hàm số y = dồng biến trên các 

2x 

− m 

khoảng xác định. 














⎡m 

≥ 6 

A. − 6 < m < 6 B. − 6 ≤ m ≤ 6 C. ⎢ 

⎢⎣ m ≤ − 6 

Lời giải: 

2 

− m + 6 

Ta có: y ' = . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định 

2x 

− m 

Trang30 

( ) 

⎡ m > 6 

2 

⇔ y ' > 0( ∀x ∈ D) ⇔ − m + 6 > 0 ⇔ ⎢ 

⎢⎣ m < − 6 

Chọn D. 

⎡ m > 6 

D. ⎢ 

⎢⎣ m < − 6 

mx − 2 

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = đồng biến trên mỗi khoảng xác 

2x 

− m 

định 

⎡m 

≤ −2 

A. ⎢ 

⎣m 

≥ 2 

Lời giải: 

⎧m 

⎫ 

TXĐ: D = R \ ⎨ ⎬ . Ta có y ' = 

⎩ 2 ⎭ 

( ) 

⎡m 

< −2 

B. − 2 < m < 2 C. ⎢ 

⎣m 

> 2 

2 

− m + 4 

2 

( 2x 

− m) 

⇔ y > ∀x ∈ D ⇔ − m + > ⇔ − < m < 

Chọn B. 

2 

' 0 4 0 2 2 


y = 

( m ) 

biến trên từng khoảng xác định 

⎡m 

≥1 

A. − 2 < m < 1 B. ⎢ 

⎣m 

≤ −2 

Lời giải: 

TXĐ: D \{ m} 

D. −2 ≤ m ≤ 2 

. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định 

+ 1 x − 2 

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng 

x − m 

( ) 

( ) 2 

⎡m 

> 1 

C. −2 ≤ m ≤ 1 D. ⎢ 

⎣m 

< −2 

− m m + 1 + 2 

= R . Ta có y ' = 

. Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định 

x − m 

( ) 

⇔ y > ∀x ∈ D ⇔ −m − m + > ⇔ − < m < 

Chọn A. 

2 

' 0 2 0 2 1 

−mx 

− 5m 

+ 4 

Ví dụ 5: Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số y = 

nghịch biến trên 

x + m 

từng khoảng xác định. 

⎡m 

≥ 4 

A.1< m < 4 B. ⎢ 

⎣m 

≤1 

Lời giải: 

TXĐ: D \{ m} 

Trang31 

⎡m 

> 4 

C.1≤ m ≤ 4 D. ⎢ 

⎣m 

< 1 

2 

− m + 5m 

− 4 

= R . Ta có y ' = 

. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định 

2 

x − m 

( ) 

2 ⎡m 

> 4 

⇔ y ' < 0∀x ∈ D ⇔ − m + 5m 

− 4 < 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

< 1 

Chọn D. 

mx + 1 

Ví dụ 6: Xác định tất cả các giá trị của m để hàm số y = nghịch biến trên 

mx − 2 

từng khoảng xác định. 

A. m > 0 

B. m ≥ 0 

C. m < 0 

D. m ≥ − 1 

Lời giải: 

1 

Với m = 0 ⇒ y = − không thỏa mãn YCBT. 

2 

⎧ 2 ⎫ 

Với m ≠ 0 TXĐ: D = R \ ⎨ ⎬ . Ta có 

⎩m 

⎭ 

định 

⇔ y ' < 0∀x ∈ D ⇔ − 3m < 0 ⇔ m > 0 

Chọn A. 

y ' = 

−3m 

( mx − 2) 2 

Ví dụ 7:Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 

từng khoảng xác định 

⎡m 

= 0 

A. ⎢ 

⎣ − 2 < m < − 1 

Lời giải: 

. Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác 

x + m + 1 

y = đồng biến trên 

mx + 2 

B. − 2 < m < 1 C. m = 0 

D. 0 ≤ m < 1 

x + 1 

Ta có m = 0 ⇒ y = ( thỏa mãn đồng biến trên khoảng xác định). 

2 

( ) 

( ) 2 

⎧−2⎫ 

2 − m m + 1 

Với m ≠ 0 khi đó TXĐ: D = R \ ⎨ ⎬ . Ta có y ' = 

. Hàm số đồng biến trên các mỗi 

⎩ m ⎭ 

mx + 2 

xác định 

( ) 

⇔ y > ∀x ∈ D ⇔ −m − m + > ⇔ − < m < 

2 

' 0 2 0 2 1 














Kết hợp các trường hợp. 

Chọn B. 

x + m + 

Ví dụ 8:Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên R 

mx −1 

A. m = 0 

B. m ≠ 0 

C. m∈R D. Không tồn tại m 

Lời giải: 

Ta có m = 0 ⇒ y = − x hàm số nghịch biến trên R 

Với m ≠ 0 khi đó TXĐ: 

Trang32 

2 

⎧ 1 ⎫ 

−1− 

m 

D = R \ ⎨ ⎬ . Ta có y ' = < 0∀x ∈ D . 

2 

⎩m 

⎭ 

mx −1 

( ) 

⎛ 1 ⎞ 

Khi đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng ⎜ −∞; ⎟ 

⎝ m ⎠ và ⎛ 1 ⎞ 

⎜ ; +∞ ⎟ 

⎝ m ⎠ 

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. 

Chọn A. 

x − m 

Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = đồng biến trên 

x −1 

khoảng ( 1;+∞ ) 

A. m > 0 

B. m ≥ 1 

C. m > − 1 

D. m > 1 

Lời giải: 

− 1+ 

m 

∈ = +∞ . Ta có: y ' = 

x −1 

Xét x D ( 1; ) 

Hàm số đồng biến trên ( ) 

Chọn D. 

( ) 2 

1; +∞ ⇔ y ' > 0 ∀x ∈ D ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1 

mx −1 

Ví du 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = đồng biến trên 

x −1 

khoảng ( 1;+∞ ) 

A. m > 0 

B. m ≥ 1 

C. m < − 1 

D. m < 1 

Lời giải: 

− m + 

∈ = +∞ . Ta có: y ' = 

x −1 

Xét x D ( 1; ) 


Chọn D. 

( ) 2 1 

1; +∞ ⇔ y ' > 0 ∀x ∈ D ⇔ − m + 1 > 0 ⇔ m < 1 

2x 

− 5 


x − m 

khoảng ( 2;+∞ ) 

5 

5 

A. m < 2 

B. m ≤ 2 

C. m < D. 2 < m < 

2 

2 

Lời giải: 

− 2m 

+ 5 

Ta có: y ' = 

x − m 

Trang33 

( ) 2 

2m 

5 0 

⎧ 5 

⎧ ⎪− + > ⎪m 

< 

Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +∞) 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 2 ⇔ m ≤ 2 

⎪⎩ m∉ ( 2; +∞) 

⎪ 

⎩m 

≤ 2 

Chọn B. 

mx + 2 

Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên 

x + m − 1 

khoảng ( 0;+∞ ) 

A.1≤ m < 2 B. − 1< m < 2 C.1≤ m ≤ 2 D.1< m ≤ 2 

Lời giải: 

2 

m − m + 5 

Ta có: y ' = 

2 

x + m −1 

( ) 

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 

2 

⎧⎪ 

m − m − 2 < 0 ⎧− 1 < m < 2 

0; +∞ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ 1 ≤ m < 2 

⎪⎩ ( m − 1) ∉ ( 0; +∞ ) ⎩1 − m ≤ 0 

Chọn A. 

x + 2 


mx −1 

khoảng [ 0;+∞ ) 

1 

1 

A. m ≤ 0 

B. m < − C. − < m ≤ 0 D. m < 0 

2 

2 

Lời giải: 

Với m = 0 ⇒ y = − x (không thỏa mãn YCBT). 

−1− 

2m 

Với m ≠ 0 . Ta có y ' = . Hàm số đồng biến trên 

mx −1 


( ) 2 













⎧ 1 

⎧−1− 2m 

> 0 m < − 

⎪ 

⎪ 

2 1 

0; +∞ ⇔ ⎨ 1 ⇔ ⎨ ⇔ m < − 

⎪ ∈ [ 0; +∞) 

1 2 

⎩m 

⎪ < 0 

⎪⎩ m 

[ ) 

Chọn B. 

x + 2 

Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên 

mx − 2 

khoảng ( −∞ ;2] 

A. 0 < m < 1 B. m > − 1 

C. 0 < m ≤ 1 D. 0 ≤ m < 1 

Lời giải: 

1 

Với m 0 y x 

2 

= ⇒ = − thỏa mãn điều kiện nghịch biến trên nửa khoảng ( −∞ ;2] 

Với m ≠ 0 . Ta có 

( ] 

y ' = 

−2 − 2m 


( mx − 2) 2 

⎧−2 − 2m < 0 ⎧m > − 1 ⎧m 

> −1 

⎪ ⎪ ⎪ 

−∞;2 ⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨1− 

m ⇔ 0 < m < 1 

⎪ ∉( −∞ ;2] 

> 2 > 0 

⎩m ⎪ 

⎩m ⎪ 

⎩ m 

Vậy 0 < m < 1 là giá trị cần tìm 

Chọn D. 

Ví dụ 15:: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 

trên khoảng ( −∞ ;0) 

. 

( m ) 

− 1 x + 2 

nghịch biến 

x + m 

A. − 1< m < 0 B. m > − 1 

C. − 1< m ≤ 0 D. −1 ≤ m < 0 

Lời giải: 

2 

m − m − 2 

Ta có y ' = . Hàm số nghịch biến trên khoảng 

2 

x + m 

( ) 

( ) 

2 

⎧m − m − < − < m < 

⎪ 2 0 ⎧ 1 2 

−∞;0 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ − 1 < m ≤ 0 

⎪⎩ m ∉ ( −∞ ;0) 

⎩ − m ≥ 0 

Chọn C. 

tan x − m 


tan x − 2 

⎛ π ⎞ 

khoảng ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 4 ⎠ . 

Trang34 

Trang35 

A. m ≥ 2 

B. m > 2 

C. m < 2 

D. 0 < m < 2 

Lời giải: 

− 2 + m 1 

Ta có y ' = . . 

tan x − 2 cos x 

( ) 2 2 

1 

⎛ π ⎞ 

> 0∀x 

∈ ⎜ 0; ⎟ . 

tan x − 2 .cos x ⎝ 4 ⎠ 

Do 

( ) 

2 2 

Do vậy hàm số đồng biến trên khoảng ⎛ π 

⎜0; ⎞ ⎟ ⇔ m − 2 > 0 ⇔ m > 2 

⎝ 4 ⎠ 

Chọn B. 

Ví dụ 17 [ ĐỀ MINH HỌA 2017 ]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

tan x − 2 

⎛ π ⎞ 

y = đồng biến trên khoảng 0; 

tan x − m 

⎜ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

A. m ≤ 0 hoặc 1≤ m < 2 

B. m ≤ 0 

C.1≤ m < 2 

D. m ≥ 2 

Lời giải: 

− m + 2 1 

Ta có y ' = 

. . 

tan x − m cos x 

( ) 2 2 

⎧− m + 2 > 0 

⎛ π ⎞ ⎪ 

Hàm số đồng biến trên khoảng ⎜ 0; ⎟ ⇔ ⎨ ⎛ ⎛ π ⎞⎞ 

. 

⎝ 4 ⎠ ⎪tan x ≠ m⎜∀x 

∈⎜0; 

⎟ 

4 

⎟ 

⎩ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 

⎧m 

< 2 

⎧m 

< 2 

⎪ 

⎪ 

⇔ ⎨ ⎛ π ⎞ ⇔ ⎨⎡m 

≥1 

⎪m∉ ⎜ tan 0; tan ⎟ = ( 0;1) 

4 

⎪⎢ 

⎩ ⎝ ⎠ ⎩⎣m 

≤ 0 

Chọn A. 

Ví dụ 18:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

⎛ π ⎞ 


⎝ 4 ⎠ 

A. m ≤ 0 hoặc 1≤ m < 2 

B. − 2 < m ≤ 1 

C. −2 ≤ m < 1 

D. m ≥ − 2 

Lời giải: 

−m 

− 2 −1 

Ta có y ' = 

. . 

cot x − m sin x 

( ) 2 2 

cot x + 2 


cot x − m 














⎧m 

+ 2 > 0 

⎛ π ⎞ ⎪ 


. 

⎝ 4 ⎠ ⎪cot x ≠ m⎜∀x 

∈⎜0; 

⎟ 

4 

⎟ 

⎩ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 

⎧⎪ m > −2 

⇔ ⎨ ⇔ − 2 < m ≤1 

⎪⎩ m ∉ ( 1; +∞ ) 

Chọn B. 


⎛ π ⎞ 


⎝ 2 ⎠ 

A. m ≤ 0 hoặc 1≤ m < 2 

B.1≤ m ≤ − 2 

C. −2 ≤ m < 1 

D. m > 2 

Lời giải: 

− m + 2 m − 2 

Ta có y ' = .( −sinx)= .sinx 

2 2 

cos x − m cos x − m 

Trang36 

( ) ( ) 

⎛ π ⎞ 

Do sin x > 0∀x 

∈ ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

⎧m 

> 2 

⎛ π ⎞ ⎧⎪ m > 2 ⎪ 

Hàm số đồng biến trên khoảng ⎜ 0; ⎟ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨⎡ m ≥ 1 ⇔ m > 2 . 

⎝ 2 ⎠ ⎪⎩ m ∉( 0;1) 

⎪⎢ 

⎩⎣m 

≤ 0 

Chọn D. 


⎛ π ⎞ 


⎝ 4 ⎠ 

A. m ≤ 0 hoặc 1 1 

< m ≤ 1 

B. 0 < m < 

2 

2 

C. m ≤ 0 

D. m > 0 

Lời giải: 

Ta có y ' = 

− 2 m + 1 . 1 . cos x 

( tan x − m) 2 2 

cos x − 2 


cot x − m 

2 tan x −1 


tan x − m 

⎧− 2m 

+ 1 > 0 

⎛ π ⎞ ⎪ 


. 

⎝ 4 ⎠ ⎪tan x ≠ m⎜∀x 

∈⎜0; 

⎟ 

4 

⎟ 

⎩ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 

⎧ 1 

⎧ 1 m 

m 

< 

⎪ < ⎪ 2 

⇔ ⎨ 2 ⇔ ⎨ ⇔ m ≤ 0 

m ≥1 

⎪m 

( 0;1) 

⎪ 

⎡ 

⎩ ∉ 

⎪ 

⎢ 

⎩⎣m 

≤ 0 

Chọn C. 

msin x − 2 

Ví dụ 21:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên 

2sin x − m 

⎛ π ⎞ 


⎝ 2 ⎠ 

⎡m 

> 2 

A. ⎢ 

⎣m 

< −2 

Lời giải: 

Ta có y ' = 

Trang37 

2 

− m + 

4 

( 2sin x − m) 

2 

⎡m 

≥ 2 

B. ⎢ 

⎣m 

< −2 

.cos x . 

⎡m 

> 2 

C. ⎢ 

⎣m 

≤ −2 

⎡m 

≥ 2 

D. ⎢ 

⎣m 

≤ −2 

⎧ ⎡m 

> 2 

2 

⎧− m + 4 < 0 ⎪⎢ 

⎛ π ⎞ ⎪ 

⎪⎣m 

< − 2 ⎡m 

> 2 

Hàm số nghịch biến trên khoảng ⎜0; 

⎟ ⇔ ⎨m 

⇔ ⎨ ⇔ 

2 

⎢ . 

⎝ ⎠ ⎪ ∉( 0;1) 

⎪⎡m 

≥ 2 ⎣m 

< −2 

⎩ 2 

⎪⎢ 

⎩⎣m 

≤ 0 

Chọn A. 

cos x − 2 

Ví dụ 22:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến trên 

cos x − m 

⎛ π ⎞ 

khoảng ⎜ − ;0⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

A. m ≤ 0 hoặc 1≤ m < 2 

B. m ≤ 0 

C.1≤ m < 2 

D. m ≥ 2 

Lời giải: 

Ta có y ' = 

− m + 4 

( m cos x −1) 2 

⎛ ⎛ π ⎞⎞ 

.sin x . Do sin x < 0 ⎜ ∀x 

∈ ⎜ − ;0 ⎟ 

2 ⎟ 

⎝ ⎝ ⎠⎠ 














⎧m 

< 2 

⎛ π ⎞ ⎧⎪ 

− m + 2 > 0 ⎪ ⎡m 

≤ 0 

Hàm số nghịch biến trên khoảng ⎜ − ;0⎟ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨⎡m 

≥1 

⇔ 

2 m ( 0;1 

⎢ . 

⎝ ⎠ ⎪⎩ ∉ ) ⎪⎢ 

⎣1 ≤ m < 2 

⎩⎣m 

≤ 0 

Chọn A. 


khoảng xác định. 

Trang38 

2 

x + m − 2 

y = 

x −1 

A. m ≤ 1 

B. m < 1 

C. m > 1 

D. m ≤ 2 

Lời giải: 

2 

x − 1+ m −1 m −1 m −1 

D = \ 1 : y = = x + 1 + ⇒ y ' = 1− 

x −1 x −1 x −1 

Ta có: R { } 

Hàm số đồng biến trên khoảng xác định 

( x − ) 

2 

( x −1) − ( m −1) 

( ) 

( x − ) 

m −1 

⇔ 1− ≥ 0 

2 

( ∀x ∈ D) 

⇔ y ' = ∀x ∈ D 

2 

1 1 

⇔ m −1≤ 0 ⇔ m ≤ 1. 

Chọn A. 

( ) 

Chú ý: Bài toán này các em có thể lấy dấu bằng vì khi m = 1 ⇒ y ' = 1 > 0( ∀x ∈ D) 

( Hàm số đã cho không phải hàm hàng trên D ). 

2 

trên từng 

2 

− 3x 

+ mx − 2 

Ví dụ 24:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 

nghịch biến 

2x 

−1 

trên khoảng xác định 

11 

11 

9 

9 

A. m > B. m ≥ C. m ≥ D. m > 

2 

2 

2 

2 

Lời giải: 

Ta có 

( )( ) ( ) 

2 

6 2 1 2 3 2 2 

6 6 4 

− x + m x − − − x + mx − − x + x − m + 

y ' = = 

( 2x 

−1) ( 2x 

−1) 

2 2 

⎛ ⎞ 

Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định ⇔ − 6x + 6x − m + 4 ≤ 0⎜∀x 

≠ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ . 

⎧a 

= − 6 < 0 11 

⇔ ⎨ ⇔ 33 ≤ 6m 

⇔ m ≥ 

⎩ ∆ ' = 9 + 6(4 − m) ≤ 0 2 

Chọn B. 

. 

2 1 

Câu 45: Với giá trị nào của m thì hàm số 

xác định của nó. 

A. m = − 1 

B. 1 

Lời giải: 

Ta có 

− + 4 + 2 + 1 

y ' = 

. 

2 

x x m 

2 

Trang39 

( 2 − x) 

Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định 

y = 

( ) 

+ + 1 −1 

nghịch biến trên mỗi khoảng 

2 − x 

2 

x m x 

m > C. ( 1;1) 

2 ⎧a 

= − 1< 

0 5 

− x + 4x + 2m + 1≤ 0( ∀x ≠ 2) 

⇔ ⎨ ⇔ m ≤ − . 

⎩ ∆ ' = 4 + 2m 

+ 1 ≤ 0 2 

⎧a 

= − 6 < 0 11 

⇔ ⎨ ⇔ 33 ≤ 6m 

⇔ m ≥ 

⎩ ∆ ' = 9 + 6(4 − m) ≤ 0 2 

Chọn D. 

3 2 

y 2x 3 m 1 x 6mx 

Ví dụ 26: Cho hàm số ( ) 

biến trên khoảng ( 2;+∞ ) 

5 

m ∈ − D. m ≤ − 

2 

= − + + . Tìm giá trị của m để hàm số đã cho đồng 

⎧m 

≤ 2 

A. m ≤ 2 

B. m < 2 

C. ⎨ 

⎩m 

≠ 1 

Lời giải: 

Ta có 

2 

Yêu cầu bài toán ( ) 

( ) ( ) 

⇔ y ' = 6 x − m x + 1 x + m ≥ 0∀x 

∈ 2; +∞ . 

( )( ) ( ( )) ( ( )) 

⇔ x −1 x − m ≥ 0 ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ x ≥ m ∀x ∈ 2; +∞ ⇔ 2 ≥ m 

Chọn A. 

y x m x mx 


đồng biến trên khoảng ( 3;+∞ ) 

⎧m 

< 2 

D. ⎨ 

⎩m 

≠ 1 

3 2 

= 2 − 3 + 2 + 12 + 1. Tìm giá trị của m để hàm số đã cho 

⎧m 

≤ 2 

A. m ≤ 3 

B. m ≤ 2 

C. ⎨ 

⎩m 

≠ 1 

Lời giải: 

y ' = 6x − 6 m + 2 x + 12m ≥ 0x − m + 2 x + 2m 

≥ 0 . 

2 2 

Ta có ( ) ( ) 

⎧m 

< 3 

D. ⎨ 

⎩m 

≠ 1 














Giả thiết 

( )( ) ( ) ( ) ( ) 

⇔ x − m x − 2 ≥ 0 ∀ x > 3 ⇔ x − m ≥ 0 ∀ x > 3 ⇔ x ≥ m ∀ x > 3 ⇔ 3 ≥ m 

Chọn A. 

3 2 2 


đồng biến trên khoảng ( 0;+∞ ) 

Trang40 

y = x − 3mx + 3 m − 1 x + 1. Tìm giá trị của m để hàm số đã cho 

A. m ≤ 1 

B. m ≤ 2 

C. m < − 1 

D. m ≤ − 1 

Lời giải: 

Ta có y ' = 3x 2 − 6mx + 3( m 

2 − 1) 

. Ta có: y x 2 mx ( m 

2 

) 

⎡x 

≥ m + 1 

⇔ ( x − m −1)( x − m + 1) 

≥ 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

≤ m − 1 

Do vậy hàm sổ đồng biến trên ( −∞; m − 1] 

và [ m + 1; +∞ ) 

Để hàm số đã cho đồng biến trên ( ) 

Chọn D. 

' ≥ 0 ⇔ − 2 + −1 ≥ 0 

0; +∞ ⇔ m + 1≤ 0 ⇔ m ≤ − 1 

PHẦN 3: HÀM SỐ LƯỢ NG GIÁC CHỨA THAM SỐ 

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y = x + mcos 2x 

luôn đồng biến trên R 

1 1 

1 1 

A. − ≤ m ≤ B. − < m < C. −1≤ m ≤ 1 D. − 1< m < 1 

2 2 

2 2 

Lời giải: 

= − . Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0( ∀x 

∈ R ) 

Ta có y ' 1 2msin 2x 

1 1 

⇔ 1− 2msin 2x ≥ 0 ( ∀x ∈ R ) ⇔ Min y ' = 1− 2m ≤1 

⇔ − ≤ m ≤ 

R 

2 2 

Chọn A. 

Ví dụ 2 : Tìm m để hàm số ( ) 

⎡m 

≥1 

A. −1≤ m ≤ 3 B. ⎢ 

⎣m 

≤ −3 

Lời giải: 

y = m + 1 cos x − 2x 

+ 1 luôn nghịch biến trên R 

⎡m 

> 1 

C. m ≥ 1 

D. ⎢ 

⎣m 

< −3 

Ta có y ' = − ( m + 1) 

sin x − 2. Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y ' ≤ 0( ∀x 

∈ R ) 

⎡m 

≥1 

Max y ' = − 2 + m + 1 ≤ 0 ⇔ m + 1 ≥ 2 ⇔ 

R 

⎢ 

⎣m 

≤ 3 

Chọn B. 

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y = msin x − 5x 

− 2 luôn nghịch biến trên R 

⎡m 

≥ 5 

A. − 5 < m < 5 

B. ⎢ 

⎣m 

≤ −5 

Lời giải: 

Ta có y ' = m cos x − 5 . 

Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≤ 0( ∀x 

∈ R ) 

Max y ' = m − 5 ≤ 0 ⇔ −5 ≤ m ≤ 5 

R 

Chọn D. 

Trang41 

C. m ≥ 5 

D. −5 ≤ m ≤ 5 

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = sin x + 2cos x + mx − 2 luôn đồng biến trên R 

⎡m 

≥ 5 

A. m ≥ 5 

B. ⎢ 

⎢⎣ m ≤ − 5 

Lời giải: 

Ta có y ' = cos x − 2sin x + m . 

Hàm số đồng biến trên R ⇔ cos x − 2sin x + m ≥ 0( ∀x 

∈ R ) 

( ) 2 

Min y m m 

R 

Chọn C. 

2 

' = − 1 + − 2 + ≥ 0 ⇔ ≥ 5 

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y a sin x b cos x mx ( a; 

b ) 

C. m ≥ 5 

D. − 5 ≤ m ≤ 5 

= + + ∈ R luôn đồng biến trên R 

2 2 

2 2 

2 2 

A. m ≤ − a + b B. m < − a + b C. m > a + b D. m ≥ a + b 

Lời giải: 

Ta có y ' a cos x bsin 

x m g ( x) 

= − + = . 

Hàm số đồng biến trên R ⇔ g( x) ≥ 0∀∈ 

R 

Min g( x) ≥ 0 = − a + b + m ≥ 0 ⇔ m ≥ a + b 

R 

Chọn D. 

2 2 2 2 

2 2 

Ví dụ 6:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x + mcos 

x đồng biến trên 

R 

A. m ≥ 1 

B. 1 

Lời giải: 

Ta có: y ' 1 m sin x 

m ≤ C. [ 1;1 ] \ { 0} 

m ∈ − D. −1 ≤ m ≤ 1 

= − . Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ( ∀x 

∈ R ) 














⇔ Min y ' = 1− m ≥ 0 ⇔ m ≤ 1 ⇔ −1 ≤ m ≤ 1 

R 

Chọn D 

Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x − mcos x + sin x luôn 

đồng biến trên R 

A. − 1 < m < 1 B. − 2 < m < 2 C. −1 ≤ m ≤ 1 D. − 3 ≤ m ≤ 3 

Lời giải: 

Ta có: y ' 2 msin x cos x 

Trang42 

= + + . Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0 ( ∀x 

∈ R ) 

⇔ Min y = − m + ≥ ⇔ m ≤ ⇔ − ≤ m ≤ 

R 

Chọn D 

2 2 

' 2 1 0 3 3 3 

Ví dụ 8: Xác định giá trị của b để hàm số f ( x) = sin x − bx + c nghịch biến trên toàn trục 

số. 

A. b ≤ 1 

B. b < 1 

C. b > 1 

D. b ≥ 1 

Lời giải: 

Ta có: y ' = cos x − b . Hàm số nghịch biến trên 

R ⇔ cos x − b ≤ 0 ∀x ∈ R ⇔ b ≥ cos x ∀x ∈ R ⇔ b ≥ 1 

Chọn D 

Ví dụ 9: Xác định giá trị của m để hàm số f ( x) = sin 2x + mx + c đồng biến trên R 

A. m ≥ 2 

B. −2 ≤ m ≤ 2 C. m > 2 

D. m ≥ − 2 

Lời giải: 

Ta có: y ' = 2cos 2x + m 


Chọn A 

R ⇔ y ' ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔ Min y ' = − 2 + m ≥ 0 ⇔ m ≥ 2. 

Ví dụ 10: Xác định giá trị của m để hàm số sin cos ( 1) 

R 

y = m x + x + m + x đồng biến trên R . 

A. m ≥ 0 

B. −1 ≤ m ≤ 1 C. m > 1 

D. m ≥ − 1 

Lời giải: 

Ta có: y ' = mcos x − sin x + m + 1 . Hàm số đồng biến trên 

2 2 

⎧m 

≥ −1 

R ⇔ y ' ≥ 0 ( ∀x ∈ R) ⇔ Min y ' = − m + 1 + m + 1 ≥ 0 ⇔ m + 1 ≥ m + 1 ⇔ ⎨ 

R 

2 2 

⎩m + 2m + 1 ≥ m + 1 

⇔ m ≥ 0 

Chọn A. 

Ví dụ 11: Xác định giá trị của tham số m để hàm số ( ) ( ) 

biến trên R 

Trang43 

y = m − 3 x − 2m + 1 cos x luôn nghịch 

2 

2 

A. −4 

≤ m ≤ B. −4 ≤ m ≤ 3 C. −1 

≤ m ≤ D. −1 ≤ m ≤ 3 

3 

3 

Lời giải 

Ta có: y ' = m − 3 + ( 2m + 1) 

sin x . Hàm số đồng biến trên R ⇔ y ' ≥ 0( ∀x 

∈ R ) 

⎪⎧ 

m ≤ 3 ⎧m 

≤ 3 

⇔ max y ' = m − 3 + 2m + 1 ≤ 0 ⇔ 3 − m ≥ 2m 

+ 1 ⇔ ⎨ 

2 2 

⇔ ⎨ 

R 

2 

⎪⎩ 

( 3 − m) ≥ ( 2m 

+ 1) 

⎩3m 

+ 10m 

− 8 ≤ 0 

2 

⇔ −4 

≤ m ≤ 

3 

Chọn A 


PHẦN 1 : 

3 2 

Câu 1: Tìm m để hàm số y x 3x 3mx 

1 

= − + + − nghịch biến trên ( 0;+∞ ) 

A. m ≤ − 1 

B. m < − 1 

C. m ≥ − 1 

D. m > − 1 

−2 

3 

3 2 

Câu 2: Tìm m để hàm số y = x + ( m + 1) 

x + 2mx 

+ 5 đồng biến trên ( 0;2 ) 

2 

A. m 

− 

2 

≥ B. m ≥ 0 

C. m < − 

D. m < 0 

3 

3 

−1 1 

y = x + mx + m − x − đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 

3 3 

3 2 

Câu 3: Tìm m để hàm số ( 2) 

4: 

A. m = 2 

B. m = − 2 

C. m = − 3 

3 2 

Câu 4: Tìm m để hàm số y x 6x mx 1 

= − + + đồng biến trên ( ) 

0;+∞ ? 

A. m ≥ 0 

B. m ≥ 12 

C. m ≤ 0 

D. m ≤ 12 

x − m + 2 

Câu 5:Tìm m để hàm số y = giảm trên các khoảng mà nó xác định? 

x + 1 

A. m ≤ 1 

B. m < 1 

C. m ≤ − 3 

D. m < − 3 

1 3 2 

Câu 6:Tìm m để hàm số y = x + mx + 4 nghịch biến trên R 

3 

A. −2 ≤ m ≤ 0 B. − 2 < m < 0 C. m > − 2 

D. m = 0 

D. Cả A và C đều đúng 














mx + 4 

Câu 7:Tìm m để hàm số y = 

x + m 

C. Hàm số luôn nghịch biến trên R 

Trang44 

giảm trên khoảng ( ;1) 

−∞ ? 

A. −2 ≤ m < − 1 B. − 2 < m < − 1 C. −2 ≤ m ≤ − 1 D. − 2 < m ≤ − 1 

3 

x 2 

Câu 8:Tìm GTNN của m để hàm số y = + mx − mx − m đồng biến trên R ? 

3 

A. m = 0 

B. m = − 4 

C. m = 4 

D. m = − 1 

3 

Câu 9:Với giá trị nào của a thì hàm số y = ax + x đồng biến trên R . 

A. a ≥ 0 

B. a < 0 

C. a = 0 

D. ∀ a 

Câu 10:Hàm số ( ) 

−1 

= + − − + nghịch biến trên khoảng xác định khi: 

3 

3 2 

y x m 2 x mx 3m 

⎡m 

< 1 

A. m < 0 

B. m > 4 

C.1 ≤ m ≤ 4 D. ⎢ 

⎣m 

> 4 

3 

x 2 

Câu 11:Hàm số y = + mx + 4x 

đồng biến trên R khi? 

3 

⎡m 

= −2 

A. −2 ≤ m ≤ 2 B. ⎢ 

⎣m 

= 2 

3 

−x 

2 

Câu 12:Hàm số y = + mx + 4x 

nghịch biến trên R khi: 

3 

⎡m 

= −2 

A. −2 ≤ m ≤ 2 B. ⎢ 

⎣m 

= 2 

Câu 13:Tìm m để hàm số ( 2 1) sin ( 3 ) 

C. m ≤ − 2 

D. m ≥ 2 

C. m ≤ − 2 

D. m ≥ 2 

y = m + x + − m x đồng biến trên R ? 

2 

2 

2 

A. −4 

≤ m ≤ B. − 4 < m < C. m < − 4 

D. m > 

3 

3 

3 

Câu 14:Với giá trị nào của m thì hàm số y = 2m + 1+ x + m cos x đồng biến trên R 

A. m > 1 

B. m < − 1 

C. −1 ≤ m ≤ 1 D. ∀ m 

3 2 

Câu 15:Tìm m để hàm số y x 3x 4mx 

2 

= − − + − nghịch biến trên ( −∞ ;0] 

3 

A. m 

− 

3 

≤ B. m 

− 

3 

3 

≥ C. m ≥ D. m ≤ 

4 

4 

4 

4 

3 2 2 

Câu 16:Cho hàm số ( 1) ( 2) 

A. Hàm số đồng biến trên ( − 2;4) 

y = − x + m + x − m + x + m . Tìm đáp án đúng. 

B. Hàm số có cả khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến 

2 

D. Hàm số nghịch biến trên ( − m; m + 1) 

Câu 17: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R với mọi m? 

2 3 

2 3 2 

A. y = − m x + m 

B. y = − m x + mx − 3x 

+ 1 

− mx + 1 

C. y = 

x + m 

Câu 18:Với giá trị nào của m, hàm số 

định của nó ? 

Trang45 

3 

D. y = x − 2mx 

+ 1 

1 

= − + 2 − + 2 nghịch biến trên tập xác 

3 

3 2 

y x x mx 

A. m ≤ 4 

B. m ≥ 4 

C. m > 4 

D. m < 4 

3 2 2 

Câu 19:Với điều kiện nào của m thì hàm số ( ) ( ) 

trên R ? 

y = x + m − 2 x + m − 4 x + 9 đồng biến 

A. m ≥ 1 hoặc m ≤ − 2 

B. m ≥ 2 hoặc m ≤ − 4 

C. m ≥ 0 hoặc m ≤ − 1 

D. m ≥ 3 hoặc m ≤ − 3 

Câu 20: Với giá trị nào của m, hàm số 

định của nó? 

y = 

( 2) 

m − x + m 

đồng biến trên mỗi khoảng xác 

x + m 

A. m ≥ 2 hoặc m ≤ 0 

B. m ≥ 3 hoặc m ≤ 0 

C. m ≥ 2 hoặc m < 0 

D. m > 3 hoặc m < 0 

3 2 

Câu 21: Với giá trị nào của m, hàm số y x 3x mx 2 

= − − + đồng biến trên ( 0;+∞ ) 

A. m ≤ − 2 

B. m ≤ − 3 

C. m ≤ 0 

D. m ≤ − 4 

Câu 22:Tất cả các giá trị của m để hàm số f ( x) 

định của nó là: 

x − m 

= nghịch biến trên từng khoảng xác 

x −1 

A. m ≤ − 1 

B. m > 1 

C. m < 1 

D. m ≥ 1 

Câu 23:Xét hai mệnh đều sau: 

(I) Hàm số y ( 1 x) 3 

(II) Hàm số y ( 1 x) 4 

Hãy chọn câu đúng? 

= − đồng biến trên R 

= − đồng biến trên R 

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Cả hai đúng D. Cả hai sai 

Câu 24: Hàm số nào trong các hàm số sau chỉ có 1 chiều biến thiên trên tập xác định của nó? 














2 

1 

1 

1 

x 

A. y = B. y = C. y = D. y = 

2 

x 

x 

x 

x 

Câu 25: Tất cả các giá trị của m để hàm số ( ) 

Trang46 

x 

= + + đồng biến trên R là: 

3 

3 

2 

f x mx 4x 

A. − 2 < m < 2 B. −2 ≤ m ≤ 2 C. m ≤ − 2 

D. m ≥ 2 

Câu 26:Hàm số y = 

( ) 

m + 1 x + 2m 

+ 2 

x + m 

nghịch biến trên ( − 1; ) 

+∞ khi: 

A. m < 1 

B. m > 2 

C.1 ≤ m < 2 D. − 1 < m < 2 

Câu 27:Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số 

khoảng ( 1;+∞ ) 

1 m 

= − − 2 + 1 đồng biến trên 

3 2 

3 2 

y x x x 

A. −1 ≤ m ≤ 1 B. m ≤ − 1 

C. m ≥ 1 

D. m ≤ − 2 

Câu 28:Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R 

A. 1 1 

≤ m ≤ 1 

B. −1 

≤ m ≤ − 

4 

4 

C. Không có giá trị m thỏa mãn D. m = 1 

PHẦN 2: 

2 

x − m 


x − 4 

⎡m 

< −2 

A. ⎢ 

⎣m 

> 2 

đồng biến trên các khoảng ( −∞ ;4) 

và ( ) 

⎡m 

≤ −2 

B. ⎢ 

⎣m 

≥ 2 

4;+∞ khi: 

C. −2 ≤ m ≤ 2 D. − 2 < m < 2 

mx + 1 

Câu 2:Hàm số y = luôn nghịch biến trên các khoảng xác định thì: 

4x 

+ m 

A. m ≤ 2 

B. m < − 2 

C. − 2 < m < 2 D. −2 ≤ m ≤ 2 

cot x − 2 

Câu 3:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = đồng biến trên 

cot x − m 

⎛ π ⎞ 


⎝ 4 ⎠ : 

A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 

B. m ∈∅ 

C.1 ≤ m < 2 

D. m > 2 

Câu 4:Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = 

: 

1− 

5x 

− 2 

⎛ 1 ⎞ 

nghịch biến trên khoảng ⎜0; ⎟ 

1− 

5x 

− m 

⎝ 5 ⎠ 

A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 

B. m ≤ 0 

C.1 ≤ m < 2 

D. m ≥ 2 

Câu 5:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 

⎛ π ⎞ 

trên khoảng ⎜ 0; ⎟ 

⎝ 6 ⎠ : 

Trang47 

sin x − 2 

y = 

sin x − m 

A. m ≤ 0 

B. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 

2 

C. 1 ≤ m < 2 

D. m ≥ 2 

2 

đồng biến 

3 2 

Câu 6:Cho hàm số y = x − 3x − mx + 2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho 

0;+∞ là: 

đồng biến trên khoảng ( ) 

A. m ≤ − 3 

B. m ≤ − 2 

C. m ≤ − 1 

D. m ≤ 0 

Câu 7:Hàm số y 

x − 2 

x m 

= nghịch biến trên khoảng ( ;3) 

− 

−∞ khi 

A. m > 2 

B. m ≥ 3 

C. m < 2 

D. m < − 3 

3 2 

Câu 8:Hàm số y = x − 2mx − ( m + 1) 

x + 1 nghịch biến trên khoảng ( ) 

thỏa: 

0;2 khi giá trị của m 

11 

11 

A. m ≤ 2 

B. m ≥ 2 

C. m ≤ D. m ≥ 

9 

9 

Câu 9:Hàm số y 

x −1 

x m 

= nghịch biến trên khoảng ( ;2) 

− 

−∞ khi và chỉ khi 

A. m ≥ 2 

B. m > 1 

C. m > 2 

D. m ≥ 1 

1 

y = x − x − 3m + 2 x + 2 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn 

3 

3 2 

Câu 10:Cho hàm số ( ) 

có độ dài bằng 4 

1 

A. m = 1 

B. m = 3 

C. m = D. m = 5 

3 

3 2 

x mx 

Câu 11:Hàm số y = − − 2x 

+ 1 luôn đồng biến trên tập xác định khi: 

3 2 

A. m < − 2 2 B. −8 ≤ m ≤ 1 C. m > 2 2 D.Không có giá trị m 

1 3 2 

Câu 12: Giá trị nhỏ nhất của m để hàm số y = x + mx − mx − m đồng biến trên R là: 

3 














A. m = − 1 

B. m = 0 

C. m = 1 

D. m = − 2 

3 2 2 

Câu 13:Cho hàm số: ( ) ( ) 

A. Hàm số luôn đồng biến trên R 

B. Hàm số luôn nghịch biến trên R 

C. Hàm số không đơn điệu trên R 

Trang48 

y = x − m + 1 x − 2m − 3m + 2 x + 1 . Kết luận nào sau đây đúng? 

D. Hàm số có hai cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 1 với mọi m . 

m 

3 

2;+∞ khi: 

3 2 

Câu 14: Hàm số: y = x − ( m − 1) x + 3( m − 2) 

x đồng biến trên khoảng ( ) 

2 

2 

A. m ≥ B. m < C. m < 2 

D. m ≤ 2 

3 

3 

PHẦN 1: 


1-A 2-B 3-D 4-B 5-B 6-D 7-D 8-D 9-A 10-C 

11-A 12-A 13-A 14-C 15-A 16-C 17-B 18-B 19-B 20-D 

21-B 22-C 23-D 24-A 25-B 26-C 27-B 28-B 

PHẦN 2: 

1-A 2-C 3-D 4-A 5-B 6-A 7-B 8-D 9-A 10-C 

11-D 12-A 13-C 14-A 

Trang49 

Chủ đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ(Phần 1-2-3) 

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 

A. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp ( ) 

a) 

0 

D D ∈ R và x0 

∈ D 

x được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( ; ) 

( ) 

( ) ( ) ( ) { } 

⎧⎪ a, 

b ⊂ D 

sao cho ⎨ 

⎪⎩ f x < f x ; x ∈ a; b \ x 

Khi đó ( ) 

b) 0 

0 

0 0 

f x là giá trị cực đại của hàm số f . 

. 

x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( ; ) 

( ) 

( ) ( ) ( ) { } 

⎧⎪ a, 

b ⊂ D 

sao cho ⎨ 

⎪⎩ f x > f x ; x ∈ a; b \ x 

Khi đó ( ) 

0 

0 0 

f x là giá trị cực tiểu của hàm số f . 

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. 

. 

a b chứa điểm x 

0 


0 

Nếu x 

0 

là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x 

0 

. 

D D ∈ R . 

Như vậy, điểm cực trị là một điểm trong của tập hợp ( ) 

Nhấn mạnh: ( ) 

x0 ∈ a; 

b ⊂ D nghĩa là x0 

là một điểm trong của D. 

Ví dụ: Xét hàm số f ( x) 

= x xác định trên nửa khoảng [ 0;+∞ ) . Ta thấy rằng f ( x) > f ( 0) 

với mọi x > 0 nhưng 0 

chứa bất kỳ một lân cận nào của điểm 0. 

Chú ý: 

x = không phải là điểm cực tiểu của hàm số vì tập hợp [ ) 

0;+∞ không 

Giá trị cực đại (cực tiểu) nói chung không phải là GTLN (giá trị lớn nhất) (GTNN – giá 

trị nhỏ nhất) của hàm số f trên D. 

Hàm số có thể đạt cực hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D . Hàm số cũng có 

thể không có điểm cực trị. 

x là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm ( 0; 

( 0 )) 

0 

đồ thị hàm số. 

B. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 

Định lý 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm 

0 

Chú ý: 

x f x được gọi là điểm cực trị của 

x . Khi đó nếu có đạo hàm tại điểm thì ( ) 


f ' x = 0 













Đạo hàm 

Trang50 

f ' có thể bằng tại điểm x 0 

nhưng hàm số f không đạt t cực trị tại điểm x 

0 

. 

Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. 

Hàm sổ chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc 

tại đó hàm số không có đạo o hàm. 

Hàm số đạt cực trị tại x 

0 

và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại đi 

tuyến đó song song với trục hoành. 

Ví dụ: Hàm số y = x 

và hàm số 

y = x 

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên t 

khoảng ( a; 

x ) và ( ; ) 

0 

x b . Khi đó 

( ) 

( ) 

0 

nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x 

0 

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 

0 

. 

nếu f '( ) 

( ) 

⎧⎪ 

f ' x 0 > 0; x ∈ 

a ; 

x 

0 

Nếu ⎨ 

⎪⎩ 

f '( x 0 ) 

< 0; x ∈ 

x 0 

; 

b 

x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x 

0 

thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 

0 

. 

Định lý 3:giả sử hàm số có đạ 

có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 

0 

. 

3 

liên tục trên khoảng ( ; ) 

( ) 

( ) 


0 

và có đạo hàm trên các 

⎧⎪ 

f ' x 0 < 0; x ∈ 

a ; 

x 

0 

• Nếu ⎨ 

thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 

0 

. Nói một cách khác, 

⎪⎩ 

f ' x 0 > 0; x ∈ 

x 0 

; 

b 

( ) 

( ) 

thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 

0 

. Nói một cách khác, 

ạo hàm cấp một trên khoảng ( ; ) 

a b chứa điểm 

i điểm ( 0; 

( 0 )) 

m 

0 

x f x thì tiếp 

x , ( ) 

f ' x = 0 và f 

0 

Nếu ( ) 

Trang51 

f '' x 

0 

< 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm 

0 

Nếu ( ) 

x . 

f '' x 

0 

> 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm 

0 

Chú ý: Không cần xét hàm số có hay không có đạo hàm tại điểm x = x0 

nhưng không thể bỏ qua 

điều kiện “hàm số liên tục tại điểm x 

0 

” 

Ví dụ: Hàm số f ( x) 

tại điểm x = 0. 

⎧1 − x khi x ≤ 0 

= ⎨ 

⎩x khi x > 0 

II. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 

1. VÍ DỤ MINH HỌA: 

x . 

không đạt cực trị tại x = 0 . Vì hàm số không liên tục 

VẤN ĐỀ 1. MỞ ĐẦU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 

4 2 

Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) 

= x − 2x 

. Hàm số ( ) ( ) 

cực đại tại 

2 

x . Tích ( ). 

( ) 

g x g x có giá trị bằng: 

1 2 

496 

A. − B. 496 

27 

27 

Lời giải: 

4 2 3 

Ta có f ( x) = x − 2 x ⇒ f '( x) 

= 4x − 4x 

suy ra ( ) 

g x f x x 

2 

= ' − 4 đạt cực tiểu tại 

1 

248 

C. − D. 248 

27 

27 

3 2 

g x = 4x − 4x − 4x 

2 

Xét hàm số g ( x ) , có g '( x) 

= 12x − 8x 

− 4 . Phương trình g ( x) 

Lại có ( ) 

( ) > ⎧x 

= 1 ⎧g ( x ) 

⎡x 

= 1 

' = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ 

1 

x = − 

⎣ 3 

⎧ g '' 1 0 

1 

1 

= −4 

⎪ ⎪ ⎪ 

g '' x = 24x 

− 8 → ⎨ ⎛ 1 ⎞ ⇒ ⎨ 1 ⇒ ⎨ 124 

⎪g 

'' ⎜ − ⎟ < 0 x2 = − g ( x2 

) = − 

3 

⎪ 

3 

⎪ 

⎩ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ 27 

Vậy tích g ( x ) g ( x ) ( ) 

Chọn B 

⎛ 124 ⎞ 496 

. = −4 . ⎜ − ⎟ = 

⎝ 27 ⎠ 27 

1 2 

2 

x + x + 1 

Ví dụ 2: Hàm số y = có bao nhiêu điểm cực trị? 

x −1 

A. 2 B. 1 C. 0 D. 3 


Lời giải: 

x , đạt 













2 

2 

x + x + 1 

2x + 1 x −1 − x + x + 1 2 

x 

− 2 x 

− 2 

Xét hàm số y = 

, ta có 

y 

' = = , ∀ x 

≠ 

1 

x −1 

x 

− 

1 2 x 

− 

1 

2 

⎧x 

≠ 1 ⎡x 

= 1+ 

3 

Phương trình y ' = 0 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎢ 

2 

⎩ 

x − 2 x − 2 = 0 ⎢⎣ x = 1− 

3 

Vậy hàm số đã cho có hai điểm m cực trị. 

Chọn A 

Ví dụ 3:[ĐỀ THI THPT QU 

hình vẽ dưới đây. Mệnh đề nào dưới đây sai? 

A. Hàm số có ba điểm cực c trị 

C. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0 

Lời giải: 

Dựa vào bảng biến n thiên, ta thấy rằng: 

Chọn C 

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị và x = − 1, x = 1 là hai điểm cực c tiểu 

Hàm số có giá trị cực c tiểu bằng 0, có giá trị cực đại bằng 3. 

Ví dụ 4: Hàm số nào dưới đây có duy nhất một điểm cực trị ? 

3 

x + 1 

A. y = x + 2 B. y = C. y = cot x 

D. y = x + x 

x − 1 

Lời giải: 

Dựa vào đáp án, ta có nhận n xét sau: 

( ; ) 

3 2 3 

 

y = x + 2 → y ' = 3 x ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇒ y = x + 

2 là hàm số đồng biến trên khoảng 

−∞ +∞ suy ra hàm số đã ã cho không có cực trị. 

Trang52 

( )( ) ( ) 

( ) ( 

THI THPT QUỐC GIA 2017]: Cho hàm số y f ( x) 

= có bảng biến thiên như 

B. Hàm số có giá trị cực c đại bằng 3 

D. Hàm số có hai điểm m cực tiểu 

) 

4 2 

x + 1 2 x + 1 

y = → y ' = − < 0, ∀x ≠ 1 ⇒ y = 

x −1 x −1 

x −1 

khoảng ( −∞ ;1) 

và ( ) 

Trang53 

( ) 2 

 

2 

1;+∞ suy ra hàm số đã cho không có cực trị. 

là hàm số nghịch biến trên mỗi 

1 

y = cot x → y ' = − < 0, ∀x ≠ kπ 

⇒ y = cot x là hàm số nghịch biến trên mỗi 

sin x 

khoảng xác định suy ra hàm số đã cho không có cực trị. 

4 2 3 2 

( ) 

y = x + x → y ' = 4x + 2x = 2x 2x + 1 , y ' = 0 ⇔ x = 0 suy ra hàm số đã cho có 

duy nhất một điểm cực trị 

Chọn D 

Ví dụ 5: Cho các hàm số ( ) 3 , ( ) 8 18 1, ( ) 

f x = x + x g x = x − x + x + h x = x + . Gọi m là 

x 

3 4 3 2 1 

số hàm số có một điểm cực trị, n là số hàm số có hai điểm cực trị . Tổng m + n bằng: 

A.1 B.2 C.3 D.4 

Lời giải: 

3 

+) Xét hàm số f ( x) 

= x + 3x 

, có ( ) 

2 

f ' x 3x 3 0, x 

biến trên khoảng ( −∞ ; +∞ ) . Do đó, hàm số y f ( x) 

+) Xét hàm số ( ) 

Phương trình g ( x) 

đi qua nghiệm 0 

g x x x x 

4 3 2 

= − 8 + 18 + 1 , ta có 

= + > ∀ ∈ R suy ra hàm số đã cho đồng 

= không có cực trị. 

3 

( ) ( ) 2 

g ' x = 4x − 24x + 36x = 4x x − 3 , ∀x 

∈ R 

⎡x 

= 0 

' = 0 ⇔ ⎢ ⇒ 

⎣x 

= 3 

x = suy ra hàm số y g ( x) 

1 

x 

+) Xét hàm số h( x) 

= x + , có ( ) 

Phương trình ( ) ⎨ 2 

trị. 

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy g '( ) 

= có một điểm cực trị. 

2 

1 x −1 

h ' x = 1 − = , ∀x 

≠ 0 . 

2 2 

x x 

⎧x 

≠ 0 ⎡x 

= 1 

h' x = 0 ⇔ ⇔ ⎢ 

⎩x 

− 1 = 0 ⎣x 

= −1 

Vậy m = n = 1 suy ra m + n = 2 

Chọn B 

suy ra hàm số y h( x) 

x chỉ đổi dấu khi 

= có hai điểm cực 

Ví dụ 6:[THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH – NGHỆ AN]: Cho hàm số y = f ( x) 

có đạo 

2 2 

hàm ( ) ( ) 

f ' x = x x − 4 , x ∈ R . Mệnh đề nào sau đây đúng? 














A. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị 

B. Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị 

C. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2 

D. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = − 2 

Lời giải: 

Xét hàm số y = f ( x) 

, ta có ( ) 2 ( 2 

2 

f ' x = x x − 4) 

và ( ) ( ) 

Phương trình f ( x) 

Trang54 

2 

⎡ x = x = 

0 ⎡ 0 

' = 0 ⇔ ⎢ ⇔ 

2 ⎢ 

⎣x 

= 4 ⎣x 

= ± 2 

f '' x = 4x x − 2 ; ∀x 

∈ R 

. Dễ thấy f '( ) 

x đổi dấu khi đi qua hai 

nghiệm x = 2, x = − 2 và không đổi dấu khi đi qua nghiệm x = 0. Vậy hàm số đã cho có hai 

( ) 

( ) 

⎧⎪ f '' 2 = 16 > 0 

điểm cực trị và ⎨ 

⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và đạt cực đại tại 

⎪⎩ f '' − 2 = − 16 < 0 

x = − 2 . 

Chọn A 

Nhận xét: Để tìm hiểu rõ dạng toán, giả thiết cho f '( ) 

định số điểm cực trị của hàm số, ta sẽ xét ví dụ dưới đây. 

2 

Ví dụ 7: Cho hàm số có đạo hàm f '( x) x ( x 1) ( x 2) 

cực trị ? 

x là một hàm đa thức và yêu cầu xác 

3 4 

= − + . Hàm số có bao nhiêu điểm 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Lời giải: 

Xét bài toán tổng quát: Hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x) 

g ( x) 

⎡x 

= x 

⎢ 

⎣x 

= x 

Phương trình f '( x) = 0 ⇔ g ( x) = 0 ⇔ m 

, ( x , x ∈R 

) 

Với x 

Với x 

Khi đó, f '( ) 

= x là nghiệm bội lẻ của ( ) 0 

m 

n 

m 

g x = , tức là ( ) a 

n 

= với mọi x ∈ R . 

x − x m 

với a là số lẻ. 

= xn 

là nghiệm bội chẵn của g ( x ) = 0 , tức là( x − x ) b 

n 

với b là số chẵn. 

x đổi dấu khi đi qua nghiệm bội lẻ (hoặc nghiệm đơn) và không đổi dấu khi đi 

qua nghiệm bội chẵn. Suy ra số điểm cực trị của hàm số chính là số nghiệm bội lẻ (hoặc 

nghiệm đơn) của phương trình f '( x ) = 0 . 

Quay trở lại với ví dụ 7, ta thấy f '( x ) = 0 có nghiệm bội lẻ duy nhất x = 1 nên hàm số duy 

nhất một điểm cực trị. 

Chọn B 

Ví dụ 8:[ĐỀ THI MINH HỌA THPT QG BGD – 2017]: Giá trị cực đại 

3 

bằng y = x − 3x 

+ 2 

Trang55 

y của hàm số 

A. y = 4 

B. y = 1 

C. y = 0 

D. y = − 1 

CD 

Lời giải: 

Áp dụng định lý 3 

Tính đạo hàm f '( ) 

CD 

x của hàm số. 

Tìm các nghiệm x ( i = 1,2,3,... ) của phương trình ( ) 

Với mỗi x 

i 

, tính giá trị x 

i 

. 

- Nếu ( ) 

i 

f '' x < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 

i 

- Nếu ( ) 

3 

Xét hàm số y x 3x 

2 

f '' x > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 

i 

CD 

f ' x = 0 . 

2 

= − + với x ∈ R , ta có f '( x) 

= 3x 

− 3 và ( ) 

2 ⎡x 

= 1 

' = 0 ⇔ − 1 = 0 ⇔ ⎢ ⇒ '' − 1 = − 6 < 0 . 

⎣x 

= −1 

Phương trình f ( x) x f ( ) 

x = − là điểm cực đại của hàm số. Vậy y f ( ) 

Suy ra 1 

Chọn A 

CD 

= − 1 = 4 

CD 

CD 

f '' x = 6 x; 

∀x 

∈ R . 

2 

x + 3 

Ví dụ 9:[ĐỀ THI THỬ NGHIỆM THPT QG – 2017]: Cho hàm số y = . Mệnh đề 

x + 1 

nào dưới đây đúng? 

A. Cực tiểu của hàm số bằng − 3. 

B. Cực tiểu của hàm số bằng 1. 

C. Cực tiểu của hàm số bằng − 6. 

D. Cực tiểu của hàm số bằng 2. 

Lời giải: 

( ) 

( ) 

' 

( ) ( ) ( ) ( ) 

Nhắc lại kiến thức: 

u x ⎡ ' . . ' 

' 

u x ⎤ u x v x − 

y = → y = ⎢ ⎥ = 

u x v x . 

2 

v( x) 

⎣ v ( x) 

⎦ 

v ( x) 

Xét hàm số y f ( x) 

2 

x + 3 

= = với 1 

x + 1 

x ≠ − , ta có ( ) 

2 

x + 2x 

− 3 8 

f ' x = ; f '( x) 

= 

+ 1 + 1 

( x ) 

( x ) 

2 3 


. 













Phương trình ( ) 

Trang56 

⎧ 

x ≠ − 1 ⎡x 

= 1 

f ' x = 0 ⇔ ⎨ 

⇔ f '' ( 1 ) 1 0 

2 

⎢ ⇒ = > . 

⎩ 

x + 2 x − 3 = 0 ⎣x 

= −3 

Suy ra x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy cực tiểu của hàm số bằng f 1 = 2 . 

Chọn D. 

Đặt vấn đề: Việc tìm điểm cực tiểu, điểm cực đại của hàm số, ta có thể lập bảng biến thiên 

hoặc tính đạo hàm cấp hai tại điểm x 

0 

(các định lý đã giới thiệu) nhưng với bài toán trên, tính 

đạo hàm cấp hai bằng cách thông thường rất dài và mất nhiều thời gian nên ta nhờ công cụ 

máy tính để rút ngắn thời gian, b 

hàm của hàm số tại điểm x = x 0 

) như sau: 

̌ Ta có f '( x) 

hoặc ''( 3) 

x 

= 

2 

+ 2x 

− 

3 ⎡ 1 

2 , phương trình f ' ( x ) = 0 ⇔ ⎢ 

( x + 1) 

⎣x 

= − 

f − mang giá trị âm hay dương để tìm cực tiểu, cực đại của hàm số. 

̌ Nhập biểu thức ( f '( x) 

) 

Với ( ) 

2 

d d ⎛ x + 2 x − 3 ⎞ 

→ 2 

dx x x 

dx 

0 

⎜ ( x + 1) 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Các giá trị x 

i 

x = 1 → f '' 1 > 0 → x 

= 1 là điểm cực 

i 

tiểu của hàm số. 

x = − 3 → f '' − 3 < 0 → x 

= − 3 là điểm 

Với ( ) 

i 

cực tiểu của hàm số. 

Kết luận:Để giải quyết một bài toán,bằng cách này hay cách khác sẽ luôn ra được kết quả, 

tuy nhiên ta cần lựa chọn cách giải ngắn, ít thời gian để giải quyết nhanh nó (như phần đặt 

vấn đề), dành thời gian cho các bài toán khó hơn. 

Ví dụ 10: Cho hàm số 

hiệu S = y1 − y2 

. 

A. S = − 1 

i gian, bằng cách sử dụng ( f '( x) 

) 

x 

y = 

2 

= x= 

1 

d 

dx = 

x = 

x x0 

(được hiểu là tính đạo 

. Ta c 

3 

Màn hình hiển thị 

− 3 x + 1 

có giá trị cực đại y 

1 

và giá trị cực tiểu là y 

2 

. Tính 

x 

B. S = − 5 

C. S = 4 

D. S = − 4 

( ) 

. Ta cần xét xem f ''( 1) 

Lời giải: 

Xét hàm số ( ) 

. 


Trang57 

2 

x − 3x 

+ 1 1 

y = f x = = x + − 3 với 0 

x x 

1 2 

= − = 

2 3 

x x 

x ≠ , ta có f '( x) 1 ; f ''( x) 

( ) 

( ) 

1 ⎡x 

= 1 ⎧⎪ 

f '' 1 = 2 > 0 

' = 0 ⇔ 1− = 0 ⇔ 

2 

x 

⎢ ⇒ ⎨ 

. 

⎣x 

= −1 ⎪⎩ f '' − 1 = − 2 < 0 

Suy ra hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x y f ( ) 

= 1 ⇒ = 1 = − 1. 

Và hàm số đã cho đạt cực đại tại x y f ( ) 

Chọn C 

Ví dụ 11: Giá trị cực tiểu của hàm số f ( x) 

1 

2 

= −1 ⇒ = − 1 = − 5 . Vậy S = y2 − y1 = 4 . 

2 

x −1 

= bằng a + 2 b . Tính tổng a + b 

x − 2 

A. 7 B. 6 C. 4 D. 3 

Lời giải: 

Xét hàm số f ( x) 


2 

x −1 

= 

x − 2 

2 

x − 4x 

+ 1 

f ' x = , ∀x 

≠ 2 . 

, có ( ) 

⎡ x = 2 − 3 

' = 0 ⇔ ⎢ 

⎢⎣ x = 2 + 3 

⇒ x = 2 + 3 là điểm cực tiểu của hàm số. 

Vậy CT ( ) 

Chọn A 

( x − 2) 

2 

f '' 2 + 3 > 0 . 

suy ra ( ) 

⎧a 

= 4 

y = f 2 + 3 = 4 + 2 3 = a + 2 b ⇒ ⎨ ⇒ a + b = 7 . 

⎩b 

= 3 


y x x 

2 

= − 2 + 3 + 1 có giá trị cực trị được biểu diễn dưới dạng m n 

với m, n là các số nguyên dương. Tổng m + n bằng 

A. 8 B. 5 C. 7 D. 6 

Lời giải: 

2 

2 

3x 3x − 2 x + 1 

Xét hàm số y = − 2x + 3 x + 1 với x ∈ R , ta có y ' = − 2 + = ; ∀x 

∈ R 

2 2 

x + 1 x + 1 














Phương trình 

Trang58 

y ' = 0 ⇔ 3x = 2 x + 1 ⇔ x = . Và 

5 

2 2 

⎛ 2 ⎞ 

⎧m 

= 1 

tiểu của hàm số. Vậy yCT 

= y⎜ 

⎟ = 5 = m n ⇒ ⎨ ⇒ m + n = 6 

⎝ 5 ⎠ ⎩n 

= 5 

Chọn D 

⎛ 2 ⎞ 2 

y '' ⎜ ⎟ > 0 ⇒ x = là điểm cực 

⎝ 5 ⎠ 

5 

Ví dụ 13: Gọi a và b là hai giá trị để hàm số f ( x ) có đạo hàm ( ) 

x > 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 và cực đại tại x = 2 . Tính tổng a + b 

b 

f ' x = 2ax 

+ 6 + với 

x 

A. a + b = − 4 B. a + b = − 5 C. a + b = 1 D. a + b = 2 

Lời giải: 

b 

b 

= + + ⇒ = − . 

x 

x 

Xét hàm số f ( x ) trên khoảng ( 0;+∞ ) , ta có f '( x) 2ax 6 f ''( x) 2a 

2 

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và cực đại tại 

⎧2a + 6 + b = 0 & 2a − b > 0 ⎧a 

= −1 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ ⇒ a + b = −5 

⎩8a + 12 + b = 0 & 8a − b < 0 ⎩b 

= −4 

Chọn B 

Ví dụ 14: Cực tiểu của hàm số ( 3) 

y = x − x bằng 

( ) f ( ) 

( ) f ( ) 

⎧⎪ f ' 1 = 0 & '' 1 > 0 

x = 2 ⇔ ⎨ 

⎪⎩ f ' 2 = 0 & '' 2 < 0 

A. − 2 

B. 0 C. 1 D. -1 

Lời giải: 

⎧A khi A ≥ 0 

Nhắc lại kiến thức về dấu trị tuyệt đối: A = ⎨ . 

⎩ − A khi A < 0 

Chú ý: Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0, khi xét cực trị hàm số ta 

không cần chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0 (xem định lý 2, giải tích 12 

nâng cao). 

( ) 

⎧ 

⎪ x − 3 x khi x ≥ 0 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R . Ta có y = ⎨ 

. 

⎪⎩ ( x − 3) 

− x khi x < 0 

( ) 

⎧3 x −1 

khi x > 0 

⎪ 2 x 

Khi đó y ' = ⎨ 

⎪ 3 − x 

+ − x khi x < 0 

⎪⎩ 

2 −x 

. Trên ( −∞;0 ) → y ' > 0 và ( ) 

0; +∞ → y ' = 0 ⇔ x = 1 


Hàm số đạt cực đại tại x = 0, 

Chọn A 

Ví dụ 15: Cho hàm số y = 

f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm 

tập hợp tất cả các giá trị của m 

năm điểm cực trị. 

A. m > 1 

C. m < 1 

Lời giải: 

Dựa vào đồ thị hàm số, dễ thấ 

Xét hàm số ( ) ( 

Trang59 

B. m > − 1 

D. m < − 1 

f x + m = x + m = 3 x + m 

+ 2 với x ∈ R . 

Chú ý: Cực trị là điểm làm y 

' 

Do đó ( ) ⎡( 


⎡ 

x = 0 

' = 0 ⇔ ⎢ 

⎢⎣ 

2 

( x + m) = 1 (*) 

Khi đó y = f ( x + m) 

có 5 điểm cực trị (*) 

Chọn D 

4 

x 3 

2 

Ví dụ 16: Biết rằng x = m 

là một điểm cực trị của hàm số 

y = − mx + x . Tính m. 

