14.02.2018 Views

[ COMBO ] BỒI DƯỠNG TOÁN 8 NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN (VŨ HỮU BÌNH-NXBGD) & TUYỂN TẬP ĐỀ THI HSG TOÁN 8 (NGUYỄN VĂN TÚ-THCS THANH MỸ)

LINK BOX: https://app.box.com/s/mbtcdzkyknzu3tt5xnuv4suq80w4mafz LINK DOCS.GOOGLE: https://drive.google.com/file/d/11FC-7DtuqyevI5EnZE5oOGH8vX5YHhK-/view?usp=sharing

LINK BOX:
https://app.box.com/s/mbtcdzkyknzu3tt5xnuv4suq80w4mafz
LINK DOCS.GOOGLE:
https://drive.google.com/file/d/11FC-7DtuqyevI5EnZE5oOGH8vX5YHhK-/view?usp=sharing

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A. MỤC TIÊU:<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ<br />

* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử<br />

* Giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử<br />

* Nâng cao trình độ và kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử<br />

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP <strong>VÀ</strong> BÀI <strong>TẬP</strong><br />

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:<br />

Định lí bổ sung:<br />

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước<br />

dương của hệ số cao nhất<br />

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1<br />

+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử<br />

bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1<br />

+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì f(1)<br />

Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do<br />

1. Ví dụ 1: 3x 2 – 8x + 4<br />

Cách 1: Tách hạng tử thứ 2<br />

a - 1<br />

f(-1)<br />

và<br />

a + 1<br />

3x 2 – 8x + 4 = 3x 2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)<br />

Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:<br />

3x 2 – 8x + 4 = (4x 2 – 8x + 4) - x 2 = (2x – 2) 2 – x 2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)<br />

= (x – 2)(3x – 2)<br />

Ví dụ 2: x 3 – x 2 - 4<br />

đều là số nguyên.<br />

Ta nhân thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ± 1; ± 2; ± 4 , chỉ có f(2) = 0 nên x = 2 là nghiệm<br />

của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x – 2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện<br />

một nhân tử là x – 2<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Cách 1:<br />

x 3 – x 2 3 2 2 2<br />

– 4 = ( x − 2x ) + ( x − 2x) + ( 2x − 4) = x ( x − 2 ) + x( x − 2) + 2( x − 2) = ( x − 2)( x 2 + x + 2)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Cách 2: ( ) ( )<br />

− − 4 = − 8 − + 4 = −8 − − 4 = ( − 2)( + 2 + 4) − ( − 2)( + 2)<br />

3 2 3 2 3 2 2<br />

x x x x x x x x x x x<br />

= ( ) ⎡( )<br />

Ví dụ 3: f(x) = 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5<br />

x − x x x ⎤<br />

⎣<br />

+ + − +<br />

⎦<br />

= x − x + x +<br />

2 2<br />

2 2 4 ( 2) ( 2)( 2)<br />

Nhận xét: ± 1, ± 5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên<br />

f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ<br />

Ta nhận thấy x = 1 3<br />

là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên<br />

f(x) = 3x 3 – 7x 2 + 17x – 5 = 3x 3 − x 2 − 6x 2 + 2x + 15x − 5 = ( 3x 3 − x 2 ) − ( 6x 2 − 2x) + ( 15x<br />

− 5)<br />

=<br />

2 2<br />

x (3x −1) − 2 x(3x − 1) + 5(3x − 1) = (3x −1)( x − 2x<br />

+ 5)<br />

2 2 2<br />

Vì x x x x x<br />

− 2 + 5 = ( − 2 + 1) + 4 = ( − 1) + 4 > 0 với mọi x nên không phân tích được thành<br />

nhân tử nữa<br />

Ví dụ 4: x 3 + 5x 2 + 8x + 4<br />

Nhận xét: Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử<br />

bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x + 1<br />

x 3 + 5x 2 + 8x + 4 = (x 3 + x 2 ) + (4x 2 + 4x) + (4x + 4) = x 2 (x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)<br />

= (x + 1)(x 2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2) 2<br />

Ví dụ 5: f(x) = x 5 – 2x 4 + 3x 3 – 4x 2 + 2<br />

Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:<br />

x 5 – 2x 4 + 3x 3 – 4x 2 + 2 = (x – 1)(x 4 - x 3 + 2 x 2 - 2 x - 2)<br />

Vì x 4 - x 3 + 2 x 2 - 2 x - 2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên<br />

không phân tích được nữa<br />

Ví dụ 6: x 4 + 1997x 2 + 1996x + 1997 = (x 4 + x 2 + 1) + (1996x 2 + 1996x + 1996)<br />

= (x 2 + x + 1)(x 2 - x + 1) + 1996(x 2 + x + 1)<br />

= (x 2 + x + 1)(x 2 - x + 1 + 1996) = (x 2 + x + 1)(x 2 - x + 1997)<br />

Ví dụ 7: x 2 - x - 2001.2002 = x 2 - x - 2001.(2001 + 1)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

= x 2 - x – 2001 2 - 2001 = (x 2 – 2001 2 ) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)<br />

II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:<br />

Ví dụ 1: 4x 4 + 81 = 4x 4 + 36x 2 + 81 - 36x 2 = (2x 2 + 9) 2 – 36x 2<br />

= (2x 2 + 9) 2 – (6x) 2 = (2x 2 + 9 + 6x)(2x 2 + 9 – 6x)<br />

= (2x 2 + 6x + 9 )(2x 2 – 6x + 9)<br />

Ví dụ 2: x 8 + 98x 4 + 1 = (x 8 + 2x 4 + 1 ) + 96x 4<br />

= (x 4 + 1) 2 + 16x 2 (x 4 + 1) + 64x 4 - 16x 2 (x 4 + 1) + 32x 4<br />

= (x 4 + 1 + 8x 2 ) 2 – 16x 2 (x 4 + 1 – 2x 2 ) = (x 4 + 8x 2 + 1) 2 - 16x 2 (x 2 – 1) 2<br />

= (x 4 + 8x 2 + 1) 2 - (4x 3 – 4x ) 2<br />

= (x 4 + 4x 3 + 8x 2 – 4x + 1)(x 4 - 4x 3 + 8x 2 + 4x + 1)<br />

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung<br />

Ví dụ 1: x 7 + x 2 + 1 = (x 7 – x) + (x 2 + x + 1 ) = x(x 6 – 1) + (x 2 + x + 1 )<br />

= x(x 3 - 1)(x 3 + 1) + (x 2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x 2 + x + 1 ) (x 3 + 1) + (x 2 + x + 1)<br />

= (x 2 + x + 1)[x(x – 1)(x 3 + 1) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 5 – x 4 + x 2 - x + 1)<br />

Ví dụ 2: x 7 + x 5 + 1 = (x 7 – x ) + (x 5 – x 2 ) + (x 2 + x + 1)<br />

= x(x 3 – 1)(x 3 + 1) + x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1)<br />

= (x 2 + x + 1)(x – 1)(x 4 + x) + x 2 (x – 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1)<br />

= (x 2 + x + 1)[(x 5 – x 4 + x 2 – x) + (x 3 – x 2 ) + 1] = (x 2 + x + 1)(x 5 – x 4 + x 3 – x + 1)<br />

Ghi nhớ:<br />

Các đa thức có dạng x 3m + 1 + x 3n + 2 + 1 như: x 7 + x 2 + 1 ; x 7 + x 5 + 1 ; x 8 + x 4 + 1 ;<br />

x 5 + x + 1 ; x 8 + x + 1 ; … đều có nhân tử chung là x 2 + x + 1<br />

III. ĐẶT BIẾN PHỤ:<br />

Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128<br />

= (x 2 + 10x) + (x 2 + 10x + 24) + 128<br />

Đặt x 2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng<br />

(y – 12)(y + 12) + 128 = y 2 – 144 + 128 = y 2 – 16 = (y + 4)(y – 4)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

= ( x 2 + 10x + 8 )(x 2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x 2 + 10x + 8 )<br />

Ví dụ 2: A = x 4 + 6x 3 + 7x 2 – 6x + 1<br />

Giả sử x ≠ 0 ta viết<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

3<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

x 4 + 6x 3 + 7x 2 – 6x + 1 = x 2 ( x 2 6 1<br />

+ 6x + 7 – +<br />

2<br />

x x ) = x2 [(x 2 1<br />

+<br />

2<br />

x ) + 6(x - 1<br />

x ) + 7 ]<br />

Đặt x - 1<br />

x = y thì 1<br />

x2 +<br />

2<br />

x<br />

= y2 + 2, do đó<br />

A = x 2 (y 2 + 2 + 6y + 7) = x 2 (y + 3) 2 = (xy + 3x) 2 = [x(x - 1<br />

x )2 + 3x] 2 = (x 2 + 3x – 1) 2<br />

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:<br />

A = x 4 + 6x 3 + 7x 2 – 6x + 1 = x 4 + (6x 3 – 2x 2 ) + (9x 2 – 6x + 1 )<br />

= x 4 + 2x 2 (3x – 1) + (3x – 1) 2 = (x 2 + 3x – 1) 2<br />

2 2 2 2 2<br />

Ví dụ 3: A = ( x + y + z )( x + y + z) + ( xy + yz+zx)<br />

=<br />

⎡<br />

⎣( x + y + z ) + 2( xy + yz+zx) ⎤<br />

⎦ ( x + y + z ) + ( xy + yz+zx)<br />

2 2 2 2 2 2 2<br />

2 2 2<br />

Đặt x y z<br />

+ + = a, xy + yz + zx = b ta có<br />

A = a(a + 2b) + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 2 2 2<br />

= ( x + y + z + xy + yz + zx) 2<br />

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4<br />

Ví dụ 4: B = 2( x + y + z ) − ( x + y + z ) − 2( x + y + z )( x + y + z) + ( x + y + z)<br />

Đặt x 4 + y 4 + z 4 = a, x 2 + y 2 + z 2 = b, x + y + z = c ta có:<br />

B = 2a – b 2 – 2bc 2 + c 4 = 2a – 2b 2 + b 2 - 2bc 2 + c 4 = 2(a – b 2 ) + (b –c 2 ) 2<br />

Ta lại có: a – b 2 = - 2( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x<br />

2 ) và b –c 2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó;<br />

B = - 4( x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x<br />

2 ) + 4 (xy + yz + zx) 2<br />

=<br />

− − − + + + + + + = + +<br />

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />

4x y 4y z 4z x 4x y 4y z 4z x 8x yz 8xy z 8xyz 8 xyz( x y z)<br />

Ví dụ 5:<br />

3 3 3 3<br />

( a + b + c) − 4( a + b + c ) − 12abc<br />

Đặt a + b = m, a – b = n thì 4ab = m 2 – n 2<br />

a 3 + b 3 = (a + b)[(a – b) 2 + ab] = m(n 2 +<br />

C = (m + c) 3 – 4.<br />

m + 3mn<br />

4<br />

m - n<br />

4<br />

2 2<br />

). Ta có:<br />

3 2<br />

3 2 2<br />

− 4c − 3c(m - n ) = 3( - c 3 +mc 2 – mn 2 + cn 2 )<br />

= 3[c 2 (m - c) - n 2 (m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

III. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:<br />

Ví dụ 1: x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 14x + 3<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

4<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Nhận xét: các số ± 1, ± 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên<br />

củng không có nghiệm hữu tỉ<br />

Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng<br />

(x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) = x 4 + (a + c)x 3 + (ac + b + d)x 2 + (ad + bc)x + bd<br />

đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:<br />

⎧a<br />

+ c = −6<br />

⎪ac + b + d = 12<br />

⎨<br />

⎪ad<br />

+ bc = −14<br />

⎪<br />

⎩bd<br />

= 3<br />

Xét bd = 3 với b, d ∈ Z, b ∈ { ± 1, ± 3}<br />

với b = 3 thì d = 1 hệ điều kiện trên trở thành<br />

⎧a<br />

+ c = −6<br />

⎪ac = − 8 ⎧2c = − 8 ⎧c<br />

= −4<br />

⎨ ⇒ ⎨ ⇒ ⎨<br />

⎪a + 3c = − 14 ⎩ac = 8 ⎩a<br />

= −2<br />

⎪<br />

⎩bd<br />

= 3<br />

Vậy: x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 14x + 3 = (x 2 - 2x + 3)(x 2 - 4x + 1)<br />

Ví dụ 2: 2x 4 - 3x 3 - 7x 2 + 6x + 8<br />

Nhận xét: đa thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do đó ta có:<br />

2x 4 - 3x 3 - 7x 2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x 3 + ax 2 + bx + c)<br />

= 2x 4 + (a - 4)x 3 + (b - 2a)x 2 + (c - 2b)x - 2c ⇒<br />

Suy ra: 2x 4 - 3x 3 - 7x 2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x 3 + x 2 - 5x - 4)<br />

⎧a<br />

− 4 = −3<br />

⎧a<br />

= 1<br />

⎪b<br />

− 2a<br />

= − 7 ⎪<br />

⎨ ⇒ ⎨b<br />

= −5<br />

⎪c<br />

− 2b<br />

= 6 ⎪ c 4<br />

2c<br />

⎩ = −<br />

⎪− ⎩ = 8<br />

Ta lại có 2x 3 + x 2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng<br />

nahu nên có 1 nhân tử là x + 1 nên 2x 3 + x 2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x 2 - x - 4)<br />

Vậy: 2x 4 - 3x 3 - 7x 2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x 2 - x - 4)<br />

Ví dụ 3:<br />

12x 2 + 5x - 12y 2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

= acx 2 + (3c - a)x + bdy 2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

5<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

⎧ac<br />

= 12<br />

⎪<br />

⎧a<br />

= 4<br />

bc + ad = −10<br />

⎪<br />

⎪c<br />

= 3<br />

⇒ ⎨3c<br />

− a = 5 ⇒ ⎨<br />

⎪<br />

b = − 6<br />

bd = −12<br />

⎪<br />

⎪ ⎪ d = 2<br />

3d<br />

− b = 12<br />

⎩<br />

⎪⎩<br />

⇒ 12x 2 + 5x - 12y 2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)<br />

BÀI <strong>TẬP</strong>:<br />

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:<br />

1) x 3 - 7x + 6<br />

10) 64x 4 + y 4<br />

2) x 3 - 9x 2 + 6x + 16<br />

11) a 6 + a 4 + a 2 b 2 + b 4 - b 6<br />

3) x 3 - 6x 2 - x + 30<br />

12) x 3 + 3xy + y 3 - 1<br />

4) 2x 3 - x 2 + 5x + 3<br />

13) 4x 4 + 4x 3 + 5x 2 + 2x + 1<br />

5) 27x 3 - 27x 2 + 18x - 4<br />

14) x 8 + x + 1<br />

6) x 2 + 2xy + y 2 - x - y - 12<br />

15) x 8 + 3x 4 + 4<br />

7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24<br />

16) 3x 2 + 22xy + 11x + 37y + 7y 2 +10<br />

8) 4x 4 - 32x 2 + 1<br />

9) 3(x 4 + x 2 + 1) - (x 2 + x + 1) 2 17) x 4 - 8x + 63<br />

CHUYấN <strong>ĐỀ</strong> 2 - SƠ LƯỢC VỀ CHỈNH HỢP,<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

6<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A. MỤC TIÊU:<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP<br />

* Bước đầu HS hiểu về chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp<br />

* Vận dụng kiến thức vào một ssó bài toán cụ thể và thực tế<br />

* Tạo hứng thú và nâng cao kỹ năng giải toán cho HS<br />

B. KIẾN THỨC:<br />

I. Chỉnh hợp:<br />

1. định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp<br />

X ( 1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy<br />

Số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu<br />

2. Tính số chỉnh chập k của n phần tử<br />

A<br />

II. Hoán vị:<br />

1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử của tập hợp<br />

X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của n phần tử ấy<br />

Số tất cả các hoán vị của n phần tử được kí hiệu P n<br />

2. Tính số hoán vị của n phần tử<br />

( n! : n giai thừa)<br />

III. Tổ hợp:<br />

k<br />

n<br />

= n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)]<br />

1. Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử<br />

trong n phần tử của tập hợp X ( 0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy<br />

Số tất cả các tổ hợp chập k của n phần tử được kí hiệu<br />

2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử<br />

P n =<br />

A<br />

n<br />

n<br />

C<br />

k<br />

n<br />

A<br />

k<br />

n<br />

= n(n - 1)(n - 2) …2 .1 = n!<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

k<br />

C = n<br />

A<br />

n<br />

n<br />

: k! =<br />

n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]<br />

k!<br />

7<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

C. Ví dụ:<br />

1. Ví dụ 1:<br />

Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5<br />

a) có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ<br />

số trên<br />

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên<br />

c)Có bao nhiêu cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên<br />

Giải:<br />

a) số tự nhiên có ba chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi ba trong các chữ số trên là<br />

chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử:<br />

A<br />

3<br />

5<br />

= 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số<br />

b) số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên là hoán vị cua 5<br />

phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử):<br />

A<br />

5<br />

5<br />

= 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số<br />

c) cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử:<br />

2. Ví dụ 2:<br />

3<br />

C = 5.(5 - 1).(5 - 2) 5 . 4 . 3 60 10<br />

5<br />

= = = nhóm<br />

3! 3.(3 - 1)(3 - 2) 6<br />

Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng 5 chữ số này:<br />

a) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số trong đó không có chữ số nào lặp lại? Tính<br />

tổng các số lập được<br />

b) lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?<br />

c) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó hai chữ số kề nhau phải khác<br />

nhau<br />

d) Lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, trong đó có hai chữ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

số lẻ, hai chữ số chẵn<br />

Giải<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

8<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a) số tự nhiên có 4 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi 4 trong các chữ số trên là chỉnh<br />

hợp chập 4 của 5 phần tử:<br />

A<br />

4<br />

5<br />

= 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số<br />

Trong mỗi hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số có mặt: 120 : 5 = 24 lần<br />

Tổng các chữ số ở mỗi hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360<br />

Tổng các số được lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960<br />

b) chữ số tận cùng có 2 cách chọn (là 2 hoặc 4)<br />

bốn chữ số trước là hoán vị của của 4 chữ số còn lại và có P 4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cách<br />

chọn<br />

Tất cả có 24 . 2 = 48 cách chọn<br />

c) Các số phải lập có dạng abcde , trong đó : a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn (khác a),<br />

c có 4 cách chọn (khác b), d có 4 cách chọn (khác c), e có 4 cách chọn (khác d)<br />

Tất cả có: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số<br />

d) Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, có 1 cách chọn<br />

chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, có 3 cách chọn. Các chữ số có thể hoán vị, do đó có:<br />

1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số<br />

Bài 3: Cho 0<br />

xAy ≠ 180 . Trên Ax lấy 6 điểm khác A, trên Ay lấy 5 điểm khác A. trong 12<br />

điểm nói trên (kể cả điểm A), hai điểm nào củng được nối với nhau bởi một đoạn thẳng.<br />

Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy<br />

Giải<br />

Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại:<br />

+ Loại 1: các tam giác có một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc<br />

Ax (có 6 cách chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (có 5 cách<br />

chọn), gồm có: 6 . 5 = 30 tam giác<br />

+ Loại 2: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 5 điểm B 1 ,<br />

B 2 , B 3 , B 4 , B 5 (có 5 cách chọn), hai đỉnh kia là 2 trong 6<br />

điểm A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 ( Có<br />

Gồm 5 . 15 = 75 tam giác<br />

C<br />

2<br />

6<br />

6.5 30 15<br />

2! 2<br />

= = = cách chọn)<br />

A<br />

B 2<br />

B 3<br />

B 4<br />

B 5<br />

B 1<br />

A 1 A 2<br />

A 3<br />

A 4<br />

A 5 A 6<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

y<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

x<br />

9<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

+ Loại 3: Các tam giác có 1 đỉnh là 1 trong 6 điểm A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 hai đỉnh kia là 2<br />

trong 5 điểm B 1 , B 2 , B 3 , B 4 , B 5 gồm có: 6.<br />

Tất cả có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác<br />

Cách 2: số các tam giác chọn 3 trong 12 điểm ấy là<br />

C<br />

2<br />

5<br />

5.4 20<br />

6. 6. 60<br />

2! 2<br />

Số bộ ba điểm thẳng hang trong 7 điểm thuộc tia Ax là:<br />

Số bộ ba điểm thẳng hang trong 6 điểm thuộc tia Ay là:<br />

Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác<br />

D. BÀI <strong>TẬP</strong>:<br />

= = = tam giác<br />

12.11.10 1320 1320<br />

3! 3.2 6<br />

3<br />

C = = = =<br />

12<br />

7.6.5 210 210<br />

3! 3.2 6<br />

3<br />

C = = = =<br />

7<br />

6.5.4 120 120<br />

3! 3.2 6<br />

3<br />

C = = = =<br />

6<br />

Bài 1: cho 5 số: 0, 1, 2, 3, 4. từ các chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:<br />

a) Có 5 chữ số gồm cả 5 chữ số ấy?<br />

b) Có 4 chữ số, có các chữ số khác nhau?<br />

c) có 3 chữ số, các chữ số khác nhau?<br />

d) có 3 chữ số, các chữ số có thể giống nhau?<br />

Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số lập bởi các chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đó chia<br />

hết cho 9<br />

Bài 3: Trên trang vở có 6 đường kẻ thẳng đứng và 5 đường kẻ nằm ngang đôi một cắt<br />

nhau. Hỏi trên trang vở đó có bao nhiêu hình chữ nhật<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

220<br />

35<br />

20<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

10<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 3 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A. MỤC TIÊU:<br />

HS nắm được công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b) n<br />

Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị<br />

thức, vận dụng vào các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử<br />

B. KIẾN THỨC <strong>VÀ</strong> BÀI <strong>TẬP</strong> VẬN DỤNG:<br />

I. Nhị thức Niutơn:<br />

Trong đó:<br />

C<br />

k<br />

n<br />

n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]<br />

=<br />

1.2.3...k<br />

II. Cách xác định hệ số của khai triển Niutơn:<br />

k<br />

1. Cách 1: Dùng công thức C<br />

n<br />

n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]<br />

=<br />

k !<br />

Chẳng hạn hệ số của hạng tử a 4 b 3 trong khai triển của (a + b) 7 là<br />

4 7.6.5.4 7.6.5.4<br />

C<br />

7<br />

= = = 35<br />

4! 4.3.2.1<br />

Chú ý: a)<br />

C<br />

b) Ta có:<br />

k<br />

n<br />

k<br />

n<br />

n !<br />

n!(n - k) !<br />

= với quy ước 0! = 1 ⇒<br />

4<br />

C =<br />

k - 1<br />

C nên<br />

4 3<br />

2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan<br />

n<br />

(a + b) n = a n 1<br />

+ C a n - 1 2<br />

b + C a n - 2 b 2 n 1<br />

+ …+ C − ab n - 1 + b n<br />

7.6.5.<br />

C<br />

7<br />

= C<br />

7<br />

= = 35<br />

3!<br />

Đỉnh 1<br />

Dòng 1(n = 1) 1 1<br />

7! 7.6.5.4.3.2.1<br />

C<br />

7<br />

= = = 35<br />

4!.3! 4.3.2.1.3.2.1<br />

Dòng 2(n = 1) 1 2 1<br />

Dòng 3(n = 3) 1 3 3 1<br />

Dòng 4(n = 4) 1 4 6 4 1<br />

Dòng 5(n = 5) 1 5 10 10 5 1<br />

n<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Dòng 6(n = 6) 1 6 15 20 15 6 1<br />

n<br />

n<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

11<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1; dòng k + 1 được thành lập từ dòng k<br />

(k ≥1), chẳng hạn ở dòng 2 (n = 2) ta có 2 = 1 + 1, dòng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2<br />

dòng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …<br />

Với n = 4 thì: (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4<br />

Với n = 5 thì: (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5<br />

Với n = 6 thì: (a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6<br />

3. Cách 3:<br />

Tìm hệ số của hạng tử đứng sau theo các hệ số của hạng tử đứng trước:<br />

a) Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1<br />

b) Muốn có hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhân với số<br />

mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k<br />

Chẳng hạn: (a + b) 4 = a 4 + 1.4<br />

1 a3 b + 4.3<br />

2 a2 b 2 + 4.3.2<br />

2.3 ab3 + 4.3.2.<br />

2.3.4 b5<br />

Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa<br />

là các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau<br />

(a + b) n = a n + na n -1 b +<br />

III. Ví dụ:<br />

n(n - 1)<br />

1.2<br />

a n - 2 b 2 + …+<br />

1. Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử<br />

a) A = (x + y) 5 - x 5 - y 5<br />

Cách 1: khai triển (x + y) 5 rồi rút gọn A<br />

n(n - 1)<br />

1.2<br />

a 2 b n - 2 + na n - 1 b n - 1 + b n<br />

A = (x + y) 5 - x 5 - y 5 = ( x 5 + 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 ) - x 5 - y 5<br />

= 5x 4 y + 10x 3 y 2 + 10x 2 y 3 + 5xy 4 = 5xy(x 3 + 2x 2 y + 2xy 2 + y 3 )<br />

= 5xy [(x + y)(x 2 - xy + y 2 ) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x 2 + xy + y 2 )<br />

Cách 2: A = (x + y) 5 - (x 5 + y 5 )<br />

x 5 + y 5 chia hết cho x + y nên chia x 5 + y 5 cho x + y ta có:<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

x 5 + y 5 = (x + y)(x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 ) nên A có nhân tử chung là (x + y), đặt (x + y)<br />

làm nhân tử chung, ta tìm được nhân tử còn lại<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

12<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

y 7 = 7x 6 y + 21x 5 y 2 + 35x 4 y 3 + 35x 3 y 4 + 21x 2 y 5 + 7xy 6<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

b) B = (x + y) 7 - x 7 - y 7 = (x 7 +7x 6 y +21x 5 y 2 + 35x 4 y 3 +35x 3 y 4 +21x 2 y 5 7xy 6 + y 7 ) - x 7 -<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

= 7xy[(x 5 + y 5 ) + 3(x 4 y + xy 4 ) + 5(x 3 y 2 + x 2 y 3 )]<br />

= 7xy {[(x + y)(x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 ) ] + 3xy(x + y)(x 2 - xy + y 2 ) + 5x 2 y 2 (x + y)}<br />

= 7xy(x + y)[x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 + 3xy(x 2 + xy + y 2 ) + 5x 2 y 2 ]<br />

= 7xy(x + y)[x 4 - x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 + 3x 3 y - 3x 2 y 2 + 3xy 3 + 5x 2 y 2 ]<br />

= 7xy(x + y)[(x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 ) + 2xy (x 2 + y 2 ) + x 2 y 2 ] = 7xy(x + y)(x 2 + xy + y 2 ) 2<br />

Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các đa thức có được sau khi khai triển<br />

a) (4x - 3) 4<br />

Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có:<br />

(4x - 3) 4 = 4.(4x) 3 .3 + 6.(4x) 2 .3 2 - 4. 4x. 3 3 + 3 4 = 256x 4 - 768x 3 + 864x 2 - 432x + 81<br />

Tổng các hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1<br />

b) Cách 2: Xét đẳng thức (4x - 3) 4 = c 0 x 4 + c 1 x 3 + c 2 x 2 + c 3 x + c 4<br />

Tổng các hệ số: c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + c 4<br />

Thay x = 1 vào đẳng thức trên ta có: (4.1 - 3) 4 = c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + c 4<br />

Vậy: c 0 + c 1 + c 2 + c 3 + c 4 = 1<br />

* Ghi chú: Tổng các hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giá trị của đa<br />

thức đó tại x = 1<br />

C. BÀI <strong>TẬP</strong>:<br />

Bài 1: Phân tích thành nhân tử<br />

a) (a + b) 3 - a 3 - b 3 b) (x + y) 4 + x 4 + y 4<br />

Bài 2: Tìm tổng các hệ số có được sau khi khai triển đa thức<br />

a) (5x - 2) 5 b) (x 2 + x - 2) 2010 + (x 2 - x + 1) 2011<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

13<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

CHUÊN <strong>ĐỀ</strong> 4 - CÁC BÀI <strong>TOÁN</strong> VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN<br />

A. MỤC TIÊU:<br />

* Củng cố, khắc sâu kiến thức về các bài toán chia hết giữa các số, các đa thức<br />

* HS tiếp tục thực hành thành thạo về các bài toán chứng minh chia hết, không chia hết,<br />

sốnguyên tố, số chính phương…<br />

* Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, không chia hết… vào các bài<br />

toán cụ thể<br />

B.KIẾN THỨC <strong>VÀ</strong> CÁC BÀI <strong>TOÁN</strong>:<br />

I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết<br />

1. Kiến thức:<br />

* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân<br />

tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi<br />

một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó<br />

* Chú ý:<br />

+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k<br />

+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho<br />

m<br />

+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:<br />

+) a n - b n chia hết cho a - b (a ≠ - b)<br />

+) (a + 1) n là BS(a )+ 1<br />

+) a 2n + 1 + b 2n + 1 chia hết cho a + b<br />

+)(a - 1) 2n là B(a) + 1<br />

+ (a + b) n = B(a) + b n +) (a - 1) 2n + 1 là B(a) - 1<br />

2. Bài tập:<br />

2. Các bài toán<br />

Bài 1: chứng minh rằng<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

a) 2 51 - 1 chia hết cho 7 b) 2 70 + 3 70 chia hết cho 13<br />

c) 17 19 + 19 17 chi hết cho 18 d) 36 63 - 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho<br />

37<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

14<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

e) 2 4n -1 chia hết cho 15 với n∈ N<br />

Giải<br />

a) 2 51 - 1 = (2 3 ) 17 - 1 ⋮ 2 3 - 1 = 7<br />

b) 2 70 + 3 70 (2 2 ) 35 + (3 2 ) 35 = 4 35 + 9 35 ⋮ 4 + 9 = 13<br />

c) 17 19 + 19 17 = (17 19 + 1) + (19 17 - 1)<br />

17 19 + 1 ⋮ 17 + 1 = 18 và 19 17 - 1 ⋮ 19 - 1 = 18 nên (17 19 + 1) + (19 17 - 1)<br />

hay 17 19 + 19 17 ⋮ 18<br />

d) 36 63 - 1 ⋮ 36 - 1 = 35 ⋮ 7<br />

36 63 - 1 = (36 63 + 1) - 2 chi cho 37 dư - 2<br />

e) 2 4n - 1 = (2 4 ) n - 1 ⋮ 2 4 - 1 = 15<br />

Bài 2: chứng minh rằng<br />

a) n 5 - n chia hết cho 30 với n ∈ N ;<br />

b) n 4 -10n 2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n∈ Z<br />

c) 10 n +18n -28 chia hết cho 27 với n∈ N ;<br />

Giải:<br />

a) n 5 - n = n(n 4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n 2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n 2 + 1) chia hết cho 6 vì<br />

(n - 1).n.(n+1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3 (*)<br />

Mặt khác n 5 - n = n(n 2 - 1)(n 2 + 1) = n(n 2 - 1).(n 2 - 4 + 5) = n(n 2 - 1).(n 2 - 4 ) + 5n(n 2 - 1)<br />

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n 2 - 1)<br />

Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5<br />

5n(n 2 - 1) chia hết cho 5<br />

Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n 2 - 1) chia hết cho 5 (**)<br />

Từ (*) và (**) suy ra đpcm<br />

b) Đặt A = n 4 -10n 2 + 9 = (n 4 -n 2 ) - (9n 2 - 9) = (n 2 - 1)(n 2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)<br />

Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 (k ∈ Z) thì<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) ⇒ A chia hết cho 16 (1)<br />

Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2, 3, 4<br />

nên A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

15<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384<br />

c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27)<br />

+ Ta có: 27n - 27 ⋮ 27 (1)<br />

+ 10 n - 9n - 1 = [( 9...9 + 1) - 9n - 1] = 9...9 - 9n = 9( 1...1 - n) ⋮ 27 (2)<br />

n<br />

n<br />

n<br />

vì 9 ⋮ 9 và 1...1 - n ⋮ 3 do 1...1 - n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3<br />

n<br />

n<br />

Từ (1) và (2) suy ra đpcm<br />

3. Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì<br />

a) a 3 - a chia hết cho 3<br />

b) a 7 - a chia hết cho 7<br />

Giải<br />

a) a 3 - a = a(a 2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số<br />

là bội của 3 nên (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3<br />

b) ) a 7 - a = a(a 6 - 1) = a(a 2 - 1)(a 2 + a + 1)(a 2 - a + 1)<br />

Nếu a = 7k (k ∈ Z) thì a chia hết cho 7<br />

Nếu a = 7k + 1 (k ∈Z) thì a 2 - 1 = 49k 2 + 14k chia hết cho 7<br />

Nếu a = 7k + 2 (k ∈Z) thì a 2 + a + 1 = 49k 2 + 35k + 7 chia hết cho 7<br />

Nếu a = 7k + 3 (k ∈Z) thì a 2 - a + 1 = 49k 2 + 35k + 7 chia hết cho 7<br />

Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7<br />

Vậy: a 7 - a chia hết cho 7<br />

Bài 4: Chứng minh rằng A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ...+ 100 3 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100<br />

Giải<br />

Ta có: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50<br />

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101<br />

Ta có: A = (1 3 + 100 3 ) + (2 3 + 99 3 ) + ... +(50 3 + 51 3 )<br />

= (1 + 100)(1 2 + 100 + 100 2 ) + (2 + 99)(2 2 + 2. 99 + 99 2 ) + ... + (50 + 51)(50 2 + 50. 51 +<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

51 2 ) = 101(1 2 + 100 + 100 2 + 2 2 + 2. 99 + 99 2 + ... + 50 2 + 50. 51 + 51 2 ) chia hết cho 101<br />

(1)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

16<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Lại có: A = (1 3 + 99 3 ) + (2 3 + 98 3 ) + ... + (50 3 + 100 3 )<br />

Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nên A chia hết cho 50 (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nên A chi hết cho B<br />

Bài tập về nhà<br />

Chứng minh rằng:<br />

a) a 5 – a chia hết cho 5<br />

b) n 3 + 6n 2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn<br />

c) Cho a l à số nguyên tố lớn hơn 3. Cmr a 2 – 1 chia hết cho 24<br />

d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a 3 + b 3 + c 3 chia hết cho 6<br />

e) 2009 2010 không chia hết cho 2010<br />

f) n 2 + 7n + 22 không chia hết cho 9<br />

Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia<br />

Bài 1:<br />

Tìm số dư khi chia 2 100<br />

a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125<br />

Giải<br />

a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 2 3 = 8 = 9 - 1<br />

Ta có : 2 100 = 2. (2 3 ) 33 = 2.(9 - 1) 33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7<br />

Vậy: 2 100 chia cho 9 thì dư 7<br />

b) Tương tự ta có: 2 100 = (2 10 ) 10 = 1024 10 = [B(25) - 1] 10 = B(25) + 1<br />

Vậy: 2 100 chia chop 25 thì dư 1<br />

c)Sử dụng công thức Niutơn:<br />

2 100 = (5 - 1) 50 = (5 50 - 5. 5 49 + … + 50.49 . 5 2 - 50 . 5 ) + 1<br />

2<br />

Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng đầu đã chứa thừa số 5 với số mũ<br />

lớn hơn hoặc bằng 3 nên đều chia hết cho 5 3 = 125, hai số hạng tiếp theo: 50.49 . 5 2 - 50.5<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1<br />

Vậy: 2 100 = B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1<br />

2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

17<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Bài 2:<br />

Viết số 1995 1995 thành tổng của các số tự nhiên . Tổng các lập phương đó chia cho 6 thì dư<br />

bao nhiêu?<br />

Giải<br />

Đặt 1995 1995 = a = a 1 + a 2 + …+ a n.<br />

3 3 3 3<br />

Gọi S a1 a<br />

2<br />

+ a<br />

3<br />

+ ...+ a<br />

n<br />

3 3 3 3<br />

= + = a a + a + ...+ a<br />

+ + a - a<br />

1 2 3 n<br />

= (a 1 3 - a 1 ) + (a 2 3 - a 2 ) + …+ (a n 3 - a n ) + a<br />

Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ<br />

cần tìm số dư khi chia a cho 6<br />

1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đó chia cho 6 dư 3<br />

Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2 100 viết trong hệ thập phân<br />

giải<br />

Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2 100 cho 1000<br />

Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2 100 cho 125<br />

Vận dụng bài 1 ta có 2 100 = B(125) + 1 mà 2 100 là số chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chỉ<br />

có thể là 126, 376, 626 hoặc 876<br />

Hiển nhiên 2 100 chia hết cho 8 vì 2 100 = 16 25 chi hết cho 8 nên ba chữ số tận cùng của nó<br />

chia hết cho 8<br />

trong các số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ có 376 chia hết cho 8<br />

Vậy: 2 100 viết trong hệ thập phân có ba chữ số tận cùng là 376<br />

Tổng quát: Nếu n là số chẵn không chia hết cho 5 thì 3 chữ số tận cùng của nó là 376<br />

Bài 4: Tìm số dư trong phép chia các số sau cho 7<br />

a) 22 22 + 55 55 b)3 1993<br />

c) 1992 1993 + 1994 1995 d) 3<br />

Giải<br />

1930<br />

2<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

a) ta có: 22 22 + 55 55 = (21 + 1) 22 + (56 – 1) 55 = (BS 7 +1) 22 + (BS 7 – 1) 55<br />

= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 22 22 + 55 55 chia 7 dư 0<br />

b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 3 3 = BS 7 – 1<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

18<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đó:<br />

3 1993 = 3 6k + 1 = 3.(3 3 ) 2k = 3(BS 7 – 1) 2k = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3<br />

c) Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó:<br />

1992 1993 + 1994 1995 = (BS 7 – 3) 1993 + (BS 7 – 1) 1995 = BS 7 – 3 1993 + BS 7 – 1<br />

Theo câu b ta có 3 1993 = BS 7 + 3 nên<br />

1992 1993 + 1994 1995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3<br />

d)<br />

1930<br />

2<br />

3 = 3 2860 = 3 3k + 1 = 3.3 3k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4<br />

Bài tập về nhà<br />

Tìm số d ư khi:<br />

a) 2 1994 cho 7<br />

b) 3 1998 + 5 1998 cho 13<br />

c) A = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ...+ 99 3 chia cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 99<br />

Dạng 3: Tìm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết<br />

Bài 1: Tìm n ∈ Z để giá trị của biểu thức A = n 3 + 2n 2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu<br />

thức B = n 2 - n<br />

Giải<br />

Chia A cho B ta có: n 3 + 2n 2 - 3n + 2 = (n + 3)(n 2 - n) + 2<br />

Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n 2 - n = n(n - 1) do đó 2 chia hết cho n, ta có:<br />

n 1 - 1 2 - 2<br />

n - 1 0 - 2 1 - 3<br />

n(n - 1) 0 2 2 6<br />

loại<br />

Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n 3 + 2n 2 - 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức<br />

B = n 2 - n thì n ∈{ − 1;2}<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Bài 2:<br />

a) Tìm n ∈ N để n 5 + 1 chia hết cho n 3 + 1<br />

loại<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

19<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

b) Giải bài toán trên nếu n ∈ Z<br />

Giải<br />

Ta có: n 5 + 1 ⋮ n 3 + 1 ⇔ n 2 (n 3 + 1) - (n 2 - 1) ⋮ n 3 + 1 ⇔ (n + 1)(n - 1) ⋮ n 3 + 1<br />

⇔ (n + 1)(n - 1) ⋮ (n + 1)(n 2 - n + 1) ⇔ n - 1 ⋮ n 2 - n + 1 (Vì n + 1 ≠ 0)<br />

a) Nếu n = 1 thì 0 ⋮ 1<br />

Nếu n > 1 thì n - 1 < n(n - 1) + 1 < n 2 - n + 1 nên không thể xẩy ra n - 1 ⋮ n 2 - n + 1<br />

Vậy giá trụ của n tìm được là n = 1<br />

b) n - 1 ⋮ n 2 - n + 1 ⇒ n(n - 1) ⋮ n 2 - n + 1 ⇔ (n 2 - n + 1 ) - 1 ⋮ n 2 - n + 1<br />

⇒ 1 ⋮ n 2 - n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra:<br />

+ n 2 - n + 1 = 1 ⇔ n(n - 1) = 0 ⇔<br />

⎡n = 0<br />

⎢<br />

⎣n = 1<br />

+ n 2 - n + 1 = -1 ⇔ n 2 - n + 2 = 0 (Vô nghiệm)<br />

Bài 3: Tìm số nguyên n sao cho:<br />

(Tm đề bài)<br />

a) n 2 + 2n - 4 ⋮ 11 b) 2n 3 + n 2 + 7n + 1 ⋮ 2n - 1<br />

c) n 4 - 2n 3 + 2n 2 - 2n + 1 ⋮ n 4 - 1 d) n 3 - n 2 + 2n + 7 ⋮ n 2 + 1<br />

Giải<br />

a) Tách n 2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đó có một hạng tử là B(11)<br />

n 2 + 2n - 4 ⋮ 11 ⇔ (n 2 - 2n - 15) + 11 ⋮ 11 ⇔ (n - 3)(n + 5) + 11 ⋮ 11<br />

⇔ (n - 3)(n + 5) ⋮ 11 ⇔<br />

⎡n − 3⋮11 ⎡n = B(11) + 3<br />

⎢ ⇔<br />

n + 5 11<br />

⎢<br />

⎣ ⋮ ⎣n = B(11) - 5<br />

b) 2n 3 + n 2 + 7n + 1 = (n 2 + n + 4) (2n - 1) + 5<br />

Để 2n 3 + n 2 + 7n + 1 ⋮ 2n - 1 thì 5 ⋮ 2n - 1 hay 2n - 1 là Ư(5) ⇔<br />

Vậy: n ∈{ − 2; 0; 1; 3 } thì 2n 3 + n 2 + 7n + 1 ⋮ 2n - 1<br />

c) n 4 - 2n 3 + 2n 2 - 2n + 1 ⋮ n 4 - 1<br />

Đặt A = n 4 - 2n 3 + 2n 2 - 2n + 1 = (n 4 - n 3 ) - (n 3 - n 2 ) + (n 2 - n) - (n - 1)<br />

⎡2n − 1 = - 5 ⎡n = - 2<br />

⎢<br />

2n 1 = -1<br />

⎢<br />

⎢<br />

−<br />

n = 0<br />

⇔ ⎢<br />

⎢2n − 1 = 1 ⎢n = 1<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣2n − 1 = 5 ⎣n = 3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

= n 3 (n - 1) - n 2 (n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n 3 - n 2 + n - 1) = (n - 1) 2 (n 2 + 1)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

20<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

B = n 4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n 2 + 1)<br />

A chia hết cho b nên n ≠ ± 1 ⇒ A chia hết cho B ⇔ n - 1 ⋮ n + 1 ⇔ (n + 1) - 2 ⋮ n + 1<br />

⇔ 2 ⋮ n + 1 ⇔<br />

⎡n + 1 = - 2 ⎡n = -3<br />

⎢<br />

⎢<br />

n + 1 = - 1 n = - 2<br />

⎢ ⇔ ⎢<br />

⎢ n + 1 = 1 ⎢ n = 0<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣n + 1 = 2 ⎢n = 1 (khong ɵ<br />

⎣<br />

Tm)<br />

Vậy: n ∈ { − 3; − 2; 0 } thì n 4 - 2n 3 + 2n 2 - 2n + 1 ⋮ n 4 - 1<br />

d) Chia n 3 - n 2 + 2n + 7 cho n 2 + 1 được thương là n - 1, dư n + 8<br />

Để n 3 - n 2 + 2n + 7 ⋮ n 2 + 1 thì n + 8 ⋮ n 2 + 1 ⇒ (n + 8)(n - 8) ⋮ n 2 + 1 ⇔ 65 ⋮ n 2 + 1<br />

Lần lượt cho n 2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta được n bằng 0; ± 2; ± 8<br />

Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m)<br />

Vậy: n 3 - n 2 + 2n + 7 ⋮ n 2 + 1 khi n = 0, n = 8<br />

Bài tập về nhà:<br />

Tìm số nguyên n để:<br />

a) n 3 – 2 chia hết cho n – 2<br />

b) n 3 – 3n 2 – 3n – 1 chia hết cho n 2 + n + 1<br />

c)5 n – 2 n chia hết cho 63<br />

Dạng 4: Tồn tại hay không tồn tại sự chia hết<br />

Bài 1: Tìm n ∈ N sao cho 2 n – 1 chia hết cho 7<br />

Giải<br />

Nếu n = 3k ( k ∈ N) thì 2 n – 1 = 2 3k – 1 = 8 k - 1 chia hết cho 7<br />

Nếu n = 3k + 1 ( k ∈ N) thì 2 n – 1 = 2 3k + 1 – 1 = 2(2 3k – 1) + 1 = BS 7 + 1<br />

Nếu n = 3k + 2 ( k ∈ N) thì 2 n – 1 = 2 3k + 2 – 1 = 4(2 3k – 1) + 3 = BS 7 + 3<br />

V ậy: 2 n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3<br />

Bài 2: Tìm n ∈ N để:<br />

a) 3 n – 1 chia hết cho 8<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

b) A = 3 2n + 3 + 2 4n + 1 chia hết cho 25<br />

c) 5 n – 2 n chia hết cho 9<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

21<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Giải<br />

a) Khi n = 2k (k∈ N) thì 3 n – 1 = 3 2k – 1 = 9 k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8<br />

Khi n = 2k + 1 (k∈ N) thì 3 n – 1 = 3 2k + 1 – 1 = 3. (9 k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2<br />

Vậy : 3 n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k∈ N)<br />

b) A = 3 2n + 3 + 2 4n + 1 = 27 . 3 2n + 2.2 4n = (25 + 2) 3 2n + 2.2 4n = 25. 3 2n + 2.3 2n + 2.2 4n<br />

= BS 25 + 2(9 n + 16 n )<br />

Nếu n = 2k +1(k∈ N) thì 9 n + 16 n = 9 2k + 1 + 16 2k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25<br />

Nếu n = 2k (k∈ N) thì 9 n có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16 n có chữ số tận cùng bằng 6<br />

suy ra 2((9 n<br />

hết cho 25<br />

+ 16 n ) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia<br />

c) Nếu n = 3k (k∈ N) thì 5 n – 2 n = 5 3k – 2 3k chia hết cho 5 3 – 2 3 = 117 nên chia hết cho 9<br />

Nếu n = 3k + 1 thì 5 n – 2 n = 5.5 3k – 2.2 3k = 5(5 3k – 2 3k ) + 3. 2 3k = BS 9 + 3. 8 k<br />

= BS 9 + 3(BS 9 – 1) k = BS 9 + BS 9 + 3<br />

Tương tự: nếu n = 3k + 2 thì 5 n – 2 n không chia hết cho 9<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

22<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

I. Số chính phương:<br />

A. Một số kiến thức:<br />

Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác<br />

Ví dụ:<br />

4 = 2 2 ; 9 = 3 2<br />

A = 4n 2 + 4n + 1 = (2n + 1) 2 = B 2<br />

+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8<br />

+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia<br />

hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 2 3 thì chia hết cho 2 4 ,…<br />

+ Số 11...1 = a thì 99...9 = 9a ⇒9a + 1 = 99...9 + 1 = 10 n<br />

n<br />

n<br />

n<br />

B. Một số bài toán:<br />

1. Bài 1:<br />

Chứng minh rằng: Một số chính phương chia cho 3, cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1<br />

Giải<br />

Gọi A = n 2 (n ∈N)<br />

a) xét n = 3k (k ∈N) ⇒ A = 9k 2 nên chia hết cho 3<br />

n = 3k ± 1 (k ∈N) ⇒ A = 9k 2 ± 6k + 1, chia cho 3 dư 1<br />

Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1<br />

b) n = 2k (k ∈N) thì A = 4k 2 chia hết cho 4<br />

n = 2k +1 (k ∈N) thì A = 4k 2 + 4k + 1 chia cho 4 dư 1<br />

Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1<br />

Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4<br />

+ Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương<br />

a) M = 1992 2 + 1993 2 + 1994 2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

23<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

b) N = 1992 2 + 1993 2 + 1994 2 + 1995 2<br />

c) P = 1 + 9 100 + 94 100 + 1994 100<br />

d) Q = 1 2 + 2 2 + ...+ 100 2<br />

e) R = 1 3 + 2 3 + ... + 100 3<br />

Giải<br />

a) các số 1993 2 , 1994 2 chia cho 3 dư 1, còn 1992 2 chia hết cho 3 ⇒ M chia cho 3 dư 2 do<br />

đó M không là số chính phương<br />

b) N = 1992 2 + 1993 2 + 1994 2 + 1995 2 gồm tổng hai số chính phương chẵn chia hết cho 4,<br />

và hai số chính phương lẻ nên chia 4 dư 2 suy ra N không là số chính phương<br />

c) P = 1 + 9 100 + 94 100 + 1994 100 chia 4 dư 2 nên không là số chính phương<br />

d) Q = 1 2 + 2 2 + ...+ 100 2<br />

Số Q gồm 50 số chính phương chẵn chia hết cho 4, 50 số chính phương lẻ, mỗi số chia 4<br />

dư 1 nên tổng 50 số lẻ đó chia 4 thì dư 2 do đó Q chia 4 thì dư 2 nên Q không là số chính<br />

phương<br />

e) R = 1 3 + 2 3 + ... + 100 3<br />

Gọi A k = 1 + 2 +... + k =<br />

k(k + 1)<br />

2<br />

Ta có: A k 2 – A k -1 2 = k 3 khi đó:<br />

1 3 = A 1<br />

2<br />

2 3 = A 2 2 – A 1<br />

2<br />

.....................<br />

n 3 = A n 2 = A n - 1<br />

2<br />

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có:<br />

, A k – 1 = 1 + 2 +... + k =<br />

2 2<br />

⎡n(n + 1) ⎤ ⎡100(100 + 1) ⎤<br />

⎢<br />

⎣ 2 ⎥<br />

⎦<br />

⎢<br />

⎣ 2 ⎥<br />

⎦<br />

1 3 + 2 3 + ... +n 3 = A 2 n = = = ( 50.101)<br />

3. Bài 3:<br />

CMR: Với mọi n Ỵ N thì các số sau là số chính phương.<br />

a) A = (10 n +10 n-1 +...+.10 +1)(10 n+1 + 5) + 1<br />

k(k - 1)<br />

2<br />

2<br />

là số chính phương<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

24<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

A = ( 11.....1 )(10 n+1 + 5) + 1<br />

n<br />

n+<br />

1<br />

10 −1 .(10<br />

n+<br />

1 5) 1<br />

= + +<br />

10 −1<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Đặt a = 10 n+1 thì A = a - 1<br />

9<br />

b) B =<br />

B =<br />

111.....1 555.....5 <br />

n<br />

n<br />

n - 1<br />

111.....1 555.....5<br />

n<br />

n<br />

(a + 5) + 1 =<br />

6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5)<br />

n<br />

2 2<br />

a + 4a - 5 + 9 a + 4a + 4 a + 2<br />

n<br />

⎛ ⎞<br />

= = ⎜ ⎟<br />

9 9 ⎝ 3 ⎠<br />

+ 1 = 111.....1 . 10n + 555.....5 + 1 = 111.....1 . 10n + 5<br />

Đặt 11.....1 = a thì 10n = 9a + 1 nên<br />

B = a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a 2 + 6a + 1 = (3a + 1) 2 2<br />

= 33....34 <br />

c) C =<br />

11.....1 .+ 44.....4<br />

2n<br />

n<br />

+ 1<br />

Đặt a = 11.....1 Thì C =<br />

n<br />

11.....1 11.....1<br />

= a(9a + 1) + 5a + 1 = 9a 2 + 6a + 1 = (3a + 1) 2<br />

d) D =<br />

D =<br />

e) E =<br />

99....9 8 00.....0<br />

n<br />

n<br />

1 . Đặt<br />

n<br />

n<br />

n<br />

n<br />

n<br />

n - 1<br />

+ 4. 11.....1 + 1 = a. 10n + a + 4 a + 1<br />

99....9 = a ⇒ 10n = a + 1<br />

99....9 . 10n + 2 + 8. 10 n + 1 + 1 = a . 100 . 10 n + 80. 10 n + 1<br />

= 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a 2 + 180a + 81 = (10a + 9) 2 = (<br />

11.....1 22.....2<br />

n<br />

5 =<br />

n + 1<br />

11.....1 22.....2 <br />

n<br />

n + 1<br />

00 + 25 = 11.....1 .10n + 2 + 2.<br />

n<br />

= [a(9a + 1) + 2a]100 + 25 = 900a 2 + 300a + 25 = (30a + 5) 2 = (<br />

f) F =<br />

Số<br />

11.....1 <br />

100<br />

44.....4<br />

11.....1<br />

= 4.<br />

100<br />

100<br />

11.....1 <br />

là số chính phương thì 100<br />

n<br />

11.....1 <br />

n<br />

n<br />

2<br />

⎛ ⎞<br />

⎜111.....1⎟<br />

⎝ n ⎠<br />

+ 1<br />

99....9 )2<br />

n + 1<br />

33.....3 5)2<br />

là số chính phương<br />

là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1<br />

Thật vậy: (2n + 1) 2 = 4n 2 + 4n + 1 chia 4 dư 1<br />

11.....1 <br />

100<br />

có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3<br />

00 + 25<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

25<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

vậy<br />

Bài 4:<br />

11.....1<br />

44.....4 <br />

không là số chính phương nên F =<br />

100<br />

100<br />

a) Cho các số A =<br />

11........11<br />

; B =<br />

2m<br />

m + 1<br />

11.......11 ; C =<br />

CMR: A + B + C + 8 là số chính phương .<br />

Ta có: A<br />

2<br />

10 1<br />

m 1<br />

− 10 1<br />

; B = m+ − 10 1<br />

; C = m −<br />

9<br />

A + B + C + 8 =<br />

=<br />

2<br />

10 1<br />

2m m m<br />

10 − 1+ 10.10 − 1+ 6.10 − 6 + 72<br />

9<br />

9<br />

6.<br />

m 1<br />

− 10 + m+ − 1 10 1 + 6.<br />

9 9 9<br />

9<br />

Nên:<br />

không là số chính phương<br />

66.....66 <br />

m<br />

m m m<br />

10 − 1+ 10 − 1+ 6(10 − 1) + 72<br />

9<br />

m 2 1<br />

− + 8 = +<br />

= ( m 2<br />

10 )2 m<br />

+ 16.10 + 64<br />

m<br />

⎛10 + 8 ⎞<br />

= ⎜ ⎟<br />

9 ⎝ 3 ⎠<br />

b) CMR: Với mọi x,y Ỵ Z thì A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y 4 là số chính phương.<br />

A = (x 2 + 5xy + 4y 2 ) (x 2 + 5xy + 6y 2 ) + y 4<br />

= (x 2 + 5xy + 4y 2 ) [(x 2 + 5xy + 4y 2 ) + 2y 2 ) + y 4<br />

= (x 2 + 5xy + 4y 2 ) 2 + 2(x 2 + 5xy + 4y 2 ).y 2 + y 4 = [(x 2 + 5xy + 4y 2 ) + y 2 ) 2<br />

= (x 2 + 5xy + 5y 2 ) 2<br />

Bài 5: Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương<br />

a) n 2 – n + 2 b) n 5 – n + 2<br />

Giải<br />

a) Với n = 1 thì n 2 – n + 2 = 2 không là số chính phương<br />

Với n = 2 thì n 2 – n + 2 = 4 là số chính phương<br />

Với n > 2 thì n 2 – n + 2 không là số chính phương Vì<br />

(n – 1) 2 = n 2 – (2n – 1) < n 2 – (n - 2) < n 2<br />

b) Ta có n 5 – n chia hết cho 5 Vì<br />

n 5 – n = (n 2 – 1).n.(n 2 + 1)<br />

Với n = 5k thì n chia hết cho 5<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Với n = 5k ± 1 thì n 2 – 1 chia hết cho 5<br />

Với n = 5k ± 2 thì n 2 + 1 chia hết cho 5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

26<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Nên n 5 – n + 2 chia cho 5 thì dư 2 nên n 5 – n + 2 có chữ số tận cùng là 2 hoặc 7 nên<br />

n 5 – n + 2 không là số chính phương<br />

Vậy : Không có giá trị nào của n thoã mãn bài toán<br />

Bài 6 :<br />

a)Chứng minh rằng : Mọi số lẻ đều viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương<br />

b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn<br />

Giải<br />

Mọi số lẻ đều có dạng a = 4k + 1 hoặc a = 4k + 3<br />

Với a = 4k + 1 thì a = 4k 2 + 4k + 1 – 4k 2 = (2k + 1) 2 – (2k) 2<br />

Với a = 4k + 3 thì a = (4k 2 + 8k + 4) – (4k 2 + 4k + 1) = (2k + 2) 2 – (2k + 1) 2<br />

b)A là số chính phương có chữ số tận cùng bằng 9 nên<br />

A = (10k ± 3) 2 =100k 2 ± 60k + 9 = 10.(10k 2 ± 6) + 9<br />

Số chục của A là 10k 2 ± 6 là số chẵn (đpcm)<br />

Bài 7:<br />

Một số chính phương có chữ số hàng chục là chữ số lẻ. Tìm chữ số hàng đơn vị<br />