2 2 

1 

A. m = 0 

B. m = 1 

C. m = − D. m = 1± 

3 

2 

Lời giải: 

f 0 = 0 , hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 

0, ( ) 

( ) 

m để đồ thị hàm số y f ( x m) 

ấy hàm số ( ) 

3 

) ( ) 

f ' x + m = 3 x + m) 2 

− 

1 ⎤ 

. x . 

⎣ 

⎦ x 

3 

f x x x 

= + có 

= − 3 + 2 . 

2 x 

= = ⇒ = 2x 

= x 

2 

2 x x 

. 

y đối đầu và f ( x) x x f '( x) 

= , ( ) 

⇔ có 4 nghiệm phân biệt ⇔ 

m < − 

1 


f 1 = − 2 . 













4 

x 3 2 

3 

Xét hàm số 

y = − mx + x 

, ta có y ' = 2x − 3mx 

+ 1 và y '' = 4 x − 3 m ; 

∀ x 

∈ R . 

2 2 

Vì x = m là điểm cực trị của hàm s 

Chọn B 

Ví dụ 17: Tập hợp tất cả các giá tr 

A.( 6;6 ) \ { 0} 

Lời giải: 

− B.[ 

2 mx 

Hàm số có tập xác định D = [ 

− 2;2] , ta có y ' = 3 x − , ∀x 

∈ ( − 

2;2 ) . 

2 

4 − x 

Phương trình 

Để hàm số có ba điểm cực trị 

Và ( ) ( ) 

Trang60 

y 

x→−2 x→2 

2 

mx 

x. 3x 4 − x − m ⎡ 

x = 0 

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ ⎢ 

2 

4 − x 

4 − x 

⎢⎣ 

m = 3 x 4 − 

x * 

2 

' 0 3x 

0 0 

2 2 

2 

12 − 6x 

f ' ( x) = ; f '( x) 

= 0 ⇔ x 

= ± 

2 

2 

4 − x 

lim f x = 0; lim f x = 0; f 2 = 6; f 

− 2 = − 6 . 

Dựa vào bảng biến thiên ⇒ (** có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ m 

∈ ( − 

6;6 \ 0 

Chọn A 

Ví dụ 18:[ĐỀ THI THỬ NGHIỆM THPT QG – 2017]: Cho 

hàm số y f ( x) 

= xác định, liên tục trên đoạn và có đồ thị là 

đường cong như hình vẽ bên. Hàm s 

nào dưới đây ? 

A. x = − 2 

C. x = 1 

Lời giải: 

B. x = − 1 

D. x = 2 

Dựa vào đồ thị hàm số, dễ thấy x = − 1 là điểm cực đại của hàm số. 

Chọn B 

⎡m 

= 1 

⇒ y ' m = 0 ⇔ 2m − 3m 

+ 1 = 0 ⇔ ⎢ 

1 . 

⎢ m = 

⎣ 2 

a hàm số ( ) 

2 

f x = 3x 4 − x 

có 3 cực trị là 

các giá trị m để hàm số ( ) 

2 

[ − 6;6 ] \ { 0} 

C.[ 2;2 ] \ { 0} 

khi và chỉ khi ( ) 

− D. − 2;2 \ 0 

( ) 

* có hai nghiệm phân biệt khác 0. 

2 

Xét hàm số f ( x) = 3x 4 − x trên ( 2;2) 

) 

( ) ( ) 

bên. Hàm số f ( ) 

− , ta có 

x đạt cực đại tại điểm 

D.( ) { } 

) { } 

( ) 

Ví dụ 19: Cho hàm số y = f x xác định, liên tục 

trên đoạn [ 1;3 ] 

Trang61 

− và có đồ thị hình vẽ bên. Khẳng định 

nào sau đây là đúng? 

A. Hàm số có hai điểm cực c đại là x = − 1, x = 2 

B. Hàm số có hai điểm cực c tiểu là x = 0, x = 3 

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , cực đại tại x = 2 

D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , cực đại tại 

x = − 1 

Lời giải: 

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng: 

Chọn C 

Hàm số đạt cực đại tại 

x = 2 

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 


f x xác định trên R và có 

đồ thị của hàm số f 

'( 

x ) như hình vẽ. Đặt 

( ) ( ) 

nào sau đây ? 

A. x = − 1 

C. x = 1 

Lời giải: 

B. x = 0 

D. x = 2 

Xét hàm số g ( x) = f ( x) 

− 

x , có g ( x) f ( x) 


g ' x = 0 ⇔ f ' x 

− 1 = 

0 

Dựa vào đồ thị hàm số f '( x 

) 

phân biệt và g '( ) 

Mà '( ) 

x đổi dấu khi đi qua hai điểm x = − 1 , x = 2 . 

g x đổi dấu " + " → " − " khi đi qua x = 2 ⇒ x = 2 là điểm cực đại củ 

Chọn D 

2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 

Câu 1: Cho hàm số 

( ) 

( ) 

( ) 

g x = f x − x . Hàm số g x đạt cực đại tại điểm 

( ) 

y x x x 

' = ' − 1 

f x , kẻ đường thẳng y = 1 , ta thấy rằng g '( 

x ) = 0 có 3 nghiệm 

3 2 

= 2 − 5 + 4 + 1999 . Gọi 

1 

cực đại và cực tiểu của hàm số. Kết luận nào sau đây là đúng ? 

g x . 

ủa hàm số ( ) 

x và x 

2 

lần lượt t là hoành độ hai điểm 














A. x2 x1 

Trang62 

2 

1 

1 

1 

− = B. 2x2 − x1 

= C. 2x1 − x2 

= D. x1 − x2 

= 

3 

3 

3 

3 

3 2 

Câu 2: Số điểm cực trị của hàm số y = 2x − 5x + 4x 

+ 1999 là: 

A.1 B.2 C.3 D.4 

3 2 

Câu 3: Hàm số y = 2x + 3x − 12x 

+ 2016 có hai điểm cực trị lần lượt là Avà B. Kết luận nào 

sau đây là đúng? 

A. A( − 2;2035) 

B. B ( 2;2008) 

C. A( − 2;2036 ) D. B ( 2;2009) 

3 2 

Câu 4: Giá trị cực đại của hàm số y = 2x − 5x + 4x 

+ 1999 là: 

A. 54001 

27 

B.2 C. 54003 

27 

3 2 

Câu 5: Giá trị cực tiểu của hàm số y = 2x + 3x − 12x 

+ 2016 là: 

A.2006 B.2007 C.2008 D.2009 

3 2 

Câu 6: Hàm số y = 3x − 4x − x + 2016 đạt cực tiểu tại: 

−2 

−1 

A. x = B. x = 1 

C. x = D. x = 2 

9 

9 

3 2 

Câu 7: Cho hàm số y = x + 3x − 9x 

+ 2017 .Gọi x 

1 

và x2 

lần lượt là hoành độ hai điểm cực 

đại và cực tiểu của hàm số. Kết luận nào sau đây là đúng ? 

A. x1 − x2 = 4 B. x2 − x1 = 3 C. x1 x 

2 

= − 3 D.( x − x ) 2 

= 

3 2 

Câu 8: Hàm số y = − x + 8x −13x 

− 1999 đạt cực đại tại: 

13 

−13 

A. x = B. x = 1 

C. x = D. x = 2 

3 

3 

3 2 

Câu 9: Hàm số y = x − 10x + 17x 

+ 25 đạt cực tiểu tại: 

10 

17 

A. x = B. x = 25 

C. x = 17 

D. x = 

3 

3 


y x x x 

3 2 

= 2 + 3 − 12 + 2016 .Gọi 

1 

cực đại và cực tiểu của hàm số. Kết luận nào sau đây là đúng ? 

D.4 

1 2 

8 

x và x2 

lần lượt là hoành độ hai điểm 

A. x1 − x2 = 4 B. x2 − x1 = 3 C. x1 x 

2 

= − 3 D.( x − x ) 2 

= 

2 2 

Câu 11: Hàm số y = 3x − 4x − x + 258 đạt cực đại tại: 

1 2 

8 

−2 

1 

1 

A. x = B. x = 1 

C. x = D. x = − 

9 

9 

9 

3 2 

Câu 12: Hàm số y = − x + 8x −13x 

− 1999 đạt cực tiểu tại: 

1 

A. x = 3 

B. x = 1 

C. x = D. x = 2 

3 

Câu 13: Biết hàm số 

Trang63 

3 2 

y x x x 

Nhận định nào sau đây không đúng ? 

= − 6 + 9 − 2 có hai điểm cực trị là ( , ) 

A x y và ( , ) 

A. x1 − x2 = 2 B. y1 y 

2 

= − 4 C. y1 = − y2 

D. AB = 2 6 

Câu 14: Hàm số nào dưới đây có cực đại 

4 2 

x −1 

2 − x 

A. y = x + x + 1 B. y = C. y = 

x + 

2 

2 

x + 2 

Câu 15: Tổng số điểm cực đại của hai hàm số ( ) 

( ) 

y g x x x 

4 2 

= = − + + 2 là 

1 1 

B x y . 

2 2 

2 

D. y = x − 2x 

y f x x x 

A.1 B.2 C.3 D.4 

Câu 16: Tổng số điểm cực tiểu của hai hàm số ( ) 

( ) 

y g x x x 

4 2 

= = − + + 2 là 

4 2 

= = − + 3 và 

y f x x x 

A.1 B.2 C.3 D.4 

3 2 

Câu 17: Cho hai hàm số y = f ( x) 

= x − x + 3 và ( ) 

điểm cực trị, cực đại, cực tiểu của 2 hàm số lần lượt là: 

3 2 

= = − + 3 và 

4 2 

x 3x 

y = g x = − − x + 2 . Tổng số 

4 2 

A.5; 2; 3 B.5; 3; 2 C. 4; 2; 2 D.3; 1; 2 

Câu 18: Cho hàm số y x 3 6x 2 9x 4 ( C) 

= − + − − . Tọa đồ cực đại của hàm số là 

A. A( 1; − 8) 

B. A( 3; − 4) 

C. A( 2; − 2) 

D. A( − 1;10 ) 

Câu 19: Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 4 ( C) 

. Gọi A và B là tọa độ hai điểm cực trị của ( ) 

Diện tích tam giác OAB bằng: 

A.4 B.8 C.2 D. 3 

Câu 20: Đồ thị hàm số y x 3 3x 2 9x 2 ( C) 

và( x2; 

y 

2 ) . TínhT = x1 y2 − x2 y1 

C . 

= − − + có điểm cực đại, cực tiểu lần lượt là( x ; y ) 

A.4 B. − 4 

C.46 D. − 46 

Câu 21: Cho hàm số y x 3 x 2 x 1 ( C) 

hàm số là 

1 1 

= − − + . Khoảng cách từ O đến điểm cực tiểu của đồ thị 














A. 3 B.2 C. 

Câu 22: Khẳng định nào sau đây sai: 

3 

A. Hàm số y = x + 3x 

+ 2 không có cực trị. 

3 2 

B. Hàm số y = x − 2x − x có 2 điểm cực trị. 

3 2 

C. Hàm số y = x − 6x + 12x 

+ 2 có cực trị. 

3 

D. Hàm số y = x + 1 không có cực trị. 

Trang64 

1105 

729 

3 2 

4 2 

Câu 23: Giả sử hàm số y = x − 3x + 3x 

+ 4 có a điểm cực trị, hàm số y = x + 4x 

+ 2 có b 

2x 

−1 

điểm cực trị và hàm số y = có c điểm cực trị. Giá trị của T = a + b + c là: 

x + 1 

A.0 B.3 C.2 D.1 

Câu 24: Hàm số ( ) 

2 

y = f x = x − 2x 

có bao nhiêu điểm cực trị ? 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 25: Cho hàm số ( ) 

y f x x x 

4 2 

= = − − 4 + 2 . Chọn phát biểu đúng: 

A. Hàm số trên có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. 

B. Hàm số trên có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. 

C. Hàm số trên có 1 điểm cực trị là điểm cực đại. 

D. Hàm số trên có 1 điểm cực trị là điểm cực tiểu. 

Câu 26: Hàm số nào sau đây không có cực trị: 

2 

3 2 

x + 1 

4 3 

x + x 

A. y = x + x + 1 B. y = C. y = x + 3x 

+ 1 D. y = 

x − 1 

x −1 


⎡x 

= 1 

A. ⎢ 

⎣x 

= 3 

3 2 

y f x x x x 


= = + − + 4 đạt cực trị khi: 

⎡x 

= 0 

B. ⎢ 

⎢ 

2 

x = − 

⎣ 3 

y f x x x 

A. Hàm số trên có 3 điểm cực trị. 

⎡x 

= 1 

C. ⎢ 

⎢ 

1 

x = − 

⎣ 3 

4 2 

= = 3 − 2 + 2 . Chọn phát biểu sai: 

B. Hàm số trên có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu. 

C. Hàm số trên có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu. 

D. Hàm số trên có cực đại và cực tiểu. 

D.1 

⎡x 

= −1 

D. ⎢ 

⎢ 

1 

x = 

⎣ 3 


Trang65 

2 

3 5x 

y = f x = 2x − − x − 4 đạt cực đại khi: 

2 

1 

1 

A. x = 1 

B. x = − C. x = − 1 

D. x = 

6 

6 


là: 

3 

y f x x x 

= = − 3 + 1 có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị 

A. 2x 

+ y − 1 = 0 B. x + 2y 

− 1 = 0 C. 2x 

− y − 1 = 0 D. x − 2y 

+ 1 = 0 

Câu 31: Hàm số( ) 

⎡x 

= 1 

A. ⎢ 

⎢ 

1 

x = 

⎣ 3 


cực tiểu ( y ) 

CT 

3 2 

C : y = x − 2x + x + 1 đạt cực trị khi: 

⎡x 

= −1 

B. ⎢ 

⎢ 

1 

x = − 

⎣ 3 

3 

C : y 2x 2x 

của hàm số đã cho là: 

⎡x 

= 3 

C. ⎢ 

⎢ 

1 

x = − 

⎣ 3 

⎡x 

= 3 

D. ⎢ 

⎢ 

10 

x = − 

⎣ 3 

= − . Hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại ( y ) 

A. yCT 

= 2yCD 

B. 2yCT 

= 3yCD 

C. yCT = − yCD 

D. yCT = yCD 


2 

C : y = x − x + 1 . Hàm số đạt cực trị tại: 

1 

1 

A. x = 1 

B. x = C. x = − D. x = − 1 

2 

2 

2 

Câu 34: Hàm số( C) y ( x ) 2 

: = − 2 − 3 đạt cực đại khi: 

A. x = − 2 B. x = 2 

C. x = 1 

D. x = 0 

Câu 35: Cho hàm số( C ) 

x 

: y = 

(1) Hàm số đạt cực đại tại x = − 1 

(2) Hàm số có − 3x 

CD 

= x CT 

2 

+ 2x 

+ 1 

x −1 

(3) Hàm số nghịch biến trên ( −∞; − 1) 

(4) Hàm số đồng biến trên ( − 1;3 ) 

Chọn phát biểu đúng là: 

A.(1), (4) B.(1), (2) C.(1), (3) D.(2), (3) 


2 4 

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 . 

CD 

và giá trị 

C : y = 2x − x . Chọn phát biểu sai trong các phát biểu dưới đây: 














B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 1. 

C. Hàm số có hai cực trị. 

D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( 0;0 ) . 

Trang66 

ĐÁP ÁN TRẤC NGHIỆM 

1-C 2-B 3-C 4-A 5-D 6-B 7-C 8-A 9-D 10-B 

11-C 12-B 13-D 14-C 15-C 16-B 17-A 18-B 19-A 20-B 

21-D 22-C 23-D 24-A 25-C 26-B 27-D 28-B 29-B 30-A 

31-A 32-C 33-B 34-D 35-B 36-C 

VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA 

I. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ 

3 2 

Bài toán: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d . Tìm điều kiện để hàm số có cực trị. 

PHƯƠNG PHÁP CHUNG 

Ta có đạo hàm y ' 3ax 2 2 bx c, y' 0 3ax 2 2bx c 0 (*) 

= + + = ⇔ + + = . 

a. Hàm số không có cực trị: Ta xét hai trường hợp: 

Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì y ' = 2bx + c . 

Điều kiện là y' không đổi dấu ⇔ b = 0 và c ≠ 0 

Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0 thì điều kiện y' không đổi dấu ⇔ ∆ ' ≤ 0 . 

b. Hàm số có cực trị: Ta xét hai trường hợp: 

Trường hợp 1: Nếu 0 

a = thì ( ) 

* ⇔ 2bx 

+ c = 0. Điều kiện là b ≠ 0 

Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt 

c. Hàm số có cực đại, cực tiểu: 

⎧a ≠ 0 

⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ⎨ 

⎩ ∆ ' > 0 

d. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K: 

Ta thực hiện theo các bước sau: 

Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu: 

⎧a ≠ 0 

⇔ ⎨ 

⎩ ∆ ' > 0 

⎧a ≠ 0 


⎩ ∆ ' > 0 

Khi đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x 

2 

thỏa mãn hệ thức Viet. 

Bước 2: Kiểm tra điều kiện K 

e. Hàm số có cực đại, cực tiểu trong khoảng I 

⇔ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong khoảng I 

f. Hàm số có cực đại trong khoảng I 

Ta xét hai trường hợp: 

Trường hợp 1: Nếu 0 

Trang67 

a = thì( *) ⇔ 2bx 

+ c = 0 ( 1) 

Điều kiện là phương trình (1) có nghiệm duy nhất thuộc I và qua đó y' đổi dấu dương sang âm 

⎧b 

< 0 

⎪ 

⇔ ⎨ c 

⎪ − ∈ I 

⎩ 2b 

Trường hợp 2: Nếu a ≠ 0 , ta thực hiện như các bước: 

Bước 1: Hàm số có cực đại 

⎧a ≠ 0 


⎩ ∆ ' > 0 

Khi đó, phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 

Bước 2: Tùy theo a, ta lập bảng biến thiên của hàm số 

Từ bảng biến thiên suy ra hoành độ điểm cực đại x CĐ 

Bước 3: Hàm số có cực đại trong khoảng I ⇔ x ∈ I 

Tương tự cho trường hợp cực tiểu. 

g. Hàm số đạt cực tiểu tại x 

h. Hàm số đạt cực đại tại x 

0 

0 

( x0 

) 

( x ) 

⎧⎪ y ' = 0 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ y ' 

0 

> 0 

( x0 

) 

( x ) 

⎧⎪ y ' = 0 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ y ' 

0 

< 0 

i. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số: 

Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số D = R 

Bước 2: Tính đạo hàm y', thiết lập phương trình ' 0 

Bước 3: Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ ( 2) 

CD 

y = , giả sử f ( x ) = 0 ( 2) 

⎧a ≠ 0 

có hai nghiệm phân biệt ⇔ ⎨ 

⎩ ∆ > 0 














Bước 4: Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 , x 

2 

. 

Bước 5: Để xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số, 

ta thực hiện theo cách sau: 

Thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta được 

Ta có: 

y 

+) Gọi ( x ; y ) là tọa độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị hàm số ( ) 

Trang68 

0 0 

Do đó y = y( x ) = y' ( x ). 

g ( x ) + h( x ) = h( x ) 

0 0 0 0 0 0 

y' x = 0 

+) Thấy ngay rằng các tọa độ điểm cực đại và cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình 

( ) 

= h x . Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số 

0 0 

có dạng y h( x) 

= . 

2. VÍ DỤ MINH HỌA 

3 2 

Ví dụ 1: Đồ thị hàm số y = x − 9x + 24x 

+ 4 có các điểm cực tiểu và điểm cực đại lần lượt 

là ( x ; y ) và ( ; ) 

1 1 

x2 y 

2 . Giá trị của biểu thức T x1 y2 x2 y1 

= − bằng: 

A. T = − 56 

B. T = 56 

C. T = 136 

D. T = − 136 

Lời giải: 

3 2 

2 

Xét hàm số y = x − 9x + 24x 

+ 4 , ta có y ' = 3x − 18x 

+ 24 và y '' = 6x − 18; ∀x 

∈ R 

2 ⎡x 

= 2 → y = 24 ⎧⎪ y '' 2 = − 6 < 0 

Phương trình y ' = 0 ⇔ 3x − 18x 

+ 24 = 0 ⇔ ⎢ và ⎨ 

⎣x 

= 4 → y = 20 ⎪⎩ y ''( 4) 

= 6 > 0 

( x1 ; y1 

) = ( 4;20) 

( x ; y ) = ( 2;24) 

⎧⎪ 

⇒ ⎨ 

⇒ T = x1 y2 − x2 y1 

= 4.24 − 2.20 = 56 

⎪⎩ 2 2 

Chọn B 

1 3 1 2 

Ví dụ 2: Cho hàm số y = − x − x + 2x 

− 1 . Gọi x = a và x = b lần lượt là điểm cực đại 

3 2 

a + 1 

và cực tiểu của hàm số đã cho. Giá trị của biểu thức T = là: 

b − 2 

1 

A. T = − 1 

B. T = 1 

C. T = − D. T = 2 

2 

Lời giải: 

1 3 1 2 

2 

Xét hàm số y = − x − x + 2x 

− 1 , ta có y ' = −x − x + 2; ∀x 

∈ R 

3 2 

( ) 

0 

2 ⎡x 

= 1 

1 ⎧x 

Phương trình y ' = 0 ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ ⎢ . Do hệ số a = − < 0 nên ⎨ 

⎣x 

= −2 

3 ⎩x 

a + 1 1 + 1 1 

Vậy giá trị của biểu thức T = = = − 

b − 2 −2 − 2 2 

Chọn C 

Trang69 

CD 

CT 

= 1 

= −2 

3 2 

Ví dụ 3: Khoảng cách giữa hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x − 3x 

bằng: 

A. d = 2 

B. d = 2 2 C. d = 5 

D. d = 2 5 

Lời giải: 

3 2 

2 

Xét hàm số y = x − 3x 

, ta có y ' = 3x − 6 x; 

∀x 

∈ R 

( ) 

⎡x 

= 0 → y 0 = 0 

2 


= 0 ⇔ ⎢ 

⎢⎣ x = 2 → y ( 2) 

= −4 

Suy ra hai điểm cực trị là A ( 0;0) 

và ( 2; 4) 

Chọn D 

2 2 

B − . Vậy AB = 2 + 4 = 2 5 

Ví dụ 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên khoảng ( ; ) 

a b và có đạo hàm cấp hai trên khoảng 

2 

( a; 

b ) . Biết điểm x ∈ ( a; 

b) 

thỏa mãn f '( x ) = 0 và ( ) ( ) 

là tham số thực. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ? 

A. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 

0 

B. Hàm số đạt cực đại tại điểm x 

0 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( a; 

b ) 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; 

b ) 

Lời giải: 

0 

f '' x = x − 2 . x + m − m + 2 với m 

2 

Xét hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x ) và đạo hàm cấp hai là ( ) ( ) 

0 

f '' x = x − 2 . x + m − m + 2 

2 

Ta có f '( x ) = 0 ⇒ x là điểm cực trị của hàm số. Và ( ) ( ) 

0 0 

0 

f '' x = x − 2 x + m − m + 2 

0 0 0 

x ∈ R 

⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 4 ⎩m 

∈ R 

2 

2 2 

2 ⎛ 1 ⎞ 3 ⎧ 0 

⇒ f ''( x0 ) = x0 − 2x0 + m − m + 2 = ( x0 

− 1) 

+ m − + > 0; ∀⎨ 

Suy ra 

0 

Chọn A 

f x . 

x là điểm cực tiểu của hàm số ( ) 














3 2 

Ví dụ 5: Cho hàm số y x 3x 

4 

Trang70 

= − + và ( 3;2 ), ( 1;0 ) 

M N − . Gọi (d) là đường thẳng đi qua 

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Đường thẳng (MN) cắt (d) tại P. Tính tỉ số MP 

NP 

A. 4 3 

Lời giải 

B. 3 2 

Để giải quyết được bài toán, điểm mấu chốt chính là viết phương trình đường thẳng đi qua 

C. 1 2 

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số, ta có thể làm theo ba cách sau: 

Cách 1. Gọi ( ; ), ( ; ) 

1 1 2 2 

D. 2 3 

A x y B x y là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 

x − x1 y − y1 

Khi đó, phương trình đường thẳng AB có dạng = 

x − x y − y 

2 1 2 2 

Cách 2. Thực hiện phép chia đa thức y cho y' như phần lý thuyết. 

Cách 3. Thực hiện phép tính g ( x) y [ CT ] 

y '. y '' 

3 

= − với a là hệ số của x và y', y'' 

18a 

lần lượt là đạo hàm cấp một, cấp hai của hàm số. Khi đó y g ( x) 

qua hai điểm cực trị của hàm số. 

3 2 

2 


+ 4 , ta có y ' = 3x − 6x 

và y '' = 6x − 6; ∀x 

∈ R 

= chính là đường thẳng đi 

⎡x = 0 → y 0 = 4 0;4 

2 ⎪ ⎧A 


= 0 ⇔ ⎢ 

⇒ ⎨ 

⎢⎣ 

x = 2 → y ( 2) 

= 0 ⎪⎩ 

B ( 2;0) 

 

AB = 2; −4 ⇒ n = 2;1 ⇒ phương trình đường thẳng ( AB) : 2x + y − 4 = 0 . 

Khi đó ( ) ( ) ( ) 

AB 

y '. y '' 

18a 

( ) 

Hoặc sử dụng [ CT ] : g ( x) 

= y − , ta thấy ( ) 

Gán ( ) 

g x x x 

( ) 

3 2 

= − 3 + 4 − 

( 3x 2 − 6x)( 6x 

− 6) 

x = 100 → g 100 = − 196 = − 2.100 + 4 = − 2x + 4 ⇒ y = − 2x 

+ 4 là đường thẳng đi qua 

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Vậy phương trình đường thẳng ( d ) : 2x + y − 4 = 0 

2.3 + 2 − 4 4 

Ta có dM 

→ ( ) 

= = 

d 

2 2 

2 + 1 5 

d 

Chọn D 

N →( d ) 

( ) 

2. − 1 + 0 − 4 6 MP dM 

2 

= = ⇒ = = 

2 2 

2 + 1 5 NP dN 

3 

18 

Ví dụ 6: Gọi ( ) 

Trang71 

3 2 

∆ đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 3x − 9x 

+ 1 

. Giá trị của tham số m dương và gần giá trị nào nhất để ba đường thẳng ( ),( d ),( d ) 

2 

( d ) x y ( d ) ( m ) x y m 

: 2 + − 1 = 0, : + 1 − + − 2 = 0 đồng quy là 

1 2 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Lời giải 

3 2 

2 

Xét hàm số y = x − 3x − 9x 

+ 1, ta có y ' = 3x − 6x − 9, ∀x 

∈ R 

⎡x 

= 3 → y 3 = −26 

Phương trình y ' = 0 ⇔ ⎢ 

⇒ ( ∆ ) : 8x + y + 2 = 0 . 

⎢⎣ x = −1 → y ( − 1) 

= 6 

Tọa độ giao điểm của ( ∆ ) và ( ) 

( ) 

Vì ( ∆ ),( d ),( d ) đồng quy nên ( ) 

giá trị 2 nhất. 

Chọn C 

1 2 


⎧ 1 

⎧8x + y + 2 = 0 ⎪x 

= − ⎛ 1 ⎞ 

d 

1 là ⎨ ⇔ ⎨ 2 ⇒ M ⎜ − ;2 ⎟ . 

⎩2x 

+ y − 1 = 0 ⎪ 2 

y = 2 

⎝ ⎠ 

⎩ 

3 2 

y x x x 

∆ với 

1 2 

⎧ m > 0 1+ 

73 

M ∈ d 2 suy ra ⎨ 

→ m và m gần 

2 

⎩2m 

− m − 9 = 0 4 

= − 2 + 2 + 1 . Gọi (d) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị 

của đồ thị. Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) song song với đường 

∆ : 36m x − 9y + 9m 

+ 10 = 0 . 

thẳng ( ) 

2 

1 

1 

A. ∑ m = 

B. ∑ m = 0 C. ∑ m = − D. 

3 

3 

Lời giải 


3 2 

y x x x 

∑ 

2 

m = 

3 

2 

= − 2 + 2 + 1, ta có y ' = 3x − 4x 

+ 2 và y '' = 6x − 4; ∀x 

∈ R . 

Tuy nhiên, dễ thấy phương trình y ' = 0 có nghiệm vô tỷ (nghiệm xấu) nên việc viết phương 

trình đường thẳng (d) theo cách thông thường thì sẽ dài và tốn thời gian. Vậy trong trường 

hợp này ta sẽ dụng công cụ tổng quát [ ] : ( ) 

Ta có ( ) 

3 2 

g x x x x 

y '. y '' 

CT g x = y − . 

18a 

( 3x 2 − 4x + 2)( 6x 

− 4) 

= − 2 + 2 + 1 − . 

18 

413 4.100 + 13 4 13 4 13 

x = → g = = = x + ⇒ y = x + là đường thẳng đi qua 

9 9 9 9 9 9 

Gán 100 ( 100) 

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 














Theo bài ra, ta có ( d ) ( ) 

Chọn A 

Trang72 

⎧ 2 4 

2 

4m 

= ⎧9m 

= 1 

⎪ 9 ⎪ 

1 

∆ ⇒ ⎨ 

⇔ ⎨ 1 ⇔ m = − . 

⎪ 10 13 m ≠ 

3 

m + ≠ ⎪ 

⎩ 3 

⎪⎩ 9 9 

3 2 

Ví dụ 8: Gọi a, b, c là các giá trị sao cho hàm số f ( x) = x + ax + bx + c đạt cực trị bằng 0 

tại điểm 2 

x = − và đồ thị hàm số của nó đi qua điểm ( 1;0 ) 

M . Tính tổng a + b + c 

A. 36 B. 29 C. 25 D. 40 

Lời giải 

2 2 2 

Đồ thị hàm số đi qua điểm M ( 1;0 ) suy ra f ( 1) 0 a b c 1 0 a b c 1 ( 1) 

3 2 

2 

Xét hàm số f ( x) = x + ax + bx + c , ta có ( ) 

Hàm số đạt cực trị tại 2 

x = − và ( ) 

( ) 

( ) 

f − 2 = 0 suy ra 

⎧⎪ 

f ' − 2 = 0 ⎧12 − 4a + b = 0 

⎨ ⇔ ⎨ 

⎪⎩ f − 2 = 0 ⎩4a − 2b + c − 8 = 0 

= ⇔ + + + = ⇔ + + = − . 

f ' x = 3x + 2 ax + b; 

∀x 

∈R . 

( 2) 

⎧a + b + c = − 1 ⎧a 

= 3 

⎪ 

⎪ 

2 2 2 

Từ (1),(2) ta được ⎨4a − b = 12 ⇔ ⎨b = 0 ⇒ a + b + c = 25 . 

⎪4a 2b c 8 ⎪ 

⎩ − + = ⎩c 

= −4 

Chọn C 

Ví dụ 9:[ĐỀ THI THỬ NGHIỆM THPT QG – 2017]: Biết hai điểm M ( 0;2 ), N ( 2; − 2) 

là 

3 2 

điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d . Tính giá trị của hàm số tại x = − 2 

A. y( − 2) 

= 2 B. y( − 2) 

= 22 C. y( − 2) 

= 6 D. ( ) 

Lời giải 

3 2 

2 

Xét hàm số y = ax + bx + cx + d , ta có y ' = 3ax + 2 bx + c; 

∀x 

∈ R . 

Đồ thị hàm số đi qua hai điểm cực trị M ( 0;2 ), N ( 2; − 2) 


y − 2 = − 18 

⎧c 

= 0; d = 2 

⎧ ⎪y '( 0 ) = y '( 2) 

= 0 ⎪ 

⎧a = 1; b = −3 

⎨ ⇔ ⎨ a + b + c = ⇔ ⎨ ⇒ y = x − x + 

⎪⎩ y ( 0) = 2; y ( 2) 

= − 2 ⎪ 

⎩c 

= 0; d = 2 

⎩8a + 4b + 2c + d = −2 

Vậy giá trị của hàm số tại 2 

Chọn D 

3 2 

12 4 0 3 2 

x = − là ( ) 

f − 2 = − 18 . 

Ví dụ 10: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số 

tại điểm x = 2 

Trang73 

3 2 

y 4x mx 12x 

= + − đạt cực tiểu 

A. m = − 9 

B. m = 2 

C. m = − 2 

D. m = 9 

Lời giải 

3 2 

2 

Xét hàm số y = 4x + mx − 12x 

, ta có y ' = 12x + 2mx 

− 12 và y '' = 24x + 2 m; 

∀x 

∈ R . 

( ) 

⎧ 

2 

⎪ y ' 2 = 0 ⎧ 12.2 + 2 m.2 − 12 = 0 ⎧4m 

+ 36 = 0 

Theo bài ra, ta có ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m = −9 

. 

⎪⎩ 

y ''( 2) 

> 0 ⎩24.2 + 2m 

> 0 ⎩m 

+ 24 > 0 

Chọn A 

3 2 2 

Ví dụ 11: Cho hàm số ( ) ( ) 

y = − 2x + 2m −1 x − m − 1 x + 2 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị 

nguyên của tham số m để hàm số đã cho có hai điểm cực trị 

A. 4 B. 5 C. 3 D. 6 

Lời giải 

2 2 

y' 6x 2 2m 1 x m 1; x 


, ta có ( ) 

= − + − − + ∀ ∈R . 

Phương trình y' = 0 ⇔ 6x 2 − 2( 2m − 1) x + m 

2 − 1 = 0 (*) 

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị ⇔ phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt. 

⇔ (*) 

có hai nghiệm phân biệt ( ) ( ) 

2 + 3 2 2 − 3 2 

m 

2 2 

2 2 2 

⇔ ∆ ' > 0 ⇔ 2m −1 − 6 m − 1 > 0 ⇔ 2m + 4m 

− 7 < 0 

⇔ − < < − . Mà m ∈ Z suy ra { 3; 2; 1;0;1 } 

Chọn B 


3 2 

y x ax bx 

2 2 

nhỏ nhất của biểu thức T = a + b . 

A. 7 5 

Lời giải 

m = − − − . 

= + + + 2 . Biết hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, tìm giá trị 

B. 9 5 

C. 7 

10 

D. 9 

10 

3 2 

2 

Xét hàm số y = x + ax + bx + 2 , ta có y ' = 3x + 2ax + b và y '' = 6x + 2 a; 

∀x 

∈ R . 

( ) 

⎧ ⎪ y ' 1 = 0 ⎧3 + 2a + b = 0 ⎧b = −2a 

− 3 

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 

⎪⎩ y ''( 1) 

> 0 ⎩6 + 2a 

> 0 ⎩a 

> −3 

Khi đó ( ) 2 

2 2 2 2 2 2 

T a b a a a a a a a 

= + = + −2 − 3 = + 4 + 12 + 9 = 5 + 12 + 9 . 


2 

f a = 5a + 12a 

+ 9 với a > − 3 ta có 














6 

f '( a) = 10a + 12; f '( a) 

= 0 ⇔ a = − 

5 

⎛ 6 ⎞ 9 9 9 

⎜ − ⎟ = − = = +∞ → = ⇒ = 

5 5 a→+∞ 

⎝ ⎠ 

5 5 

Tính f ; f ( 3) 18; lim f ( a) min f ( a) Tmin 

Chọn B 

Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ( ) 

3 2 

trị cực trị trái dấu 

− và 0 B.( ;0) ( 1; ) 

A. 1 

Lời giải 

Ta có f ( x) x x f ( x) 

Trang74 

f x = 2x − 3x − m có giá 

−∞ ∪ − +∞ C.( − 1;0 ) 

D.[ 0;1 ] 

( ) 

( ) 

0 0 

2 ⎡x 

= ⎡ f = −m 

' = 6 − 6 ; ' = 0 ⇔ ⎢ ⇒ ⎢ 

⎣x = 1 ⎢⎣ f 1 = −m 

−1 

Yêu cầu bài toán m( m ) 

Chọn C 

Ví dụ 14: Gọi 

1, 

2 

⇔ + 1 < 0 ⇔ − 1< m < 0 . 

x x là hai điểm cực trị của hàm số 3 3( 1) 

2 2 

Giá trị của tham số m để x + x − x x = là 

1 2 1 2 

7 

3 2 2 3 

y x mx m x m m 

= − + − − + . 

9 

1 

A. m = 0 

B. m = ± C. m = ± D. m = ± 2 

2 

2 

Lời giải 

Ta có y' = 3x 2 − 6mx + 3( m 2 − 1) = 3⎡x 2 − 2mx + ( m 

2 −1) 

⎤ 

⎣ ⎦ . 

2 2 

Do ∆ ' = m − m + 1 = 1 > 0, ∀x 

∈ R nên hàm số luôn có hai điểm cực trị x1 , x 

2 

. 

⎧x1 + x2 

= 2m 

Theo hệ thức Viet, ta có ⎨ 

. 

2 

⎩x1 x2 

= m −1 

2 2 2 2 

Yêu cầu bài toán ( 1 2 ) 1 2 

( ) 

Chọn D 

Ví dụ 15: Hàm số 

tung khi và chỉ khi 

⇔ x + x − 3x x = 7 ⇔ 4m − 3 m − 1 = 7 ⇔ m = 4 ⇔ m = ± 2 . 

3 2 

y ax bx cx d 

= + + + đạt cực trị tại hai điểm x1 , x 

2 

nằm hai phía trục 

2 

A. a > 0, b < 0, c > 0 B.a,c trái dấu C. b 

Lời giải 

2 

Đạo hàm: y ' = 3ax + 2bx + c . 

2 

−12ac 

≥ 0 D. b − 12ac 

> 0 

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình 

y ' = 0 có hai nghiệm x1 , x 

2 

trái dấu. Suy ra a và c trái dấu. 

Chọn B 

3 2 

Ví dụ 16: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( 2) 

điểm cực trị nằm trong khoảng ( ) 

Trang75 

0;+∞ ? 

1 

y = x − mx + m + x có hai 

3 

A. m > 2 

B. m < 2 

C. m = 2 

D. 0 < m < 2 

Lời giải 

2 

Ta có y ' = x − 2mx + m + 2 

Yêu cầu bài toán ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm dương phân biệt 

( m )( m ) 

2 

⎧∆ ' = m − m − 2 > 0 ⎧ + 1 − 2 > 0 ⎧ ⎡m 

> 2 

⎪ 

⎪ 

⇔ S x1 x2 

0 2m 0 

⎪⎢ 

⎨ = + > ⇔ ⎨ > ⇔ ⎨⎣m < −1 ⇔ m > 2. 

⎪P x1 x2 

0 ⎪m 

2 0 

⎪ 

⎩ = > 

⎩ 

+ > 

⎩m 

> 0 

Chọn A 

y x m x mx m 


= 2 3 − 3 + 1 2 + 6 + 3 

. Tìm giá trị thực của tham số m để 

đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho độ dài AB = 2 

A. m = 0 

B. m = 0 hoặc m = 2 

C. m = 1 

D. m = 2 

Lời giải 

2 2 ⎡x 

= 1 

Ta có ( ) ( ) 

y ' = 6x − 6 m + 1 x + 6 m, y ' = 0 ⇔ x − m + 1 x + m = 0 ⇔ ⎢ . 

⎣x 

= m 

Để hàm số có hai điểm cực trị ⇔ m ≠ 1 . 

Tọa độ các điểm cực trị là ( 3 

2 

A 1; m + 3m 

− 1) 

và ( ;3 ) 

B m m . 

2 3 2 

2 

Suy ra AB = ( m − 1) + ( m − 3m + 3m − 1) = ( m − 1) + ( m − 1) 

Theo bài ra ta có 

2 2 6 

6 2 2 

3 

2 

2 

AB m m m m 

( ) ( ) ( ) ( ) 

= 2 ⇔ − 1 + − 1 = 0 ⇔ ⎡ −1 ⎤ − 1+ ⎡ −1 − 1⎤ 

= 0 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

2 4 2 2 m = 2 

⎡ 

⇔ ⎡( m −1) −1 ⎤. ⎡( m − 1) + ( m − 1) + 2⎤ 

= 0 ⇔ ( m − 1) 

= 1 ⇔ ⎢ (thỏa mãn). 

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 

⎣m 

= 0 


Chọn B 














Trang76 

= + 3 + + − 2 với m là tham số, có đồ thị là ( C ) . Xác 

3 2 

y x x mx m 

định tham số m để ( C 

m ) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành ? 

A. m < 2 

B. m ≤ 3 

C. m < 3 

D. m ≤ 2 

Lời giải 

2 

' 

Đạo hàm y ' = 3x + 6x + m . Với ∆ 

' 

= 9 − 3m 

. 

' 

Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu khi: ∆ 

' 

> 0 ⇔ m < 3 . 

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 2m 

⎞ ⎛ 2m 

⎞ 

Ta có y = ⎜ x + ⎟. y ' + ⎜ − 2⎟ x + ⎜ − 2⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ . 

Gọi x1 , x 

2 

là hoành độ của 2 điểm cực trị khi đó: 

Hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành khi: 

Chọn C 

⎛ 2m 

⎞ 

y1. y2 < 0 ⇔ ⎜ − 2⎟ 

( x1 + 1)( x2 

+ 1) 

< 0 

⎝ 2 ⎠ 

2 

y 

y 

⎧ ⎛ 2m 

⎞ ⎛ 2m 

⎞ 

y1 = ⎜ − 2⎟ x1 

+ ⎜ − 2⎟ 

⎪ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎨ 

⎪ ⎛ 2m 

⎞ ⎛ 2m 

⎞ 

y2 = − 2 x2 

+ − 2 

⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎩ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

m < 2 

⎜ 

⎝ 2 

⎟ 

⎠ 

⎜ 

⎝ 3 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 2 

⎟ 

⎠ ⎩m 

≠ 3 

2 2 

⎛ 2m ⎞ ⎛ 2m ⎞ ⎛ m ⎞ ⎧ 

⇔ − 2 ( x1 x2 + x1 + x2 

+ 1) 

< 0 ⇔ − 2 − 1 < 0 ⇔ ⎨ 

Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 

cực trị tại 

1, 

2 

2 2 

x x thỏa mãn điều kiện ( x1 x2 a)( x2 x1 

a) 

+ + 2 + + 2 = 9 . 

1 1 

= − + + 1 đạt 

3 2 

m 

3 2 

y x x ax 

A. a = 2 

B. a = − 4 

C. a = − 3 

D. a = − 1 

Lời giải 

1 3 1 2 

2 

Xét hàm số y = x − x + ax + 1 , ta có y ' = x − x + a; 

∀x 

∈ R . 

3 2 

Phương trình y' = 0 ⇔ x 2 − x + a = 0 (*) 

, có ( ) 2 

∆ = −1 − 4a 

= 1 − 4a 

. 

1 

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị có hai nghiệm phân biệt ⇔ a < . 

4 

Khi đó, gọi x1 , x 

2 

lần lượt là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. 

2 2 

Ta có ( x1 x2 a)( x2 x1 

a) 

+ + 2 + + 2 = 9 . 

Trang77 

( 1 2 ) 1 2 1 2 ( 1 2 1 2 ) 

2 3 3 2 2 2 

⇔ x x + x x + x + x + 2a x + x + x + x + 4a 

= 9 

x1 + x2 = x1 + x ⎡ 

2 

x1 + x2 − 3x1 x ⎤ 

2 

= 1− 

3a 

⎣ 

⎦ 

3 3 

Mà ( ) ( ) 2 

Suy ra ( ) 

2 2 

và ( ) 2 

x + x = x + x − 2x x = 1 − 2a 

. 

1 2 1 2 1 2 

2 2 2 ⎡a 

= 2 

a + a + 1− 3a + 2a 2 − 2a + 4a = 9 ⇔ a + 2a 

− 8 = 0 ⇔ ⎢ . 

⎣a 

= −4 

1 

Kết hợp với điều kiện a < → a = 2 là giá trị cần tìm. 

4 

Chọn A 

1 1 

3 2 

Ví dụ 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ( 5) 

có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện x − x = 5 . 

A. m = 0 

B. 6 

Lời giải 

1 1 

3 2 

CD 

CT 

y = x 3 − m + x 2 + mx 

m = − C. m = { 0;6} 

D. m = { 0; − 6} 

Xét hàm số y x 3 ( m 5) 

x 2 

2 

= − + + mx , ta có y' = x − ( m + 5 ) x + m; 

∀x 

∈R . 

Phương trình y' = 0 ⇔ x 2 − ( m + 5) x + m = 0 (*) 

, có ( ) 2 2 

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt. 

2 

⇔ (*) 

có hai nghiệm phân biệt ( ) 2 

∆ = m + 5 − 4m = m + 6m 

+ 10 . 

⇔ ∆ ' = m + 6m + 10 = m + 3 + 1 > 0; ∀m 

∈ R . 

Khi đó, gọi x , D 

x lần lượt là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. 

C 

CT 

⎧xCD 

+ xCT 

= m + 5 

Theo hệ thức Viet, ta có ⎨ 

. 

⎩xCD 

. xCT 

= m 

Mặt khác ( ) 2 

x − x = 5 ⇔ x − x = 25 

CD CT CD CT 

2 2 2 ⎡m 

= 0 

CD CT 

4. 

CD. CT 

25 5 4 25 6 0 

( ) ( ) 

⇔ x + x − x x = ⇒ m + − m = ⇔ m + m = ⇔ ⎢ 

⎣m 

= −6 

Vậy giá trị cần tìm của m là { 0; 6} 

Chọn D 

m = − . 

3 2 

Ví dụ 21: Cho hàm số ( 2 1) ( 1) 

y = x + m − x + m + x . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số 

thực m sao cho đồ thị của hàm số đã cho có hai điểm cực trị đồng thời hoành độ của điểm đại 

không nhỏ hơn − 1 














⎛ 

⎜ 

⎝ 

A. −∞; − ∪{ 2} 

Lời giải 

Trang78 

1 ⎤ 

4⎥ 

⎦ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

1 ⎞ 

⎟ 

4 ⎠ 

B. −∞; − ∪ ( 2; +∞) 

⎛ 1 ⎞ 

C. ⎜ −∞; 

− ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

3 2 

3 2 

Xét hàm số y = x + ( 2m − 1) x + ( m + 1) 

x , ta có ( 2 1) ( 1) 

Phương trình y ' 0 3x 2 x( 2m 1) x m 1 0 (*) 

= ⇔ + − + + = . 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

y = x + m − x + m + x . 

Để hàm số đã cho có hai điểm cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt. 

⎡m 

> 2 

⇔ ∆ ' = 4 − 7 − 2 > 0 ⇔ 1 1 . . 

⎢ m < − 

⎣ 4 

2 

⇔ (*) 

có hai nghiệm phân biệt m m ⎢ 

( ) 

Vì hệ số a = 1 > 0 nên xCD < xCT 

suy ra x 

CD 

1 ⎞ 

⎟ 

4 ⎠ 

D. −∞; − ∪{ 2} 

2 

− b + ∆' 1− 2m − 4m − 7m 

− 2 

= = . 

a 

3 

2 

1− 2m − 4m − 7m 

− 2 

2 

Theo bài ra, ta có xCD 

> −1 ⇔ ≥ −1 ⇔ 1− 2m − 4m − 7m 

− 2 ≥ −3 

3 

⎡ 1 

2 

m ≤ 

⇔ 4m − 7m − 2 ≤ 4 − 2m 

⇔ ⎢ 4 . Kết hợp (I), ta được m 1 

∈ ⎛ ⎢ ⎜ −∞; 

− 

⎤ 

4⎥ 

⎣m 

= 2 

⎝ ⎦ 

Chọn C 

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

3 2 

Câu 1: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − 6x −15x 

− 5 là 

A.( 5; − 105) 

B.( − 1;8 ) 

C.( − 1;3 ) 

D.( 5; − 100) 

3 2 

Câu 2:Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = − x + 3x 

+ 5 là 

A.( 0;5 ) 

B.( 0;0 ) 

C.( 2;9 ) 

D.( 2;9 ) 

3 2 

Câu 3:Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x − 2x + x + 1 là 

A.( 1;1 ) 

B. ( ) 

1;0 

⎛ 1 31 ⎞ 

C. ⎜ ; ⎟ 

⎝ 3 27 ⎠ 

3 2 

Câu 4:Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = − 2x + 2x + 2x 

+ 5 là 

1;7 

⎛ 1 125 ⎞ 

B. ⎜ − ; ⎟ 

⎝ 3 27 ⎠ 

A. ( ) 

⎛ 1 125 ⎞ 

C. ⎜ ; ⎟ 

⎝ 3 27 ⎠ 

⎛ 1 31 ⎞ 

D. ⎜ − ; ⎟ 

⎝ 3 27 ⎠ 

D.( − 1;7 ) 

3 

Câu 5:Giả sử hai điểm A, B lần lượt là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 4 

khi đó độ dài đoạn thẳng AB là 

A. 5 B. 3 5 C. 

Câu 6:Cho hàm số y x 3 3mx 1 ( C) 

tại điểm có hoành độ x = − 1 

1 

5 

D. 2 5 

= − + . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) đạt cực đại 

A. m = − 1 

B. m = 1 

C. D. m ∈ ∅ 

Câu 7:Cho hàm số y x 3 mx 2 x 1 ( C) 

tiểu tại điểm có hoành độ x = 1 

= − + + . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (C) đạt cực 

A. m = 1 

B. m = − 1 

C. m = 2 

D. m = − 2 

Câu 8:Cho hàm số y x 3 3( m 1) x 2 9x 2m 2 1 ( C) 

= − + + − + . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm 

số (C) có cực đại, cực tiểu tại x1 , x 

2 

sao cho x1 − x2 = 2 

⎡m 

= 1 

A. m = 1 

B. m = − 3 

C. ⎢ 

⎣m 

= −3 

3 2 2 

Câu 9:Cho hàm số y x mx ( m 3) x ( C ) 

D. m ∈ ∅ 

1 1 

= − + − . Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số 

3 2 

(C) có cực đại, cực tiểu tại x1 , x 

2 

sao cho x 

2 + x 

2 = 

1 2 

6 

⎡m 

= 0 

A. m = 0 

B. m = 1 

C. ⎢ 

⎣m 

= 1 

Câu 10:Cho hàm số 3 ( 2) 2 ( 2 4 3) 6 9 ( ) 

D. m ∈ ∅ 

1 

3 x − m + x + m + m + x + m + C . Tìm giá trị của m để 

đồ thị hàm số (C) có cực đại tại x 

1 

, cực tiểu tại x 

2 

sao cho x 

⎡m 

= 1 

A. m = 1 

B. m = − 2 

C. ⎢ 

⎣m 

= −2 

Câu 11:Tìm cực trị của hàm số 

A. y 

C. y 

cd 

cd 

1 1 

= − − 2 + 2 

3 2 

3 2 

y x x x 

19 4 

= ; yct 

= − B. y 

6 3 

19 3 

= − ; yct 

= − D. y 

6 4 

cd 

19 4 

= ; yct 

= 

6 3 

cd 

= x 

2 

1 2 

16 3 

= ; yct 

= − 

9 4 

3 2 

Câu 12:Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số hàm số y = x − 3x 

+ 6 là : 

D. m ∈ ∅ 

A. x 

0 

= 4 

B. x 

0 

= 3 

C. x 

0 

= 1 

D. x 

0 

= 2 

2 3 

Câu 13:Giá trị cực đại của hàm số y = − x + 2x 

+ 2 là 

3 

Trang79 














A. 2 3 

Trang80 

B.1 C. 10 3 

D. − 1 

3 2 

Câu 14:Cho hàm số y = − x + 2x − x + 4 . Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là: 

A. 212 

27 

B. 1 3 

C. 121 

27 

D. 212 

72 

1 3 2 

Câu 15:Cho hàm số y = x − 2x + 3x 

− 1 . Khoảng cách giữa 2 điểm cực đại, cực tiểu là: 

3 

A. 2 10 

3 

B. 2 13 

3 

3 2 


C. 2 37 

3 

D. 2 31 

3 

1 m 

y = x − x + m − 1 x + 6 đạt cực tiểu tại x 

0 

= 1 khi 

3 2 

A. m > 2 

B. m ≥ 2 

C. m = 2 

D. m = − 2 

3 2 

x x 1 

Câu 17:Hàm số y = − m + đạt cực tiểu tại x 

0 

= 2 khi m bằng: 

3 2 3 

A. m = 1 

B. m = 2 

C. m = 3 

D.Đáp án khác 

3 2 

Câu 18:Cho hàm số y = x − mx − mx . Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 . Vậy giá 

trị cực tiểu khi đó là: 

A. 1 B. − 1 

C. 2 D. Không tồn tại 


y x mx x 

điểm cực trị x1 , x 

2 

thỏa mãn x1 = − 2x2 

3 2 

= 4 + − 3 + 1. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có hai 

3 2 

3 2 

A. m = ± B. m = 

2 

2 

3 2 

C. m = − D.Không có giá trị của m 

2 

y = m − 3 x − 2mx 

+ 3 không có cực trị khi 

Câu 20: Hàm số ( ) 3 2 

A. m = 3 

B. m = 0 hoặc m = 3 

C. m = 0 

D. m ≠ 3 

3 2 

Câu 21: Hàm số y = x − 3x − 9x 

− 7 đạt cực đại tại: 

⎡x 

= −1 

A. x = − 1 

B. x = 3 

C. ⎢ 

⎣x 

= 3 

3 2 

Câu 22:Hàm số y = − x + 5x − 3x 

+ 12 có điểm cực tiểu có tọa độ là: 

⎧x 

= −1 

D. ⎨ 

⎩x 

= 3 

A.( 3;21 ) 

B.( 3;0 

⎛ 1 311⎞ 

) 

C. ⎜ ; ⎟ 

⎝ 3 27 ⎠ 

Câu 23:Hàm số 

thẳng AB là: 

Trang81 

3 

y x x 

⎛ 1 ⎞ 

D. ⎜ ;0 ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

= − 12 + 15 có 2 điểm cực trị là A và B. Một nửua của độ dài đoạn 

A. 4 65 B. 2 65 C.1040 D.520 


= + 3 + + 1 . Biết đồ thị hàm số nhận điểm M ( − 1;4 ) là 

3 2 

y x mx nx 

điểm cực trị. Giá trị của biểu thức T = m + n là: 

A. 4 3 

−16 

B.4 C. 

3 

Câu 25:Cho hàm số y 2x 3 3( m 1) x 2 6mx 1 ( C) 

2 2 

1 

x2 2 

D.Không tồn tại m,n 

= − + + + . Giả sử x1 ; x 

2 

là hoành độ các 

điểm cực trị. Biết x + = . Giá trị của tham số m là: 

A. m = ± 1 

B. m = − 1 

C. m = 1 

D. m = ± 2 

3 2 

y x m x mx 


4 

điểm x = là: 

3 

= − + 2 + 1 + + 3. Giá trị của m để hàm số đạt cực tiểu tại 

A. m = 0 

B. m = 1 

C. m = 2 

D.Không tồn tại m 

1 

y = x − mx + m − m − x . Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho 

3 

3 2 2 

Câu 27:Cho hàm số ( 1) 

đạt cực đại tại x = − 1 ? 

A. m = 0 

B. m = − 1 

C. m ∈ ∅ D.Đáp án khác 

Câu 28:Cho hàm số 

3 2 

y x x mx m 

cực trị nằm về 2 phía của trục tung ? 

= + 3 + + − 2 . Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 điểm 

A. m < 0 

B. m > 0 

C. m = 0 

D. m = 1 

3 2 

Câu 29:Đồ thị hàm số y = x − 9x + 24x 

+ 4 có các điểm cực tiểu và điểm cực đại lần lượt 

là ( x ; y ) và ( ; ) 

1 1 

x2 y 

2 . Giá trị của biểu thức x1 y2 x2 y1 

− là: 

A. − 56 

B. 56 C. 136 D. − 136 

Câu 30: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số 

3 2 

y x x x 

= − 4 + 3 − 1 

14 1 

14 1 

14 1 

14 1 

A. y = − x + B. y = − x − C. y = x + D. y = x − 

9 3 

9 3 

9 3 

9 3 














3 2 

Câu 31:Gọi x1 , x 

2 

lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số y = x − 5x + 4x 

− 1 . Giá trị của 

biểu thức y ( x ) y ( x ) 

+ gần với giá trị nào sau đây nhất ? 

1 2 

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 

Câu 32: Cho hàm số y x 3 mx 2 

( m ) x ( C ) 

= − 3 + 3 2 − 1 + 1 

m . Các mệnh đề dưới đây: 

(a) Hàm số ( C 

m ) có một cực đại và một cực tiểu nếu m ≠ 1 . 

(b) Nếu m > 1 thì giá trị cực tiểu là 3m − 1 

(c) Nếu m < 1 thì giá trị cực đại là 3m − 1 

Mệnh đề nào đúng ? 

A. Chỉ (a) đúng B. (a) và (b) đúng, (c) sai 

C. (a) và (c) đúng, (b) sai D. (a),(b),(c) đều đúng. 

3 2 2 

Câu 33: Tìm m để hàm số 3 3( 1) 

A. Hàm số đã cho có một điểm cực trị tại x = − 1 

Trang82 

y = x − mx + m − x + m đạt cực đại tại x = 2 . 

A. m = 2 

B. m = 3 

C. m = 1 

D. m = 4 

3 2 

Câu 34: Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = 2x − 3x − 12x 

+ 1 là: 

A.( − 1;8 ) 

B.( 2; − 19) 

C.( − 1;2 ) 

D.( 2; − 1) 

Câu 35: Gọi A( x ; y ) và ( ; ) 

1 1 

B x y lần lượt là tọa độ các điểm cực đại và cực tiểu của đồ 

2 2 

x 

3 2 

1 

x2 

thị hàm số y = −x − 3x + 9x 

+ 1 . Giá trị của biểu thức T = y 

− y 

bằng: 

7 

A. − B. 7 

18 

13 

C. 6 

13 

2 1 

6 

D. − 

18 

Câu 36: Gọi A, B là tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y x 3 3x 2 ( C) 

AB là: 

= − + + . Độ dài 

A. 2 3 B. 2 5 C. 2 2 D. 5 2 

Câu 37: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau. 

x −∞ − 1 

1 +∞ 

y' + 0 − || + 

y +∞ 4 

Khẳng định nào sau đây là đúng. 

0 −∞ 

B. Giá trị của cực đại là y CD 

= 4 và giá trị của cực tiểu là y 

CT 

= 0 . 

C. Giá trị của cực đại là y 

CD 

= +∞ và giá trị của cực tiểu là y 

CT 

= −∞ . 

D. Hàm số đã cho không đạt cực trị tại điểm x = 1. 

Câu 38: Cho hàm số có đồ thịị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng 

A.Hàm số đã cho đạt cực c đại tại x = 4 và cực tiểu tại x = 2 

B.Hàm số đã cho đạt cực c đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 4 

C.Giá trị của cực đại là 

y = 4 C CD D 

và giá trị của cực tiểu là y 

CT 

= 2 . 

D.Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 và có giá trị cực tiểu là y = 0 . 

1-C 2-C 3-A 4-B 5-D 6-B 7-C 8-C 

11-A 12-D 13-C 14-A 15-B 16-A 17-B 18-B 

21-A 22-C 23-B 24-C 25-B 26-D 27-A 28-A 

31-B 32-A 33-B 34-B 35-C 36-B 37-B 38-D 

Trang83 


CT 

9-A 10-C 

19-A 20-C 

29-B 30-A 














Trang84 

VẤN ĐỀ 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG (BẬC BỐN) 

1. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ 

4 2 

* Xét hàm số trùng phương y = ax + bx + c với hệ số a ≠ 0 

Ta có một số kết quả sau: 

Hàm số có một cực trị ⇔ ab ≥ 0 

Hàm số có ba cực trị ⇔ ab < 0 

 

 

 

 

⎧a 

> 0 

Hàm số có một cực trị và cực trị là cực tiểu ⇔ ⎨ 

⎩b 

≥ 0 

⎧a 

> 0 

Hàm số có một cực trị và cực trị là cực đại ⇔ ⎨ 

⎩b 

≤ 0 

⎧a 

> 0 

Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại ⇔ ⎨ 

⎩b 

< 0 

⎧a 

< 0 

Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu ⇔ ⎨ 

⎩b 

> 0 

* Một số công thức tính nhanh liên quan đến cực trị của hàm số bậc bốn 

4 2 

Xét hàm số y = ax + bx + c với a ≠ 0 và hàm số có ba điểm cực trị 

Khi đó gọi ( ) 

⎛ b ∆ ⎞ ⎛ b ∆ ⎞ 

A 0; c , B ⎜ 

− ; − , − − ; − 

2 4 ⎟ 

C 

lần lượt là ba điểm cực trị của hàm 

⎜ 2 4 ⎟ 

⎝ a a ⎠ ⎝ a a ⎠ 

4 

b b b 

số ⇒ AB = AC = − ; BC = 2 − 

2 

16a 2a 2a với 2 

∆b 

− 4ac 

Xét ∆ABC cân, đặt BAC = α , ta có 

3 

+ 8 

α α α b a 

3 

3 

( ) b ( ) 

8a 

1+ cos + 1− cos = 0 ⇒ cos = 

b 

− 8a 

2 

1 b b 

Và diện tích S = . . − , phương trình đường tròn đi qua ba điểm , , 

4 a 2a A B C là 

( ) 

Đồ thị hàm số = 4 + 2 + ( < 0) 

2 2 

x + y = c + n x + c. 

n với 

2 ∆ 

n = − 

b 4a 

y ax bx c ab có ba điểm cực trị A ∈ Oy, B, 

C tạo thành 

DỮ KIỆN GIẢ THIẾT 

CÔNG THỨC TÍNH NHANH 

3 

Tam giác ABC vuông cân tại A 8a + b = 0 

3 

Tam giác ABC đều 24a + b = 0 

r 

∆ BAC 

= 

Trang85 

0 

BAC = α 

∆ ABC 

= 

0 

α 

2 

3 2 

8 a + b .tan = 0 

S S ( ) 2 

r (bán kình đường tròn nội tiếp) 

0 

32 a . S + b = 0 

3 5 

0 

2 

b 

r0 

= 

⎛ 

3 

b ⎞ 

a 

1+ 1− 

⎜ ⎟ 

⎝ 

a 

⎠ 

2 

BC = m a. m + 2b 

= 0 

AB = AC = n 

B, C ∈ Ox (ba điểm cực trị nằm trên cùng một trục 

tọa độ) 

0 

Tam giác có trọng tâm O ( 0; 0) 

(gốc tọa độ) 

2 

Tam giác có trự tâm O ( 0; 0) 

(gốc tọa độ) 

3 

R 

∆ BAC 

= 

2. VÍ DỤ MINH HỌA 

R (bán kình đường tròn ngoại tiếp) 

0 

4 2 

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − 8x + 6 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. Cực tiểu của hàm số đã cho là 0 

B. Cực đại của hàm số đã cho là − 2 

C. Cực tiểu của hàm số đã cho là 6 

D. Cực đại của hàm số đã cho là 6 

Lời giải 

4 2 

Xét hàm số y = x − 8x + 6, ta có 

( ) 

y ( ) 

⎡x 

= 0 ⇒ y 0 = 6 

3 

y ' = 4x −16 x → y ' = 0 ⇔ ⎢ 

⎢⎣ x = ± 2 ⇒ ± 2 = −10 

( ) 

0 

16 a . n − b + 8b 

= 0 

2 2 4 

0 

2 

b ac 

− 4 = 0 

b − 6ac 

= 0 

b + 8a − 4ac 

= 0 

R 

3 

−8 

0 

= b a 

2 

⎧⎪ y '' 0 = −16 

Mặt khác y '' = 8x − 16 suy ra ⎨ 

⇒ cực đại hàm số đã cho là 6 

⎪⎩ y ''( ± 2) 

= 16 

Chọn D 

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 4 − 4x 2 + 3( C ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. Đồ thị ( C ) đi qua điểm cực tiểu A ( 0;3) 


8 a b 













B. Đồ thị ( C ) có duy nhất một điểm cực trị 

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng − 1 

D. Giá trị cực đại của hàm số bằng − 1 

Lời giải 

4 2 

Xét hàm số y = x − 4x + 3 ta có 

Trang86 

( ) 

⎡x 

= 0 ⇒ y 0 = 3 

3 

y ' = 4x −8 x → y ' = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ x = ± 2 ⇒ y ( ± 2 ) = − 1 

⎣ 

Lại có, hệ số 1 0 

a = > suy ra A ( 0;3) 

là điểm cực đại của đồ thị ( C ) 

Và giá trị cực đại của hàm số bằng y ( ± ) 

2 = − 1 

y = x − 4x + 3 = x − 4x + 4− 1= x − 2 −1≥ −1, ∀xR 

→ min y = −1 

4 2 4 2 2 

Mặt khác ( ) 2 

Chọn C 

Ví dụ 3: Đồ thị hàm số 

cân tại A . khi đó, số đo góc BAC bằng 

y 

4 2 

= 3x 

− 2x + 2017 có ba điểm cực trị , , 

A.120° B.90° C. 60° D.30° 

Lời giải 

3 2 α 

Áp dụng công thức giải nhanh BAC = α → 8a + b + tan = 0 

2 

A B C tạo thành tam giác 

⎧ a = 3 

2 α 8a α α 

Với hệ số ⎨ suy ra tan = − = 3 ⇔ tan = 3 ⇔ = 60° ⇒ α = 120° 

⎩b 

= − 

3 

2 

2 b 

2 2 

Suy ra số đo góc BAC bằng 120° 

Chọn 

Ví dụ 4: Parabol ( P ) đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 

thẳng : 2x 1 

y 

4 2 

= x − 4x + 3 và cắt đường 

d y = − tại hai điểm phân biệt A ( x , y ) và B ( x , y ). 