Giải<br />

Gọi n 2 = (10a + b) 2 = 10.(10a 2 + 2ab) + b 2 nên chữ số hàng đơn vị cần tìm là chữ số tận<br />

cùng của b 2<br />

Theo đề bài , chữ số hàng chục của n 2 là chữ số lẻ nên chữ số hàng chục của b 2 phải lẻ<br />

Xét các giá trị của b từ 0 đến 9 thì chỉ có b 2 = 16, b 2 = 36 có chữ số hàng chục là chữ số lẻ,<br />

chúng đều tận cùng bằng 6<br />

Vậy : n 2 có chữ số hàng đơn vị là 6<br />

Bài tập về nhà:<br />

Bài 1: Các số sau đây, số nào là số chính phương<br />

a) A =<br />

d) D =<br />

22.....2<br />

4 b) B = 11115556 c) C =<br />

50<br />

n<br />

44.....4 <br />

n<br />

88....89 e) M =<br />

n - 1<br />

11.....1 – 22....2<br />

2n<br />

n<br />

99....9 00....0 25<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

f) N = 12 + 2 2 + ...... + 56 2<br />

Bài 2: Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số chính phương<br />

n<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

27<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a) n 3 – n + 2<br />

b) n 4 – n + 2<br />

Bài 3: Chứng minh rằng<br />

a)Tổng của hai số chính phương lẻ không là số chính phương<br />

b) Một số chính phương có chữ số tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ<br />

Bài 4: Một số chính phương có chữ số hàng chục bằng 5. Tìm chữ số hàng đơn vị<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

28<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A.Kiến thức:<br />

1. Định lí Ta-lét:<br />

* §Þnh lÝ Ta-lÐt:<br />

* HƯ qu: MN // BC ⇒<br />

B. Bài tập áp dụng:<br />

1. Bài 1:<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 6 - CÁC BÀI <strong>TOÁN</strong> VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT<br />

∆ABC<br />

⎫<br />

⎬⎭ ⇔<br />

MN // BC<br />

AM AN MN<br />

= =<br />

AB AC BC<br />

AM AN<br />

=<br />

AB AC<br />

Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B<br />

song song với AD cắt AC ở G<br />

a) chứng minh: EG // CD<br />

b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB 2 = CD. EG<br />

Giải<br />

Gọi O là giao điểm của AC và BD<br />

a) Vì AE // BC ⇒<br />

BG // AC ⇒ OB<br />

OE OA<br />

=<br />

OB OC (1)<br />

=<br />

OG<br />

OD OA (2)<br />

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: OE<br />

=<br />

OG<br />

OD OC<br />

b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên<br />

AB OA OD CD AB CD<br />

= ⇒ = ⇒ =<br />

EG OG OB AB EG AB<br />

Bài 2:<br />

2<br />

= = AB CD. EG<br />

⇒ EG // CD<br />

Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B,<br />

ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

AB và CD, K là giao điểm của Ac và BF.<br />

Chứng minh rằng:<br />

D<br />

D<br />

H<br />

A<br />

E<br />

A<br />

B<br />

M<br />

O<br />

K<br />

A<br />

G<br />

N<br />

B<br />

C<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

F<br />

29<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

B<br />

C<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a) AH = AK<br />

b) AH 2 = BH. CK<br />

Giải<br />

Đặt AB = c, AC = b.<br />

BD // AC (cùng vuông góc với AB)<br />

nên<br />

Hay<br />

AH AC b AH b AH b<br />

= = ⇒ = ⇒ =<br />

HB BD c HB c HB + AH b + c<br />

AH b AH b b.c<br />

AH<br />

AB b + c c b + c b + c<br />

= ⇒ = ⇒ = (1)<br />

AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên<br />

Hay<br />

AK b AK c b.c<br />

AK<br />

AC b + c b b + c b + c<br />

= ⇒ = ⇒ = (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK<br />

b) Từ<br />

AH AC b AK AB c<br />

= = và<br />

HB BD c KC CF b<br />

⇒ AH 2 = BH . KC<br />

= = suy ra<br />

AK AB c AK c AK c<br />

= = ⇒ = ⇒ =<br />

KC CF b KC b KC + AK b + c<br />

AH KC AH KC<br />

HB AK HB AH<br />

= ⇒ = (Vì AH = AK)<br />

3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC<br />

theo thứ tự tại E, K, G. Chứng minh rằng:<br />

a) AE 2 = EK. EG<br />

b)<br />

1 1 1<br />

= +<br />

AE AK AG<br />

c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A<br />

thì tích BK. DG có giá trị không đổi<br />

Giải<br />

a) Vì ABCD là hình bình hành và K ∈ BC nên<br />

AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có:<br />

D<br />

C<br />

G<br />

EK EB AE EK AE<br />

2<br />

= = ⇒ = ⇒ AE = EK.EG<br />

AE ED EG AE EG<br />

AE DE AE BE<br />

b) Ta có: = ; =<br />

AK DB AG BD nên<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

b<br />

A<br />

a<br />

E<br />

K<br />

B<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

30<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

AE AE BE DE BD ⎛ 1 1 ⎞<br />

+ = + = = 1⇒ AE ⎜ + ⎟ = 1 ⇒<br />

AK AG BD DB BD ⎝ AK AG ⎠<br />

c) Ta có:<br />

BK AB BK a<br />

= =<br />

KC CG KC CG<br />

⇒ (1);<br />

Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK<br />

KC CG KC CG<br />

= =<br />

AD DG b DG<br />

1 1 1<br />

= + (đpcm)<br />

AE AK AG<br />

⇒ (2)<br />

= a BK. DG = ab<br />

b DG<br />

là độ dài hai cạnh của hình bình hành ABCD không đổi)<br />

4. Bài 4:<br />

Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các<br />

cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng:<br />

a) EG = FH<br />

b) EG vuông góc với FH<br />

Giải<br />

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG<br />

Ta có CM = 1 2 CF = 1 3<br />

⇒ EM // AC ⇒<br />

Tương tự, ta có: NF // BD ⇒<br />

mà AC = BD (3)<br />

BM 1<br />

BC ⇒ =<br />

BC 3<br />

EM BM 2 2<br />

= EM = AC<br />

AC BE 3 3<br />

⇒ không đổi (Vì a = AB; b = AD<br />

BE BM 1<br />

⇒ = =<br />

BA BC 3<br />

= ⇒ (1)<br />

Từ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a)<br />

NF CF 2 2<br />

= NF = BD<br />

BD CB 3 3<br />

= ⇒ (2)<br />

Tương tự như trên ta có: MG // BD, NH // AC và MG = NH = 1 AC (b)<br />

3<br />

Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC ⊥ BD ⇒ EM ⊥ MG ⇒ 0<br />

Tương tự, ta có: 0<br />

FNH = 90 (5)<br />

Từ (4) và (5) suy ra 0<br />

EMG = FNH = 90 (c)<br />

Từ (a), (b), (c) suy ra ∆ EMG = ∆ FNH (c.g.c) ⇒ EG = FH<br />

EMG = 90 (4)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

b) Gọi giao điểm của EG và FH là O; của EM và FH là P; của EM và FN là Q thì<br />

0<br />

PQF = 90 ⇒ 0<br />

P<br />

O<br />

Q<br />

QPF + QFP = 90 mà QPF = OPE (đối đỉnh), OEP = QFP ( ∆ EMG = ∆ FNH)<br />

A<br />

H<br />

D<br />

N<br />

E<br />

G<br />

C<br />

M<br />

F<br />

B<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

31<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Suy ra 0<br />

EOP = PQF = 90 ⇒ EO ⊥ OP ⇒ EG ⊥ FH<br />

5. Bài 5:<br />

Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại<br />

M và AB tại K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB tại F, qua F ta lại vẽ<br />

đường thẳng song song với AC, cắt BC tại P. Chứng minh rằng<br />

a) MP // AB<br />

b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy<br />

Giải<br />

a) EP // AC ⇒<br />

AK // CD ⇒ CM<br />

CP AF<br />

=<br />

PB FB (1)<br />

=<br />

DC<br />

AM AK (2)<br />

các tứ giác AFCD, DCBK la các hình bình hành nên<br />

AF = DC, FB = AK (3)<br />

Kết hợp (1), (2) và (3) ta có CP = CM ⇒ MP // AB<br />

(Định lí Ta-lét đảo) (4)<br />

PB<br />

AM<br />

b) Gọi I là giao điểm của BD và CF, ta có:<br />

Mà DC<br />

FB<br />

DI<br />

IB<br />

= (Do FB // DC) ⇒<br />

CP DI<br />

PB IB<br />

CP CM<br />

= =<br />

PB AM<br />

DC DC<br />

=<br />

AK FB<br />

= ⇒ IP // DC // AB (5)<br />

Từ (4) và (5) suy ra : qua P có hai đường thẳng IP, PM cùng song song với AB // DC nên<br />

theo tiên đề Ơclít thì ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP đi qua giao điểm của CF và DB<br />

hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy<br />

6. Bài 6:<br />

Cho ∆ ABC có BC < BA. Qua C kẻ đường thẳng vuông goác với tia phân giác BE của<br />

ABC ; đường thẳng này cắt BE tại F và cắt trung tuyến BD tại G. Chứng minh rằng đoạn<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần bằng nhau<br />

A<br />

D<br />

M<br />

K<br />

F<br />

I<br />

C<br />

P<br />

B<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

32<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

B<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Giải<br />

Gọi K là giao điểm của CF và AB; M là giao điểm của<br />

DF và BC<br />

∆ KBC có BF vừa là phân giác vừa là đường cao nên<br />

∆ KBC cân tại B ⇒ BK = BC và FC = FK<br />

Mặt khác D là trung điểm AC nên DF là đường trung bình của ∆ AKC ⇒ DF // AK hay<br />

DM // AB<br />

Suy ra M là trung điểm của BC<br />

DF = 1 AK (DF là đường trung bình của ∆ AKC), ta có<br />

2<br />

BG BK<br />

=<br />

GD DF<br />

Mổt khác<br />

Hay<br />

Suy ra<br />

BG BK 2BK<br />

( do DF // BK) ⇒ = = (1)<br />

GD DF AK<br />

CE DC - DE DC AD<br />

1 1<br />

DE DE DE DE<br />

= = − = − (Vì AD = DC) ⇒<br />

CE AE - DE AE AB<br />

1 2 2<br />

DE DE DE DF<br />

= − = − = − (vì AE<br />

CE AK + BK 2(AK + BK)<br />

2 2<br />

DE DE AK<br />

DE = AB<br />

DF<br />

= − = − (Do DF = 1 2<br />

Từ (1) và (2) suy ra BG<br />

GD = CE<br />

DE<br />

⇒ EG // BC<br />

Gọi giao điểm của EG và DF là O ta có<br />

Bài tập về nhà<br />

Bài 1:<br />

: Do DF // AB)<br />

OG OE ⎛ FO ⎞<br />

= ⎜ = ⎟<br />

MC MB ⎝ FM ⎠<br />

CE AE - DE DC AD<br />

= = − 1 = − 1<br />

DE DE DE DE<br />

CE 2(AK + BK) 2BK<br />

AK) ⇒ = − 2 = (2)<br />

DE AK AK<br />

⇒ OG = OE<br />

Cho tứ giác ABCD, AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với BC<br />

cắt AB ở E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD tại F<br />

a) Chứng minh FE // BD<br />

b) Từ O kẻ các đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD tại G và H.<br />

Chứng minh: CG. DH = BG. CH<br />

Bài 2:<br />

A<br />

K<br />

G<br />

F<br />

M<br />

D E C<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

33<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao<br />

cho BN = CM; các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự tại E, F.<br />

Chứng minh:<br />

a) AE 2 = EB. FE<br />

b) EB =<br />

⎛ AN ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ DF<br />

2<br />

⎠ . EF<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 7 – CÁC BÀI <strong>TOÁN</strong> SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT <strong>VÀ</strong><br />

A. Kiến thức:<br />

2. Tính chất đường phân giác:<br />

∆ ABC ,AD là phân giác góc A ⇒ BD<br />

TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC<br />

CD<br />

AD’là phân giác góc ngoài tại A: BD'<br />

B. Bài tập vận dụng<br />

1. Bài 1:<br />

CD'<br />

=<br />

AB<br />

AC<br />

=<br />

AB<br />

AC<br />

Cho ∆ ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD<br />

a) Tính độ dài BD, CD<br />

b) Tia phân giác BI của góc B cắt AD ở I; tính tỉ số: AI<br />

Giải<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

a) AD là phân giác của BAC nên<br />

BD AB c<br />

= =<br />

CD AC b<br />

D'<br />

ID<br />

B<br />

A<br />

D<br />

A<br />

B<br />

C<br />

C<br />

b<br />

B<br />

A<br />

I<br />

D<br />

a<br />

c<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

34<br />

C<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

⇒<br />

BD c BD c ac<br />

= ⇒ = ⇒ BD =<br />

CD + BD b + c a b + c b + c<br />

Do đó CD = a -<br />

ac<br />

b + c = ab<br />

b + c<br />

b) BI là phân giác của ABC nên<br />

2. Bài 2:<br />

Cho ∆ABC, có B < 60 0 phân giác AD<br />

a) Chứng minh AD < AB<br />

AI AB ac b + c<br />

= = c : =<br />

ID BD b + c a<br />

b) Gọi AM là phân giác của ∆ ADC. Chứng minh rằng BC<br />

> 4 DM<br />

Giải<br />

A<br />

ADB = C + > + C <br />

2 2<br />

a)Ta có A<br />

⇒ ADB > B ⇒ AD < AB<br />

=<br />

0<br />

180 - B<br />

60<br />

0<br />

=<br />

2<br />

b) Gọi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d<br />

Trong ∆ ADC, AM là phân giác ta có<br />

DM AD<br />

=<br />

CM AC ⇒ DM AD DM AD<br />

= ⇒ =<br />

CM + DM AD + AC CD AD + AC<br />

⇒ DM =<br />

CD.AD<br />

AD + AC<br />

CD. d<br />

b + d<br />

= ; CD =<br />

Để c/m BC > 4 DM ta c/m a ><br />

ab<br />

b + c<br />

4abd<br />

(b + c)(b + d)<br />

( Vận dụng bài 1) ⇒ DM =<br />

abd<br />

hay (b + d)(b + c) > 4bd (1)<br />

(b + c)(b + d)<br />

Thật vậy : do c > d ⇒ (b + d)(b + c) > (b + d) 2 ≥ 4bd . Bất đẳng thức (1) được c/m<br />

Bài 3:<br />

Cho ∆ ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo<br />

thứ tự ở D và E<br />

a) Chứng minh DE // BC<br />

b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE<br />

C<br />

A<br />

M D B<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

A<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

D<br />

I<br />

E<br />

35<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

B M C<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ∆ ABC có BC cố định, AM = m không<br />

đổi<br />

d) ∆ ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình của nó<br />

Giải<br />

a) MD là phân giác của AMB nên<br />

DA MB<br />

DB MA<br />

= (1)<br />

ME là phân giác của AMC nên EA = MC (2)<br />

EC<br />

MA<br />

Từ (1), (2) và giả thiết MB = MC ta suy ra DA = EA ⇒ DE // BC<br />

b) DE // BC ⇒<br />

DE AD AI<br />

BC AB AM<br />

c) Ta có: MI = 1 2 DE = a.m<br />

DB<br />

= = . Đặt DE = x ⇒<br />

a + 2m<br />

hợp các điểm I là đường tròn tâm M, bán kính MI =<br />

EC<br />

x<br />

m -<br />

x 2 2a.m<br />

= ⇒ x =<br />

a m a + 2m<br />

không đổi ⇒ I luôn cách M một đoạn không đổi nên tập<br />

a.m<br />

a + 2m<br />

(Trừ giao điểm của nó với BC<br />

d) DE là đường trung bình của ∆ ABC ⇔ DA = DB ⇔ MA = MB ⇔ ∆ ABC vuông ở A<br />

4. Bài 4:<br />

Cho ∆ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE<br />

a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở<br />

K, chứng minh E nằm giữa B và K<br />

b) Chứng minh: CD > DE > BE<br />

Giải<br />

a) BD là phân giác nên<br />

AD AB AC AE AD AE<br />

= < =<br />

DC BC BC EB DC EB<br />

⇒ < (1)<br />

Mặt khác KD // BC nên AD = AK (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra<br />

DC<br />

KB<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

AK AE AK + KB AE + EB<br />

< ⇒ <<br />

KB EB KB EB<br />

M<br />

A<br />

K<br />

E<br />

B<br />

D<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

36<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

⇒ AB AB KB > EB<br />

KB EB<br />

< ⇒ ⇒ E nằm giữa K và B<br />

b) Gọi M là giao điểm của DE và CB. Ta có CBD = KDB(Góc so le trong) ⇒ <br />

KBD = KDB <br />

mà E nằm giữa K và B nên KDB > EDB ⇒ KBD > EDB ⇒ EBD > EDB ⇒ EB < DE<br />

Ta lại có CBD + ECB = EDB + DEC ⇒ DEC > ECB ⇒ DEC > DCE (Vì DCE = ECB )<br />

Suy ra CD > ED ⇒ CD > ED > BE<br />

5. Bài 5:<br />

Cho ∆ ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh<br />

DB EC FA<br />

a. . . = 1.<br />

DC EA FB<br />

b.<br />

Giải<br />

1 1 1 1 1 1<br />

+ + > + + .<br />

AD BE CF BC CA AB<br />

a)AD là đường phân giác của BAC nên ta có: DB<br />

=<br />

AB<br />

DC AC (1)<br />

Tương tự: với các phân giác BE, CF ta có: EC =<br />

BC<br />

EA BA (2) ;<br />

FA CA<br />

=<br />

FB CB (3)<br />

Tửứ (1); (2); (3) suy ra:<br />

DB EC FA AB BC CA<br />

. . = . .<br />

DC EA FB AC BA CB = 1<br />

b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = d a .<br />

Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA ở H.<br />

Theo ĐL Talét ta có: AD<br />

= BA ⇒<br />

CH BH<br />

Do CH < AC + AH = 2b nên:<br />

Chứng minh tương tự ta có :<br />

d<br />

a<br />

AD<br />

BA.CH c.CH c<br />

= = = .CH<br />

BH BA + AH b + c<br />

< 2bc<br />

1 b + c 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 ⎛ 1 1 ⎞<br />

⇒ > = ⎜ + ⎟ ⇔ > ⎜ + ⎟<br />

b + c d 2bc 2 ⎝ b c ⎠ d 2 ⎝ b c ⎠<br />

1 1 ⎛ 1 1 ⎞<br />

> ⎜ + ⎟<br />

d 2 ⎝ a c ⎠<br />

1 1 1 1 ⎡⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤<br />

+ + ><br />

da db dc<br />

2<br />

⎢⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟<br />

b c a c a b<br />

⎥<br />

⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦<br />

b<br />

a<br />

Và<br />

1 1 ⎛ 1 1 ⎞<br />

> ⎜ + ⎟<br />

d 2 ⎝ a b ⎠<br />

c<br />

a<br />

Nên:<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1 1 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎞<br />

⇔ + + > .2⎜<br />

+ + ⎟<br />

d d d 2 ⎝ a b c ⎠<br />

a b c<br />

B<br />

F<br />

A<br />

D<br />

E<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

H<br />

37<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

1 1 1 1 1 1<br />

⇔ + + > + + ( đpcm )<br />

da db dc<br />

a b c<br />

Bài tập về nhà<br />

Cho ∆ ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), các phân giác BD, CE<br />

a) Tính độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE<br />

b) Vẽ hình bình hành BEKD. Chứng minh: CE > EK<br />

c) Chứng minh CE > BD<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

38<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 8 – CHỮ SỐ TẬN CÙNG<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A. Kiến thức:<br />

1. Một số tính chất:<br />

a) Tính chất 1:<br />

+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 5; 6khi nâng lên luỹ thừa bậc bất kỳ nào thì chữ số tận<br />

cùng không thay đổi<br />

+ Các số có chữ số tận cùng là 4; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc lẻ thì chữ số tận cùng không<br />

thay đổi<br />

+ Các số có chữ số tận cùng là 3; 7; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n ∈N) thì chữ số tận<br />

cùng là 1<br />

+ Các số có chữ số tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n (n ∈N) thì chữ số tận<br />

cùng là 6<br />

b) Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kỳ khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 1 (n ∈N) thì chữ số<br />

tận cùng không thay đổi<br />

c) Tính chất 3:<br />

+ Các số có chữ số tận cùng là 3 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈N) thì chữ số tận<br />

cùng là 7; Các số có chữ số tận cùng là 7 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈N) thì chữ<br />

số tận cùng là 3<br />

+ Các số có chữ số tận cùng là 2 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈N) thì chữ số tận<br />

cùng là 8; Các số có chữ số tận cùng là 8 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈N) thì chữ<br />

số tận cùng là 2<br />

+ Các số có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 khi nâng lên luỹ thừa bậc 4n + 3 (n ∈N) thì<br />

chữ số tận cùng là không đổi<br />

2. Một số phương pháp:<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

+ Tìm chữ số tận cùng của x = a m thì ta xét chữ số tận cùng của a:<br />

- Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 0; 1; 5; 6 thì chữ số tận cùng của x là 0; 1; 5; 6<br />

- Nếu chữ số tận cùng của a là các chữ số: 3; 7; 9 thì :<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

39<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

* Vì a m = a 4n + r = a 4n . a r<br />

Nếu r là 0; 1; 2; 3 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của a r<br />

Nếu r là 2; 4; 8 thì chữ số tận cùng của x là chữ số tận cùng của 6.a r<br />

B. Một số ví dụ:<br />

Bài 1:<br />

Tìm chữ số tận cùng của<br />

a) 243 6 ; 167 2010<br />

14<br />

7 ; ( 14 ) 14<br />

; ⎡ 5<br />

( 4 )<br />

9<br />

b) ( ) 9<br />

Giải<br />

⎢⎣<br />

6<br />

⎤<br />

⎥⎦<br />

a) 243 6 = 243 4 + 2 = 243 4 . 243 2<br />

7<br />

243 2 có chữ số tận cùng là 9 nên chữ số tận cùng của 243 6 là 9<br />

Ta có 2010 = 4.502 + 2 nên 167 2010 = 167 4. 502 + 2 = 167 4.502 .167 2<br />

167 4.502 có chữ số tận cùng là 6; 167 2 có chữ số tận cùng là 9 nên chữ số tận cùng của<br />

167 2010 là chữ số tận cùng của tích 6.9 là 4<br />

b) Ta có:<br />

+) 9 9 - 1 = (9 – 1)(9 8 + 9 7 + .......+ 9 + 1) = 4k (k ∈N) ⇒ 9 9 9<br />

= 4k + 1⇒ ( ) 9<br />

= 7 4k .7 nên có chữ số tận cùng là 7<br />

7 = 7 4k + 1<br />

14 14 = (12 + 2) 14 = 12 14 + 12.14 13 .2 + ....+ 12.12.2 13 + 2 14 chia hết cho 4, vì các hạng tử<br />

trước 2 14 đều có nhân tử 12 nên chia hết cho 4; hạng tử 2 14 = 4 7 chia hết cho 4 hay<br />

14 14 14<br />

= 4k ⇒ ( ) 14<br />

14 = 14 4k có chữ số tận cùng là 6<br />

+) 5 6 6<br />

có chữ số tận cùng là 5 nên ( ) 7<br />

⇒ 5.(2k + 1) = 4q + 1 ⇒ ⎡ 5<br />

( 4 )<br />

tích 6. 4 là 4<br />

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của<br />

A = 2 1 + 3 5 + 4 9 + 5 13 +...... + 2004 8009<br />

⎢⎣<br />

6<br />

⎤<br />

⎥<br />

7<br />

5 = 5.(2k + 1) ⇒ 5.(2k + 1) – 1 = 4 q (k, q ∈N)<br />

⎦ = 44q + 1 = 4 4q . 4 có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

40<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Giải<br />

4(n – 2) + 1<br />

a) Luỹ thừa của mọi số hạng của A chia 4 thì dư 1(Các số hạng của A có dạng n<br />

(n ∈ {2; 3; ...; 2004} ) nên mọi số hạng của A và luỹ thừa của nó có chữ số tận cùng giống<br />

nhau (Tính chất 2) nên chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng các số hạng<br />

Từ 2 đến 2004 có 2003 số hạng trong đó có 2000 : 10 = 200 số hạng có chữ số tận cùng<br />

bằng 0,Tổng các chữ số tận cùng của A là<br />

(2 + 3 + ...+ 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 + 4 = 9009 có chữ số tận cùng là 9<br />

Vây A có chữ số tận cùng là 9<br />

Bài 3: Tìm<br />

a) Hai chữ số tận cùng của 3 999 7<br />

; ( 7 ) 7<br />

b) Ba chữ số tận cùng của 3 100<br />

c) Bốn chữ số tận cùng của 5 1994<br />

Giải<br />

a) 3 999 = 3.3 998 =3. 9 499 = 3.(10 – 1) 499 = 3.(10 499 – 499.10 498 + ...+499.10 – 1)<br />

= 3.[BS(100) + 4989] = ...67<br />

7 7 = (8 – 1) 7 7<br />

= BS(8) – 1 = 4k + 3 ⇒ ( ) 7<br />

7 = 7 4k + 3 = 7 3 . 7 4k = 343.(...01) 4k = ...43<br />

b) 3 100 = 9 50 = (10 – 1) 50 = 10 50 – 50. 10 49 + ...+ 50.49 . 10 2 – 50.10 + 1<br />

= 10 50 – 50. 10 49 + ...+ 49 . 5000 – 500 + 1 = BS(1000) + 1 = ...001<br />

Chú ý:<br />

2<br />

+ Nếu n là số lẻ không chi hết cho 5 thì ba chữ số tận cùng của n 100 là 001<br />

+ Nếu một số tự nhiên n không chia hết cho 5 thì n 100 chia cho 125 dư 1<br />

HD C/m: n = 5k + 1; n = 5k + 2<br />

+ Nếu n là số lẻ không chia hết cho 5 thì n 101 và n có ba chữ số tận cùng như nhau<br />

c) Cách 1: 5 4 = 625<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Ta thấy số (...0625) n = ...0625<br />

5 1994 = 5 4k + 2 = 25.(5 4 ) k = 25.(0625) k = 25.(...0625) = ...5625<br />

2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

41<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Cách 2: Tìm số dư khi chia 5 1994 cho 10000 = 2 4 . 5 4<br />

Ta thấy 5 4k – 1 chia hết cho 5 4 – 1 = (5 2 – 1)(5 2 + 1) chia hết cho 16<br />

Ta có: 5 1994 = 5 6 . (5 1988 – 1) + 5 6<br />

Do 5 6 chia hết cho 5 4 , còn 5 1988 – 1 chia hết cho 16 nên 5 6 (5 1988 – 1) chia hết cho 10000<br />

Ta có 5 6 = 15625<br />

Vậy bốn chữ số tận cùng của 5 1994 là 5625<br />

Chú ý: Nếu viết 5 1994 = 5 2 . (5 1992 – 1) + 5 2<br />

Ta có: 5 1992 – 1 chia hết cho 16; nhưng 5 2 không chia hết cho 5 4<br />

Như vậy trong bài toán này ta cần viết 5 1994 dưới dạng 5 n (5 1994 – n – 1) + 5 n ; n ≥ 4 và 1994<br />

– n chia hết cho 4<br />

C. Vận dụng vào các bài toán khác<br />

Bài 1:<br />

Chứng minh rằng: Tổng sau không là số chính phương<br />

a) A = 19 k + 5 k + 1995 k + 1996 k ( k∈ N, k chẵn)<br />

b) B = 2004 2004k + 2001<br />

Giải<br />

a) Ta có:<br />

19 k có chữ số tận cùng là 1<br />

5 k có chữ số tận cùng là 5<br />

1995 k có chữ số tận cùng là 5<br />

1996 k có chữ số tận cùng là 6<br />

Nên A có chữ số tận cùng là chữ số tận cùng của tổng các chữ số tận cùng của tổng<br />