Tính giá trị biểu thức 

P = xA. yB + xB. yA, 

với xA > xB 

A. P = 7 

B. P = − 7 

C. P = − 3 

D. P = 3 

Lời giải 

Xét hàm số y 

4 2 

= x − 4x + 3, ta có y x 3 x ( x 3 ) x 

3 

A 

A 

' = 4 − 8 = 4 − 2x = 0 ⇔ − 2x = 0 

Khi đó hoành độ ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình y ' = 0 

B 

B 

⎛ ⎞ 

Ta xét y = x − 4x + 3 = x − 2x + 3 − 2x = x x − 2x + 3 − 2x 

⎜ 

⎟ 

⎝ y ' = 0 ⎠ 

Trang87 

4 2 4 2 2 3 2 

2 

Suy ra y = 3 − 2x 

là phương trình parabol ( P ) đi qua ba điểm cực trị 

2 2 ⎡x 

= 1 

Phương trình hoành độ giáo điểm ( P ) và d là 3 − 2x = 2x −1 ⇔ x + x − 2 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= −2 

⎧ xA 

= 1⇒ yA 

= 1 

Vậy ⎨ 

⇒ P = xA. yB + xB. yA 

= −7 

⎩xB 

= −2 ⇒ yB 

= −5 

Chọn B 

4 2 

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − 2x − 2 ( 1) 

. Gọi A, B, C lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị 

hàm số (1). Tính diện tích tam giác ABC (đơn vị diện tích) 

A. S ∆ 

= 1 B. S ∆ 

= 2 C. S ∆ 

= 4 D. S ∆ 

= 2 

Lời giải 

ABC 

ABC 

Cách 1: Ta có y x y x( x ) 

ABC 

3 2 ⎡ x = 0 

' = 4 − 4x; ' = 0 ⇔ − 1 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= ± 1 

1 

Khi đó A( 0; −2 ), B ( 1; −3 ), C ( −1; − 3) 

suy ra S∆ ABC 

= d ( A; BC ). BC = 1 

2 

S S 32 a . S b 0 

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh ( ) 2 

⎧ a = 1 

Với hệ số ⎨ 

⎩b 

= − 2 

suy ra ( S ) 

Vậy diện tích tam giác ABC bằng 1 

Chọn A 

3 5 

∆ ABC 

= 

0 

→ 

0 

+ = 

( −2) 5 

b 

= − = = 1⇒ = 1 

32b 

32 

5 

2 

0 

S 

3 

0 

4 2 

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x − 2x 

+ 2 có đồ thị ( C ). Gọi I là tâm đường tròn ( T ) đi qua ba 

điểm cực trị của đồ thị hàm số và điểm M ( 1; 0 ). 

Độ dài đợn thẳng IM bằng 

A. IM = 2 B. IM = 2 

C. IM = 3 D. IM = 2 2 

Lời giải 

= − + ta có y x x y x ( x ) 

4 2 

Xét hàm số y x 2x 

2, 

ABC 

3 2 ⎡ x = 0 

' = 4 − 4 ; ' = 0 ⇔ − 1 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= ± 1 

Khi đó A ( 0; 2 ), B ( 1;1 ), C ( 1; − 1) 

là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 

Gọi phương trình đường tròn đi qua ba điểm ( ) 

2 2 

ABC là x y 2 2by c 0 

+ − − + = ( T ) 














⎧4 − 4b + c = 0 ⎧a 

= −1 

⎪ 

⎪ 

Vì A, B, 

C ∈ ( T ) nên ta có ⎨2 − 2a − 2b + c = 0 ⇔ ⎨b = 0 ⇒ ( T ) : ( x + 1) 2 + y 2 = 5 ⇒ I ( −1;0 

) 

⎪2 2a 2b c 0 ⎪ 

⎩ − + + = ⎩c 

= −4 

 

là tâm đường tròn ( T ) ⇒ IM = ( 2;0) 

⇒ IM = 2 

Chọn B 

4 2 

Ví dụ 7: Cho đồ thị hàm số y = ax + bx 

+ c đạt cực đại tại A ( 0; −3) 

và cực tiểu B ( −1; − 5 ). 

Tính giá trị biểu thức P = a + 2b + 3c 

A. P = − 5 

B. P = − 9 

C. P = − 15 

D. P = 3 

Lời giải 

4 2 

3 

2 

Xét hàm số y = ax + bx + c, 

ta có y ' = 4ax + 2bx 

và y '' = 12ax + 2 b; 

∀x 

∈ R 

Đồ thị hàm số đạt cực đại tại A ( 0; −3) 

và cực tiểu B ( −1; −5) 


⎧−4a − 2b 

= 0 ⎧a 

= 2 

⎧⎪ y '( 0 ) = y '( − 1) 

= 0 ⎪ ⎪ 

⎨ ⇔ ⎨c = −3 ⇔ ⎨b = −4 ⇒ P = a + 2b + 3c 

= −15 

⎪⎩ y ( 0) = −3; y ( − 1) 

= −5 

⎪a b c 5 ⎪ 

⎩ + + = − ⎩c 

= −3 

Chú ý: Với a 2; b 4; c 3 

cực đại của hàm số. 

Chọn C 

Trang88 

4 2 

= = − = − ta được y = 2x − 4x − 3 → y ''( 0) 

= − 8 < 0 ⇒ x = 0 là điểm 

4 2 

Ví dụ 8: Cho hàm số y = x − 2x + m có đồ thị ( C ). Gọi A là điểm cực đại của đồ thị hàm 

C điểm B( m 1; m 2 m) 

số ( ), 

nhất, tổng m1 + m2 

bằng 

A. 1 2 

Lời giải 

4 2 

Xét hàm số y x 2x m 

Vì hệ số 1 0 

− − với m ≥ − 1. Gọi m1, 

m 

2 

là hai giá trị sao cho độ dài AB ngắn 

1 

B. 2 C. 1 D. 1− 

2 

3 2 ⎡x 

= 0 

= − + ta có y x x y x ( x ) 

' = 4 − 4 ; ' = 0 ⇔ − 1 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= ± 1 

a = > nên A ( 0; M ) là điểm cực đại của đồ thị hàm số 

 

Ta có B( m −1; m 2 − m) ⇒ AB = ( m −1; m 2 − 2m) ⇒ AB = ( m − 1) 2 

+ ( m 2 − 2m) 2 

Đặt t = m 2 − 2m + 1= ( m −1) 2 

≥ 0, khi đó ( 1) 

2 ⎛ 1 ⎞ 3 3 

AB = t + t − = ⎜t 

− ⎟ + ≥ 

⎝ 2 ⎠ 4 2 

2 

Suy ra 

Chọn B 

3 1 

AM 

min 

= , 

2 1 

dấu “=” xảy ra ⇔ t = ⇔ m − 2m + = 0 ⇒ m1 + m2 

= 2 

2 

2 2 

4 2 

Ví dụ 9: Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = mx + ( m − 1) 

x + 3m 

+ 1 chỉ có đúng 

một cực trị 

⎡m 

≥1 

A. 0 ≤ m ≤ 1 B. m ≥ 1 

C. m ≤ 0 

D. ⎢ 

⎣m 

≤ 0 

Lời giải 

2 

TH1. Với m = 0, khi đó hàm số trở thành y = 1− x là hàm số bậc hai nên có duy nhất một 

điểm cực trị, hệ số a = − 1 < 0 nên hàm số có điểm cực đại 

4 2 

3 

TH2. Với m ≠ 0, xét hàm số y = mx + ( m − 1) 

x + 3m 

+ 1, ta có y ' = 4mx + 2 ( m − 1) 

x 

3 


Trang89 

⎡x 

= 0 

y ' = 0 ⇔ y ' = 4mx + 2 m − 1 x = 0 ⇔ ⎢ 

(*) 

2 

⎣2mx 

= 1− 

m 

Để hàm số chỉ có đúng một cực trị ⇔ Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 0 hoặc 

⎡ 1− m = 0 ⎡m 

= 1 

⎢ 

m 1 

phương trình (*) vô nghiệm. Khi đó 

⎢ ⎡ ≥ 

⎢1− 

m ⇔ m > 1 ⇔ 

< 0 ⎢ ⎢ 

⎣m 

< 0 

⎣ 

⎢ 2m 

⎣⎢ m < 0 

⎡m 

≥1 

Vậy ⎢ là giá trị của tham số m để hàm số đã cho chỉ có đúng một cực trị 

⎣m 

≤ 0 

Chọn D 


y x x 

4 2 

= − 2 . Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm cực đại của đồ thị 

hàm số đã cho và có hệ số góc m. Tập hợp tất cả các giá trị tham số thực m sao cho tổng các 

khoảng cách từ hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số cho đến ∆ là nhỏ nhất 

1 

A. m = 0 

B. m = C. m ∈ ∅ D. m = ± 1 

2 

Lời giải 

4 2 

Xét hàm số y x 2 x , 

3 2 ⎡x 

= 0 

= − ta có y x x y x ( x ) 

' = 4 − 4 ; ' = 0 ⇔ − 1 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= ± 1 

Suy ra A ( 0; 0 ), B ( 1; −1 ), C ( −1; − 1) 

là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 

Phương trình đường thẳng ∆ có hệ số góc m và đi qua điểm A là y = mx ⇔ mx − y = 0 














Ta có d ( B ( )) d ( C ( )) 

Trang90 

m + 1 m −1 

m + 1 + m −1 

; ∆ = ; ; ∆ = , khi đó T = d 

2 2 

B→∆ 

+ dC→∆ 

= 

2 

m + 1 m + 1 

m + 1 

T m + 1 + m − 1 a + b 

= = 

2 

a + b 

2 2 

( m + 1) + ( m −1) 

2 2 2 2 

Mặt khác ( ) 

⎧ ⎪a 

= m + 1 ≥ 0 

với ⎨ ⇒ ab ≥ 0 

⎪⎩ b = m − 1 ≥ 0 

( + ) 2 

2 2 2 

a b T 

2ab ≥ 0 ⇔ a + b ≥ a + b ⇔ ≥1 ⇔ ≥1 ⇔ T ≥ 2 ⇒ T 

2 2 

min 

= 2 

a + b 2 

⎡a 

= 0 ⎡ m + 1 = 0 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ⎢ ⇔ ⎢ ⇔ m = ± 1 

⎢⎣ 

b = 0 ⎣ m − 1 = 0 

Chọn D 

4 2 2 

y x m m x m 

Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 

= − 2 − + 1 + − 1 có một điểm cực đại, 2 

điểm cực tiểu và thỏa mãn khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là ngắn nhất 

1 

1 

3 

3 

A. m = − B. m = C. m = D. m = − 

2 

2 

2 

2 

Lời giải 

Ta có y' = 4x 3 − 4( m 2 − m + 1) x = 4x ⎡x 2 −( m 2 − m + 1) 

2 2 

Phương trình y x ⎡x ( m m ) 

⎣ 

⎡x 

= 0 

' = 0 ⇔ 1 ⎤ 

⎣ 

− − + 

⎦ 

= 0 ⇔ ⎢ 

2 

⎢⎣ x = ± m − m + 1 

Suy ra đồ thị có hai điểm cực tiểu là A( − m ) 

2 − m + 1; yCT 

và B( m ) 

2 − m + 1; yCT 

⎤ 

⎦ 

⎧ 2 

⎪ 

B − m; m − 4 

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 0; −4 ) ∈Oy, 

2 

⎨ 

⎡ 

2 2 ⎛ 1 ⎞ 3⎤ 

2 

1 

Khi đó AB = 4( m − m + 1) 

= 4 ⎢⎜ 

m − ⎟ + ⎥ ≥ 3. Dấu “=” xảy ra ⇔ m = 

⎪C 

( m; m − 4 

⎩ 

) 

⎢⎣ 

⎝ 2 ⎠ 4⎥⎦ 

2 

⎡m 

= −2 

( L 

2 

) 

Chọn B 

Yêu cầu bài toán ⇔ B, C ∈Ox ⇔ m − 4 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣ m = 2 ( tm) 

4 2 

Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm số y = x + 2mx 

+ 1 có ba cực 

Chọn B 

trị tạo thành tam giác vuông cân 

4 2 

Ví dụ 14: Giá trị của tham số m bằng bao nhiêu để đồ thị hàm số y = x − 2mx 

+ 1 có ba 

1 

1 

A. m = − B. m = − 1 

C. m = D. m = 1 

3 

3 

9 

9 

điểm cực trị A ( 0;1 ), B, 

C thỏa mãn BC = 4 

2 

Phương trình y x ( x m) 

' 0 4 0 

⎡ x = 0 

(*) 

⎣ m 

= ⇔ + = ⇔ ⎢ 2 

x = − 

Để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 

khi và chỉ khi − m > 0 ⇔ m < 0 

Khi đó, gọi A( 0;1 ), B( m;1 m ) ( ) 

2 , C m;1 

m 

2 

 

 

⇒ AB = −m − m AC = − −m −m 

Trang91 

( ; 2 

) , 2 

( ; ) 

− − − − − là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 

 

4 

Tam giác ABC vuông cân tại A ⇔ AB. AC = 0 ⇔ m + m = 0 ⇔ m = −1 

Hoặc sử dụng công thức tính nhanh với hàm số 

4 2 4 2 ⎧a 

= c = 1 

y = ax + bx + c = x + 2mx + 1 ⇒ ⎨ 

⎩ b = 2m 

Tam giác ABC vuông cân ( ) 3 

Chọn B 

3 3 

8a + b = 0 ⇔ 8 + 2m = 0 ⇔ m = −1 ⇔ m = − 1 

4 2 

Ví dụ 13: Cho hàm số sao cho đồ thị hàm số y = − x + 2mx 

− 4 có đồ thị ( C ) . Tìm tất cả 

các giá trị thực của m để tất cả các cực trị của ( C ) đều nằm trên trục tọa độ 

A. m ≤ 0 

B. m = 2 

C. m > 0 

D. m ≤ 0 ∨ m = 2 

Lời giải 

3 2 

Ta có ( ) 

y ' 4x 4 mx = 4 x x m , y ' 0 

= − + − − = ⇔ ⎢ 2 

x = 

Để hàm số có 3 cực trị ⇔ m > 0 

m 

⎡ x = 0 

⎣ m 

( ) 

Lời giải 

A. m = ± 4 

B. m = 2 

C. m = 4 

D. m = ± 2 

4 2 

3 

Xét hàm số y = x + 2mx 

+ 1, ta có y ' = 4x + 4 mx; ∀x 

∈ R 

Lời giải 

3 2 

Ta có ( ) 

y ' 4x 4 mx = 4 x x m , y ' 0 

⎡ x = 0 

⎣ m 

= − − = ⇔ ⎢ 2 

x = 


m 













Để hàm số có 3 cực trị ⇔ y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m > 0 

Suy ra tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( 0;1 ), B( m;1 − m ) ( ) 

2 , C − m;1− 

m 

2 

Yêu cầu bài toán ⇔ BC = 4 ⇔ 2 m = 4 ⇔ m = 2 ⇔ m = 4 (thỏa mãn điều kiện) 

Chọn C 

Ví dụ 15: Tìm m để đồ thị hàm số y x 4 ( 3m 1) x 2 2( m 1) 

thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ 

Trang92 

1 

= − + + + có ba điểm cực trị tạo 

4 

2 

2 

1 

1 

A. m = − B. m = C. m = − D. m = 

3 

3 

3 

3 

Lời giải 

⎡x 

= 0 

y ' = x − 2 3m + 1 x = x ⎣x − 2 3m + 1 ⎦ 

⎤; y ' = 0 ⇔ ⎢ 2 

⎣x 

= 2 3 + 1 

3 2 

Ta có ( ) ⎡ ( ) 

Để hàm số có 3 cực trị ( m ) 

Khi đó đồ thị có 3 cực trị là 

( ( )) ( ) 

1 

⇔ 2 3 + 1 > 0 ⇔ m > − 

3 

( m ) 

2 2 

( ) ( ( ) 

) 

A 0;2 m + 1 , B − 2 3m + 1 ; −9m − 4m + 1 , C 2 3m + 1 ; −9m − 4m 

+ 1 

( ) ( ) 

2 m 1 2 9m 2 4m 

1 

Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là G ⎛ + + − − + 

= 0; 

⎞ 

⎜ 3 

⎟ 

⎝ 

⎠ 

⎡ 1 

⎢ m = ( tm) 

2 

3 

Yêu cầu bài toán G ≡ O ⇔ 2( m + 1) + 2( −9m − 4m 

+ 1) 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎢ 2 

m = − ( L) 

⎢⎣ 3 

Chọn D 

4 2 

Ví dụ 16: Để đồ thị hàm số y = x − mx + m − 2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán 

kính đường tròn nội tiếp bằng 1 thì giá trị của m bằng 

A. m = − 2 

B. m = 1 

C. m = 2 

D. m = 4 

Lời giải 

4 2 

3 

Xét hàm số y = x − mx + m − 2, ta có y ' = 4x − 2mx; ∀x 

∈ R 

3 

⎡x 

= 0 

Phương trình y ' = 0 ⇔ 4x − 2mx = 0 ⇔ ⎢ (*) 

2 

⎣2x 

= m 

Để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 

khi và chỉ khi m > 0 

Khi đó, gọi A ( 0; m − 2 ), B ( x ; y ), C ( x ; y ) là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số 

Trang93 

B 

C 

2 

m m 

Với xB, 

x 

C 

là 2 nghiệm phương trình (*) ⇒ xB 

= − xC 

= vaø y = − + m − 2 

2 4 

AB + AC + BC 2AB + BC 

Tam giác ABC cân tại A có AB = AC suy ra p = = 

2 2 

1 

Gọi H là trung điểm của BC suy ra AH ⊥ BC ⇒ S∆ABC 

= . AH . BC 

2 

Mặt khác, bán kính đường tròn nội tiếp ∆ ABC bằng 1 suy ra S 

ABC 

∆ 

= 

4 2 

4 2 

m m m 

2 

Ta có AB = + , AH = , BC = 2m 

suy ra 2 m + m + 2m 

= 

m m 

2 16 4 

2 16 4 

Thay các giá trị m ở đáp án, ta thấy m = 4 là giá trị cần tìm 

Chọn D 

Ví dụ 17: Đồ thị hàm số 

( ) 

P a m b 

4 2 

y ax bx c 

= + + có hai điểm cực trị A ( 0; 2 ); B ( 1; m ) . Biểu thức 

2 2 2 

= 2 − − đạt giá trị lớn nhất khi a b c m 

+ + + bằng 

A. 1 B. 2 C. − 1 

D. − 2 

Lời giải 

4 2 

3 

Xét hàm số y = ax + bx + c ta có y ' = 4ax + 2 bx, ∀x 

∈ R 

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A( 0; 2 ), B ( 1, m ) 

( ) 

( ) 

( ) 

⎧ y 0 = 2 ⎧ c = 2 

⎪ 

⎪ 

⇒ ⎨ y ' 1 = 0 ⇔ ⎨2a + b = 0 1 

⎪ y 1 m ⎪ 

⎩ = 

⎩a + b = m − 2 2 

( ) 

( ) 

2 2 2 2 

2 2 

Lấy ( 1) − 2 × ( 2 ), 

ta được ( 2a + b) − 2( a + b) = −2( m − 2) ⇔ 2a − b = −2( m − 2) 

2 2 

P = 2a − b − 2m = −2 m − 2 − 2m = −4 − 4 m −1 ≤ −4 ⇒ P = − 4 

2 2 2 2 

Khi đó ( ) ( ) 

⎧ 2a + b = 0 ⎧ a = 1 

Dấu “=” xảy ra ⇔ m = 1. Vậy ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ P = a + b + c + m = 2 

⎩a + b = − 1 ⎩b 

= −2 


Chọn B 

p 

max 













4 2 

Ví dụ 18: Biết đồ thị hàm số y = x − 2x + m có ba điểm cực trị là A, B, C. Tìm giá trị thực 

của tham số m sao cho tam giác ABC bị hai trục tọa độ Ox, Oy chia thành bốn phần có diện 

tích bằng nhau 

1 

1 

A. m = 2 

B. m = C. m = 1 

D. m = 

2 

2 

Lời giải 

4 2 

3 ⎡ x = 0 

Xét hàm số y = x − 2x + m ta có y ' = 4x − 4 x, y ' = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= ± 1 

Khi đó, tọa độ ba điểm cực trị lần lượt là A ( 0; m ) và B ( −1; − 1 + m) , C ( 1; − 1+ 

m) 

Đặt AB ∩ Ox = D, 

BC ∩ Oy = H thì hai tam giác AOD, ABH đồng dạng 

Theo bài ra, tỷ lẹ đồng dạng nàu phải là 

Trang94 

1 

2 nên 

1 1 

m = m − ( − 1+ m) 

⇔ m 2 = 1 ⇔ m = 

2 2 

Chọn B 

3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

4 2 

Câu 1: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − 2x + 3 là 

A.( 0; − 3) 

B. ( 1; 2 ) 

C.( − 1; 2) 

D.( 0; 3 ) 

4 2 

Câu 2: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = − x + 8x + 1 là 

A.( 2;17 ) 

B.( − 2;17) 

C. ( 0;1 ) 

D.( 2;17 ) và ( − 2;17) 

4 2 

Câu 3: Số điểm cực đại của đồ thị hàm số y = − x + 6x + 9 là 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

4 2 

Câu 4: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 4x + 6 là 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

4 2 

Câu 5: Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = −x − 6x − 9 là 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 6: Cho hàm số y = xm 4 + ( m − 1) x 2 + m 2 − m + 1( C ) . Tìm m để đồ thị hàm số ( C ) chỉ có 

một cực trị 

⎡m 

≤ 0 

A. m < 0 

B. m ≤ 0 

C. m ≥ 1 

D. ⎢ 

⎣m 

≥1 

Câu 7: Cho hàm số y = x 4 − ( m − 1) x 2 + m 3 + 1( C ) . Tìm m để đồ thị hàm số ( C ) không có 

cực đại. 

A. m = 1 

B. m > 1 

C. m ≤ 1 

D. m ≥ 1 

Câu 8: Cho hàm số = 4 − 2( 2 − − + 1) 2 + −1( ) 

Trang95 

y x m m x m C . Tìm m để đồ thị hàm số ( C ) có 

cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu nhỏ nhất. 

1 

A. m ≥ 1 

B. m ≤ 1 

C. m = 1 

D. m = 

2 

Câu 9: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m ( C ) . Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo 

thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. 

A. m = 1 

B. m = 0 

C. m = −2 

D. m = 2 

4 2 

Câu 10: Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = x − mx +1 có 3 điểm cực trị tạo thành một 

tam giác vuông. 

⎡m 

= 0 

A. ⎢ 

⎣m 

= 2 

B. m = 2 

C. m = 0 

D. m = 1 

1 4 2 

Câu 11: Hàm số y = x − 2x + 5 có mấy điểm cực trị có hoành độ lớn hơn –1 ? 

4 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

4 2 

Câu 12: Cho hàm số y = x + x +1. Khẳng định nào sau đây đúng? 

A. Hàm số chỉ có cực đại 

B. Hàm số chỉ có cực tiểu 

C. Hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu 

D. Hàm số có 1 điểm cực tiểu và 2 điểm cực đại 

4 2 

Câu 13: Cho hàm số y = − x + 6x + 15 . Tung độ của điểm cực tiểu của hàm số là: 

A. 15 B. 24 C. 0 D. 3 

4 1 2 

Câu 14: Cho hàm số y = x − x + 1 . Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực tiểu của 

2 

hàm số là: 

15 

7 

1 

1 

A. y = 

B. y = 

C. y = ± 

D. y = x + 1 

16 

16 

2 

4 

Câu 15: Gọi A là điểm cực đại B, C là 2 điểm cực tiểu của hàm số 

độ chân đường cao hạ từ A của ∆ABC là: 

1 

4 

4 2 

y = x − 8x + 35 . Tọa 














A.( 4; − 29) 

B.( − 2; 7) 

C.( 0; − 29) 

D.( 2; 7 ) 

4 2 

Câu 16: Cho hàm số y = −x − 2mx + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số chỉ có cực đại mà 

không có cực tiểu? 

A. m < 0 

B. m ≥ 0 

C. m ≥ 1 

D. m = ∅ 

Câu 17: Cho hàm số = 4 − ( 3 + 1) 2 + 2 + 2( ) 

Trang96 

1 

y x m x m C . Với giá trị nào của m thì hàm số có 

4 

3 điểm A, B, C sao cho tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm? 

⎡ 1 

1 

−2 

⎢m 

= 

3 

A. m = 

B. m = 

C. ⎢ 

3 

3 

⎢ = −2 

m 

⎢⎣ 3 

D. m = ∅ 

Câu 18: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 1( C ) . Với giá trị nào của m thì hàm số có 3 điểm cực 

trị tại A, B, C sao cho OA + OB + OC = 3 với O là gốc tọa độ. 

− 1+ 

5 

A. m = 0 

B. m = 1 

C. m = 

D. Cả A, B đều đúng 

2 

4 2 2 

Câu 19: Cho hàm số y = x − 2mx + 2m + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số có 3 điểm cực 

trị tạo thành 3 đỉnh của tam giác vuông cân? 

⎡m 

= 0 

A. m = 0 

B. m = 1 

C. ⎢ 

⎣m 

= 1 


D. m = −1 

4 2 1 

y = x − 8m x + 1. Với giá trị nào của m thì hàm số có 3 điểm cực trị 

tạo thành 3 đỉnh của tam giác có diện tích bằng 64? 

A. m = ± 2 B. m = ± 3 2 C. m = ± 5 2 D. m = ± 2 

Câu 21: Cho hàm số y = − x 4 + 4x 2 + 1( C ) . Tọa độ cực tiểu của ( C ) là: 

A.( 0; 0 ) 

B. ( 0;1 ) 

C.( ) 

1 

4 

2;5 và ( 2;5) 

Câu 22: Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 + 2( C ) . Tọa độ cực tiểu của ( ) 

⎛ 1 ⎞ 

A. ⎜1; ⎟ 

⎝ 4 ⎠ và ⎛ 1 ⎞ 

⎜ −1; ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

− D. ( 1;0 ) 

C là: 

B.( 0; − 2) 

C.( 2; − 2) 

và ( −2; − 2) 

D.( 0; 2 ) 

Câu 23: Cho hàm số sau: y = x 4 + 1( 1 ); y = − x 4 − x 2 + 1( 2 ); y = x 4 − 2x 2 

( 3) 

. Đồ thị hàm số 

nhận điểm A ( 0;1) 

là điểm cực trị là: 

A. (1) và (2) B. (1) và (3) C. chỉ có (3) D. cả ( 1 );( 2 );( 3 ) 

2 

Câu 24: Giả sử hàm số = ( −1) 2 

Trang97 

y x có a điểm cực trị, hàm số 

4 2 

và hàm số y = −x − 4x − 4 có c điểm cực trị. Tổng a + b + c bằng 

A. 5 B. 7 C. 6 D. 4 

4 

y = x + 3 có b điểm cực trị 

4 2 

Câu 25: Gọi A, B, 

C là tọa độ 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x − 2x + 1. Chu vi tam 

giác ABC bằng: 

A. 4 2 + 1 

B. 2 2 1 

+ C. 2( 2 1) 

Câu 26: Cho hàm số dạng = ( − 1) 4 + ( 2 − 1) 2 + 2( ) 

+ D.1+ 

2 

y m x m x C . Khẳng định nào sau đây là sai: 

A. Hàm số đã cho không thể có 2 điểm cực trị với mọi m ∈ R 

B. Điểm A ( 0; 2) 

luôn là một điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho với mọi m ∈ 

C. Hàm số đã cho có tối đa 3 điểm cực trị 

D. Hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị của m 

Câu 27: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + 1( C ) . Giá trị m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tại 

A, B, C sao cho OA = BC (với A là điểm cực trị thuộc trục tung) là: 

1 

1 

A. m = 

B. m = ± 

C. m = ± 2 

D. m = ± 2 

4 

4 


cực tiểu. Tổng 2 a + b bằng: 

4 2 

y = x + ax + b . Biết rằng đồ thị hàm số nhận điểm ( 1; −4) 

A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 

y m x m x 

Câu 29: Cho hàm số ( ) ( ) 

cực trị là: 

R 

A là điểm 

= − 1 4 + 2 − 4 2 + 1. Điều kiện để đồ thị hàm số có 3 điểm 

A. m ∈ ( 0;1) ∪ ( 2; +∞ ) 

B. m ∈ ( −2;1) ∪ ( 2; +∞ ) 

C. m ∈ ( −∞; −2) ∪ ( 1; 2) 

D. m ∈ R \ { 1} 


4 2 

y x mx n 

vẽ. Giá trị của m và n lần lượt là: 

A. m = 1; n = 4 

B. m = n = 4 

C. m = − 3; n = 4 

D. m = 2; n = 4 

= − + có đồ thị như hình 

4 2 

Câu 31: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − 4x 

− 1 có tọa độ là? 














A.( 2;5 ) 

B.( 0; − 1) 

C.( − 2; − 5) 

D.( ± 2; − 5) 

4 2 

Câu 32: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 4 là? 

⎛ 6 9 ⎞ 

A. 

⎜ 

± ; − 

2 4 ⎟ 

⎝ ⎠ 

Trang98 

⎛ 

B.( 0; 4 ) 

C. 

⎜ 

± 

⎝ 

6 7 ⎞ ; 

2 4 ⎟ 

⎠ 

D. ( 1; 2 ) 

Câu 33: Đường thẳng đi qua điểm M ( 1; 4) 

và điểm cực đại của đồ thị hàm số 

y x x 

4 2 

= − 2 + 4 có phương trình là? 

A. x = 4 

B. y = 4 

C. x = 1 

D. x − 2 y + 7 = 0 

Câu 34: Hàm số 

bằng? 

y x x 

4 2 

= − 2 + 2 đạt cực đại tại x a 

= , đạt cực tiểu tại x = b . Tổng a + b 

A. 1 hoặc 0 B. 0 hoặc –1 C. –1 hoặc 2 D. 1 hoặc –1 

4 2 

Câu 35: Tích giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y = x − 3x 

+ 2 bằng? 

1 

9 

A. − B. 0 C. − D. 1 

2 

2 

2 

4 2 

Câu 36: Tính giá trị của m để hàm số y = x + mx đạt cực tiểu tại x = 0 . 

A. m ≤ 0 

B. m < 0 

C. m ≥ 0 

D. m > 0 

Câu 37: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 

y x x 

4 2 

= − 8 + 3 là: 

A. x + y − 14 = 0 B. y + 13 = 0 C. x + y − 3 = 0 D. y = 3 

4 2 


+ 1 có đồ thị ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị 

tạo thành ba đỉnh của một tam giác, gọi là ∆ ABC . Tính diện tích của tam giác ABC . 

1 

A. S = 4 

B. S = 2 

C. S = 1 

D. S = 

2 

4 2 

Câu 39: Cho hàm số y = ax + bx + c với a ≠ 0 và các khẳng định sau: 

(1). Nếu ab ≥ 0 thì hàm số có đúng một cực trị. 

(2). Nếu ab < 0 thì hàm số có ba điểm cực trị. 

(3). Nếu a < 0 

(4). Nếu b < 0 < a thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân. 

Trong các khẳng định trên, những khẳng định nào đúng? 

A. 1, 2, 3. B. 1, 2, 4. C. 1, 3, 4. D. 2, 3, 4. 

4 2 

Câu 40: Cho hàm số = − + 3( ) . Biết hàm số ( ) 

Trang99 

1 

y x mx C m 

4 

và giá trị cực đại bằng 3. Tìm giá trị của số thực m thỏa mãn yêu cầu đề bài? 

C có giá trị cực tiểu bằng –1 

A. m = 2 

B. m = − 2 

C. m = 3 

D. m = 4 


1-D 2-D 3-C 4-D 5-B 6-D 7-C 8-D 9-D 10-B 

11-C 12-B 13-A 14-A 15-C 16-B 17-A 18-D 19-B 20-C 

21-B 22-A 23-A 24-A 25-C 26-B 27-A 28-C 29-C 30-B 

31-B 32-C 33-B 34-D 35-B 36-C 37-B 38-C 39-B 40-A 


m 













Trang100 

Chủ đề 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ 

Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 


1. Một số kiến thức mở đầu 

Cho hàm số y = f ( x) 

xác định trên D. 

+ Nếu x0 

∈ D mà f ( x) ≤ f ( x0 ), 

∀x ∈ D thì M = f ( x 0 ) được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) 

của hàm số y = f ( x) 

. 

Kí hiệu max = M . 

+ Nếu x0 

x∈D 

∈ D mà f ( x) ≥ f ( x0 ), 

∀x ∈ D thì m = f ( x 0 ) được gọi là giá trị lớn nhất (GTNN) 

của hàm số y = f ( x) 

. 

Kí hiệu min = m . 

x∈D 

2. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 

Đối với bài toán tìm GTLN và GTNN của hàm số, ta có một cách làm tổng quát đó là lập 

bảng biến thiên của hàm số, từ đó đưa ra kết luận. Các bước cơ sở của cách làm này như sau: 

+ Bước 1. Đưa ra tập xác định của hàm số y = f ( x) 

. 

+ Bước 2. Tính đạo hàm y ' và giải phương trình y ' = 0 → các nghiệm. 

+ Bước 3. Lập bảng biến thiên và kết luận. 

Lưu ý quan trọng 

Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f ( x) 

trên đoạn [ a; 

b ] mà hàm số 

y = f ( x) 

xác đinh và liên tục trên [ a; 

b ] thì ta có thể làm nhanh như sau mà không cần lập bảng 

biến thiên: 

+ Bước 1. Tính đạo hàm y ' và giải 

( a; 

b) 

⎧⎪ x ∈ 

⎨ 

⎪⎩ y ' = 0 

→ các nghiệm x1 , x2,..., x 

n 

. 

+ Bước 2: Tính f ( a) f ( b) f ( x ) f ( x ) f ( x ) và so sánh kết quả, kết quả nào lớn 

, , 

1 

, 

2 

,..., 

n 

nhất thì đó chính là GTLN của hàm số y = f ( x) 

trên đoạn [ a; 

b ] , kết quả nào nhỏ nhất thì đó 

chính là GTNN của hàm số y = f ( x) 

trên đoạn [ ; ] 

a b . 

Với cách làm này, ta đặc biệt lưu ý đến tính chính xác và liên tục của hàm số trên một đoạn. 

Chẳng hạn, hàm số 

Trang101 

y 

1 

x 1 

làm trên để GTLN và GTNN của y 

= − 

không xác định và không liên tục trên [ ] 

1 

x 1 

= − 

trên [ ] 

0; 2 là hoàn toàn sai lầm. 

0; 2 , việc sử dụng cách 

Nếu đề bài yêu cầu tìm GTLN và GTNN của hàm số mà không nói gì thêm thì ta hiểu là tìm 

GTLN và GTNN của hàm số trên tập xác định. 


3 2 

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2x x 1 

= − + − trên đoạn [ 1;3 ] 

A. min y = − 3 B. min y = − 1 C. min y = 1 D. min y = 2 

[ 1;3] 

[ 1;3] 

[ 1;3] 

[ 1;3] 

Lời giải 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên [ 1;3 ] 

( ) 

2 

⎧⎪ x ∈ 1;3 

Ta có y ' = 3x − 4x + 1; ⎨ ⇔ x ∈∅ 

⎪⎩ y ' = 0 

y 1 = − 1; y 3 = 11⇒ min y = − 1 

[ 1;3] 

Mà ( ) ( ) 

Chọn B 

4 2 

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 2x 

5 

= − + trên đoạn [ 0; 2 ] 

A. max y = 5 B. max y = C. max y = 13 D. max y = 20 

[ 0;2] 

[ ] 2 

[ 0;2] 

[ 0;2] 

Lời giải 

0;2 

19 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên [ 0; 2 ] 

Ta có ( ) 

( ) 

0; 2 

3 2 

⎧⎪ x ∈ 

y ' = 4x − 4x = 4x x −1 ; ⎨ ⇔ x = 1 

⎪⎩ y ' = 0 

y 0 = 5; y 2 = 13; y 1 = 4 ⇒ max y = 13 

[ 0;2] 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Chọn C 

2x 

−1 

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 

x + 2 

7 

A. max [ 0;4] 

6 

Lời giải 

trên đoạn [ 0; 4 ] 

y = B. max y = C. max y = D. max y = 1 

[ ] 3 

[ ] 3 

[ 0;4] 


0;4 

1 

0;4 

4 














5 

Ta có y ' = > 0, ∀x 

∈ 

2 

( 0;4 ). 

x + 2 

Chọn A 

Trang102 

( ) 

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

1 7 7 

y 0 = − ; y 4 = ; y 1 = 4 ⇒ max y = 

2 6 [ 0;4 ] 6 

Mà ( ) ( ) ( ) 

= + trên đoạn [ 1; 4 ] 

2 16 

x 

x 

A. min y = 17 B. min y = 12 C. min y = 20 D. min y = 10 

[ 1;4] 

[ 1;4] 

[ 1;4] 

[ 1;4] 

Lời giải 


( ) ( ) 

16 ⎧⎪ x ∈ 1;4 ⎪⎧ x ∈ 1;4 

Ta có y ' = 2 x − ; x 2. 

2 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ = 

3 

x ⎪⎩ 

y ' = 0 ⎪⎩ 

2x 

= 16 

y 1 = 17; y 4 = 20; y 2 = 12 ⇒ min y = 12 

[ 1;4] 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Chọn B 

x 

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 

0;4 

10 

2 

+ x + 4 

x + 1 


A. max y = 4 B. max y = C. max y = 6 D. max y = 

[ 0;4] 

[ ] 3 

[ 0;4] 

[ ] 5 

Lời giải 


( ) 

( ) ( ) 

0;4 

24 

x x + 1 + 4 4 4 ⎧⎪ x ∈ 0;4 ⎪⎧ 

x ∈ 0;4 

Ta có y = = x + ⇒ y ' = 1 − ; x 1 

2 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ = 

2 

x + 1 x + 1 ( x + 1) 

⎪⎩ y ' = 0 ⎪⎩ ( x + 1) 

= 4 

24 24 

y 0 = 4; y 4 = ; y 1 = 3 ⇒ max y = 

5 [ 0;4 ] 5 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Chọn D 

2 

x + 3 

Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 

x −1 


A. min y = 6 B. min y = − 2 C. min y = − 3 D. min 

[ 2;4] 

[ 2;4] 

[ 2;4] 

[ ] 

Lời giải 


19 

y = 

2;4 

3 

2 

x − 1+ 4 4 4 ⎧⎪ x ∈ 2; 4 ⎪⎧ 

x ∈ 2;4 

Ta có y = = x + 1 + ⇒ y ' = 1 − ; x 3. 

2 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ = 

2 

x −1 x − 1 ( x −1) 

⎪⎩ y ' = 0 ⎪⎩ ( x − 1) 

= 4 

19 

y 2 = 7; y 4 = ; y 3 = 6 ⇒ min y = 6 

3 

[ 2;4] 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Chọn A 

Trang103 

( ) ( ) 

Ví dụ 7: Kí hiệu M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 

2 2 

y = 2 + x + 2 − x. 

Tính giá trị của biểu thức S = M + 2 m . 

A. S = 20 

B. S = 12 + 2 3 C. S = 16 

D. S = 12 + 4 3 

Lời giải 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên [ − 2; 2] 

( ) ( ) 

1 1 ⎧⎪ 

x ∈ −2;2 ⎧⎪ 

x ∈ −2;2 

Ta có y ' = − ; ⎨ ⇔ ⎨ 

⇔ x = 0. 

2 2 + x 2 2 − x ⎪⎩ 

y ' = 0 ⎪⎩ 

2 + x = 2 − x 

y − 2 = 2; y 2 = 2; y 0 = 2 2 ⇒ M = 2 2, m = 2 ⇒ S = 16. 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Chọn C 

2 

Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 + x + 2 − x + 2 4 − x bằng 

A. 2 B.1+ 3 3 

C. 6 + 2 2 

D. 4 + 2 2 

Lời giải 

Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2. 


t = 2 + x + 2 − x ≥ 0 ⇒ t = 4 + 2 2 + x 2 − x = 4 + 2 4 − x 

2 2 

Đặt ( )( ) 

⇒ − = − ⇒ = + − 

2 2 2 

2 4 x t 4 y t t 4. 

Theo ví dụ trên, ta có ngay 2 ≤ t ≤ 2 2 ⇒ t ∈⎡2;2 2 ⎤ ⎣ ⎦ 

. 

2 

Xét hàm số f ( t ) = t + t − 4, với t ⎡2;2 2⎤ 

Mà f ( ) f ( ) max f ( t) 

2 = 2; 2 2 = 4 + 2 2 ⇒ = 4 + 2 2 

∈ ⎣ ⎦ 

ta có f ( t) = t + > ∀t 

∈ ( ) 

⎡2;2 2⎤ 

⎣ ⎦ 

Chọn D 

Nhận xét 

Ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số y 2 x 2 x 2 4 x 

' 2 1 0, 2;2 2 . 

2 

= + + − + − trên [ −2; 2] 


như sau 













Xét hàm số y 2 x 2 x 2 4 x 

Trang104 

2 

= + + − + − với [ 2; 2] 

1 1 2x 

y ' = − − . 

2 

2 2 + x 2 2 − x 4 − x 

( ) ( ) 

x ∈ − có 

⎧⎪ x ∈ −2;2 

⎪⎧ 

x ∈ −2; 2 

Do đó ⎨ ⇔ ⎨ 

⇔ x = 0 

⎪⎩ 

y ' = 0 ⎪⎩ 

2 − x + 2 + x − 4x 

= 0 

Mà ( ) ( ) ( ) 

y − 2 = 2; y 2 = 2; y 0 = 4 + 2 2 ⇒ max y = 4 + 2 2. 

[ −2;2] 

2 

Ví dụ 9: Kí hiệu M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 9 − x . 

2 3 

Tính giá trị của biểu thức S = 2 M + m . 

A. S = 9 

B. S = 63 

C. S = − 9 

D. S = 18 + 54 2 

Lời giải 

2 

Điều kiện: 9 − x ≥ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên [ − 3;3] 

( ) ( ) 

x ⎧⎪ x ∈ −3;3 ⎪⎧ x ∈ −3;3 

3 

Ta có y ' = 1 − ; ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ x = . 

2 

' 0 

2 

9 − x ⎪⎩ 

y = ⎪⎩ 9 − x = x 2 

⎛ 3 ⎞ 

y − 3 = − 3; y 3 = 3; y ⎜ ⎟ = 3 2 ⇒ M = 3 2, m = −3 ⇒ S = 9. 

⎝ 2 ⎠ 

Mà ( ) ( ) 

Chọn A 

2 

Ví dụ 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x + 3 9 − x bằng? 

A. − 6 

B. − 9 

C. 9 D. 0 

Lời giải 

2 

Điều kiện: 9 − x ≥ 0 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên [ − 3;3] 

( ) 

⎧x∈ −3;3 

3x 

⎧⎪ x ∈( −3;3) ⎪⎧ x∈( −3;3) 

⎪ 

6 

Ta có y ' = 2 − ; ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨⎡x 

≥ 0 ⇔ x = . 

2 

' 0 

2 

9 − x ⎩⎪ 

y = ⎪⎩ 2 9 − x = 3x 

⎪⎢ 

2 2 

13 

⎪⎣⎢ 

4( 9 − x ) = 9x 

⎩ 

⎛ 6 ⎞ 

y − 3 = − 6; y 3 = 6; y ⎜ ⎟ = 3 13 ⇒ min y = −6 

13 

[ −3;3 

⎝ ⎠ 

] 

Mà ( ) ( ) 

19 

y 2 = 7; y 4 = ; y 3 = 6 ⇒ min y = 6 

3 

[ 2;4] 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Chọn A 

2 

Ví dụ 11: Cho hàm số y = 4 x − x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. Hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. 

B. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. 

C. Hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. 

D. Hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. 

Lời giải 

2 

Điều kiện: ( ) 

Trang105 

4x − x ≥ 0 ⇔ x 4 − x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4. 


( ) 

4 − 2x 

⎧⎪ 

x ∈ 0;4 

Ta có y ' = ; ⎨ ⇔ x = 2. 

2 

2 4x 

− x ⎪⎩ 

y ' = 0 

y 0 = 0; y 4 = 0; y 2 = 2 ⇒ max y = 2;min y = 0 

[ 0;4] [ 0;4] 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Chọn C 

⎡1 Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x ( ln x − 2) 

trên đoạn ; 

2 e ⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎥ 

⎦ 

1 

A. min y = e − 2 B. min y = − e C. min y = − 2 D. min y = 1− 

ln 2 

⎡ ⎤ 

⎡ ⎤ 

⎡ ⎤ 

⎡ ⎤ 2 

1 

⎢ ; e 

2 ⎥ 

⎣ ⎦ 

1 

⎢ ; e 

2 ⎥ 

⎣ ⎦ 

Lời giải 

⎡1 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ; 

2 e ⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎥ 

⎦ 

1 

Ta có y = x ln x − 2 x ⇒ y ' = ln x + x. − 2 = ln x − 1 

x 

1 

⎢ ; e 

2 ⎥ 

⎣ ⎦ 

⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎧ ⎛ 1 ⎞ 

⎪x ∈⎜ ; e⎟ ⎪x ∈⎜ ; e⎟ ⎪x∈⎜ ; e⎟ 

⎨ ⎝ 2 ⎠ ⇔ ⎨ ⎝ 2 ⎠ ⇔ ⎨ ⎝ 2 ⎠ ⇔ x∈∅. 

⎪y ' 0 ⎪ln x 1 ⎪ 

⎩ = ⎩ = ⎩x = e 

⎛ 1 ⎞ 1 1 1 

Mà y ⎜ ⎟ = ln − 1 = − 1 − ln 2; y ( e) = − e;min 

y = − e 

2 2 2 2 ⎡1 ⎤ 

⎝ ⎠ 

; e 

Chọn B 

⎢ 

2 

⎥ 

⎣ ⎦ 

ln x 

2 

Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn ⎡1;e 

⎤ 

x 

⎣ ⎦ 


1 

⎢ ; e 

⎣2 

⎥ 

⎦ 













2 

1 

1 

1 

A. max y = B. max y = ln 2 C. max y = ln 3 D. max y = 

⎡ 2 2 

1; e ⎤ 

2 

e 

⎡1; 

e ⎤ 

2 

2 

⎡1; 

e ⎤ 

2 

3 

⎡1; 

e ⎤ e 

⎣ 

Trang106 

⎦ 

Lời giải 

2 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ⎡ 

⎣1;e 

⎤ 

⎦ 

1 


x 

1 . x − ln x 

2 2 

1 ln ( 1; ) ( 1; ) 

' x − x ⎧⎪ x ∈ e ⎧⎪ 

x ∈ e 

y = = ; x e. 

2 2 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ = 

x x ⎪⎩ 

y ' = 0 ⎪⎩ 

ln x = 1 

1 1 

y = y e = ⇒ max y = 

e 

e 

2 

Mà ( 1) 0; ( ) 

2 

⎣ 

⎡1; 

e ⎤ 

⎣ ⎦ 

⎦ 

Chọn D 

2 

ln x 

3 

Ví dụ 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = trên đoạn ⎡1;e 

⎤ 

x 

⎣ ⎦ 

9 

1 2 

4 

1 

A. max y = B. max y = ln 2 C. max y = D. max y = 

⎡ 3 3 

1; e ⎤ 

3 

e 

⎡1; 

e ⎤ 

3 2 

2 

⎡1; 

e ⎤ 

3 

e 

⎡1; 

e ⎤ e 

⎣ 

⎦ 

Lời giải 

3 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ⎡ 

⎣1;e 

⎤ 

⎦ 

1 


x 

2 

1 2 1 2 1 1 2ln x − ln x 

y = ln x ⇒ y ' = − .ln x + .2ln x. 

= 

2 2 

x x x x x 

3 

⎧⎪ 

x ∈( 1; e ) 

Do đó 

⎣ 

⎦ 

3 

( 1; e ) 

⎧x 

∈ 

⎪ 

2 

⎨ ⇔ ⎨ ⎡ln x = 0 ⇔ x = e . 

⎪⎩ 

y ' = 0 ⎪⎢ 

⎩⎣ln x = 2 

9 4 4 

y 1 = 0; y e = ; y e = ⇒ max y = 

e e e 

3 2 

Mà ( ) ( ) ( ) 

3 

Chọn C 

3 2 

⎡ 

2 

1; e ⎤ 

⎣ ⎦ 

Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( 2) 

y x e 

⎣ 

⎣ 

⎦ 

⎦ 

2 2x 

= − trên đoạn [ − 1; 2] 

⎣ 

⎣ 

⎦ 

⎦ 


Ta có ( ) 

Trang107 

( 1;2 ) ⎧ ∈( −1;2 

) 

2x 2 2 x 

⎧⎪ x ∈ − ⎪x 

' = 2. + − 2 .2; ⎨ ⇔ ⎨ 

⇔ = 1. 

2 

y xe x e x 

⎪⎩ 

y ' = 0 ⎪⎩ 

x + x − 2 = 0 

1 

4 2 2 

y − 1 = − ; y 2 = 2 e ; y 1 = −e ⇒ min y = − e . 

2 

e 

[ −1;2] 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Chọn A 

Ví dụ 16: Hàm số y = f ( x) 

xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên sau: 

Xét các khẳng định sau: 

x −∞ 1 +∞ 

y ' 

+ 0 - 

y 

-1 

1. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất bằng 2 

2. Hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng − 1 

3. Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất tại x = 0 

4. Hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất với x ∈ ( −∞ ;1) 

Trong các khẳng định trên, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng? 

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 

Lời giải 

Hàm số đã cho có giá trị lớn nhất bằng 2 tại x = 1 

Hàm số đã cho không có giá trị nhỏ nhất 

Do đó chỉ có khẳng định 1 là đúng 

Chọn A 

4 3 

Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất y 

min 

của hàm số y = x − 4x + 8 x. 

A. y 

min 

= 0 

B. y 

min 

= 5 

C. y 

min 

= − 4 D. y 

min 

= − 3 

Lời giải 

Hàm số đã cho đã xác định trên R 

2 

2 

4 

2 

A. min y = − e B. min y = − 2e 

C. min y = 2e 

D. min y = 2e 

⎡x 

= 1 

[ −1;2 

] [ −1;2 

] [ −1;2 

] [ −1;2 

] 3 2 

Ta có y ' = 4x − 12x + 8; y ' = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= 1± 

3 

Lời giải 

Bảng biến thiên: 


2 

1 













Trang108 

x −∞ 1− 3 1 1+ 3 +∞ 

y ' 

- 0 + 0 - 0 - 

y +∞ 

Từ bảng trên ta được giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng − 4 

Chọn C 

Ví dụ 18: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 

-4 

5 

x + 4 

bằng? 

2 

x + 8 

A. 2 B. 3 C. 2 + 2 

2 

Lời giải 

Hàm số đã cho đã xác định trên R 

2 

x 

x + 8 − ( x + 4 ). 

2 2 

2 

8 8 ( 4 ) 

Ta có ' 

x x + − x + x 

y = 

+ 

= = 0 ⇔ x = 2. 

2 

x + 8 

2 2 

x + 8 x + 8 


( ) 

-4 

x −∞ 2 +∞ 

y ' 

+ 0 - 

y 

Từ bảng trên ta được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 3. 

Chọn B 

x 

Ví dụ 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 

A. ( 0; +∞ ) 

Lời giải 

-1 

2 

3 

+ 3x 

+ 6 

trên đoạn ( 0; +∞ ) 

x + 1 

1 

+∞ 

D. 2 6 

3 

min y = 5 B. min y = 6 C. min y = − 3 D. min y = 4 

( 0; +∞ ) 

( 0; +∞ ) 

( 0; +∞ ) 

Hàm số đã cho đã xác định trên ( 0; +∞ ) 

x + 1 x + 2 + 4 4 4 

Ta có y = = x + 2 + ⇒ y ' = 1 − . 

x + 1 x + 1 x + 1 

Trang109 

( )( ) 

( ) ( ) 

⎧⎪ x ∈ 0; +∞ ⎪⎧ 

x ∈ 0; +∞ 

Do đó ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ x = 1 

⎪⎩ y ' = 0 ⎪⎩ ( x + 1) 2 

= 4 


Từ bảng trên ⇒ min y = 5 

( 0; +∞) 

Chọn A 

Nhận xét 

( ) 2 

x 0 1 +∞ 

y ' - 0 + 

y 6 

5 

Từ bảng biến thiên trên ⇒ hàm số đã cho không có giá trị lớn nhất trên khoảng ( 0; +∞ ) 

Bài toán có cách làm khác như sau: 

( )( ) 

x + 1 x + 2 + 4 4 

Ta có y = = x + 2 + 

x + 1 x + 1 

Với x ∈ ( 0; +∞ ), 

áp dụng bát đẳng thức Cosi ta có 

4 4 4 

x + 2 + = x + 1+ + 1 ≥ 2 ( x + 1 ). + 1 = 5. 

x + 1 x + 1 x + 1 

⎧x 

> 0 

⎪ 

Dấu “=” xảy ra ⇔ ⎨ 4 ⇔ x = 1⇒ min y = 5. 

x 2 

( 0; +∞) 

⎪ + = 

⎩ x + 1 

2 

2sin x − cos x + 10 

Ví dụ 20: Tìm giá trị lớn nhất y 

max 

của hàm số y = 

sin x + 2 

A. y = 10 B. y = 4 

C. y = 8 

D. y = 6 

Lời giải 

max 

Đặt [ ] 

max 

max 

( ) 

2 

2t − 1− t + 10 

2 

2 2 t + 2t 

+ 9 9 

t = sin x ∈ −1;1 ⇒ cos x = 1 − t ⇒ y = = = t + . 

t + 2 t + 2 t + 2 

9 , 

t 2 

Xét hàm số f ( t) 

= t + với [ 1;1] 

+ 

t ∈ − có 


+∞ 

max 













Trang110 

( 1;1) 

( t ) = 

t ∈( −1;1) 

( t ) 

9 ⎧⎪ t ∈ − ⎪⎧ 

f '( t) 

= 1 − ; . 

2 ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ t ∈∅ 

2 

( t + 2) 

⎪⎩ 

f ' 0 ⎪⎩ 

+ 2 = 9 

Hàm số f ( t ) đã xác định và liên tục trên [ − 1;1] 

Mà f ( ) f ( ) y f ( t ) 

Chọn C 

− 1 = 8; 1 = 4 ⇒ = 8 

max 

3 

Ví dụ 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin x 3cos x 

12 3 −1 

12 − 3 3 

A. min y = B. min y = C. [ −π ; π ] 8 

[ −π ; π ] 8 

[ −π ; π ] 

Lời giải 

Hàm số đã cho đã xác định trên [ − π π ] 

; . 

Ta có ( ) 

= + trên đoạn [ − π π ] 

2 ⎛ 1 

; . 

min y = − 3 D. min y = − 4 

[ −π ; π ] 

⎞ 

y ' = 3sin cos x − 3sin x = 3sin x sin x cos x − 1 = 3sin x ⎜ sin 2x 

−1⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

( ) 

⎧x 

∈ −π ; π 

⎧⎪ x∈( −π ; π ) ⎪ 

⎧⎪ x ∈ −π ; π ⎧⎪ 

x ∈ −π ; π 

Do đó ⎨ ⇔ ⎨⎡sin x = 0 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ k ∈Z 

⎪⎩ y ' = 0 ⎪⎢ 

⎪⎩ sin x = 0 ⎪⎩ 

x = kπ 

⎩⎣sin 2x 

= 2 

Suy ra − π < kπ < π ⇔ − 1 < k < 1 ⇔ k = 0 ⇒ x = 0 

f − = − 3; f = − 3, f 0 = 3 ⇒ min y = − 3 

[ −π ; π ] 

Mà ( π ) ( π ) ( ) 

Chọn C 

Ví dụ 22: Tìm giá trị lớn nhất y 

max 

của hàm số 

( ) ( ) ( ) 

2sin x − cos x − 3 

y = 

. 

2 cos x − sin x + 4 

5 

1 

1 

2 

A. y 

max 

= − B. y 

max 

= − C. y 

max 

= − D. y 

max 

= − 

4 

6 

3 

11 

Lời giải 

Ta có 2 cos x − sin x + 4 ≥ −2 − 1+ 4 > 0 ⇒ hàm số đã cho đã xác định trên R 

2sin x − cos x − 3 

y = ⇔ y 2 cos x − sin x + 4 = 2sin x − cos x − 3 

2 cos x − sin x + 4 

Khi đó ( ) 

( ) ( ) 

2 y −1 cos x − y + 2 sin x = −4 y − 3. 

2 

Cần có ( ) ⎡ ( ) ⎤ ( ) 

2 2 2 2 

2 y − 1 + ⎣− y + 2 ⎦ ≥ −4 y − 3 ⇔ 11y + 24y + 4 ≤ 0 ⇔ −2 

≤ y ≤ − 

11 

2 

Do đó y 

max 

= − 

11 

Chọn D 

3 

Ví dụ 23: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 3x 

1 

Trang111 

= − + trên đoạn [ − 2; 2] 

A. max y = 1 B. max y = 4 C. max y = 2 D. max y = 3 

[ − 2;2] 

[ − 2;2] 

[ − 2;2] 

[ − 2;2] 

Lời giải 

3 

Xét hàm số f ( x) = x − 3x 

+ 1, với x ∈ [ −2; 2] 

ta có 

( ) 

( x) 

= 

2 

⎧⎪ x ∈ −2;2 

f '( x) 

= 3x − 3; ⎨ ⇔ x = ± 1 

⎪⎩ f ' 0 


y − 2 = − 1; y 2 = 3; y 1 = −1⇒ max f x = 3;min f x = − 1 

[ −2;2] 

[ −2;2] 

Mà ( ) ( ) ( ) 

( ) ( ) ( ) 

( ) 

⇒ −1 ≤ f x ≤ 3 ⇒ − 3 < f x ≤ 3 ⇒ f x ≤ 3 ⇒ y ≤ 3. 

⎡x 

= 2 

Dấy “=” xảy ra ⇔ ⎢ ⇒ max y = 3 

x 1 [ −2;2 

⎣ = − 

] 

Chọn D 


dưới đây là đúng? 

( ) 

x + m 

y = (m là tham số thực) thỏa mãn min y = 3. Mệnh đề nào 

x −1 

[ 2;4] 

A. m < − 1 

B. 3 < m ≤ 4 C. m > 4 

D.1 ≤ m < 3 

Lời giải 


−1− 

m 

Đạo hàm y ' = ≠ 0, ta cần so sánh y ( 2) 

và y ( 4 ). 

x −1 

( ) 2 

m + 4 2m 

+ 2 

2 = + 2, 4 = ⇒ 2 − 4 = . 

3 3 

Ta có y ( ) m y ( ) y ( ) y ( ) 

m + 4 

m > −1 ⇒ y 2 > y 4 ⇒ min y = y ( 4) 

= = 3 ⇒ m = 5, thỏa mãn m > − 1 

[ 2;4] 

3 

TH1. ( ) ( ) 

m < −1⇒ y 2 < y 4 ⇒ min y = y 2 = m + 2 = 3 ⇒ m = 1, không thỏa mãn m > − 1 

[ 2;4] 

TH2. ( ) ( ) 

Chọn C 

Nhận xét 

Khi xét m > − 1, ta được y ' 0, x ( 2; 4 ), 

( ) 

< ∀ ∈ từ đó hàm số nghịch biến trên [ 2; 4 ] 














Do đó y = y 

[ ] 

( ) 

2;4 

Trang112 

min 4 . 

Khi xét m < − 1, ta được y ' 0, x ( 2; 4 ), 

Do đó y = y 

[ ] 

( ) 

min 2 . 

2;4 

Với cách này thì ta không cần tính y ( ) − y ( ) 


đề nào dưới đây là đúng? 

> ∀ ∈ từ đó hàm số đồng biến trên [ 2; 4 ] 

2 4 . 

x + m 

16 

y = (m là tham số thực) thỏa mãn min y + max y = . Mệnh 

x + 1 

[ 1;2] [ 1;2] 

3 

A. m ≤ 0 

B. m > 4 

C. 0 < m ≤ 2 D. 2 < m ≤ 4 

Lời giải 


1− 

m 

Đạo hàm y' = ≠ 0 ⇒ min y + max y 

2 

luôn bằng y ( 1) + y ( 2 ). 

1;2 1;2 

x + 1 

Ta có ( ) ( ) 

Chọn B 

( ) 

[ ] [ ] 

m + 1 m + 2 16 

y 1 + y 2 = + = ⇒ m = 5. 

2 3 3 



= − 2 + − (m là tham số thực) thỏa mãn min y = − 1. Mệnh 

[ 1;3] 

3 2 

y x x x m 

A. m ≤ 0 

B. m > 10 

C. 0 < m ≤ 2 D. 2 < m ≤ 8 

Lời giải 

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên [ 1;3 ] 

( ) 

2 

⎧⎪ x ∈ 1;3 

Ta có y ' = 3x − 4x + 1; ⎨ ⇔ x ∈∅. 

⎪⎩ y ' = 0 

y 1 = − m, y 3 = − m + 12 ⇒ y 1 < y 3 ⇒ min y = y 1 ⇒ − m = −1⇒ m = 1. 

[ 1;3] 

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 

Chọn C 

Vấn đề 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 


Bước 1: Đặt ẩn x cho giá trị cần xác định. (Xác định điều kiện của ẩn x). 

(Ví dụ: là cạnh hình vuông, x là chi phí một cuốn sách, x là vận tốc của xe...) 

( ) 

Bước 2: Dựa vào các giả thiết của bài toán. Xác định các đại lượng thành phần cấu tọa nên yếu 

tố tổng hợp. 

(Ví dụ: xác định quãng đường AB, BC dựa vào x, xác định chi phí trong các giai đoạn 1, giai 

đoạn 2....) 

Bước 3: Biểu diễn yếu tố tổng hợp (yếu tố cần xác định GTLN, NN) qua hàm f ( x ) , quay về bài 

toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số ( ) 

Trang113 

f x . 

Chú ý: Chúng ta có thể vận dụng linh hoạt CASIO và phím CALC để chọn đáp án nhanh và 

chính xác nhất. Khi đề bài cho 4 giá trị của x, ta dùng CALC để lựa chọn phương án cho giá trị 

lớn nhất (nhỏ nhất). 


1 3 2 

Ví dụ 1: Một vật chuyển động theo quy luật s = − t + 6t 

với t (giây) là khoảng thời gian 

2 

tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong 

khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, 

vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu? 

A. 24 ( m / s ) B. 108 ( m / s ) C. 64 ( m / s ) D. 18( m / s ) 

Lời giải 

' 

⎛ 1 ⎞ 3 

v t = ⎜− t + 6t ⎟ = − t + 12 t m / s ⇒ v' t = − 3t + 12 = 0 ⇔ t = 4 

⎝ 2 ⎠ 2 

3 2 2 

Ta có ( ) ( ) ( ) 

v 0 = 0, v 4 = 24, v 6 = 18 ⇒ max v t = 24 m / s 

[ 0;6] 

Suy ra ( ) ( ) ( ) 

Chọn A 

( ) ( ) 

Ví dụ 2: Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật 

bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian 

đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ khi vật bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất 

của vật đạt được bằng bao nhiêu? 

A. 512 ( m / s ) B. 90 ( m / s ) C. 700 ( m / s ) D. 96 ( m / s ) 

Lời giải 

Ta có ( ) ( ) 

3 

2 

2 

v t = s ' t = − t + 24t 

3 

2 

2 

Xét hàm số v ( t ) = − t + 24t 

, với t ∈ [ 0;10] 

ta có ( ) 

( ) 

⎧⎪ t ∈ 0;10 

v ' t = − 3t 

+ 24 ; ⎨ 

⎪⎩ v '( t ) = 0 


⇔ t = 8 













Hàm số v ( t ) liên tục và xác định trên [ 0;10 ] 

v 0 = 0, v 10 = 90, v 8 = 96 ⇒ max v t = 96 m / s 

[ 0;10] 

Mà ( ) ( ) ( ) 

Chọn D 

Trang114 

( ) ( ) 

Ví dụ 3: Cho một tấm tôn hình chữ nhật ABCD có 

AD = 60cm 

. Ta gập tấm tôn theo 2 cạnh MN và PQ vào 

phí trong sao cho BA trùng với CD để được lăng trụ đứng 

khuyết hai đáy. Khối lăng trụ có thể tích lớn nhất khi x 

bằng bao nhiêu? 

A. x = 20cm 

B. x = 22,5cm 

C. x = 25cm 

D. x = 29cm 

Lời giải 

Thể tích khối lăng trụ được tạo thành là V = S . MN 

Thể tích đạt GTLN khi S 

NAD 

lớn nhất 

( )( )( ) 30( 30 )( 30 ) ⎡30 ( 60 2 ) 

SNAD 

= p p − a p −b p − c = − x − x ⎣ − − x ⎤⎦ 

Hay S = 30( 30 − x) 2 

.( 2x 

− 30) 


NAD 

( − x + − x + x − ) 3 

2 30 30 2 30 

f ( x) = ( 30 − x) ( 2x − 30) = ( 30 − x)( 30 − x)( 2x 

− 30) 

≤ 

27 

( ) 3 

a + b + c 

(Áp dụng BĐT abc ≤ ) ⇔ f ( x) ≤ 1000 

27 

Dấu bằng xảy ra ⇔ 30 − x = 2x − 30 ⇔ x = 20 

Chọn 

Ví dụ 4:[Trích đề thi thử THPT Lương Tài 2] Từ một tấm bạt hình chữ nhật có kích thước 

12m× 6m 

như hình vẽ. Một nhóm các bạn học sinh trong quá trình đi dã ngoại đã gập đôi tấm 

bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chi rộng của tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài của 

tấm bạt sát đất và cách nhau x ( m ) (như hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian trong lều là 

lớn nhất. 

A. x = 4 

B. x = 3 3 

C. x = 3 

D. x = 3 2 

Lời giải 

Phần không gian trong lều được tính bởi công thức thể tích hình lăng trụ đứng. 

Ta có: V = S . h = S .12 . Như vậy để thể tích lớn nhất khi diện tích tam giác đáy là lớn nhất. 

Trang115 

d 

d 

Dễ thấy tam giác đó là tam giác cân có 2 cạnh bằng 3m 

2 2 2 2 

2 ⎛ x ⎞ 

x 2 ⎛ x + − x 

1 1 1 1 36 ⎞ 

S = x. 3 − ⎜ 2 ⎟ = x. 9 − = x 36 − x ≤ . ⎜ ⎟ = 81 

2 ⎝ 2 ⎠ 2 4 4 4 ⎝ 2 ⎠ 

2 

⎛ a + b ⎞ 

Ở đây ta áp dụng BĐT ab ≤ ⎜ ⎟ , các em có thể tính diện tích tam giác đã cho theo công 

⎝ 2 ⎠ 

thức Herong là: S = p ( p − a)( p − b)( p − c) 

Dấu bằng xảy ra ⇔ x 2 = 36 − x 2 ⇔ x 2 = 18 ⇔ x = 3 2 ( m) 

Chọn D 

Ví dụ 5:[Đề minh họa THPT Quốc gia 2017]: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. 

Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh 

bằng x ( cm ), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. 

Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 

A. x = 6 

B. x = 3 

C. x = 2 

D. x = 4 

Lời giải 

Thể tích của khối hộp V = ( 12 − 2 x) 2 

. x = f ( x) ( 0 ≤ x ≤ 6) 


2 













3 2 2 

Cách 1: f ( x) ( x x x) f ( x) ( x x ) 

Trang116 

⎡x 

= 2 

= 4 − 4 + 4 ⇒ ' = 3 3 − 8 + 4 ⇔ ⎢ 

⎢ 

2 

x = 

⎣ 3 

f 2 2048 

0 = f 6 = 0; f 2 = 128; f ⎛ ⎜ 

⎞ 

⎟ = . Vậy thể tích lớn nhất ⇔ x = 2 

⎝ 3 ⎠ 27 

Lại có ( ) ( ) ( ) 

1 1 ⎛12 − 2x + 12 − 2x + 4x 

⎞ 

f x = 12 − 2x 12 − 2 x .4x 

≤ ⎜ 

⎟ = 128 

4 4 ⎝ 3 ⎠ 

Cách 2: ( ) ( )( ) 

Dấu bằng xảy ra ⇔ 12 − 2x = 4x ⇔ x = 2 

Chọn C 

Ví dụ 6: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một 

khoảng AB = 4 ( km ). Trên bờ biển có một cái kho ở cách vị 

trí C cách B một khoảng BC = 7 ( km) 

. Người canh hải đăng 

phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 

6 ( km / h ) rồi đi xe đạp từ M đến C với vận tốc 10 ( km / h ) 

(như hình vẽ). Xác định khoảng cách từ M đến C để người đó 

đi từ A đến C là nhanh nhất. 

A. 6 ( km ) 

B. 3( km ) 

C. 4( km ) 

D. 9 ( km ) 

Lời giải 

x 

Đặt MC = x ( 0 ≤ x ≤ 7) 

⇒ thời gian đi quãng đường MC là (giờ) 10 

2 2 

Quãng đường ( ) 2 

AM = AB + BM = 16 + 7 − x 

⇒ Thời gian đi quãng đường AM là 

( ) 2 

16 + 7 − x 

6 

(giờ) 

( ) 2 

x 16 + 7 − x 

Tổng thời gian người đó đi từ A đến C là + 

10 6 

x 16 + ( x − 7) 2 


= + , với [ 0; 7] 

10 6 

1 1 x − 7 

⎧x 

∈ 

⎪ 

f '( x) 

= + . = 0; ⎨ 

16 + ( x − 7) 

⎪⎩ 

( 0;7) 

x ∈ ta có 

2 

( x ) ( x) 

10 6 

2 

6 16 7 10 7 

+ − = − 

3 

( ) 

Trang117 

( ) 

( ) 

⎧x 

∈ 0;7 

⎪ 

⎧⎪ 

x ∈ 0;7 

⇔ ⎨ 

2 2 

⇔ ⎨ 

⇔ x = 4 

2 

⎪36 ⎡( x − 7) + 16⎤ 

= 100( 7 − x 

⎣ 

⎦ 

) ⎪⎩ 64 7 − x = 36.16 

⎩ 

Hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0; 7 ] mà f ( 0 ) = 65 ; f ( 7 ) = 41 ; f ( 4) 

= 

37 

6 30 30 

37 

⇒ min f ( x) = f ( 4) = ⇒ MC = x = 4( km) 

thỏa mãn bài toán 

[ 0;7] 

30 

Chọn 

Ví dụ 7: Từ một tấm tôn hình dạng hình tròn với bán kính R = 50cm 

, một người thợ cần cắt 

một tấm tôn có dạng hình chữ nhật nội tiếp hình tròn trên. Anh ta gò tấm tôn hình chữ nhật 

này thành một hình trụ không đáy (như hình vẽ) để đổ thóc vào trong. Thể tích lớn nhất của 

khối trụ thu được gần nhất với kết quả nào dưới đây? 

3 

3 

3 

A. 0, 28m B. 0,02m C. 0, 29m D. 0,03m 

Lời giải 

2 

Khối trụ thu được có thể là V = π r h 

2 2 

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là b ⇒ b + h = ( 2R) 2 

= 1( R = 0,5m) 

b 1 1 h h 

π π π π 

2 2 3 

Ta có 2 rπ 

= b ⇒ r = = ⇒ V = π . . h = = f ( h) 

Đạo hàm ( ) 

Chọn 

2 

2 2 4 4 

2 

1− 3h 

1 ⎛ 1 ⎞ 

f ' h = = 0 ⇒ h = ⇒ V ≤ f 0,03m 

4π 

⎜ ⎟ ≈ 

3 ⎝ 3 ⎠ 

Ví dụ 8: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 6cm. Người ta 

muốn cắt một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x + y để diện 

tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất. 

A. x + y = 7 B. x + y = 5 


3 

3 













7 2 

C. x + y = D. x + y = 4 2 

2 

Lời giải 

Ta có S 

EFGH 

nhỏ nhất ⇔ S = S∆ AEH 

+ S∆CGF + S∆ 

DGH 

lớn nhất (do S ∆ BEF 

không đổi). 

Tính được 2S = 2x + 3 y + ( 6 − x)( 6 − y ) = xy − 4x − 3 y + 36 ( 1) 

Ta có EFGH là hình thang → AEH = CGF 

AE AH 2 x 

→ ∆AEH ∼ ∆CGF → = ⇔ = → xy = 6 2 

CG CF y 3 

⎛ 18 ⎞ 

Từ (1) và (2) suy ra 2S 

= 42 − ⎜ 4x 

+ ⎟ 

⎝ x ⎠ . Để 2S lớn nhất khi và chỉ khi 18 

4x + nhỏ nhất. 

x 

18 18 

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có 4x + 2 4 x. 12 2 Smax 

21 6 2 

x 

≥ x 

= → = − 

18 3 2 7 2 

Dấu "=" xảy ra ⇔ 4x = ⇔ x = → y = 2 2 ⇒ x + y = 

x 2 2 

Chọn 

Ví dụ 9: Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí cách A cách bờ biển một 

khoảng AB = 5km 

. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B 

một khoảng là 7km . Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A 

đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 4 km / h rồi đi bộ đến C với 

vận tốc 6 km / h . Vị trí của điểm M cách B một khoảng gần nhất 

với giá trị nào sau đây để người đó đến kho nhanh nhất? 

A. 3,0km B. 7,0km 

C. 4,5km D. 2,1km 

Lời giải 

Đặt BM x km ( 0 x 7) 

Trang118 

⎧ ⎪ = + 

= ≤ ≤ → ⎨ 

⎪⎩ MC = ( 7 − x) 

km 

Thời gian chèo đò từ A đến M là: t 

Thời gian đi bộ từ M đến C là: t 

2 

AM x 25 km 

MC 

2 

x + 25 7 − x 

là t = t 

AM 

+ tMC 

= + h 

4 6 

AM 

= 

2 

x + 25 

h 

4 

( ) 

7 − x 

= h → Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C 

6 


= + trên [ ] 

Trang119 

2 

x + 25 7 − x 

4 6 

0; 7 , ta được min f [ ] 

( x) f ( 2 5 ) 

0;7 

14 + 5 5 

= = 

12 

Vậy người đó đến kho nhanh nhất khi vị trí của điểm M cách B một khoảng 

x = 2 5 ≈ 4,5km 

Chọn C 

Ví dụ 10: Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn 

thành hình vuông cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính r. Để tổng diện 

tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số a r bằng: 

a 

A. 1 

r = B. a 

r = 2 

C. a 

r = 3 

D. a 

r = 4 

Lời giải 

Gọi x là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn ( 0 < x < 60) 

⇒ chiều dài đoạn còn lại là 

60 − x . 

x 

Chi vu đường tròn 2π r = x ⇒ r = → diện tích hình tròn S 

2π 

Và diện tích hình vuông cạnh 60 − x 

là S 

4 

2 

2 

⎛ 60 − x ⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

( ) 

2 2 

2 

x 

= π = 

4π 

2 

1 

. r 

2 

x ⎛ 60 − x ⎞ 4 + π . x − 120π x + 3600π 

Tổng diện tích hai hình: S = + ⎜ ⎟ = 

4π 

⎝ 4 ⎠ 

16π 

( ) 

4 + π . x − 60π 60π 4 + π 

Đạo hàm S ' = ; S ' = 0 ⇔ x = ; S '' = > 0 

8π 4 + π 8π 

60π 

Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại x = 

4 +π 

60π 

Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 

4 +π 

Với 

60 π 30 

240 a 240 

x = → r = và a = → = = 2 

4 + π 4 + π 4 + π .4 r 120 


( ) 

( ) 













2 2 

x ⎛ 60 − x ⎞ 60 

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có S = + ⎜ ⎟ ≥ 

4π 

⎝ 4 ⎠ 4π 

+ 16 

x 60 − x 60π 

Dấu "=" xảy ra khi = → x = 

4π 

16 4 + π 

Chọn B 

Ví dụ 11: Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài 12 cm và chiều 

rộng 6 cm . Thực hiện thao tác gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh 

được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại. Hỏi chiều dài L tối thiểu 

của nếp gấp là bao nhiêu? 

9 3 

A. min L = 6 2 cm B. min L = cm 

2 

7 3 

C. min L = cm D. min L = 9 2 cm 

2 

Lời giải 

⎧EF 

= a 

Đặt EB = a > 0 như hình vẽ bên → ⎨ 

⎩AE 

= 6 − a 

Trong tam giác vuông AEF có 

6 − a 

a − 6 

cos AEF = → cos FEB = (hai góc bù nhau) 

a 

a 

1 

Ta có ∆ BEG = ∆FEG → BEG = FEB 

2 

Suy ra ( ) ( ) 2 a − 6 a − 3 

cos FEB = cos 2EFG = 2 cos EFG − 1 = ⇒ cos EFG = 

a 

Xét hàm f ( x) 

Trang120 

3 

a 

9 9 3 

= với a > 3, ta được min f ( a ) đạt tại a = → EG = 

a − 3 

2 2 

3 

EF a 

Trong tam giác vuông EFG có EG = = 

cos FEG a − 3 

Chọn B 

Ví dụ 12: Một người đang ngồi trên một chiếc thuyền ở vị trí 

A trên hồ nước hình tròn có bán kính 10km , dự định vị trí C 

đối diện với A qua tâm của hồ nước bằng cách bơi thuyền đến 

vị trí B với vận tốc 8 km / h sau đó lên bờ đi dọc đến vị trí C 

với vận tốc 5 km / h (nét đứt của hình vẽ bên biểu hiện quãng 

a 

2 

đường đi). Hỏi thời gian đi từ vị trí A đến vị trí C nằm trong khoảng nào dưới đây? 

A.( 2; 6 ) giờ B.( 2,5; 2π ) giờ 

C. ( 2; 2π ) giờ D.( ) 

Phân tích lời giải 

2,5; 6 giờ 

Bài toán hỏi khoảng thời gian đi từ vị trí A → C , tức là tìm khoảng cách giữa thời gian 

nhanh nhất và thời gian lâu nhất đi từ A → C : ( min y ; max t ) 

A→C A→C 

AB BC 

Tổng thời gian đi từ A → C là t A → C 

= t A → B 

+ t B → C 

= + 

vAB vBC 

Độ dài cung tròn của đường tròn bán kính r, chắn góc ở tâm ϕ (đo bằng radian) được tính 

L ϕ 

bằng công thức = ⇒ L = ϕ. 

R , sử dụng lý thuyết để tìm độ dài BC. 

chu vi 2π 

Chọn ẩn thích hợp, đưa về xét hàm số liên quan đến thời gian để tìm min, max. 

Lời giải 

L 

Đặt BOC = 2x ( rad ) ⇒ độ dài cung BC là L = 20x ( km) ⇒ tB→C 

= = 4x( h) 

v 

BOC 

Dễ thấy BAC = = x, 

∆ ABC vuông tại A ⇒ AB = cos BAC. AC = 20.cos x 

2 

AB 5 5 

⇒ tA→B 

= = .cos x( h) 

. Vậy tổng thời gian đi từ A → C là tA 

C 

4 .cos 

v 2 

= x + 

→ 

x 

2 

AB 


5 

⎛ π ⎞ 

f x = 4 x + .cos x với x ∈ ⎜ 0; ⎟ 

2 

2 

⎝ ⎠ , ta có ( ) 5 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

Trang121 

BC 

⎛ π ⎞ 

f ' x = 4 − .sin x > 0; ∀x 

⎜ 0; ⎟ 

2 ⎝ 2 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ⎜0; ⎟ ⇒ min f ( x) < tA→C 

< max f ( x) 

2 ⎡ π ⎤ ⎡ π 

⎝ ⎠ 

⎤ 

0; 0; 

Do đó, thời gian đi từ A đến C nằm trong khoảng ( 2,5; 2π ) giờ 

Chọn 


⎢ 

2 

⎥ 

⎣ ⎦ 

⎢ 

⎣ 2 ⎦ 

⎥ 

Vấn đề 1. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 

2 

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 4 − x là: 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

3 

⎡ 3 ⎤ 

Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 3x 

+ 3 trên đoạn 

⎢ 

−3; ⎣ 2 ⎥ 

⎦ là: 














2 

2x 

+ 5x 

+ 4 

Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 

x + 2 

Trang122 

trên đoạn [ ] 

0;1 là: 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

2 

2x 

+ 5x 

+ 8 

Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 

x + 8 


0;8 là: 

A. 12 B. 11 C. 10 D. 9 

1 

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − trên đoạn ( 0; 2 ] là: 

x 

A. 1 2 

B. 2 3 

C. 3 2 

1 

Câu 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + trên khoảng ( 0; +∞ ) là: 

x 

D. 3 4 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

2 

Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 1− x là: 

1 

A. 2 B. 1 C. − D. –1 

2 

3 

⎡ 3 ⎤ 

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 3x 

+ 1 trên đoạn 

⎢ 

−3; ⎣ 2 ⎥ 

⎦ là: 

A. –20 B. –5 C. –15 D. –10 

2 

Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x + 2sin x − 1 là: 

A. 2 3 

2 

B. − C. 3 

3 

2 

3 

D. − 

2 

1 

Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 2 + trên khoảng ( 1; +∞ ) là: 

x − 1 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 

4 2 

Câu 11: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 8x 

16 

= − + trên đoạn [ 1;3] 

− là: 

A. 25 B. 22 C. 18 D. 15 

4 2 


+ 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? 

A. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 hoặc x = − 1 và đạt giá trị lớn nhất tại x = 0 . 

B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 1 hoặc x = − 1 và đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0 . 

C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1 hoặc x = − 1 và không có giá trị lớn nhất. 

D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = 1 hoặc x = − 1 và không có giá trị nhỏ nhất. 

x −1 

Câu 13: Cho hàm số y = . Gọi A và B lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 

x + 1 

hàm số trên doạn [ 3; 2] 

Trang123 

− − . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. A = 2, B = 3 B. A = 3, B = 2 C. A = − 1, B = 3 D. A = − 1, B = 2 

2 

Câu 14: Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x là: 

A. − 4 2 

B. –4 C. 0 D. 4 2 

2 

⎡1 Câu 15: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2ln x trên đoạn ; 

2 e ⎤ 

⎢ 

⎣ 

⎥ 

⎦ là: 

2 

7 

A. e − 2 

B. 1 C. − D. 0 

4 

2 

x + 5 

Câu 16: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 

x − 2 

A. 9 B. 41 

3 

Câu 17: Giá trị lớn nhất của hàm số y sin x 3 cos x 


3;6 là: 

C. 10 D. 8 

= + trên đoạn [ ] 

0;π là: 

A. 3 − 1 

B.1+ 3 

C. 2 D. 3 

2 

Câu 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x + 1 − x = m có nghiệm 

A. m∈⎡− 

2; 2⎤ 

⎣ ⎦ 

B. m∈⎡−1; 2⎤ 

⎣ ⎦ 

C. m ⎡1; 2⎤ 

∈ ⎣ ⎦ 

D. m∈( − 1; 2) 

Câu 19: Xét hàm số y = f ( x) 

với x ∈[ − 1;5] 

có bảng biến thiên như sau: 

x -1 0 2 5 

y ' 

+ 0 - 0 + 

Khẳng định nào sau đây là đúng? 

y 

3 

A. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = − 1 và đạt giá trị lớn nhất tại 5 

B. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất trên đoạn [ 1;5] 

C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = − 1 và 2 

D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại 0 

4 

0 

− . 

x = trên đoạn [ 1;5] 

x = trên đoạn [ 1;5] 

− . 

− . 

+∞ 

x = trên đoạn [ −1;5] 














Câu 20: Hàm số y = x 3 − 2sin x đạt giá trị nhỏ nhất trên [ 0; 2π ] khi? 

π 

π 

A. x = 0 

B. x = C. x = D. x = π 

6 

3 

Câu 21: Cho các số thực x, 

y thay đổi thỏa mãn điều kiện y ≤ 0 và 

2 

x x y 

+ = + 12 . Gọi 

M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của D = xy + x + 2 y + 17 . Tính M + m 

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 

3 2 

Câu 22: Cho hàm số y = −x − 3x + a (a là tham số thực) thỏa mãn min y = 0 . Mệnh đề nào 

[ − 1;1 ] 


A. a = 2 

B. a = 6 

C. a = 0 

D. a = 4 

2 

x − m 

Câu 23: Cho hàm số y = (m là tham số thực) thỏa mãn min y = − 2 . Giá trị lớn nhất 

x + 7 

[ 0;3] 

của m bằng? 

A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 

Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

A. 3 B. 24 

5 

2 

x + 2 

Câu 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 

x −1 

A. 2 − 2 3 

B. 27 4 

Câu 26: 

4 

= x + trên đoạn [ 0; 4 ] là: 

x + 1 

C. 4 D. –5 

trên đoạn [ 2;5 ] 

C. 2 + 2 3 

D. 6 

9 21 

A. –10 B. − 4 7 

C. − D. − 6 3 

4 

2 

Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = ( x − 6) x + 3 trên đoạn [ 1; 2 ] 

9 21 

A. –10 B. − 4 7 

C. − D. − 6 3 

4 

Câu 28: Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y 

A. 65 

4 

B. 49 4 

C. 51 

4 

9 

= x + trên [ 1; 4 ] bằng? 

x 

2 ⎡ 3⎤ 

Câu 29: Tích giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x trên 

⎢ 

0; 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ bằng? 

Trang124 

Trang125 

D. 16 

A.3+ 7 

B. 4 2 C.3 2 + 14 D. 2 + 2 3 

1 

Câu 30: Cho hàm số y = x + . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên ( 0; +∞ ) bằng? 

x 

A. 2 B. 0 C. 2 D. 1 

3 

⎛ π π ⎞ 

Câu 31: Cho hàm số y = 3sin x − 4sin x . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng ⎜ − ; ⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ 

bằng? 

A. 7 B. 3 C. 1 D. –1 

Câu 32: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

y x x 

2 

= 2sin − cos + 1. Tích . 

A. 0 B. 25 

8 

M m bằng? 

3 

Câu 33: Cho hàm số y x 3x 

1 

= − + , với x ∈ [ 0;3] 

A. min y = 1 

B. max y = 19 

C. 2 D. 25 

4 

. Mệnh đề nào dưới đây sai? 

C. Hàm số có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x-3 

2 

Câu 34: Cho hàm số y = x − x . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. Hàm số có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 

B. Hàm số có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất 

C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất 

D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 

3 

Câu 35: Xét hàm số y = − x + 3x 

+ 1 trên ( 0; +∞ ) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. min y = 3 B. max y = − 1 C. min y = − 1 D. max y = 3 

Đáp án 

1-A 2-D 3-A 4-B 5-C 6-A 7-C 8-C 9-D 10-D 

11-A 12-C 13-A 14-A 15-B 16-C 17-C 18-B 19-B 20-B 

21-D 22-D 23-A 24-A 25-C 26-B 27-A 28-D 29-B 30-A 

31-C 32-A 33-A 34-A 35-D 

Vấn đề 2. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 














Câu 1: Trên đoạn [ ] 

là? 

Trang126 

3;6 , hàm số y = x − 1 + 9 − x có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt 

A. 3 + 5 và 6 B. 2 + 6 và 4 C. 3 + 5 và 4 D. 2 + 6 và 6 

1 

Câu 2: Cho hàm số y = x + , với x ∈ ( 0; +∞ ) . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

x 

A. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 




1 

Câu 3: Cho hàm số y = x − , với x ∈ ( 0; 3] 

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

x 

A. Hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 




3 2 

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2x 6x 

1 

= − + trên đoạn [ − 1;1] 

A. 1 B. –7 C. –1 D. –10 

3 

2x 

+ 3x 

+ 3 

Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 

x + 1 

A. 3 B. 1 3 

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 

C. 17 3 


4 

= − x + 1− trên đoạn [ − 1; 2] 

x + 2 

D. 3 

17 

A. –1 B. –2 C. 1 D. 2 

Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x 

A. 2 2 B. 

Câu 8: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 

1 

2 

x + 1 

2 

x + 1 

2 

C. –2 D. 2 

trên đoạn [ − 1; 2] 

A. 0 B. 1 C. –1 D. 2 

2 2 

Câu 9: Biết rằng hàm số y = 4 x − 2x + 3 + 2x − x đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị là x1, 

x2 

. Tích x1. 

x 

2 

bằng? 

A. –1 B. –2 C. 1 D. 2 

Câu 10: Giá trị lớn nhất của hàm số y = sin x + cos x là? 

A. 2 B. 1 C. 2 D. 2 2 

2 

Câu 11: Hàm số y = 2 ln ( x + 1) − x + x đạt giá trị lớn nhất tại x bằng? 

A. e B. 1 

C. 2 D. Không có giá trị lớn nhất 

⎡ π ⎤ 

Câu 12: Trên đoạn 

⎢ 

0; 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ , hàm số ( ) 2 

f x = 2 cos x + x đạt giá trị lớn nhất tại x bằng? 

π 

A. 12 

Trang127 

B. 5 π 

12 

C. 5 π 

6 

4 2 

Câu 13: Cho hàm số y = sin x − cos x . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bằng? 

D. 6 

π 

5 

1 

A. − B. − C. 2 D. 0 

4 

4 

Câu 14: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + cos x lần lượt là? 

A. 2 và 0 B. 2 và – 2 C. 2 và − 2 D. 1 và –1 

3 2 

Câu 15: Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = − x + 3x 

− 3 trên 

đoạn [ ] 

1;3 . Tổng M + m gần nhất với giá trị nào dưới đây? 

A. 4 B. 0 C. 2 D. 3 

( ) 2 

x + 2 

Câu 16: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên ( 0; +∞ ) là? 

x 

A. 2 B. −∞ 

C. 8 D. Không có kết quả đúng 

3 1 ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 

Câu 17: Hàm số y = x + − x 2 x , x 0 

3 ⎜ + 

2 ⎟ − ⎜ + ⎟ > có giá trị nhỏ nhất là? 

x ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ 

A. –2 B. – 4 C. 5 D. – 1 

Câu 18: Cho hình chữ nhất MNPQ nội tiếp trong nửa đường tròn 

bán kính R. Chu vi hình chữ nhất lớn nhất khi tỉ số MN 

MQ bằng? 

A. 2 B. 4 

C. 1 D. 0,5 














Câu 19: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 

[ − 4; 4] 

lần lượt là? 

Trang128 

3 2 

y x x x 

= − 3 − 9 + 15 trên đoạn 

A. 15 và 8 B. 15 và – 41 C. 30 và – 51 D. 40 và 15 

Câu 20: Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích S, chu vi của hình chữ nhật có chu vi nhỏ 

nhất bằng bao nhiêu? 

A. 2 S B. 2S C. 4S D. 4 S 

Câu 21: Một hình hộp chữ nhật có chiều rộng, chiều dài, chiều cao lập thành cấp số cộng với 

công sai là 2. Biết rằng tổng của cấp số cộng có giá trị không quá 36. Giá trị lớn nhất của thể 

tích khối hộp là 

A. 1068 B. 1680 C. 1068 D. 1086 

Câu 22: Cho khối chóp S. 

ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Cạnh SA vuông 

góc với mặt phẳng đáy và SC = a . Để khối chóp có thể tích lớn nhất thì sin của góc giữa mặt 

phẳng ( SCB ) và ( ABC ) bằng? 

2 

A. 

3 3 

2 

B. 

3 

1 

C. 

3 

1 

D. 

2 3 

Câu 23: Cạnh căn biệt thự của mình, thấy Đặng Việt Hùng muốn thiết kế một bể bơi có dạng 

3 

hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông. Thể tích của bể bơi là 1000m . Để diện tích toàn phần 

của bể bơi nhỏ nhất thì độ dài cạnh đáy của bể bơi bằng? 

A.10 dm B.10 10 dm C.100 dm D.100 m 

Câu 24: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm được cho bởi công thức 

290, 4v 

(xe/giây) 

0,36v 

+ 13, 2v 

+ 264 

( ) = 

2 

f v 

trong đó v ( km / h ) là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm. Tính vận tốctrung 

bình của các xe khi vào đường hầm sao cho lưu lượng xe là lớn nhất. 

10 33 

A. 

3 

10 66 

B. 

3 

10 33 

C. 

7 

10 66 

D. 

7 

Câu 25: Cho hình nón có bán kính đáy R, chiều cao h. Bán kính r của hình trụ nội tiếp hình 

nón mà có thể tích lớn nhất là? 

R 

R 

2R 

R 

A. r = B. r = C. r = D. r = 

4 

2 

3 

3 

Câu 26: Một trang sách có diện tích là 

Trang129 

2 

432 cm . Do yêu cầu kỹ thuật nên khi viết sách đầu 

dòng và cuối dòng phải cách mép trên và dưới 4 cm và lề trái và lề phải cũng phải cách mép 

trái và phải 3 cm . Các kích thước của trang sách là bao nhiêu để phần diện tích viết chữ là 

lớn nhất. 

A. 24 cm × 18 cm B. 27 cm × 16 cm C. 21, 6 cm × 20 cm D. 26 cm × 17 cm 

2 

Câu 27: Từ một miếng tôn hình chữ nhật có kích thước 4 12( dm ) 

× . Bác Hùng cắt bỏ 4 hình 

vuông bằng nhau góc sau đó gập lại thành một cái khay hình hộp chữ nhật không nắp như 

hình vẽ. Cạnh của hình vuông bị cắt bỏ phải bằng bao nhiêu ( dm ) để thể tích khay lớn nhất. 

A. 1 + 3 

2 

B. 12 − 4 7 

3 

C. 2 3 

D. 8 − 2 7 

3 

Câu 28: Cho một tấm hình vuông có cạnh 30 cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm hình 

vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x ( cm ), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ 

dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. 

A. x = 3 

B. x = 5 

C. x = 6 

D. x = 9 

Câu 29: Từ một tờ giấy hình tròn bán kính R, ta có thể cắt ra một hình chữ nhật có diện tích 

lớn nhất bằng bao nhiêu? 

π R 

A. 

2 

2 

2 

2 

B. 2R C. R D. 4R 


2 













Câu 30: Trong số các hình chữ nhật có chu vi 24 cm . Hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là 

hình có diện tích bằng? 

2 

2 

2 

A. S = 36 cm B. S = 24cm 

C. S = 49cm 

D. S = 40cm 

Câu 31: Cho hai số thực x, 

y không âm thỏa mãn x + y = 2 . Giá trị lớn nhất của biểu thức 

1 

xy + 

xy + 1 

là? 

A. 1 3 

Trang130 

B. 3 2 

Câu 32: Một bác nông dân được giao canh tác cây ăn quả trên một khu đất hình chữ nhật có 

chu vi không đổi là 200m , trong đó bác nông dân được tùy ý lựa chọn chiều dài và chiều 

rộng khu đất. Giả sử rằng sản lượng trái cây thu được tỉ lệ thuận với diện tích của khu đất . 

Bác nông dân đã nghĩ ra một phương án lựa chọn độ dài chiều dài: chiều rộng theo tỉ lệ T sao 

C. 4 3 

cho sản lượng trái cây thu được là lớn nhất. Tìm tỉ lệ T. 

D. 7 3 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 1,5 

2 


+ 2 . Mệnh đề nào dưới đây là sai? 

A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 1; 2 ] bằng 

1 

− 

4 

B. Hàm số y có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 3;6 ] bằng 3. 

C. Hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu. 

D. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2; 6 ] lớn hơn 19 

Câu 34: Gọi a, 

A lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − x − 1 + 2 

trên đoạn [ 1;5 ] . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

55 

A 

A. Aa = B. 5 

4 

a = C. A − a = 4 D. Aa < 0 

Câu 35: Trên R , hàm số 


A. a 

2 2 

y = 

x + 2 

đạt giá trị lớn nhất bằng A tại x = a . Mệnh đề nào 

2 

x + 1 

1 

1 

2 

+ A = 4 B. 1 A 

2 

a + = C. a 5 = A D. a 

A = 

2 

3 

Câu 36: Trên đoạn ⎡ 

⎣ 0;e ⎤ 

⎦ , hàm số ln x 

y = đạt giá trị lớn nhất tại x = a và đạt giá trị nhỏ 

x 

nhất tại x = b . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

3 

5 

2 

2 

2016 a 

A. a + 2b = 1+ 2e 

B. min { a, b } = 2 C. a + b = 1+ e D. 2e 

b = 

Trang131 

Đáp án 

1-B 2-B 3-C 4-B 5-C 6-A 7-C 8-D 9-A 10-D 

11-B 12-B 13-D 14-C 15-D 16-C 17-B 18-B 19-C 20-D 

21-B 22-C 23-C 24-B 25-C 26-A 27-D 28-B 29-B 30-A 

31-B 32-A 33-B 34-A 35-B 36-C 














Trang132 

Chủ đề 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 


1.LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 

ĐỊNH NGHĨA 1: Cho hàm số y = f ( x) 

xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng 

( a; +∞ );( −∞ ; b) 

hoặc ( −∞ ; +∞ ) ). Đường thẳng y = y0 

là đường tiệm cận ngang (hay tiệm 

cận ngang) của đồ thị hàm số y = f ( x) 

nếu ít nhất một trong các sau được thỏa mãn: 

lim = y ; lim = y . 

x→+∞ 

0 0 

x→−∞ 

ĐỊNH NGHĨA 2: Đường thẳng x = x0 

là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ 

thị hàm số y = f ( x) 

nếu ít nhất một trong các sau được thỏa mãn: 

2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI 

lim = +∞ lim = −∞ lim = −∞ lim = −∞ 

+ − + − 

x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 

Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số y = f ( x) 

ta thực hiện các bước sau: 

Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) của f ( x ) . 

Bước 2: Tìm giới hạn của f ( x ) khi x tiến đến biên của miền xác định. 

Bước 3: Từ các giới hạn và định nghĩa tiệm cận suy ra phương trình các đường tiệm cận 

( ) 

( ) 

f x 

Chú ý: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 

g x 

Tìm tập xác định D = R \ { x }( i = 1, 2,.... ) 

i 

Tính lim y; lim y; lim y từ đó suy ra phương trình đường tiệm cận 

x→x1 

x→+∞ x→−∞ 

Nếu bậc của f ( x ) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g ( x ) thì số thị hàm số có tiệm cận ngang. 

Nếu bậc của f ( x ) lớn hơn bậc của g ( x ) thì số thị hàm số không có tiệm cận ngang. 

Phương pháp tính giới hạn bằng CASIO. 

Xét lim f ( x) 

x→x0 

x 

ví dụ lim 

x→1 

− 3x 

+ 2 x 

ta nhập 

x −1 

2 

2 

− 3x 

+ 2 

nhấn CACL 1,0000000001 hoặc giá 

x −1 

2 

x − 3x 

+ 2 

trị 0,999999999999 (giá trị rất gần với 1). Ta được kết quả lim = − 1 

x→∞ 

x −1 

Như vậy rõ ràng theo lý thuyết thì x = 1 không phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

Xét lim ( ) 

→∞ 

x 

f x 

x 

ví dụ lim 

x→∞ 

− 3x 

+ 2 x 

ta nhập 

2 

x + 1 

2 

2 

− 3x 

+ 2 

10 

nhấn CACL 10 (giá trị rất lớn) 

2 

x + 1 

Ta được kết quả xấp sỉ 1 do đó dựa vào lý thuyết suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị 

hàm số. 

Ví dụ 1: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y ( C ) 

Lời giải 

TXĐ: D = R \{ −2} 

Trang133 

. Ta có 

lim 

x→( −2) 

x = − 2 là tiệm cận đứng của ( C ) 

x − 1 

Ta có lim = 1 nên đường thẳng 1 

x→±∞ 

x + 2 

Đồ thị hàn số đã cho như hình vẽ 

+ 

x − 1 = −∞ (hoặc 

x + 2 

lim 

x→( −2) 

y = là tiệm cận ngang của ( C ) 

− 

x −1 

= 

x + 2 

x − 1 = +∞ ) nên đường thẳng 

x + 2 

2 

2x 

+ x + 1 

2 

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = ( C ) 

Lời giải 

Ta có 

thẳng 1 

+ + 

x→1 x→1 

( x −1)( x − 2) 

− 

− 

x→1 x→1 

( x −1)( x − 2) 

x − 3x 

+ 2 

2 

2 

2x 

+ x + 1 

2x 

+ x + 1 

lim y = lim 

= −∞ (hoặc lim y = lim 

= +∞ ) nên đường 

x = là tiệm cận đứng của ( C ) 

Tương tự đường thẳng x = 2 cũng là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. 

Lại có: 

1 1 

2 

1+ + 

2x + x + 1 

2 

lim y = lim = lim x x = 2 

x − 3x 

+ 2 3 2 

1− + 

2 

x x 

x→±∞ x→±∞ 2 

x→±∞ 

ngang của đồ thị hàm số đã cho. 

Ví dụ 3: Tìm các tiệm cận ngang và đứng của các hàm số sau: 

nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận 














2 

2x 

− x + 4 

a) y = − 

2 

3 + 4x 

− x 

2 

x + x −1 

b) y = 

3x 

− 2 

Lời giải 

a) TXĐ: D = R | { 1;3} 

Ta có: 

hàm số. 

Trang134 

1 4 

2 − + 

2 

lim y = lim x x = −2 

nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị 

x→±∞ 

x→±∞ 

− 3 4 

1 

2 + 

2 − 

x x 

2 

2x 

− x + 4 

Lại có: lim y = lim = +∞ ; lim y = −∞ 

x→1 + x→1 + x −1 3− 

x 

x→1 

− 

( )( ) 

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1. 

Tương tự ta cũng có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3. 

b) TXĐ: D = ( −∞; −1] ∪ [ 1; +∞ ) 

1 

2 1+ 1− 

x + x −1 2 

2 

Ta có: lim y = lim = lim 

x 

= 

x→+∞ x→+∞ 3x 

− 2 x→+∞ 

2 

3 − 

3 

2 

x 

1 

2 1+ 1− 

x + x −1 

2 

lim y = lim = lim 

x 

= 0 

x→−∞ x→−∞ 3x 

− 2 x→−∞ 

2 

3 − 

2 

x 

2 

Do đó đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang là y = và y = 0 

3 

2 

Tiệm cận ngang y = khi x → +∞ và tiệm cận ngang y = 0 khi x → −∞ . 

3 

Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng vì không tồn tại lim y . 

2 

x→ 

3 

Ví dụ 4: Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

2 

x + x −1 

a) y = 

2 

x −1 

( ) 

2 

x + x + 1 

b) y = 

2 

2x 

+ 4x 

+ 1 

Lời giải 

a) TXĐ: D = R \{ 1} 

thị hàm số đã cho. 

Mặt khác 

Trang135 

2 

x + x −1 

. Ta có lim y = lim = +∞ 

x→1 x→1 

2 

x −1 

( ) 

1 1 

1+ − 

+ − 1 + −1 

lim = lim = lim = = lim = 1 

( x −1) 

x − 2x 

+ 1 2 1 

1− + 

2 

x x 

2 2 

x x x x 2 

y 

x x 

x→±∞ x→±∞ 2 

x→±∞ 2 

x→±∞ 

Do vậy y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. 

b) TXĐ: D = R . Ta có 

Mặt khác 

x→+∞ 2 x→+∞ 2 x→+∞ 

2x + 4x + 1 4x 

+ 1 

do vậy x = 1 là tiệm cận đứng của đồ 

2 

x + 1 

1 

2 1+ 

1+ 1+ 

2 

x + x + 1 1 

lim = lim x = lim 

x 

= 

1 2 

2 + 

2 + 4 + 

2 

x 

x 

2 

x + 1 

1 

2 1+ 

1+ 1+ 

x + x + 1 

2 

lim = lim x = lim 

x 

= 0 

1 

2 + 

2 + 4 + 

2 

x 

x 

x→−∞ 2 x→−∞ 2 x→−∞ 

2x + 4x + 1 4x 

+ 1 

Do vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang là y = 0 và 

đứng. 

1 

y = mà không có tiệm cận 

2 

2 

x + mx + 1 

Ví dụ 5: Biện luận số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 

theo tham số m. 

x + 2 

Lời giải 

+) Với m < 0 (ví dụ 

2 

x + 1− 

x 

m = −1⇒ y = ) khi đó không tồn tại lim y . Do vậy với 

x + 2 

x →±∞ 

m < 0 đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. 

+) Với m = 0 đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một đường tiệm cận ngang là y = 1. 

+) Với m > 0, ta có 

1 

2 1+ m + 

x + mx + 1 

2 


x 

= 1+ 

x→+∞ x→+∞ x + 2 x→+∞ 

2 

1+ 

x 

y = 1+ m là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. 


m , do đó 













Lại có 

Trang136 

2 

mx + 1 

1 

2 1+ 

1− m + 

x + mx + 1 

2 

lim y = lim = lim x = lim 

x 

= 1− 

x→−∞ x→−∞ x + 2 x→−∞ 2 x→−∞ 

2 

1+ 1+ 

x 

x 

y = 1− m là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. 

m 

do đó 

Như vậy m > 0 với thì đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang là y = 1+ m và 

y = 1− 

m 


Ví dụ 1:(ĐỀ MINH HỌA THPT QUỐC GIA 2017): Cho hàm số y = f ( x) 

có 

( x) 

= và f ( x) 

lim f 1 

x→+∞ 

lim = − 1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 

x→−∞ 

A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang 

B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. 

C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = − 1 

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 1 và x = − 1 

Lời giải 

lim f x = 1⇒ y = 1 là 1 đường tiệm cận ngang. 

+) ( ) 

x→∞ 

lim f x = −1⇒ y = − 1 là một đường tiệm cận ngang 

+) ( ) 

x→∞ 

Chọn C. 

Ví dụ 2:(Đề thi thử nghiệm BGD&ĐT năm 2017) Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận 

2x 

+ 1 

đứng của đồ thị hàm số y = 

x + 1 

A. x = 1 

B. y = − 1 

C. y = 2 

D. x = − 1 

Lời giải 

Ta có: 

x→( −1) 

Chọn D. 

lim y = ∞ nên đồ thị hàm số nhận x = −1là tiệm cận đứng. 

x − 2 

Ví dụ 3:(Đề thi THPT QG năm 2017) Đồ thị của hàm số y = có bao nhiêu đường 

2 

x − 4 

tiệm cận? 

A. 0 B. 3 C. 1 D. 2 

Lời giải 

x − 2 x − 2 1 

Ta có y = = ⇔ y = 

2 

x − 4 x − 2 x + 2 x + 2 

Trang137 

( )( ) 

⎧⎪ lim y = lim y = 0 

x→+∞ 

x→−∞ 

Khi đó ⎨ ⇒ Đồ thị hàm số có 1 TCĐ và 1 TCN. 

⎪ ⎩x 

+ 2 = 0 ⇔ x = − 2 

Chọn D 

Ví dụ 4: Giả sử 2 

đây là đúng? 

y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f ( x) 

= . Khẳng định nào sau 

A. lim y = +∞ B. lim y = −∞ hoặc lim y = +∞ 

x →2 

⎧ lim y = 2 

⎪x→+∞ 

C. ⎨ 

lim y = 2 ⎪⎩ x→−∞ 

Lời giải 

x →2 

⎡ lim y = 2 

x→+∞ 

D. ⎢ 

⎢ lim y = 2 

⎣ x→−∞ 

Hàm số y = f ( x) 

xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a ; +∞ ) ; ( ;b) 

( ; ) 

x →2 

−∞ hoặc 

−∞ +∞ . Đường thẳng y = y0 

là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị 

hàm số y f ( x) 

lim y 

x→+∞ 

Chọn D 

= nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: 

= y0 

; lim y = y0 

x→−∞ 

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x) 

xác định trên khoảng ( 0; +∞ ) và thỏa mãn f ( x) 

Với giả thiết đó, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: 

A. Đường thẳng 1 

B. Đường thẳng 1 

C. Đường thẳng 1 

D. Đường thẳng 1 

Lời giải 

Ta có: f ( x) 

Chọn A. 

y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x) 

x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x) 

x = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f ( x) 

y = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f ( x) 

lim = 1. 

x→+∞ 

lim = 1nên đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận ngang là y = 1. 

x→+∞ 

Ví dụ 6: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: 

x −∞ − 2 +∞ 















Trang138 

y ' 

+ + 

y 5 

1 

A. Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng 

B. Đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận ngang và một đường tiệm cận đứng 

C. Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang vafmootj đường tiệm cận đứng 

D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận 

Lời giải 

Do lim y = 3; lim y = 1 nên đồ thị hàm số đx cho có 2 tiệm cận ngang là y = 3 và y = 1 

x→+∞ 

x→−∞ 

Mặt khác lim = −∞ nên đồ thị hàm số đã cho có một đường tiệm cận đứng là x = − 2 

+ 

x→( 2) 

Chọn C. 

Ví dụ 7: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau: 

Nhận xét nào sau đây là đúng 

x −∞ 1 +∞ 

− 

2 

y ' 

+ + 

y 4 

A. Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng là x = 4 và x = 2 

B. Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang là y = 4 và y = 2 

C. Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng 

D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang 

Lời giải 

Ta có: lim y = +∞ ; lim y = −∞ nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang 

x→+∞ 

x→−∞ 

Mặt khác lim y = 4; lim y = 2 nên đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng 

Chọn D. 

− + 

x→1 x→1 

Ví dụ 8: Đồ thị hàm số nào sau đây không nhận các đường thẳng x = 1 và y = 2 là các 

đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang . 

2x 

−1 

A. y = 

x −1 

−∞ 

2x 

+ 1 

B. y = 

2x 

− 2 

−∞ 

2 

6x 

+ 1 

C. y = 

3x 

− 3 

3 

+∞ 

4x 

+ 3 

D. y = 

2x 

− 2 

Lời giải 

2x 

+ 1 

Đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng là x = 1và tiệm cận ngang là y = 2 

2x 

− 2 

Chọn B 

Ví dụ 9: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau nhận các đường thẳng x = 2 và y = 2 là các 

đường tiệm cận. 

2x 

− 2 

A. y = 

x − 2 

Lời giải 

Trang139 

2x 

−1 

B. y = 

2x 

− 4 

2x 

−1 

C. y = 

x + 2 

2x 

+ 1 

D. y = 

x + 2 

2x 

− 2 

Đồ thị hàm số y = các đường thẳng x = 2 và y = 2 lần lượt là các đường tiệm cận 

x − 2 

đứng và ngang 

Chọn A 

Ví dụ 10: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây có đường tiệm cận là x = 1 và y = − 2 

1− 

2x 

3 − 2x 

A. y = B. y = 

1 − x 

x −1 

Lời giải 

2x 

+ 1 

C. y = 

x − 2 

3 − 2x 

Đồ thị hàm số y = có 2 đường tiệm cận là 1 

x −1 

x = và y = − 2 

Chọn B. 

x 2 

D. y = + 

x − 1 

Ví dụ 11: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây không có tiệm cận ngang 

2 

x + 1 

x + 1 

A. y = B. y = 

x − 2 

x − 2 

Lời giải 

2 

x + 1 

Đồ thị hàm số y = không có tiệm cận ngang vì 

x − 2 

Chọn B 

3x 

− 2 

C. y = 

x − 2 

2x 

−1 

D. y = 

x 

2 2 

x + 1 x + 1 

lim = +∞ ; lim = −∞ 

x→+∞ 

x − 2 x→−∞ 

x − 2 

Ví dụ 12: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau nhận các đường thẳng x = 1 và y = − 3 là 

các đường tiệm cận 

3x 

−1 

A. y = 

x −1 

Lời giải 

3x 

+ 1 

1− 

3x 

3x 

+ 1 

B. y = C. y = D. y = 

1 − x 

1 − x 

x + 1 














Đồ thị hàm số 

y = − 3 là tiệm cận ngang 

Chọn B 

Trang140 

3x 

+ 1 

y = nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng và nhận đường thẳng 

1 − x 

2x 

Ví dụ 13: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là 

2 

x − 3x 

+ 3 

A. x = − 1; x = − 2 B. x = 3; x = 1 C. x = 2; x = 1 D. x = 0 

Lời giải 

TXĐ: D = R \{ 1; 2} 

. Ta có: 

y = 

2x 

( x −1)( x − 2) 

số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng là x = 1; x = 2 

Chọn C. 

. Dễ thấy lim y = ∞ ; lim y = ∞ nên đồ thị hàm 

x→1 x→2 

Ví dụ 14:(Trích đề thi THPT QG 2017). Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 

2 

x − 3x 

− 4 

y = 

2 

x −16 

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 

Lời giải 

Ta có 

cận đứng 

Chọn D 

( x + 1)( x − 4) 

( )( ) 

2 

x −3x − 4 x + 1 

y = = = ⇒ x + 4 = 0 ⇔ x = −4 

. Suy ra đồ thị có 1 tiệm 

2 

x −16 x − 4 x + 4 x + 4 

Ví dụ 15:(Trích đề thi THPT QG 2017). Tìm hệ số tiệm cận của đồ thị hàm số 

2 

x − 5x 

+ 4 

y = 

2 

x −1 

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 

Lời giải 

TXĐ: D = R \{ ± 1} 

( )( ) 

2 

x − 5x + 4 x − 4 x −1 

x − 4 ⎪⎧ 

lim y = lim y = 1 

x→+∞ 

x→−∞ 

Ta có y = = = ⇒ 

2 

⎨ 

. Suy ra đồ thị hàm số có 

x −1 ( x − 1)( x + 1) 

x + 1 ⎪⎩ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 

hai đường tiệm cận 

Chọn A 

Ví dụ 16: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 

x 

Trang141 

2 

2 

x −1 

là: 

− 4x 

− 5 

A. x = 5 

B. x = − 5 

C. x = − 5; x = 1 D. x = 5; x = − 1 

Lời giải 

TXĐ: D R \{ 1;5} 

( )( ) 

( )( ) 

2 

x −1 

x − 1 x + 1 

= − . Ta có: y = = 

. Do đó 

2 

x − 4x − 5 x + 1 x − 5 

x −1 1 

lim y = lim = 

x→1 x→−1 

x − 5 3 

Chọn A 

nên đồ thị hàm số đã cho chỉ có một đường tiệm cận đứng là x = 5 

x + 1 

Ví dụ 17: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là: 

2 

x −1 

A. x = 0 

B. x = 1 

C. x = − 1 

D. x = ± 1 

Lời giải 

x + 1 1 

D = − +∞ . Ta có y = = 

x − 1 x + 1 x − 1 x + 1 

TXĐ: ( 1; ) \{ 1} 

( )( ) ( ) 

Do lim y =∞ ; lim y = −∞ nên đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng là x = ± 1 

x→1 + 

x→( −1) 

Chọn D 


x + 1 

là: 

2 

x −1 

A. x = ± 1 

B. x = 1 

C. x = − 1 

D. x = 0 

Lời giải 

D = −∞ − ∪ +∞ . Ta có : y = 

TXĐ: ( 1) ( 1; ) 

x + 1 

( x + 1)( x −1) 

x + 1 x + 1 

Mặt khác lim y = lim = lim = +∞ 

x→1 + x→1 + x→1 

x + 1 x −1 

+ 

x −1 

Lại có : 

( )( ) 

−( −x 

−1) 

( )( ) ( ) 

x + 1 − −x 

−1 

lim y = lim = lim = lim = 0 

( ) ( ) ( x + 1)( x −1) ( ) 1− x −x 

−1 

1− 

x 

x→ −1 x→ −1 x→ −1 x→ −1 

− − − − 

Nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng x = − 1 

Chọn B 

2x 

−1 

Ví dụ 19: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là: 

2 

x −1 














A. x = ± 1 

B. x = 1 

C. x = − 1 

D. x = 0 

Lời giải 

D = ⎡1 ⎢ ; +∞ ⎞ 

⎟ \ 1 

⎣ 2 ⎠ 

TXĐ { } 

2x 

− 1 

Do lim 

x 1 

2 = ∞ nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là x = 1 

→ x −1 

Chú ý không tồn tại 

x→( −1) 

Chọn B 

Trang142 

lim y 

+ − 

vì tại x ( 1 ) ; x ( 1) 

x −1 


2 

x −1 

→ − → − hàm số không tồn tại 

A. x = ± 1 

B. x = 1 

C. x = − 1 

D. x = 0 

Lời giải 

TXĐ: D = ( 1; +∞ ) 

1 

lim y = lim 

+ + 

x→1 x→1 

x − 1. + 1 

= +∞ nên đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là x = 1 

Chọn B 

( x ) 

1− 

x − 2 


2 

x − 9 

A. x = ± 3 

B. x = 3 

C. x = − 3 

Lời giải 

TXĐ: D = [ 2; +∞ ) \ { 3} 

3 − x 

1− x − 2 1 

Ta có: 

1 x 2 − 

y = = 

+ − 

= 

2 2 

x − 9 x − 9 x + 3 x − 2 + 1 

( )( ) 

là: 

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng 

Hàm số không xác định khi x → − 3 . Do đó dễ thấy đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận 

đứng 

Chọn D 

x + 2 

Ví dụ 22: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 

2 

x − 4 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

là: 

Lời giải 

TXĐ: D = [ − 2; +∞ ) \{ 2} 

Ta có: 

Trang143 

x + 2 1 


= −∞ 

( 2) ( 2) ( x + 2)( x − 2) ( 2) x + 2 ( x − 2) 

+ + + 

x→ − x→ − x→ − 

Mặt khác lim y = ∞ nên đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x = 2 và x = − 2 

Chọn B 

x →2 

Ví dụ 23: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 

x + 2 

là: 

2 

x + x − 2 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Lời giải 

( ; 2) ( 1; ) 

D = −∞ − ∪ +∞ . Ta có: y = 

x + 2 

( x − 1)( x + 2) 

x + 2 x + 2 

lim = lim = 0 và lim y = +∞ nên đồ thị đã cho có 1 đường tiệm 

→( −2) + ( x − 1)( x + 2 x→ ) ( −2) 

+ 

+ 

x −1 

x→1 

x 

cận đứng duy nhất là x = 1 

Chọn A. 

x 

Ví dụ 24: Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = 

2 

x −1 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Lời giải 

( ) 

D = R \ − 1;1 . Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = ± 1 

Mặt khác lim y = 0 nên đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận ngang là y = 0 

x→∞ 

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận 

Chọn C. 


4 

1− 

x 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 


Lời giải 

2 

là: 













D = ( − 1;1) 

. Do 

là x = − 1 và 1 

tồn tại lim y . 

Chọn B 

x →∞ 

Trang144 

lim = +∞ ; lim y = +∞ , nên đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng 

+ − 

x→( −1) x→1 

x = . Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang vì ( 1;1) 


4 

là: 

2 

x −1 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Lời giải 

D = ( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) . Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận đứng là x = ± 1 

D = − nên không 

4 

Mặt khác lim y = lim = 0 nên đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận ngang là y = 0 

x→∞ 

x→∞ 

2 

x −1 

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 tiệm cận 

Chọn C. 


x 

là: 

2 

x − x − 2 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Lời giải 

TXĐ: D = ( −∞; −1) ∪ ( 2; +∞ ) 

Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng là x = 2 và x = − 1 

Mặt khác 

Lại có 

x 

1 1 

lim = lim = lim = 1 

x − x − 2 x − x − 2 

1 2 

1− 

− 

2 

x 

x x 

x→+∞ 2 x→+∞ 2 

x→+∞ 

x 

1 1 

lim = lim = lim = −1 

nên đồ thị hàm số đã cho 

x − x − 2 x − x − 2 

1 2 

− 1− − 

2 

x 

x x 

x→−∞ 2 x→−∞ 2 

x→−∞ 

có 2 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang 

Chọn D. 

2 

3x 

+ x −1 


là: 

2 

x − 4 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Lời giải 

TXĐ: D = ( −∞; −2) ∪ ( 2; +∞ ) 

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = − 2 và x = 2 

Mặt khác 

Lại có 

Trang145 

1 

2 3+ 1− 

3x + x −1 

2 


x 

= 3 

x − 4 

4 

1− 

2 

x 

x→+∞ x→+∞ 2 

x→+∞ 

2 

x −1 

1 

2 3 + 

3 − 1− 

2 

3x + x −1 

lim y = lim = lim x = lim 

x 

= −2 

x − 4 x − 4 

4 

− 1− 

2 

x 

x 

x→−∞ x→+∞ 2 x→+∞ 2 

x→+∞ 

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 

Chọn D. 

x + 1− 

x 


2x 

−1 

2 

nên y = 3 là một tiệm cận ngang 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Lời giải 

TXĐ: A = [ − 1;1] 

Đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng là 

không tồn tại lim y 

Chọn A 

x →∞ 

x 

Ví dụ 30: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 

x 

2 

là: 

nên y = − 2 là một 

1 

x = và không có tiệm cận ngang vì 

2 

2 

− 3x 

+ 2 

là 

− 2x 

− 3 

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 

Lời giải 

TXĐ: D = R \{ − 1;3} 

Ta có: y = 

( x − 2)( x −1) 

( x + 1)( x − 3) 

. Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận đứng. 

2 

x − 3x 

+ 2 

Mặt khác lim y = lim = 1 nên đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận ngang 

x→±∞ 

x→±∞ 

2 

x − 2x 

− 3 

là y = 1 

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận 














Chọn C 


hàm số đã cho có phương trình lần lượt là 

Trang146 

x + 1 

. Các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị 

x − 2 

1 

1 

A. x = 2; y = 

B. x = 4; y = − 

2 

2 

C. x = 2; y = 1 

D. x = 4; y = 1 

Lời giải 

TXĐ: D = [ 0; +∞) \ { 4} 

x −1 

Ta có lim y = ∞ ; lim y = lim = 1 nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là 

x→4 

x→+∞ x→+∞ 

x − 2 

x = 4 và một đường tiệm cận ngang là y = 1 

Chọn D 

Ví dụ 32: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 

2 

x + 1 

là: 

2x 

+ 3 

A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 

Lời giải 

⎧−3⎫ 

3 

D = R \ ⎨ ⎬ . Đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng là x = − 

⎩ 2 ⎭ 

2 

1 

2 1+ 

2 

x + 1 x 1 1 

Mặt khác lim y = lim = lim = nên y = là một đường tiệm cận ngang 

x→+∞ x→+∞ 2x 

+ 3 x→+∞ 

3 2 2 

2 + 

x 

của đồ thị hàm số đã cho. 

Lại có 

2 

x + 1 1 

2 − 1+ 

2 

x + 1 −1 


x 

lim 

x 

= nên 

x→−∞ x→−∞ 2x 

+ 3 x→−∞ 3 x→−∞ 

3 2 

2 + 2 + 

x x 

tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho 

Chọn C. 

Ví dụ 33: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau không có tiệm cận 

A. y = 

9 − x 

2 − x 

2 

B. y = 

2 

x −1 

x + 2 

1 

y = − là một đường 

2 

x −1 

C. y = 

2 + x 

Lời giải 

Đồ thị hàm số y = 


y = ±1 

Trang147 

y = 

9 − x 

2 − x 

2 

D. y = 

1− 

x 

x + 2 

có 1 đường tiệm cận đứng là x = 2 

2 

x −1 

có 1 đường tiệm cận đứng x = −2 

và 2 đường tiệm cận ngang 

x + 2 

x −1 

Đồ thị hàm số y = có đường tiệm cận ngang là 1 

2 + x y = 


Chọn D 

2 

1− 

x 

không có tiệm cận vì không tồn tại lim y khi x → ±∞; x → −2 

x + 2 

Ví dụ 34: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau không có tiệm cận ngang 

x + 1 

A. y = 

x − 2 

x 

C. y = 

x 

Lời giải 

2 

2 

+ 1 

− 2 


Chọn B 

1− 

x 

2 − x 

2 

B. y = 

1− 

x 

2 

2 − x 

x x + 1 

D. y = 

2 

x + 2 

không có tiệm cận ngang vì không tồn tại lim y khi x → ±∞ 

Ví dụ 35: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau không có tiệm cận đứng 

3x 

−1 

A. y = 

2 

x −1 

x 

C. y = 

Lời giải 

2 

+ 4x 

+ 3 

x + 3 

x 


2 

3x 

+ 1 

B. y = 

2 

x − 9 

D. y = 

+ 4x 

+ 3 

không có tiệm cận đứng vì: 

x + 3 

( x + 1)( x + 3) 

x→( −3) x→( −3) 

x→( −3) 

2 

x + 3 

2 

x − 9 

lim 

2 

x + 4x 

+ 3 = lim 

x + 3 x + 3 

= lim ( x + 1) 

x + 3 = 0 

+ + 














Chọn C 

Ví dụ 36: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau có các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng 

2 

x − 2 

A. y = 

2 

2x 

+ x + 1 

2 + x 

C. y = 

2 

x − x + 1 

Lời giải 

Trang148 

x + 1 

B. y = 

2 

x + 1 

D. y = 

x − 4 

2 

x − x −12 

2 

x − 2 x + 1 

Đồ thị các hàm số y = 

và y = không có tiệm cận đứng 

2 

2 

2x 

+ x + 1 x + 1 

2 + x 


cũng không có tiệm cận đứng 

2 

x − x + 1 


Chọn D 

x − 4 

có cả tiệm cận đứng x = −3 

và tiệm cận ngang y = ± 1 

2 

x − x −12 

Ví dụ 37: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau có 2 đường tiệm cận ngang 

1 

A. y = 

2 

3x 

+ x + 1 

x −1 

C. y = 

x + 2 

Lời giải 

B. y = 

x −1 

Đồ thị hàm số y = có một tiệm cận ngang là y = 1 

x + 2 


x 4 

không có tiệm cận ngang 

x + 2 

2 

− + 

2 

− + 

x 4 

x + 2 

2 

x −1 

D. y = 

2 

2x 

+ x −1 

x 


có 1 đường tiệm cận ngang là y = 0 

2 

3x 

+ x + 1 


y = 

2 

x −1 

2 

2 + −1 

−1 

và y = = −1 

khi x → −∞ 

2 −1 

Chọn D 

x 

x 

có 2 đường tiệm cận ngang là 

1 1 

y = = khi x → +∞ 

2 + 1 3 

Ví dụ 38: đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau có đúng 1 đường tiệm cận đứng 

x + 3 

A. y = 

2 

x − 4 

C. y = 

Lời giải 

Trang149 

2 

x −1 

x + 1 

x + 3 

Đồ thị hàm số y = có 2 đường tiệm cận đứng 

2 

x − 4 

( )( ) 

x 

2 −1 

x − 


1 x + 

y = = 

1 

x + 1 x + 1 


2 

x −1 

B. y = 

x + 1 

2 

x − 4 

D. y = 

x + 2 

không có tiệm cận đứng 

2 

x −1 

có 1 đường tiệm cận đứng là x = −1 

x + 1 

( )( ) 

x 

2 − 4 x + 


2 x − 

y = = 

2 

x + 2 x + 2 

Chọn C 

không có tiệm cận đứng 

Ví dụ 39: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau nhận các đường thẳng x = 1 và y = 2 là 

các đường tiệm cận 

x + 2 

A. y = 

2 

x − 3x 

+ 2 

2 

x + x −1 

C. y = 

x −1 

Lời giải 


là tiệm cận đứng 

Chỉ có đồ thị hàm số 

tiệm cận 

( )( ) 

x( x −1) 

x + 1 

B. y = 

x − 2 

2 

2x 

− 2 

D. y = 

2 

x − x 

( ) 

2 

2x 

− 2 2 x + 1 x − 1 2 x + 1 

y = = = 

2 

x − x 

x 

x 

y = 

x 

x −1 

2 

+ − 

1 

nên không nhận đường thẳng x = 1 

nhận các đường thẳng x = 1 và y = 2 là các đường 

Ví dụ 40: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau nhận các đường thẳng x = 2 và y = 1 là 

các đường tiệm cận: 

2x 

+ 1 

A. y = 

2x 

−1 

2 

x + 1 

C. y = 

x − 2 

x −1 

B. y = 

2 

x − 4 


D. y = 

2x 

+ 1 

2x 

− 2 













Lời giải 

2x 

+ 1 

Đồ thị hàm số y = có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2 

2x 

−1 

x −1 

Đồ thị hàm số y = có tiệm cận ngang là y = 0 

2 

x − 4 

2 

x + 1 

Đồ thị hàm số y = không có tiệm cận ngang 

x − 2 


Chọn D 

Trang150 

2x 

+ 1 

nhận các đường thẳng x = 2 và y = 1 là các đường tiệm cận 

2x 

− 2 

Ví dụ 41: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau có duy nhất một đường tiệm cận: 

x −1 

A. y = 

x − 2 

x − 2 

C. y = 

2 

x − 4 

Lời giải 

x −1 

Đồ thị hàm số y = có 2 đường tiệm cận 

x − 2 

2 

x −1 

B. y = 

3x 

− 3 

D. y = 

2 

x − 1 x + 1 

Đồ thị hàm số y = = không có tiệm cận 

3x 

− 3 3 

x + 1 

x − 2 

Đồ thị hàm số y = có 3 đường tiệm cận x = ± 2; y = 0 

2 

x − 4 


Chọn D 

2 

x + 1 

1 

1+ 

x + 1 

x + 1 

x 

có 1 đường tiệm cận là y = 1 vì lim = lim = 1 

2 

x→∞ 

2 x→∞ 

x + 1 

x + 1 1 

1+ 

2 

x 

Ví dụ 42: Gọi a;b;c lần lượt là số tiệm cận ngang của đồ thị của các hàm số 

2 

1 1 2 1 

x − x 

y = ; y = + + ; y = 

. Khẳng định nào sau đây là đúng 

2 

x + 1 

2 2 

2x + x + 1 3x + 2 x + 1 

A. a = b > c B. a = c < b 

C. a > b > c D. a = b = c 

Lời giải 

x −1 

Đồ thị hàm số y = có 1 đường tiệm cận ngang là y = 0 

2 

x + 1 


Trang151 

y = 

2 

x + 1 + 2 

có 2 đường tiệm cận ngang là 

x x 

2 

2 + + 1 

−1 

và y = = −1 

khi x → −∞ 

2 −1 

1 


có 1 đường tiệm cận ngang là y = 0 

2 

3x 

+ 2 x + 1 

Do đó a = c < b 

Chọn B 

1 1 

y = = khi x → +∞ 

2 + 1 3 

Ví dụ 43: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau có nhiều hơn 1 đường tiệm cận ngang 

1 

A. y = 

2 

3x 

+ 2 x + 1 

x 

C. y = 

2 

x + x + 1 

Lời giải 

x + 1 

B. y = 

2x 

−1 

2x 

+ 1 

D. y = 

x + 1 

1 

Hàm số y = 

có lim y = 0 nên đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận 

2 

x→±∞ 

3x 

+ 2 x + 1 

ngang là y = 0 

x + 1 

1 

Đồ thị hàm số y = có 1 đường tiệm cận ngang là y = 

2x 

−1 

2 

x 

1 

Ta có: lim = lim = 1 

x→+∞ 

2 x→+∞ 

x + x + 1 

1 

1+ 1+ 

2 

x 

Lại có lim 

x→−∞ 

x 


x 

x 

2 

+ + 

x 

y = −2 khi x → −∞ 

Chọn D 

= 1 1 

lim 

1 

= 1 

0 

= −∞ 

x→−∞ 

− 

1− 1+ 

2 

x 

x 

2 

+ x +1 

có duy nhất 1 đường tiệm cận ngang là y = 2 khi x → +∞ và 

Ví dụ 44: Đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau có 3 đường tiệm cận 














A. y = 

Trang152 

2x 

+ 1 

x − 2 

C. y = 

x + 3 

Lời giải 

3 2 

x + 3x 


2x 

+ 1 

3 2 

x + 3x 

( = ( − 3; +∞) \ { 0} 

) 

x + 1 

B. y = 

2 x + 1 

D. y = 

và có 1 đường tiệm cận ngang duy nhất là y = 0 khi x → +∞ 

x 

2 

x + 1 

D có 2 đường tiệm cận đứng là x = 0; x = 3 

x + 1 

Đồ thị hàm số y = có đúng 2 đường tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng 

2 x + 1 


Chọn A 

x 

có 2 đường tiệm cận ngang và không có tiệm cận đứng 

2 

x + 1 

Ví dụ 45: (Đề thi thử nghiệm của BGD&ĐT năm 2017). Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ 

2 

2x −1− x + x + 3 

thị hàm số y = 

2 

x − 5x 

+ 6 

A. x = − 3; x = −2 

B. x = −3 

C. x = 3; x = 2 

D. x = 3 

Lời giải 

2 2 

2x −1− x + x + 3 3x − 5x 

− 2 

Ta có: y = = 

2 

x − 5x + 6 2 

x − 2 x − 3 2x − 1+ x + x + 3 

= 

( 3x 

+ 1) 

( x − 3)( 2x − 1+ x ) 

2 + x + 3 

( )( )( ) 

Do vậy chỉ có đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho 

Chọn D 

PHẦN 2: BÀI TOÁN TIỆM CẬN CHỨA THAM SỐ 

mx + 1 

Ví dụ 1: Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = có 2 đường tiệm cận là: 

2 − x 

1 

1 

A. m∈R B. m = − C. m ≠ − D. m ≠ 2 

2 

2 

Lời giải 

Ta có 

mx + 1 

y = có − x + 2 

1 

khong suy biến ⇔ m ≠ − 

2 

Chọn C 

Trang153 

2m 

+ 1 

y ' = . Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ⇔ hàm số đã cho 

− + 

( x 2) 2 

x + 1 

Ví dụ 2: Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = không có tiệm cận là: 

mx − 2 

1 

⎡m 

= −2 

A. m = − 2 

B. m = − C. m ≠ − 2 

D. ⎢ 

2 

⎣m 

= 0 

Lời giải 

x + 1 

Với m = 0 ⇒ y = suy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận. 