1 + 5 + 5 + 6 = 17, có chữ số tận cùng là 7 nên không thể là số chính phương<br />

b) Ta có :k chẵn nên k = 2n (n ∈ N)<br />

2004 2004k = (2004 4 ) 501k = (2004 4 ) 1002n = (...6) 1002n là luỹ thừa bậc chẵn của số có chữ số<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

tận cùng là 6 nên có chữ số tận cùng là 6 nên B = 2004 2004k + 2001 có chữ số tận cùng là 7,<br />

do đó B không là số chính phương<br />

Bài 2:<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

42<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tìm số dư khi chia các biểu thức sau cho 5<br />

a) A = 2 1 + 3 5 + 4 9 +...+ 2003 8005<br />

b) B = 2 3 + 3 7 +4 11 +...+ 2005 8007<br />

Giải<br />

a) Chữ số tận cùng của A là chữ số tận cùng của tổng<br />

(2 + 3 +... + 9) + 199.(1 + 2 + ... + 9) + 1 + 2 + 3 = 9005<br />

Chữ số tận cùng của A là 5 nên chia A cho 5 dư 0<br />

b)Tương tự, chữ số tận cùng của B là chữ số tận cùng của tổng<br />

(8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 + 2 + 9) + 199.(1 + ...+ 9) + 8 + 7 + 4 + 5 = 9024<br />

B có chữ số tận cùng là 4 nên B chia 5 dư 4<br />

Bài tập về nhà<br />

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của: 3 102 3<br />

; ( ) 5<br />

7 ; 3 20 + 2 30 + 7 15 - 8 16<br />

Bài 2: Tìm hai, ba chữ số tận cùng của: 3 555 7<br />

; ( 2 ) 9<br />

Bài 3: Tìm số dư khi chia các số sau cho 2; cho 5:<br />

a) 3 8 ; 14 15 + 15 14<br />

b) 2009 2010 – 2008 2009<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

43<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 9 – ĐỒNG DƯ<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A. Định nghĩa:<br />

Nếu hai số nguyên a và b có cùng số dư trong phép chia cho một số tự nhiên m ≠ 0 thì ta<br />

nói a đồng dư với b theo môđun m, và có đồng dư thức: a ≡ b (mod m)<br />

Ví dụ:7 ≡ 10 (mod 3) , 12 ≡ 22 (mod 10)<br />

+ Chú ý: a ≡ b (mod m) ⇔ a – b ⋮ m<br />

B. Tính chất của đồng dư thức:<br />

1. Tính chất phản xạ: a ≡ a (mod m)<br />

2. Tính chất đỗi xứng: a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m)<br />

3. Tính chất bắc cầu: a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m)<br />

4. Cộng , trừ từng vế:<br />

Hệ quả:<br />

⎧a ≡ b (mod m)<br />

⎨<br />

⇒ a ± c ≡ b ± d (mod m)<br />

⎩c ≡ d (mod m)<br />

a) a ≡ b (mod m) ⇒ a + c ≡ b + c (mod m)<br />

b) a + b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c - b (mod m)<br />

c) a ≡ b (mod m) ⇒ a + km ≡ b (mod m)<br />

5. Nhân từng vế :<br />

Hệ quả:<br />

⎧a ≡ b (mod m)<br />

⎨<br />

⇒ ac ≡ bd (mod m)<br />

⎩c ≡ d (mod m)<br />

a) a ≡ b (mod m) ⇒ ac ≡ bc (mod m) (c ∈ Z)<br />

b) a ≡ b (mod m) ⇒ a n ≡ b n (mod m)<br />

6. Có thể nhân (chia) hai vế và môđun của một đồng dư thức với một số nguyên dương<br />

a ≡ b (mod m) ⇔ ac ≡ bc (mod mc)<br />

Chẳng hạn: 11 ≡ 3 (mod 4) ⇔ 22 ≡ 6 (mod 8)<br />

7.<br />

⎧ac ≡ bc (mod m)<br />

⎨<br />

⇒ a ≡ b (mod m)<br />

⎩(c, m) = 1<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

44<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

⎧ ≡<br />

⎨<br />

⎩(2, 7) = 1<br />

Chẳng hạn : 16 2 (mod 7) ⇒ 8 ≡ 1 (mod 7)<br />

C. Các ví dụ:<br />

1. Ví dụ 1:<br />

Tìm số dư khi chia 92 94 cho 15<br />

Giải<br />

Ta thấy 92 ≡ 2 (mod 15) ⇒ 92 94 ≡ 2 94 (mod 15) (1)<br />

Lại có 2 4 ≡ 1 (mod 15) ⇒ (2 4 ) 23 . 2 2 ≡ 4 (mod 15) hay 2 94 ≡ 4 (mod 15) (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra 92 94 ≡ 4 (mod 15) tức là 92 94 chia 15 thì dư 4<br />

2. Ví dụ 2:<br />

Chứng minh: trong các số có dạng 2 n – 4(n ∈ N), có vô số số chia hết cho 5<br />

Thật vậy:<br />

Từ 2 4 ≡ 1 (mod 5) ⇒ 2 4k ≡ 1 (mod 5) (1)<br />

Lại có 2 2 ≡ 4 (mod 5) (2)<br />

Nhân (1) với (2), vế theo vế ta có: 2 4k + 2 ≡ 4 (mod 5) ⇒ 2 4k + 2 - 4 ≡ 0 (mod 5)<br />

Hay 2 4k + 2 - 4 chia hết cho 5 với mọi k = 0, 1, 2, ... hay ta được vô số số dạng 2 n – 4<br />

(n ∈ N) chia hết cho 5<br />

Chú ý: khi giải các bài toán về đồng dư, ta thường quan tâm đến a ≡ ± 1 (mod m)<br />

a ≡ 1 (mod m) ⇒ a n ≡ 1 (mod m)<br />

a ≡ -1 (mod m) ⇒ a n ≡ (-1) n (mod m)<br />

3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng<br />

a) 20 15 – 1 chia hết cho 11 b) 2 30 + 3 30 chi hết cho 13<br />

c) 555 222 + 222 555 chia hết cho 7<br />

Giải<br />

a) 2 5 ≡ - 1 (mod 11) (1); 10 ≡ - 1 (mod 11) ⇒ 10 5 ≡ - 1 (mod 11) (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra 2 5 . 10 5 ≡ 1 (mod 11) ⇒ 20 5 ≡ 1 (mod 11) ⇒ 20 5 – 1 ≡ 0 (mod 11)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

b) 2 6 ≡ - 1 (mod 13) ⇒ 2 30 ≡ - 1 (mod 13) (3)<br />

3 3 ≡ 1 (mod 13) ⇒ 3 30 ≡ 1 (mod 13) (4)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

45<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Từ (3) và (4) suy ra 2 30 + 3 30 ≡ - 1 + 1 (mod 13) ⇒ 2 30 + 3 30 ≡ 0 (mod 13)<br />

Vậy: 2 30 + 3 30 chi hết cho 13<br />

c) 555 ≡ 2 (mod 7) ⇒ 555 222 ≡ 2 222 (mod 7) (5)<br />

2 3 ≡ 1 (mod 7) ⇒ (2 3 ) 74 ≡ 1 (mod 7) ⇒ 555 222 ≡ 1 (mod 7) (6)<br />

222 ≡ - 2 (mod 7) ⇒ 222 555 ≡ (-2) 555 (mod 7)<br />

Lại có (-2) 3 ≡ - 1 (mod 7) ⇒ [(-2) 3 ] 185 ≡ - 1 (mod 7) ⇒ 222 555 ≡ - 1 (mod 7)<br />

Ta suy ra 555 222 + 222 555 ≡ 1 - 1 (mod 7) hay 555 222 + 222 555 chia hết cho 7<br />

4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng số<br />

Thật vậy:Ta có: 2 5 ≡ - 1 (mod 11) ⇒ 2 10 ≡ 1 (mod 11)<br />

4n + 1<br />

2<br />

2 + 7 chia hết cho 11 với mọi số tự nhiên n<br />

Xét số dư khi chia 2 4n + 1 cho 10. Ta có: 2 4 ≡ 1 (mod 5) ⇒ 2 4n ≡ 1 (mod 5)<br />

⇒ 2.2 4n ≡ 2 (mod 10) ⇒ 2 4n + 1 ≡ 2 (mod 10) ⇒ 2 4n + 1 = 10 k + 2<br />

Nên<br />

4n + 1<br />

2<br />

2 + 7 = 2 10k + 2 + 7 =4. 2 10k + 7 = 4.(BS 11 + 1) k + 7 = 4.(BS 11 + 1 k ) + 7<br />

= BS 11 + 11 chia hết cho 11<br />

Bài tập về nhà:<br />

Bài 1: CMR:<br />

a) 2 28 – 1 chia hết cho 29<br />

b)Trong các số có dạng2 n – 3 có vô số số chia hết cho 13<br />

Bài 2: Tìm số dư khi chia A = 20 11 + 22 12 + 1996 2009 cho 7.<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 10 – TÍNH CHIA HẾT ĐỐI VỚI ĐA THỨC<br />

A. Dạng 1: Tìm dư của phép chia mà không thực hiện phép chia<br />

1. Đa thức chia có dạng x – a (a là hằng)<br />

a) Định lí Bơdu (Bezout, 1730 – 1783):<br />

Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của f(x) tại x = a<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Ta có: f(x) = (x – a). Q(x) + r<br />

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = a, ta có<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

46<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

f(a) = 0.Q(a) + r hay f(a) = r<br />

Ta suy ra: f(x) chia hết cho x – a ⇔ f(a) = 0<br />

b) f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1<br />

c) f(x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ<br />

thì chia hết cho x + 1<br />

Ví dụ : Không làm phép chia, hãy xét xem A = x 3 – 9x 2 + 6x + 16 chia hết cho<br />

B = x + 1, C = x – 3 không<br />

Kết quả:<br />

A chia hết cho B, không chia hết cho C<br />

2. Đa thức chia có bậc hai trở lên<br />

Cách 1: Tách đa thức bị chia thành tổng của các đa thức chia hết cho đa thức chia và dư<br />

Cách 2: Xét giá trị riêng: gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b thì<br />

f(x) = g(x). Q(x) + ax + b<br />

Ví dụ 1: Tìm dư của phép chia x 7 + x 5 + x 3 + 1 cho x 2 – 1<br />

Cách 1: Ta biết rằng x 2n – 1 chia hết cho x 2 – 1 nên ta tách:<br />

x 7 + x 5 + x 3 + 1 = (x 7 – x) + (x 5 – x) +(x 3 – x) + 3x + 1<br />

= x(x 6 – 1) + x(x 4 – 1) + x(x 2 – 1) + 3x + 1 chia cho x 2 – 1 dư 3x + 1<br />

Cách 2:<br />

Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax + b, Ta có:<br />

x 7 + x 5 + x 3 + 1 = (x -1)(x + 1).Q(x) + ax + b với mọi x<br />

Đẳng thức đúng với mọi x nên với x = 1, ta có 4 = a + b (1)<br />

với x = - 1 ta có - 2 = - a + b (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra a = 3, b =1 nên ta được dư là 3x + 1<br />

Ghi nhớ:<br />

a n – b n chia hết cho a – b (a ≠ -b)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

a n + b n ( n lẻ) chia hết cho a + b (a ≠ -b)<br />

Ví dụ 2: Tìm dư của các phép chia<br />

a) x 41 chia cho x 2 + 1<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

47<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

b) x 27 + x 9 + x 3 + x cho x 2 – 1<br />

c) x 99 + x 55 + x 11 + x + 7 cho x 2 + 1<br />

Giải<br />

a) x 41 = x 41 – x + x = x(x 40 – 1) + x = x[(x 4 ) 10 – 1] + x chia cho x 4 – 1 dư x nên chia cho<br />

x 2<br />

+ 1 dư x<br />

b) x 27 + x 9 + x 3 + x = (x 27 – x) + (x 9 – x) + (x 3 – x) + 4x<br />

= x(x 26 – 1) + x(x 8 – 1) + x(x 2 – 1) + 4x chia cho x 2 – 1 dư 4x<br />

c) x 99 + x 55 + x 11 + x + 7 = x(x 98 + 1) + x(x 54 + 1) + x(x 10 + 1) – 2x + 7<br />

chia cho x 2 + 1 dư – 2x + 7<br />

B. Sơ đồ HORNƠ<br />

1. Sơ đồ<br />

Để tìm kết quả của phép chia f(x) cho x – a<br />

(a là hằng số), ta sử dụng sơ đồ hornơ<br />

Nếu đa thức bị chia là a 0 x 3 + a 1 x 2 + a 2 x + a 3 ,<br />

đa thức chia là x – a ta được thương là<br />

b 0 x 2 + b 1 x + b 2 , dư r thì ta có<br />

Ví dụ:<br />

Đa thức bị chia: x 3 -5x 2 + 8x – 4, đa thức chia x – 2<br />

Ta có sơ đồ<br />

a<br />

HÖ sè thø<br />

1®a thøc bÞ<br />

chia<br />

1 - 5 8 - 4<br />

+<br />

HÖ sè thø 2<br />

cña ®a thøc<br />

bÞ chia<br />

HÖ sè<br />

cña ®a<br />

thøc chia<br />

2 1 2. 1 + (- 5) = -3 2.(- 3) + 8 = 2 r = 2. 2 +(- 4) = 0<br />

Vậy: x 3 -5x 2 + 8x – 4 = (x – 2)(x 2 – 3x + 2) + 0 là phép chia hết<br />

2. Áp dụng sơ đồ Hornơ để tính giá trị của đa thức tại x = a<br />

a<br />

a 0<br />

b 0 = a 0<br />

a 1<br />

b 1 = ab 0 + a 1<br />

a 2<br />

b 2 = ab 1 + a 2<br />

a 3<br />

r = ab 2 + a 3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

48<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Giá trị của f(x) tại x = a là số dư của phép chia f(x) cho x – a<br />

1. Ví dụ 1:<br />

Tính giá trị của A = x 3 + 3x 2 – 4 tại x = 2010<br />

Ta có sơ đồ:<br />

1 3 0 -4<br />

a = 2010 1 2010.1+3 = 2013 2010.2013 + 0<br />

Vậy: A(2010) = 8132721296<br />

= 4046130<br />

C. Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác<br />

I. Phương pháp:<br />

2010.4046130 – 4<br />

= 8132721296<br />

1. Cách 1: Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là đa thức chia<br />

2. Cách 2: biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia<br />

3. Cách 3: Biến đổi tương đương f(x) ⋮ g(x) ⇔ f(x) ± g(x) ⋮ g(x)<br />

4. cách 4: Chứng tỏ mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia<br />

II. Ví dụ<br />

1.Ví dụ 1:<br />

Chứng minh rằng: x 8n + x 4n + 1 chia hết cho x 2n + x n + 1<br />

Ta có: x 8n + x 4n + 1 = x 8n + 2x 4n + 1 - x 4n = (x 4n + 1) 2 - x 4n = (x 4n + x 2n + 1)( x 4n - x 2n + 1)<br />

Ta lại có: x 4n + x 2n + 1 = x 4n + 2x 2n + 1 – x 2n = (x 2n + x n + 1)( x 2n - x n + 1)<br />

chia hết cho x 2n + x n + 1<br />

Vậy: x 8n + x 4n + 1 chia hết cho x 2n + x n + 1<br />

2. Ví dụ 2:<br />

Chứng minh rằng: x 3m + 1 + x 3n + 2 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 với mọi m, n ∈ N<br />

Ta có: x 3m + 1 + x 3n + 2 + 1 = x 3m + 1 - x + x 3n + 2 – x 2 + x 2 + x + 1<br />

= x(x 3m – 1) + x 2 (x 3n – 1) + (x 2 + x + 1)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Vì x 3m – 1 và x 3n – 1 chia hết cho x 3 – 1 nên chia hết cho x 2 + x + 1<br />

Vậy: x 3m + 1 + x 3n + 2 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 với mọi m, n ∈ N<br />

3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

49<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

f(x) = x 99 + x 88 + x 77 + ... + x 11 + 1 chia hết cho g(x) = x 9 + x 8 + x 7 + ....+ x + 1<br />

Ta có: f(x) – g(x) = x 99 – x 9 + x 88 – x 8 + x 77 – x 7 + ... + x 11 – x + 1 – 1<br />

= x 9 (x 90 – 1) + x 8 (x 80 – 1) + ....+ x(x 10 – 1) chia hết cho x 10 – 1<br />

Mà x 10 – 1 = (x – 1)(x 9 + x 8 + x 7 +...+ x + 1) chia hết cho x 9 + x 8 + x 7 +...+ x + 1<br />

Suy ra f(x) – g(x) chia hết cho g(x) = x 9 + x 8 + x 7 +...+ x + 1<br />

Nên f(x) = x 99 + x 88 + x 77 + ... + x 11 + 1 chia hết cho g(x) = x 9 + x 8 + x 7 + ....+ x + 1<br />

4. Ví dụ 4: CMR: f(x) = (x 2 + x – 1) 10 + (x 2 - x + 1) 10 – 2 chia hết cho g(x) = x 2 – x<br />

Đa thức g(x) = x 2 – x = x(x – 1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 1<br />

Ta có f(0) = (-1) 10 + 1 10 – 2 = 0 ⇒ x = 0 là nghiệm của f(x) ⇒ f(x) chứa thừa số x<br />

f(1) = (1 2 + 1 – 1) 10 + (1 2 – 1 + 1) 10 – 2 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của f(x) f(x) chứa thừa số x<br />

– 1, mà các thừa số x và x – 1 không có nhân tử chung, do đó f(x) chia hết cho x(x – 1)<br />

hay f(x) = (x 2 + x – 1) 10 + (x 2 - x + 1) 10 – 2 chia hết cho g(x) = x 2 – x<br />

5. Ví dụ 5: Chứng minh rằng<br />

a) A = x 2 – x 9 – x 1945 chia hết cho B = x 2 – x + 1<br />

b) C = 8x 9 – 9x 8 + 1 chia hết cho D = (x – 1) 2<br />

c) C (x) = (x + 1) 2n – x 2n – 2x – 1 chia hết cho D(x) = x(x + 1)(2x + 1)<br />

Giải<br />

a) A = x 2 – x 9 – x 1945 = (x 2 – x + 1) – (x 9 + 1) – (x 1945 – x)<br />

Ta có: x 2 – x + 1 chia hết cho B = x 2 – x + 1<br />

x 9 + 1 chia hết cho x 3 + 1 nên chia hết cho B = x 2 – x + 1<br />

x 1945 – x = x(x 1944 – 1) chia hết cho x 3 + 1 (cùng có nghiệm là x = - 1)<br />

nên chia hết cho B = x 2 – x + 1<br />

Vậy A = x 2 – x 9 – x 1945 chia hết cho B = x 2 – x + 1<br />

b) C = 8x 9 – 9x 8 + 1 = 8x 9 – 8 - 9x 8 + 9 = 8(x 9 – 1) – 9(x 8 – 1)<br />

= 8(x – 1)(x 8 + x 7 + ...+ 1) – 9(x – 1)(x 7 + x 6 + ...+ 1)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

= (x – 1)(8x 8 – x 7 – x 6 – x 5 – x 4 – x 3 – x 2 – x – 1)<br />

(8x 8 – x 7 – x 6 – x 5 – x 4 – x 3 – x 2 – x – 1) chia hết cho x – 1 vì có tổng hệ số bằng 0<br />

suy ra (x – 1)(8x 8 – x 7 – x 6 – x 5 – x 4 – x 3 – x 2 – x – 1) chia hết cho (x – 1) 2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

50<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

c) Đa thức chia D (x) = x(x + 1)(2x + 1) có ba nghiệm là x = 0, x = - 1, x = - 1 2<br />

Ta có:<br />

C(0) = (0 + 1) 2n – 0 2n – 2.0 – 1 = 0 ⇒ x = 0 là nghiệm của C(x)<br />

C(-1) = (-1 + 1) 2n – (- 1) 2n – 2.(- 1) – 1 = 0 ⇒ x = - 1 là nghiệm của C(x)<br />

C(- 1 2 ) = (- 1 2 + 1)2n – (- 1 2 )2n – 2.(- 1 2 ) – 1 = 0 ⇒ x = - 1 2<br />

là nghiệm của C(x)<br />

Mọi nghiệm của đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia ⇒ đpcm<br />

6. Ví dụ 6:<br />

Cho f(x) là đa thức có hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng f(x)<br />

không có nghiệm nguyên<br />

Giả sử x = a là nghiệm nguyên của f(x) thì f(x) = (x – a). Q(x). Trong đó Q(x) là đa thức có<br />

hệ số nguyên, do đó f(0) = - a. Q(0), f(1) = (1 – a). Q(1)<br />

Do f(0) là số lẻ nên a là số lẻ, f(1) là số lẻ nên 1 – a là số lẻ, mà 1 – a là hiệu của 2 số lẻ<br />

không thể là số lẻ, mâu thuẩn<br />

Vậy f(x) không có nghiệm nguyên<br />

Bài tập về nhà:<br />

Bài 1: Tìm số dư khi<br />

a) x 43 chia cho x 2 + 1<br />

b) x 77 + x 55 + x 33 + x 11 + x + 9 cho x 2 + 1<br />

Bài 2: Tính giá trị của đa thức x 4 + 3x 3 – 8 tại x = 2009<br />

Bài 3: Chứng minh rằng<br />

a) x 50 + x 10 + 1 chia hết cho x 20 + x 10 + 1<br />

b) x 10 – 10x + 9 chia hết cho x 2 – 2x + 1<br />

c) x 4n + 2 + 2x 2n + 1 + 1 chia hết cho x 2 + 2x + 1<br />

d) (x + 1) 4n + 2 + (x – 1) 4n + 2 chia hết cho x 2 + 1<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

e) (x n – 1)(x n + 1 – 1) chia hết cho (x + 1)(x – 1) 2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

51<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 11 – CÁC BÀI <strong>TOÁN</strong> VỀ BIỂU THỨC <strong>HỮU</strong> TỈ<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A. Nhắc lại kiến thức:<br />

Các bước rút gọn biểu thức hửu tỉ<br />

a) Tìm ĐKXĐ: Phân tích mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0<br />

b) Phân tích tử thành nhân , chia tử và mẫu cho nhân tử chung<br />

B. Bài tập:<br />

Bài 1: Cho biểu thức A =<br />

a) Rút gọn A<br />

b) tìm x để A = 0<br />

4 2<br />

x − 5x<br />

+ 4<br />

4 2<br />

x − 10x<br />

+ 9<br />

c) Tìm giá trị của A khi 2x − 1 = 7<br />

Giải<br />

a)Đkxđ :<br />

x 4 – 10x 2 + 9 ≠ 0 ⇔ [(x 2 ) 2 – x 2 ] – (9x 2 – 9) ≠ 0 ⇔ x 2 (x 2 – 1) – 9(x 2 – 1) ≠ 0<br />

⇔ (x 2 – 1)(x 2 – 9) ≠ 0 ⇔ (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 3) ≠ 0<br />

Tử : x 4 – 5x 2 + 4 = [(x 2 ) 2 – x 2 ] – (x 2 – 4) = x 2 (x 2 – 1) – 4(x 2 – 1)<br />

= (x 2 – 1)(x 2 – 4) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 2)<br />

Với x ≠ ± 1; x ≠ ± 3 thì<br />

A =<br />

(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) (x - 2)(x + 2)<br />

=<br />

(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (x - 3)(x + 3)<br />

b) A = 0 ⇔<br />

c) 2x − 1 = 7 ⇔<br />

(x - 2)(x + 2)<br />

(x - 3)(x + 3)<br />

* Với x = 4 thì A =<br />

= 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = ± 2<br />

⎡2x − 1 = 7 ⎡2x = 8 ⎡x<br />

= 4<br />

⎢ ⇔<br />

2x 1 7<br />

⎢ ⇔<br />

2x 6<br />

⎢<br />

⎣ − = − ⎣ = − ⎣x<br />

= −3<br />

(x - 2)(x + 2) (4 - 2)(4 + 2) 12<br />

= =<br />

(x - 3)(x + 3) (4 - 3)(4 + 3) 7<br />

⎧x ≠ 1<br />

⎪ x ≠ − 1 ⎧ x ≠ ± 1<br />

⇔ ⎨ ⇔ ⎨<br />

⎪x ≠ 3 ⎩x<br />

≠ ± 3<br />

⎩<br />

⎪x ≠ −3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

52<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

* Với x = - 3 thì A không xác định<br />

2. Bài 2:<br />

Cho biểu thức B =<br />

a) Rút gọn B<br />

b) Tìm x để B > 0<br />

Giải<br />

3 2<br />

2x − 7x − 12x<br />

+ 45<br />

3 2<br />

3x − 19x + 33x<br />

− 9<br />

a) Phân tích mẫu: 3x 3 – 19x 2 + 33x – 9 = (3x 3 – 9x 2 ) – (10x 2 – 30x) + (3x – 9)<br />

= (x – 3)(3x 2 – 10x + 3) = (x – 3)[(3x 2 – 9x) – (x – 3)] = (x – 3) 2 (3x – 1)<br />

Đkxđ: (x – 3) 2 (3x – 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 3 và x ≠ 1 3<br />

b) Phân tích tử, ta có:<br />

2x 3 – 7x 2 – 12x + 45 = (2x 3 – 6x 2 ) - (x 2 - 3x) – (15x - 45) = (x – 3)(2x 2 – x – 15)<br />

= (x – 3)[(2x 2 – 6x) + (5x – 15)] = (x – 3) 2 (2x + 5)<br />

Với x ≠ 3 và x ≠ 1 3<br />

Thì B =<br />

3 2<br />

2x − 7x − 12x<br />

+ 45<br />

3 2<br />

3x − 19x + 33x<br />

− 9<br />

=<br />

2<br />

(x - 3) (2x + 5) 2x + 5<br />

=<br />

2<br />

(x - 3) (3x - 1) 3x - 1<br />

⎡⎧ 1<br />

⎢ x > ⎪ 3<br />

⎡⎧<br />

x − ><br />

⎢⎨<br />

c) B > 0 ⇔ 2x + 5 ⎨<br />

⎢⎪x<br />

> −<br />

3x - 1 > 0 ⇔ ⎩ x + > ⎢⎩⎪<br />

⎢<br />

3. Bài 3<br />

Cho biểu thức C = + − :<br />

2 2<br />

a) Rút gọn biểu thức C<br />

3 1 0 5 1<br />

⎢<br />

⎡<br />

2 5 0<br />

x ><br />

⎢ 2 ⎢ 3<br />

⇔ ⇔<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎧3x<br />

− 1<<br />

0 ⎢ ⎧ 1<br />

5<br />

x<br />

⎢<br />

⎢⎨ x<br />

2x<br />

5 0<br />

⎪<br />

< < −<br />

3 ⎢<br />

⎢⎩ ⎣ + < ⎢⎪ ⎣ 2<br />

⎢⎨<br />

⎢ ⎪ 5<br />

x < −<br />

⎢⎩ ⎣⎪<br />

2<br />

⎛ 1 2 5 − x ⎞ 1−<br />

2x<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎝1− x x + 1 1− x ⎠ x −1<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

53<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Giải<br />

a) Đkxđ: x ≠ ± 1<br />

⎛ 1 2 5 − x ⎞ 1− 2x ⎡1+ x + 2(1 − x) − 5 ⎤ ( x − 1)( x + 1) −2<br />

⎜ + − ⎟ : = .<br />

1 x x 1 1 x x 1<br />

⎢<br />

(1 x)(1 x) ⎥<br />

=<br />

⎝ − + − ⎠ − ⎣ − + ⎦ 1− 2x 2x<br />

−1<br />

C =<br />

2 2<br />

b) B có giá trị nguyên khi x là số nguyên thì<br />

⇔ 2x – 1 là Ư(2) ⇔<br />

⎡2x<br />

− 1 = 1 ⎡x<br />

= 1<br />

⎢<br />

2x<br />

1 1<br />

⎢<br />

⎢<br />

− = − x = 0<br />

⇔ ⎢<br />

⎢2x<br />

− 1 = 2 ⎢x<br />

= 1,5<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎣2x<br />

− 1 = − 2 ⎣x<br />

= −1<br />

Đối chiếu Đkxđ thì chỉ có x = 0 thoả mãn<br />

4. Bài 4<br />

Cho biểu thức D =<br />

3 2<br />

x + x − 2x<br />

2<br />

+ 2 − + 4<br />

x x<br />

a) Rút gọn biểu thức D<br />

b) Tìm x nguyên để D có giá trị nguyên<br />

c) Tìm giá trị của D khi x = 6<br />

Giải<br />

a) Nếu x + 2 > 0 thì x + 2 = x + 2 nên<br />

D =<br />

3 2<br />

x + x − 2x<br />

2<br />

+ 2 − + 4<br />

x x<br />

x<br />

=<br />

x<br />

−2<br />

2x<br />

−1<br />

có giá trị nguyên<br />

3 2 2<br />

x + x − 2 x x( x − 1)( x + 2) x − x<br />

= =<br />

2<br />

( 2) 4 ( 2) ( 2)( 2) 2<br />

x x + − x + x x + − x − x +<br />

Nếu x + 2 < 0 thì x + 2 = - (x + 2) nên<br />

D =<br />

3 2<br />

x + x − 2x<br />

2<br />

+ 2 − + 4<br />

x x<br />

x<br />

=<br />

3 2<br />

x + x − 2 x x( x − 1)( x + 2) −x<br />

= =<br />

2<br />

( 2) 4 ( 2) ( 2)( 2) 2<br />

− x x + − x + − x x + − x − x +<br />

Nếu x + 2 = 0 ⇔ x = -2 thì biểu thức D không xác định<br />

b) Để D có giá trị nguyên thì<br />

+)<br />

2<br />

x − x<br />

2<br />

có giá trị nguyên ⇔<br />

2<br />

x − x<br />

2<br />

−x<br />

hoặc 2<br />

có giá trị nguyên<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

⎧x - x ⋮ 2 ⎧x(x - 1) ⋮ 2<br />

⎨ ⇔ ⎨<br />

⎩ x > - 2 ⎩ x > - 2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

54<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Vì x(x – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi x > - 2<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