− 2 

Với m ≠ 0 đồ thị hàm số không có tiệm cận ⇔ hàm số đã cho bị suy biến 

⇔ −2 − m = 0 ⇔ m = − 2 

Chọn D 

Ví dụ 3: Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 

cận ngang là: 

x + 1 

y = nhận đường thẳng y = 2 là tiệm 

x − 1 

A. m = 1 

B. m = − 2 

C. m ≠ 2 

D. m = 2 

Lời giải 

ĐK để hàm số không suy biến là = m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 

Khi đó tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = m . Giả thuyết suy ra m = 2 

Chọn D 

2 

m x + 1 

Ví dụ 4: Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 

x + m 

cận ngang là: 

nhận đường thẳng y = 1 là tiệm 

A. m = 1 

B. m = − 1 

C. m = ± 1 

D. m = ± 2 

Lời giải 

3 

Điều kiện để hàm số không suy biến là m −1 ≠ 0 

⎡m 

= loai 

Khi đó tiệm cận ngang là y = m = 1 ⇔ ⎢ 

⎣m 

= −1 

Chọn B 

2 

1( ) 














mx − 8 

Ví dụ 5: Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = nhận đường thẳng x = 4 là tiệm 

2 

x − m 

cận đứng là: 

A. m = 2 

B. m = − 2 

C. m = ± 1 

D. m = ± 2 

Lời giải 

3 

Điều kiện để hàm số không suy biến là − m + 8 ≠ 0 

⎡m 

= loai 

Khi đó tiệm cận ngang là y = m = 4 ⇔ ⎢ 

⎣m 

= −2 

Chọn B 


Trang154 

2 

2( ) 

mx + 2 

y = . Giá trị của tổng m + n để đồ thị hàm số đã cho nhận các 

nx − 2 

đường thẳng x = 1và y = 2 là các đường tiệm cận là: 

A. 6 B. 8 C. – 2 D. 10 

Lời giải 

Hàm số không suy biến khi −2m − 2n ≠ 0 ⇔ m + n ≠ 0 

2 m m 

Khi đó tiệm cận đứng là x = = 1 ⇒ n = 2 . Tiệm cận ngang là y = = = 2 ⇔ m = 4 

n 

n 2 

Do vậy m = 4; n = 2 

Chọn A 

x −1 

Ví dụ 7: Cho hàm số y = . Giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận 

2 

x − mx − 2 

đứng là: 

A. m ≠ − 1 

B. m = − 1 

C. m∈R D. m ≠ 1 

Lời giải 

Để đồ thị hàm số y = 

2 

x 

x −1 

mx 2 

− − có 2 đường tiệm cận đứng thì ( ) 2 

2 

⎧∆ ⎪ ( ) 

= m + 8 > 0 

g x 

nghiệm phân biệt khác 1 ⇔ ⎨ 

⇔ m ≠ 1 

⎪⎩ g ( 1) 

= 1− m − 2 ≠ 0 

g x = x − mx − 2 = 0 có 2 

Chọn A 

mx −1 

Ví dụ 8: Cho hàm số y = . Giá trị của m để đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng 

2 

x − 3x 

là: 

1 

A. m∈R B. m ≠ 3 

C. m ≠ D. m = 3 

3 

Lời giải 

mx −1 

Để đồ thị hàm số y = có 2 đường tiệm cận thì PT: mx − 1= 0 không nhận x = 3và 

2 

x − 3x 

⎧m.0 −1 ≠ 0 1 

x = 0 là đường tiệm cận ⇔ ⎨ ⇔ m ≠ 

⎩m.3 −1 ≠ 0 3 

Chọn C 


qua điểm A ( 1;3 ) 

Trang155 

y = 

x + 1 

( 2 1) 

2 

x − m + x + m 

. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đi 

⎡m 

= 0 

A. m = 0 

B. m ≠ 0 

C. m = 1 

D. ⎢ 

⎣m 

= 1 

Lời giải 

Vì tiệm cận đứng đi qua điểm ( 1;3 ) 

− ( 2 + 1) 

+ có nghiệm ( ) 

2 

x m x m 

Chọn A 

A suy ra TCĐ là x = 1. Khi đó phương trình 

x = 1⇒ 1− 2m + 1 .1+ m = 0 ⇔ m = 0 

x + 1 


. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm 

2 

x − 2mx 

+ 4 

số có ba đường tiệm cận. 

⎡m 

< −2 

A. ⎢ 

⎣m 

> 2 

Lời giải 

⎧m 

< −2 

⎪ 

B. ⎨ 5 

⎪m 

≠ − 

⎩ 2 

⎧ ⎡m 

> 2 

⎪⎢ 

⎪ m 2 

C. ⎣ < − 

⎨ 

⎪ 5 

m ≠ − 

⎪⎩ 2 

D. m > 2 

x + 1 

Vì lim = lim = 0 nên đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang là y = 0 

x→∞ 

x→∞ 

2 

x − 2mx 

+ 4 

Để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận thì nó phải có 2 đường tiệm cận đứng. 

( ) 

2 

⇔ PT : g x = x − 2mx 

+ 4 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1 

⎧ ⎡m 

> 2 

2 

⎧∆ ⎪ ( ) 

= m − 4 > 0 ⎪⎢ 

g x 

⎪ m < −2 

⇔ 

⎣ 

⎨ 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ 

g ( − 1) 

= 5 + 2m 

≠ 0 ⎪ −5 

m ≠ 

⎪⎩ 2 














Chọn C 


x 

có đúng 1 đường tiệm cận. 

Trang156 

2 

2 

x −1 

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 

+ 2mx 

+ 1 

⎡m 

> 1 

A. − 1< m < 1 B. −1≤ m ≤ 1 C. ⎢ 

⎣m 

< −1 

Lời giải 

D. m∈R 

2 

x −1 

Ta có lim = lim = 0 nên đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang là y = 0 

x→∞ 

x→∞ 

2 

x + 2mx 

+ 1 

Để đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận khi và chỉ khi nó không có tiệm cận đứng. 

( ) 

2 

⇔ PT : g x = x + 2mx 

+ 1 vô nghiệm 

Chọn A 

⇔ ∆ = − < ⇔ − < < − 

2 

' m 1 0 1 m 1 

x −1 

Chú ý: Khi m = 1⇒ y = (đồ thị hàm số vẫn có tiệm cận đứng) hoặc khi 

x + 1 

x + 1 

m = −1⇒ y = thì đồ thị hàm số vẫn có tiệm cận đứng. 

x − 2 

Ví dụ 12:[Đề minh họa 2017]: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của 

hàm số y = 

x + 1 

có 2 tiệm cận ngang. 

2 

mx + 1 

A. Không có giá trị thực nào của m B. m < 0 

C. m = 0 

D. m > 0 

Lời giải 

Khi m > 0 ta có 

lim 

x→−∞ 

lim 

x→+∞ 

1 

1+ 

x + 1 1 1 

= lim x = ⇒ y = là một tiệm cận ngang. 

2 x→+∞ 

mx + 1 

1 m m 

m + x 

2 

1 1 

−1− 

−1− 

x + 1 1 1 

lim x x − − 

= = = ⇒ y = là một tiệm cận ngang. 

2 x→−∞ 

2 

mx + 1 mx + 1 1 m m 

m + x 

2 

− x 

Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận 

Với m = 0 suy ra 

x + 1 

y = đồ thị hàm số không có tiệm cận. 

1 

Với m < 0 đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận vì không tồn tại lim y 

Chọn D 

Trang157 

x →∞ 

Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = 

có 2 tiệm cận ngang. 

A. Không có giá trị thực nào của m B. m < 0 

C. m = 0 

D. m > 0 

Lời giải 

Khi m > 0 ta có lim 

lim 

x→−∞ 

x→+∞ 

1 

2 m + 

mx + 1 

2 

= lim 

x = m ⇒ y = m là một tiệm cận ngang. 

x − 2 x→+∞ 

2 

1− 

x 

2 

mx + 1 1 

2 − m + 

mx + 1 

2 

= lim x = 

x = − m ⇒ y = − m là một tiệm cận ngang. 

x − 2 x→−∞ 

2 2 

1− 

1− 

x x 

Khi đó đồ thị hàm số có 2 tiệm cận 

1 

Với m = 0 suy ra y = đồ thị hàm số có duy nhất đường tiệm cận ngang là y = 0. 

x − 2 

Với m < 0 đồ thị hàm số cũng không có tiệm cận vì không tồn tại lim y 

Chọn D 

x →∞ 

2 

mx + 1 

x − 2 

Ví dụ 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số 

mx 

y = 

x −1 

2 

+ x + 

1 

có 2 tiệm cận ngang là y = a và y = b sao cho a 

+ b = 10 

2 2 

A. m = ± 2 

B. m = ± 3 

C. m = ± 3 D. m = ± 2 

Lời giải 

1 

2 m 1 

mx 1 

2 

Ta có lim + x + + + 

= lim 

x = m + 1 ⇒ y = m + 1 là một tiệm cận ngang. 

x→+∞ 

x −1 

x→+∞ 

1 

1− 

x 














2 

x + 1 

1 

2 m + 

m − 1+ 

mx + x + 1 

2 

lim = lim x lim 

x = m − 1 ⇒ y = m − 1 là một tiệm cận 

x→−∞ x −1 

x→−∞ 1 x→−∞ 

1 

1− 

1− 

x 

x 

ngang. Khi đó ( ) ( ) 

Chọn A 

Trang158 

2 2 2 2 2 

a + b = m + 1 + m − 1 = 2m + 2 = 10 ⇔ m = ± 2 

2 2 

2x 

+ b x + 1 


. Nhận xét nào sau đây là SAI 

x −1 

A. Đồ thị hàm số đã cho luôn có 2 đường tiệm cận ngang. 

B. Đồ thị hàm số đã cho luôn có đường tiệm cận đứng là x = 1. 

C. Đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm có tọa độ ( 0; − 1) 

. 

D. Đồ thị hàm số đã cho luôn có ít nhất 2 đường tiệm cận. 

Lời giải 

2 + b 2 − b 

Ta có: lim y = ; lim y = 

x→+∞ 

1 x→−∞ 

1 

Khi b = 0 đồ thị hàm số đã cho chỉ có một tiệm cận ngang duy nhất là y = 2 

Chọn A 


thẳng y = 1 và x = 2 là các đường tiệm cận là: 

⎡m 

= 1; n = −2 

A. ⎢ 

⎣m 

= − 1; n = 2 

Lời giải 

Để 2 

2 

x + 1 

y = . Giá trị của m và n để đồ thị hàm số nhận các đường 

mx + n 

⎡m 

= 2; n = −1 

B. ⎢ 

⎣m 

= − 2; n = 1 

−n 

m 

x = là tiệm cận đứng thì x = = 2( m ≠ 0) 

Mặt khác với m ≠ 0 ta có: 

tiệm cận ngang. 

C. m = 1; n = ± 2 D. m = − 1; n = ± 2 

1 

2 1+ 

x + 1 

2 

1 


x 

= do đó 

x→+∞ x→+∞ mx + n x→+∞ 

n 

m + 

m 

x 

1 

2 − 1+ 

x + 1 

2 

1 

lim y lim lim 

x − 

−1 

= = = do đó y = là đường tiệm cận ngang. 

x→∞ x→−∞ mx + n x→−∞ 

n 

m + 

m 

m 

x 

1 

y = là đường 

m 

⎡ 2 

1 x + 1 

⎢ = 1 ⇔ m = 1⇒ n = −2 

⇒ y = 

m 

x 2 

Do đó ta có: ⎢ 

− 

⎢ − 

2 

1 x + 1 

⎢ = 1 ⇔ m = −1⇒ n = 2 ⇒ y = ⎣ m 

− x + 2 

Chọn A 

x + 1 

Ví dụ 17: Cho hàm số y = . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có 3 đường 

2 

x + m 

tiệm cận. 

⎧m 

< 0 

A. m < 0 

B. m = 0 

C. m > 0 

D. ⎨ 

⎩m 

≠ − 1 

Lời giải 

x + 1 

Ta có lim = 0 nên đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang là y = 0 

x→±∞ 

2 

x + m 

Để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận thì nó phải có 2 tiệm cận đứng. 

Khi đó PT x 

Chọn D 

Trang159 

2 

⎧m 

< 0 

+ m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác – 1 ⇔ ⎨ 

⎩m 

≠ − 1 

2 

x − x + 1 


. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có 2 

2 

x + 2mx 

+ 4 


⎡m 

< −2 

A. m = ± 1 

B. − 2 < m < 2 C. m = ± 2 

D. ⎢ 

⎣m 

> 2 

Lời giải 

2 

x − x + 1 


x→±∞ 

2 

x + 2mx 

+ 4 

Để đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận thì nó phải có đúng một tiệm cận đứng. Vì tử số 

2 

x x 1 0 x 

( ) 

− + > ∀ ∈ R nên để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng thì 

2 

2 

PT : x + 2mx 

+ 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = m − 4 = 0 ⇔ m = ± 2 

Chọn C 

2 

x − x + 1 


. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có 2 

2 

x + 2mx 

+ 4 















⎡m 

< −2 

A. m = ± 1 

B. − 2 < m < 2 C. m = ± 2 

D. ⎢ 

⎣m 

> 2 

Lời giải 

2 

x − x + 1 


x→±∞ 

2 

x + 2mx 

+ 4 

Để đồ thị hàm số có đúng 2 tiệm cận thì nó phải có đúng một tiệm cận đứng. Vì tử số 

2 

x x 1 0 x 

Trang160 

( ) 

− + > ∀ ∈ R nên để đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng thì 

2 

2 ⎡m 

> 2 

PT : x + 2mx 

+ 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = m − 4 > 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

< −2 

Chọn D 

mx + 2 

Ví dụ 20: Cho hàm số y = . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho không có 

2x 

+ m 

tiệm cận 

⎡m 

< −2 

A. m = ± 1 

B. − 2 < m < 2 C. m = ± 2 

D. ⎢ 

⎣m 

> 2 

Lời giải 

Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ⇔ nó bị suy biến m 

Chọn C 


đã cho có tiệm cận ngang. 

2 2 

( ) ( ) 

2 

− 4 = 0 ⇔ m = ± 2 

m − 1 x + m − 1 x + 1 

. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số 

2x 

+ 1 

A. m = ± 1 

B. − 1< m < 1 C. m = − 1 

D. m = 1 

Lời giải 

Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì 

2 2 

( ) ( ) 

m − 1 x + m − 1 x + 1 

2 

lim = = y0 

⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = ± 1 

x→∞ 

Chọn A 

2x 

+ 1 


có tiệm cận đứng. 

2 − x 

. Tìm tất cả các giá trị nào của tham số m để hàm số đã cho 

x = m 

A. m < 2 

B. m = 2 

C. m > 2 

D. m ≤ 2 

Lời giải 

TXĐ: D = ( −∞ ; 2 ] \{ m} 

2 − x 

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì lim = = ∞ hoặc 

+ 

x→m 

x = m 

Trang161 

2 − x 

lim = = ∞ 

− 

x→m 

x = m 

2 −x 

−1 

Khi đó m ≤ 2. Chú ý khi m = 2 ⇒ y = = đồ thị hàm số vẫn có tiệm cận đứng 

x − 2 2 − x 

−1 

là x = 2 bởi vì lim = = −∞ 

− 

x→2 

2 − x 

Chọn D 

Ví dụ 23: Tìm tất cả các giá trị nào của tham số m để hàm số 

tiệm cận đứng. 

⎡m 

= 1 

A. ⎢ 

⎢ 

1 

m = 

⎣ 2 

Lời giải 

⎡m 

= 1 

B. ⎢ 

⎣m 

= 0 

2 

2x − 3x + m 

Đồ thị không có tiệm cận đứng thì lim = ≠ ∞ 

x → m x − m 

y = 

2 

2 3 

x − x + m 

không có 

x − m 

⎧m 

≠ 0 

C. 0 < m < 1 D. ⎨ 

⎩m 

≠ 1 

2 2 ⎡m 

= 0 

Khi đó x = m là nghiệm của PT 2x − 3x + m ⇔ 2m − 3m + m = 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

= 1 

Chọn B 

2mx 

+ m + 1 

Ví dụ 24: Đồ thị hàm số y = 

có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang khi và chỉ khi 

x + 1 

A. m > 1 

B. m < 1 

C. m ≠ 1 

D. m = 1 

Lời giải 

Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang khi và chỉ khi hàm số không bị suy 

biến ( ) 

Chọn C 

⇔ 2m − m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 

x −1 

Ví dụ 25: Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = 

có một đường tiệm cận 

2 

x − 2mx 

+ 1 

đứng 

A. m > 1 

B. m < 1 

C. m = 1 

Lời giải 

D. Không tồn tại m 














Để đồ thị hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng thì PT 

(nghiệm phân biệt hoặc nghiệm kép) trong đó có một nghiệm bằng 1 

2 

⎧∆ ⎪ ' = m −1 ≥ 0 

⎨ 

⇔ m = 1 

2 

⎪⎩ ( 1) 

− 2m 

+ 1 = 0 

Trang162 

2 

x mx m 

x −1 1 

Với m = 1⇒ y = = đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1 

x −1 

x − 1 

Chọn C 

( ) 2 


y = 

thẳng x = 1 và y = 2 là các đường tiệm cận là 

− 2 + + 1có nghiệm 

mx + 1 

. Giá trị của m và n để đồ thị hàm số nhận các đường 

2 

x + n 

A. n = 1; m = 2 B. n = − 1; m = ± 2 C. n = 1; m = ± 2 D. n = − 1; m = − 2 

Lời giải 

x = là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số thì ( ) 2 

Để 1 

1 

m + 

mx + 1 

Lại có lim = lim x = m và lim 

x→+∞ 

2 x→+∞ 

x n 

n 

x→−∞ 

+ 

1+ 

2 

x 

Do vậy để đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang thì 

Chọn B 


tiệm cận ngang là y = 1 

1 + n = 0 ⇔ n = − 1 

1 

m + 

mx + 1 

= lim x = −m 

2 x→−∞ 

x + n 

n 

− 1+ 

2 

x 

⎡m 

= 2 

⎢ ⇔ m = ± 2 

⎣m 

= −2 

2 

m x + 2 

y = . Tìm tất cả các giá trị nào của tham số m để hàm số có 

4x 

+ m 

A. m = ± 2 

B. m = − 2 

C. m = 2 

D. m = ± 1 

Lời giải 

2 

⎧m 

⎪ = 1 

Để y = 1là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số thì ⎨ 4 ⇔ m = −2 

⎪ 3 

⎩m 

− 8 ≠ 0 

Chọn B 

2 

m x − 2 

Ví dụ 28: Cho hàm số y = . Giá trị của m để đồ thị hàm số có tiệm cận đi qua điểm 

mx − 1 

A ( 1; 2) 

⎡m 

= 1 

A. m = 2 

B. m = 1 

C. ⎢ 

⎣m 

= 2 

Lời giải 

2 ⎡m 

≠ 0 

Điều kiện để hàm số không suy biến là − m + 2m 

≠ 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

≠ 2 

Trang163 

D. m = ± 2 

2 

1 

m 

Khi đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = , tiệm cận ngang là y = = m 

m 

m 

⎡ 1 

1 m = 1 

Cho ⎢ 

= ⎡ 

m ⇔ 

⎢ 

⎢ 

m = 2 loai 

m = 2 ⎣ 

⎣ 

Chọn B 


( ) 

mx 

y = 

2x 

+ 1 

2 

+ x − 

trên có chung một đường tiệm cận ngang là: 

1 

và 

2mx 

+ 1 

y = . Giá trị của m để đồ thị 2 hàm số 

x − 2 

1 

1 

1 

A. m = ± B. m = ± C. m = ± 1 

D. m = ± 

3 

2 

4 

Lời giải 

Ta có 

lim 

x→−∞ 

lim 

x→+∞ 

1 

m + 1− 

+ − 1 1 

lim 

x + 

= = 

2x 

+ 1 x→+∞ 

1 

2 + 

2 

x 

2 

mx x 

2 

m 

1 

m − 1− 

+ −1 1 

lim 

x − 

= = 

2x 

+ 1 x→−∞ 

1 

2 + 

2 

x 

2 

mx x 

2 

m 

2 

mx + x −1 

m + 1 m −1 

Do đó đồ thị hàm số y = 

có 2 đường tiệm cận ngang là y = và y = 

2x 

+ 1 

2 2 

2mx 

+ 1 

Đồ thị hàm số y = có 1 đường tiệm cận ngang là y = 2m 

x − 2 

⎡m 

+ 1 

⎢ 

= 2 m 

2 

1 

Cho ⎢ ⇔ m = ± 

⎢ m −1 3 

= 2m 

⎢⎣ 2 

Chọn A 















2x 

− 3 

Câu 1: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là: 

x − 7 

3 

A. x = 7 

B. x = 14 

C. x = D. x = 3 

2 

8x 

− 25 


x − 3 

3 

A. x = 7 

B. x = 14 

C. x = D. x = 3 

2 

8x 

−1999 


4x 

− 9 

3 

A. x = 7 

B. x = 14 

C. x = D. x = 3 

2 

2x 

− 3 

Câu 4: Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = là: 

x − 7 

A. y = 7 

B. y = 14 

C. 

8x 

− 25 


x − 3 

A. y = 8 

B. y = 3 

C. 

8x 

−1999 


4x 

− 9 

A. y = 8 

B. y = 3 

C. 

1 

Câu 7: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 25x 

− 8 + là: 

x − 99 

Trang164 

3 

y = D. y = 2 

2 

25 

y = D. y = 2 

8 

25 

y = D. y = 2 

8 

A. y = 25x 

− 8 B. y = 25 

C. y = 25x 

− 99 D. y = 25x 

3 

x 

Câu 8: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 

2 

x −1 

là: 

A. y = x − 1 B. y = x 

C. y = x + 1 D. y = − x 

2 

2x 

− 3x 

−1 

Câu 9: Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 

là: 

x − 2 

A. y = 2x 

− 1 B. y = x − 2 C. y = 2x 

+ 1 D. y = − x + 2 

Câu 10: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận ngang: 

3 2 

4 2 

−3x 

−1 

A. y = x + 25x 

+ 8 B. y = x − 8x 

+ 99 C. y = 

2 

x − 2 

Câu 11: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận xiên: 

2 2 

4 2 

−3x 

−1 

A. y = x + 25x 

+ 8 B. y = x − 8x 

+ 99 C. y = 

2 

x −8 

Câu 12: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có đường tiệm cận xiên: 

2 2 

4 2 

−3x 

−1 

A. y = x + 25x 

+ 8 B. y = x − 8x 

+ 99 C. y = 

2 

x −8 

x 

Câu 13: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 

Trang165 

+ 3x 

−1 

là: 

2 

x −1 

3 2 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

−1 

Câu 14: Đường thẳng x = là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào? 

3 

−3x 

−1 

A. y = 

2 

x −8 

2 

2 2 

2x 

−1 

B. y = x + 25x 

+ 8 C. y = 

x − 2 

Câu 15: Đường thẳng y = − 8 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào? 

2x 

+ 7 

A. y = 

2 

x − 9 

16x 

− 25 

B. y = 

3− 

2x 

2 

2x 

−1 

C. y = 

16x 

− 2 

2x 

+ 3 

Câu 16: Phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là: 

x −1 

2 

2x 

−1 

D. y = 

x − 2 

2 

25x 

−1 

D. y = 

x − 2 

2 

25x 

−1 

D. y = 

x − 2 

8x 

− 25 

D. y = 

1− 

3x 

8x 

− 25 

D. y = 

1− 

3x 

1 1 

A. y = 1, x = 2 B. y = 2, x = 1 C. y = , x = 1 D. y = 1, x = 

2 

2 

Câu 17: Cho hàm số y 

x + 2 

x 2 

= − 


2 

từ M và N đến hai tiệm cận là nhỏ nhất. Khi đó MN bằng 

C có hai điểm phận biệt M, 

N tổng khoảng cách 

A. 68 B. 48 C. 16 D. 32 

x 

Câu 18: Đồ thị hàm số y = 

x 

2 

2 

− 6x 

+ 3 

. Số tiệm cận của đồ thị hàm số trên là: 

− 3x 

+ 2 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 


đồ thị là 

y = 

2 

x − 2x 

+ 6 

và 

x −1 

2 

x − 4x 

+ 3 

y = . Tổng số đường tiệm cận của hai 

2 

x − 9 

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 














2 

m x − 4 

Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = có tiệm cận 

mx −1 

đi qua điểm A ( 1; 4) 

A. m = 1 

B. m = 2 

C. m = 3 

D. m = 4 

Câu 21: Giả sử ( ; ) 

Trang166 

M x y là giao điểm của đường phân giác góc phần tư thứ nhất (của mặt 

0 0 

2 

x + 1 

phẳng tọa độ) với tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = . Tính x0 + y0 

x 

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 

2 

3x 

− 4x 

+ 5 


. Đồ thị hàm số đã cho có các đường tiệm cận nào? 

3x x −1 

( ) 

A. Có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang B. Chỉ có tiệm cận đứng 

C. Chỉ có tiệm cận ngang D. Không có tiệm cận 

2 

x − 2x 

+ 2 

Câu 23: Đồ thị hàm số y = 

có mấy đường tiệm cận: 

2 2 

x − 2mx + m −1 

A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 

Câu 24: Gọi a, b, 

c lần lượt là số đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau: 

y = 

17 

+ − ; x − 2 

y = . Nhận định nào sau đây là đúng ? 

2x 

+ 1 

2 

4x 

x 2 

y = 

x + 3 

; 

x + 4 

A. b > c > a B. b > a > c C. a > c > b D. c > a > b 


mx + 1 

y = . Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 và có tiệm cận 

x + n 

ngang và đi qua điểm A ( 2;5) 

thì phương trình hàm số là: 

− 2x 

+ 1 

A. 

x − 3 

− 3x 

+ 1 

B. 

x − 3 

− 5x 

+ 1 

C. 

x − 3 

Câu 26: Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị nếu: 

D. 3 x + 1 

x − 3 

A. lim ( ) = B. lim ( ) = 0 C. lim ( ) = D. lim ( ) 

f x a 

x →0 

f x 

x→a Câu 27: Khẳng định nào sau đây là đúng? 

số. 

f x a 

x →∞ 

f x = ∞ 

x → a 

A. Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số. 

B. Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu 

C. Đồ thị hàm phân thức luôn có tiệm cận ngang. 

D. Đồ thị hàm phân thức luôn có tiệm cận đứng. 


Trang167 

x 

. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

2 

x − 9 

A. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = ± 3 và 2 đường tiệm cận ngang là y = ± 1 

B. Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là x = ± 3 và 1 đường tiệm cận ngang là y = 1 

C. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và 1 đường tiệm cận ngang là y = 1 

D. Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là x = 3 và không có tiệm cận ngang. 

4 2 

Câu 29: Đồ thị hàm số y = x − 2x 

+ 5 có bao nhiêu đường tiệm cận? 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

Câu 30: Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận đường thẳng y = 2 là 1 đường tiệm cận? 

3x 

− 2x 

+ 1 

A. y = B. y = 

x − 2 

2 − x 

2x 

−1 

C. y = 

2 − x 

Câu 31: Đồ thị hàm số nào sau đây có 2 đường tiệm cận ngang? 

x −1 

A. y = 

2x 

+ 3 

x + 1 

B. y = 

2 

x − 2x 

+ 1 

C. y = 

Câu 32: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng? 

x −1 

x − 2 

A. y = B. y = 

x + 

2 

2 

x − x + 1 

2 

x + 2 

x − 3 

x + 2 

C. y = 

2 

x − x + 1 

Câu 33: Gọi A là 1 điểm thuộc đồ thị hàm số y ( C) 

2 đường tiệm cận của ( ) 

C . Giá trị nhỏ nhất của S là: 

D. y = x − 2 

3 2 

D. y = x − 3x 

− 1 

D. y = 

x −1 

( x + 2) 2 

x + 3 

= . Gọi S tổng khoảng cách từ A đến 

x − 3 

A. 6 B. 2 6 C. 6 D. 12 


x + 2 

x 2 

= − 

, có đồ thị ( ) 

C . Gọi , 

P Q là 2 điểm phân biệt nằm trên ( C ) 

sao cho tổng khoảng cách từ P hoặc Q tới 2 đường tiệm cận là nhỏ nhất. Độ dài đoạn thẳng 

PQ là: 

A. 4 2 B. 5 2 C. 4 D. 2 2 

x − 2 

Câu 35: Cho hàm số y = . Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có 1 đường 

2 

x − 4x + m 

tiệm cận đứng? 

A. m = 4 

B. m ≥ 4 

C. m < 4 

D. m = ∅ 














x + 6 

x 9 

Câu 36: Cho hàm số y = ( C) 

. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( ) 

+ 

C là: 

A. x = − 6 

B. y = 1 

C. x = − 9 

D. y = − 6 

Câu 37: Cho hàm số y ( C) 

của ( C ) là: 

x − 3 

= . Tọa độ giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang 

x − 5 

A.( 3;5 ) 

B.( 5;3 ) 

C.( 3;1 ) 

D.5;1 

2 

x + x + 1 

x − 2 

Câu 38: Cho hàm số y = ( C ) . Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( ) 

C là: 

A. y = x + 3 B. y = x − 3 C. y = x + 2 D. y = x − 2 

x 

Câu 39: Cho hàm số y = ( C ) . Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( ) 

2 

x −1 

A. x = 1 

B. x = − 1 

C là 

C. x = 1 và x = − 1 

D. Đồ thị không có tiệm cận đứng 

x + 2 

2 

x + 4x 

− 5 


. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( ) 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

2 

x + 1 

x + 1 

Câu 41: Cho hàm số y = ( C ). Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( ) 

C là: 

C là 

A. y = 1 

B. y = − 1 

C. y = 1 và y = − 1 D. x = 1 và x = − 1 

6x 

+ 9 

Câu 42: Cho hàm số y = ( C ) . Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( ) 

+ 

2 

3x 

5 

A. y = 2 3 

B. y = − 2 3 

C. y = 2 3 và y = − 2 3 

D. x = 2 3 và x = − 2 3 

x − 2 

x + x + m 


( C) 

. Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 

đứng. 

2 

2 2 

C là: 

C không có tiệm cận 

1 

1 

1 

1 

A. m < B. m > C. m > D. m < 

4 

4 

16 

16 

x + 1 


. Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 

2 

x + x + m 

C có một tiệm cận đứng. 

A. m = 0 

1 

1 

B. m = C. m = 0 và m = 

4 

4 

D. m ∈∅ 

Trang168 


( C ) 

Trang169 

2 

2x 

+ mx − 2 

x = 1 

với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 

. Tìm m để đồ thị hàm số ( C ) có tiệm cận xiên tạo 

A. m = 6 và m = − 2 B. m = 2 và m = − 2 C. m = 6 và m = − 6 

2x 

−1 

Câu 46: Tìm giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 

x −1 

D. m ∈∅ 

A.( 1; 2 ) 

B.( 2;1 ) 

C.( 1;1 ) 

D.( 1;3 ) 

3x 

+ 5 


2x 

− 3 

có đường cong ( C ) . Khẳng định nào sau đây là đúng? 

3 

A.( C ) không tồn tại tiệm cận. B.( C ) có tiệm cận ngang là y = 

2 

2 

C.( C ) nhận y = là tiệm cận xiên. D.( C ) có hai đường tiệm cận đứng 

3 

1 

Câu 48: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = 2x 

+ 1− 

x 

A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 

2 

2x 

− 3x 

−1 

Câu 49: Tìm số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = 

x − 2 

A. y = 2x 

B. y = 2 

C. y = 2x 

− 3 D. y = 2x 

+ 1 

2 

x − 3x 

+ 4 

Câu 50: Tìm giao điểm của trục tung với tiệm cận xiên của đường cong y = 

2x 

+ 1 

⎛ 7 ⎞ 

A. ⎜0; 

− ⎟ 

⎝ 4 ⎠ 

⎛ 1 ⎞ 

B.( 0; 4 ) 

C.( 0; − 2) 

D. ⎜0; ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

3 3 

Câu 51: Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x − x 

A. y = x 

B. y = 2x 

C. y = 2x 

− 3 D. y = 1− 

x 

2 

2x − 3x + m + 1 

Câu 52: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 

không tồn 

x −1 

tại đường tiệm cận xiên. 

A. m = − 1. 

B. m = 0. 

C. m ≠ − 1. 

D. m = 3. 

3 

mx − 2 

Câu 53: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường cong y = có đúng hai tiệm 

2 

x − 3x 

+ 2 


cận đứng. 













1 

A. m∉ ⎧ ⎨2; ⎫ ⎬ 

⎩ 4 ⎭ 

Trang170 

1 

B. m ∉ ⎧ ⎨3; ⎫ ⎬ 

⎩ 2 ⎭ 

C. 1 

m ≠ − D. m ∉ { 2;1} 

2 

4x 

− m 

Câu 54: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường cong y = có đúng hai tiệm 

2 

x − 4x 

+ 3 

cận đứng. 

A. m∉ {4;36} B. m∉ {2;1} C. m∉ {3;4} D. m ≠ − 1 

Đáp án trắc nghiệm 

1-A 2-D 3-C 4-D 5-A 6-D 7-A 8-B 9-C 10-C 

11-D 12-D 13-C 14-D 15-B 16-B 17-D 18-C 19-C 20-A 

21-A 22-A 23-B 24-A 25-B 26-D 27-B 28- 29-A 30-B 

31-C 32-B 33-B 34-A 35-A 36-C 37-D 38-A 39-C 40-C 

41-C 42-C 43-C 44-C 45-A 46-A 47-B 48-A 49-D 50-A 

51-A 52-B 53-A 54-A 

Trang171 

Chủ đề 5: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3 


3 2 

1. Lý thuyết về đồ thị hàm số bậc 3: y = ax + bx + cx + d ( a ≠ 0) 

Dạng 1: Có 2 điểm cực trị (khi và chỉ khi y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt) 

(Hệ số a > 0; xCD < xCT 

) (Hệ số a < 0; xCD > xCT 

) 

Chú ý: Trong trường hợp hàm số bậc 3 có 2 điểm cực trị thì y > y . 

Dạng 2:Không có cực trị (khi và chỉ khi y ' = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ⇔ ∆ ' 

' 

≤ 0 ) 

(Hệ số a > 0 ) (Hệ số a < 0 ) 

Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm có tọa độ (0;c) 

Sự đối xứng của hai đồ thị hàm số. 

1. Đồ thị hàm số y = f ( x) 

và y = − f ( x) 

đối xứng nhau qua trục hoành: 

2 

2 

Ví dụ: +) Đồ thị các hàm số y = x và y = − x đối xứng nhau qua trục hoành. 

+) Đồ thị hàm số y = log3 

x và y = log 

1 

x = − log3 

x (phần loga chúng ta sẽ nghiên cứu) đối 

xứng nhau qua trục hoành. 


3 

CD 

CT 

y 













2. Đồ thị hàm số y = f ( x) 

và y = − f ( x) 

đối xứng nhau qua trục tung. 

2 

2 

Ví dụ 2: +) Đồ thị hàm số y = x + x và y = ( −x ) − x đối xứng nhau qua trục tung. 

+) Đồ thị hàm số y = 3 x 

− 

và y = 3 x đối xứng nhau qua trục tung. 

+) Đồ thị hàm số y = sin x và y = sin( − x) 

đối xứng nhau qua trục tung. 

2. Phương pháp giải: 

Để nhận diện đồ thị hàm số bậc 3 ta làm như sau: 

+) Dựa vào lim y để xác định hệ số a . 

Trang172 

x →+∞ 

Nếu a > 0 thì nhánh cuối đi lên x; y tiến về vô cùng. 

Nếu < 0 thì nhánh cuối đi xuống x → +∞ và y → −∞ . 

+) Dựa vào giao điểm với trục tung A(0; c ) suy ra tính chất của hệ số c. 

+) Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình y ' = 0. 

+) Dựa vào vị trí của các điểm cực trị, tọa độ các điểm cực trị và các điểm mà đề bài đã cho 

thuộc đồ thị hàm số. 


Ví dụ 1:[Đề minh họa THPT QG năm 2017]: Đường 

cong trong hình bên là đồ thị hàm số của một trong bốn 

hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. 

Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

2 

3 

A. y = − x + x − 1 B. y = − x + 3x 

+ 1 

4 2 

3 

C. y = x − x + 1 D. y = x − 3x 

+ 1 

Lời giải 

Do đồ thị hàm số có 2 cực trị nên ta dễ dàng loại A và C. 

Ta thấy rằng hàm số này có hệ số a > 0 vì lim = +∞ nên loại đáp án B. 

x→+∞ 

Chọn D 

Ví dụ 2:Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm 

số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, 

D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

2 

A. y = − x + 3x 

B. y = − x + 3x 

Trang173 

3 2 

3 2 

C. y = −x − 3x 

D. y = x − 3x 

Lời giải 

3 2 

Do đồ thị hàm số có 2 cực trị nên ta dễ dàng loại A. 

Đồ thị hàm số đã cho có hệ số a < 0 nên ta loại đáp án D. 














Mặt khác ở đáp án 

Trang174 

y x x 

3 2 

= − + 3 ta thấy 

2 ⎡x 

= 0 

y ' = − 3x + 6x 

⇔ ⎢ nên hàm số đạt cực trị tại 

⎣x 

= 2 

các điểm x = 0; x = 2 không thỏa mãn vì trong hình vẽ đồ thị hàm số đạt cực trị tại một điểm 

x = 0 và một điểm x < 0. 

Chọn C. 

Ví dụ 3:Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số 

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D 

dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

3 2 

3 2 

A. y = −2x − 3x 

− 1. B. y = − 2x + 3x 

− 1. 

3 2 

3 2 

C. y = −2x − 3x 

+ 1. D. y = 2x + 3x 

− 1. 

Lời giải 

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có dạng của hàm số bậc 3 có hệ số < 0 (loại D). 

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; c ) dựa vào đồ thị ta thấy rằng c < 0 (loại C). 

Lại có đồ thị hàm số đạt cực trị tại x = 0 và một điểm có hoành độ x < 0 . Do đó chỉ có đáp 

án A thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Chọn A. 




3 2 

3 

A. y = −2x − x + 2. B. y = −x − 3x 

+ 1. 

3 

3 

x 

x 

C. y = + x + 1. D. y = − x + 2. 

3 

3 

Lời giải 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy. Hàm số đã cho có hệ số a > 0 (loại đáp án A và B). 

Hàm số đã cho không có cực trị (loại đáp án D). 

Chọn C 




3 

3 2 

A. y = x − 3x 

− 1. B. y = x − 3x 

+ 1. 

3 

3 

C. y = x − 3x 

+ 1. D. y = −x − 3x 

+ 1. 

Lời giải 

Dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên loại A. 

Hàm số có hệ số a > 0 nên loại D. 

Hàm số có 2 điểm cực trị x1 < 0 < x2 

nên loại B. 

Chọn C 




3 2 

3 2 

A. y = −x − 3 x . B. y = x − 3x + 3 x. 

3 2 

3 2 

C. y = − x + 3x + 3 x. 

D. y = − x + 3x − 3 x. 

Lời giải 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, hàm số đã cho không có cực trị nên loại đáp án A và có hệ số 

a < 0 loại đáp án B. Hàm số 

loại đáp án C. 

Chọn D 

Trang175 

3 2 

y x 3x 3x 

= − + + có 

2 

y ' = − 3x + 6x 

+ 3 = 0 có 2 nghiệm nên 














Ví dụ 7:[Trích đề thi THPT QG năm 2017] Đường cong ở 

hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây? 

3 2 

4 2 

A. y = x − 3x 

+ 3. B. y = − x + 2x 

+ 1. 

4 2 

3 2 

C. y = x − 2x 

+ 1 D. y = − x + 3x 

+ 1. 

Lời giải 

Dựa vào đồ thị hàm số ta loại đáp án B và C, mặt khác lim 

x→+∞ 

= +∞ (loại D). 

Chọn A 

Ví dụ 8:[Trích đề thi THPT QG năm 2017] Đường cong ở 

hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây? 

3 

4 2 

A. y = x − 3x 

+ 2. B. y = x − x + 1. 

4 2 

3 

C. y = x + x + 1 D. y = − x + 3x 

+ 2. 

Lời giải 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy 

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị, lim = +∞ nên hệ số a > 0. 

x→+∞ 

Chọn A. 

3 2 

Ví dụ 9: Đâu là đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 1 trong các đồ thị sau: 

Trang176 

Lời giải 

Trang177 

A. B. 

C. D. 

3 2 

Hàm số y = x − 3x 

+ 1 có hệ số > 0 nên ta loại 2 đồ thị C và D 

Mặt khác hàm số này có 

2 ⎡x 

= 0 

y ' = 3x − 6x 

= 0 ⇔ ⎢ . Dựa vào đồ thị 2 hình A và B ta thấy 

⎣x 

= 2 

chỉ đáp án A thỏa mãn một cực trị x = 0 và một cực trị dương. 

Chọn A. 

3 

Ví dụ 10: Đâu là đồ thị hàm số y = − x + 3x 

− 2 trong các đồ thị sau: 

A. B. 














C. D. 

Lời giải 

3 2 


− 2 có hệ số a < 0 nên ta loại đáp án A. Hàm số có c = − 2 < 0 nên cắt 

trục tung tại điểm có tung độ âm (loại B). 

2 ⎡x 

= 1 

Mặt khác y ' = − 3x 

+ 3 = 0 ⇔ ⎢ nên đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị loại D. 

⎣x 

= −1 

Chọn C 

3 2 

Ví dụ 11: Cho đồ thị hàm số y = 2x − 3x + 1( C) 

như hình vẽ. 

3 3 2 

Giá trị của tham số m để phương trình x − x + 2m 

+ 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt là: 

2 

⎡ 1 

⎡ 1 

A. 1 ≥ m ≥ 1 . B. 1 1 ⎢ 

m = 

2 ⎢ 

m > 

2 

> m > . C. ⎢ . 

D. ⎢ . 

4 2 

4 2 

⎢ 1 

1 

m = 

⎢ m < 

⎢⎣ 4 

⎢⎣ 4 

Lời giải 

3 2 3 2 

Ta có PT ⇔ 2x − 3x + 4m + 2 = 0 ⇔ 2x − 3x + 1= −4m 

− 1 (1). 

Trang178 

Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = −4m 

− 1 (đường thẳng này 

song song với trục Ox). 

1 1 

Để PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì 0 < −4m 

− 1 < 1 ⇔ > m > . 

4 2 

Chọn B. 

3 2 

Ví dụ 12: Cho đồ thị hàm số y − − x + 3x 

+ 1 (C) như hình vẽ. 

3 2 

Giá trị của tham số m để phương trình 2x − 6x + m − 2 = 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt là: 

⎡m 

= 4 

A. ⎢ 

⎣m 

= 1 

Lời giải 

Trang179 

⎡m 

= 10 

B. ⎢ 

⎣m 

= 5 

⎡m 

> 4 

C. ⎢ 

⎣m 

< 1 

⎡m 

= 8 

D. ⎢ 

⎣m 

= 2 

3 2 m m 3 2 

m 

Ta có: PT ⇔ x − 3x + − 1 = 0 ⇔ = − x + 3x 

+ 1 và đường thẳng d : y = 

2 2 

2 

⎡m 

⎢ 

= 4 

2 ⎡m 

= 8 

Dựa vào đồ thị ta thấy: PT đã cho có 2 nghiệm ⇔ ⎢ ⇔ . 

m 

⎢ 

⎢ m = 2 

= 1 ⎣ 

⎢⎣ 2 

Chọn D. 

3 

Ví dụ 13: Cho đồ thị hàm số y = x − 3x 















Giá trị của tham số m để phương trình 

Trang180 

3 

x 3x 2 m 

− + = có 4 nghiệm phân biệt là: 

A. 0 < m < 4. 

B. 0 ≤ m ≤ 4. 

C. 0 < m ≤ 4. 

D. Không tồn tại m. 

Lời giải 

3 3 

⎧ 

3 ⎪x − 3x + 2 khi x − 3x 

+ 2 ≥ 0 

Xét hàm số y = x − 3x + 2 = ⎨ ( C 

3 3 

1) 

⎪ ⎩ − ( x − 3x + 2) khi x − 3x 

+ 2 < 0 

Do vậy ( C 

1) 

gồm 2 phần 

Phần 1: Là phần của (C) nằm bên trên trục Ox. 

Phần 2: Là lấy đối xứng của (C) nằm dưới Ox qua Ox. 

Dựa vào đồ thị ta thấy PT đã cho có 4 nghiệm ⇔ 0 < m < 4. 

Chọn A. 

3 2 

Ví dụ 14: Cho hàm số y = x − 3x 


Giá trị của tham số m để phương trình 

Trang181 

3 2 

x x m 

A. 0 < m < 2. 

B. − 1 < m < 1. 

− 3 + 2 = 2 + 1 có 6 nghiệm phân biệt là: 

1 1 

C. − < m < . 

D. − 1 < m < 3. 

2 2 

Lời giải 

3 2 3 2 

⎧ 

3 2 ⎪x − 3x + 2 khi x − 3x 

+ 2 ≥ 0 

Đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 2 = ⎨ 

3 2 3 2 

⎪ ⎩ − ( x − 3x + 2) khi x − 3x 

+ 2 < 0 

Gồm 2 phần: 

Phần 1: Là phần của (C) nằm trên trục Ox. 

Phần 2: Lấy phần đối xứng của (C) nằm dưới Ox qua trục Ox ta được đồ thị như hình vẽ. 

1 1 

Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì 0 < 2m 

+ 1 < 2 ⇔ − < m < . 

2 2 

Chọn C. 

3 2 

Ví dụ 15: Cho đồ thị hàm số y = 2x − 3x 

+ 1 như hình vẽ. 














3 2 

Giá trị của tham số m để phương trình 2 x − 3x + 2m 

− 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt là: 

1 1 1 1 

A. m = . 

B. m > . 

C. m < . 

D. 0 < m < . 

2 

2 

2 

2 

Lời giải 

3 2 

3 2 

Xét y = 2x − 3x + 1 = f ( x). 

Ta có: PT ⇔ 2 x − 3 x + 1 = 2 − 2 m. 

3 2 

⎧ f ( x) khi x ≥ 0 

Xét hàm số y = 2 x − 3 x + 1 = f ( x ) = ⎨ 

( C1). 

⎩ f ( − x) khi x < 0 

Do vậy ( C 

1) 

gồm 2 phần: 

Phần 1: Là phần của (C) ứng với miền x ≥ 0 

Phần 2: Ta thấy hàm số y = f ( x ) là hàm số chẵn nên nhận trục tung là trục đối xứng 

Do vậy phần 2 ta lấy đối xứng phần 1 qua Oy 

Ta được đồ thị như hình vẽ. 

3 2 

1 

Từ đó suy ra PT ⇔ 2 x − 3 x + 1= 2 − 2m 

có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 2 − 2m 

> 1 ⇔ m < . 

2 

Chọn C. 

Trang182 


Câu 1: Bảng biến thiên ở bên là của hàm số nào? 

x −∞ 1 +∞ 

y ' 

+ + 

y 

Trang183 

−∞ 

3 2 

3 2 

A. y = x − 3x + 3 x. 

B. y = − x + 3x − 3 x. 

3 2 

3 2 

C. y = x + 3x − 3 x. 

D. y = −x − 3x − 3 x. 


x −∞ 0 2 +∞ 

y ' 

- + - 

y 

+∞ 3 

-1 −∞ 

3 2 

3 2 

A. y = x − 3x 

− 1. 

B. y = − x + 3x 

− 1. 

3 2 

3 2 

C. y = x + 3x 

− 1. 

D. y = −x − 3x 

− 1. 


xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên dưới đây 

x −∞ 0 1 +∞ 

y ' 

+ - 0 + 

y 

0 +∞ 

−∞ -1 


A. Hàm số có đùng một cực trị. 

B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1. 

C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. 

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1. 

3 2 

Câu 4: Cho hàm số y = ax + bx + cx + 1 có bảng biến thiên dưới đây: 


1 

+∞ 













Trang184 

x −∞ 0 

1 

x 

2 

x +∞ 

y ' 

- - 0 + 0 - 

y 


A. b < 0, c < 0. B. b > 0, c > 0. C. b > 0, c < 0. D. b < 0, c > 0. 

Câu 5: Đồ thị hình bên là của hàm số nào? 

3 

A. y = x + 3 x. 

3 

B. y = x − 3 x. 

3 

C. y = − x + 2 x. 

3 

D. y = −x − 2 x. 


3 

A. y = − x + 1. 

3 2 

B. y = − 2 x + x . 

3 

C. y = 3x 

+ 1. 

3 

D. y = − 4x 

+ 1. 


3 

A. y = x − 3 x. 

3 

B. y = −x − 3 x. 

3 

C. y = − x + 3x 

+ 1. 

3 

D. y = x − 3x 

+ 1. 


1 3 2 

1 3 2 

A. y = x − x + x. 

B. y = x − x + x − 1. 

3 

3 

3 2 

3 2 

C. y = − x + 3x − 3 x. 

D. y = x − 3x + 3x 

− 2. 


3 2 

A. y = x − 3x − 3x 

+ 1. 

3 2 

B. y = − x + 3x 

+ 1. 

3 

C. y = x − 3x 

+ 1. 

3 2 


D. y = −x − 3x 

− 1. 

3 2 

3 2 

A. y = 2x + 3x 

+ 1. B. y = 2x − 3x 

+ 1. 

3 2 

3 2 

C. y = −2x − 3x 

+ 1. D. y = − 2x + 3x 

+ 1. 

3 2 

Câu 11: Đồ thị hàm số y = −x − 3x 

+ 2 có dạng 

Trang185 














A. B. 

C. D. 

3 

Câu 12: Đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 2 có dạng 

Trang186 

A. B. 

Câu 13: Đồ thị hàm số 

Trang187 

C. D. 

3 2 

y ax bx cx d 

hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây đúng? 

A. a < 0; b > 0; c > 0; d > 0 

B. a < 0; b < 0; c > 0; d > 0 

C. a < 0; b < 0; c > 0; d > 0 

D. a < 0; b > 0; c < 0; d > 0 


= + + + có đồ thị như 

3 2 

y ax bx cx d 

hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây đúng? 


A. a, b, c < 0; d > 0. B. a, b, d < 0; c > 0. 

C. a, c, d < 0; b < 0. D. a, d > 0; b, c < 0. 


có đồ thị hàm số y = f '( x) 

cắt trục Ox tại ba điểm có hoành độ như hình vẽ bên. Mệnh 

đề nào dưới đây đúng? 

A. f ( c) > f ( a) > f ( b). 

B. f ( c) > f ( b) > f ( a). 

C. f ( a) > f ( b) > f ( c). 

D. f ( b) > f ( a) > f ( c). 


3 2 

y ax bx cx d 

hình vẽ sau. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. b < 0; cd < 0. B. b > 0; cd < 0. 

C. b < 0; cd > 0. D. b > 0; cd > 0. 
















Trang188 

3 2 

y ax bx cx d 


A. a < 0, b < 0, c = 0, d > 0. 

B. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0. 

C. a < 0, b > 0, c > 0, d > 0. 

D. a > 0, b < 0, c = 0, d > 0. 



3 2 

y ax bx cx d 


A. a > 0, b > 0, c = 0, d < 0. 

B. a > 0, b > 0, c = 0, d > 0. 

C. a > 0, b > 0, c > 0, d > 0. 

D. a > 0, b < 0, c = 0, d < 0. 



3 2 

y ax bx cx d 


A. a < 0, b > 0, c > 0, d > 0. 

B. a < 0, b < 0, c = 0, d > 0. 

C. a > 0, b < 0, c > 0, d > 0. 

D. a < 0, b > 0, c = 0, d > 0. 



3 2 

y ax bx cx d 



A. a, d > 0; b, c < 0. B. a, b, c < 0; d > 0. 

C. a, c, d > 0; b < 0. D. a, b, d > 0; c < 0. 


hình bên. Hỏi phương trình 

nhiêu nghiệm? 

3 2 

y ax bx cx d 

A. Phương trình không có nghiệm. 


3 2 

ax bx cx d 

B. Phương trình có đúng một nghiệm. 

C. Phương trình có đúng hai nghiệm. 

+ + + − 1= 0 có bao 

D. Phương trình có đúng ba nghiệm. 

3 2 

Câu 22: Cho hàm số y = ax + bx + cx + d có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. 

Trang189 

x −∞ 0 2 +∞ 

y ' 

+ 0 - 0 + 

y 

4 +∞ 

−∞ 0 

Khẳng định nào sau đây là sai? 

A. Hàm số có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = 2. 

B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4. 

C. Giá trị cực tiểu của hàm số là y = 0. 

D. Hàm số có a > 0; c = 0. 

Câu 23: Cho đồ thị hàm số 

bên. Khẳng định nào sau đây đúng. 

A. a < 0; b > 0; c > 0; d > 0. 

B. a < 0; b < 0; c > 0; d > 0. 

C. a < 0; b > 0; c < 0; d > 0. 

D. a < 0; b < 0; c < 0; d > 0. 

Câu 24: Cho đồ thị hàm số 

bên. Khẳng định nào sau đây đúng. 

A. a > 0; b > 0; c > 0; d > 0. 

B. a < 0; b < 0; c > 0; d > 0. 

C. a < 0; b > 0; c < 0; d > 0. 

D. a < 0; b < 0; c < 0; d > 0. 


CT 

3 2 

y ax bx cx d 

= + + + như hình vẽ 

3 2 

y ax bx cx d 

= + + + như hình vẽ 

3 2 

f ( x) 

ax bx cx d 

= + + + có đồ thị hàm số 

f '( x ) như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai. 

A. Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 1. 

B. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị. 

C. f (0) > f (1) > f (2). 

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;2). 














3 2 

Câu 26: Cho đồ thị hàm số y = − x + ax + bx + c ( a, b, c ∈ R ) có 

đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tìm khẳng định sai? 

2 2 2 

A. a + b + c + 2abc 

= 117. B. b 

C. c 

2 

Trang190 

+ 100bc 

> 1. D. a 

2 

10 

+ abc ≠ 0. 

+ 4b 

≥ 0. 

3 2 

Câu 27: Cho đồ thị hàm số y = − x + ax + bx + c ( a, b, c ∈ R ) có 

đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tìm khẳng định đúng? 

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) và (4; +∞ ) 

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; x = − 2. 

C. Với c∈[ − 1;2] thì f ( − 1) < f ( c) < f (2). 

D. min y + max y = 0 

x∈[0;2] x∈[ −1;2] 

Câu 28: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = f ( x). 

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 

A. Đồ thị của hàm số y = f ( x) 

có trục đối xứng là trục hoành. 

B. Phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt khi m = 2 

hoặc m = − 2. 

C. Hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên khoảng (0;2). 

D. Đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị. 

Câu 29: Cho hàm số bậc ba có bảng biến như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là 

đúng? 

x −∞ -2 0 +∞ 

y ' 

+ 0 - 0 + 

y 

2 +∞ 

−∞ -1 

A. Hàm số đạt cực tiểu tại x = − 1 và đạt cực đại tại x = 3 . 

B. Giá trị cực đại của hàm số là -2. 

C. Giá trị cực tiểu của hàm số là 0. 

D. Hàm số đạt cực đại tại x = − 2 và đạt cực tiểu tại x = 0 . 


thiên như hình vẽ 

Trang191 

3 2 

y f x x ax bx c 

= ( ) = − + + + xác định, liên tục trên R và bảng biến 

x −∞ -3 1 +∞ 

y ' 

- 0 + 0 - 

y 

+∞ 9 

Tính giá trị của biểu thức T = f (2) + 2. f (0). 

-23 −∞ 

A. 6 B. 10 C. 12 D. 8 

Đáp án 

1-A 2-A 3-D 4-C 5-B 6-A 7-D 8-A 9-A 10-A 

11-C 12-D 13-A 14-D 15-A 16-D 17-A 18-A 19-D 20-D 

21-C 22-B 23-B 24-B 25-C 26-C 27-D 28-A 29-D 30-B 

Chủ đề 6: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 


4 2 

Xét hàm trùng phương y = ax + bx + c ( a ≠ 0) . 

• Cực trị 

⎡x 

= 0 

3 2 

Đạo hàm y ' = 4ax + 2bx = 2 x(2 ax + b) 

nên y ' = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ 

2 b 

x = − 

⎣ 2a 

+) Với ab ≥ 0 thì hàm số có một cực trị x 

0 

= 0. 

b 

+) Với ab < 0 thì hàm số có 3 cực trị x0 = 0, x1,2 

= ± − . 

2a 

• Giới hạn 

+) Với a > 0 thì lim y = +∞ 

x →±∞ 

+) Với a < 0 thì lim y = −∞ 

• Bảng biến thiên 

x →±∞ 

a > 0, b ≥ 0 

a < 0, b ≤ 0 














x −∞ 0 +∞ 

y ' 

- 0 + 

y 

Trang192 

+∞ +∞ 

CT 

x −∞ x 0 

1 

x 

2 

+∞ 

y ' - 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ CĐ +∞ 

• Đồ thị 

a > 0 

a < 0 

CT CT 

+ Đồ thị hàm số luôn nhận Oy là trục đối xứng. 


x −∞ 0 +∞ 

y ' + 0 - 

y 

CĐ 

−∞ −∞ 

a > 0, b < 0 

a < 0, b > 0 

x −∞ x 0 

1 

x 

2 

+∞ 

y ' + 0 - 0 + 0 - 

y 

CĐ CĐ 

−∞ CT −∞ 

ab ≥ 0 

ab < 0 



Hỏi hàm số y = f ( x) 

có thể là? 

Trang193 

x −∞ 0 +∞ 

y ' 

- 0 + 

y 

+∞ +∞ 

4 2 

4 2 

A. y = −x − 4x 

+ 2. 

B. y = x − 4x 

+ 2. 

4 2 

4 2 

C. y = − x + 4x 

+ 2. 

D. y = x + 4x 

+ 2. 

Lời giải 

Ta có lim y = +∞ ⇒ a > 0 ⇒ Loại A và C. 

x→±∞ 

Từ bảng biến thiên ⇒ hàm số có một cực trị. 

4 2 

4 2 


+ 2 có ab = − 4 < 0 ⇒ y = x − 4x 

+ 2 có ba cực trị. 

4 2 

4 2 

Hàm số y = x + 4x 

+ 2 có ab = 4 > 0 ⇒ y = x + 4x 

+ 2 có một cực trị. 

Chọn D 



Hỏi hàm số y = f ( x) 

có thể là? 

Lời giải 

x −∞ 0 +∞ 

y ' + 0 - 

y 

2 

4 

−∞ −∞ 

4 2 

4 2 

A. y = − x + 4x 

+ 4. 

B. y = x − 4x 

+ 4. 

4 2 

4 2 

C. y = −x − 4x 

+ 4. 

D. y = x + 4x 

+ 4. 

Ta có lim y = −∞ ⇒ a < 0 ⇒ Loại B và D. 

x→±∞ 


4 2 

4 2 


+ 4 có ab = − 4 < 0 ⇒ y = − x + 4x 


4 2 

4 2 

Hàm số y = −x − 4x 

+ 4 có ab = 4 > 0 ⇒ y = −x − 4x 


Chọn C. 
















Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

Trang194 

x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' 

- 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ 5 +∞ 

4 4 

4 2 

4 2 

A. y = x + 2x 

+ 5 

B. y = − x + 2x 

+ 5 

4 2 

4 2 

C. y = x − 2x 

+ 5 

D. y = −x − 2x 

+ 5 

Lời giải 

Ta có lim y = +∞ ⇒ a > 0 ⇒ Loại B và D. 

x→±∞ 


4 2 

4 2 

Hàm số y = x + 2x 

+ 5 có ab = 2 > 0 ⇒ y = x + 2x 


4 2 

4 2 


+ 5 có ab = − 2 < 0 ⇒ y = x − 2x 


Chọn C. 



x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' 

- 0 + 0 - 0 + 


y 

+∞ 5 +∞ 

4 4 

4 2 

4 2 

A. y = 3x − 4x 

+ 5 

B. y = − x + 2x 

+ 5 

4 2 

4 2 

C. y = x − 2x 

+ 5 

D. y = −x − 2x 

+ 5 

Lời giải 

Ta có lim y = +∞ ⇒ a > 0 ⇒ Loại B và D. 

x→±∞ 

Hàm số đạt cực trị tại x = 0, x = ± 1. 

4 2 3 

Từ y = 3x − 4x + 5 ⇒ y ' = 12x − 8 x ⇒ y '(1) = 4 ≠ 0 ⇒ Loại A. 

Đến đây, ta chọn ngay được C là đáp án đúng. 

Nếu dùng điều kiện y ( ± 1) = 4 để loại A thì ta sẽ “thất bại” bởi với hàm số 

thì ta có y ( ± 1) = 4. 

y = x − x + 

4 2 

3 4 5 

4 2 3 ⎡x 

= 0 

Từ y = x − 2x + 5 ⇒ y ' = 4x − 4x 

= 0 ⇒ ⎢ ⇒ Đáp án đúng C. 

⎣x 

= ± 1 

Chọn C. 




Trang195 

x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' 

- 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ 5 +∞ 

4 4 

4 2 

4 2 

A. y = x − 2x 

+ 4 

B. y = x − 2x 

+ 5 

4 2 

4 2 

C. y = − x + 2x 

+ 5 

D. y = −x − 2x 

+ 5 

Lời giải 

Ta có lim y = +∞ ⇒ a > 0 ⇒ Loại C và D. 

x→±∞ 

Hơn nữa y (0) = 5 ⇒ Loại A 

Ta cũng có thể loạiA bằng cách sử dụng điều kiện y ( ± 1) = 4 . 

Chọn B 




x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' 

- 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ 5 +∞ 

4 4 

1 4 2 

4 2 

A. y = x − x + 5 

B. y = x − 2x 

+ 5 

2 

4 2 

4 2 

C. y = − x + 2x 

+ 5 

D. y = −x − 2x 

+ 5 

Lời giải 


x→±∞ 

Hơn nữa y (1) = 4 ⇒ Loại A. 

Chọn B. 

















Trang196 

x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' 

- 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ 5 +∞ 

4 4 

4 2 

1 4 2 

A. y = x − 2x 

+ 5 

B. y = x − x + 5 

2 

4 2 

4 2 

C. y = x − 4x 

+ 5 

D. y = −x − 2x 

+ 5 

Lời giải 

Ta có y (1) = 4 ⇒ Loại B,C,D. 

Chọn A. 




x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' 

- 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ 5 +∞ 

4 4 

4 2 

1 4 2 

A. y = x − 2x 

+ 5 

B. y = x − x + 5 

2 

4 2 

4 2 

C. y = x − 4x 

+ 5 

D. y = −x − 2x 

+ 5 

Lời giải 

Ta có lim y = −∞ ⇒ a < 0 ⇒ Loại A. 

x→±∞ 

Lại có y ( ± 1) = 6 ⇒ Loại C 

Hàm số đạt cực trị tại x = 0, x = ± 1. 

4 2 3 

Từ y = − 2x + 3x + 5 ⇒ y ' = − 8x + 6 x ⇒ y '(1) = −2 ≠ 0 ⇒ Loại B 

Đến đây, ta chọn ngay được D là đáp án đúng. 

4 2 3 ⎡x 

= 0 

Từ y = − x + 2x + 5 ⇒ y ' = − 4x + 4x 

= 0 ⇔ ⎢ ⇒ Đáp án đúng D 

⎣x 

= ± 1 

Chọn D. 

Ví dụ 9: Đường cong như hình bên là đồ hị của một hàm 

số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, 

C, D dưới đây.Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

4 

4 2 

A. y = − x + 1 B. y = − x + 2x 

+ 1 

4 

4 2 

C. y = x + 1 D. y = x − 2x 

+ 1 

Lời giải 

Đồ thị của bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D đều đã đi qua điểm (0;1). 

Ta có lim y = +∞ ⇒ a > 0 ⇒ Loại A và B. 

x→+∞ 

Đồ thị hàm số cần tìm không cắt trục hoành, điều này có nghĩa là phương trình hoành độ giao 

điểm vô nghiệm. 

4 

4 

Đồ thị hàm số y = x + 1 không cắt trục hoành vì x + 1= 0 vô nghiệm. 

4 2 

4 2 2 

Đồ thị hàm số y = x − 2x 

+ 1 cắt trục hoành vì x − 2x + 1= 0 ⇔ x = 1⇔ x = ± 1. 

Chọn C. 

Ví dụ 10: Đường cong như hình bên là đồ hị của một 

hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án 

A, B, C, D dưới đây.Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

4 2 

4 

A. y = −x − 2x 

+ 3 B. y = − 4x 

+ 3 

4 2 

4 

C. y = x − 5x 

+ 3 D. y = − x + 3 

Lời giải 


Ta có lim y = −∞ ⇒ a < 0 ⇒ Loại C. 

x→+∞ 

Đồ thị hàm số cần tìm cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. 

2 

⎡ x = 1 

4 2 

Ta có −x − 2x + 3 = 0 ⇔ ⎢ ⇔ x = ± 1⇒ 

Loại A. 

2 

⎣x 

= −3 

4 2 

− 4x + 3 = 0 ⇔ x = ⇔ x = ± 4 mà 3 1 

Trang197 

3 3 

4 4 

< ⇒ Loại B. 

4 














Đến đây, ta chọn được ngay D là đáp án đúng. 

4 2 4 

Ta có − x + 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = ± 3 thỏa mãn. 

Chọn D. 

Ví dụ 11: Đường cong như hình bên là đồ hị của một 

hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án 

A, B, C, D dưới đây.Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

4 2 

4 2 

A. y = x − 4x 

+ 4 B. y = x − 5x 

+ 4 

4 2 

4 2 

C. y = − x + 4x 

+ 4 D. y = − x + 5x 

+ 4 

Lời giải 



x→+∞ 

Đồ thị hàm số cần tìm cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt. 

4 2 2 2 

Ta có x − 4x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2) = 0 ⇔ x = ± 2. 

Lại có x 

4 2 

Trang198 

2 

⎡ x = x = ± 

1 ⎡ 1 

− 5x 

+ 4 = 0 ⇔ ⎢ ⇔ 

2 ⎢ ⇒ Loại B. 

⎣x 

= 4 ⎣x 

= ± 2 

Chọn A. 

Ví dụ 12: Đường cong như hình bên là đồ hị của một hàm 

số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, 

D dưới đây.Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

4 2 

A. y = − x + 4x 

B. y = x − 4x 

4 2 

4 2 

C. y = − x + 3x 

D. y = − x + 2x 

4 2 

Lời giải 


Ta có lim y = −∞ ⇒ a < 0 ⇒ Loại B. 

x→+∞ 

Hàm số đạt cực tiểu tại x = x1 ∈( −2; − 1), x = x2 

∈ (1;2) và y( x1 

) ∈ (2;3). 

⎡x 

= 0 

4 2 3 2 ⎢ 

+ Với y = − x + 4 x ⇒ y ' = − 4x + 8x = −4 x( x − 2) = 0 ⇔ ⎢x 

= − 2 ∈( −2; −1) 

⎢ 

⎣x 

= 2 ∈ (1;2) 

Mà y( − 2) = − 4 + 8 = 4 ∉(2;3) 

⇒ Loại A. 

⎡ 

⎢ x = 0 

⎢ 

4 2 3 2 ⎢ 3 

+) Với y = − x + 3 x ⇒ y ' = − 4x + 6x = −2 x(2x − 3) = 0 ⇔ ⎢x 

= − ∈( −2; −1) 

2 

⎢ 

⎢ 3 

⎢x 

= ∈(1;2) 

⎣ 2 

3 9 

Mà y ⎛ − ⎞ 

= ∈ (2;3) ⇒ C đúng. 

⎜ 2 ⎟ 

⎝ ⎠ 4 

Đến đây ta chọn được ngay C là đáp án đúng. 

⎡x 

= 0 

4 2 3 

+ Với y = − x + 2 x ⇒ y ' = − 4x + 4x = 0 ⇔ 

⎢ 

x = −1 ∉ ( −2; −1) 

⇒ Loại D. 

⎢ 

⎢ ⎣x 

= 1 ∉ (1;2) 

Chọn C. 


Trang199 

4 2 

y ax bx c 

hình vẽ bên.Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. a < 0, b > 0, c < 0. 

B. a > 0, b < 0, c > 0. 

C. a > 0, b < 0, c < 0. 

D. a < 0, b > 0, c > 0. 

Lời giải 

Ta có y(0) > 0 ⇒ c > 0. 

Lại có lim y = −∞ ⇒ a < 0 

x→+∞ 

= + + có đồ thị như 

3 2 

b 

Đạo hàm y ' = 4ax + 2bx = 2 x(2 ax + b) = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên − > 0 

2a 

Mà a < 0 ⇒ b > 0. 


Chọn D. 














Trang200 

4 2 

y ax bx c 

hình vẽ bên.Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. a < 0, b > 0, c > 0. 

B. a > 0, b < 0, c < 0. 

C. a > 0, b > 0, c < 0. 

D. a < 0, b > 0, c < 0. 

Lời giải 

Ta có y(0) < 0 ⇒ c < 0. 

Lại có lim y = +∞ ⇒ a > 0 

x→+∞ 

= + + có đồ thị như 

3 2 

b 

Đạo hàm y ' = 4ax + 2bx = 2 x(2 ax + b) = 0 có 3 nghiệm phân biệt nên − > 0 

2a 

Mà a > 0 ⇒ b < 0. 

Chọn B. 


Câu 1: Bảng biến thiên ở bên là của hàm 

số nào? 

4 2 

A. y = x − 3x 

− 3 

1 4 2 

B. y = − x + 3x 

− 3 

4 

4 2 

C. y = x − 2x 

− 3 

4 2 

D. y = x + 2x 

− 3 


số nào? 

4 2 

A. y = x − 3x 

+ 1 

4 2 

B. y = − x + 3x 

+ 1 

4 2 

C. y = x + 3x 

− 1 

4 2 

D. y = −x − 3x 

+ 1 


x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' - 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ -3 +∞ 

-4 -4 

x −∞ 0 +∞ 

y ' 

- 0 + 

y 

+∞ +∞ 

-1 

số nào? 

4 2 

A. y = −x −3x 

− 3 

4 2 

B. y = x − x − 3 

4 2 

C. y = x − 2x 

− 3 

4 2 

D. y = x + 2x 

− 3 

Trang201 

x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' - 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ -3 +∞ 

-4 -4 


liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: 


x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' - 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ -3 +∞ 

-4 -4 

A. Hàm số có hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại. 

B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng -4. 

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (1;2) 

D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng -3. 


4 2 

A. y = − x + 3x 

+ 1 

4 2 

B. y = x − 2x 

+ 1 

4 2 

C. y = − x + 2x 

+ 1 

4 2 

D. y = x + 3x 

+ 1 


A. y = x + 2x 

4 2 

B. y = x − 2x 

4 2 

C. y = − x + 2x 

4 2 

D. y = −x − 2x 


4 2 















4 2 

A. y = − x + 4x 

− 1 

4 2 

B. y = x − 2x 

− 1 

4 2 

C. y = x − 2x 

+ 1 

4 2 

D. y = x − 4x 

− 1 


4 2 

A. y = x + 2x 

− 1 

4 2 

B. y = −x − 2x 

− 1 

4 2 

C. y = x + 2x 

+ 1 

4 2 

D. y = x + 2x 

− 1 


4 2 

A. y = x − 3x 

− 3 

1 4 2 

B. y = − x + 3x 

− 3 

4 

4 2 

C. y = x − 2x 

− 3 

4 2 

D. y = x + 2x 

− 3 


A. y = x − 3x 

Trang202 

4 2 

1 

B. y = − x + 3x 

4 

4 2 

C. y = −x − 2x 

4 2 

D. y = − x + 4x 

4 2 

4 2 

A. y = x − 3x 

− 1 

1 4 2 

B. y = − x + 3x 

− 1 

4 

4 2 

C. y = x + 2x 

− 1 

4 2 

D. y = x − 2x 

− 1 

Câu 12: Đồ thị hàm số 

Trang203 

4 2 

y ax bx c 

bốn điểm A, B, C, D phân biệt như hình vẽ 

2 

A. a > 0, b < 0, c > 0, 100b = 9 ac. 

2 

B. a > 0, b > 0, c > 0, 9b = 100 ac. 

2 

C. a > 0, b < 0, c > 0, 9b = 100 ac. 

2 

D. a > 0, b > 0, c > 0, 100b = 9 ac. 

Câu 13: Biết rằng hàm số 

= + + cắt trục hoành tại 

4 2 

y f x ax bx c 

= ( ) = + + có đồ thị 

là đường cong hình vẽ bên. Tính giá trị f ( a + b + c). 

A. f ( a + b + c) = − 1. 

B. f ( a + b + c) = 2. 

C. f ( a + b + c) = − 2. 

D. f ( a + b + c) = 1. 

4 2 

Câu 14: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị như hình vẽ 

bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. a > 0, b < 0, c < 0. 

B. a < 0, b > 0, c < 0 

C. a > 0, b > 0, c > 0 

D. a > 0, b < 0, c < 0 














4 2 



A. a > 0, b < 0, c < 0. 

B. a < 0, b > 0, c > 0 

C. a > 0, b > 0, c > 0 

D. a > 0, b < 0, c > 0 

4 2 



A. a < 0, b ≤ 0, c > 0. 

B. a < 0, b < 0, c < 0. 

C. a > 0, b > 0, c > 0. 

D. a < 0, b > 0, c ≥ 0. 


liên tục trên R và có đồ thị 

(C) như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

A. Đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân 

B. Giá trị lớn nhất của hàm số là 4. 

C. Tổng các giá trị cực trị của hàm số bằng 7. 

D. Đồ thị (C) không có điểm cực đại nhưng có hai điểm 

cực tiểu là (-1;3) và (1;3). 


có đồ thị như hình bên. Tìm tất 

cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 

f ( x) = m+ 2 có bốn nghiệm phân biệt. 

A. − 4 < m < − 3. 

B. −4 ≤ m ≤ − 3. 

C. −6 ≤ m ≤ − 5. 

D. − 6 < m < − 5. 

Trang204 

4 2 


bên. Khẳng đinh nào sau đây là đúng? 

A. a > 0, b < 0, c > 0. 

B. a < 0, b < 0, c > 0. 

C. a < 0, b > 0, c > 0. 

D. a < 0, b > 0, c < 0. 

4 2 


= ax + bx + c có bảng biến thiên như sau: 


Trang205 

x −∞ -2 0 2 +∞ 

y ' 

- 0 + 0 - 0 + 

y 

4 4 

−∞ 0 −∞ 

A. Giá trị lớn nhất của hàm số trên R bằng 4. 

B. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu. 

C. Đồ thị hàm số nhận trục Oy là trục đối xứng. 

D. Biểu thức ab( c + 1) nhận giá trị dương. 

4 2 


bên. Khẳng đinh nào sau đây là đúng? 

2 

A. a > 0, b > 0, c > 0, b = 4 ac. 

2 

B. a > 0, b < 0, c > 0, b = 4 ac. 

2 

C. a > 0, b > 0, c > 0, b > 4 ac. 

2 

D. a > 0, b < 0, c > 0, b < 4 ac. 

Câu 22: Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số 

Giá trị của biểu thức 

trong các giá trị sau? 

A a b c 

A. A = 24. 

B. A = 20. 

C. A = 18. 

D. A = 6. 


4 2 

y f ( x) 

ax bx c 

= = + + có bảng biến 

4 2 

y ax bx c 

= + + . 

2 2 2 

= + + có thể nhận giá trị nào 














thiên như hình bên. Tính giá trị của biểu 

thức P = a + 2b + 3 c. 

A. P = − 15. B. P = 15. 

C. P = − 8. 

D. P = 8. 


liên tục trên R và có đồ thị 

như hình bên. Xét các mệnh đề sau: 

(I). Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1). 

(II). Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;2). 

(III). Hàm số có ba điểm cực trị. 

(IV). Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2. 

A. 1 B. 2 

C. 3 D. 4 

Trang206 

x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' - 0 + 0 - 0 + 

y 

+∞ -3 +∞ 

-5 -5 


liên tục trên R và có bảng biến thiên như sau: 

x −∞ -1 0 1 +∞ 

y ' 

+ 0 - 0 + 0 - 

y 

0 0 

−∞ -3 −∞ 

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình f ( x) = 2m 

có đúng hai nghiệm phân biệt. 

⎡m 

= 0 

A. ⎢ 

⎣m 

< −3 

⎡m 

= 0 

B. m < − 3 

C. ⎢ 

⎢ 

3 

m < − 

⎣ 2 

Đáp án 

3 

D. m < − 

2 

1-C 2-C 3-C 4-D 5-C 6-B 7-D 8-D 9-C 10-D 

11-C 12-C 13-A 14-B 15-D 16-A 17-A 18-D 19-C 20-D 

21-B 22-C 23-A 24-B 25-C 

Chủ đề 7: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC 1 

I. LÝ TUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 

ax + b 

1. Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y = với c ≠ 0, ad −bc 

≠ 0. 

cx + d 

⎧ d ⎫ 

• Miền xác định D = R \ ⎨− 

⎬. 

⎩ c ⎭ 

• Đạo hàm ' ad − 

y = bc , ∀x 

≠ − 

d suy ra 

cx + d c 

- Nếu ad − bc > 0 ⎯⎯→ hàm số đồng biến trên D. 

- Nếu ad − bc < 0 ⎯⎯→ hàm số nghịch biến trên D. 

• Giới hạn, tiệm cận 

ax + b a a 

- lim y = lim = ⎯⎯→ y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 

x→∞ 

x→∞ 

cx + d c c 

ax + b d 

- lim y = lim = ∞ ⎯⎯→ y = − là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

d 

d 

x→− 

x→− 

cx + d c 

• Đồ thị hàm số 

Trang207 

c 

c 

ad − cb > 0 

ad − cb < 0 

2.Đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối y = f ( x) , đồ thị ( 

1) 

C hoặc y f ( x ) 

= , đồ thị ( C 

2 

) 

• Đồ thị hàm số y = f ( x) 

.Từ đồ thị y = f ( x) 

, vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) 

. 

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm trên Ox của (C) ta được ( C 

1) 

. 

- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm dưới Ox của (C) qua Ox và bỏ phần phía dưới Ox, 

ta được ( C 

2 

) . 

- Suy ra đồ thị hàm số y = f ( x) 

là ( C ') = ( C1) ∪ ( C2) 

- Hình vẽ minh họa 














• Đồ thị hàm số y f ( x ) 

Trang208 

= . Từ đồ thị y = f ( x) 

, vẽ đồ thị hàm số y = f ( x) . 

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm bên phải Oy của (C) ta được ( C 

1) 

. 

- Bỏ “hẳn” phần đồ thị bên trái Oy của (C). 

- Lấy đối xứng phần đồ thị ( C 

1) 

qua Oy, ta được ( C 

2 

) . 

- Suy ra đồ thị hàm số y f ( x ) 

- Hình vẽ minh họa 


= là ( C ') = ( C1) ∪ ( C2) 

Ví dụ 1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong 

bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới 

đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào? 

2x 

+ 1 

A. y = . 

x + 1 

x + 1 

C. y = . 

2x 

−1 

Lời giải 

x 2 

B. y = + . 

x + 1 

x −1 D. y = . 

2x 

+ 1 

ax + b 

Gọi hàm số cần tìm có dạng y = f ( x) 

= có đồ thị ( C ). 

cx + d 

Dựa vào hình vẽ, ta thấy: 

• Đồ thị ( C) 

cắt trục Ox tại A (1;0) suy ra (1) 0 ax + b 

f = ⇔ = 0 ⇔ a + b = 0 

cx + d 

b 

• Đồ thị ( C) 

cắt trục Oy tại B(0; − 1) suy ra f (0) = −1 ⇔ = −1 

⇔ b = − d 

d 

• Điểm C( −2;1) ∈ ( C) 

suy ra 

x −1 

Từ các điều kiện trên, suy ra hàm số cần tìm là y = 

2x 

+ 1 

Chọn D. 

Trang209 

− 2a 

+ b 

f ( − 2) = 1 ⇔ = 1 ⇔ − 2a + b = − 2c + d 

− 2c 

+ d 

ax + 2 

Ví dụ 2: Cho hàm số y = có đồ thị ( C) 

như hình vẽ 

cx + b 

bên. Tính tổng T = a + 2b + 3 c. 

A. T = 0. 

B. T = − 1. 

C. T = 3. 

D. T = 2. 

Lời giải 

Từ hình vẽ, ta có nhận xét sau: 

b 

• Đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị ( C) 

⇒ x = − = 2 ⇔ b = − 2 c. 

c 

a 

• Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị ( C) 

⇒ x = = 1 ⇔ a = c. 

c 

2 

M 0; −1 ∈ ( C) 

suy ra y(0) = −1 ⇔ = −1 ⇔ b = − 2. 

b 

• Điểm ( ) 

⎧a 

= 1 

⎧b 

= −2 

⎪ 

Suy ra ⎨ 

⇔ ⎨b = −2 ⇒ T = a + 2b + 3c 

= 1+ 2.( − 2) + 3 = 0 

⎩b = − 2c = −2a 

⎪ 

⎩c 

= 1 

Chọn A. 

ax + b 

Ví dụ 3: Đường ở hình bên là đồ thị của hàm số y = với 

cx + d 

a,b,c,d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. y ' < 0, ∀x 

≠ 2. B. y' < 0, ∀x 

≠ 1. 

C. y ' > 0, ∀x 

≠ 2. D. y ' > 0, ∀x 

≠ 1. 














Lời giải 

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Mặt 

khác, x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ⇒ y' < 0, ∀x 

≠ 2. 

Chọn A. 

Ví dụ 4: Đường cong hình bên là đồ thị hàm số 

ax + b 

y = với a,b,c là các số thực dương. Mệnh đề nào 

cx + d 

dưới đây đúng? 

A. y '' > 0, ∀x ∈R . B. y '' < 0, ∀x ∈R . 

C. y '' > 0, ∀ x > 1. D. y '' > 0, ∀x ≠ 1. 

Lời giải 

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy rằng 

• Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. (1). 

• Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1. (2). 

ad − bc 

Từ (1) và (2) suy ra y ' = < 0, ∀x ≠ 1⇒ ad − bc < 0. 

2 

( cx + d) 

2 c( ad − bc) 

Khi đó y '' = − 

kết hợp với c > 0 , ta được y'' > 0, ∀ x > 1 và y'' < 0, ∀ x < 1. 

2 

( cx + d) 

Chọn C. 

ax + 1 

Ví dụ 5: Cho hàm số y = có đồ thị ( C) 

như hình 

x − b 

vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

A. a > b > 0. B. a > 0 > b. 

C. a 

Lời giải 

ax + 1 

Ta có lim y = = ∞ suy ra x = b là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

x→b 

x − b 

Trang210 

ax + 1 

Và lim y = lim = a suy ra y = a là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 

x→∞ 

x→∞ 

x − b 

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy TCĐ nằm phía bên trái trục Oy và TCN nằm phía trên trục Ox 

⎧x 

= b < 0 

nên suy ra ⎨ . Vậy a > 0 > b. 

⎩y 

= a > 0 

Chọn B. 

ax + b 

Ví dụ 6: Cho hàm số y = (với a,b,c,d là các số 

cx + d 

thực) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Xét các mệnh đề 

sau 

(I): ac > 0. (II): cd < 0. 

(III): bd < 0. (IV): ab > 0. 

Số mệnh đề đúng là 

A. 3 B. 1 

C. 4 D. 2 

Lời giải 

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có nhận xét sau: 

b 

a + 

ax + b a a 

• lim y = lim = lim x = ⇒ y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 

x→±∞ x→±∞ cx + d x→±∞ 

d 

c + 

c c 

x 

a 

Từ đồ thị hàm số, ta thấy đường tiệm cận ngang y = y0 > 0 suy ra 0 

c > (1). 

ax + b d 

• lim y = lim = ∓ ∞ ⇒ x = − là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

d 

d 

x→− 

x→− 

cx + d c 

c 

Trang211 

c 

d 

Từ đồ thị hàm số, ta thấy đường tiệm cận đứng x = x0 > 0 suy ra − > 0 (2). 

c 

⎛ b ⎞ 

• Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm A⎜ 

− ;0⎟ 

⎝ a ⎠ , cắt trục Oy tại điểm ⎛ 

B 0; b ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ d ⎠ . 

⎧xA 

< 0 b b 

Dựa vào hình vẽ, ta thấy ⎨ ⇔ − < 0; < 0 (3). 

⎩ yB 

< 0 a d 

Giả sử hệ số a > 0 nên từ (1), (2) và (3) ta được c > 0, b > 0, d < 0 . 


Chọn C. 














Trang212 

ax − b 

y = 

cx + d 

hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? 

⎧ad 

> 0 

A. ⎨ 

⎩bc 

< 0 

⎧ad 

> 0 

C. ⎨ 

⎩bc 

> 0 

Lời giải 

⎧ad 

< 0 

B. ⎨ 

⎩bc 

> 0 

⎧ad 

< 0 

D. ⎨ 

⎩bc 

< 0 

có đồ thị như 

ax − b 

d 


= voiws x ≠ − 

cx + d 

c 

ax − b 

d 

Ta có lim y = lim = ∞ suy ra x = − là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. 

d 

d 

x→− 

x→− 

cx + d 

c 

c 

c 

ax − b a 

a 

Vì lim y = lim = suy ra y = là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. 

x→∞ 

x→∞ 

cx + d c 

c 

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng TCĐ nằm phía bên phải trục Oy và TCN nằm phía trên trục Ox 

⎧ d 

x = − > 0 

⎪ c ⎛ d ⎞ ⎛ a ⎞ ad 

nên suy ra ⎨ ⇒ . 0 ad 0. 

2 

a 

⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ = − > ⇔ < 

⎪ c c c 

y = > 0 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎪⎩ c 

b 

Mặt khác, đồ thị hàm số y = f ( x) 

cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương ⇒ > 0 . 

a 

a b b 

Khi đó . = > 0 ⇔ bc > 0. Vậy ad < 0 và bc > 0 . 

c a c 

Chọn B. 


x + 3 

y = có đồ thị ( C 

1) 

và 

x + 1 

ax + b 

hàm số y = với a < 0 có đồ thị ( C 

2 

) như 

cx + d 

hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. b < 0, c < 0, d < 0, c < b. 

B. b > 0, c > 0, d < 0, c < b. 

C. b < 0, c < 0, d < 0, c > b. 

D. b < 0, c < 0, d > 0, c > b. 

Lời giải 

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy 

• Đồ thị hàm số ( C 

2 

) cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương ⇒ b > 0 

d 

• Đồ thị hàm số ( C 

2 

) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ âm ⇒ − d < 0 

c 

• Đường thẳng x = x0 < 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 

x 3 

Kết hợp với điều kiện a < 0 , ta được b < 0, d < 0, c < 0. Và dựa vào đồ thị hàm số y = + 

x + 1 

ta thấy được b < c . 

Chọn C. 

ax + b 


= có đồ thị f '( x ) 

cx + d 

như hình vẽ dưới đây. Biết rằng đồ thị f ( x ) đi qua điểm 

A (0;4) . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? 

11 

A. f (1) = . B. f (1) = 11. 

2 

3 

11 

C. f (1) = . D. f (1) = . 

4 

4 

Lời giải 

Đồ thị hàm số đi qua điểm A (0;4) suy ra f (0) = b = 4 ⇔ b = 4 d. 

d 

ad − bc 

Ta có g( x) = f '( x) = . Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy răng 

cx + d 

Vậy 

Trang213 

( ) 2 

d 

• x = − 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số g( x ) suy ra x = − = −1 

⇔ c = d 

c 

ad − bc 

• Đồ thị hàm số y = g( x) 

đi qua điểm (0;3) suy ra g(0) = = 3 ⇔ ad − bc = 3d 

2 

d 

⎧c 

= d 

2 2 

• Kết hợp với ⎨ , ta được ad − 4d = 3d ⇔ a = 7d 

⎩b 

= 4d 

a + d 7d + d 11d 

11 

f (1) = = = = 

c + d d + d 2d 

2 


2 













Chọn A. 


xác định, liên tục trên mỗi 

khoảng ( −∞ ;0) và (0; +∞ ), 

Trang214 

lim f ( x) = 1, có đồ thị hàm số 

x→0 

y = f '( x) 

như hình vẽ bên. Biết rằng f (2) + f ( − 2) = 2. f (1). 

Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x) 

trên đoạn [-2;3] là 

A. f ( − 2). 

B. f (3). 

C. f (1). 

D. f ( − 2). 

Lời giải 

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy trên ( −∞;0) → f '( x) < 0 , trên (0; +∞) → f '( x) > 0. 

Do đó hàm số y = f ( x) 

đồng biến trên khoảng (0; +∞ ) suy ra f (0) < f (1) < f (2) < f (3). 

Mặt khác f (2) + f ( − 2) = 2. f (1) ⇔ f (1) − f ( − 2) = f (2) − f (1) > 0 ⇔ f (1) > f ( − 2). 

Vậy 

Chọn B. 

f (3) > { f ( −2), f (2)} ⇒ max f ( x) = f (3). 

[ −2;3] 

ax + b 


= có đồ thị như hình 

cx + d 

vẽ bên. Tất cả các giá trị của m để phương trình f ( x) 

có hai nghiệm phan biệt là 

A. m ≥ 2 hoặc m ≤ 1 B. 0 < m < 1 hoặc m > 1 

C. m > 2 hoặc m < 1 D. 0 < m < 1 

Lời giải 

= m 

x − 2 

Từ hình vẽ, ta tìm được hàm số y = f ( x) 

= có đồ thị ( C ) như hình vẽ. 

x − 1 

Dựa vào cách tìm đồ thị hàm số y = f ( x) 

, ta được đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây. 

⎡m 

> 1 

Dựa vào hình vẽ, để phương trình f ( x) 

= m có hai nghiệm phân biệt ⇔ ⎢ . 

⎣0 < m < 1 

Vậy 0 < m < 1 hoặc m > 1 là giá trị cần tìm. 

Chọn B. 

x − 2 

Ví dụ 12: Cho hàm số y = có đồ thị hàm số như 

x + 1 

hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m 

để phương trình 

biệt. 

Trang215 

x − 2 

= m có đúng hai nghiệm phân 

x + 1 

A.[1;2) ∪ {0} B.[0;2) 

C.[1;2] ∪ {0} D.[1;2) 

Lời giải 

x − 2 

Ta xóa phần bên trái trục tung của ( C) : y = rồi lấy đối xứng phần bên phải trục tung 

x + 1 

x − 2 

của ( C ) qua trục tung ta được đồ thị ( C ') của hàm số y = 

x + 1 

Lấy đối xứng ( C ') qua trục hoành rồi xóa phần phía dưới trục hoành ta được đồ thị 

( C '') : y = 

x − 2 

như hình vẽ bên dưới. 

x + 1 














Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình 

Chọn A. 


Trang216 

ax −1 

y = có đồ thị ( C ) 

x + c 

như hình vẽ bên. Điểm M thuộc ( C ) và H, K lần 

lượt là hình chiếu của M trên tiệm cận đứng của 

đồ thị ( C ) và trục hoành. Có tất cả bao nhiêu 

điểm M thỏa mãn MK = 2MH ? 

A. 4 B. 2 

C. 1 D. 3 

Lời giải 


x − 2 

= m có hai nghiệm phân biệt ⇔ m∈[1;2) ∪ {0} 

x + 1 

• Đường thẳng x = 2 là TCĐ của đồ thị ( C) ⇒ x = − c = 2 ⇔ c = − 2 . 

• Đường thẳng y = 1 là TCN của đồ thị ( C) ⇒ y = a = 1⇔ a = 1. 

x −1 

⎛ m −1 

⎞ 

Suy ra hàm số y = có đồ thị ( C ). Điểm M ∈( C) ⇒ M ⎜ m; ⎟ , với 2. 

x − 2 

⎝ m − 2 ⎠ m ≠ 

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2 

MH = d M ; TCĐ = m − 2 . 

x = là ( ) 

m −1 

Khoảng cách từ M đến trục Ox là MK = d( M; Ox) = . 

m − 2 

⎡ m −1 

= 2( m − 2) 

m −1 ⎢m 

− 2 

Từ giả thiết, ta có MK = 2MH ⎯⎯→ = 2 m − 2 ⇔ ⎢ 

m − 2 

⎢ m −1 

= 2(2 − m) 

⎢⎣ 

m − 2 

2 2 

⎡ m = 3 ⎯⎯→ M (3;2) 

⎡m − 1 = 2( m − 2) ⎡2m − 9m 

+ 9 = 0 

⇔ 

⎢ 

⎢ ⇔ 

2 

⎢ ⇔ 

2 

3 3 

m 1 2( m 2) 2 m 7 m 7 0 

⎢ ⎛ ⎞ 

⎣ − = − − ⎣ − + = m = ⎯⎯→ M ⎜ ; − 1 

⎢ ⎟ 

⎣ 2 ⎝ 2 ⎠ 

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Chọn B. 

ax + b 

Ví dụ 14: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) 

cx + d 

như hình vẽ bên. Điểm M thuộc ( C ) và H, K lần 

lượt là hình chiếu của M trên Ox, Oy sao cho diện 

tích hình chữ nhật MHOK bằng 2. Khi đó, tổng 

hoành độ của các điểm M bằng 

3 

A. − B. 1 2 

2 

C. 1 D. -1 

Lời giải 


• Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; −1) ⇒ y(0) = − b = −1 ⇔ b = 1. 

1 

• Đường thẳng x = 1 là TCĐ của đồ thị ( C) ⇒ x = = 1 ⇔ c = 1 

c 

• Đường thẳng y = 2 là TCN của đồ thị ( C) ⇒ y = a = 2 ⇔ a = 2c 

= 2. 

c 

2x 

+ 1 

⎛ 2m 

+ 1⎞ 

Suy ra hàm số y = có đồ thị ( C ). Điểm M ∈( C) ⇒ M ⎜ m; ⎟ , với 1. 

x −1 

⎝ m −1 

⎠ m ≠ 

2 

⎛ 2m 

+ 1⎞ 

Khi đó H( m ;0) và K ⎜0; 

⎟ 

⎝ m −1 

⎠ suy ra 2m + 1 2m + m 

SMHOK 

= OH. OK = m . = m −1 m −1 

⎡m 

= −2 

2 

2 

Phương trình 2m 

− m + 2 = 0 vô nghiệm nên 2m 

+ 3m 

− 2 = 0 ⇔ ⎢ 

⎢ 

1 

m = 

⎣ 2 

3 

Vậy tổng hoành độ của các điểm M bằng − 

2 

Chọn A. 



Trang217 














− 2x 

+ 1 −x 

A. y = B. y = 

2x 

+ 1 x + 1 

− x + 1 

C. y = 

x + 1 

Trang218 

− x + 2 

D. y = 

x + 1 


2x 

+ 1 

A. y = 

x + 1 

2x 

+ 1 

C. y = 

x −1 

x −1 

B. y = 

2x 

+ 1 

x + 2 

D. y = 

1 + x 


2x 

+ 1 

A. y = 

x − 2 

x −1 

B. y = 

2x 

+ 1 

x + 1 

x + 3 

C. y = D. y = 

x − 2 

2 + x 


x + 1 

x −1 

A. y = B. y = 

x − 1 

x + 1 

2x 

+ 1 

C. y = 

2x 

− 2 

−x 

D. y = 

1 − x 

ax + b 

Câu 5: Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ bên. 

cx + d 


A. bc > 0, ad < 0 

B. ac > 0, bd > 0 

C. bc < 0, ad > 0 

D. ac < 0, bd < 0 

ax + b 

Câu 6: Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ bên. 

cx + d 


A. a < 0, b > 0, c < 0, d > 0 

x −∞ -1 +∞ 

y’ + + 

y 

+∞ 2 

2 −∞ 

x −∞ 2 +∞ 

y’ − − 

y 

1 +∞ 

−∞ 1 

B. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0 

C. a < 0, b < 0, c < 0, d > 0 

D. a < 0, b < 0, c > 0, d < 0 

ax + b 

Câu 7: Cho hàm số y = với a > 0 có đồ thị như hình vẽ 

cx + d 


A. b > 0, c < 0, d > 0 

B. b > 0, c > 0, d < 0 

C. b < 0, c > 0, d < 0 

D. b < 0, c < 0, d < 0 

ax + b 

Câu 8: Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ 

x + d 

bên. Tính giá trị của a + 2b + c 

A. − 1 

B. − 2 

C. 0 

D. 3 

ax + b 

Câu 9: Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ 

x + 1 

bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 

A. a 

B. b < 0 < a 

C. 0 

D. 0 < a < b 

Câu 10: Tìm a, b, 

c để hàm số 

Trang219 

ax + 2 

y = có đồ thị như 

cx + d 

hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định 

sau 

A. a = 2, b = 2, c = − 1 

B. a = 1, b = 1, c = − 1 

C. a = 1, b = 2, c = 1 

D. a = 1, b = − 2, c = 1 
















Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 

A. bd > 0, ad > 0 

B. ad < 0, ab > 0 

C. ab < 0, ad < 0 

D. ad > 0, ab < 0 



Trang220 

ax + b 

y = có đồ thị như hình vẽ bên. 

cx + d 

ax + b 

y = có đồ thị như hình vẽ 

cx + d 

bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau 

⎧ad 

< 0 

A. ⎨ 

⎩bc 

> 0 

⎧ad 

> 0 

C. ⎨ 

⎩bc 

< 0 

⎧ad 

< 0 

B. ⎨ 

⎩bc 

< 0 

⎧ad 

> 0 

D. ⎨ 

⎩bc 

> 0 

x + 2 

Câu 13: Đồ thị hàm số y = là hình nào trong các hình sau: 

1 − 2x 

A. (1) B. (2) C. (3) D. (4) 

Câu 14: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau? 

2x 

−1 

A. y = 

x + 1 

2x 

+ 5 

B. y = 

x + 1 

1− 

2x 

C. y = 2x 

+ 1 D. y = 

x + 1 

ax + b 

Câu 15: Cho hàm số y = có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định 

cx + d 

nào sau đây là đúng? 

A. a > 0; b > 0; c > 0; d < 0 

B. a > 0; b < 0; c > 0; d < 0 

C. a > 0; b < 0; c < 0; d > 0 

D. a < 0; b > 0; c < 0; d > 0 

ax + b 

Câu 16: Cho đồ thị hàm số y = có đồ thị như hình vẽ 

cx + d 

bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? 

A. ab > 0; bc < 0; ad > 0 

B. ab > 0; bc < 0; ad < 0 

C. ab < 0; bc > 0; ad < 0 

D. ab < 0; bc < 0; ad < 0 

2 x 

Câu 17: Đồ thị nào trong 4 đồ thị dưới đây là đồ thị của hàm số y = − 

x − 1 

A. B. 

C. D. 

Trang221 














Câu 18: Đồ thị hình vẽ bên là đồ thị hàm số của một trong 4 

hàm số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi 

đó là hàm số nào? 

2x 

−1 

A. y = 

x − 2 

−2x 

−1 

C. y = 

x + 2 

Trang222 

2x 

−1 

B. y = 

x + 2 

− 2x 

+ 1 

D. y = 

x + 2 

ax + b 

Câu 19: Cho hàm số y = (hàm số bậc nhất trên bậc nhất) có 

cx + d 

đồ thị hàm số như hình vẽ bên. Xét các mệnh đề sau 

( I ) : ac > 0 ( II ) : cd < 0 

( III ) : bd < 0 ( IV ) : ab > 0 

Số mệnh đề đúng là: 

A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 

Đáp án 

1-C 2-A 3-C 4-A 5-B 6-D 7-B 8-D 9-D 10-D 

11-D 12-C 13-A 14-A 15-B 16-C 17-B 18-D 19-C 20- 

Trang223 

CHỦ ĐỀ 8: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA 


1. Một số kiến thức mở đầu 

= + + + ≠ và đường thẳng d : y = mx + n 

Xét đồ thị ( C ) : y ax 3 bx 2 cx d ( a 0) 

Hoành độ giao điểm của d và ( ) 

C là nghiệm của phương trình 

( ) 

3 2 3 2 

ax bx cx d mx n ax bx c m x d n 

+ + + = + ⇔ + + − + − = 0 (1) 

→ Số giao điểm của d và ( ) 

C chính là số nghiệm của phương trình (1) 

• Trường hợp 1. Phương trình (1) có một nghiệm đẹp x = x0 

Khi đó (1) thành x − x g ( x ) = với ( ) 

+ g ( x) 0 

0 . 0, 

⇔ = có hai nghiệm phân biệt khác x 

g x là hàm số bậc hai 

0 

⎧ ∆ 

g 

> 0 

⇔ ⎨ 

⎩g ( x0 

) ≠ 0 

+ Phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt g ( x) 0 

hoặc ( ) 0 

khác x 

0 

⇔ = có nghiệm kép khác x 

0 

g x = có hai nghiệm phân biệt, trong đó 1 nghiệm bằng x 

0 

và nghiệm còn lại 

+ Phương trình (1) có nghiệm duy nhất 

⇔ g ( x) = 0 vô nghiệm hoặc ( ) 0 

g x = có nghiệm kép x = x0 

• Trường hợp 2. Phương trình(1) không có nghiệm đẹp x = x0 

nhưng cô lập được 

tham số 

Khi đó ta biển đổi (1) thành ϕ ( x) = h ( m) 

Từ đó số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = ϕ ( x) 

và y = h( m) 

Lưu ý, đường thẳng y h( m) 

Ta tiến hành xét hàm số y ϕ ( x) 

2. Một số lưu ý khi giải toán 

= song song hoặc trùng với trục Ox 

Xét đồ thị ( C ) : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0) 

= và lập bảng biến thiên ⇒ kết luận 

+ Hoành độ giao điểm của ( C ) và trục tung ( 0 x : y = 0) 

3 2 

ax bx cx d 

+ + + = 0 

là nghiệm của phương trình 

+ Tung độ giao điểm của ( C ) và trục tung ( 0 y : x = 0) 

là nghiệm của phương trình y = d 














⇒ ( C ) cắt Oy tại điểm M ( 0; d ) 


3 

Ví dụ 1: Biết rằng đường thẳng y = − 2x 

+ 2cắt đồ thị hàm số y = x + x + 2 tại điểm duy nhất, 

kí hiệu ( ; ) 

0 0 

Trang224 

x y là tọa độ điểm đó. Tìm y 0 

A. y 

0 

= 4 

B. y 

0 

= 0 

C. y 

0 

= 2 

D. y 

0 

= − 1 

Lời giải 

3 3 

Phương trình hoành độ giao điểm x + x + 2 = − 2x + 2 ⇔ x + 3x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 2 

Chọn C 

3 

Ví dụ 2: Biết rằng đường thẳng y = − 3x 

+ 4 cắt đồ thị hàm số y = x + x + 4 tại điểm duy nhất, 

kí hiệu ( ; ) 

x y là tọa độ điểm đó. Tìm y 0 

0 0 

A. y 

0 

= 4 

B. y 

0 

= 0 

C. y 

0 

= − 4 

D. y 

0 

= 3 

Lời giải 

3 3 

Phương trình hoành độ giao điểm x + x + 4 = − 3x + 4 ⇔ x + 4x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 4 

Chọn A 

Ví dụ 3: Biết rằng đường thẳng y = 5x 

+ 2 cắt đồ thị hàm số 

biệt có hoành độ lần lượt là x1, x2, 

x3. 

Tính 

S = x + x + x 

2 2 2 

. 

1 2 3 

3 

y x x 

= + + 2 tại 3 điểm phân 

A. S = 4 

B. S = 10 

C. S = 8 

D. S = 6 

Lời giải 

Phương trình hoành độ giao điểm 

3 3 ⎡ x = 0 

x + x + 2 = 5x + 2 ⇔ x = 4x ⇔ ⎢ ⇒ S = 0 + 4 + 4 = 8 

⎣x 

= ± 2 

Chọn C 

Ví dụ 4: Biết rằng đường thẳng y = x + 1 cắt đồ thị hàm số y x x 

biệt A, B . Tính độ dài đường thẳng AB . 

3 2 

= − + 2 tại 2 điểm phân 

A. AB = 2 

B. AB = 2 2 C. AB = 4 

D. AB = 3 2 

Lời giải 

3 2 

Phương trình hoành độ giao điểm x − x + 2 = x + 1 

( ) 

( ) 

⎡ x = 1⇒ y = 2 ⇒ A 1; 2 

3 2 

⇔ x − x − x + 1 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣x = −1 ⇒ y = 0 ⇒ B −1;0 

0 

0 

Trang225 

( ) AB ( ) ( ) 

2 2 

⇒ AB = −2; −2 ⇒ = − 2 + − 2 = 2 2 

Chọn B 

3 

Ví dụ 5:Biết rằng đường thẳng y = 2x 

+ 4 cắt đồ thị hàm số y = x + x + 4 tại 3 điểm phân biệt 

( ) 

A 0; 4 , B, C . Tính diện tích S của tam giác OBC , vớiO là gốc tọa độ 

A. S = 4 

B. S = 4 5 

C. S = 2 

D. S = 2 5 

Lời giải 

1 

S = d O; BC . BC (1) 

2 

Ta sẽ tính diện tích S của tam giácOBC theo công thức ( ) 

Muốn vậy, ta cần viết phương trình BC và tính được cạnh BC 

Lưu ý, phương trình đường thẳng BC chính là y = 2x 

+ 4 →ta đi tính cạnh BC 

3 3 

Phương trình hoành độ giao điểm x + x + 4 = 2x + 4 ⇔ x = x 

( ) 

( ) 

( ) 

⎡ x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ A 0;4 

⎢ 

2 2 

⇔ 

⎢ 

x = 1⇒ y = 6 ⇒ B 1;6 ⇒ BC = ( − 2) + ( − 4) 

= 2 5 

⎣ 

⎢ x = −1⇒ y = 2 ⇒ C −1;2 

2.0 − 0 + 4 4 

= + ⇒ − + = ⇒ = = 

5 

Hơn nữa BC : y 2x 4 BC : 2x y 4 0 d ( O; 

BC ) 

Thế vào ( ) 

Chọn A 

1 4 

1 ⇒ S = . .2 5 = 4 

2 5. 

( ) 2 

2 

2 + −1 

3 


+ 4 cắt đồ thị hàm số y = x + x + 4 tại ba điểm phân 

biệt A( ) 

0; 4 , B, C. 

Tìm tọa độ trung điểm M của đường thẳng BC 

4 

A. M ⎛ 

⎜0; ⎞ 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

Lời giải 

8 

M C. M ⎛ 

⎜0; ⎞ 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

B. ( 0;2) 

3 3 


( ) 

( ) 

( ) 

⎡ x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ A 0;4 

⎢ 

⎛1− 1 6 + 2 ⎞ 

⇔ 

⎢ 

x = 1⇒ y = 6 ⇒ B 1;6 ⇒ M ⎜ ; ⎟ ⇒ M 0;4 

2 2 

⎢ 

⎝ ⎠ 

⎣x = −1⇒ y = 2 ⇒ C −1;2 

Chọn D 

( ) 

D. M ( 0;4) 














3 

Ví dụ 7: Biết răng đường thẳng y = 2x 

+ 4 cắt đồ thị hàm số y = x + x + 4 tại ba điểm phân 

biệt A( ) 

0; 4 , B, C. 

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OBC , với O là gốc tọa độ 

4 

G B. G ⎛ 

⎜ 0; ⎞ 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

A. ( 0; 2) 

Lời giải 

Trang226 

8 

G D. G ⎛ 

⎜0; ⎞ 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

C. ( 0; 4) 

3 3 


( ) 

( ) 

( ) 

⎡ x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ A 0;4 

⎢ 

⎛ 0 + 1− 1 0 + 6 + 2 ⎞ ⎛ 8 ⎞ 

⇔ 

⎢ 

x = 1⇒ y = 6 ⇒ B 1;6 ⇒ G ⎜ ; ⎟ ⇒ G ⎜0; 

⎟ 

3 3 3 

⎢ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎣x = −1⇒ y = 2 ⇒ C −1;2 

Chọn D 


( Cm 

) 

đúng? 

3 2 

y x 3x 3x m 

= − + + có đồ thị( C ), với m là tham số thực. Biết rằng 

5 

cắt tiaOy tại điểm M thỏa mãn OM = , với O là gốc tọa độ. Mệnh đề nào dưới đây là 

2 

A.1 < m < 2 B. 4 < m < 6 C. 2 < m < 3 D. − 3 < m < 1 

Lời giải 

Ta có ( ) 

M = C ∩ Oy ⇒ tọa độ M là nghiệm của hệ 

m 

3 2 

⎧ y = x − 3x + 3x + m ⎧y 

= m 

⎨ ⇔ ⎨ ⇒ OM = ( 0; m) 

⇒ OM = m 

⎩ x = 0 ⎩ x = 0 

5 5 5 

Bài ra OM = ⇒ m = ⇔ m = ± 

2 2 2 

5 

Hơn nữa M thuộc tia Oy ⇒ m = thỏa mãn 

2 

Chọn C 

3 

Ví dụ 9: Cho hàm số y = x − 3x + m có đồ thị ( C ), với m là tham số thực. Hỏi có tất cả bao 

nhiêu giá trị nguyên của m để ( ) m 

O là gốc tọa độ 

m 

m 

C cắt trục tung tại điểm M khác O thỏa mãn OM < 10, với 

A. 20 B. 18 C. 19 D. 9 

Lời giải 

Ta có ( ) 


m 

y = m 

⎨ ⇔ ⎨ ⇒ M ( 0; m) ⇒ OM = ( 0; m) 

⇒ OM = m 

⎩ x = 0 ⎩ x = 0 

3 

⎧ y = x − 3x + m ⎧ 

Bài ra OM < 10 nên m < 10 ⇔ − 10 < m < 10 

Mà m ∈ ⇒ m ∈ { ± 9; ± 8;...; ± 1;0} 

Trang227 

Z và OM ≠ 0 ⇒ m ≠ 0 

Do đó có tất cả 18 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán 

Chọn B 


y x mx 

( C ) cắt đường thẳng d : y x 1 

m 

3 2 

= − 2 + 1 có đồ thị ( Cm 

), 

kiện x1 + x2 + x3. = 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

với m là tham số thực. Biết rằng 

= + tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, 

x3. 

thỏa mãn điểu 

A.1 < m < 2 B. 4 < m < 6 C. 2 < m < 3 D. − 2 < m < 1 

Lời giải 


( ) 

2 1 1 2 1 0 

⎡ 

⎣x 

x = 0 

3 2 2 

x − mx + = x + ⇔ x x − mx − = ⇔ ⎢ 2 

− − = 

Ta có d cắt ( C ) tại 3 điểm phân biệt ( 1) 

m 

⎧ ∆ = m + > 

⎨ 

⎩ − m − ≠ 

2 

' 1 0 

2 

0 2. .0 1 0 

⇔ m ∈ R (*) 

2mx 

1 0 

(1) 

⇔ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 

⎧x1 + x2 

= 2m 

Giả sử x 

3 

= 0 khi đó x1; 

x 

2 

là hai nghiệm của (1), theo Viet có ⎨ 

⎩ x1x2 

= −1 

3 

Do đó x1 + x2 + x3. 

= 3. ⇔ 2m + 0 = 3 ⇔ m = thỏa mãn (*) 

2 

Chọn A 

3 2 

Ví dụ 11: Cho hàm số y = x − 2mx 

− 1 có đồ thị ( C ), với m là tham số thực. Hỏi có tất cả 

bao nhiêu giá trị nguyên của m để ( C ) cắt đường thẳng d : y x 1 

2 2 2 

hoành độ x1, x2, 

x3. 

thỏa mãn x + x + x ≤ 

m 

1 2 3 

20 

A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 

Lời giải 


( ) 

2 1 1 2 1 0 

3 2 2 

x − mx − = x − ⇔ x x − mx − = ⇔ ⎢ 2 

x − mx − = 

⎡ 

⎣ 

m 

x = 0 

2 1 0 

= − tại ba điểm phân biệt có 


(1) 













Ta có d cắt ( Cm 

) tại 3 điểm phân biệt ( 1) 

⎧ ∆ = + > 

⎨ 

⎩ − m − ≠ 

2 

' m 1 0 

2 

0 2. .0 1 0 

Trang228 

⇔ m ∈ R (*) 


⎧x1 + x2 

= 2m 

Gỉa sử x 

3 

= 0 khi đó x1, 

x2 

là 2 nghiệm của (1), theo Viet có ⎨ 

⎩ x1. x2 

= −1 

Do 

2 2 2 ( ) 2 

9 3 3 

x 2 2 

1 

+ x2 + x3 ≤ 20 ⇔ x1 + x2 − 2x1 x2 

≤ 20 ⇔ 4m + 2 ≤ 20 ⇔ m ≤ ⇔ − ≤ m ≤ 

2 2 2 

Mà m ∈ Z ⇒ m ∈ { ± 2; ± 1;0} 

Chọn C 


y x mx 

( Cm 

) cắt đường thẳng d : y x 3 

3 2 

= − 2 + 3 có đồ thị ( Cm 

), 

y1 + y2 + y3. = 12. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

đó 

với m là tham số thực. Biết rằng 

= + tại ba điểm phân biệt có tung độ y1, y2, 

y3. 

thỏa mãn 

A.1 < m < 2 B. 4 < m < 6 C. − 2 < m < 1 D. 2 < m < 3 

Lời giải 


( ) 

x = 0 

3 2 2 

x − 2mx + 3 = x + 3 ⇔ x x − 2mx 

− 1 = 0 ⇔ ⎢ 2 

x − mx − = 


) tại 3 điểm phân biệt ( 1) 

⎧ ∆ = m + > 

⎨ 

⎩ − m − ≠ 

2 

' 1 0 

2 

0 2. .0 1 0 

⇔ m ∈ R (*) 

⎡ 

⎣ 

2 1 0 

(1) 


⎧x1 + x2 

= 2m 

Giả sử x 

3 

= 0 khi đó x1, 

x 

2 


⎩ x1. x2 

= −1 

Giả sử ( Cm 

) cắt đường thẳng d : y x 3 

Khi đó y y y ( x ) ( x ) ( x ) 

1 2 3. 1 2 3 

= + tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, 

x 

3. 

+ + = 12 ⇔ + 3 + + 3 + + 3 = 12 

3 

⇔ x1 + x2 + x3. 

= 3 ⇔ 2m + 0 = 3 ⇔ m = thỏa mãn (*) 

2 

Chọn D 

3 2 


Biết rằng ( ) 

Trang229 

m 

y = x − 3x − 3m − 1 x + 3 có đồ thị ( C ), với m là tham số thực. 

C cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, 

x3. 

theo thứ tự lập thành một cấp 

số cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

7 

9 

A. − 1 < m < 1 B. 3 < m < C.1 < m < 3 D. 4 < m < 

2 

2 

Lời giải 

3 2 

Phương trình hoành độ giao điểm ( ) 

( ) ( )( )( ) 

3 2 

x − 3x − 3m − 1 x + 3 = x − x1 x − x2 x − x3 

2 

( ) ⎡ ( ) 

= x − x1 ⎣x − x2 + x3 x + x2x 

⎤ 

3⎦ 

( ) ( ) 

x − 3x − 3m − 1 x + 3 = 0 (1) 

= x − x + x + x x + x x + x x + x x x − x x x 

3 2 

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 

⎧ x1 + x2 + x3 

= 3 

⎪ 

⇒ ⎨x1x2 + x2x3 + x3x1 

= − 3m 

+ 1 

⎪ 

⎩ x1x2 x3 

= −3 

Bài ra x1, x2, 

x 

3. 

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên x1 + x3. = 2x2 

⎧ 3x 

= 3 ⎧ x = 1 

⎪ 

( ) 2 ⎪ 

2 

2 

⇒ ⎨x2 x1 + x3 + x1x3 = 1− 3m ⇒ ⎨ x1 x3 

= −3 

⇒ m = 

⎪ 

3 

x1x2 x3 

3 ⎪ 

⎩ 

= − ⎩1.2 − 3 = 1− 

3m 

2 

Thử lại, ta thấy m = thỏa mãn bài toán 

3 

Chọn A 

3 2 


Biết rằng ( ) 

m 

y = x − 7x −14 3m −1 x − 8 có đồ thị ( C ), với m là tham số thực. 

C cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ x1, x2, 

x3. 

theo thứ tự lập thành một cấp 

số nhân. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

7 

9 

A.1 < m < 3 B. 3 < m < C. − 1 < m < 1 D. 4 < m < 

2 

2 

Lời giải 

3 2 


x − 7x −14 3m −1 x − 8 = 0 

( ) ( )( )( ) 

3 2 

x − 7x −14 3m −1 x − 8 = 0 = x − x1 x − x2 x − x3 

2 

( ) ⎡ ( ) 

= x − x1 ⎣x − x2 + x3 x + x2x 

⎤ 

3⎦ 


m 

m 













( ) ( ) 

= x − x + x + x x + x x + x x + x x x − x x x 

3 2 

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 

⎧ x1 + x2 + x3 

= 7 

⎪ 

⇒ ⎨x1x2 + x2x3 + x3x1 

= 14 3m 

−1 

⎪ 

⎩ x1x2 x3 

= 8 

Trang230 

( ) 

Bài ra x1, x2, 

x 

3. 

theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên 

x x 

= x 

2 

1 3 2 

⎧ x1 + x2 + x3 = 7 ⎧ x2 

= 2 

⎪ 

2 

⎪ 

2 

⇒ ⎨x2 ( x1 + x3 ) + x2 = 14( 3m −1) 

⇒ ⎨ x1 + x3 

= 5 ⇒ m = 

⎪ 

3 

3 

x2 

8 ⎪ 

⎩ 

= ⎩2.5 + 4 = 14( 3m 

−1) 

2 

Thử lại, ta thấy m = thỏa mãn bài toán 

3 

Chọn C 

Ví dụ 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d : y = x + 1 cắt đồ 

thị ( C 

m ) của hàm số 

y x mx 

3 2 

= − 2 + 1 tại ba điểm phân biệt A, B, D với D là điểm có hoành 

độ không đổi, thỏa mãn M ( 2;3) 

là trung điểm của cạnh AB. 

A. m = − 2 

B. m = − 1 

C. m = 2 

D. m = 1 

Lời giải 


( ) 

2 1 1 2 1 0 

⎡ 

⎣x 

x = 0 

3 2 2 

x − mx + = x + ⇔ x x − mx − = ⇔ ⎢ 2 

− − = 


) tại ba điểm phân biệt ( 1) 

⎧ ∆ = m + > 

⎨ 

⎩ − m − ≠ 

2 

' 1 0 

2 

0 2. .0 1 0 

⇔ m ∈ R (*) 

Với x = 0 ⇒ y = 1 ⇒ D ( 0;1) 

Do ( ) ( ) 

1 1 2 2 1 2 

2mx 

1 0 

(1) 

⇔ có hai nghiệm phân biệt khác 0 

A, B ∈ d ⇒ A x ; x + 1 , B x ; x + 1 ⇒ x ; x là hai nghiệm của (1) 

Điểm M ( 2;3) 

là trung điểm của cạnh 

Theo Viet có x1 + x2 = 2m 

nên m = 2 thỏa mãn (*) 

Chọn C 

⎧ x1 + x2 

= 2 

⎪ 2 

AB ⇔ ⎨ 

⇔ x1 + x2 

= 4 

⎪ ( x1 + 1) + ( x2 

+ 1) 

= 3 

⎪⎩ 2 

Ví dụ 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d : y = x + 3 cắt đồ 

thị ( ) 

3 2 2 

C của hàm số ( ) ( ) 

m 

thỏa mãn A là trung điểm của cạnh BC. 

Trang231 

y x 3 m 1 x 2m 1 x 3 

= − − − + + tại ba điểm phân biệt A( ) 

A. m = ± 2 

B. m = ± 1 

C. m = 2 

D. m = 1 

Lời giải 

x −3 m −1 x − 2m + 1 x + 3 = x + 3 

3 2 2 

Phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( ) 

⎡ 

( ) ( ) 

⎤ 

x = 0 

2 2 

x 

⎣ 

x − 3 m −1 x − 2m 

+ 2 

⎦ 

= 0 ⇔ ⎢ 2 2 

x − m − x − m + = 

Ta có d cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt ( 1) 

m 

( ) ( ) 

( ) ( ) 

⎡ 

⎢⎣ 

( ) ( ) 

3 1 2 2 0 

(1) 


( ) ( ) 

⎧ 

2 2 2 

⎪∆ ' = 9 m − 1 + 4 2m + 2 > 0 ⎪ 

⎧∆ ' = 9 m − 1 2 

+ 4 2m 

+ 2 > 0 

⎨ 

⇔ ⎨ 

2 2 

⎩ 

⎪0 − 3. m −1 .0 − 2m + 2 ≠ 0 ⎪⎩ m ≠ −1 

Với x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A( 0;3) 

Do ( ) ( ) 

B, C ∈ d ⇒ B x ; x + 3 , C x ; x + 3 ⇒ x ; x là hai nghiệm của (1) 

Điểm ( 0;3) 

1 1 2 2 1 2 

⎧ x1 + x2 

= 2 

⎪ 2 

A là trung điểm của cạnh BC ⇔ ⎨ 

⇔ x1 + x2 

= 0 

⎪ ( x1 + 3) + ( x2 

+ 3) 

= 3 

⎪⎩ 2 

2 

2 

Theo Viet có x1 + x2 = 3( m − 1) 

nên ( m ) 

Kết hợp với (*) ta được m = 1 thỏa mãn 

Chọn D 

3 2 

Ví dụ 17: Cho hàm số y x 5x 7x 

2 

có hệ số góc . 

( 1; 1) 

(*) 

3 − 1 = 0 ⇔ m = ± 1 thỏa mãn (*) 

0;3 , B, 

C 

= − + − có đồ thị ( C ) và đường thẳng d đi qua A ( 2;0) 

k Tìm k sao cho đường thẳng d cắt ( ) 

G − là trọng tâm của tam giác OBC, với O là gốc tọa độ 

C tại ba điểm phân biệt A, B, C thỏa mãn 

A. k = − 3 

B. k = 3 

C. k = − 4 

D. k = 4 

Lời giải 

Ta có d : y = k ( x − 2) + 0 ⇒ d : y = k ( x − 2) 

Phương trình hoành độ giao điểm x 3 − 5x 2 + 7x − 2 = k ( x − 2) 














Trang232 

( ) 

⎡ x = 2 

⎣x 3x 1 k 0 

3 2 

⇔ x − 5x + 7x − 2 = k x − 2 ⇔ ⎢ 2 

− + − = 


( k ) 

⎧∆ ' = 9 − 4 1− > 0 ⎧4k 

+ 5 > 0 

⎨ 

⇔ 

2 

⎨ 

⎩ 2 − 3.2 + 1− k ≠ 0 ⎩ k ≠ −1 

Với x 2 y 0 A( 2;0) 

(1) 


(*) 

= ⇒ = ⇒ ứng với đề bài cho 

Do ( ( )) ( ( )) 

B, C ∈ d ⇒ B x ; k x − 2 , C x ; k x − 2 ⇒ x ; x là hai nghiệm của (1) 

1 1 2 2 1 2 

Điểm G ( 1; − 1) 

là trọng tâm của tam giác OBC 

⎧ x1 + x2 

+ 0 = 1 

⎪ 3 

⎧ x1 + x2 

= 3 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

⎪ k ( x1 − 2) + k ( x2 

− 2) k ( x1 + x2 

− 4) 

= −3 

= −1 

⎩ 

⎪⎩ 3 

Theo Viet có x1 + x2 = 3 nên k = 3 thỏa mãn (*) 

Chọn B 

Ví dụ 18: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đường thẳng d y m ( x ) 

cắt đồ thị ( C ) của hàm số 

3 

y x x 

có hoành độ không đổi, thỏa mãn BC = 2 30 

: = − 2 + 4 

= − 3 + 2 tại ba điểm phân biệt A, B, 

C thỏa mãn A là điểm 

A. m = 4 

B. m = − 4 

C. m = 3 

D. m = − 3 

Lời giải 

Phương trình hoành độ giao điểm x 3 − 3x + 2 = m ( x − 2) + 4 ⇔ x 3 − 3x − 2 = m ( x − 2) 

( x 2)( x 2 2x 1) m( x 2) 

x = 2 

⇔ − + + = − ⇔ ⎢ 2 

x + x + − m = 


( m) 

⎧∆ ' = 1− 1− > 0 ⎧m 

> 0 

⎨ ⇔ 

2 

⎨ 

⎩2 − 2.2 + 1 − m ≠ 0 ⎩ k ≠ 9 

Với x = 2 ⇒ y = 4 ⇒ A( 2; 4) 

(*) 

⎡ 

⎣ 

2 1 0 

(1) 


Do B, C ∈ d ⇒ B ( x1; m ( x1 − 2) 

+ 4 ), C ( x2; m( x2 

− 2) 

+ 4) 

⎧x1 + x2 

= −2 

⇒ x1; 

x2 


⎩ x1x2 

= 1− 

m 

 

2 

BC = x − x ; m x − x ⇒ x − x + m x − x 

Ta có ( 2 1 ( 2 1) 

) ( 2 1) ( 2 1) 

2 2 

( )( ) ( ) ⎡( ) 

2 2 

m + 1 x2 − x1 = m + 1 x2 − x1 − 4x1x 

⎤ 

⎣ 

2 

⎦ 

= ( m 2 + 1) ⎡⎣ 4 − 4( 1− m) ⎤⎦ 

= 4m( m 

2 + 1) 

2 

Bài ra ( ) 

Chọn C 

Trang233 

2 2 

BC = 2 30 ⇒ 4m m + 1 = 120 ⇔ m = 3 thỏa mãn (*) 

Ví dụ 19: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị ( ) 

3 

y x mx m 

C của hàm số 

= − + − 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A( 1;0 ), B, 

C thỏa mãn tam giác 

MBC có diện tích bằng 2, với M ( 0;1) 

17 

19 

A. m = 3 

B. m = C. m = 4 

D. m = 

4 

4 

Lời giải 

Phương trình hoành độ giao điểm x 3 mx m ( x 3 

) m( x ) 

2 

⎡ x = 1 

⇔ ( x − 1)( x + x + 1− m) 

= 0 ⇔ ⎢ 2 

⎣x + x + 1− m = 0 

Ta có ( C ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ( 1) 

m 

⎧ 3 

⎧∆ ' = 1− 4( 1− m) 

> 0 ⎪m 

> 

⎨ 

⇔ 

2 

⎨ 4 

⎩ 1 + 1+ 1− m ≠ 0 ⎪ 

⎩ m ≠ 3 

Do B, C Ox B ( x ;0), C ( x ;0) 

1 2 

− + − 1 = 0 ⇔ −1 − − 1 = 0 

(*) 

(1) 

∈ ⇒ ⇒ x1; 

x2 

là hai nghiệm của (1) 


⎧x1 + x2 

= −1 

Theo Viet có ⎨ 

⎩x1 x2 

= 1− 

m 

 

2 

2 2 

BC = x − x ;0 ⇒ BC = x − x = x + x − 4x x = 1− 4 1− m = 4m 

− 3 

Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 

Ta có ( ) 

Chọn D 

2 1 2 1 1 2 1 2 

1 1 19 

SMBC 

= d M ; BC . BC = .1. 4m − 3 = 2 ⇔ m = thỏa mãn (*) 

2 2 4 


m 













Ví dụ 20: Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m sao cho đường thẳng d : y = x + 1 cắt đồ thị 

( C 

m ) của hàm số 

Trang234 

3 

y x x m 

= − 2 − + 3 tại ba điểm phân biệt? 