−x<br />

+) 2<br />

⎧ ⋮ ⎧<br />

⎨ ⎨<br />

⎩x < - 2 ⎩x < - 2<br />

có giá trị nguyên ⇔ x 2 ⇔ x = 2k ⇔ x = 2k (k ∈ Z; k < - 1)<br />

c) Khia x = 6 ⇒ x > - 2 nên D =<br />

Bài tập về nhà<br />

Bài 1:<br />

Cho biểu thức A =<br />

2<br />

a) Rút gọn A<br />

b) Tìm x để A = 0; A > 0<br />

Bài 2:<br />

Cho biểu thức B =<br />

a) Rút gọn B<br />

b) Tìm số nguyên y để<br />

2<br />

x − x<br />

= 6(6 − 1) = 15<br />

2 2<br />

⎛ 2 − x 3 − x 2 − x ⎞ ⎛<br />

: 1<br />

x ⎞<br />

⎜ − + ⎟ ⎜ − ⎟<br />

⎝ x + 3 x + 2 x + 5x + 6 ⎠ ⎝ x −1⎠<br />

y − y + y −<br />

y − y − y +<br />

3 2<br />

3 7 5 1<br />

3 2<br />

2 4 3<br />

2D<br />

2y + 3<br />

c) Tìm số nguyên y để B ≥ 1<br />

có giá trị nguyên<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

55<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 12 – CÁC BÀI <strong>TOÁN</strong> VỀ BIỂU THỨC (TIẾP)<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

* Dạng 2: Các biểu thức có tính quy luật<br />

Bài 1: Rút gọn các biểu thức<br />

a) A =<br />

3 5 2n<br />

+ 1<br />

+ + ...... +<br />

[ n n + ] 2<br />

(1.2) 2 (2.3) 2<br />

( 1)<br />

Phương pháp: Xuất phát từ hạng tử cuối để tìm ra quy luật<br />

2n<br />

+ 1<br />

Ta có<br />

[ ]<br />

2<br />

n( n + 1)<br />

2n<br />

+ 1 1 1<br />

n ( n + 1) n ( n + 1)<br />

= = −<br />

2 2 2 2<br />

Nên<br />

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n( n + 1)<br />

1 2 2 3 3 n n ( n + 1) 1 ( n + 1) ( n + 1)<br />

A = 2<br />

− 2<br />

+ 2<br />

− 2<br />

+ 2<br />

−......<br />

− 2<br />

+ 2<br />

− 2<br />

= − 2<br />

= 2<br />

⎛ 1 1 1 1<br />

⎜ ⎞ ⎟ ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎛ ⎜ ⎞<br />

⎟<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ n ⎠<br />

b) B = 1 − . 1 − . 1 − ........ 1−<br />

2 2 2 2<br />

Ta có<br />

2<br />

1 k − 1 ( k + 1)( k −1)<br />

1− = = Nên<br />

2 2 2<br />

k k k<br />

1.3 2.4 3.5 ( 1)( 1) 1.3.2.4...( 1)( 1) 1.2.3...( 1) 3.4.5...( 1) 1 1 1<br />

. . ... n − n + n − n + n −<br />

. n +<br />

.<br />

n + n +<br />

= = = =<br />

2 3 4 n 2 .3 .4 ... n 2.3.4...( n −1) n 2.3.4.... n n 2 2n<br />

B =<br />

2 2 2 2 2 2 2 2<br />

c) C =<br />

d) D =<br />

150 150 150 150 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎞<br />

+ + + ...... + = 150. . ⎜ − + − + ...... + − ⎟<br />

5.8 8.11 11.14 47.50 3 ⎝ 5 8 8 11 47 50 ⎠<br />

= 50.<br />

=<br />

Bài 2:<br />

a) Cho A =<br />

Ta có<br />

⎛ 1 1 ⎞ 9<br />

⎜ − ⎟ = 50. = 45<br />

⎝ 5 50 ⎠ 10<br />

1 1 1 1<br />

+ + + ...... +<br />

1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( n − 1) n( n + 1)<br />

1 ⎡ 1 1 ⎤ ( n − 1)( n + 2)<br />

2<br />

⎢ −<br />

1.2 n( n 1)<br />

⎥ =<br />

⎣ + ⎦ 4 n( n + 1)<br />

m −1 m − 2 2 1<br />

+ + ... + +<br />

1 2 m 2 n 1<br />

= 1 ⎛<br />

. 1 1 1 1 ......<br />

1 1 ⎞<br />

⎜ − + − + + − ⎟<br />

2 ⎝1.2 2.3 2.3 3.4 ( n − 1) n n( n + 1) ⎠<br />

− − ; B = 1 + 1 + 1 + ...... + 1 . Tính A B<br />

2 3 4 n<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

56<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

A =<br />

⎛ n n n n ⎞ ⎛ ⎞ ⎛1 1 1 1 ⎞<br />

⎜ + + ... + + ⎟ − ⎜1+ 1 + ... + 1 ⎟ = n⎜ + + ... + + ⎟ − ( n −1)<br />

1 2 n − 2 n −1 <br />

⎝ ⎠ ⎝ n−1<br />

⎠ ⎝1 2 n − 2 n −1⎠<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

=<br />

b) A =<br />

1 1 1 1 1 1 1<br />

n⎜ ⎛ + + ... + + ⎞ ⎟ + 1 = n<br />

⎛ ⎜ + ... + + ⎞<br />

⎟ = nB<br />

⎝1 2 n − 2 n −1⎠ ⎝ 2 n − 2 n −1⎠<br />

Tính A : B<br />

Giải<br />

A =<br />

1 1 1 1<br />

......<br />

1.(2n - 1) 3.(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1<br />

⇒ A B = n<br />

......<br />

3 2n - 1<br />

+ + + + ; B = 1 + 1 + +<br />

1<br />

1 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤<br />

1 ... 1<br />

2n<br />

⎢⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟<br />

2n - 1 3 2n - 3 2n - 3 3 2n - 1<br />

⎥<br />

⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦<br />

1 ⎡⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞⎤<br />

= 1 ...... ...... 1<br />

2n<br />

⎢⎜ + + + + ⎟ + ⎜ + + + + ⎟<br />

3 2n - 1 2n - 3 2n - 1 2n - 3 3<br />

⎥<br />

⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦<br />

1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 A 1<br />

= .2. ⎜1 + + ...... + + ⎟ = .2.B ⇒ =<br />

2n ⎝ 3 2n - 1 2n - 3 ⎠ 2n B n<br />

Bài tập về nhà<br />

Rút gọn các biểu thức sau:<br />

a) 1 1 +......+<br />

1<br />

1.2 2.3 (n - 1)n<br />

c)<br />

+ b)<br />

1 1 1<br />

+ +......+<br />

1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n +2)<br />

2 2 2 2<br />

1 3 5 n<br />

. . ......<br />

− − − −<br />

2 2 2 2<br />

2 1 4 1 6 1 (n + 1) 1<br />

* Dạng 3: Rút gọn; tính giá trị biểu thức thoả mãn điều kiện của biến<br />

Bài 1: Cho<br />

a)<br />

A<br />

Lời giải<br />

a)<br />

b)<br />

1<br />

x + = 3. Tính giá trị của các biểu thức sau :<br />

x<br />

1<br />

x<br />

2<br />

= x + ; b)<br />

2<br />

B<br />

1<br />

x<br />

3<br />

= x + ; c)<br />

3<br />

2<br />

2 1 1<br />

A = x + = x + − 2 = 9 − 2 = 7<br />

2 ⎜ ⎟<br />

x<br />

⎛<br />

⎜⎝<br />

⎞ x⎠⎟<br />

3<br />

3 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞<br />

B = x + = x + − 3 x + = 27− 9 = 18<br />

3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

x ⎝⎜<br />

x⎠⎟<br />

⎝⎜<br />

x⎠⎟<br />

C<br />

;<br />

1<br />

x<br />

4<br />

= x + ; d)<br />

4<br />

;<br />

D<br />

1<br />

x<br />

5<br />

= x + .<br />

5<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

57<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

2<br />

4 1 ⎛<br />

2 1 ⎞<br />

c) C = x + = x 2 49 2 47<br />

4 ⎜ +<br />

2<br />

− = − =<br />

x ⎜⎝ x ⎠⎟<br />

;<br />

⎛<br />

2 1 ⎞⎛<br />

3 1 ⎞<br />

5 1 1<br />

d) A.B = x + x x x D 3<br />

2 3 5<br />

x ⎟<br />

+ = + + + = +<br />

x ⎟<br />

⇒ D = 7.18 – 3 = 123.<br />

⎝⎜<br />

⎠⎝⎜<br />

⎠ x x<br />

Bài 2: Cho x y z<br />

+ + = 2<br />

a b c<br />

Tính giá trị biểu thức D =<br />

(1); a b c<br />

+ + = 2<br />

x y z<br />

2 2<br />

2<br />

⎛ a ⎞ b c<br />

+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟<br />

⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ z ⎠<br />

Từ (1) suy ra bcx + acy + abz = 0 (3)<br />

Từ (2) suy ra<br />

(2).<br />

2 2 2 2 2<br />

2<br />

⎛ a ⎞ b c ab ac bc a b c ab ac bc<br />

+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

+ + 2 . ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

4 + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + + ⎟ = ⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 4 − 2 .<br />

⎛ ⎜ + +<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ xy xz yz ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ z ⎠ ⎝ xy xz yz ⎠<br />

Thay (3) vào (4) ta có D = 4 – 2.0 = 4<br />

Bài 3<br />

a) Cho abc = 2; rút gọn biểu thức A =<br />

Ta có :<br />

A =<br />

=<br />

a b 2c<br />

+ +<br />

ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2<br />

a ab 2c a ab 2c<br />

+ + = + +<br />

ab + a + 2 abc + ab + a ac + 2c + 2 ab + a + 2 2 + ab + a ac + 2c + abc<br />

a ab 2c a ab 2 ab + a + 2<br />

+ + = + + = = 1<br />

ab + a + 2 2 + ab + a c(a + 2 + ab) ab + a + 2 2 + ab + a a + 2 + ab ab + a + 2<br />

b) Cho a + b + c = 0; rút gọn biểu thức B =<br />

2 2 2<br />

a b c<br />

+ +<br />

a - b - c b - c - a c - b - a<br />

2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />

Từ a + b + c = 0 ⇒ a = -(b + c) ⇒ a 2 = b 2 + c 2 + 2bc ⇒ a 2 - b 2 - c 2 = 2bc<br />

Tương tự ta có: b 2 - a 2 - c 2 = 2ac ; c 2 - b 2 - a 2 = 2ab (Hoán vị vòng quanh), nên<br />

B =<br />

2 2 2 3 3 3<br />

a b c a + b + c<br />

+ + = (1)<br />

2bc 2ac 2ab 2abc<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

a + b + c = 0 ⇒ -a = (b + c) ⇒ -a 3 = b 3 + c 3 + 3bc(b + c) ⇔ -a 3 = b 3 + c 3 – 3abc<br />

⇔ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc (2)<br />

(4)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

58<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Thay (2) vào (1) ta có B =<br />

3 3 3<br />

a + b + c 3abc 3<br />

= = (Vì abc ≠ 0)<br />

2abc 2abc 2<br />

c) Cho a, b, c từng đôi một khác nhau thoả mãn: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2<br />

Rút gọn biểu thức C =<br />

a b c<br />

+ +<br />

2 2 2<br />

2 2 2<br />

a + 2bc b + 2ac c + 2ab<br />

Từ (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 ⇒ ab + ac + bc = 0<br />

⇒ a 2 + 2bc = a 2 + 2bc – (ab + ac + bc) = a 2 – ab + bc – ac = (a – b)(a – c)<br />

Tương tự: b 2 + 2 ac = (b – a)(b – c) ; c 2 + 2ab = (c – a)(c – b)<br />

C =<br />

=<br />

2 2 2 2 2 2<br />

a b c a b c<br />

+ + = -<br />

+<br />

(a - b)(a - c) (b - a)(b - c) (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (a - b)(b - c) (a - c)(b - c)<br />

2 2 2<br />

a (b - c) b (a - c) c (b - c) (a - b)(a - c)(b - c)<br />

- + = = 1<br />

(a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c) (a - b)(a - c)(b - c)<br />

* Dạng 4: Chứng minh đẳng thức thoả mãn điều kiện của biến<br />

1. Bài 1: Cho 1 1 1<br />

+ + = 2<br />

a b c<br />

Chứng minh rằng: a + b + c = abc<br />

1 1 1<br />

+ + = 2<br />

a b c<br />

(1);<br />

2 2 2<br />

Từ (1) suy ra + + + 2. + + = 4 ⇒ 2. + + = 4 − + +<br />

2 2 2 2 2 2<br />

(2).<br />

1 1 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />

⎜ ⎞ ⎟ ⎛ ⎜ ⎞ ⎟ ⎛ ⎜ ⎞<br />

⎟<br />

a b c ⎝ ab bc ac ⎠ ⎝ ab bc ac ⎠ ⎝ a b c ⎠<br />

⇒ 1 + 1 + 1 1 a + b + c 1<br />

ab bc ac abc<br />

= ⇔ = ⇔ a + b + c = abc<br />

2. Bài 2: Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện 1 + 1 + 1 = 1 .<br />

a b c a + b + c<br />

Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau.<br />

1 1 1 1<br />

Từ đó suy ra rằng : + + =<br />

a b c a + b + c<br />

2009 2009 2009 2009 2009 2009<br />

Ta có : 1 + 1 + 1 = 1 ⇔ 1 + 1 + 1 − 1 = 0<br />

a b c a + b + c a b c a + b + c<br />

⇔<br />

.<br />

⇔ a + b a +<br />

+ b = 0<br />

ab c(a + b + c)<br />

⎡a + b = 0 ⎡a = −b<br />

c(a + b + c) + ab<br />

(a + b). = 0 ⇔ (a + b)(b + c)(c + a) = 0 ⇔ b + c = 0 ⇔ b = −c<br />

abc(a + b + c)<br />

⎢c a 0 ⎢<br />

⎣ + = ⎣c = −a<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

59<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Từ đó suy ra : 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 =<br />

1<br />

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009<br />

a b c a ( −c) c a<br />

1 1 1<br />

= =<br />

a + b + c a + ( − c) + c a<br />

2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009<br />

1 1 1 1<br />

a b c a + b + c<br />

⇒ + + =<br />

2009 2009 2009 2009 2009 2009<br />

3. Bài 3: Cho a + b c b +<br />

c a<br />

+ = + (1)<br />

b c a a b c<br />

chứng minh rằng : trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau<br />

Từ (1) ⇒<br />

2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />

a c + ab + bc = b c + ac + a b ⇒ a (b - c) - a(c − b ) + bc(c - b) = 0<br />

⇒ (c – b)(a 2 – ac = ab + bc) = 0 ⇒ (c – b)(a – b)( a – c) = 0 ⇒ đpcm<br />

4. Bài 4: Cho (a 2 – bc)(b – abc) = (b 2 – ac)(a – abc); abc ≠ 0 và a ≠ b<br />

Chứng minh rằng: 1 1 1<br />

+ + = a + b + c<br />

a b c<br />

Từ GT ⇒ a 2 b – b 2 c - a 3 bc + ab 2 c 2 = ab 2 – a 2 c – ab 3 c + a 2 bc 2<br />

⇔ (a 2 b – ab 2 ) + (a 2 c – b 2 c) = abc 2 (a – b) + abc(a - b)(a + b)<br />

⇔ (a – b)(ab + ac + bc) = abc(a – b)(a + b + c)<br />

⇔ ab + ac + bc = a + b + c ⇔ 1 + 1 + 1 = a + b + c<br />

abc<br />

a b c<br />

5. Bài 5: Cho a + b + c = x + y + z = a b c<br />

+ + = 0<br />

x y z<br />

Từ x + y + z = 0 ⇒ x 2 = (y + z) 2 ; y 2 = (x + z) 2 ; z 2 = (y + x) 2<br />

⇒ ax 2 + by 2 + cz 2 = a(y + z) 2 + b(x + z) 2 + c (y + x) 2 = …<br />

= (b + c)x 2 + (a + c)y 2 + (a + b)z 2 + 2(ayz + bxz + cxy) (1)<br />

Từ a + b + c = 0 ⇒ - a = b + c; - b = a + c; - c = a + b (2)<br />

Từ a + b + c = 0<br />

x y z<br />

.<br />

; Chứng minh rằng: ax 2 + by 2 + cz 2 = 0<br />

⇒ ayz + bxz + cxy = 0 (3). Thay (2), (3) vào (1); ta có:<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

ax 2 + by 2 + cz 2 = -( ax 2 + by 2 + cz 2 ) ⇒ ax 2 + by 2 + cz 2 = 0<br />

6. Bài 6: Cho<br />

a b c<br />

+ 0<br />

b - c c - a a - b<br />

a b c<br />

+ + = 0<br />

(b - c) (c - a) (a - b)<br />

+ = ; chứng minh:<br />

2 2 2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

60<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Từ<br />

a b c<br />

+ + = 0 ⇒<br />

b - c c - a a - b<br />

a b c b − ab + ac - c<br />

= + =<br />

b - c a - c b - a (a - b)(c - a)<br />

2 2<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

⇔<br />

a b − ab + ac - c<br />

2 2<br />

= (1) (Nhân hai vế với<br />

2<br />

(b - c) (a - b)(c - a)(b - c)<br />

Tương tự, ta có:<br />

b c − bc + ba - a<br />

2 2<br />

= (2) ;<br />

2<br />

(c - a) (a - b)(c - a)(b - c)<br />

Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm<br />

7. Bài 7:<br />

Cho a + b + c = 0; chứng minh:<br />

Đặt a - b = x ; b - c = y;<br />

c - a = z ⇒<br />

c a b<br />

⎛ 1 1 1 ⎞<br />

x + y + z ⎜ + + ⎟ = 9<br />

⎝ x y z ⎠<br />

(1) ⇔ ( )<br />

Ta có: ( )<br />

Ta lại có:<br />

=<br />

1<br />

b - c )<br />

c a − ac + cb - b<br />

2 2<br />

= (3)<br />

2<br />

(a - b) (a - b)(c - a)(b - c)<br />

⎛ a - b b - c c - a c a b<br />

⎜ + + ⎞⎛ ⎟⎜ + +<br />

⎞<br />

⎟<br />

c a b a - b b - c c - a<br />

⎝ ⎠⎝ ⎠ = 9 (1)<br />

c 1 a 1 b 1<br />

= = ; =<br />

a - b x b - c y c - a z<br />

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ y + z x + z x + y ⎞<br />

x + y + z ⎜ + + ⎟ = 3 + ⎜ + + ⎟<br />

⎝ x y z ⎠ ⎝ x y z ⎠<br />

⎛ ⎞<br />

= ⎜ + ⎟. = − . = =<br />

x ⎝ a b ⎠ a - b ab a - b ab(a - b) ab<br />

2 2<br />

y + z b - c c - a c b bc + ac - a c c(a - b)(c - a - b) c(c - a - b)<br />

2<br />

[ ] 2c<br />

c 2c - (a + b + c)<br />

ab<br />

Tương tự, ta có:<br />

= (3)<br />

ab<br />

x + z<br />

y<br />

2<br />

2a<br />

bc<br />

= (4) ;<br />

Thay (3), (4) và (5) vào (2) ta có:<br />

⎛ 1 1 1 ⎞<br />

x + y + z ⎜ + + ⎟ = 3<br />

⎝ x y z ⎠<br />

( )<br />

+<br />

x + y<br />

z<br />

2b<br />

ac<br />

2c 2a 2b<br />

ab bc ac<br />

2<br />

= (5)<br />

2 2 2<br />

Từ a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc (7) ?<br />

Thay (7) vào (6) ta có: ( )<br />

Bài tập về nhà:<br />

(2)<br />

+ + = 3 + 2<br />

abc (a3 + b 3 + c 3 ) (6)<br />

⎛ 1 1 1 ⎞<br />

x + y + z ⎜ + + ⎟ = 3 + 2<br />

⎝ x y z ⎠<br />

1) cho 1 + 1 + 1 0<br />

x y z = ; tính giá trị biểu thức A = + +<br />

2 2 2<br />

x y z<br />

abc . 3abc = 3 + 6 = 9<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

yz xz xy<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

61<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

xyz xyz xyz<br />

HD: A = + +<br />

3 3 3<br />

x y z<br />

; vận dụng a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

2) Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ; Tính giá trị biểu thức A =<br />

y + z x + z x + y<br />

x y z<br />

3) Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng: + + + 3 = 0<br />

⎛ a b c<br />

⎜ + 1 ⎞⎛ ⎟⎜ + 1 ⎞⎛ ⎟⎜ + 1<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎝ b ⎠⎝ c ⎠⎝ a ⎠<br />

4) Cho a + b + c = a 2 + b 2 + c 2 = 1; a = b = c . Chứng minh xy + yz + xz = 0<br />

x y z<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

62<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 13 – CÁC BÀI <strong>TOÁN</strong> VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A. Kiến thức:<br />

* Tam giác đồng dạng:<br />

a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)<br />

∆ ABC A’B’C’ ⇔<br />

b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c)<br />

∆ ABC A’B’C’ ⇔<br />

AB AC BC<br />

= =<br />

A'B' A'C' B'C'<br />

AB AC<br />

= ; A = A' <br />

A'B' A'C'<br />

c. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)<br />

∆ ABC A’B’C’ ⇔ <br />

A = A'; B = B' <br />

AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: A'H'<br />

AH = k (Tỉ số đồng dạng); SA'B'C'<br />

B. Bài tập áp dụng<br />

Bài 1:<br />

Cho ∆ ABC có B = 2 C, AB = 8 cm, BC = 10 cm.<br />

a)Tính AC<br />

b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi<br />

cạnh là bao nhiêu?<br />

Giải<br />

Cách 1:<br />

Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC<br />

∆ ACD ∆ ABC (g.g) ⇒<br />

AC AD<br />

=<br />

AB AC<br />

2<br />

⇒ AC = AB. AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

= 8(10 + 8) = 144 ⇒ AC = 12 cm<br />

Cách 2:<br />

Vẽ tia phân giác BE của ABC ⇒ ∆ ABE<br />

∆ ACB<br />

S<br />

D<br />

ABC<br />

= K 2<br />

B<br />

A<br />

E<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

63<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

AB AE BE AE + BE AC<br />

AC AB CB AB + CB AB + CB<br />

2<br />

= AC = AB(AB + CB)<br />

⇒ AC = 12 cm<br />

= = = ⇒ = 8(8 + 10) = 144<br />

b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b 2 = a(a + c) (1)<br />

Vì b > anên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2<br />

+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1) 2 = a 2 + ac ⇔ 2a + 1 = ac ⇔ a(c – 2) = 1<br />

⇒ a = 1; b = 2; c = 3(loại)<br />

+ Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4<br />

- Với a = 1 thì c = 8 (loại)<br />

- Với a = 2 thì c = 6 (loại)<br />

- với a = 4 thì c = 6 ; b = 5<br />

Vậy a = 4; b = 5; c = 6<br />

Bài 2:<br />

Cho ∆ ABC cân tại A, đường phân giác BD; tính BD<br />

biết BC = 5 cm; AC = 20 cm<br />

Giải<br />

Ta có<br />

CD BC 1<br />

=<br />

AD AC 4<br />

Bài toán trở về bài 1<br />

Bài 3:<br />

= ⇒ CD = 4 cm và BC = 5 cm<br />

Cho ∆ ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E<br />

trên AC sao cho<br />

a) ∆ DBO ∆ OCE<br />

OB<br />

b) ∆ DOE ∆ DBO ∆ OCE<br />

2<br />

CE = BD<br />

. Chứng minh rằng<br />

c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED<br />

d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Giải<br />

B<br />

A<br />

A<br />

E<br />

D<br />

C<br />

I 1 2<br />

D<br />

1 H<br />

2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

64<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

B O C<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

3


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a) Từ<br />

2<br />

OB<br />

CE = ⇒ BD<br />

b) Từ câu a suy ra O 3= E 2 (1)<br />

CE OB<br />

=<br />

OB BD và B = C (gt) ⇒ ∆ DBO<br />

Vì B, O ,C thẳng hàng nên 0<br />

O 3 + DOE + EOC = 180 (2)<br />

trong tam giác EOC thì 0<br />

E 2 + C + EOC = 180 (3)<br />

Từ (1), (2), (3) suy ra DOE = B = C <br />

∆ DOE và ∆ DBO có DO<br />

và DO =<br />

OE<br />

DB OB<br />

=<br />

OE<br />

DB OC<br />

(Do ∆ DBO ∆ OCE)<br />

(Do OC = OB) và DOE = B = C<br />

nên ∆ DOE ∆ DBO ∆ OCE<br />

∆ OCE<br />

c) Từ câu b suy ra D 1 = D2<br />

⇒ DO là phân giác của các góc BDE<br />

Củng từ câu b suy ra E 1 = E 2 EO là phân giác của các góc CED<br />

c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên OH không<br />

đổi ⇒ OI không đổi khi D di động trên AB<br />

Bài 4: (Đề <strong>HSG</strong> huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008)<br />

Cho ∆ ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho<br />

DME = B <br />

a) Chứng minh tích BD. CE không đổi<br />

b)Chứng minh DM là tia phân giác của BDE<br />

c) Tính chu vi của ∆ AED nếu ∆ ABC là tam giác đều<br />

Giải<br />

a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM , mà DME = B(gt) <br />

nên CME = BDM , kết hợp với B = C ( ∆ ABC cân tại A)<br />

suy ra ∆ BDM<br />

BD BM<br />

CM CE<br />

∆ CME (g.g)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

⇒ = BD. CE = BM. CM = a<br />

b) ∆ BDM ∆ CME ⇒<br />

⇒ không đổi<br />

DM BD DM BD<br />

= ⇒ =<br />

ME CM ME BM<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

65<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

A<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

(do BM = CM)⇒ ∆ DME ∆ DBM (c.g.c) ⇒ <br />

MDE = BMD hay<br />

DM là tia phân giác của BDE<br />

c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của DEC<br />

kẻ MH ⊥ CE ,MI ⊥ DE, MK ⊥ DB thì MH = MI = MK ⇒<br />

∆ DKM = ∆ DIM<br />

⇒ DK =DI ⇒ ∆ EIM = ∆ EHM ⇒ EI = EH<br />

Chu vi ∆ AED là P AED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì<br />

AH = AK)<br />

∆ ABC là tam giác đều nên suy ra ∆ CME củng là tam giác đều CH = MC<br />

⇒ AH = 1,5a ⇒ P AED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a<br />

Bài 5:<br />

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh<br />

BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F<br />

a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC<br />

b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K.<br />

Chứng minh rằng K là trung điểm của FE<br />

Giải<br />

a) DE // AM ⇒<br />

DF // AM ⇒<br />

Từ (1) và (2) suy ra<br />

DE + DF =<br />

DE BD BD<br />

= DE = .AM<br />

AM BM BM<br />

⇒ (1)<br />

DF CD CD CD<br />

= DF = .AM = .AM<br />

AM CM CM BM<br />

BD<br />

.AM +<br />

BM<br />

CD<br />

.AM<br />

BM<br />

⇒ (2)<br />

b) AK // BC suy ra ∆ FKA ∆ AMC (g.g) ⇒<br />

=<br />

⎛ BD CD ⎞ BC<br />

⎜ + ⎟.AM = .AM = 2AM<br />

⎝ BM BM ⎠ BM<br />

FK KA<br />

=<br />

AM CM (3)<br />

a<br />

=<br />

2 2<br />

không đổi<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA<br />

= = =<br />

ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM<br />

(Vì CM = BM)<br />

⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = (2)<br />

B<br />

K<br />

B<br />

D<br />

D<br />

E<br />

I<br />

K<br />

M<br />

F<br />

M<br />

A<br />

E<br />

C<br />

H<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

66<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Từ (1) và (2) suy ra<br />