A. 5 B. 4 C. 3 D. 6 

Lời giải 

3 3 

Phương trình hoành độ giao điểm x − 2x − m + 3 = x + 1⇔ m = x − 3x 

+ 2 (1) 

( 1) 

YCBT ⇔ có 3 nghiệm phân biệt 

3 

⇔ đường y = m cắt đồ thị của hàm số y = x − 2x − m + 3 tại 3 điểm phân biệt 

3 

2 


+ 3, với x ∈ R có y ' = 3x − 3 = 0 ⇔ x = ± 1 


x −∞ -1 1 +∞ 

y’ + 0 − 0 + 

y 

−∞ 

4 +∞ 

Từ bảng biến thiên trên ta được 0 < m < 4, mà m ∈ Z ⇒ m ∈{ 1; 2;3} 

Chọn C 

Nhận xét 

Từ bảng biến thiên ta có ngay: 

+ Đường thẳng d cắt ( Cm 

) tại đúng 2 điểm phân biệt 

+ Đường thẳng d cắt ( Cm 

) tại điểm duy nhất 

III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 

3 2 

Câu 1: Hàm số y x 3x 3x 

4 

tại ba điểm phân biệt A( ) 

⎡m 

> 4 

⇔ ⎢ 

⎣m 

< 0 

⎡m 

= 0 

⇔ ⎢ 

⎣m 

= 4 

= − + + (1). Đường thẳng ( ) : y x 4 

0 y=m 

∆ = + cắt đồ thị hàm số (1) 

0; 4 , B, C. 

Tính diện tích tam giác OBC , với O là gốc tọa độ 

A. 2 B. 1 C. 1 2 


3 

y x x 

= − 5 + 2 có đồ thị ( ) 

D. 2 

C và đường thẳng ( d ) : y 2 x. 

điểm A( 0; 2 ), B ( 2;0 ), D ( − 2; 4) 

thì điểm nào là giao điểm của ( C ) và d ? 

= − Trong các 

A. Chỉ A, B B. Chỉ B, D C. Chỉ A, D D. Cả 3 điểm 

3 

Câu 3: Cho hàm số y x 4x 

5 

Trang235 

= − + (1). Đường thẳng ( ) : 3 

hai điểm phân biệt A, B . Độ dài đoạn thẳng AB bằng? 

d y = − x cắt đồ thị hàm số (1) tại 

A. 3 B. 5 C. 5 2 D. 3 2 


3 2 

y x 2 m x 4m 

trục hoành tại ba điểm phân biệt A( − ) 

= + − + (1). Số giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt 

2;0 , B, 

C sao cho AB 

+ AC = 12 là? 

2 2 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

3 2 


y = x + 3mx + 3 m + 1 x + 1 (1). Tìm tất cả giá trị dương của m để 

đường thẳng d : y = x − 2 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A, B, 

C sao cho Blà 

trung điểm của cạnh AC và điểm A có hoành độ bằng − 1 

3 

1 

A. m = 2 

B. m = 1 

C. m = D. m = 

2 

2 

Câu 6: Cho hàm số ( 2 1) 

3 2 

y x m x mx m 

= + + + − ( C ). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên 

của m để đường thẳng d : y = −2x 

− 2 cắt đồ thị hàm số ( C ) tại ba điểm phân biệt có hoành 

x , x , x thỏa mãn điều kiện x 2 + x 2 + x 

2 ≤ 

độ 

1 2 3. 

1 2 3 

17 

A. 1 B. 5 C. 3 D. 4 

Câu 7: Gọi d là đường thẳng đi qua ( 2;0) 

( ) 

m 

A có hệ số góc m cắt đồ thị 

3 2 

C : y = − x + 6x − 9x 

+ 2 tại ba điểm phân biệt A, B, C . Gọi B', C ' lần lượt là hình chiếu 

vuông góc của B, 

C lên trục tung. Tìm giá trị dương của m để hình thang BB ' C ' C có diện 

tích bằng 8. 

3 

1 

A. m = 2 

B. m = 1 

C. m = D. m = 

2 

2 

3 2 

Câu 8: Cho hàm số y = x + x + ( m − 3) 

x + 1− m (1). Đường thẳng ( d ) : y x 1 

hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A( 1;0 ), B, C. 

Kẻ ( ) ( d ) 

Tìm m biết EC = 10 

m 

∆ ⊥ tại , 

= − cắt đồ thị 

B điểm E ( − ) ∈ ( ∆ ) 

3 

23 

5 

A. m = B. m = C. m = 2 

D. m = 

2 

8 

2 


1; 2 . 














y x x 

3 2 

= − 3 + 4 (1). Gọi ( ) 

d là đường thẳng đi qua ( 1; 2) 

M và có hệ 

số góc là k . Tính tổng giá trị của k để đường thẳng ( d ) cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm 

phân biệt M, A, 

B thỏa mãn AB = 2OM 

A. − 2 

B. − 3 

C. 1 D. 0 


3 2 

y x 2mx x 2m 

= − + − (1). Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số (1) 

với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A cắt trục tung tại B . Tìm giá trị dương 

của m để diện tích tam giác OAB bằng 1, với O là gốc tọa độ. 

1 

1 

A. m = B. m = 2 

C. m = 1 

D. m = 

2 

2 

Câu 11: Biết rằng đường thẳng y = − 3x 

+ 19 cắt đồ thị của hàm số 

duy nhất có tọa độ ( ) 

x ; y . Tìm y . 0 

0 0 

3 

y x x 

= − − 14 tại điểm 

A. y 

0 

= 3 

B. y 

0 

= 7 

C. y 

0 

= 10 

D. y 

0 

= 13 


3 

y x x 

= − 3 + 1 có đồ thị ( ). 

C Trên ( ) 

điểm M ( 2;9) 

là trung điểm của cạnh AB. Tính giá trị biểu thức 

C lấy hai điểm A và B sao cho 

P = y + y 

2 2 

A B 

A. P = 360 

B. P = 362 

C. P = 364 

D. P = 266 

3 2 

Câu 13: Cho hàm số y = x −3x − 4x 

+ 3 có đồ thị ( ). 

xứng nhau qua trục tung. Tính giá trị biểu thức P = y + 2y 

C Trên ( ) 

2 2 

A B 

C lấy hai điểm A và B đối 

A. P = 108 

B. P = 147 

C. P = 192 

D. P = 243 

3 


+ 1có đồ thị ( ). 

thỏa mãn điều kiện OM = 4 

C Tìm m sao cho ( C ) 

2017 

2017 

A. m = B. m = 1008 C. m = D. m = 1009 

2 

3 

Trang236 

m 

m 

cắt trục tung tại M 

A. m = ± 1 

B. m = ± 2 

C. m = ± 3 

D. m = ± 4 

3 2 

Câu 15: Cho hàm số y = x − 3mx 

+ 1có đồ thị ( ). 


m 

m 

cắt đường thẳng 

d : y = x + 1 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, 

x3. 

thỏa mãn x1 + x2 + x3 = 2017. 

2017 

2017 

A. m = B. m = 1008 C. m = D. m = 1009 

2 

3 

3 2 


+ 1có đồ thị ( ). 


m 

m 


d : y = x + 1 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, 

x3. 

thỏa mãn y1 + y2 + y3 = 2017. 

3 2 

Câu 17: Cho hàm số y = x − 3x − mx + 3có đồ thị ( C ). Kí hiệu t m 

là số giá trị của m thỏa 

mãn ( ) 

C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, 

x3. 

theo thứ tự lập thành cấp 

m 

số cộng. Tìm t m 

A. t = 1 

B. t = 2 

C. t = 3 

D. t = 0 

m 


thỏa mãn ( ) 

Trang237 

m 

m 

3 2 

y x x mx 

m 

m 

= − 7 + 14 −8 

có đồ thị ( C ). Kí hiệu t m 

là số giá trị của m 

C cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, 

x3. 

theo thứ tự lập 

thành cấp số nhân. Tìm t m 

A. t = 1 

B. t = 2 

C. t = 0 

D. t = 3 

m 

3 2 


+ 1có đồ thị ( ). 

m 

m 

m 

m 


m 

m 

m 


d : y = x + 1 tại ba điểm phân biệt A, B, D với D là điểm có hoành độ không đổi, thỏa mãn 

trung điểm M của cạnh AB nằm trên đường thẳng ∆ : x + y − 2017 = 0 

2017 

2017 

A. m = 1007 B. m = C. m = 1008 D. m = 

2 

4 

3 2 


+ 1có đồ thị ( ). 


m 

m 


d : y = x + 1 tại ba điểm phân biệt A, B, D với D là điểm có hoành độ không đổi, thỏa mãn 

AB = 2 34 

A. m = ± 1 

B. m = ± 2 

C. m = ± 3 

D. m = ± 4 

Câu 21: Gỉa sử A và B là giao điểm của đường cong 

dài đường thẳng AB 

3 

y x x 

= − 3 + 2và trục hoành. Tính độ 

A. AB = 3 

B. AB = 4 2 C. AB = 5 3 D. AB = 6 5 

3 

Câu 22: Tìm số giao điểm của đường cong y = x − 4x 

+ 3và đường thẳng d : y = − 8x 

+ 3 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét hình vuông (V) tâm O, hai đường chéo nằm 

trên hai trục tọa độ và (V) có diện tích bằng 2. Xác định số giao điểm của hình vuông (V)và 

3 

đồ thị hàm số y = x − 4x 

+ 3 

A. 1 giao điểm B. 2 giao điểm C. 3 giao điểm D. 0 giao điểm 

Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 

( 1) 

y = m x + tại hai điểm phân biệt 

y 

3 

= x + 1 cắt đường thẳng 














3 

3 

A. m = 3 

B. m = C. m∈ ⎧ ⎨3; ⎫ ⎬ 

4 

⎩ 4 ⎭ 

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường cong 

hoành tại ba điểm phân biệt 

3 

A. m ≠ ± 1 

B. m = C. 3 

4 

Câu 26: Tìm giá trị của m để đường cong ( ) 

điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, 

x3. 

thỏa mãn 

Trang238 

3 

D. m∈⎨ 

⎧ 2;3; ⎫ ⎬ 

⎩ 4 ⎭ 

3 2 

y x mx x m 

= + − − cắt trục 

m ≠ ± D. m ∈ { 1;5} 

3 2 

y x m x mx 

= + 2 − + − 3 cắt trục hoành tại ba 

x x x 

2 2 2 

1 

+ 

2 

+ 

3 

= 10 

A. m ∈{ − 1;7} 

B. m ∈ { 2;3} 

C. m ∈ { 3; 4} 

D. m ∈{ − 1} 

3 2 

Câu 27: Tìm giá trị của m để đường cong 2 ( 1 ) 

điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, 

x3. 

thỏa mãn 

A. { 2;3} 

y = x − x + − m x + m cắt trục hoành tại ba 

x x x 

2 2 2 

1 

+ 

2 

+ 

3 

< 4 

1 

1 

m ∈ B. − < m < 1, m ≠ 0 C. m = 1 

D. − < m < 1 

4 

4 

Câu 28: Tìm giá trị của m để đường cong ( ) 

y 

3 2 

C : y = x + mx + 1 cắt đường thẳng 

= m( x + 1) 

tại ba điểm phân biệt A( 0;1 ), B, 

C sao cho tiếp tuyến của ( ) 

đường cong vuông góc với nhau 

A. 5 

C tại B và C của 

m = ± B. m ∈ { 2;3} 

C. m ∈ { 3; 4} 

D. m ∈ { 1;5} 

3 2 

Câu 29: Tìm giá trị của m để đường cong ( ) ( ) 

C : y = 2x − 3mx + m − 1 x + 1 cắt đường thẳng 

y = 2x 

+ 1 tại ba điểm phân biệt A, B, 

C thỏa mãn C ( 0;1) 

nằm giữa A và B,đồng thời đường 

thẳng AB có độ dài 30 

A. 5 

m = ± B. { 2;3} 

8 

m ∈ C. m ∈ ⎧ ⎨0; ⎫ ⎬ 

⎩ 9 ⎭ 

D. m ∈ { 1;5} 

3 2 

Câu 30: Cho hàm số y = 2x − 3mx + ( m − 1) 

x + 1 có đồ thị là ( C ) Cho điểm M ( 3;1) 

đường thẳng d : y = x + y − 2 = 0. Tìm giá trị của m để đường thẳng ( d ) cắt đồ thị ( C ) tại ba 

điểm A( 0; 2 ), B, 

C sao cho tam giác MBC có diện tích 2 6 

⎡m 

= −1 

A. m = 1 

B. m = 4 

C. m = − 1 

D. ⎢ 

⎣ m = 4 

và 

Câu 31: Cho hàm số y = x 3 − 4x 2 + 6x −1 

( C ) và đường thẳng d : y x 1. 

của đường thẳng ( d ) và hàm số ( ) 

Trang239 

C là? 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

= + Số giao điểm 

Câu 32: Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − 2x − 9 ( C ) và đường thẳng d : y 2x 

3. 

x , x , x hoành độ các giao điểm của đường thẳng ( ) 

1 2 3. 

x + x + x có giá trị bằng? 

2 2 2 

1 2 3 

d và đồ thị hàm số ( ) 

A. 13 B. 8 C. 21 D. 17 


3 2 

y x x x 

d : y = mx − 2m − 4 cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt 

= + Gọi 

C . Tổng 

= − 6 + 9 − 6 có đồ thị là ( C ) Tìm m để đường thẳng 

A. m ≥ − 3 

B. m < −3, m ≠ −1 

C. m > −3, m ≠1 

D. m = − 3 


= ( − ) − − cắt ( ) 

d : y 2m 1 x 4m 

1 

3 2 

y = x − 3x + 1 có đồ thị là ( ) 

C tại hai điểm phân biệt 

5 1 

5 

A. − < m < B. m = − 

8 2 

8 

5 1 1 

C. m = − hoặc m = D. m = 

8 2 2 


y = x 3 − m + 3 x 2 + 4mx − m 2 có đồ thị là ( ). 

2 2 2 

hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho x + x + x = 8 

A B C 

C Tìm m để đường thẳng 

C Tìm m để ( ) 

A. m = 0 

B. m = 1 

C. m = − 1 

D. m = 2 


( 1;0 ) 

3 2 

y = x − 5x + 3x + 9 có đồ thị là ( ). 

A − và có hệ số góc k. Tìm k để ∆ cắt ( ) 

giác OBC có trọng tâm ( 2;2) 

A. 1 4 

G với O là gốc tọa độ 

C cắt trục 

C Gọi ∆ là đường thẳng đi qua 

C tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tam 

3 

1 

B. − C. − D. 3 4 

4 

4 

Đáp án 

1-A 2-D 3-D 4-B 5-C 6-A 7-A 8-C 9-B 10-D 

11-C 12-B 13-D 14-D 15-C 16-B 17-A 18-A 19-C 20-D 

21-A 22-A 23-B 24-C 25-A 26-D 27-B 28-A 29-C 30-D 














31-C 32-D 33-C 34-C 35-B 36-D 

Trang240 

Trang241 

CHỦ ĐỀ 9: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG 


Xét đồ thị ( C ) : y = ax 4 + bx 2 + c ( a ≠ 0) 

+ Tung độ giao điểm của ( C ) và trục tung ( x = 0) 

là nghiệm của y = c 

⇒ ( C ) cắt trục Oy tại điểm M ( 0; c ) 

+ Hoành độ giao điểm của ( C ) và trục hoành ( 0) 

1. Bài toán liên quan đến số giao điểm 

Số giao điểm của ( ) 

4 2 

y = là nghiệm của ax + bx + c (1) 

C và trục hoành chính là số nghiệm của phương trình (1) 

2 

2 

Đặt t = x ≥ 0 thì (1) thành at + bt + c = 0 

• ( C ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt ( 2) 

⎧ 

2 

⎪∆ = b − 4ac 

> 0 

⎪ b 

⇔ ⎨ t1 + t2 

= − > 0 

⎪ a 

⎪ c 

⎪ t1t 

2 

= > 0 

⎩ a 

• ( C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt ( 2) 

bằng 0 

⇔ có hai nghiệm dương phân biệt 

⇔ có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm 

• ( C ) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt 

⎧⎪ 

⇔ ⎨ 

⎪ ⎩ 

• ( ) 

( 2) 

( 2) 

cuøng nghieäm keùp döông 

coù nghieäm döông vaø nghieäm aâm 

( ) 

( ) 

⎧⎪ 2 cuøng nghieäm keùp baèng 0 

C cắt trục hoành tại điểm duy nhất ⇔ ⎨ 

⎪ ⎩ 2 coù nghieäm baèng 0 vaø nghieäm aâm 

• ( ) 

( ) 

( ) 

( ) 

⎧ 2 voâ nghieäm 

⎪ 

C không cắt trục hoành ⇔ ⎨ 2 cuøng nghieäm keùp aâm 

⎪⎩ 

2 coù 2 nghieäm phaân bieät 

2 

Một số bài toán có thể thay trục hoành thành d : y = m hoặc ( P) 

: y = mx + n, 

phương pháp 

giải hoàn toàn tương tự như trên 

2. Bài toán liên quan đến cấp số cộng 














Tìm điều kiện để ( C ) : y ax 4 bx 2 c ( a 0) 

hoành độ lập thành một cấp số cộng 

Trang242 

= + + ≠ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có 

+ Bước 1: Tìm điều kiện để (1) có 4 nghiệm phân biệt 

⎧ 

2 

⎪∆ = b − 4ac 

> 0 

⎪ b 

⇔ ( 2) 

có 2 nghiệm dương phân biệt t 1 

và t2 ⇔ ⎨ t1 + t2 

= − > 0 

⎪ a 

⎪ c 

⎪ t1t 

2 

= > 0 

⎩ a 

Giả sử t 1 

< t 2 

, khi đó các nghiệm của (1) là − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 

theo thứ tự lập thành cấp 

số cộng nên 

( ) ( ) 

− t − − t = t − − t ⇔ t = 3 t ⇒ t = 9t 

1 2 1 1 2 1 2 1 

⎧ b 

⎪ 

t1 + t2 

= − 

a 

⎪ c 

+ Bước 3: Kết hợp với hệ thức Viet, ta giải hệ ⎨ t1t 

2 

= 

⎪ a 

⎪ t2 = 9t1 

⎪ 

⎩ 

⎧ b 

⎧ b ⎧ b t1 

= − 

⎪t1 + t2 = − ⎪10t 1 

= − ⎪ 

10a 

Từ ⎨ a ⇒ ⎨ a ⇒ ⎨ 

⎪ 9b 

⎩ t2 = 9t ⎪ 

1 ⎩ t2 = 9t ⎪ 

1 t2 

= − 

⎪⎩ 10a 

2 

9 2 

9 

Thế vào t1t 2 

= c ⇒ b = c ⇒ 9b = 100ac 

⇒ ac = 

2 2 

a 100a a b 100 

Chú ý đối chiếu với (*) và chọn đáp án đúng 


Ví dụ 1: Hỏi có tất cả bao nhiêu giao điểm giữa đồ thị hàm số 

thẳng y = 2? 

(*) 

y x x 

A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 

Lời giải 

Phương trình hoành độ giao điểm x 

2 

⎡ x = 1 ⎡ x = ± 1 

⇔ ⎢ ⇔ 

2 ⎢ 

⎣x 

= 2 ⎣x 

= ± 2 

− 3x 

+ 4 = 2 (1) 

4 2 

4 2 

= − 3 + 4 và đường 

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt 

Chọn B 

Ví dụ 2: Cho hàm số 2( 1) 

rằng ( C ) 

m 

đây là đúng? 

Trang243 

4 2 

y x m x m 

= − + + có đồ thị ( C ), với m là tham số thực. Biết 

cắt tia Oy tại điểm M thỏa mãn OM = 5, với O là gốc tọa độ. Mệnh đề nào dưới 

A. − 2 < m < 1 B. − 6 < m < − 2 C. 4 < m < 6 D.1 < m < 4 

Lời giải 

Ta có ( ) 


m 

( ) 

4 2 

⎧ y = x − 2 m + 1 x + m ⎧y 

= m 

 

⎨ ⇔ ⎨ ⇒ M ( 0; m) ⇒ OM = ( 0; m) 

⇒ OM = m 

⎩ x = 0 

⎩ x = 0 

Bài ra OM = 5 ⇒ m = 5 ⇔ m = ± 5 

Hớn nữa M thuộc tia Oy ⇒ m = 5 thỏa mãn 

Chọn C 


4 2 

y x 2mx 6 2m 

= − + − có đồ thị ( ) 

tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để ( C ) 

m 

m 

m 

C với m là tham số thực. Hỏi có 

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. 

A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 

Lời giải 

4 2 

Phương trình hoành độ giao điểm x − 2mx + 6 − 2m 

= 0 (1) 

2 

2 

Đặt t = x ≥ 0 thì (1) thành t − 2mt + 6 − 2m 

= 0 

(2) 

Ta có ( C ) 

m 

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt 

⇔ ( 1) 

có 4 nghiệm phân biệt ( 2) 

( ) ⎧( ) 2 

⇔ có 2 nghiệm dương phân biệt 

2 

⎧∆ = m − 6 − 2m > 0 m + 1 > 7 

⎪ 

⎪ 

⇔ ⎨ t1 + t2 

= 2m > 0 ⇔ ⎨ m > 0 ⇔ 7 − 1< m < 3 

⎪ t1t 2 

6 2m 0 ⎪ 

⎩ = − > m < 3 

⎩ 

Mà m ∈ Z ⇒ m = 2 thỏa mãn 

Chọn A 

4 2 

Ví dụ 4: Cho hàm số y x 2mx 6 2m 

( C ) 

m 

= − + − có đồ thị ( ) 

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Mệnh đề nào dưới đây là đúng 

C với m là tham số thực. Biết rằng 


m 













A. 1 5 

1 

< m < B. − 1< m < C. 5 < m < 9 D. 9 < m < 6 

2 2 

2 

2 2 

2 

Lời giải 

4 2 

Phương trình hoành độ giao điểm x − 2mx + 6 − 2m 

= 0 (1) 

2 

2 

Đặt t = x ≥ 0 thì (1) thành t − 2mt + 6 − 2m 

= 0 

(2) 

Ta có ( Cm 

) cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt 

⇔ ( 1) 

có đúng 3 nghiệm phân biệt 

⇔ ( 2) 

có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0 

2 

Do (2) có 1 nghiệm bằng 0 nên 0 − 2 m.0 + 6− 2m = 0 ⇔ m = 3 

Thử lại, với m = 3 thì (1) thành 

Chọn 


Trang244 

⎡ x = 0 

4 2 

x − 6x = 0 ⇔ ⎢ ⇒ m = 3 thỏa mãn 

⎣x 

= ± 6 

4 2 

y x 2mx 12 m 

= − + − có đồ thị ( ) 


tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 18 để ( Cm 

) cắt trục hoành tại đúng hai điểm 

phân biệt. 

A. 5 B. 11 C. 8 D. 6 

Lời giải 

4 2 

Phương trình hoành độ giao điểm x − 2mx + 12 − m = 0 (1) 

2 

Đặt t = x ≥ 0 thì (1) thành t 2 − 2mt + 12 − m = 0 

(2) 

Ta có ( Cm 

) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt 

⎧⎪ 

⇔ ⎨ 

⎪ ⎩ 

( 2) 

( 2) 

cuøng nghieäm keùp döông 

coù nghieäm döông vaø nghieäm aâm 

• TH1 (2) có 1 nghiệm kép dương m ( m) 

Với m = 3 thì (1) trở thành x 

m 

2 ⎡ m = 3 

⇒ ∆ ' = − 12 − = 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

= −4 

− 6x + 9 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = ± 3 ⇒ m = 3 thỏa mãn 

4 2 2 

4 2 

Với m = − 4 thì (1) trở thành x +8x + 16 = 0 ⇔ x∈∅ ⇒ m = −4 

không thỏa mãn 

• TH2(2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm 

( ) 

2 2 

⎧∆ ' = m − 12 − m > 0 ⎧∆ ' = m + m − 12 > 0 

⎨ 

⇔ ⎨ 

⇔ m > 12 

⎩ t1t 2 

= 12 − m < 0 ⎩ m > 12 

Chọn D 

Trang245 

Mà 18 

m < và m ∈ Z ⇒ m ∈{ 13;14;15;16;17} 

Tóm lại có tất cả 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán 

4 2 2 

Ví dụ 6: Cho hàm số y x 2mx m 3m 

= + + − có đồ thị ( ) 

tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để ( C ) 

m 


m 

cắt trục hoành tại điểm duy nhất. 

A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 

Lời giải 

4 2 2 

Phương trình hoành độ giao điểm x + 2mx + m − 3m 

= 0 (1) 

2 

2 2 

Đặt t = x ≥ 0 thì (1) thành t + 2mt + m − 3m 

= 0 

(2) 

Ta có ( C ) 

⎧⎪ 

⇔ ⎨ 

⎪ ⎩ 

( 2) 

( 2) 

m 

cắt trục hoành tại điểm duy nhất 

cuøng nghieäm keùp baèng 0 

coù nghieäm baèng 0 vaø nghieäm aâm 

Trong cả hai trường hợp thì (2) đều có nghiệm bằng 0 

2 2 ⎡m 

= 0 

⇒ 0 + 2 m.0 + m − 3m 

= 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

= 3 


4 

= 0 ⇔ x = 0 ⇒ m = 0 thỏa mãn 

4 2 

Với m = 3 thì (1) trở thành x +6x = 0 ⇔ x= 0 ⇒ m = 3 thỏa mãn 


Chọn D 


4 2 

y x m m 

= + 2 x + 3 − 2 có đồ thị ( C ) với m là tham số thực. Hỏi có 

tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 10 để ( ) 

m 

m 

C không cắt trục hoành. 

A. 9 B. 7 C. 10 D. 8 

Lời giải 

4 2 

Phương trình hoành độ giao điểm x + 2mx + 3m 

− 2 = 0 (1) 

2 

Đặt t = x ≥ 0 thì (1) thành t 2 + 2mt + 3m 

− 2 = 0 

(2) 

Ta có ( C ) 

m 

không cắt trục hoành 

⎧ 

⎪ 

⇔ ⎨ 

⎪⎩ 

( 2) 

( 2) 

( 2) 

voâ nghieäm 

cuøng nghieäm keùp aâm 

coù 2 nghieäm aâm phaân bieät 

2 

• TH1 (2) vô nghiệm ⇔ ∆ ' = m − 3m + 2 < 0 ⇔ 1< m < 2 mà m ∈ Z ⇒ m ∈∅ 














2 ⎡ m = 1 

• TH2 (2) có nghiệm kép âm ⇒ ∆ ' = m − 3m 

+ 2 = 0 ⇔ ⎢ 

⎣m 

= 2 


Trang246 

+ 2x 

+ 1= 0 ⇔ x∈∅ ⇒ m = 1 thỏa mãn 

4 2 

4 2 

Với m = 2 thì (1) trở thành x +4x + 4 = 0 ⇔ x∈∅ ⇒ m = 2 thỏa mãn 

• TH3 (2) có hai nghiệm phân biệt 

2 

⎧ ⎡m 

> 2 

⎧∆ ' = m − 3m + 2 > 0 ⎡ m > 2 

⎪ 

⎪⎢ 

m < 1 

⇔ t1 t2 

2m 

0 

⎪⎣ 

⎨ + = − < ⇔ ⎨ ⇔ ⎢ 

2 

⎪ 

2 m 1 

t1t 2 

3m 2 0 ⎪ 

⎢ < < 

⎩ 

= − > m > ⎣ 3 

⎪ ⎩ 3 

Mà m ∈ Z và m < 10 ⇒ m ∈ { 3; 4;5;6;7;8;9} 


Chọn A 

4 2 

Ví dụ 8: Cho hàm số y = x − ( m − 2) 

x + m + 1 có đồ thị ( ) 


tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 10 để ( C 

m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 

có hoành độ nhỏ hơn 2. 

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 

Lời giải 


Để ý ( m + 2) 2 − 4( m + 1) 

= m 

2 

nên ( 1) 

4 2 

x m m 

− − 2 x + + 1 = 0 (1) 

⎡ 

⎢ 

⇔ ⎢ 

Ta có ( C 

m ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 

2 m + 2 − m 

x = = 1 

2 

m + 2 + m 

1 

2 

⎢ 2 

x = = m + 

⎧ m + 1 > 0 ⎧m 

> −1 

⇔ ( 1) 

có bốn nghiệm phân biệt ⇔ ⎨ ⇔ 

2 ⎨ (*) 

⎩1 ≠ m + 1 ⎩ m ≠ 0 

⎡ x = ± 1 < 2 

⎢ 

Từ đó (2) ⇔ ⎢ x = m + 1 

⎢ 

⎣x 

= − m + 1 < 2 

Khi đó YCBT ⇔ m + 1 < 2 ⇔ − 1 < m < 3 

Két hợp với (*) mà m ∈ Z ta có m ∈{ 1;2} 

thỏa mãn 

Chọn B 

⎢⎣ 

m 

(2) 

4 2 

Ví dụ 9: Cho hàm số y x 2mx 1 

Trang247 

= − + có đồ thị ( C ) với m là tham số thực. Biết ( ) 

trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2, x3, 

x 

4 

thỏa mãn x x x x 


m 

C cắt 

2 2 2 2 

1 

+ 

2 

+ 

3 

+ 

4 

= 12. 

A. 3 5 

3 

< m < B. 1< m < C. 5 < m < 9 D. 9 < m < 6 

2 2 

2 

2 2 

2 

Lời giải 


2 

Đặt t = x ≥ 0 thì (1) thành t 

Ta có ( C ) 

m 

2 

− 2mx + 1= 0 

(1) 

4 2 

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 

⇔ ( 1) 


2 

⎧∆ ' = m − 1 > 0 

2 

⎪ 

⎧ m > 1 

⇔ ⎨t1 + t2 

= 2m > 0 ⇔ ⎨ ⇔ m > 1 

⎪ m > 0 

t1t 

2 

= 1 > 0 

⎩ 

⎩ 

+ 2mt 

+ 1= 0 

(2) 


2 

Từ t = x ta được x = ± t , khi đó (1) có 4 nghiệm − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 

(*) 

2 2 2 2 

Ta có ( ) 

Chọn C 

Nhận xét 

x + x + x + x = t + t + t + t = 2 t + t = 2.2m = 12 ⇔ m = 3 thỏa mãn (*) 

1 2 3 4 2 1 1 2 1 2 

2 2 2 2 

Nếu thay đổi x + x + x + x = thành x1 + x2 + x3 + x4 = 6 thì ta làm như sau: 

1 2 3 4 

12 

Ta có x1 x2 x3 x4 t2 t1 t1 t2 ( t1 t2 

) 

+ + + = − + − + + = 2 + = 6 

9 

⇒ t1 + t2 + 2 t1t 2 

= 9 ⇒ 2m + 2 = 9 ⇒ m = thỏa mãn (*) 

2 

4 2 

Ví dụ 10: Cho hàm số y x 2mx 1 

= − + có đồ thị ( C ) với m là tham số thực. Biết ( ) 

m 

m 

C cắt 

trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2, x3, 

x 

4 

theo thứ tự lập thành một cấp số 

cộng. Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 

A. −3 ≤ m ≤ − 1 B. − 1 < m < 1 C.1 ≤ m ≤ 3 D. 3 < m < 5 

Lời giải 


2 

Đặt t = x ≥ 0 thì (1) thành t 

Ta có ( C ) 

m 

2 

− 2mx + 1= 0 

(1) 

4 2 

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 

+ 2mt 

+ 1= 0 

(2) 


m 













⇔ ( 1) 


2 

⎧∆ ' = m − 1 > 0 

2 

⎪ 

⎧ m > 1 

⇔ ⎨t1 + t2 

= 2m > 0 ⇔ ⎨ ⇔ m > 1 

⎪ m > 0 

t1t 

2 

= 1 > 0 

⎩ 

⎩ 

Trang248 


(*) 

ac 9 

Trong mục I phần Bài toán liên quan đến cấp số cộng ta có công thức giải nhanh 

2 

b = 100 

Đối với ví dụ này thì a = 1, b = − 2 m, c = 1 nên 1 = 9 ⇒ m = 5 thỏa mãn (*) 

2 

4m 100 3 

5 

Thử lại, với m = thì (1) thành x 

3 

Rõ ràng 

2 

⎡ x = 3 x = ± 

4 10 2 

− x + = ⇔ ⎢ ⎢ 

2 1 ⇔ ⎢ 

3 

1 0 

⎢ 

1 

x = x = ± 

⎢⎣ 3 ⎢⎣ 

3 

1 1 

− 3; − ; ; 3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai bằng 

3 3 

2 5 

⇒ m = thỏa mãn bài toán. 

3 3 

Chọn C 


Câu 1: Cho hàm số y x 4 2 

( C) 

= −3x − 1 . Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = −2 

tại? 

A. 1 điểm duy nhất B. 2 điểm phân biệt C. 3 điểm phân biệt D. 4 điểm phân biệt 

Câu 2: Cho hàm số y x 4 4x 2 1 ( C) 

(P) là? 

2 

= − + + và Parabol P : y = x −1. 

Số giao điểm của (C) và 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 


4 2 

= x − 6x + 3 có đồ thị ( ) 

C Parabol 

⎡ 

P y 

3 

2 

: x 1 

= − − cắt ( ) 

điểm phân biệt. Tính tổng bình phương các hoành độ giao điểm của (C) và (P) là? 

A. 5 B. 4 C. 10 D. 8 

Câu 4: Cho hàm số y = x 4 − ( m + 9) x 2 + 9 m ( C ). 

Giá trị của m để ( ) 

điểm phân biệt có hoành độ đều lớn hơn − 4 là? 

C tại bốn 

C cắt trục hoành tại 4 

A. m < 16, m ≠ 9 B. m ≥ 4, m ≠ 9 C. 0 < m ≤ 16, m ≠ 9 D. 0 < m < 16, m ≠ 9 

Câu 5: Cho hàm số y = mx 4 + ( m + 1) x 2 + 1 ( C ). 


điểm phân biệt là? 

C cắt trục hoành tại 4 

A. −1 ≤ m < 0 B. − 1 < m < 0 C. m > 1 hoặc m < − 1 D. m = ∅ 

Câu 6: Cho hàm số y = mx 4 + ( m −1) x 2 − m ( C ). 


phân biệt có hoành độ x1, 

x 

2 

thỏa mãn x1 + x 

2 

= 4 là? 

A. m = − 2 

B. m = − 4 

C. m = 4 

D. m = 1 

4 2 

Câu 7: Trục hoành cắt đồ thị hàm số y = x − 3x 

+ 1 tại bao nhiêu điểm? 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

4 2 


( ) 

m 

Trang249 

C cắt Ox tại 2 điểm 

y = x − 2x + m C m 

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho 

C cắt trục tung tại điểm M thỏa mãn OM = 5 

A. m = ± 1 

B. m = ± 3 

C. m = ± 2 

D. m = ± 5 

Câu 9: Cho hàm số y = mx 4 − mx 2 + m ( C ). 


2 2 2 2 

biệt có hoành độ x1 , x2, x3, 

x 

4 

thỏa mãn x + x + x + x = là? 

1 2 3 4 

30 

C cắt Ox tại 4 điểm phân 

A. m = 6 

B. m = 5 

C. m = 8 

D. m = 3 

4 2 

Câu 10: Cho hàm số y = − x + 5x − 4 có đồ thị ( C ). Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ 

thị ( C ) tại 4 điểm phân biệt theo thứ tự , , , 

A B C D thỏa mãn AB = BC = CD 

1 

7 

25 

13 

A. m = B. m = − C. m = D. m = 

2 

4 

4 

2 

4 2 


cho ( ) 

y = mx − mx + m C m 

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao 

C cắt trục hoànhtại 4 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2, x3, 

x 

4 

thỏa mãn 

x + x + x + x = là? 

2 2 2 2 

1 2 3 4 

8 

A. m = 2 

B. m = 3 

C. m = 1 

D. m = 4 

Câu 12: Đồ thị ( ) 

C của hàm số 

m 

y x m 

4 2 

= − 2 x + 1 cắt trục hoànhtại 4 điểm phân biệt có 

hoành độ x1 , x2, x3, 

x 

4 

theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết rằng giá trị m thỏa mãn điều 

kiện trên có dạng 

P = a + 2b 

2 2 

a 

b với a, b > 0 và a 

b 

là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức 

A. P = 41 

B. P = 43 

C. P = 57 

D. P = 59 

4 2 

Câu 13: Cho hàm số ( ) ( ) 

số m sao cho ( ) 

m 

y = x − 3m + 2 x + 3m + 1 C m 

. Tìm tất cả các giá trị thực của tham 

C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 

1 

1 

1 

1 

A. m ≠ 0, − < m < 1 B. − < m < 1 C. m ≠ 0, − < m < 1 D. − < m < 1 

2 

2 

3 

3 














4 2 

Câu 14: Cho hàm số = − ( 3 + 2) x + 3 + 1 ( ). 

Tìm giá trị của m để đồ thị ( C ) 

Trang250 

y x m m C m 

cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn xA < xB < xC < xD 

và tam giác MAC 

có diện tích bằng 2 với M ( 5;1) 

A. m = 6 

B. m = 3 

C. m = 9 

D. m = 4 

4 2 

Câu 15: Cho hàm số y = x − mx + 1 ( 1 ). 

Gọi m là giá trị để đường thẳng d : y 2x 

1 

đồ thị ( 1 ) tại 4 điểm phân biệt. Biết m ≤ 5, số các số nguyên m cần tìm là? 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

m 

= + cắt 

Câu 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 

4 2 2 

= − ( 2 + 1) 

x + + cắt trục hoànhtại 4 điểm phân biệt có hoành độ a, b, c, 

d thỏa 

y x m m m 

2 2 2 2 

mãn a + b + c + d = 26 là? 

A. m = − 2 

B. m = 6 

C. m = 3 

D. m = − 3 


thẳng y = m tại hai điểm phân biệt 

⎡ m > 0 

A. m ≥ − 1 

B. m ≥ 0 

C. ⎢ 

⎣m 

= −1 


đường thẳng y = 5x + m tại một điểm duy nhất 

y 

4 2 

= x − 2x cắt đường 

⎡ m ≥ 0 

D. ⎢ 

⎣m 

= −1 

y 

4 2 

= mx + 2x + 3 cắt 

1 

3 

1 

A. m = B. m = 0 

C. m = − D. m > 0, m ≠ 

4 

4 

4 

Câu 19: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 

2 

đường thẳng ( ) 

y = 1− m x + 3 tại ba điểm phân biệt 

y x m 

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 

4 2 2 

= − x + 3 cắt 

Câu 20: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số 

2 

( 1) ( 1) ( 1 ) 

2 2 2 

y = x − − m + − m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ tương ứng 

lập thành một cấp số cộng 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 21: Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số 

4 2 

= − 3 − 1 với đường thẳng y = − 3 

y x x 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

x 

Câu 22: Có bao nhiêu giao điểm giữa đồ thị hàm số 

y = 5x 

−8có hoành độ dương 

Trang251 

y x x 

4 2 

= − + 2 + 10 với đường thẳng 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

Câu 23: Có bao nhiêu giao điểm giữa đồ thị hàm số 

y = x + 1có hoành độ âm 

y x x 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

4 2 

= + − 2 với đường thẳng 

4 2 

Câu 24: Tìm tất cả các giá trị của m để đường cong y = x − 40x + 6m 

cắt trục hoành tại bốn 

điểm phân biệt theo thứ tự A, B, C, 

D sao cho AB = BC = CD 

A. 24 

m = B. m ∈ { 2;3} 

C. { 1;5} 

8 

m ∈ D. m ∈ ⎧ ⎨0; ⎫ ⎬ 

⎩ 9 ⎭ 

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số ( ) 

hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng 

A. 5 

m = ± B. { 2;3} 

4 

m ∈ C. m∈ ⎧ ⎨− 

⎫ ;4 ⎬ 

⎩ 9 ⎭ 

4 

x 2 5 

Câu 26: Cho hàm số y = − 3x 

+ có đồ thị ( ). 

2 2 

độ là 1. Tiếp tuyến của ( C ) tại A cắt đồ thị ( ) 

4 2 

y x m x m 

= − 2 + 1 + 2 + 1 cắt trục 

D. m ∈ { 1;5} 

C Cho điểm A thuộc đồ thị ( ) 

C tại điểm B. Tính độ dài đoạn thẳng AB 

A. 65 B. 2 17 C. 2 65 D. 4 17 

Đáp án 

C có hoành 

1-D 2-B 3-C 4-D 5-D 6-B 7-D 8-D 9-B 10-B 

11-A 12-B 13-C 14-A 15-B 16-B 17-C 18-A 19-C 20-D 

21-B 22-A 23-A 24-A 25-C 26-D 














Trang252 

CHỦ ĐỀ 10: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC 


Xét đồ thị ( C ) 

ax + b 

: y = và đường thẳng d : y = mx + n 

cx + d 

Hoành độ giao điểm của d và ( C ) là nghiệm của phương trình 

1. Bài toán liên quan đến số giao điểm 

• d và ( ) 

⇔ 

( 1) 

• d và ( ) 

⎧ d 

ax + b 

⎪ x ≠ − 

= mx + n ⇔ ⎨ c A ≠ 

cx + d 

⎪ 2 

⎩Ax + Bx + C = 0 


( 0) 

2 

⎧ ∆ = B − 4AC 

> 0 

d ⎪ 

2 

có hai nghiệm phân biệt khác − ⇔ ⎨ 

c 

⎛ d ⎞ −d 

⎪A⎜ − ⎟ + B + C ≠ 0 

⎩ ⎝ c ⎠ c 

C tại điểm duy nhất 

⎧ 

d 

( 1 ) coù nghieäm keùp khaùc - 

⎪ 

⇔ 

c 

⎨ 

⎪⎪ d 

( 1 ) coù nghieäm phaân bieät trong ñoù coù 1 nghieäm baèng - 

⎩ 

c 

• d không cắt ( C ) 

( ) 

⎧ 1 voâ nghieäm 

⎪ 

⇔ ⎨ d 

⎪⎩ ( 1 ) coù nghieäm keùp - 

c 

2. Bài toán liên quan đến tính chất các giao điểm 

Phần này, ta chỉ xét bài toán mà có liên quan đến d cắt ( ) 

+ Bước 1: Tìm điều kiện để d cắt ( ) 


C tại hai điểm phân biệt. 

2 

⎧∆ = − > 

B 4AC 

0 

d ⎪ 

− ⇔ ⎨ 

c 

⎛ d ⎞ −d 

⎪A. ⎜ − ⎟ + B. + C ≠ 0 

⎩ ⎝ c ⎠ c 

2 

⇔ ( 1) 

có hai nghiệm phân biệt khác (*) 

+ Bước 2: Gọi tọa độ hai điểm, ta giả sử đó là A và B 

Do A, B ∈ d ⇒ A( x ; mx + n) , B ( x ; mx + n) 

1 1 2 2 

II. 

Trang253 

Lưu ý x1, 

x 

2 

chính là hai nghiệm của (1) nên theo hệ thức Viet thì 

⎧ B 

x1 + x2 

= − 

⎪ A 

⎨ 

⎪ C 

x1 x2 

⎪⎩ 

= A 

+ Bước 3: Theo yêu cầu bài toán, ta tìm m, chú ý đối chiếu với (*) và chọn 

phương án đúng 

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 

3x 

−1 


− 1 cắt đồ thị hàm số y = tại hai điểm phân biệt 

x + 1 

có hoành độ x1 , x 

2. 

Tính S = x + x . 2 

A. S = 1 

B. S = − 1 

C. S = 2 

D. S = 3 

Lời giải 

3x 

−1 

Phương trình hoành độ giao điểm 2x 

− 1 = 

x + 1 

⎧ ⎪x ≠ −1 ⎧x ≠ −1 ⎡x 

= 0 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ S 0 1 1 

2 

( 2x 1)( x 1) 3x 1 

⎢ ⇒ = + = 

⎪⎩ 

− + = − ⎩2x 

− 2x 

= 0 ⎣x 

= 1 

Chọn A 

3x 

−1 



x + 1 

A và B . Tính độ dài đoạn thẳng AB . 

A. AB = 2 

B. AB = 5 C. AB = 2 D. AB = 3 

Lời giải 

3x 

−1 


− 1 = 

x + 1 

( ) 

( ) 

⎧⎪ 

x ≠ −1 ⎧x 

≠ −1 

⎡x = 0 ⇒ y = −1⇒ A 0; −1 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

⇔ 

2 

⎢ 

⎪⎩ 

( 2x − 1)( x + 1) 

= 3x −1 ⎩2x − 2x = 0 ⎢⎣ 

x = 1⇒ y = 1⇒ 

B 1;1 

 

⇒ AB = 1;2 ⇒ AB = 1 + 2 = 5 

Chọn B 

( ) 

2 2 














3x 

−1 



x + 1 

A và B . Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB . 

1 1 

A. M ⎛ 

⎜ ; − 

⎞ 

⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ 

Lời giải 

Trang254 

1 

B. M ⎛ 

⎜ 

⎞ ;0 ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

3x 

−1 


− 1 = 

x + 1 

C. M ( 0; − 1) 

D. M ( 1;1) 

( ) 

( ) 

⎧⎪ 

x ≠ −1 ⎧x 

≠ −1 

⎡x = 0 ⇒ y = −1⇒ A 0; −1 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

⇔ 

2 

⎢ 

⎩⎪ 

( 2x − 1)( x + 1) 

= 3x −1 ⎩2x − 2x = 0 ⎣⎢ 

x = 1⇒ y = 1⇒ 

B 1;1 

⎛ 0 + 1 − 1+ 

1⎞ ⎛ 1 ⎞ 

Do đó tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là ⎜ ; ⎟ = ⎜ ;0⎟ 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

Chọn B 

3x 

−1 



x + 1 

A và B . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB, 

với O là gốc tọa độ 

1 

A. G ⎛ 

⎜ − 

⎞ ;0 ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

Lời giải 

1 

B. G ⎛ 

⎜ 

⎞ ;0 ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

3x 

−1 


− 1 = 

x + 1 

1 

C. G ⎛ 

⎜ − 

⎞ ;0 ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

( ) 

( ) 

⎧⎪ 

x ≠ −1 ⎧x 

≠ −1 

⎡x = 0 ⇒ y = −1⇒ A 0; −1 

⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

⇔ 

2 

⎢ 

⎩⎪ 

( 2x − 1)( x + 1) 

= 3x −1 ⎩2x − 2x = 0 ⎣⎢ 

x = 1⇒ y = 1⇒ 

B 1;1 

⎛ 0 + 1+ 0 0 − 1+ 

1⎞ ⎛ 1 ⎞ 

Do đó tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB là ⎜ ; ⎟ = ⎜ ;0⎟ 

⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

Chọn D 

1 

D. G ⎛ 

⎜ 

⎞ ;0 ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị ( C ) của hàm số 

cắt đường thẳng y = x − m tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của ( C ) 

A. m > 1 

B. − 1 < m < 1 C. m = ∅ D. m ∈ R 

Lời giải 


x 3 

y = + 

x + 1 

x + 3 ⎪⎧ 

x ≠ −1 

⎪⎧ 

x ≠ −1 

x − m = ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

x + 1 ⎪⎩ 

⎪⎩ 

Trang255 

( x − m)( x + 1) = x + 3 x 2 − mx − m − 3 = 0 ( 1) 


( ) 

2 

( ) m( ) m 

2 2 

⎧∆ = m − −m − > ⎧ m + + > 

⇔ có hai nghiệm phân biệt khác − 1 

( ) 

⎪ 4 3 0 ⎪ 2 8 0 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m ∈ R 

⎪⎩ 

− 1 − − 1 − − 3 ≠ 0 ⎪⎩ 

m ∈ R 

⇔ có hai nghiệm phân biệt x1; 

x 

2 

khác − 1 thỏa mãn 

YCBT ( 1) 

( x + 1)( x + 1) < 0 ⇔ x x + x + x + 1 < 0 ( 2) 

1 2 1 2 1 2 

Do 

1 2 

(*) 

⎧x1 + x2 

= m 

x ; x là hai nghiệm của (1) nên theo hệ thức Viet, ta có ⎨ 

⎩x x = −m 

− 

Khi đó ( ) 

Chọn D 

Nhận xét 

1 2 

3 

2 ⇔ −m − 3 + m + 1 < 0 ⇔ m ∈ R , kết hợp với (*) ta được m ∈ R thỏa mãn 

Nếu thay yêu cầu thuộc hai nhánhcủa (C) thành thuộc cùng một nhánh của (C) thì ta 

chỉ cần chuyển ( x + 1)( x + 1) 

< 0 thành ( x )( x ) 

1 2 

Ví dụ 6: Cho hàm số y 

thẳng d : y x m 

= − cắt ( ) 

x + 3 

x 1 


= + 


+ 1 + 1 > 0. Tương tự như trên thì m = ∅ 

1 2 

C Biết rằng mỗi giá trị âm của m là m 

0 

để đường 

2 2 

C tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; 

x2 

thỏa mãn x1 + x2 = 14. 

26 41 41 16 16 

5 

A. − < m < − B. − < m < − C. − < m < − 3 D. − < m < 0 

5 10 10 5 5 

2 

Lời giải 


x + 3 ⎪⎧ 

x ≠ −1 

⎪⎧ 

x ≠ −1 

x − m = ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

x + 1 ⎪⎩ 

⎪⎩ 

( x − m)( x + 1) = x + 3 x 2 − mx − m − 3 = 0 ( 1) 


( ) 

2 

( ) m( ) m 

2 2 

⎧∆ = − − − > ⎧ + + > 


( ) 

⎪ m 4 m 3 0 ⎪ m 2 8 0 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m ∈ R 

⎪⎩ 

− 1 − − 1 − − 3 ≠ 0 ⎪⎩ 

m ∈ R 

Do 

1 2 

(*) 

⎧x1 + x2 

= m 

x ; x là hai nghiệm của (1) nên theo hệ thức Viet, ta có ⎨ 

⎩x x = −m 

− 

1 2 

3 














2 

Khi đó x 2 x 2 ( x x ) x x m 2 

( m ) 

Từ đó m 

0 

= − 4 

Chọn B 

Nhận xét 

Trang256 

⎡m 

= 2 

+ = + − 2 = − 2 − − 3 = 14 ⇔ ⎢ thỏa mãn (*) 

⎣m 

= −4 

1 2 1 2 1 2 

Liên quan đến dạng bài toán này, ta cần lưu ý một số biến đổi sau: 

( x )( x ) x x ( x x ) 

+ 2 + 2 = + 2 + + 4 

1 2 1 2 1 2 

( ) ( ) 

2 2 

1 

− 

2 

= 

1 

− 

2 

= 

1 

+ 

2 

− 4 

1 2 

x x x x x x x x 

3 

( ) 3 ( ) 

x + x = x + x − x x x + x 

2 2 

1 2 1 2 1 2 1 2 


thực. Biết rằng d cắt ( ) 

x −1 

x 1 


= có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y x m, 

+ 

= − với m là tham số 


x2 

thỏa mãn x1 + 2x2 

= 1. 

1 

1 5 

A. − 4 < m < − 2 B. − 2 < m < − C. − < m < D. 5 < m < 3 

2 

2 2 2 

Lời giải 


x −1 

⎪⎧ 

x ≠ −1 

⎪⎧ 

x ≠ −1 

x − m = ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

x + 1 ⎪⎩ 

⎪⎩ 

( x − m)( x + 1) = x −1 x 2 − mx − m + 1 = 0 ( 1) 


( m ) 

2 

⎧∆ ⎪ = m − 4 − + 1 > 0 

2 

⇔ ⇔ m + m − > 

2 

⎨ 

⎪⎩ ( − 1) 

+ m − m + 1 ≠ 0 


( ) 

4 4 0 * 

Do x1; 

x2 

là hai nghiệm của (1) nên theo hệ thức Viet, ta có 

⎧x1 + x2 = m ⎧x2 

= 1− 

m 

Ta có ⎨ ⇔ ⎨ 

⎩x1 + 2x2 = 1 ⎩x1 

= 2m 

−1 

⎧x1 + x2 

= m 

⎨ 

⎩x1x2 = 1− 

m 

Thế vào x1x2 = 1− m ta được ( 2m −1)( 1− m) 

= 1− m ⇔ m = 1 thỏa mãn (*) 

Chọn C 


Trang257 

x + 3 

x 1 

= có đồ thị ( C ) và đường thẳng d : y x m, 

+ 

= − với m là tham số 

thực. Biết rằng có tất cả hai giá trị của m là m 

1 

vad m 

2 

để đường thẳng d : y x m 

tại hai điểm phân biệt A và B thỏa mãn AB = 2 6. Tính S = m + m 

3 3 

. 1 2 

A. S = 125 

B. S = − 125 C. S = 64 

D. S = − 64 

Lời giải 


x + 3 ⎪⎧ 

x ≠ −1 

⎪⎧ 

x ≠ −1 

x − m = ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

x + 1 ⎪⎩ 

⎪⎩ 

( x − m)( x + 1) = x + 3 x 2 − mx − m − 3 = 0 ( 1) 

Ta có d cắt ( C) 

tại 2 điểm phân biệt ⇔ ( ) 

( ) 

( 

2 

) m ( ) m 

2 2 

⎧∆ = − − − > ⎧ + + 

( ) 

⎪ m 4 m 3 0 ⎪ m 2 8 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m∈ 

R 

⎪⎩ 

− 1 − . − 1 − − 3 ≠ 0 ⎪⎩ 

m ∈ R 

1 có 2 nghiệm phân biệt khác − 1 

(*) 

Do A, B ∈d ⇒ A( x ; x − m) , B( x ; x − m) 

⇒ x ; x là 2 nghiệm của ( ) 

1 1 2 2 1 2 

⎧x1 + x2 

= m 

Theo hệ thức Viet, ta có | ⎨ 

⎩x1x 

2 

= −m 

−3 

 

2 

AB = x − x ; x − x ⇒ AB = x − x + x − x 

2 2 

2 1 2 1 2 1 2 1 

Khi đó ( ) ( ) ( ) 

2 2 

2 ⎡m 

= o 

3 3 

⇒ AB = 2( x1 + x2 ) − 8x1x2 = 2m − 8( −m − 3) 

= 24 ⇔ ⎢ ⇒ m1 + m 

1 

= −64. 

⎣m 

= −4 

Chọn D 

Nhận xét 

1 . 

= − cắt ( C ) 

Liên quan đến ví dụ trên, ta còn có thể hỏi giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB , cách 

làm như sau: 

Như trên thì ( ) 2 

2 2 2 

AB m m m AB AB 

Dấu " = " xảy ra m 2 

= 2 + 8 + 24 = 2 + 2 + 16 ⇒ ≥ 16 ⇒ ≥ 4 . 

⇔ = − thỏa mãn (*) 

Do đó giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng là AB là 4 

Ví dụ 9:Cho hàm số y 

thực. Biết rằng M ( 2;0) 

x + 1 

x 1 

= − 

có đồ thi ( ) 

C và đường thẳng d : y = x − m , với m là tham số 

là trung điểm của đoạn thẳng AB . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? 














11 

A. 1 < m < ⎛ ⎞ 

⎜ ⎟ 

⎝ 5 ⎠ 

Lời giải 


Trang258 

B. − 5 < m < − 2 C. 11 < m < 4 D. − 2 < m < 1 

5 

⎛ x + 1⎞ 

⎪⎧ 

x ≠ 1 

⎪⎧ 

x ≠ 1 

x − m = ⎜ ⎟ ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 2 

⎝ x −1⎠ ⎪⎩ 

( x − m)( x − 1) = x + 1 ⎪⎩ 

x − ( m + 2) 

x + m − 1 = 0 


tại 2 điểm phân biệt ⇔ ( 1) 

có 2 nghiệm phân biệt khác 1 

( 

2 

) ( ) 

( m ) m 

2 

⎪⎧∆ = m + 2 − 4 m − 1 > 0 ⎧ m + 8 > 0 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m∈ 

R 

2 

⎪⎩ 1 − + 2 .1+ −1 ≠ 0 ⎩m 

∈ R 

(*) 



1 1 2 2 1 2 

Theo hệ thức Viet, ta có | x1 + x2 = m + 2 

⎛ x1 + x2 x1 + x2 − 2m ⎞ ⎛ m + 2 2 − m ⎞ 

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là ⎜ ; ⎟ = ⎜ ; ⎟ . 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

⎧m 

+ 2 

= 2 

⎛ m + 2 2 − m ⎞ ⎪ 2 

⎜ ; ⎟ = 2;0 ⇔ ⎨ ⇔ m = 2 

⎝ 2 2 ⎠ ⎪ 2 − m 

= 0 

⎪⎩ 2 

Bài ra có ( ) 

Chọn A 

* . 

thỏa mãn ( ) 

Ví dụ 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị ( C) 


( 1) 

1 . 

x 3 

y = + 

x + 1 

cắt đường thẳng d : y = x − m tại hai điểm phân biệt Avà B cùng với gốc tọa độ O tạo thành 

một tam giác có trọng tâm là G ( 2; − 2) 

. 

A. m = 5 

B. m = 6 

C. m = − 5 

D. m = − 6 

Lời giải 


x + 3 ⎧⎪ 

x ≠ −1 ⎧x 

≠ −1 

x − m = ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

x + ⎪⎩ 

( x − m)( x + m = x + 3) 

⎩x − mx − m − = 

2 

1 3 0 

( 1) 



có 2 nghiệm phân biệt khác − 1 

( ) 

( 

2 

) m ( ) m 

2 2 

⎧∆ = − − − > ⎧ + + > 

Trang259 

( ) 

⎪ m 4 m 3 0 ⎪ m 2 8 0 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m∈ 

R 

⎪⎩ 

− 1 − . − 1 − − 3 ≠ 0 ⎪⎩ 

m ∈ R 

(*) 



1 1 2 2 1 2 

Theo hệ thức Viet, ta có | x1 + x2 = m. 

∆ ⇔ ∉ ⇔ ∉ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ (**) 

Tồn tại OAB O AB O d 0 0 m m 0 

⎛ x1 + x2 x1 + x2 − 2m ⎞ ⎛ m m ⎞ 

Tọa độ trọng tâm của tam giác OAB là ⎜ ; ⎟ = ⎜ ; − ⎟. 

⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠ 

Bài ra có 

⎧ m 

= 2 

⎛ m m ⎞ 

⎪ 3 

⎜ ; − ⎟ = ( 2; − 2 ) ⇔ ⎨ 

⇔ m = 6 

⎝ 3 3 ⎠ ⎪ m − = − 2 

⎪⎩ 3 

Chọn C 

thỏa nãm (*) (**) 

và . 


1 . 

x 3 

C của hàm số y = + 

x + 1 

cắt đường thẳng d : y = x − m tại hai điểm phân biệt Avà B thỏa mãn tam giác OAB vuông 

tại O, với O là gốc tọa độ. 

A. m = 4 

B. m = − 4 

C. m = 3 

D. m = − 3 

Lời giải 


x + 3 ⎧⎪ 

x ≠ −1 ⎧x 

≠ −1 

x − m = ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

x + ⎪⎩ 

( x − m)( x + 1) 

= x + 3 ⎩x − mx − m − = 

2 

1 3 0 



( ) 

( 

2 

) m ( ) m 

2 2 

⎧∆ = m − −m − > ⎧ m + + > 

( ) 

( 1) 


⎪ 4 3 0 ⎪ 2 8 0 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m∈ 

R 

⎪⎩ 

− 1 − . − 1 − − 3 ≠ 0 ⎪⎩ 

m ∈ R 

(*) 



1 1 2 2 1 2 

⎧x1 + x2 

= m 


⎩x x = −m 

− 

1 2 

3 

∆ ⇔ ∉ ⇔ ∉ ⇔ ≠ − ⇔ ≠ (**) 

Tồn tại OAB O AB O d 0 0 m m 0 


1 . 













 

Khi đó ∆ OAB vuông tại O ⇔ OA. OB = 0. 

 

 

 

OA = x ; x − m , OB = x ; x − m nên OAOB . . = 0 

Lại có ( ) ( ) 

Trang260 

1 1 2 2 

( ) ( ) 

⇔ x x + x − m = ⇔ x x − m x + x + m = 

2 

1 2 1 

0 2 

1 2 1 2 

0 

2 

⇔ 2( −m − 3) 

− m = 0 ⇔ m = 3 thỏa mãn (*) (**) 

Chọn D 

và . 

Ví dụ 12: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị ( C) 


x 3 

y = + 

x + 1 

cắt đường thẳng d : y = x − m tại hai điểm phân biệt Avà B thỏa mãn tam giác OAB cân tại O 

, với O là gốc tọa độ. 

A. m∈R B. m ≠ 0 

C. m = 3 

D. m ≠ − 3 

Lời giải 


x + 3 ⎧⎪ 

x ≠ −1 ⎧x 

≠ −1 

x − m = ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

x + ⎪⎩ 

( x − m)( x + 1) 

= x + 3 ⎩x − mx − m − = 

2 

1 3 0 

( 1) 




( ) 

( 

2 

) m ( ) m 

2 2 

⎧∆ = − − − > ⎧ + + > 

( ) 

⎪ m 4 m 3 0 ⎪ m 2 8 0 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m∈ 

R 

⎪⎩ 

− 1 − . − 1 − − 3 ≠ 0 ⎪⎩ 

m ∈ R 

(*) 



1 1 2 2 1 2 

⎧x1 + x2 

= m 


⎩x x = −m 

− 

1 2 

3 

Tồn tại ∆OAB ⇔ O ∉ AB ⇔ O ∉d ⇔ 0 ≠ 0 − m ⇔ m ≠ 0 (**) 

⎧ 

 

2 

2 

⎪OA = ( x1; 

x1 − m) ⇒ OA = x1 + ( x1 

− m) 

Ta có ⎨ 

2 

⎪ 

⎩ 

OB = ( x2; 

x2 − m) ⇒ OB = x2 + ( x2 

− m) 

2 2 

Khi đó ∆OAB 

cân tại O ⇔ OA = OB ⇔ 2x − 2mx = x − 2mx 

2 2 

( x1 x2 ) m( x1 x2 

) 

1 2 

⇔ − − − = ⇔ ⎢ 

1 

+ 

2 

= 

0 

⎡x 

= x 

⎣x x m 

Với x1 = x2 

⇒ A ≡ B ⇒ không thỏa mãn. 

2 

1 1 2 2 

1 . 

Hơn nữa theo hệ thức Viet, ta luôn có x1 + x2 

= m . 

Kết hợp với (* ) (**) 

Chọn B 

Nhận xét 

Trang261 

và thì ∆OAB 

cân tạiOvới ∀m 

≠ 0 . 

Một hướng làm khác rất đặc sắc cho ví dụ trên như sau: 

2 

Như trên thì 

1 ( 1 ) ( 1 1) 

Hơn nữa 

1 

2 2 2 2 

OA = x + x − m = 2 x − mx + m . 

x là nghiệm của ( ) 

1 nên 

( ) 

x mx m OA m m m m 

2 2 2 2 

1 

− 

1 

= + 3 ⇒ = 2 + 3 + = + 2 + 6. 

2 2 

Tương tự OB = m + 2m + 6 ⇒ OA = OB nên ∆OAB 

cân tạiOvới ∀m 

≠ 0. 

Ta cũng có thể chia ra ∆OAB 

cân tại Ovới ∀m 

≠ 0 bằng cách khác như sau: 

Gọi M là trung điểm của cạnh AB 

x x 1 2 1 2 

2 

; x x m m ; m 

⎛ + + − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

M 

OM 

n ; m ⎞ 

⇒ ⎜ 

⎟ = ⎜ − ⎟ ⇒ = ⎜ − ⎟. 

⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ 

m m 

AB : y = x − m ⇒ uAB 

= 1;1 ⇒ OM . uAB 

= − = 0 ⇒ OM ⊥ AB. 

2 2 

Từ ( ) 

Tam giác ∆OAB 

cân tại O với ∀m 

≠ 0 . 

Phát triển bài toán hơn nữa 

+ Nếu thay ∆OAB 

cân tại O thành ∆OAB 

có một góc bằng 60 thì khi đó ∆OAB 

đều vì theo 

trên thì ∆OAB 

đã cân tại O với ∀m 

≠ 0 . 

2 2 

Ta ép cho OA = AB . 

 

2 

AB = x − x ; x − x ⇒ AB = x − x + x − x 

2 2 

2 1 2 1 2 1 2 1 

Ta có ( ) ( ) ( ) 

2 

( ) ( ) 

⇒ AB = 2 x + x − 8x x = 2m − 8 −m − 3 = 2m + 8m 

+ 24 . 

2 2 2 

1 2 1 2 

2 2 2 2 2 

Khiđó OA = AB ⇔ m + 2m + 6 = 2m + 8m + 24 ⇔ m + 6m + 18 = 0 ⇔ m ∈∅ . 