FK<br />

AM<br />

EK<br />

AM<br />

= ⇒ FK = EK hay K là trung điểm của FE<br />

Bài 6: (Đề <strong>HSG</strong> huyện Thạch hà năm 2003 – 2004)<br />

Cho hình thoi ABCD cạnh a có 0<br />

A = 60 , một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các<br />

tia BA, DA tại M, N<br />

a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi<br />

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo của góc BKD<br />

Giải<br />

a) BC // AN ⇒<br />

CD// AM ⇒ CM<br />

Từ (1) và (2) suy ra<br />

MB CM<br />

=<br />

BA CN (1)<br />

=<br />

AD<br />

CN DN (2)<br />

MB AD<br />

= MB.DN = BA.AD = a.a = a<br />

BA DN ⇒<br />

b) ∆ MBD và ∆ BDN có MBD = BDN = 120 0<br />

MB MB CM AD BD<br />

= =<br />

BD BA CN DN DN<br />

⇒ ∆ MBD<br />

2<br />

= = (Do ABCD là hình thoi có 0<br />

A = 60 nên AB = BC = CD = DA)<br />

∆ BDN<br />

Suy ra M 1 = B 1. ∆ MBD và ∆ BKD có BDM = BDK và M 1 = B 1 nên 0<br />

BKD = MBD = 120<br />

Bài 7:<br />

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M,<br />

N. Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là<br />

điểm đối xứng với D qua I. Chứng minh rằng<br />

a) IM. IN = ID 2<br />

b)<br />

KM DM<br />

=<br />

KN DN<br />

c) AB. AE + AD. AF = AC 2<br />

Giải<br />

A<br />

B<br />

1<br />

M<br />

1 K<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

A<br />

D<br />

F<br />

D<br />

I G<br />

B<br />

M<br />

C<br />

E<br />

C<br />

K<br />

N<br />

N<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

67<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a) Từ AD // CM ⇒<br />

IM CI<br />

=<br />

ID AI (1)<br />

Từ CD // AN ⇒ CI = ID (2)<br />

AI<br />

Từ (1) và (2) suy ra IM<br />

b) Ta có<br />

IN<br />

ID = ID<br />

IN hay ID2 = IM. IN<br />

DM CM DM CM DM CM<br />

= = =<br />

MN MB MN + DM MB + CM DN CB<br />

⇒ ⇒ (3)<br />

Từ ID = IK và ID 2 = IM. IN suy ra IK 2 = IM. IN<br />

⇒<br />

IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM<br />

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =<br />

IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB<br />

Từ (3) và (4) suy ra KM<br />

KN<br />

=<br />

DM<br />

DN<br />

c) Ta có ∆ AGB ∆ AEC ⇒<br />

∆ CGB ∆ AFC ⇒<br />

AF CG CG<br />

=<br />

AC CB AD<br />

AE AC<br />

= AB.AE = AC.AG<br />

AG AB<br />

= (vì CB = AD)<br />

⇒ AF . AD = AC. CG ⇒ AF . AD = (AG + CG) .CG (6)<br />

= = (4)<br />

⇒ ⇒ AB. AE = AG(AG + CG) (5)<br />

Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có: AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG<br />

⇔ AB. AE + AF. AD = AG 2 +2.AG.CG + CG 2 = (AG + CG) 2 = AC 2<br />

Vậy: AB. AE + AD. AF = AC 2<br />

Bài tập về nhà<br />

Bài 1<br />

Cho Hình bình hành ABCD, một đường thẳng cắt AB, AD, AC lần lượt tại E, F, G<br />

Chứng minh:<br />

AB AD AC<br />

+ =<br />

AE AF AG<br />

HD: Kẻ DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC)<br />

Bài 2:<br />

Qua đỉnh C của hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD ở E, G, F<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

chứng minh:<br />

a) DE 2 = FE<br />

EG . BE2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

68<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

b) CE 2 = FE. GE<br />

(Gợi ý: Xét các tam giác DFE và BCE, DEC và BEG)<br />

Bài 3<br />

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt nhau<br />

tại một điểm. Chứng minh rằng<br />

a)<br />

BH CM AD<br />

. . 1<br />

HC MA BD =<br />

b) BH = AC<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

69<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A.Mục tiêu:<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 14 – PHƯƠNG TRÌNH BẬC <strong>CAO</strong><br />

* Củng cố, ôn tập kiến thức và kỹ năng giải các Pt bậc cao bằng cách phân tích thành nhân<br />

tử<br />

* Khắc sâu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử và kỹ năng giải Pt<br />

B. Kiến thức và bài tập:<br />

I. Phương pháp:<br />

* Cách 1: Để giải các Pt bậc cao, ta biến đổi, rút gọn để dưa Pt về dạng Pt có vế trái là một<br />

đa thức bậc cao, vế phải bằng 0, vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân<br />

tử để đưa Pt về dạng pt tích để giải<br />

* Cách 2: Đặt ẩn phụ<br />

II. Các ví dụ:<br />

1.Ví dụ 1: Giải Pt<br />

a) (x + 1) 2 (x + 2) + (x – 1) 2 (x – 2) = 12<br />

⇔ ... ⇔ 2x 3 + 10x = 12 ⇔ x 3 + 5x – 6 = 0 ⇔ (x 3 – 1) + (5x – 5) ⇔ (x – 1)(x 2 + x + 6) = 0<br />

⎡x = 1<br />

⎡x - 1 = 0 ⎢<br />

⇔ 1 23 x 1<br />

x + x + 6 = 0 ⎢<br />

⇔ =<br />

⎣ x + + = 0<br />

⎢⎜ ⎟ ⎣ ⎝ 2 ⎠ 4<br />

2<br />

⇔ ⎢ 2<br />

⎛ ⎞<br />

b) x 4 + x 2 + 6x – 8 = 0 (1)<br />

(Vì<br />

2<br />

⎛ 1 ⎞ 23<br />

⎜ x + ⎟ + = 0<br />

⎝ 2 ⎠ 4<br />

vô nghiệm)<br />

Vế phải của Pt là một đa thức có tổng các hệ số bằng 0, nên có một nghiệm x = 1 nên có<br />

nhân tử là x – 1, ta có<br />

(1) ⇔ (x 4 – x 3 ) + (x 3 – x 2 ) + (2x 2 – 2x) + (8x – 8) = 0<br />

⇔ ... ⇔ (x – 1)(x 3 + x 2 + 2x + 8) ⇔ (x – 1)[(x 3 + 2x 2 ) – (x 2 + 2x) + (4x – 8) ] = 0<br />

⇔ (x – 1)[x 2 (x + 2) – x(x + 2) + 4(x + 2) = 0 ⇔ (x – 1)(x + 2)(x 2 – x + 4) = 0 ....<br />

c) (x – 1) 3 + (2x + 3) 3 = 27x 3 + 8<br />

⇔ x 3 – 3x 2 + 3x – 1 + 8x 3 + 36x 2 + 54x + 27 – 27x 3 – 8 = 0<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

⇔ - 18x 3 + 33x 2 + 57 x + 18 = 0 ⇔ 6x 3 - 11x 2 - 19x - 6 = 0 (2)<br />

Ta thấy Pt có một nghiệm x = 3, nên vế trái có nhân tử x – 3:<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

70<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

(2) ⇔ (6x 3 – 18x 2 ) + (7x 2 – 21x) + (2x – 6) = 0<br />

⇔ 6x 2 (x – 3) + 7x(x – 3) + 2(x – 3) = 0 ⇔ (x – 3)(6x 2 + 7x + 2) = 0<br />

⇔ (x – 3)[(6x 2 + 3x) + (4x + 2)] = 0 ⇔ (x – 3)[3x(2x + 1) + 2(2x + 1)] = 0<br />

⇔ (x – 3)(2x + 1)(3x + 2) .....<br />

d) (x 2 + 5x) 2 – 2(x 2 + 5x) = 24 ⇔ [(x 2 + 5x) 2 – 2(x 2 + 5x) + 1] – 25 = 0<br />

⇔ (x 2 + 5x - 1) 2 – 25 = 0 ⇔ (x 2 + 5x - 1 + 5)( (x 2 + 5x - 1 – 5) = 0<br />

⇔ (x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x – 6) = 0 ⇔ [(x 2 + x) +(4x + 4)][(x 2 – x) + (6x – 6)] = 0<br />

⇔ (x + 1)(x + 4)(x – 1)(x + 6) = 0 ....<br />

e) (x 2 + x + 1) 2 = 3(x 4 + x 2 + 1) ⇔ (x 2 + x + 1) 2 - 3(x 4 + x 2 + 1) = 0<br />

⇔ (x 2 + x + 1) 2 – 3(x 2 + x + 1)( x 2 - x + 1) = 0<br />

⇔ ( x 2 + x + 1)[ x 2 + x + 1 – 3(x 2 - x + 1)] = 0 ⇔ ( x 2 + x + 1)( -2x 2 + 4x - 2) = 0<br />

⇔ (x 2 + x + 1)(x 2 – 2x + 1) = 0 ⇔ ( x 2 + x + 1)(x – 1) 2 = 0...<br />

f) x 5 = x 4 + x 3 + x 2 + x + 2 ⇔ (x 5 – 1) – (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = 0<br />

⇔ (x – 1) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) – (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = 0<br />

⇔ (x – 2) (x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = 0<br />

+) x – 2 = 0 ⇔ x = 2<br />

+) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 ⇔ (x 4 + x 3 ) + (x + 1) + x 2 = 0 ⇔ (x + 1)(x 3 + 1) + x 2 = 0<br />

⇔ (x + 1) 2 (x 2 – x + 1) + x 2 = 0 ⇔ (x + 1) 2 [(x 2 – 2.x. 1 2 + 1 4 ) + 3 4 ] + x2 = 0<br />

⎡<br />

⎤<br />

2<br />

2<br />

⎛ 1 ⎞ 3<br />

⇔ (x + 1) 2 ⎢⎜<br />

x + ⎟ + ⎥<br />

⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ 4 ⎥⎦ + ⎛ ⎞<br />

x2 = 0 Vô nghiệm vì (x + 1) 2 ⎢⎜<br />

⎟<br />

⎢⎣<br />

⎝ ⎠<br />

không xẩy ra dấu bằng<br />

Bài 2:<br />

⎡<br />

1 3<br />

x + +<br />

2 4<br />

a) (x 2 + x - 2)( x 2 + x – 3) = 12 ⇔ (x 2 + x – 2)[( x 2 + x – 2) – 1] – 12 = 0<br />

⇔ (x 2 + x – 2) 2 – (x 2 + x – 2) – 12 = 0<br />

Đặt x 2 + x – 2 = y Thì<br />

(x 2 + x – 2) 2 – (x 2 + x – 2) – 12 = 0 ⇔ y 2 – y – 12 = 0 ⇔ (y – 4)(y + 3) = 0<br />

* y – 4 = 0 ⇔ x 2 + x – 2 – 4 = 0 ⇔ x 2 + x – 6 = 0 ⇔ (x 2 + 3x) – (2x + 6) = 0<br />

⎤<br />

⎥<br />

⎥<br />

⎦ ≥ 0 nhưng<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

71<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

⇔ (x + 3)(x – 2) = 0....<br />

* y + 3 = 0 ⇔ x 2 + x – 2 + 3 = 0 ⇔ x 2 + x + 1 = 0 (vô nghiệm)<br />

b) (x – 4)( x – 5)( x – 6)( x – 7) = 1680 ⇔ (x 2 – 11x + 28)( x 2 – 11x + 30) = 1680<br />

Đặt x 2 – 11x + 29 = y , ta có:<br />

(x 2 – 11x + 28)( x 2 – 11x + 30) = 1680 ⇔ (y + 1)(y – 1) = 1680 ⇔ y 2 = 1681 ⇔ y = ± 41<br />

y = 41 ⇔ x 2 – 11x + 29 = 41 ⇔ x 2 – 11x – 12 = 0 (x 2 – x) + (12x – 12) = 0<br />

⇔ (x – 1)(x + 12) = 0.....<br />

* y = - 41 ⇔ x 2 – 11x + 29 = - 41 ⇔ x 2 – 11x + 70 = 0 ⇔ (x 2 – 2x. 11 2 +121<br />

c) (x 2 – 6x + 9) 2 – 15(x 2 – 6x + 10) = 1 (3)<br />

Đặt x 2 – 6x + 9 = (x – 3) 2 = y ≥ 0, ta có<br />

(3) ⇔ y 2 – 15(y + 1) – 1 = 0 ⇔ y 2 – 15y – 16 = 0 ⇔ (y + 1)(y – 15) = 0<br />

Với y + 1 = 0 ⇔ y = -1 (loại)<br />

Với y – 15 = 0 ⇔ y = 15 ⇒ (x – 3) 2 = 16 ⇔ x – 3 = ± 4<br />

+ x – 3 = 4 ⇔ x = 7<br />

+ x – 3 = - 4 ⇔ x = - 1<br />

d) (x 2 + 1) 2 + 3x(x 2 + 1) + 2x 2 = 0 (4)<br />

Đặt x 2 + 1 = y thì<br />

4 )+159<br />

(4) ⇔ y 2 + 3xy + 2x 2 = 0 ⇔ (y 2 + xy) + (2xy + 2x 2 ) = 0 ⇔ (y + x)(y + 2x) = 0<br />

+) x + y = 0 ⇔ x 2 + x + 1 = 0 : Vô nghiệm<br />

+) y + 2x = 0 ⇔ x 2 + 2x + 1 = 0 ⇔ (x + 1) 2 = 0 ⇔ x = - 1<br />

Bài 3:<br />

a) (2x + 1)(x + 1) 2 (2x + 3) = 18 ⇔ (2x + 1)(2x + 2) 2 (2x + 3) = 72. (1)<br />

Đặt 2x + 2 = y, ta có<br />

(1) ⇔ (y – 1)y 2 (y + 1) = 72 ⇔ y 2 (y 2 – 1) = 72<br />

⇔ y 4 – y 2 – 72 = 0<br />

Đặt y 2 = z ≥ 0 Thì y 4 – y 2 – 72 = 0 ⇔ z 2 – z – 72 = 0 ⇔ (z + 8)( z – 9) = 0<br />

* z + 8 = 0 ⇔ z = - 8 (loại)<br />

4 = 0<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

72<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

* z – 9 = 0 ⇔ z = 9 ⇔ y 2 = 9 ⇔ y = ± 3 ⇒x = ...<br />

b) (x + 1) 4 + (x – 3) 4 = 82 (2)<br />

Đặt y = x – 1 ⇒x + 1 = y + 2; x – 3 = y – 2, ta có<br />

(2) ⇔ (y + 2) 4 + (y – 2) 4 = 82<br />

⇔ y 4 +8y 3 + 24y 2 + 32y + 16 + y 4 - 8y 3 + 24y 2 - 32y + 16 = 82<br />

⇔ 2y 4 + 48y 2 + 32 – 82 = 0 ⇔ y 4 + 24y 2 – 25 = 0<br />

Đặt y 2 = z ≥ 0 ⇒ y 4 + 24y 2 – 25 = 0 ⇔ z 2 + 24 z – 25 = 0 ⇔ (z – 1)(z + 25) = 0<br />

+) z – 1 = 0 ⇒ z = 1 ⇒y = ± 1 ⇒x = 0; x = 2<br />

+) z + 25 = 0 ⇔ z = - 25 (loại)<br />

Chú ý: Khi giải Pt bậc 4 dạng (x + a) 4 + (x + b) 4 = c ta thường đặt ẩn phụ y = x + a + b<br />

c) (4 – x) 5 + (x – 2) 5 = 32 ⇔ (x – 2) 5 – (x – 4) 5 = 32<br />

Đặt y = x – 3 ⇒x – 2 = y + 1; x – 4 = y – 1; ta có:<br />

(x – 2) 5 – (x – 4) 5 = 32 ⇔ (y + 1) 5 - (y – 1) 5 = 32<br />

⇔ y 5 + 5y 4 + 10y 3 + 10y 2 + 5y + 1 – (y 5 - 5y 4 + 10y 3 - 10y 2 + 5y - 1) – 32 = 0<br />

⇔ 10y 4 + 20y 2 – 30 = 0 ⇔ y 4 + 2y 2 – 3 = 0<br />

Đặt y 2 = z ≥ 0 ⇒ y 4 + 2y 2 – 3 = 0 ⇔ z 2 + 2z – 3 = 0 ⇔ (z – 1)(z + 3) = 0 ........<br />

d) (x - 7) 4 + (x – 8) 4 = (15 – 2x) 4<br />

Đặt x – 7 = a; x – 8 = b ; 15 – 2x = c thì - c = 2x – 15 ⇒ a + b = - c , Nên<br />

(x - 7) 4 + (x – 8) 4 = (15 – 2x) 4 ⇔ a 4 + b 4 = c 4 ⇔ a 4 + b 4 - c 4 = 0 ⇔ a 4 + b 4 – (a + b) 4 = 0<br />

⇔ 4ab(a 2 + 3 2 ab + b2 ) = 0 ⇔<br />

(Vì<br />

⎛ 3 ⎞ 7<br />

⎜ a + b ⎟ + b<br />

⎝ 4 ⎠ 16<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎡⎛<br />

3 ⎞ 7 ⎤<br />

2<br />

4ab ⎢⎜<br />

a + b ⎟ + b ⎥<br />

⎢⎣<br />

⎝ 4 ⎠ 16 ⎥⎦<br />

e) 6x 4 + 7x 3 – 36x 2 – 7x + 6 = 0 ⇔ 2 2<br />

(Vì x = 0 không là nghiệm). Đặt<br />

= 0 ⇔ 4ab = 0<br />

≥ 0 nhưng không xẩy ra dấu bằng) ⇔ ab = 0 ⇔ x = 7; x = 8<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />

6⎜ x + ⎟ + 7⎜ x - ⎟ − 36 = 0<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1<br />

1<br />

2<br />

x<br />

2<br />

x - = y ⇒ x + = y 2 + 2 , thì<br />

x<br />

2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

73<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠<br />

2<br />

6 x + + 7 x - − 36 = 0<br />

2<br />

⇔ 6(y 2 + 2) + 7y – 36 = 0 ⇔ 6y 2 + 7y – 24 = 0<br />

⇔ (6y 2 – 9y) + (16y – 24) = 0 ⇔ (3y + 8 )(2y – 3) = 0<br />

+) 3y + 8 = 0 ⇔ y = - 8 3 ⇔ x - 1 = - 8 ⎡x = - 3<br />

x 3 ⇔ ... ⇔ (x + 3)(3x – 1) = 0 ⇔ ⎡x + 3 = 0<br />

⇔ ⎢<br />

⎢<br />

1<br />

⎣3x - 1 = 0 ⎢x =<br />

⎣ 3<br />

+) 2y – 3 = 0 ⇔ y = 3 2 ⇔ 1<br />

x - = 3 ⎡x = 2<br />

x 2 ⇔ ... ⇔ (2x + 1)(x – 2) = 0 ⇔ ⎡x - 2 = 0<br />

⇔ ⎢<br />

Bài 4: Chứng minh rằng: các Pt sau vô nghiệm<br />

⎢<br />

1<br />

⎣2x + 1 = 0 ⎢x = -<br />

⎣ 2<br />

a) x 4 – 3x 2 + 6x + 13 = 0 ⇔ ( x 4 – 4x 2 + 4) +(x 2 + 6x + 9) = 0 ⇔ (x 2 – 2) 2 + (x + 3) 2 = 0<br />

Vế trái (x 2 – 2) 2 + (x + 3) 2 ≥ 0 nhưng không đồng thời xẩy ra x 2 = 2 và x = -3<br />

b) x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)( x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) = 0<br />

⇔ x 7 – 1 = 0 ⇔ x = 1<br />

x = 1 không là nghiệm của Pt x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0<br />

Bài tập về nhà:<br />

Bài 1: Giải các Pt<br />

a)(x 2 + 1) 2 = 4(2x – 1)<br />

HD: Chuyển vế, triển khai (x 2 + 1) 2 , phân tích thành nhân tử: (x – 1) 2 (x 2 + 2x + 5) = 0<br />

b) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 24 (Nhân 2 nhân tử với nhau, áp dụng PP đặt ẩn phụ)<br />

c) (12x + 7) 2 (3x + 2)(2x + 1) = 3 (Nhân 2 vế với 24, đặt 12x + 7 = y)<br />

d) (x 2 – 9) 2 = 12x + 1 (Thêm, bớt 36x 2 )<br />

e) (x – 1) 4 + (x – 2) 4 = 1 ( Đặt y = x – 1,5; Đs: x = 1; x = 2)<br />

f) (x – 1) 5 + (x + 3) 5 = 242(x + 1) (Đặt x + 1 = y; Đs:0; -1; -2 )<br />

g) (x + 1) 3 + (x - 2) 3 = (2x – 1) 3<br />

Đặt x + 1 = a; x – 2 = b; 1 - 2x = c thì a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc<br />

h) 6x 4 + 5x 3 – 38x 2 + 5x + 6 = 0 (Chia 2 vế cho x 2 ; Đặt y =<br />

1<br />

x + ) x<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

i) x 5 + 2x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 2x + 1 = 0 (Vế trái là đa thức có tổng các hệ số bậc chẵn<br />

bằng tổng các hệ số bậc lẻ...)<br />

74<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Bài 2: Chứng minh các pt sau vô nghiệm<br />

a) 2x 4 – 10x 2 + 17 = 0<br />

(Phân tích vế trái thành tổng của hai bình phương)<br />

b) x 4 – 2x 3 + 4x 2 – 3x + 2 = 0<br />

(Phân tích vế trái thành tích của 2 đa thức có giá trị không âm....)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

75<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 1 5 – SỬ DỤNG CÔNG THỨC DIỆN TÍCH ĐỂ <strong>THI</strong>ẾT<br />

A. Một số kiến thức:<br />

LẬP QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG<br />

1. Công thức tính diện tích tam giác:<br />

S = 1 2<br />

2. Một số tính chất:<br />

a.h (a – độ dài một cạnh, h – độ dài đường cao tương ứng)<br />

Ngày soạn:23 – 3 - 2010<br />

Hai tam giác có chung một cạnh, có cùng độ dài đường cao thì có cùng diện tích<br />

Hai tam giác bằng nhau thì có cùng diện tích<br />

B. Một số bài toán:<br />

1. Bài 1:<br />

Cho ∆ ABC có AC = 6cm; AB = 4 cm; các đường cao AH; BK; CI. Biết AH =<br />

Tính BC<br />

Giải<br />

Ta có: BK =<br />

2S<br />

⇒ BK + CI = 2. S ABC<br />

2S<br />

ABC<br />

AC ; CI = ABC<br />

AB<br />

⎛ 1 1 ⎞<br />

⎜ + ⎟<br />

⎝ AC AB ⎠<br />

⇔ 2AH = 2. 1 2 . BC. AH . ⎛ 1 1<br />

⎛ 1 1 ⎞<br />

⇒ BC = 2 : ⎜ + ⎟<br />

⎝ AC AB<br />

= 2 : ⎛ 1 1<br />

⎜ +<br />

⎠ ⎝ 6 4<br />

Bài 2:<br />

⎞<br />

⎜ + ⎟<br />

⎝ AC AB ⎠ ⇔ BC. ⎛ 1 1 ⎞<br />

⎜ + ⎟<br />

AC AB<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

= 4,8 cm<br />

⎝ ⎠ = 2<br />

CI + BK<br />

2<br />

Cho ∆ ABC có độ dài các cạnh là a, b, c; độ dài các đường cao tương ứng là h a , h b , h c . Biết<br />

rằng a + h a = b + h b = c + h c . Chứng minh rằng ∆ ABC là tam giác đều<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Giải<br />

Gọi S ABC = S<br />

B<br />

I<br />

A<br />

H<br />

K<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

76<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Ta xét a + h a = b + h b ⇒ a – b = h a – h b =<br />

2S 2S 1 1 a - b<br />

- 2S. ⎛ ⎞<br />

= ⎜ - ⎟ = 2S.<br />

b a ⎝ b a ⎠ ab<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

⇒ a – b =<br />

a - b<br />

2S.<br />

ab<br />

⇒ (a – b)<br />

⎛ 2S ⎞<br />

⎜1 - ⎟<br />

⎝ ab ⎠<br />

= 0 ⇒ ∆ ABC cân ở C hoặc vuông ở C (1)<br />

Tương tự ta có: ∆ ABC cân ở A hoặc vuông ở A (2); ∆ ABC cân ở B hoặc vuông ở B (3)<br />

Từ (1), (2) và (3) suy ra ∆ ABC cân hoặc vuông ở ba đỉnh (Không xẩy ra vuông tại ba<br />

đỉnh) ⇔ ∆ ABC là tam giác đều<br />

Bài 3:<br />

Cho điểm O nằm trong tam giác ABC, các tia AO, BO, Co cắt các cạnh của tam giác ABC<br />

theo thứ tự tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:<br />

a) OA' + OB' + OC' = 1 b) OA + OB + OC = 2<br />

AA' BB' CC'<br />

AA' BB' CC'<br />

c) M = OA + OB + OC = 6 . Tìm vị trí của O để tổng M có giá trị nhỏ nhất<br />

d) N =<br />

trị nhỏ nhất<br />

Giải<br />

OA' OB' OC'<br />

OA OB OC<br />

. . 8<br />

OA' OB' OC'<br />

= . Tìm vị trí của O để tích N có giá<br />

Gọi S ABC = S, S 1 = S BOC , S 2 = S COA , S 3 = S AOB . Ta có:<br />

OA S2<br />

S S + S<br />

= =<br />

OA' S S S<br />

3 2 3<br />

OA'C OA'B 1<br />

= (1)<br />

OA' SOA'C SOA'B SOA'C + SOA'B S1<br />

= = = =<br />

AA' S S S + S S<br />

AA'C AA'B AA'C AA'B<br />

OA<br />

AA'<br />

2 3<br />

Từ (1) và (2) suy ra =<br />

OB<br />

OB'<br />

Tương tự ta có<br />

1 3<br />

a)<br />

3<br />

2<br />

S<br />

+ S<br />

S<br />

OA' OB' OC' S<br />

+ + = + + = S = 1<br />

AA' BB' CC' S S S S<br />

(2)<br />

S + S OC S1 + S2<br />

OB' S2<br />

OC' S3<br />

= ; = ; = ; =<br />

S OC' S BB' S CC' S<br />

1<br />

S2 S<br />

OA OB OC S + S S + S S + S 2S<br />

+ + = + + = = 2<br />

AA' BB' CC' S S S S<br />

b)<br />

2 3 1 3 1 2<br />

3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

B<br />

C'<br />

A<br />

O<br />

A'<br />

B'<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

77<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

OA OB OC S + S S + S S + S ⎛ S S ⎞ ⎛ S S ⎞ ⎛ S S ⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />

OA' OB' OC' S1 S2 S3 ⎝ S2 S1 ⎠ ⎝ S2 S3 ⎠ ⎝ S3 S1<br />

⎠<br />

2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 1 3<br />

c) M = + + = + + = + + + + +<br />

⎛ S S ⎞ ⎛ S S ⎞ ⎛ S S ⎞<br />

⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ≥ 2 + 2 + 2 = 6<br />

S S S S S S<br />

1 2 3 2 1 3<br />

Aùp dụng Bđt Cô si ta có<br />

⎝ 2 1 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 1 ⎠<br />

Đẳng thức xẩy ra khi S 1 = S 2 = S 3 ⇔ O là trọng tâm của tam giác ABC<br />

d) N =<br />

( S + S )( S + S )( S + S )<br />

S2 + S3 S1 + S3 S1 + S2<br />

. . =<br />

S S S S .S .S<br />

2 3 1 3 1 2<br />

1 2 3 1 2 3<br />

⇒ N 2 = ( ) 2 ( ) 2 ( )<br />

2<br />

S2 + S3 S1 + S3 S1 + S2 4S1S 2.4S2S 3.4S1S<br />

3<br />

≥ ≥ 64 ⇒ N ≥ 8<br />

2 2<br />

( S .S .S ) ( S .S .S )<br />

1 2 3 1 2 3<br />

Đẳng thức xẩy ra khi S 1 = S 2 = S 3 ⇔ O là trọng tâm của tam giác ABC<br />

Bài 4:<br />

Cho tam giác đều ABC, các đường caoAD, BE, CF; gọi A’, B’, C’ là hình chiếu của M<br />

(nằm bên trong tam giác ABC) trên AD, BE, CF. Chứng minh rằng: Khi M thay đổi vị trí<br />

trong tam giác ABC thì:<br />

a) A’D + B’E + C’F không đổi<br />

b) AA’ + BB’ + CC’ không đổi<br />

Giải<br />

Gọi h = AH là chiều cao của tam giác ABC thì h không đổi<br />

Gọi khoảng cách từ M đến các cạnh AB; BC; CA là MP; MQ; MR thì A’D + B’E + C’F =<br />

MQ + MR + MP<br />

Vì M nằm trong tam giác ABC nên<br />

S BMC + S CMA + S BMA = S ABC<br />

⇔ BC.(MQ + MR + MP) = BC . AH<br />

⇒ MQ + MR + MP = AH ⇒ A’D + B’E + C’F = AH = h<br />

Vậy: A’D + B’E + C’F = AH = h không đổi<br />

b) AA’ + BB’ + CC’ = (AH – A’D)+(BE – B’E) (CF – C’F)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

= (AH + BE + CF) – (A’D + B’E + C’F) = 3h – h = 2h không đổi<br />

Bài 5:<br />

B<br />

P<br />

F<br />

B'<br />

M<br />

Q<br />

C'<br />

A<br />

A'<br />

D<br />

E<br />

R<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

C<br />

78<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Cho tam giác ABC có BC bằng trung bình cộng của AC và AB; Gọi I là giao điểm của các<br />

phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh: IG // BC<br />

Giải<br />

Gọi khoảng cách từ a, I, G đến BC lần lượt là AH, IK, GD<br />

Vì I là giap điểm của ba đường phân giác nên khoảng cách từ<br />

I đến ba cạnh AB, BC, CA bằng nhau và bằng IK<br />

Vì I nằm trong tam giác ABC nên:<br />

S ABC = S AIB + S BIC + S CIA ⇔ BC.AH = IK(AB+BC+CA) (1)<br />

Mà BC =<br />

AB + CA<br />

2<br />

⇒ AB + CA = 2 BC (2)<br />

Thay (2) vào (1) ta có: BC. AH = IK. 3BC ⇒ IK = 1 AH (a)<br />

3<br />

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:<br />

S BGC = 1 3 S ABC ⇔ BC . GD = 1 3 BC. AH ⇒ GD = 1 3<br />

AH (b)<br />

Từ (a) và (b) suy ra IK = GD hay khoảng cách từ I, G đến BC bằng nhau nên IG // BC<br />

Bài tập về nhà:<br />

1) Cho C là điểm thuộc tia phân giác của 0<br />

xOy = 60 , Mlà điểm bất kỳ nằm trên đường<br />

vuông góc với OC tại C và thuộc miền trong của xOy , gọi MA, MB thứ tự là khoảng cách<br />

từ M đến Ox, Oy. Tính độ dài OC theo MA, MB<br />

2) Cho M là điểm nằm trong tam giác đều ABC. A’, B’, C’ là hình chiếu của M trên các<br />

cạnh BC, AC, AB. Các đường thẳng vuông góc với BC tại C, vuông góc với CA tại A ,<br />

vuông góc với AB tại B cắt nhau ở D, E, F. Chứng minh rằng:<br />

a) Tam giác DEF là tam giác đều<br />

B H<br />

b) AB’ + BC’ + CA’ không phụ thuộc vị trí của M trong tam giác ABC<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

A<br />

I<br />

K<br />

G<br />

D<br />

M<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

79<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 16 – BẤT ĐẲNG THỨC<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Phần I : các kiến thức cần lưu ý<br />

1-Đinhnghĩa:<br />

2-tính chất<br />

+ A>B ⇔ B < A<br />

⎧A ≥ B ⇔ A − B ≥ 0<br />

⎨<br />

⎩A ≤ B ⇔ A − B ≤ 0<br />

+ A>B và B >C ⇔ A > C<br />

+ A>B ⇒ A + C >B + C<br />

+ A>B và C > D ⇒ A +C > B + D<br />

+ A>B và C > 0 ⇒ A.C > B.C<br />

+ A>B và C < 0 ⇒ A.C < B.C<br />

+ 0 < A < B và 0 < C < D ⇒ 0 < A.C < B.D<br />

3 - một số hằng bất đẳng thức<br />

+ A 2 ≥ 0 với ∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )<br />

+ A n ≥ 0 với∀ A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )<br />

+ ≥ 0<br />

A với ∀ A (dấu = xảy ra khi A = 0 )<br />

+ - A < A = A<br />

+ A B A B<br />

+ ≥ + ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)<br />

+ A B ≤ A − B<br />

− ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)<br />

+ A > B > 0 ⇒ A n > B n ∀ n<br />

+ A > B ⇒ A n > B n với n lẻ<br />

+ A > B ⇒ A n > B n với n chẵn<br />

+ m > n > 0 và A > 1 ⇒ A m > A n<br />

+ m > n > 0 và 0 0 ⇒<br />

Phần II : một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức<br />

1) Phương pháp 1: dùng định nghĩa<br />

Kiến thức : Để chứng minh A > B Ta chứng minh A – B > 0<br />

Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 ≥ 0 với ∀ M<br />

Ví dụ 1 ∀ x, y, z chứng minh rằng :<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

a) x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx<br />

b) x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz<br />

1 ><br />

A<br />

1<br />

B<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

80<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Giải:<br />

a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx =<br />

1 2 2 2<br />

= ⎡( x − y) + ( x − z) + ( y − z)<br />

⎤<br />

2 ⎣ ⎦<br />

≥ 0 đúng với mọi x;y;z ∈ R<br />

Vì (x-y) 2 ≥0 với∀x ; y .Dấu bằng xảy ra khi x = y<br />

(x- z) 2 ≥0 với∀x ; z . Dấu bằng xảy ra khi x = z<br />

(y- z) 2 ≥0 với∀ z; y . Dấu bằng xảy ra khi z = y<br />

1 .2 .( x<br />

2<br />

+ y 2 + z 2 - xy – yz – zx)<br />

2<br />

Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx . Dấu bằng xảy ra khi x = y =z<br />

b)Ta xét hiệu:<br />

x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2 ≥ 0<br />

đúng với mọi x;y;z<br />

∈ R<br />

Vậy x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z∈<br />

R<br />

Dấu bằng xảy ra khi x + y = z<br />

Ví dụ 2: chứng minh rằng :<br />

a)<br />

giải<br />

a<br />

2 2<br />

+ b a b<br />

2<br />

⎛ +<br />

≥ ⎜<br />

⎝ 2<br />

a) Ta xét hiệu<br />

a<br />

2 2<br />

+ b a b<br />

2<br />

⎛ +<br />

− ⎜<br />

⎝ 2<br />

Vậy<br />

a<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

; b)<br />

a<br />

2 2<br />

2( + b )<br />

=<br />

2 2<br />

+ b a b<br />

2<br />

b)Ta xét hiệu:<br />

Vậy<br />

a<br />

c)Tổng quát:<br />

a<br />

⎛ +<br />

≥ ⎜<br />

⎝ 2<br />

2 2 2<br />

+ b + c a + b c<br />

3<br />

2<br />

a a + 2ab<br />

+ b<br />

−<br />

4<br />

4<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

2 2 2<br />

+ b + c a + b c<br />

3<br />

⎛ +<br />

≥ ⎜<br />

⎝ 3<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

Dấu bằng xảy ra khi a = b<br />

⎛ +<br />

− ⎜<br />

⎝ 3<br />

2 2 2<br />

+ b + c a + b c<br />

3<br />

a<br />

a<br />

⎛ +<br />

≥ ⎜<br />

⎝ 3<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2 2<br />

2<br />

1<br />

+<br />

2<br />

+ .... +<br />

n 1<br />

+<br />

2<br />

+ ....<br />

n<br />

a<br />

≥<br />

2<br />

2<br />

c) Hãy tổng quát bài toán<br />

= 1 2 2 2<br />

( 2a 2b<br />

− a − b<br />

2 − 2ab)<br />

4<br />

1 a − b<br />

2<br />

4<br />

≥<br />

+ = ( ) 0<br />

[ ] ≥ 0<br />

1 2<br />

2<br />

2<br />

= ( a − b) + ( b − c) + ( c − a)<br />

9<br />

Dấu bằng xảy ra khi a = b =c<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

⎛ a a +<br />

⎜<br />

⎝ n<br />

a<br />

n<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

81<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

* Tóm lại các bước để chứng minh A ≥B theo định nghĩa<br />

Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B<br />

Bước 2:Biến đổi H = (C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2<br />

Bước 3: Kết luận A ≥ B<br />

2) phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương<br />

Lưu ý:<br />

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất<br />

đẳng thức đã được chứng minh là đúng.<br />

Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng<br />

2<br />

b<br />

a) a + ≥ ab 4<br />

Giải:<br />

2 b) a 2 2<br />

+ b + 1 ≥ ab + a + b c) 2 2 2 2 2<br />

a + b + c + d + e ≥ a ( b + c + d + e )<br />

2<br />

2 b<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

a) a + ≥ ab ⇔ 4a + b ≥ 4ab<br />

⇔ 4 − 4a<br />

+ b ≥ 0<br />

4<br />

Vậy<br />

2<br />

b<br />

a<br />

2 + ≥ ab (dấu bằng xảy ra khi 2a = b)<br />

4<br />

2<br />

b) a + b + 1 ≥ ab + a + b<br />

2 2 2<br />

⇔ 2( a + b + 1 ) > 2( ab + a + b )<br />

a ⇔ ( 2a − b) 2 ≥ 0 (Bđt này luôn đúng)<br />

2<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⇔ a − 2ab<br />

+ b + a − 2a<br />

+ 1+<br />

b − 2b<br />

+ 1 ≥ 0 ⇔ ( − b)<br />

+ ( a −1)<br />

+ ( b −1)<br />

≥ 0<br />

Vậy<br />

2<br />

a + b + 1 ≥ ab + a + b<br />

2 Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1<br />

a (luôn đúng)<br />

2 2 2 2 2<br />

2 2 2 2 2<br />

c) a + b + c + d + e ≥ a( b + c + d + e)<br />

⇔ 4( a + b + c + d + e ) ≥ 4a( b + c + d + e)<br />

a<br />

ab<br />

b<br />

a<br />

ac<br />

c<br />

2<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2<br />

2<br />

⇔ ( − 4 + 4 ) + ( − 4 + 4 ) + ( − 4 + 4 ) + ( − 4 + 4 ) ≥ 0<br />

a<br />

b<br />

2<br />

a<br />

c<br />

2<br />

⇔ ( − 2 ) + ( − 2 ) + ( − 2 ) + ( − 2 ) ≥ 0<br />

a<br />

10 10 2 2 8 8 4 4<br />

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ( a + b )( a + b ) ≥ ( a + b )( a + b )<br />

Giải:<br />

10 10 2 2 8 8 4 4<br />

( a b )( a + b ) ≥ ( a + b )( a + b )<br />

+ ⇔<br />

8 2 2 2 2 8 2 2<br />

⇔ ( − ) + ( − ) ≥ 0<br />

d<br />

2<br />

a<br />

a<br />

c<br />

2<br />

ad<br />

d<br />

12 10 2 2 10 12 12 8 4 4 8<br />

a + a b + a b + b ≥ a + a b + a b +<br />

a b a b a b b a ⇔ a 2 b 2 (a 2 -b 2 )(a 6 -b 6 ) ≥ 0 ⇔ a 2 b 2 (a 2 -b 2 ) 2 (a 4 + a 2 b 2 +b 4 ) ≥ 0<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Ví dụ 4: cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:<br />

a<br />

ac<br />

⎧ x.<br />

y.<br />

z = 1<br />

⎪<br />

⎨1<br />

1 1<br />

+ + < x + y + z<br />

⎪⎩ x y z<br />

c<br />

b<br />

12<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

82<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Chứng minh rằng : có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1<br />

Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1) = xyz + (xy + yz + zx) + x + y + z - 1<br />

= (xyz - 1) + (x + y + z) - xyz(<br />

(vì<br />

1<br />

x<br />

dương.<br />

1 1<br />

+<br />

y z<br />

1<br />

x<br />

1 1<br />

+<br />

y z<br />

+ ) = x + y + z - ( + + ) > 0<br />

+ < x+y+z theo gt) → 2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là<br />

Nếủ trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 →x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z =1 bắt buộc phải<br />

xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1<br />

3) Phương pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc<br />

A) một số bất đẳng thức hay dùng<br />

1) Các bất đẳng thức phụ:<br />

2 2<br />

a) x + y ≥ 2xy<br />

b) x + y<br />

2 ≥ xy<br />

c) ( x + y) 2 ≥ 4xy<br />

d) ≥ 2<br />

2)Bất đẳng thức Cô sy:<br />

2 dấu( = ) khi x = y = 0<br />

a b<br />

+<br />

b a<br />

a<br />

1<br />

+ a<br />

3)Bất đẳng thức Bunhiacopski<br />

4) Bất đẳng thức Trê-bư - sép:<br />

Nếu<br />

Nếu<br />

2<br />

+ a<br />

3<br />

n<br />

+ .... + a<br />

n<br />

≥<br />

n<br />

a a a .... a<br />

1<br />

2<br />

3<br />

n<br />

1<br />

x<br />

1<br />

y<br />

1<br />

z<br />

Với a > 0<br />

2 2<br />

2 2 2 2<br />

( a + a + + a )( . x + x + .... + ) ≥ ( a x + a x + + a x ) 2<br />

⎧ a ≤ b ≤ c<br />

⎨<br />

⎩A<br />

≤ B ≤ C<br />

⎧ a ≤ b ≤ c<br />

⎨<br />

⎩A<br />

≥ B ≥ C<br />

Dấu bằng xảy ra khi<br />

B) các ví dụ<br />

ví dụ 1<br />

....<br />

n n<br />

2 2<br />

n 1 2 n 1 1 2 2<br />

....<br />

⇒<br />

⇒<br />

⎧ a = b = c<br />

⎨<br />

⎩A<br />

= B = C<br />

aA + bB + cC a + b + c A + B + C<br />

≥ .<br />

3<br />

3 3<br />

aA + bB + cC a + b + c A + B + C<br />

≤ .<br />

3<br />

3 3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b) (b+c)(c+a) ≥ 8abc<br />

i<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

83<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: ( x + y) 2 ≥ 4xy<br />

Tacó ( a + b) 2 ≥ 4ab<br />

; ( b + c) 2 ≥ 4bc<br />

; ( c + a) 2 ≥ 4ac<br />

⇒ ( a + b) 2<br />

( b + c) 2<br />

( c + a) 2<br />

≥ 64a 2 b<br />

2 c<br />

2 = ( 8abc) 2<br />

⇒ (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc<br />

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c<br />

2 2 2<br />

ví dụ 2: Cho a > b > c > 0 và a + b + c = 1 chứng minh rằng<br />

Do a,b,c đối xứng , giả sử a ≥ b ≥ c ⇒<br />

áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có<br />

2 2 2<br />

⎪<br />

⎧ a ≥ b ≥ c<br />

⎨ a b c<br />

≥ ≥<br />

⎪⎩ b + c a + c a + b<br />

2 2 2<br />

2 a 2 b 2 c a + b + c ⎛ a b c ⎞ 1 3 1<br />

a . + b . + c . ≥<br />

. ⎜ + + ⎟= . =<br />

b + c a + c a + b 3 ⎝ b + c a + c a + b ⎠ 3 2 2<br />

Vậy<br />

3 3 3<br />

a b c 1<br />

+ + ≥<br />

b + c a + c a + b 2<br />

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =<br />

ví dụ 3: Cho a,b,c,d > 0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :<br />

Ta có<br />

a<br />

( b + c) + b( c + d ) + d( c + ) ≥ 10<br />

2 2 2 2<br />

+ b + c + d + a<br />

a<br />

2 2<br />

2 2<br />

a + b ≥ 2ab; c + d ≥ 2cd<br />

Do abcd =1 nên cd = ab<br />

1<br />

(dùng<br />

1 1<br />

x + ≥ ) x 2<br />

1<br />

ab<br />

2 2 2<br />

Ta có a + b + c ≥ 2( ab + cd)<br />

= 2( ab + ) ≥ 4 (1)<br />

Mặt khác: a ( b + c) + b( c + d ) + d( c + a)<br />

= (ab + cd) + (ac + bd) + (bc + ad)<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞<br />

= ⎜ + ⎟ + ⎜ac<br />

+ ⎟ + ⎜bc<br />

+ ⎟ ≥ 2 + 2 + 2<br />

⎝ ab ⎠ ⎝ ac ⎠ ⎝ bc ⎠<br />

a<br />

3 3 3<br />

a b c 1<br />

+ + ≥<br />

b + c a + c a + b 2<br />

+ b + c + d + a b + c + b c + d + d c + a<br />

2 2 2 2<br />

ab ⇒ ( ) ( ) ( ) 10<br />

ví dụ 4: Chứng minh rằng :<br />

2 2 2<br />

a + b + c ≥ ab + bc + ac<br />

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski<br />

Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có ( 1 2 + 1<br />

2 + 1<br />

2 )(<br />

a 2 + b<br />

2 + c<br />

2 ) ≥ ( 1. a + 1. b + 1 . c) 2<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2 2 2 2 2<br />

⇒ 3 ( a + b + c ) ≥ a + b + c + 2( ab + bc + ac)<br />

2 ⇒ 2 2<br />

a + b + c ≥ ab + bc + ac<br />

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c<br />

4) Phương pháp 4: dùng tính chất của tỷ số<br />

1<br />

3<br />

2<br />

(đpcm)<br />

≥<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

84<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A. Kiến thức<br />

1) Cho a, b ,c là các số dương thì<br />

a<br />

b<br />

a – Nếu > 1<br />

thì<br />

a<br />

b<br />

2) Nếu b,d >0 thì từ<br />

B. Các ví dụ:<br />

a + c<br />

b + c<br />

> b – Nếu < 1<br />

a c a a + c c<br />

< ⇒ < <<br />

b d b b + d d<br />

a<br />

b<br />

a<br />

a + b + c<br />

thì<br />

a a + c<br />

<<br />

b b + c<br />

b<br />

b + c + d<br />

c<br />

c + d + a<br />

d<br />

d + a + b<br />

ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng : 1 < + + + < 2<br />

Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có<br />

Mặt khác :<br />

Từ (1) và (2) ta có<br />

Tương tự ta có :<br />

a<br />

a<br />

><br />

a + b + c a + b + c + d<br />

a<br />

a + b + c + d<br />

<<br />

a<br />

<<br />

a + b + c<br />

a<br />

a + b + c<br />

<<br />

a a + d<br />

⇒ <<br />

a + b + c a + b + c + d<br />

1 (1)<br />

(2)<br />

a + d<br />

a + b + c + d<br />

b b b + a<br />

< <<br />

a + b + c + d b + c + d a + b + c + d<br />

c c b + c<br />

< <<br />

a + b + c + d c + d + a a + b + c + d<br />

(5);<br />

cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có<br />

a b c d<br />

1 < + + + < 2<br />

a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b<br />

ví dụ 2 : Cho: b<br />

a < d<br />

c và b,d > 0<br />

Chứng minh rằng b<br />

a <<br />

Giải:<br />

Từ b<br />

a < d<br />

c<br />

ab + cd<br />

2 2<br />

b + d<br />

ab cd <<br />

b d<br />

c<br />

<<br />

d<br />

(4)<br />

(3)<br />

d d d + c<br />

< <<br />

a + b + c + d d + a + b a + b + c + d<br />

(đpcm)<br />

ab ab + cd cd c a ab + cd c<br />

⇒<br />

2 < <<br />

b b + d d b<br />

2<br />

b + d d<br />

⇒<br />

2 2 ⇒ < < =<br />

2 2 2 d<br />

2<br />

(đpcm)<br />

ví dụ 3 : Cho a;b;c;d là các số nguyên dương thỏa mãn : a + b = c+d =1000<br />

tìm giá trị lớn nhất của<br />

a b +<br />

c d<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

giải : Không mất tính tổng quát ta giả sử : c<br />

a<br />

b<br />

≤<br />

d<br />

a a + b b a<br />

⇒ ≤ ≤ ; ≤ 1<br />

c c + d d c<br />

(6)<br />

vì a + b = c + d<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

85<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

b<br />

a, Nếu: b ≤ 998 thì d<br />

b, Nếu: b = 998 thì a =1 ⇒<br />

≤ 998 ⇒<br />

c<br />

a + ≤ 999<br />

c<br />

b<br />

d<br />

a b 999<br />

+ =<br />

c d c d<br />

b<br />

d<br />

1 + Đạt giá trị lớn nhất khi d = 1; c = 999<br />

a 1<br />

Vậy: giá trị lớn nhất của + = 999 + khi a = d = 1; c = b = 999<br />

999<br />

Ví dụ 4 : Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng :<br />

Ta có<br />

Do đó:<br />

1 1 1<br />

> =<br />

n + k n + n 2n<br />

với k = 1,2,3,…,n-1<br />

1 1 1 1 1 n 1<br />

+ + ... + > + ... + = =<br />

n + 1 n + 2 2n<br />

2n<br />

2n<br />

2n<br />

2<br />

1<br />

2<br />

1<br />

3<br />

1<br />

4<br />

1 1 1 1 3<br />

< + + .... + <<br />

2 n + 1 n + 2 n + n 4<br />

Ví dụ 5: CMR: A = 1+ + + + ........ + với n ≥ 2 không là số tự nhiên<br />

2 2 2<br />

2<br />

1<br />

n<br />

1 < 1 ; 1 <<br />

1 ;.....<br />

2 1.2. 3 2.3<br />

HD:<br />

2 2<br />

Ví dụ 6: Cho a ,b ,c ,d > 0 .Chứng minh rằng :<br />

Giải :<br />

a + b b + c c + d d + a<br />

2 < + + + < 3<br />

a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b<br />

Vì a ,b ,c ,d > 0 nên ta có:<br />

a + b a + b a + b + d<br />

< <<br />

a + b + c + d a + b + c a + b + c + d<br />

b + + c b + c b + c + a<br />

< <<br />

a + b + c + d b + c + d a + b + c + d<br />

d + a d + a d + a + c<br />

< <<br />

a + b + c + d d + a + b a + b + c + d<br />

Cộng các vế của 4 bất đẳng thức trên ta có :<br />

a + b b + c c + d d + a<br />

2 < + + + < 3<br />

a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b<br />

5. Phương pháp 5:Dùng bất đẳng thức trong tam giác<br />

Lưu ý: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a; b; c > 0<br />

Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a<br />

Ví dụ1:<br />

(1)<br />

(2)<br />

(3)<br />

(đpcm)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

86<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Cho a; b; clà số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng<br />

a, a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ac)<br />

b, abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b)<br />

Giải<br />

a)Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có<br />

⎧0<br />

< a < b + c<br />

⎪<br />

⎨0<br />

< b < a + c<br />

⎪<br />

⎩0<br />

< c < a + b<br />

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ac)<br />

2 2<br />

2<br />

b) Ta có a > ⎢b-c ⎪ ⇒ a > a − ( b − c) > 0<br />

2 2<br />

2<br />

b > ⎢a-c ⎪ ⇒ b > b − ( c − a) > 0<br />

2 2<br />

2<br />

c > ⎢a-b ⎪ ⇒ c > c − ( a − b)<br />

> 0<br />

⇒<br />

⎧a<br />

⎪<br />

⎨b<br />

⎪<br />

⎩<br />

c<br />

2<br />

2<br />

2<br />

< a(<br />

b + c)<br />

< b(<br />

a + c)<br />

< c(<br />

a + b)<br />

2 2 2 2 2 2<br />

Nhân vế các bất đẳng thức ta được: a b c > a − ( b − c) b − ( c − a) c − ( a − b)<br />

⎡ 2 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎡ 2 ⎤<br />

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />

2 2 2<br />

( ) ( ) ( ) ( ).( ).( )<br />

⇒ > + − + − + − ⇒ > + − + − + −<br />

2 2 2<br />

a b c a b c b c a c a b abc a b c b c a c a b<br />

Ví dụ2: (đổi biến số)<br />

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng<br />

Đặt x= b + c ; y= c + a ;z = a + b ta có a =<br />

ta có (1) ⇔<br />

y + z − x z + x − y x + y − z<br />

+ +<br />

2x<br />

2y<br />

2z<br />

y x z x z y<br />

⇔ ( + ) + ( + ) + ( + ) ≥ 6<br />

x y x z y z<br />

Ví dụ 3: (đổi biến số)<br />

y + z − x<br />

2<br />

; b =<br />

a b c 3<br />

+ + ≥<br />

b + c c + a a + b 2<br />

z + x − y<br />

2<br />

; c =<br />

x + y − z<br />

2<br />

3 y z x z x y<br />

≥ ⇔ + −1+<br />

+ −1+<br />

+ −1<br />

≥ 3<br />

2 x x y y z z<br />

là Bđt đúng?<br />

1 1 1<br />

+ 2bc<br />

2<br />

b + 2ac<br />

2<br />

c + 2ab<br />

Cho a, b, c > 0 và a + b + c 0<br />

87<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Theo bất đẳng thức Côsi ta có:<br />

1 1 1<br />

x + y + z ≥ 3. 3 xyz và + + ≥<br />

x y z<br />

6) phương pháp làm trội :<br />

Chứng minh BĐT sau :<br />

Giải :<br />

3. . 3<br />

a) 1 1 ...<br />

1 1<br />

1.3 + 3.5 + + (2n<br />

− 1).(2n<br />

+ 1) < 2<br />

b)<br />

1 1 1<br />

1 + + + ... + < 2<br />

1.2 1.2.3 1.2.3.....n<br />

( k )<br />

a) Ta có : .<br />

( ) ( )<br />

1<br />

⎛ 1<br />

⎜<br />

⎝ x<br />

1<br />

y<br />

1 ⎞<br />

⎟<br />

z ⎠<br />

xyz ⇒ ( x + y + z ) . + + ≥ 9<br />

1 1 2 + 1 − (2k<br />

−1)<br />

1 ⎛ 1 1 ⎞<br />

= = ⎜ − ⎟<br />

2n − 1 . 2n + 1 2 (2k − 1).(2k + 1) 2 ⎝ 2k − 1 2k<br />

+ 1⎠<br />

Cho n chạy từ 1 đến k .Sau đó cộng lại ta có<br />

b) Ta có :<br />

<<br />

Bài tập về nhà:<br />

1 1 1 1 ⎛ 2 ⎞ 1<br />

+ + ... + = . ⎜1− ⎟ <<br />

1.3 3.5 (2n − 1).(2n + 1) 2 ⎝ 2n<br />

+ 1⎠<br />

2<br />

1 1 1 1 1 1<br />

1 + ... 1 .....<br />

1.2 + 1.2.3 + + 1.2.3..... n < + 1.2 + 1.2.3 + + n 1 . n<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1<br />

1+ ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + .... + ⎜ − ⎟ < 2 − < 2<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ n −1<br />

n ⎠ n<br />

1) Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 +3 ≥ 2 (x + y + z)<br />

( − )<br />

(đpcm)<br />

(đpcm)<br />

HD: Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1<br />

a b c<br />

b + c c + a a + b<br />

2) Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : 1 < + + < 2<br />

(HD:<br />

3) 1 <<br />

a a + a 2a<br />

< =<br />

b + c a + b + c a + b + c<br />

và<br />

a a<br />

><br />

b + c a + b + c<br />

)<br />

1 1 1 1 1<br />

... ...<br />

n + 1 n + 2 2n + 1 3n 3n + 1<br />

+ + + + + + < 2<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

áp dụng phương pháp làm trội<br />

4) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng<br />

bc ac ab<br />

+ + ≥ a + b + c<br />

a b c<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

88<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

HD:<br />

bc ac<br />

a b<br />

+ = c<br />

⎛ b a ⎞<br />

⎜ + ⎟<br />

⎝ a b ⎠<br />

ac ab<br />

≥ 2c;<br />

b c<br />

+ ? ;<br />

bc ab<br />

+ ?<br />

a c<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 17 – VẼ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG ĐỂ TẠO THÀNH<br />

A.Phương pháp:<br />

CÁC CẶP ĐOẠN THẲNG TỶ LỆ<br />

Trong các bài tập vận dụng định lí Talét. Nhiều khi ta cần vẽ thêm đường phlà một đường<br />

thẳng song song với một đường thẳng cho trước,. Đây là một cách vẽ đường phụ ïhay<br />

dùng, vì nhờ đó mà tạo thành được các cặp đoạn thẳng tỉ lệ<br />

B. Các ví dụ:<br />

1) Ví dụ 1:<br />

Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, lấy tương ứng các điểm P, Q, R sao cho<br />

ba đường thẳng AP, BQ, CR cắt nhau tại một điểm.<br />

Chứng minh:<br />

Giải<br />

AR BP CQ<br />

. . 1<br />

RB PC QA<br />

= (Định lí Cê – va)<br />

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt các đường thẳng<br />

CR, BQ tại E, F. Gọi O là giao điểm của AP, BQ, CR<br />

∆ ARE ∆ BRC ⇒<br />

∆ BOP ∆ FOA ⇒<br />

∆ POC ∆ AOE ⇒<br />

Từ (1) và (2) suy ra:<br />

∆ AQF ∆ CQB ⇒<br />

AR AE<br />

=<br />

RB<br />

BC (a)<br />

BP OP<br />

=<br />

FA OA (1)<br />

PC PO<br />

=<br />

AE AO = (2)<br />

BP PC BP FA<br />

=<br />

FA AE PC AE<br />

CQ BC<br />

=<br />

AQ<br />

⇒ = (b)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

FA (c)<br />

E<br />

B<br />

R<br />

A<br />

O<br />

P<br />

Q<br />

F<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

C<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Nhân (a), (b), (c) vế theo vế ta có:<br />