0 

+ Nếu thay ∆OAB 

cân tại O thành ∆OAB 

có một góc bằng 120 thì khi đó 

AB 

3 

Tam giác ∆OAB 

cân tại O ⇒ sin 60 = 2 = ⇔ AB = 3OA 

OA 2 

( ) 

2 2 

2 2 2 

⇔ 2m + 8m + 24 = 3 m + 2m + 6 ⇔ m − 2m − 6 = 0 ⇔ m = 1± 7 . 

Kết hợp với (* ) (**) 

và ta được m = 1± 7 thỏa mãn. 

0 

AOB = 120 . 














2 2 2 

Với việc chia ra OA = OB = m + 2m 

+ 6 ở trên, ta có ngay bài toán hay và khó sau: 

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị ( C) 


thẳng d : y = x − m tại hai điểm phân biệt Avà B thỏa mãn tam giác 

tọa độ. 


Trang262 

x + 3 

x 1 

= + 


x + 3 

y = cắt đường 

x + 1 

3 

OA − = 2 vớiOlà gốc 

OB 

C và đường thẳng d : y = x − m , với m là tham 

số thực. Biết rằng d cắt ( C) 

tại hai điểm phân biệt Avà B thỏa mãn 


2 2 

OA + OB = 10 . Mệnh 

A. −4 ≤ m < − 2 B. −2 ≤ m ≤ 5 C. −2 ≤ m ≤ 0 D. 0 < m < 2 

Lời giải 


x + 3 ⎧⎪ 

x ≠ −1 ⎧x 

≠ −1 

x − m = ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

x + ⎪⎩ 

( x − m)( x + 1) 

= x + 3 ⎩x − mx − m − = 

2 

1 3 0 

( 1) 




( ) 

( 

2 

) m ( ) m 

2 2 

⎧∆ = − − − > ⎧ + + > 

( ) 

⎪ m 4 m 3 0 ⎪ m 2 8 0 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m∈ 

R 

⎪⎩ 

− 1 − . − 1 − − 3 ≠ 0 ⎪⎩ 

m ∈ R 

(*) 

Do A, B ∈d ⇒ A( x ; x − m) , B ( x ; x − m) 


1 1 2 2 1 2 

⎧x1 + x2 

= m 


⎩x1 x2 = −m 

−3 

 

2 

⎧ 

2 2 

⎪OA = ( x1; 

x1 − m) ⇒ OA = x1 + ( x1 

− m) 

Ta có ⎨ 

2 2 

⎪⎩ OB = ( x2; 

x2 − m) ⇒ OB = x2 + ( x2 

− m) 

2 

2 

( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 ( 1 2 ) 

⇒ OA + OB = 2 x + x − 2m x + x + 2m = 2 x + x − 4x x − 2m x + x + 2m 

2 2 2 2 2 2 

( ) 

= + + − + = + + = ⇔ = − 

2 2 2 2 

2m 4 m 3 2m 2m 2m 4m 12 10 m 1. 

Chọn C 

1 . 


Trang263 

x 3 

C của hàm số y = + 

x + 1 

cắt đường thẳng d : y = x − m tại hai điểm phân biệt Avà B thỏa mãn góc OAB nhọn, vớiOlà 

gốc tọa độ. 

A. m ≥ − 3 

B. m ≤ − 3 

C. m > − 3 

D. m < − 3 

Lời giải 


x + 3 ⎧⎪ 

x ≠ −1 ⎧x 

≠ −1 

x − m = ⇔ ⎨ 

⇔ ⎨ 

x + ⎪⎩ 

( x − m)( x + 1) 

= x + 3 ⎩x − mx − m − = 

2 

1 3 0 





( ) 

( 

2 

) m ( ) m 

2 2 

⎧∆ = m − −m − > ⎧ m + + > 

( ) 

( 1) 



⎪ 4 3 0 ⎪ 2 8 0 

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ m∈ 

R 

⎪⎩ 

− 1 − . − 1 − − 3 ≠ 0 ⎪⎩ 

m ∈ R 

(*) 

Do A, B ∈d ⇒ A( x ; x − m) , B ( x ; x − m) 


1 1 2 2 1 2 

⎧x1 + x2 

= m 


⎩x1 x2 = −m 

−3 

 

⎧ ⎪OA = ( x1; 

x1 

− m) 

 

Lại có ⎨ 

⇒ OA. 

OB = x1x2 + x1 − m x2 

− m 

⎪⎩ OB = ( x2; 

x2 

− m) 

( )( ) 

2 2 2 

( ) ( ) ( ) 

= 2x x − m x + x + m = −2 m − 3 − m + m = − 2 m + 3 

1 2 1 2 

 

OA. OB > 0 ⇔ − 2 m + 3 > 0 ⇔ m < −3. 

Bài ra góc AOB nhọn nên ( ) 

Chọn D 

Nhận xét 

 

Nếu thấy AOB nhọn thành goc AOB tù thì ta chi cần chuyển OAOB . > 0 thành OAOB . < 0 

( m ) 

⇔ − 2 + 3 < 0 ⇔ m > − 3. 

III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 

Câu 1: Cho hàm số y ( C) 

điểm phân biệt ( ; ), ( ; ) 

x + 1 

= .Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = 2x 

− 1 tại hai 

x − 2 

A x y B x y .Tổng y + y bằng ? 

1 1 2 2 


1 

2 

1 . 













A. 4 B.8 C. 2 D. 6 

Câu 2:Cho hàm số y ( C) 

Trang264 

x + 1 

= và đường thẳng d : y - x m. 

x − 1 

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1; 

x 

2 

thỏa mãn 

x 

= + Giá trị của m để d cắt ( C) 

2 2 

1 

x2 22 

+ = là ? 

A. m = ± 6 

B. m = 6 

C. m = − 4 

D. Cả B và C. 

mx −1 

x + 1 

Câu 3:Cho hàm số y = ( C ) .Tất cả các giá trị của m để ( ) 

điểm phân biệt A, 

B thỏa mãn S = 1 là? 

OAB 

C cắt trục Ox,Oy tại hai 

1 

1 

⎡m 

= 0 

A. m = B. m = ± C. m = ± 1 

D. 

2 

2 

⎢ 

⎣m 

= 1 


một điểm duy nhất là ? 

1 

= và đường thẳng d : y mx 

x + 1 

A. m = 0, m = − 4 B. m = − 4, m = 1 C. m = − 4 

Câu 5:] Cho hàm số y ( C) 

= . Giá tri của m để d cắt ( ) 

x + 3 

= . Tìm m sao cho đường thẳng d : y x m 

x + 1 

điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị. 

D. Đáp án khác. 

= − cắt ( ) 

A. m∈R B. m∈∅ C. m > − 1 

D. − 1< m < 1 


d : y = x − m cắt ( ) 

m1m 2 

bằng ? 

C tại 

C tại hai 

x + 3 

= .Biết rằng có hai giá tri của m là m 

1 

và m2 

để đường thẳng 

x + 1 


x 

2 

thỏa mãn x 

2 + x 

2 = . Tích 

10 

15 

A. − 10 

B. − C. − 15 

D. − 

3 

4 


1 2 

21 

x + 3 

= .Biết rằng có hai giá tri của m là m 

1 

và m2 


x + 1 

d : y = x − m cắt ( C) 

tại hai điểm phân biệt Avà B thỏa mãn 34 

AB = . Tổng m1 + m2 

bằng ? 

A. − 2 

B. − 4 

C. − 6 

D. − 8 


Trang265 

x + 3 


x + 1 

điểm phân biệt Avà B thỏa mãn AB nhỏ nhất. 

= − cắt ( ) 

A. m = 2 

B. m = − 2 

C. m = 4 

D. m = − 4 


x + 3 


x + 1 

điểm phân biệt Avà B thỏa mãn điểm ( 2; 2) 

= − cắt ( ) 

G − là trọng tâm của tam giác OAB . 

A. m = 2 

B. m = 5 

C. m = 6 

D. m = 3 

Câu 10:Cho hàm số y = ( ) 

2x 

−1 1 . Đường thẳng d : y 2x 

9 

x + 1 

= + cắt đồ thị hàm số ( ) 

điểm phân biệt A; 

B . Tính tổng khoảng cách T từ hai điểm A; 

B đến trục hoành. 

A. T = 9 

B. T = 8 

C. T = 7 

D. T = 6 

Câu 11:Cho hàm số y = ( ) 

điểm phân biệt , 

2x 

−1 1 . Đường thẳng d : y x 1 

x + 1 

A B . Tính diện tích của tam giác ABC , với ( 4; 1) 

= − + cắt đồ thị hàm số ( ) 

C − − . 

A. S = 2 3 

B. S = 3 

C. S = 3 3 

D. S = 6 3 

Câu 12:Cho hàm số y ( ) 

d : y 2x m 

= + cắt đồ thị hàm số ( ) 

sao cho MA 

+ MB = 25. 

2 2 

C tại hai 

C tại hai 

1 tại hai 

1 tại hai 

x + 3 

= 1 . Tính tổng tất cả các giá trị của m để đường thẳng 

x + 2 

1 tại hai điểm phân biệt A, 

B và cắt tiệm cận đứng tại M 

A. − 2 

B.9 C.10 D. − 6 

Câu 13:Cho hàm số y ( ) 

hàm số( ) 

cho MA 

x + 3 

= 1 . Gọi m là giá trị để đường thẳng d : y = 2x + 3m 

cắt đồ thị 

x + 2 

15 

1 tại hai điểm phân biệt A, 

B thỏa mãn OA. 

OB = và cắt tiệm cận đứg tại M sao 

2 

+ MB = 25. vớiOlà gốc tọa độ.Giá trị của m bằng? 


2 2 













A. 5 2 

Trang266 

B.1 C. 1 2 

2x 

−1 1 

x + 1 

Câu 14: Cho hàm số y = ( ) . Đường thẳng d đi qua điểm ( 2;1) 

D. 2 

I − với hệ số góc là k 

cắt đồ thị hàm số ( 1) 

tại hai điểm phân biệt A, 

B sao cho I là trung điểm của cạnh AB . Giá 

trị của k bằng? 

A.1 B. − 1 

C. 1 7 

x − 2 

Câu 15: Giả sử Avà B là các giao điểm của đường cong y = với hai trục tọa độ. Tính 

x − 1 

độ dài đoạn thẳng AB . 

A. AB = 2 B. AB = 2 2 C. AB = 2 3 D. AB = 2 5 

Câu 16: Tìm tất cả các giá trị của tham số 

( ) 

( 0;3) 

⎧ ⎪A 1;0 ≡ M = d ∩Ox ⎧OA 

= 1 1 3 

⎨ 

⇒ ⎨ ⇒ S∆ 

OAB 

= OA. OB = . 

⎪⎩ B = d ∩Oy 

⎩OB 

= 3 2 2 

3 2 2 

y x x y x x y 

( 1) 

= + 3 + 1 ⇒ ' = 3 + 6 ⇒ ' = 9. 

⎧ AB = 6 82 

⎪ 

1 1 4 

B ( −5; −49 ) ⇒ ⎨ 4 ⇒ S∆ 

OAB 

= AB. d( 0; ) 

= 6 82. = 12. 

d 

⎪d 

2 2 

( 0, d ) 

= 

82 

⎩ 82 

x + 2 

y = cắt đường thẳng y = x + m tại hai điểm có hoành độ đối nhau. 

x 

D. 1 5 


3 

3 

A. m = 1 

B. m = C. m = 3 

D. m ∈ ⎧ ⎨2;3;; ⎫ ⎬ 

4 

⎩ 4 ⎭ 

Câu 17: Giá trị của m để đường thẳng : y x m 

điểm phân biệt Avà B sao cho AB = 4 2 là? 

∆ = + cắt đồ thị hàm số ( C ) 

A. ± 2 

B. 2 C. − 2 

D.9 ± 77 

Câu 18:Cho hàm số ( C ) 

thẳng d và đồ thị ( C) 

có hai điểm chung là? 

2x 

−1 

: y = tại hai 

x − 2 

x − 2 

: y = 

x −1 

và đường thẳng 2 

d : y = m + 1. Giá trị của m để đường 

A. m∈( −∞; −1] ∪ ( 2; +∞ ) 

B. ( ; 1) ( 1; ) 

m∈( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) D. m∈( −∞; −1) ∪ ( 1; +∞ ) \{ 0} 

m∈ −∞ − ∪ +∞ C. 

Câu 19:Cho hàm số ( C ) 

thẳng d và đồ thị ( ) 

Trang267 

2x 

− 3 

2 

: y = và đường thẳng d : y = m + 1. Giá trị của m để đường 

1− 

x 

C có hai điểm chung là? 

A. m∈( −∞ ; +∞) \{ 2} 

B. m∈ ( 0; +∞ ) \{ 2} 

C. m∈( −∞ ; +∞ ) \{ 1} 

D. m∈( −∞; −1) ∪( −1;1) ∪ ( 1; +∞ ) 


01.AB 02.B 03.C 04.B 05.B 06.C 07.B 08.C 09.C 10.A 

11.D 12.C 13.A 14.B 15.B 16.A 17.A 18.D 19.D 














Trang268 

Chủ đề 11: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SÔ 


1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 

Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) 

có đồ thị ( C ) .Phương trình tiếp tuyển của đồ thị hàm số 

( C) 

tại điểm M ( x ; y ) ∈( C) 

có dạng ( ) : '( ).( ) 

0 0 

2. Điều kiện tiếp xúc 

d y = y x x − x + y . 

0 0 0 

Định lý 2: Cho hàm số y = f ( x) 

có đồ thị ( C) 

và đường thẳng ( d ) : y = kx + m .Đường thẳng 

( d ) tiếp xúc với ( C) 

khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 

Khi đó nghiệm x của hệ chính là hoành độ tiếp điểm. 

3. Phương pháp giải 

a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị hàm số. 

( ) 

'( ) 

Bài toán: Với đồ thị hàm số ( C) 

có phương trình y f ( x) 

⎧⎪ f x = kx + m 

⎨ 

⎪⎩ f x = k 

= . Phương trình tiếp tuyến tại điểm 

( ; ) ∈ ( ) có dạng ( d ) : y = y '( x ).( x − x ) + y , có hệ số k y '( x ) 

M x y C 

Chú ý: 

0 0 

• Phương trình tiếp tuyến tại M ( x ; y ) ∈ ( C) 

điểm. 

0 0 

• Phương trình tiếp tuyến qua M ( C ) 

0 0 0 

= . 

, tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M làm tiếp 

∈ ,tức là mọi tiếp tuyến đi qua M . 

b) Phương trình tiếp tuyến đi qua điểm cho trước. 

Bài toán: Cho đồ thị hàm số ( C) 

có phương trình y f ( x) 

qua điểm ( ; ) 

A x y ta lựa chọn một trong hai cách sau: 

A 

B 

Cách 1; Ta thực hiện theo các bước: 

= .Để lập phương trình tiếp tuyến đi 

Bước 1: Đường thẳng ( d ) đi qua A( x ; y ) có phương trình ( ) ( ) 

Bước 2: ( d ) tiếp xúc với ( C ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 

( ) ( ) 

'( ) 

( ) '( ).( ) 

'( ) 

⎧⎪ 

f x = k x − xA ⎧⎪ 

f x = f x x − xA + yA 

⎨ 

⇔ ⎨ 

(*) 

→ x = ... ⇒ k = ... 

⎪⎩ 

f x = k ⎪⎩ 

f x = k 

A 

B 

0 

d y = k x − x + y . 

: 

A A 

Chú ý: Số nghiệm phân biệt x của phương trình (*) 

bằng só tiếp tuyến kẻ được từ A đến đồ 

thị hàm số. 

Cách 2: Ta thực hiện theo các bước: 

Bước 1: Giả sứ tiếp điểm là ( ; ) 

( ) : '( )( ) 

d y = y x x − x + y 

Trang269 

0 0 0 

M x y , khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng 

0 0 

Bước 2: Điểm A( x ; y ) thuộc ( d ) , ta được ( )( ) 

A 

c) Phương trình tiếp tuyến biết hệ sổ góc. 

B 

Bài toán: Cho đồ thị hàm số ( C ) có phương trình y f ( x) 

có hệ số góc k cùa đồ thị ( ) 


y = y ' x x − x + y ⇒ x = ... 

A 

0 A 0 0 0 

C ta lựa chọn một trong hai cách sau: 

Bước 1: Hoành độ tiếp điểm cùa tiếp tuyến ( ) 

Bước 2: Khi đó ta được phương trình tiếp tuyến: 

( ) : '( ).( ) 

d y = y x x − x + y 

0 0 0 


Bước 1: Đường thẳng ( ) 

( ) : . 

d y = k x + m 

Bước 2: ( d ) tiếp xúc với ( ) 

( x) 

'( x) 

⎧⎪ f = kx + m 

⎨ 

⇒ m = ... 

⎪⎩ f 

d với hệ số góc k có dạng 

C khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm 

Chú ý: Hệ số góc được chọn thường thông qua: 

= . Để lập phương trình tiếp tuyến 

d là nghiệm phương trình y ' = k ⇒ x0 

= ... 

Phương trình tiếp tuyến song song với đường thằng ( d ) : y = + b ⇒ a = k. 

Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( d ) : y = + b ⇒ a. k = − 1. 

Phương trình tiếp tuyến tạo với đường thẳng ( ) : 

d y = ax + b một góc α 

k − a 

⇒ tanα 

= .Trường hợp đặc biệt là trục Ox ⇒ k = tanα 

. 

1 + ak 


A. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIẾM 














Ví dụ 1:Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

Trang270 

3 2 

= − 3 + 2 tại ( 1;0 ) 

y x x 

trục tung tại B . Tính diện tích tam giác OAB , với O là gốc tọa độ. 

A.1 B. 6 C. 3 2 

Lời giải 

3 2 2 

Ta có ( )( ) 

M cắt trục hoành tại A , cắt 

D.3 

y = x − 3 x + 2 ⇒ y ' = 3x − 6 x ⇒ y 1 x −1 +0 ⇔ y= = − 3x 

+ 3. 

Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại M ( 1;0 ) ( )( ) 

Chọn C 


y x x 

3 2 

= + 3 + 1 có đồ thị ( ) 

⇒ d : y ' 1 x − 1 + 0 ⇔ y == − 3x 

+ 3. 

C . Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

tại điểm A ( 1;5 ) à B là giao điểm thứ hai của d với ( C ) . Tính diện tích tam giác OAB ? 

A.12 B. 6 C.18 D. 24 

Lời giải 

3 2 2 

Ta có y x x y x x y ( ) 

= + 3 + 1 ⇒ ' = 3 + 6 ⇒ ' 1 = 9. 

Gọi d là tiếp tuyến của ( C ) tại ( 1;5 ) 

Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là 

Suy ra 

A ⇒ ∆ : y = y '(1)( x − 1) + 5 ⇒ y = 9 x − 4. 

3 2 ⎡x 

= −5 

x + 3x + 1 = 9x 

− 4 ⇔ ⎢ 

⎣x 

= 1 

⎧ AB = 6 82 

⎪ 

1 1 4 

B ( −5; −49 ) ⇒ ⎨ 4 ⇒ S∆ 

OAB 

= AB. d( 0; ) 

= 6 82. = 12. 

d 

⎪d 

2 2 

( 0, d ) 

= 

82 

⎩ 82 

Chọn A 


x + 2 

x 1 

= có đồ thị ( C ) . Tiếp tuyến của ( ) 

− 

độ băng 2 đi qua điểm M ( 0; a ) thì giá trị của a là ? 

C tại điểm có hoành 

A. a = 10. 

B. a = 9. 

C. a = 3. 

D. a = 1. 

Lời giải 

x + 2 3 

Ta có y = ⇒ y ' = − , ∀x ≠ 1 ⇒ y ' 

2 

( 2) 

= −3 

x −1 x −1 

( ) 

Gọi ∆ là tiếp tuyển của đồ thị ( C ) tại điểm A( ) ⇒ : y = y ( )( x − ) 

Trang271 

( ) 

⇔ y = −3 x − 2 + 4 ⇔ y = − 3x 

+ 10. 

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm M ( ) 

Chọn A 


dương của ( ) 

có tọa độ nào dưới đây ? 

y x x 

0;10 ⇒ a = 10. 

4 2 

= − 2 + 3 có đồ thị ( ) 

C tại điểm có hoành độ 

0 

2;4 ∆ ' 2 2 + 4 

C . Gọi ( ) 

d là tiếp tuyến có hệ số góc 

x thỏa mãn y ''( x ) = 44. . Khi đó, ( ) 

A. M ( 1;13 ). 

B. N ( 2;11 ). 

C. P( 3; − 7 ). 

D. Q( − ) 

Lời giải 

Ta có = + + ⇒ = − ⇒ = ⇒ ( ) 

Suy ra 

( ) 

y x 2x 3 y ' 4x 4 x y '' 12x 4 y '' x =12x 

-4. 

4 2 3 2 2 

0 0 

2 

0 

0 

= ⇔ 

0 

− = ⇔ ⎢ ⇒ ⎨ 

x0 

y '' x 44 12x 

4 44 

( ) = 

( ) 

⎡x 

= 2 ⎧⎪ 

y ' 2 24 

⎣ = −2 ⎪⎩ y ' − 2 = −24 

0 

d đi qua điểm 

4; 1 . 

Gọi ( d ) là tiếp tuyến của ( C ) thỏa mãn đề bài, suy ra ( d ) : y = y '( 2)( x − 2) + y ( 2) 

⇔ y = 24( x − 2) + 11 = 24x 

− 37 và đi qua điểm N ( 2;11 ). 

Chọn B 

Ví dụ 5:: Gọi ( ; ) 

3 2 

M a b là điểm thuộc đồ thị hàm sổ y = x − 3x 

+ 2sao cho tiếp tuyến của đồ 

thị hàm số tại điểm M có hệ số góc nhỏ nhất. Tính giá trị T = a + b ? 

A. − 3. 

B. 2. C. 0. D.1. 

Lời giải 

Lòi giải 

3 2 2 2 

y = x − 3x + 2 ⇒ y ' = 3x − 6 x ⇒ y ' a = 3a − 6 a. 

Ta có ( ) 

M a b ⇒ ∆ y = y a x − a + b 

Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị hàm sổ tại điểm ( ; ) : '( )( ) 

( )( ) 

⇔ ∆ y = a − a x − a + a − a + ⇒ k = a − a là hệ sổ góc của ∆ . 

2 3 2 2 

: 3 6 3 2 

∆ 

3 6 

k = 3a − 6a = 3 a − 1 − 3 ≥ − ∆ 

3 ⇒ min = − ⇔ a − 1 = 0 ⇔ a = 1. 

2 

Ta có ( ) ( ) 2 

3 2 

Khi đó b = a − 3a + 2 = 0 ⇒ T = a + b = 1. 


Chọn D 

k∆ 














Trang272 

x − 2 

x 1 

= , có đồ thị ( C ) . Gọi ( ) 

+ 

d là tiếp tuyến tại giao điểm của 

( C) 

vàOx , d2 

là tiếp tuyến tại giao điểm của ( C ) vàOy . Giao điểm của ( d 

1 ) và ( d1 

) 

A. M ( −1; − 1 ). 

B. M ( 1;1 ). 

C. M ( − 1;1 ). 

D. M ( − ) 

Lời giải 

x − 2 3 

Ta có y = suy ra y ' = > 0, ∀x 

≠ −1. 

x + 1 x + 1 

( ) 2 

= ∩ Ox suy ra 2;0 ⇒ ' 2 = 1 2 = 0. 

3 

+) Gọi A ( C) A( ) y ( ) và y ( ) 

Phương trình tiếp tuyến 

1 

d là ( ) 

+) Gọi ( ) ( ) ( ) 

1 

1 

d1 

: y = x − 2 ⇔ x − 3y 

− 2 = 0. 

3 

B = C ∩ Oysuy ra B 0; −2 ⇒ y ' 0 = 3và 

y0 = − 2. 

Phương trình tiếp tuyên d 

2 

là d : y = 3x − 2 ⇔ 3x − y − 2 = 0. 

2 

⎧x − 3y = 2 ⎧x 

= −1 

∩ ; ⇒ ⎨ ⇔ ⎨ . 

⎩3x − y = 2 ⎩ y = −1 

Vậy d d M ( x y) 

Chọn A 

1 2 

1 

2 

4 2 

Ví dụ 7:Cho hàm số y = x − ( m + 1) 

x + m − 2 ,có đồ thị ( ) 

số m để tiếp tuyến của đồ thị ( C) 

tại x = − 2 đi qua gốc tọa độ O ( ) 

1; 1 . 

là 

C . Tìm giá trị thực của tham 

0;0 . 

12 22 16 32 

A. m = . 

B. m = . 

C. m = . 

D. m = . 

5 

5 

5 

5 

Lời giải 

⎧ ⎪y 

'( 2) 

= 4m 

−12 

− 

y = x − 2 m + 1 x ⎨ 

. 

⎪⎩ y ( − 2) = 8 − 4( m + 1) 

+ m − 2 = 2 − 3 m 

3 

Ta có ( ) 

⇒ Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C) 

tại x = − 2 là y = ( m − )( x + ) + − m ( d ) 

Theo bài ra, ta có ( ) ( ) ( ) 

Chọn B 


4 12 2 2 3 . 

22 

O 0;0 ∈ d suy ra 0 = 2 4m − 12 + 2 − 3 m ⇔ m = . 

5 

x + 1 

x m 

= − 

, có đồ thị ( ) 

tại giao điểm của đồ thị và trục Oy đi qua điểm A( − 1;2 ). 

C . Tìm giá trị thực của tham số m để tiếp tuyến 

1 1 

A. m = ± 1. 

B. m = ± 2. 

C. m = ± . D. m = ± . 

2 

2 

Lời giải 

x + 1 m + 1 

Ta có y = suy ra y ' = − , ∀x ≠ m. 

x − m x − m 

Trang273 

( ) 2 

⎛ 1 ⎞ 

m + 1 

M = C ∩ Oysuy ra M ⎜ 0; − ⎟ → y ' 0 = − , ∀m 

≠ 0. 

⎝ 2 ⎠ 

m 

Điểm ( ) ( ) 

2 

m + 1 1 

2 

m m 

⇒ Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C) 

tại M là y = − x − ( d ) 

Theo bài ra, ta có ( ) ( ) 

Chọn C 

m + 1 1 1 

A − ∈ d suy ra = − ⇔ m = ⇔ m = ± 

m m 

2 

2 

1;2 2 2 1 . 

2 

Ví dụ 9:Cho hàm số y = x 3 − 2mx 2 + x − 2m 

( 1 ). 

Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số ( 1 ) 

với trụ hoành, tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( 1) 

tại A cắt trục tung tại B . Tìm giá trị của tham 

số m để diện tích tam giác OAB bằng 1 , trong đó O là gốc tọa độ. 

1 

A. m = ± 1 

B. m = ± C. m = 2 

D. m = − 1 

2 

Lời giải 


( )( ) ( ) 

3 2 2 

x − mx + x − m ⇔ x − m x + = ⇔ x = m ⇒ A m 

2 2 2 1 0 2 2 ;0 

Ta có ( ) ( ) 2 

y x mx y m m m m m 

' = 3 2 − 4 + 1 ⇒ ' 2 = 3. 2 − 4 .2 + 1 = 4 2 + 1. 

Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( 1) 

tại điểm A là y = ( m 2 + )( x − m) 

⎧⎪ x = 0 

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ ⎨ 2 

⎪⎩ 

y = 4m + 1 x − 2m 

( )( ) 

4 1 2 . 

. 

3 

( ) 

⇒ B 0; −8m − 2 m . 

Do tam giác OAB vuông tại O nên A∆ OAB 

= OA. OB ⇔ 1 = 8m + 2 m ⇔ m = ± . 

2 

Chọn B 

Ví dụ 10:: Gọi ( d ) là tiẽp tuyên cùa đô thị hàm số ( C ) 

4 2 1 

2x 

− 3 

: y = tại M cắt các dường 

x − 2 

tiệm cận của đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, 

B . Tính diện tích nhỏ nhất của đường 

tròn ngoại tiếp tam giác IAB , với I là giao điểm của hai đường tiệm cận. 














A. Smin = π. 

B. Smin = 2 π. 

C. Smin = 4 π. 

D. Smin = 8 π. 

Lời giải 

2x 

− 3 1 

M x ; y ∈ C suy ra y = y ' x = − ; ∀x 

≠ 2. 

0 

Gọi ( ) ( ) và ( ) 

Trang274 

( x − ) 

0 0 0 0 2 0 

x0 − 2 

0 

2 

Phương trình tiếp tuyến ( d ) của ( C ) tại 

1 

2x0 

− 3 

M : y = − . 

2 

( x − x0 

) + . 

x − 2 

( x − 2) 

0 

( d ) cắt hai đường tiệm cận tại hai điểm phân biệt A B( x − ) 

0 

⎛ 2x 

− 2 ⎞ 

⎜ 2; ⎟, 2 

0 

2;2 . 

⎝ x0 

− 2 ⎠ 

Dễ thấy M là trung điểm AB và I ( 2;2) 

là giao điểm hai đường tiệm cận. 

Tam giác IAB vuông tại I nệ đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 

2 

2 2 2x0 

3 2 1 

S π . IM π . ⎡ ⎛ − ⎞ 

= = ⎢( x0 − 2) + 2 ⎤ . ( x0 2) 

2 

2 

x0 2 π ⎡ ⎤ 

⎜ − ⎟ ⎥ = ⎢ − + ⎥ ≥ 

⎢ − ⎥ ( x0 

− 2) 

π 

⎣ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣⎢ ⎦⎥ 

Vậy diện tích nhỏ nhất cần tìm là Smin = 2 π. 

Chọn B 

B.PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC 

3 2 

Ví dụ 1:Cho hàm số y x 3x 

2. 

= − + Gọi đường thẳng ( ) : 

hàm số và vuông góc với dường thẳng ( ∆) : 3x − 5y − 4 = 0 . Khi 0 

0 

d y = + b là tiếp tuyến của đồ thị 

A.39 B. 27 C. 61 D. − 8 

Lời giải 

Gọi M ( x ; y ) là tiếp điểm của đồ thị hàm số. Đường thẳng ( ) 

0 0 

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến ( d ) là nghiệm cùa hệ phương trình 

⎡ 1 

0 

2 5 ⎢x 

= 

2 

3 

y '( x0 ). k( ) 

= −1 ⇔ 3x0 − 6x0 = − ⇔ 9x0 − 18x0 

+ 5 = 0 

∆ 

⎢ 

3 

⎢ 5 

y0 

= 

⎢⎣ 3 

Với 

0 

1 

3 

x = suy ra phương trình tiếp tuyến ( d ) là y − y ( x ) = − ( x − x ) 

5 

3 

0 0 

b > , tổng a + 18b 

bằng 

3 

∆ có hệ số góc k( ∆ ) 

= . 

5 

5 61 ⎧ 5 61⎫ 

⇔ y = − x + = ax + b ⇒ ⎨a = − ; b = ⎬ ⇒ a + 18b 

= 39 (thỏa mãn điều kiện b > 0 ). 

3 27 ⎩ 3 27 ⎭ 

5 

Với x 

0 

= suy ra hệ số b < 0 (không thỏa mãn điều kiện). 

3 

Chọn A 

Ví dụ 2: Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 

8x 

− y − 1 = 0 là 

Trang275 

C y = x − x + song song với đường thẳng 

5 

: 

3 

1 

A.3 B. 4 C. 2 D.1 

Lời giải 

Gọi phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là ( d ) : y = kx + m. 

Theo bài ra , ( ) 

Vì ( d ) tiếp xúc với ( ) 

2 2 

( )( ) 

d song song với đường thẳng y = 8x 

− 1 suy ra k = 8, m ≠ − 1. 

5 3 

⎧ 

4 2 

⎪x − x + 1 = 8x + m ⎧⎪ 

5x − 3x 

− 8 = 0 

C suy ra ⎨ 

⇒ 

5 3 ⎨ 

5 3 

⎪⎩ ( x − x + 1 )' = 8 ⎪⎩ m = x − x − 8x 

+ 1 

⎪⎧ 5x − 8 x + 1 = 0 8 ⎡m 

= ... 

⇔ ⎨ 

⇔ x = ± suy ra 

5 3 

m x x 8x 

1 5 

⎢ (thỏa mãn điều kiện m ≠ − 1 ) 

= − − + 

⎣ m = ... 

⎪⎩ 

Chọn C 


= − 2 + 2 + 1 có đồ thị ( C ) .Tập hợp tất cả các giá trị của 

4 2 2 

y x m x m 

tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) tại giao điểm của ( ) 

d : x = 1 song song với đường thẳng y = − 12x 

+ 4 là ? 

A. m = 0 

B. m = 1 

C. m ≠ ± 2 

D. m = 3 

Lời giải 

Gọi A là giao điểm của ( C 

m ) và đường thẳng ( d ) x = ⇒ A( − m 2 + m + ) 

Ta có ( ) 

m 

m 

: 1 1; 2 2 2 . 

y = x 4 − 2m 2 x 2 + 2m + 1 ⇒ y ' = 4x 3 − 4 m 2 x ⇒ y ' 1 = 4 − 4 m 

2 . 

⇒ ∆ = − − + + 

Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C ) tại A ( )( ) 

( )( ) ( ) 

2 

: y y ' 1 x 1 2m 2m 

2. 

⇔ y = − m x − − m + m + ⇔ y = − m x + m + m − 

2 2 2 2 

4 4 1 2 2 2 4 4 2 2 2. 

C và đường thẳng 

k∆ 12 

Theo bài ra, ta có ∆ song song với đường thẳng y = − 12x 

+ 4 ⇔ ⎧ 

⎨ 

= − 

2 

⎩2m 

+ 2m 

− 2 ≠ 4 

2 

⎧⎪ 

4 − 4m 

= −12 

⎧m 

= ± 2 

⇔ ⎨ 

⇔ m 2. 

2 

⎨ 

⇒ ≠ ± 

2 

⎪⎩ 

m + m − 3 ≠ 0 ⎩m 

+ m − 3 ≠ 0 


Chọn C 

m 













Ví dụ 4:: Gọi ( d ) là tiếp tuyến có hệ số góc nguyên của đồ thị hàm số 

M ( − 6;5) 

. Đirờng thẳng ( d ) đi qua điểm nào dưới đây? 

Trang276 

x + 2 

y = đi qua điểm 

x − 2 

A. A ( 1;2 ). 

B. B ( 5;6 ). 

C. C ( −3; − 2 ). 

D. D( − ) 

Lời giải 

0; 1 . 

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng ( d ) ⇒ phương trình đường thẳng ( d ) : y k ( x ) 

Đường thẳng ( d ) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm 

⎧ 4 

1 + = k ( x − 2) 

+ 8k 

+ 5 

⎧ x + 2 

⎪ x − 2 

= k ( x + 6) 

⎪ 

⎪ x − 2 

⎪ 

⎧ 4 4 

⎨ ⇔ 

1 8k 

5 

4 ⎨ 

4 

+ = − + + 

x − 2 x − 2 

⎪− = k ⎪ 

⎪ 

2 k = − ⇔ 

2 ⎨ 

⎪ ( x 2) 

( x 2) 

4 

⎩ − 

⎪ − ⎪ k = − 

⎪ 

2 

⎩ 

⎪⎩ ( x − 2) 

⎧ 2 

2k 

1 

⎡k 

= −1 

⎪ = + 

2 

k 

x 2 4k 5k 1 ⎢ 

∈Z 

⇔ ⎨ − ⇔ + + ⇔ 1 ⎯⎯⎯→ k = −1. 

⎪ 

2 

⎢ k = − 

⎩ − ( 2k 

+ 1) 

= k 

⎣ 4 

Vậy phương trình đường thẳng ( ) 

Chọn D 

Ví dụ 5:: Tiếp tuyển ( ) 

góc với đường thẳng ( ) : x 3y − 2 0 

cho. Tính độ dài đoạn thẳng AB . 

d là y x 1 

= − − và đi qua điểm D( − ) 

0; 1 . 

= + 6 + 5. 

a 

d của đồ thị hàm số y = x + + 2 tại điểm có hoành độ x = 1 vuông 

x 

∆ − = . Gọi A, 

B là tọa độ hai điểm cực trị của hàm số đã 

A. 4 5 B.5 2 C. 4 D. 10 

Lời giải 

a 

a 

y = x + + 2 → y ' = 1 − suy ra y ' 1 = 1 − a. 

2 

x 

x 

Ta có ( ) 

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm hoành độ 1 

khác, tiếp tuyến ( d ) vuông góc với ( ) ( ∆) ( d ) 

x = có hệ số góc ( 1) 

1− 

a 

∆ ⇒ k . k = −1 ⇔ = −1 ⇔ a = 4. 

3 

k = y ' = 1 − a. 

Mặt 

4 ⎡x 

= 2 → y 2 = 6 

Khi đó, hàm số y = x + + 2, có y ' = 0 ⇔ ⎢ 

x 

⎢⎣ x = −2 → y ( − 2) 

= −2 

Vậy điểm ( 2;6 ), ( 2; 2) 

Chọn A 

Trang277 

A B − − suy ra AB = 4 5 


x + 1 

x − 2 


( d ) cắt ( C) 

t đồ thị tại hai diêm phân biệt và tiếp tuyến với ( ) 

giá trị m thuộc khoảng nào dưới đây ? 

( ) 

C và đường thẳng d : y = x + m . Khi đường thẳng 

C tại hai điểm này song song thì 

A.( −4; − 2) 

B.( −2; − 0) 

C.( 0;2 ) 

D.( 2;4 ) 

Lời giải 

Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và ( ) 

x + 1 ⎧⎪ 

x ≠ 2 

= x + m ⇔ ⎨ 

x − 2 ⎪⎩ x + 1 = x + m x − 2 

( )( ) 

d là 

⎧x 

≠ 2 

⎧x 

≠ 2 

⎪ 2 

⇔ ⎨ 

⇔ x ( m 3) 

x 2m 

1 0 (*). 

2 

⎨ + − − − = 

⎩x + 1 = x − 2x + mx − 2m 

⎪ ⎩ f ( x) 

Để ( C ) cắt ( ) 

( ) 

⎧⎪ 

f 2 ≠ 2 

2 

d tại hai điểm phân biệt ⇔ ⎨ ⇔ ( m − 3) + 4( 2m + 1) 

> 0, ∀m 

. 

∆ 

(*) 

> 0 ⎪⎩ 

Khi đó, gọi A( x ; y ), B( x ; y ) là tọa độ giao điểm của ( C) 

và ( ) 

Ta có ( ) 

1 1 2 2 

3 3 

k = y ' x = − , k = y ' x = − . 

A 

( x − ) 

( ) 

( x − ) 

1 2 B 

2 

2 

1 

2 

2 

2 

Theo hệ thức Viet,ta có x1 + x2 = −3 − m suy ra3 − m = 4 ⇔ m = − 1. 

Chọn C. 

Ví dụ 7:Cho hàm số y x 3 3mx 2 3m 

2 ( 1) 

của đồ thị hàm số ( 1 ) tại điểm ( 1; 1) 

d . 

= − + − , m là tham số thực. Gọi d là tiếp tuyến 

M − . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để 

đường thẳng d song song với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số ( 1 ) . 

A.3 B. 2 C.1 D. 0 














Lời giải 

3 2 2 ⎡x 

= 0 

Ta có y = x − 3mx + 3m − 2 ⇒ y ' = 3x − 6 mx; y ' = 0 ⇔ ⎢ . 

⎣x 

= 2m 

Hàm sổ ( ) 

Trang278 

1 có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 2m 

≠ 0 ⇔ m ≠ 0. 

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A( m − ) ( m − m 3 + m − ) 

0;3 2 , B 2 ; 4 3 2 . 

Phương trình tiếp tuyến d tại M ( 1; − 1) 

là d : y = y '( 1 ).( x − 1) + y ( 1) 

( )( ) − ( ) 

⇔ y = 3− 6m x −1 1 ⇔ y = 3− 6m x + 6m 

− 4. 

 

Tacó / / AB. n = 0 ⇔ 2m 3 − 6m 3 

+ −4 m . − 1 = 0 

AB d suy ra ( ) ( ) ( ) 

d 

⎡m 

= 0 

2 

⇔ 2m( 2m − 6m 

+ 3) 

= 0 ⇔ ⎢ 

3 3 . 

⎢ ± 

m = 

⎢⎣ 2 

Vậy có hai giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu của bài toán. 

Chọn B 

4 + mx − 3x 

Ví dụ 8:: Với giá trị nào cùa tham m thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 

4x 

+ m 

điểm có hoành độ x = 0 và vuông góc với đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm sô? 

A. m = ± 3 

B. m = ± 1 

C. m = ± 2 

D. m = ± 4 

Lời giải 

2 

2 2 

4 + mx − 3x 

−12x − 6mx + m −16 

m 

Xét hàm số y = 

, có y ' = , ∀x 

≠ − . 

2 

4x 

+ m 

4x 

+ m 

4 

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 

0 

0 

( ) 

x = là k y ( x ) 

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 4x 

+ m = 0 vì lim y = ∞ 

m 

x→− 

4 

2 

m = 16 

= ' 

0 

= . 

2 

m 

2 

m −16 

Mặt khác, tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận đứng ⇒ k = 0 ⇔ = 0 ⇔ m = ± 4. 

2 

m 

Chọn D 

2 

tại 

2 

ax − bx 

Ví dụ 9:Cho hàm số y = 

x − 2 

của ( ) 

Trang279 

có đồ thị ( C ) .Để ( ) 

5 

C đi qua điểm A ⎛ 

⎜ −1; ⎞ 

⎟ và tiếp tuyến 

⎝ 2 ⎠ 

C tại gốc tọa độ có hệ số góc k = − 3 thì mối liên hện giữa a và b là? 

A. 4a 

− b = 1. B. a − 4b 

= 1. C. 4a 

− b = 0. D. a − 4b 

= 0. 

Lời giải 

Đồ thị ( ) 

( ) ( ) 

( ) 

2 2 

5 

C đi qua điểm A ⎛ 1; ⎞ 5 a. −1 − b. −1 

15 

⎜ − ⎟ ⇔ = ⇔ a + b = − 

⎝ 2 ⎠ 2 −1 − 2 2 

2 2 

ax − bx ax − 4ax + 2b b 

Ta có y = ⇒ y ' = ⇒ y ' 

2 

( 0 ) = . 

x − 2 x − 2 

2 

Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( ) 

( ) 

Ta có ( ) 

Chọn C 

b 

C tại gốc tọa độ ⇒ k ∆ 

= là hệ số góc của ∆ . 

2 

b 

5 a − 6 3 

k∆ 

= −3 ⇔ = −3 ⇔ b = −6 ⇒ 1 ⇔ = ⇔ a = − ⇒ 4a − b = 0. 

2 2 −3 2 


x + b 

y = 

ax − 2 

tuyến của đi qua điểm của ( C) 

tại điểm ( 1; 2) 

T = a + b bằng ? 

có đồ thị ( C ) .Biết rằng a và b là các giá trị thỏa mãn tiếp 

( ) 

1 . 

M − song song với d :3x + y − 4 = 0. Khi đó 

A. 2 B.1 C. − 1 

D. 0 

Lời giải 

1+ 

b 

2 1 . 

a − 2 

Đồ thị ( C) 

đi qua điểm M ( 1; − 2) 

⇔ − = ( ) 

Ta có 

x + b − 2 − ab − 

' ' 

2 

( 1 ) 

2 − ab 

y = ⇒ y = ⇒ y = . 

2 

ax − 2 ax − 2 a − 2 

( ) 

( ) 

⎧ −2 

− ab 

⎧k 

3 

∆ 

= −3 

= − 

2 

⎪ 

⎪( a − 2) 

Gọi ∆ là song song với d : 3x + y − 4 = 0 , suy ra ⎨ 2 + ab ⇔ 

− 2 ≠ 4 

⎨ 

⎪ 2 

2 ab 

( a 2) 

⎪ + 

⎩ − 

− 2 ≠ 4 

2 

⎪ 

⎩( a − 2) 

⎧ −2 

− ab 

⎪ 

= −3 

2 

⎧ ab + 2 = 3 a − 2 ⎧a 

= 1 

⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ T = a + b = 2. 

⎪ + b = 1 

2 

⎪⎩ 

⎩ 

⎪ 

− = 

⎩ a − 2 

2 

⎪ 

Kết hợp ( 1 ) 

( a − 2) ⎪ ( ) 

, ta được 

1 b 2( 2 − a) 

= b + 1 














Chọn A 

III.BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 1:Cho hàm số: 

bằng 2 . 

Trang280 

2x 

−1 y = . 

x + 1 

PHẦN 1 

Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) 

C tại điểm có hoành độ 

1 5 1 

1 5 1 

A. y = − x + . B. y = − x + 2. C. y = − x + . D. y = x . 

5 3 

2 

3 3 

2 

Câu 2: Cho hàm số: y = x 3 − 3x 2 + 1 ( C) 

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) 

điểm có hoành độ 5 . 

A. y = 24x 

− 79 B. y = 174x 

− 79 C. y = 45x 

− 79 D. y = 45x 

− 174 

4 2 

Câu 3: PT tiếp tuyến tại điểm cực đại của đồ thị hàm số y = x − 4x 

+ 1 

A. y = 4x 

+ 23. B. y = 1. 

C. y = −4x 

− 2. D. y = − 4x 

+ 2. 

= − − + tại điểm ( 0;1) 

3 2 

Câu 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x x 7x 

1 

A là 

A. y = 0. 

B. y = x + 1. C. y = 1. 

D. y = − 7x 

+ 1. 

C tại 

4 2 

Câu 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 2x 

+ 1 tại giao điểm của đồ thị và 

trục hoành là 

A. y = 0. 

B. y = 1. 

C. y = − 2x 

+ 1. D. y = − 7x 

+ 1. 

Câu 6:: Cho hàm số: y = x 3 − 3x 2 + 1 ( C) 


điểm có hoành độ − 3. 

A. y = 45x 

+ 82. B. y = − 45x 

+ 826. C. y = 45x 

+ 2 D. y = − 45x 

+ 82. 



điểm có hoành độ 0. 

A. y = −4x 

− 2. B. y = 4x 

+ 23. C. y = − 4x 

+ 2. D. y = 1. 

3x 

+ 4 

Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 

2x 

− 3 

tại điểm ( 1; 7) 

A − là 

C tại 

C tại 

A. y = − 7x 

+ 1. B. y = − 2x 

+ 4. C. y = 3x 

− 3. D. y = − 17x 

+ 10. 




A. y = − 9x 

+ 6. B. y = − 9x 

+ 66. C. y = 9x 

+ 6. D. y = 9x 

− 6. 

Câu 10: Cho hàm số: y = ( C) 

. Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) 

+ 

độ bằng − 4 . 

Trang281 

x −1 

x 1 

C tại 


2 23 2 23 2 7 2 25 

A. y = x + . B. y = − x + . C. y = − x + . D. y = x + . 

9 9 

9 9 

9 9 

9 9 

x −1 

x 1 



+ 

độ bằng 4. 


2 7 2 7 2 7 2 71 

A. y = x − . B. y = x + . C. y = − x + . D. y = − x + . 

25 25 

25 25 

25 25 

25 25 




A. y = 9x 

− 2. B. y = 9x 

− 26. C. y = −9x 

− 3. D. y = −9x 

− 26. 

x −1 

x 1 



+ 

độ bằng 1. 

C tại 


1 11 1 1 −1 15 −1 1 

A. y = x − . B. y = x − . C. y = x − . D. y = x − . 

2 2 

2 2 

2 2 

2 2 




A. y = 84x 

− 206. B. y = −84x 

− 2016. C. y = −84x 

− 206. D. y = 84x 

− 26. 



giao điểm của đồ thị và trục tung 


C tại 

C tại 













A. y = − 4x 

+ 2. B. y = 1. 

C. y = 4x 

+ 23. D. y = −4x 

− 2. 



+ 

1 

độ bằng − . 

2 

Trang282 

x −1 

x 1 


A. y = 8x 

+ 1. B. y = 8x 

+ 11. C. y = − 8x 

+ 1. D. y = − 8x 

+ 31. 



điểm có hoành độ bằng 1. 

C tại 

A. y = 4x 

+ 2016. B. y = 4x 

+ 2. C. y = − 4x 

+ 2. D. y = − 4x 

+ 2016. 




A. y = 24x 

− 9. B. y = −24x 

− 79. C. y = −24x 

− 9. D. y = 24x 

+ 29. 

Câu 20: Cho đường cong : ( ) 

C y x x 

3 2 

: 3 . 

điểm thuộc ( C ) và có hoành độ x 

0 

= − 1. 

= − Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ) 

A. y = − 9x 

+ 5. B. y = 9x 

+ 5. C. y = 9x 

− 5. D. y = −9x 

− 5. 




A. y = −24x 

− 79. B. y = 24x 

− 19. C. y = 24x 

− 79. D. y = 24x 

+ 4. 

Câu 22: Cho hàm số: y = x 3 − 3 x 2 

( C) 



A. y = −3x 

− 1. B. y = −x 

− 1. C. y = x − 3. D. y = − 3x 

+ 1. 



điểm có hoành độ bằng 2. 

C tại 

C tại 

C tại 

C tại 

C tại 

A. y = −16x 

− 31. B. y = −16x 

− 311. C. y = 16x 

− 3. D. y = 16x 

− 31. 

Câu 24: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

là: 

Trang283 

3 

y x 3x 

= + tại điểm có hoành độ x = 1 

A. y = 4x 

− 3. B. y = 2x 

− 2. C. y = 6x 

− 2. D. y = 6x 

+ 2. 

3x 

− 2 

Câu 25: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có tung độ bằng 1 là: 

x + 1 

A. y = − 6x 

+ 8. B. y = 6x 

− 4. C. y = 3x 

+ 5. D. y = 3x 

− 1. 

3x 

− 2 

Câu 26: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tại điểm có tung độ bằng 1 

x + 1 

là: 

32 4 5 5 

A. k = − . B. k = . 

C. k = − . 

D. k = . 

25 

5 

4 

4 

3 

Câu 27:Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3x 

1 

đi qua điểm nào trong các điểm sau: 

= + + ( C ) tại giao điểm của ( ) 

A. A ( 5;10 ) 

B. A ( 4;2) 

C. A ( 2;10) 

D. A ( 4;13) 

C với trục Oy 

4 

Câu 28: Đồ thị hàm số y = x + 3x 

+ 1 có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua điểm có tung độ bằng 

13 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 

2 

Câu 29: Cho hàm số y ln ( 2 x x ) 

số góc là: 

A. 1 4 

= + + . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x = − 2 có hệ 

1 

1 

3 

B. − C. − D. − 

2 

4 

4 

3 

Câu 30:Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x − 2x 

khi M có 

hoành độ bằng 1. 

A. y = x − 2 B. y = x − 3 C. 2y 

= x − 3 D.3y 

= 3x 

− 1 

Câu 31:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm y x 3 3x 1 ( C) 

độ bằng 

0 

x thỏa mãn ( ) 

y" x = 6 

0 

= + − tại điểm có hoành 

A. y = 6x 

+ 1 B. y = 6x 

− 3 C. y = 15x 

− 7 D.3y 

= 15x 

+ 15 














Câu 32:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 3x 4 ( C) 

( ) 

C với đường thẳng ∆ : y = x − 1 

Trang284 

= + − tại giao điểm cùa 

A. y = 6x 

− 6 B. y = 3x 

− 3 C. y = 6x 

− 8 D.3y 

= 3x 

− 4 

Câu 33:Tiếp tuyến của thuộc đồ thị hàm số y 2x 3 3x 2 1 ( C) 

có tung độ bằng 8. Tổng hoành độ và tung độ của điểm M bằng ? 

= − + tại M cắt trục tung tại điểm 

A. -5 B. 1 C. -29 D. 7 

Câu 34: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 4 4mx 2 3 ( C) 

của ( C ) với trục tung đồng thời ( C) 

đi qua điểm ( 1;0 ) 

A . 

= − + tại giao điểm 

A. y = − 4x + 4 B. y = 2 

C. y = 4x + 4 D. y = 3 

Câu 35: Ký hiệu d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số = 4 − 4 2 + 2 2 + 1 ( ) 

của ( C ) với trục hoành đồng thời ( C) 

đi qua điểm A ( 1;0 ) 

thỏa mãn bài toán? 

y x mx m C tại giao điểm 

A. 3 B. 2 C. 8 D. 4 


. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng d 

1-C 2-D 3-C 4-D 5-A 6-A 7-D 8-D 9-C 10-A 

11-B 12-B 13-B 14-B 15-A 16-B 17-A 18-C 19-D 20-D 

21-C 22-D 23-D 24-C 25-C 26-B 27-D 28-D 29-C 30-A 

31-B 32-A 33-A 34-D 35-D 

PHẦN 2 



điểm có tung độ bằng 10. 

A. y = 10, y = 9x 

− 17 

B. y = 19, y = 9x 

− 8 

C. y = 1, y = 9x 

− 1 

D. y = 10, y = 9x 

− 7 




C tại 

C tại 

A. y = 0, y = 9x 

− 1 B. y = 8, y = 9x 

− 20 C. y = 8, y = 9x 

− 19 D. y = 19, y = 9x 

− 8 




Trang285 

C tại 

A. y = 1, y = 9x 

− 1 B. y = 0, y = 9x 

− 1 C. y = 19, y = 9x 

− 8 D. y = 9, y = 9x 

− 18 




C tại 

A. y = 19, y = 9x 

− 8 B. y = 1, y = 9x 

− 26 C. y = 1, y = 9x 

− 8 D. y = 0, y = 9x 

− 1 




C tại 

A. y = 19, y = 9x 

− 8 B. y = 0, y = 9x 

− 1 C. y = 7, y = 9x 

− 18 D. y = 7, y = 9x 

− 20 

3 

x 2 

Câu 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − 2x + 3x 

+ 1, biết tiếp tuyến song 

3 

song với đường thẳng d : y = − x + 2 

11 

11 

A. y = − x + B. y = x + 

3 

3 

1 1 

22 13 

C. y = − x + , y = − x + D. y = − x + , y = − x + 

3 33 

3 33 

Câu 7: Số tiếp tuyến của ( ) 

C : y x x 

4 2 

= − + song song với d : y = 2x 

− 1? 

A. 0 B.3 C. 2 D.1 


với đường thẳng d : y = −6x 

− 1 

y x x 

4 2 

= − + 6 , biết tiếp tuyến song song 

A. y = − 6x 

+ 1 B. y = − 6x 

+ 6 C. y = 6x 

+ 10 D. y = − 6x 

+ 10 

Câu 9:Cho ( H ) 

x + 2 

: y = . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

x −1 

A.( H ) có tiếp tuyến song song với trục tung 

B.( H ) có tiếp tuyến song song với trục hoành 

C. Không tồn tại tiếp tuyến của ( ) 

D. Không tồn tại tiếp tuyến của ( ) 

H có hệ số góc âm 


2 

H có hệ số góc dương 

x3 

C : y = + 2x + 3x 

+ 1song song với d : y = 8x 

+ 2 ? 

3 

A.1 B. 2 C.3 D. 0 














Câu 11: Số tiếp tuyến của ( C) 

x + 1 

: y = song song với d : y = −2x 

− 1 ? 

x − 1 

A.1 B. 0 C.3 D. 2 


4 2 

C : y = −x − x + 6 song song với d : y = −6x 

− 1 ? 

A.1 B. 2 C.3 D. 0 

4 2 

Câu 13: : Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = − x + x , biết tiếp tuyến song song 

với đường thẳng d : y = 2x 

− 1 

⎡ y = 2x 

+ 21 

A. ⎢ 

⎣ y = 2x 

+ 32 

⎡ y = −2x 

B. ⎢ 

⎣ y = − 2x 

+ 3 

⎡ y = 2x 

+ 2 

C. y = 2x 

+ 32 D. ⎢ 

⎣ y = 2x 

+ 3 

2x 

−1 

Câu 14: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến song song với 

x − 2 

3 

đường thẳng d : y = − x + 2 . 

4 

−3 −3 

A. y = x + 2, y = x + 13 

B. y = 2x 

− 1 C. 

4 4 

−3 1 −3 13 

y = x + , y = x + D. y = x − 2 

4 2 4 2 

2x 

−1 

Câu 15: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = ,với hệ số góc 3 

x − 2 

k = − là 

A. y = −3x 

− 2 B. y = − 3x 

+ 2 C. y = − 3x + 2, y = − 3x 

+ 14 D. y = 2x 

− 1 


d : y = 3x 

+ 2 .? 

3 

x 2 

C : y = − 2x + 3x 

+ 1, song song với đường thẳng 

3 

A. 2 B.3 C. 0 D.1 

A.3 B.1 C. 2 D. 0 


song với đường thẳng d : y = 6x 

− 1. 

4 2 

= − − + 6 , biết tiếp tuyến song 

x + 1 


song với đường thẳng d : y = − 2x 

+ 2016 . 

x − 1 

⎡ y = 2x 

+ 2 

⎡ y = 2x 

⎡ y = 2x 

⎡ y = − 2x 

+ 2 

đường thẳng d : y = −2x 

− 1. 

A. ⎢ 

B. 

y = 2x 

+ 3 

⎢ 

C. 

⎣ 

y = 2x 

+ 3 

⎢ 

D. 

⎣ 

y = − 2x 

+ 2 

⎢ 

⎣ 

⎣ y = − 2x 

+ 3 

⎡ y = −2x 

⎡ y = − 7x 

+ 2 

4 2 

A. y = − 2x 

+ 73 B. ⎢ 

C. y = − 2x 

+ 7 D. 

⎣ y = − 2x 

+ 3 

⎢ 

Câu 25: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x + x , biết tiếp tuyến song song với 

⎣ y = − 7x 

+ 3 

đường thẳng d : y = 6x 

− 1. 

4 2 

Câu 18: Số tiếp tuyến của ( C) 

: y = x − x + 6 , song song với d : y = 6x 

− 1.? 

A. y = 6x 

+ 6 B. y = 6x 

− 4 C. y = − 6x 

+ 1 D. y = − 6x 

+ 10 

A.1 B. 2 C.3 D. 0 

3 2 

Câu 26: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x − 3x 

+ 5 với hệ số góc k = 12 là 

2x 

+ 1 

Câu 19: Số tiếp tuyến của ( C ) : y = , song song với : 3 1 

x − 1 

d y = − x − .? A. y = 12x + 12, y = 12x 

− 15 

B. y = 2 x, y = 2x 

+ 5 

Trang286 

Trang287 

y x x 

A. y = − 6x 

+ 1 B. y = 6x 

+ 10 C. y = − 6x 

+ 10 D. y = 6x 

+ 6 


d : y = − x + 2 .? 

3 

x 2 

C : y = − 2x + 3x 

+ 1, song song với đường thẳng 

3 

A.3 B. 2 C. 0 D.1 

3 

x 2 



3 


+ 2 . 

29 

A. y = 3x + 101, y = 3x 

− 11 

B. y = 3x + 1, y = 3x 

− 

3 

C. y = 3x 

+ 2 

D. y = 3x + 10, y = 3x 

− 1 

3 

x 2 



3 


+ 2 . 

1 7 

2 

A. y = 8 x + , y = 8x 

− B. y = 8 x + , y = 8x 

3 3 

3 

−1 11 −1 97 

11 97 

C. y = x + , y = x − D. y = 8 x + , y = 8x 

− 

8 3 8 3 

3 3 

Câu 24: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

2x 

y = biết tiếp tiếp tuyến song 

4x 

−1 














C. y = 12 x, y = 12x 

+ 5 

D. y = − 2 x, y = − 2x 

+ 5 


Trang288 

C : y x x 

4 2 

= + , song song với d : y 6x 

111 

= − .? 

A. 2 B. 0 C.1 D.3 

2x 

+ 1 


x − 1 

đường thẳng d : y = −3x 

− 1. 

⎡ y = − 3x 

+ 11 

A. ⎢ 

⎣ y = −3x 

−1 

Câu 29: Tìm M trên ( H ) 

( d ) : y = x + 2007 ? 

A.( 1; 1) 

− hoặc ( 2; 3) 

⎡ y = − 3x 

+ 101 

B. y = − 3x 

+ 11 C. y = − 3x 

+ 1 D. ⎢ 

⎣ y = −3x 

−1001 

x + 1 

: y = sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với 

x − 3 

− B.( 1; − 1) 

hoặc( 4;5 ) C.( ) 


−x 

vuông góc với đường thẳng d : y = x + 2 . 

8 

5;3 hoặc ( 1; 1) 

− D.( ) 

x 

y x x 

3 

5;3 hoặc ( 2; − 3) 

3 

2 

= − 2 + 3 + 1, biết tiếp tuyến 

−x 

11 97 

A. y = + 2 

B. y = 8 x + , y = 8x 

− 

8 

3 3 

C. y = 3x + 10, y = 3x 

− 1 

D. y = 3x + 101, y = 3x 

− 11 


3 2 

−1 

C : y = x − 3x 

+ 1, vuông góc với d : y = x + 2 

9 

A.1 B. 0 C. 2 D.3 


vuông góc với đường thẳng d : y = x + 2 . 

1 17 

1 17 

A. y = x + ; y = x + B. y = − x + ; y = x + 

3 3 

3 3 

x 

y x x 

3 

3 

2 

= − 2 + 3 + 1, biết tiếp tuyến 

11 

1 17 

C. y = − x + D. y = − x + ; y = − x + 

3 

3 3 

3 2 


+ 1, biết tiếp tuyến vuông góc 

−1 

với đường thẳng d : y = x + 2 . 

9 

⎡ y = − 9x 

+ 26 

A. ⎢ 

⎣ y = −9x 

− 236 

Trang289 

⎡ y = 9 + 26 

B. ⎢ 

⎣ y = 9 − 26 

⎡ y = 9x 

+ 16 

C. ⎢ 

⎣ y = 9x 

+ 216 

3 

Câu 34: Tìm điểm M có hoành độ trên đồ thị ( ) : 

1 2 

M vuông góc với đường thẳng y = − x + . 

3 3 

1 9 

M − B. M ⎛ 

⎜ − 

⎞ ; ⎟ 

⎝ 2 8 ⎠ 

A. ( 2;0) 


⎡ y = − 9x 

+ 6 

D. ⎢ 

⎣ y = −9x 

− 26 

C y = 1 x − x + 2 sao cho tiếp tuyến tại 

3 3 

⎛ −16 

⎞ 

C. M ⎜ −3; 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

4 

D. M ⎛ 

⎜ −1; ⎞ 

⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

3 

x 2 

C : y = − 2x + 3x 

+ 1, vuông góc với d : y = x + 2 

3 

A.1 B.3 C. 0 D. 2 

x −1 

Câu 36: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = với hệ số góc 3 

2x 

+ 1 

k = là: 

A. y = 3x 

± 1 

B. y = 3x − 1và 

y = 3x 

+ 5 

C. y = 3x + 1và 

y = 3x 

− 5 

D. y = 3x và y = 3x 

− 1 

Câu 37: Có bao nhiêu phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 

tuyến song song với đường thẳng y = 8x 

−12là : 

A. y = 8x 

+ 15 hoặc y = 8x 

− 17 

B. y = 8x 

+ 10 

C. y = 8x 

− 12 

D. Cả B và C đều đúng 

3 

y x x 

= − 4 −1biết tiếp 

3 2 


− 3 biết tiếp tuyến vuông góc 

với đường thẳng x + 4y 

+ 3 = 0 . 

A. 0 B.1 C. 2 D.3 

Câu 39: Cho hàm số y = 3x 

− 2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến 

song song với đường thẳng 3x 

− 2y 

+ 1 = 0 là: 

A.3x 

− 2y 

− 2 = 0 B.3x 

− 2y 

+ 2 = 0 C.3x 

− 2y 

− 1 = 0 D.3x 

− 2y 

− 3 = 0 

Câu 40: Goi 

1; 

2 

điểm củ ( ) 

2 

k k là hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x x ( C) 

= + tại giao 

C với đường thẳng y = mx + 1 . Biết k1 + k2 = 4 , giá trị của tham số m là: 

A. m = 0 

B. m = 2 

C. m = 1 

D. m = 4 

Câu 41: Cho hàm số y = x 3 − 2x + 1 ( C) 

. Đâu là một phương trình của ( ) 

( 2;1) 

A là : 


C đi qua điểm 













A. y = x − 1 B. y = 10x 

− 19 C. y = 3x 

− 5 D. Cả A và B đều đúng 

Câu 42: Cho hàm số y = ( C ) . Đâu là một tiếp tuyến của ( ) 

− 

điểm M ( 5;2) 

là : 

Trang290 

x + 2 

x 2 

C biết tiếp tuyến đi qua 

1 2 

A. y = x − 3 B. y = − x + 7 C. y = 2x 

− 8 D. y = x − 

3 3 

Câu 43: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 3x 

− 2 biết tiếp tuyến đi qua điểm 

M ( −2; −1) 

là: 

1 

3 1 

1 

3 1 

A. y = x − 1 B. y = x − C. y = x + 1 D. y = x + 

2 

8 4 

2 

4 2 


01.A 02.C 03.B 04.B 05.D 06.A 07.D 08.D 09.D 10.B 

11.A 12.A 14.C 14.C 15.C 16.A 17.C 18.A 19.B 20.B 

21.D 12.B 24.C 24.C 25.B 26.A 27.C 28.B 29.C 30.B 

31.C 32.C 34.A 34.A 35.A 36.B 37.A 38.D 39.C 40.B 

41.A 42.B 43.D

[SÁCH THAM KHẢO - FULLTEXT] TOÁN HỌC MOON.VN - TẬP 2 HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - CHƯƠNG 1 HÀM SỐ

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?