AR BP CQ AE FA BC<br />

. . = . . = 1<br />

RB PC QA BC AE FA<br />

89<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

* Đảo lại: Nếu<br />

AR BP CQ<br />

. . 1<br />

RB PC QA<br />

= thì bai đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

2) Ví dụ 2:<br />

Một đường thăng bất kỳ cắt các cạnh( phần kéo dài của các cạnh) của tam giác ABC tại P,<br />

Q, R.<br />

Chứng minh rằng: RB.QA.PC = 1(Định lí Mê-nê-la-uýt)<br />

Giải:<br />

RA.CQ.BP<br />

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt PR tại E. Ta có<br />

∆ RAE ∆ RBP ⇒<br />

∆ AQE ∆ CQP ⇒<br />

RB BP<br />

=<br />

RA<br />

AE (a)<br />

QA AE<br />

=<br />

QC<br />

CP (b)<br />

Nhân vế theo vế các đẳng thức (a) và (b) ta có<br />

RB QA BP AE<br />

. = .<br />

RA QC AE CP (1)<br />

Nhân hai vế đẳng thức (1) với PC<br />

BP<br />

ta có:<br />

RB PC QA BP AE PC<br />

. . = . . 1<br />

RA BP QC AE CP BP =<br />

Đảo lại: Nếu RB.QA.PC = 1 thì ba điểm P, Q, R thẳng hàng<br />

3) Ví dụ 3:<br />

RA.CQ.BP<br />

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Đường thẳng qua<br />

I song song với AC cắt AB ở K; đường thẳng qua I song song với AB cắt AC, AM theo thứ<br />

tự ở D, E. Chứng minh DE = BK<br />

Giải<br />

Qua M kẻ MN // IE (N∈ AC).Ta có:<br />

DE AE DE MN<br />

=<br />

MN AN AE AN<br />

⇒ = (1)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

MN // IE, mà MB = MC ⇒ AN = CN (2)<br />

K<br />

A<br />

D<br />

E<br />

N<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

B<br />

I<br />

M<br />

C<br />

90<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

R<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Từ (1) và (2) suy ra DE = MN (3)<br />

Ta lại có<br />

AE<br />

CN<br />

MN CN MN AB<br />

= ⇒ = (4)<br />

AB AC CN AC<br />

Từ (4) và (5) suy ra DE = AB (a)<br />

AE<br />

AC<br />

Tương tự ta có: BK = AB (6)<br />

KI<br />

AC<br />

Vì KI // AC, IE // AC nên tứ giác AKIE là hình bình hành nên KI = AE (7)<br />

Từ (6) và (7) suy ra<br />

Từ (a) và (b) suy ra<br />

4) Ví dụ 4:<br />

BK BK AB<br />

KI AE AC<br />

DE<br />

AE<br />

= = (b)<br />

BK<br />

AE<br />

= ⇒ DE = BK<br />

Đường thẳng qua trung điểm của cạnh đối AB, CD của tứ giác<br />

ABCD cắt các đường thẳng AD, BC theo thứ tự ở I, K. Chứng<br />

minh: IA . KC = ID. KB<br />

Giải<br />

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD<br />

Ta có AM = BM; DN = CN<br />

Vẽ AE, BF lần lượt song song với CD<br />

∆ AME = ∆ BMF (g.c.g) ⇒ AE = BF<br />

Theo định lí Talét ta có:<br />

Củng theo định lí Talét ta có: KB<br />

Từ (1) và (2) suy ra IA<br />

5) Ví dụ 5:<br />

=<br />

KB<br />

ID KC<br />

IA AE BF<br />

=<br />

ID DN CN<br />

= (1)<br />

=<br />

BF<br />

KC CN (2)<br />

⇒ IA . KC = ID. KB<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Cho xOy , các điểm A, B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox, Oy sao cho<br />

D<br />

A<br />

K<br />

B<br />

I<br />

E<br />

F<br />

A<br />

M<br />

N<br />

B<br />

E<br />

Q<br />

P<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

C<br />

91<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

1 1 1<br />

+<br />

OA OB k<br />

Giải<br />

= (k là hằng số). Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định<br />

Vẽ tia phân giác Oz của xOy cắt AB ở C. vẽ CD // OA<br />

(D ∈ OB) ⇒ DOC = DCO = AOC <br />

⇒ ∆ COD cân tại D ⇒ DO = DC<br />

Theo định lí Talét ta có<br />

⇒<br />

CD CD 1 1 1<br />

+ = 1⇒ + = (1)<br />

OA OB OA OB CD<br />

Theo giả thiết thì<br />

CD BD CD OB - CD<br />

= ⇒ =<br />

OA OB OA OB<br />

1 1 1<br />

+<br />

OA OB k<br />

= (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra CD = k , không đổi<br />

Vậy AB luôn đi qua một điểm cố định là C sao cho CD = k và CD // Ox , D ∈ OB<br />

6) Ví dụ 6:<br />

Cho điểm M di động trên đáy nhỏ AB của hình thang ABCD, Gọi O là giao điểm của hai<br />

cạnh bên DA, CB. Gọi G là giao điểm của OA và CM, H<br />

là giao điểm của OB và DM. Chứng minh rằng: Khi M di<br />

động trên AB thì tổng OG<br />

Giải<br />

+<br />

OH<br />

GD HC<br />

không đổi<br />

Qua O kẻ đường thẳng song với AB cắt CM, DM theo thứ<br />

tự ở I và K. Theo định lí Talét ta có:<br />

OG OI OH OK<br />

= ; = ⇒<br />

GD CD HC CD<br />

OG OH IK<br />

+<br />

GD HC CD<br />

⇒ = (1)<br />

OG OH OI OK IK<br />

+ = + =<br />

GD HC CD CD CD<br />

Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt IK, CD theo thứ tự ở P và Q, ta có:<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

IK MP FO<br />

= = không đổi vì FO là khoảng cách từ O đến AB, MQ là đường cao của hình<br />

CD MQ MQ<br />

thang nên không đổi (2)<br />

D<br />

O<br />

D<br />

A<br />

I<br />

B<br />

P<br />

G<br />

M<br />

Q<br />

y<br />

C<br />

O<br />

F<br />

A<br />

H<br />

B<br />

C<br />

z<br />

x<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

K<br />

92<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Từ (1) và (2) suy ra<br />

OG OH FO<br />

+<br />

GD HC MQ<br />

= không đổi<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

7) Ví dụ 7:<br />

Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD. Trên AB lấy điểm M, trên AC lấy điểm N<br />

sao cho BM = CN, gọi giao điểm của CM và BN là O, Từ O vẽ đường thẳng song song với<br />

AD cắt AC, AB tại E và F.<br />

Chứng minh rằng: AB = CF; BE = CA<br />

Giải.<br />

AD là phân giác nên BAD = DAF <br />

EI // AD ⇒ BAD = AEF (góc đồng vị)<br />

Mà DAF = OFC (đồng vị); AFE = OFC (đối đỉnh)<br />

Suy ra AEF = AFE ⇒ ∆AFE cân tại A ⇒ AE =AF (a)<br />

Aùp dụng định lí Talét vào ∆ ACD , với I là giao điểm<br />

của EF với BC ta có<br />

CF CI CF CA<br />

=<br />

CA CD CI CD<br />

⇒ = (1)<br />

AD là phân giác của BAC nên CA = BA (2)<br />

CD<br />

Từ (1) và (2) suy ra CF = BA (3)<br />

CI<br />

BD<br />

Kẻ đường cao AG của ∆ AFE . BP // AG (P ∈AD); CQ // AG (Q∈ OI)<br />

thì BPD = CQI = 90 0<br />

Gọi trung điểm của BC là K, ta có ∆ BPK = ∆ CQK (g.c.g) ⇒ CQ = BP<br />

BD<br />

⇒ ∆BPD = ∆ CQI (g.c.g) ⇒ CI = BD (4)<br />

Thay (4) vào (3) ta có CF<br />

BD<br />

Từ (a) và (b) suy ra BE = CA<br />

Bài tập về nhà<br />

BA<br />

BD<br />

= ⇒ CF = BA (b)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

B<br />

M<br />

A<br />

E<br />

P<br />

D<br />

G<br />

F<br />

K<br />

O<br />

I<br />

Q<br />

N<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

C<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

93<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

1) Cho tam giác ABC. Điểm D chia trong BC theo tỉ số 1 : 2, điểm O chia trong AD theo tỉ<br />

số 3 : 2. gọi K là giao điểm của BO và AC. Chứng minh rằng KA<br />

KC<br />

không đổi<br />

2) Cho tam giác ABC (AB > AC). Lấy các điểm D, E tuỳ ý thứ tự thuộc các cạnh AB, AC<br />

sao cho BD = CE. Gọi giao điểm của DE, BC là K, chứng minh rằng :<br />

Tỉ số KE<br />

KD<br />

không đổi khi D, E thay đổi trên AB, AC<br />

(HD: Vẽ DG // EC (G ∈ BC).<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 18 – BỔ <strong>ĐỀ</strong> HÌNH THANG <strong>VÀ</strong> CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG<br />

QUY<br />

A. Kiến thức<br />

1) Bổ đề hình thang:<br />

“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các<br />

đường chéo và đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung<br />

điểm của hai đáy”<br />

Chứng minh:<br />

Gọi giao điểm của AB, CD là H, của AC, BD là G, trung điểm của AD, BC là E và F<br />

Nối EG, FG, ta có: ∆ ADG ∆ CBG (g.g) , nên :<br />

AD AG 2AE AG AE AG<br />

= ⇒ = ⇒ = (1)<br />

CB CG 2CF CG CF CG<br />

Ta lại có : EAG = FCG (SL trong ) (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra : ∆ AEG<br />

∆ CFG (c.g.c)<br />

Do đó: AGE = CGF ⇒ E , G , H thẳng hàng (3)<br />

Tương tự, ta có: ∆ AEH ∆ BFH⇒ AHE = BHF <br />

⇒ H , E , F thẳng hàng (4)<br />

Tõừ (3) và (4) suy ra : H , E , G , F thẳng hàng<br />

2) Chùm đường thẳng đồng quy:<br />

n<br />

m<br />

A'<br />

B<br />

A<br />

H<br />

E<br />

/<br />

O<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

A<br />

B<br />

//<br />

B'<br />

G<br />

/<br />

C<br />

F<br />

D<br />

//<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

C'<br />

94<br />

C<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

b c<br />

a<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra trên hai<br />

đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ<br />

Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy ở O chúng cắt m tại A, B, C và cắt n tại A’,<br />

B’, C’ thì<br />

AB BC AC<br />

=<br />

A'B' B'C' A'C'<br />

* Đảo lại:<br />

= hoặc<br />

AB A'B' AB A'B'<br />

= ; =<br />

BC B'C' AC A'C'<br />

+ Nếu ba đường thẳng trong đó có hai đường thẳng cắt nhau, định ra trên hai đường thẳng<br />

song song các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy<br />

+ Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi ba đường thẳng đồng quy tạo thành các cặp đoạn thẳng<br />

tương ứng tỉ lệ thì chúng song song với nhau<br />

B. Aùp dụng:<br />

1) Bài 1:<br />

Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm CD, N là trung điểm CB. Biết AM, AN cắt BD<br />

thành ba đoạn bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình<br />

bình hành<br />

Giải<br />

Gọi E, F là giao điểm của AM, AN với BD; G, H là giao<br />

điểm của MN với AD, BD<br />

MN // BC (MN là đường trung bình của ∆ BCD)<br />

⇒ Tứ giác HBFM là hình thang có hai cạnh bên đòng quy<br />

tại A, N là trung điểm của đáy BF nên theo bổ đề hình<br />

thang thì N là trung điểm của đáy MH<br />

⇒MN = NH (1)<br />

Tương tự : trong hình thang CDEN thì M là trung điểm của GN ⇒ GM = MN (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra GM = MN = NH<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Ta có ∆ BNH = ∆ CNM (c.g.c) ⇒ BHN = CMN ⇒ BH // CM hay AB // CD (a)<br />

Tương tự: ∆ GDM = ∆ NCM (c.g.c) ⇒ DGM = CNM ⇒ GD // CN hay AD // CB (b)<br />

H<br />

B<br />

A<br />

E<br />

N<br />

F<br />

C<br />

M<br />

D<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

95<br />

G<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Từ (a) và (b) suy ra tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành<br />

2) Bài 2:<br />

Cho ∆ ABC có ba góc nhọn, trực tâm H, một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự tạ P, Q<br />

sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: HM ⊥ PQ<br />

Giải<br />

Gọi giao điểm của AH và BC là I<br />

Từ C kẻ CN // PQ (N∈ AB),<br />

ta chứng minh MH ⊥ CN ⇒ HM ⊥ PQ<br />

Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai<br />

cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN<br />

⇒ MK là đường trung bình của ∆ BCN ⇒ MK // CN ⇒ MK // AB (1)<br />

H là trực tâm của ∆ ABC nên CH ⊥ A B (2)<br />

Từ (1) và (2) suy ra MK ⊥ CH ⇒ MK là đường cao của ∆ CHK (3)<br />

Từ AH ⊥ BC ⇒ MC ⊥ HK ⇒ MI là đường cao của ∆ CHK (4)<br />

Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của ∆ CHK⇒ MH ⊥ CN ⇒ MH ⊥ PQ<br />

3) bài 3:<br />

Cho hình chữ nhật ABCD có M, N thứ tự là trung điểm của AD, BC. Gọi E là một điểm<br />

bất kỳ thuộc tia đối của tia DC, K là giao điểm của EM và AC.<br />

Chứng minh rằng: NM là tia phân giác của KNE<br />

Giải<br />

Gọi H là giao điểm của KN và DC, giao điểm của AC và MN là I thì IM = IN<br />

Ta có: MN // CD (MN là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD)<br />

⇒ Tứ giác EMNH là hình thang có hai cạnh bên EM và HN đồng quy tại K và I là trung<br />

điểm của MN nên C là trung điểm của EH<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

B<br />

M<br />

N<br />

P<br />

H<br />

K<br />

A<br />

I<br />

Q<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

96<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

B<br />

A<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

K<br />

Trong ∆ ENH thì NC vừa là đường cao, vừa là đường<br />

trung tuyến nên ∆ ENH cân tại N ⇒ NC là tia phân giác<br />

N<br />

//<br />

I<br />

//<br />

M<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

của ENH mà NC ⊥ MN (Do NM ⊥ BC – MN // AB) ⇒<br />

NM là tia phân giác góc ngoài tại N của ∆ ENH<br />

Vậy NM là tia phân giác của KNE<br />

Bài 4:<br />

Trên cạnh BC = 6 cm của hình vuông ABCD lấy điểm E sao cho BE = 2 cm. Trên tia đối<br />

của tia CD lấy điểm F sao cho CF = 3 cm. Gọi M là giao<br />

điểm của AE và BF. Tính AMC<br />

Giải<br />

Gọi giao điểm của CM và AB là H, của AM và DF là G<br />

Ta có:<br />

Ta lại có<br />

BH AB BH 6<br />

= ⇔ =<br />

CF FG 3 FG<br />

AB BE 2 1<br />

= = = ⇒ CG = 2AB = 12 cm<br />

CG EC 4 2<br />

⇒ FG = 9 cm ⇒ BH = 6 ⇒ BH = 2 cm ⇒ BH = BE<br />

3 9<br />

∆ BAE = ∆ BCH (c.g.c) ⇒ BAE = BCH mà BAE + BEA = 90 0<br />

Mặt khác BEA = MEC ; MCE = BCH ⇒ MEC + MCE = 90 0 ⇒ AMC = 90 0<br />

Bài 5:<br />

Cho tứ giác ABCD. Qua điểm E thuộc AB, H thuộc AC vẽ các đường thẳng song song với<br />

BD, cắt các cạnh còn lại của tứ giác tại F, G<br />

a) Có thể kết luận gì về các đường thẳng EH, AC, FG<br />

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, cho biết OB = OD. Chứng minh rằng ba đường<br />

thẳng EG, FH, AC đồng quy<br />

Giải<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

a) Nếu EH // AC thì EH // AC // FG<br />

Nếu EH và AC không song song thì EH, AC, FG đồng quy<br />

H<br />

A<br />

D<br />

E<br />

B<br />

C<br />

H<br />

M<br />

C<br />

F<br />

D<br />

E<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

G<br />

97<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

b) Gọi giao điểm của EH, HG với AC<br />

Trong hình thang DFEB có hai cạnh bên DF, BE đồng quy<br />

tại A và OB = OD nên theo bổ đề hình thang thì M là trung<br />

điểm của EF<br />

Tương tự: N là trung điểm của GH<br />

Ta có ME<br />

quy tại O<br />

=<br />

MF<br />

GN HN<br />

nên ba đường thẳng EG, FH, AC đồng<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

B<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

D<br />

F<br />

A<br />

M<br />

G<br />

E<br />

O<br />

N<br />

H<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

98<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 19 – TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA MỘT<br />

BIỂU THỨC<br />

A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức<br />

1) Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị<br />

của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại<br />

một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của<br />

biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên<br />

2) Phương pháp<br />

a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:<br />

+ Chứng minh A ≥ k với k là hằng số<br />

+ Chỉ ra dấ “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến<br />

b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:<br />

+ Chứng minh A ≤ k với k là hằng số<br />

+ Chỉ ra dấ “=” có thể xẩy ra với giá trị nào đó của biến<br />

Kí hiệu : min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A<br />

B.Các bài tập tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức<br />

I) Dạng 1: Tam thức bậc hai<br />

Ví dụ 1 :<br />

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x 2 – 8x + 1<br />

b) Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x 2 – 4x + 1<br />

Giải<br />

a) A = 2(x 2 – 4x + 4) – 7 = 2(x – 2) 2 – 7 ≥ - 7<br />

min A = - 7 ⇔ x = 2<br />

b) B = - 5(x 2 + 4 5 x) + 1 = - 5(x2 + 2.x. 2 5 + 4 25 ) + 9 5 = 9 5 - 5(x + 2 5 )2 ≤ 9 5<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

max B = 9 5 ⇔ x = 2<br />

−<br />

5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

99<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

b) Ví dụ 2: Cho tam thức bậc hai P(x) = a x 2 + bx + c<br />

a) Tìm min P nếu a > 0<br />

b) Tìm max P nếu a < 0<br />

Giải<br />

Ta có: P = a(x 2 + b<br />

Đặt c -<br />

2<br />

b<br />

4a<br />

a<br />

b<br />

x) + c = a(x +<br />

2a )2 + (c -<br />

b<br />

= k. Do (x +<br />

2a )2 ≥ 0 nên:<br />

2<br />

b<br />

4a )<br />

a) Nếu a > 0 thì a(x + b<br />

2a )2 ≥ 0 do đó P ≥ k ⇒ min P = k ⇔ x = - b<br />

b) Nếu a < 0 thì a(x + b<br />

2a )2 ≤ 0 do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇔ x = - b<br />

II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối<br />

1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của<br />

a) A = (3x – 1) 2 – 4 3x - 1 + 5<br />

đặt 3x - 1 = y thì A = y 2 – 4y + 5 = (y – 2) 2 + 1 ≥ 1<br />

min A = 1 ⇔ y = 2 ⇔ 3x - 1 = 2 ⇔<br />

b) B = x - 2 + x - 3<br />

⎡x = 1<br />

⎡3x - 1 = 2<br />

⎢<br />

⎢ ⇔ 1<br />

⎣3x - 1 = - 2 ⎢x = -<br />

⎣ 3<br />

B = x - 2 + x - 3 = B = x - 2 + 3 - x ≥ x - 2 + 3 - x = 1<br />

⇒ min B = 1 ⇔ (x – 2)(3 – x) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3<br />

2 2<br />

2) Ví dụ 2: Tìm GTNN của C = +<br />

Ta có C =<br />

2 2<br />

x - x + 1 x - x - 2<br />

2 2 2 2<br />

x - x + 1 + x - x - 2 = x - x + 1 2 + x - x x - x + 1 + 2 + x - x<br />

2a<br />

2a<br />

+ ≥ = 3<br />

min C = 3 ⇔ (x 2 – x + 1)(2 + x – x 2 ) ≥ 0 ⇔ 2 + x – x 2 ≥ 0 ⇔ x 2 – x – 2 ≤ 0<br />

3) Ví dụ 3:<br />

⇔ (x + 1)(x – 2) ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 2<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Tìm giá trị nhỏ nhất của : T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4|<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

100<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Ta có |x-1| + |x-4| = |x-1| + |4-x| ≥ |x-1+4-x| = 3 (1)<br />

Và x − 2 + x − 3 = x − 2 + 3 − x ≥ x − 2 + 3− x = 1 (2)<br />

Vậy T = |x-1| + |x-2| +|x-3| + |x-4| ≥ 1 + 3 = 4<br />

Ta có từ (1) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4<br />

(2) ⇒ Dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3<br />

Vậy T có giá trị nhỏ nhất là 4 khi 2 ≤ x ≤ 3<br />

III.Dạng 3: Đa thức bậc cao<br />

1) Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của<br />

a) A = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) = (x 2 – 7x)( x 2 – 7x + 12)<br />

Đặt x 2 – 7x + 6 thì A = (y – 6)(y + 6) = y 2 – 36 ≥ - 36<br />

Min A = - 36 ⇔ y = 0 ⇔ x 2 – 7x + 6 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 6) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 6<br />

b) B = 2x 2 + y 2 – 2xy – 2x + 3 = (x 2 – 2xy + y 2 ) + (x 2 – 2x + 1) + 2<br />

= (x – y) 2 + (x – 1) 2 + 2 ≥ 2 ⇔<br />

⎧x - y = 0<br />

⎨<br />

⎩x - 1 = 0<br />

⇔ x = y = 1<br />

c) C = x 2 + xy + y 2 – 3x – 3y = x 2 – 2x + y 2 – 2y + xy – x – y<br />

Ta có C + 3 = (x 2 – 2x + 1) + (y 2 – 2y + 1) + (xy – x – y + 1)<br />

= (x – 1) 2 + (y – 1) 2 + (x – 1)(y – 1). Đặt x – 1 = a; y – 1 = b thì<br />

C + 3 = a 2 + b 2 + ab = (a 2 + 2.a. b 2 + 2<br />

b<br />

3b<br />

4 ) + 2<br />

4<br />

= (a + b 2 )2 +<br />

Min (C + 3) = 0 hay min C = - 3 ⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1<br />

2) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của<br />

a) C = (x + 8) 4 + (x + 6) 4<br />

Đặt x + 7 = y ⇒ C = (y + 1) 4 + (y – 1) 4 = y 4 + 4y 3 + 6y 2 + 4y + 1 + y 4 - 4y 3 + 6y 2 - 4y + 1<br />

= 2y 4 + 12y 2 + 2 ≥ 2 ⇒ min A = 2 ⇔ y = 0 ⇔ x = - 7<br />

b) D = x 4 – 6x 3 + 10x 2 – 6x + 9 = (x 4 – 6x 3 + 9x 2 ) + (x 2 – 6x + 9)<br />

= (x 2 – 3x) 2 + (x – 3) 2 ≥ 0 ⇒ min D = 0 ⇔ x = 3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

IV. Dạng phân thức:<br />

1. Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai<br />

3b<br />

4<br />

2<br />

≥ 0<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

101<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Biểu thức dạng này đạt GTNN khi mẫu đạt GTLN<br />

2<br />

Ví dụ : Tìm GTNN của A =<br />

2<br />

6x - 5 - 9x<br />

- 2 −2<br />

9x - 6x + 5 (3x - 1) + 4<br />

= =<br />

2 2<br />

1 1 − 2 −2<br />

≤ ⇒ ≥<br />

(3x - 1) + 4 4 (3x - 1) + 4 4<br />

Vì (3x – 1) 2 ≥ 0 ⇒ (3x – 1) 2 + 4 ≥ 4 ⇒<br />

2 2<br />

min A = - 1 2 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1 3<br />

2. Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức<br />

a) Ví dụ 1: Tìm GTNN của A =<br />

2<br />

3x - 8x + 6<br />

2<br />

x - 2x + 1<br />

+) Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu<br />

A =<br />

2 2<br />

3x - 8x + 6 3(x - 2x + 1) - 2(x - 1) + 1 2 1<br />

= − + . Đặt y =<br />

= 3<br />

x - 2x + 1 (x - 1) x - 1 (x - 1)<br />

2 2 2<br />

A = 3 – 2y + y 2 = (y – 1) 2 + 2 ≥ 2 ⇒ min A = 2 ⇔ y = 1 ⇔<br />

1<br />

1<br />

x - 1 Thì<br />

x - 1 = 1 ⇔ x = 2<br />

+) Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm<br />

A =<br />

2 2 2 2<br />

3x - 8x + 6 2(x - 2x + 1) + (x - 4x + 4) (x - 2)<br />

= = 2 + ≥ 2<br />

2 2 2<br />

x - 2x + 1 (x - 1) (x - 1)<br />

⇒ min A = 2 ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2<br />

b) Ví dụ 2: Tìm GTLN của B =<br />

2<br />

x<br />

x<br />

x + 20x + 100 (x + 10)<br />

x<br />

x + 20x + 100<br />

Ta có B = = . Đặt y =<br />

2 2<br />

x + 10 ⇒ x = 1 10<br />

y − thì<br />

B = ( 1 10<br />

y − ).y2 = - 10y 2 + y = - 10(y 2 – 2.y. 1 20 y + 1<br />

400 ) + 1 2<br />

40 = - 10 ⎛ 1 ⎞<br />

⎜ ⎟<br />

Max B = 1 40 ⇔ 1<br />

y - = 0 ⇔ y = 1<br />

10 10 ⇔ x = 10<br />

c) Ví dụ 3: Tìm GTNN của C =<br />

Ta có: C =<br />

2 2<br />

x + y<br />

x + 2xy + y<br />

2 2<br />

1 2 2<br />

2 2 ⎡ (x + y) (x - y)<br />

2<br />

x + y 2 ⎣ + ⎤<br />

⎦ 1 1 (x - y) 1<br />

.<br />

2 2 2 2<br />

x + 2xy + y (x + y) 2 2 (x + y) 2<br />

1<br />

⇒ A ≥ - 1 2<br />

y - + 1<br />

⎝ 10 ⎠ 40 ≤ 1 40<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

= = + ≥ ⇒ min A = 1 2 ⇔ x = y<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

102<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

3. Các phân thức có dạng khác<br />

3 - 4x<br />

a)Ví dụ : Tìm GTNN, GTLN (Cực trị) của A =<br />

2<br />

x + 1<br />

Ta có: A =<br />

Ta lại có: A =<br />

2 2 2<br />

3 - 4x (4x − 4x + 4) − (x + 1) (x - 2)<br />

= = −1≥ −1<br />

2 2 2<br />

x + 1 x + 1 x + 1<br />

2 2 2<br />

3 - 4x (4x + 4) − (4x + 4x + 1) (2x + 1)<br />

= = 4 − ≤ 4<br />

2 2 2<br />

x + 1 x + 1 x + 1<br />

⇒ min A = - 1 ⇔ x = 2<br />

C. Tìm GTNN, GTLN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến<br />

1) Ví dụ 1: Cho x + y = 1. Tìm GTNN của A = x 3 + y 3 + xy<br />

Ta có A = (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) + xy = x 2 + y 2 (vì x + y = 1)<br />

a) Cách 1: Biểu thị ẩn này qua ẩn kia, rồi đưa về một tam thức bậc hai<br />

Từ x + y = 1 ⇒ x = 1 – y<br />

⇒ max A = 4 ⇔ x =<br />

1 1 1<br />

⎜ y - ⎟ + ≥<br />

⎝ 2 ⎠ 2 2<br />

nên A = (1 – y) 2 + y 2 = 2(y 2 – y) + 1 = 2(y 2 – 2.y. 1 2 + 1 4 ) + 1 2<br />

2 = 2 ⎛ ⎞<br />

Vậy min A = 1 2 ⇔ x = y = 1 2<br />

b) Cách 2: Sử dụng đk đã cho, làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A<br />

Từ x + y = 1 ⇒ x 2 + 2xy + y 2 = 1(1). Mặt khác (x – y) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 – 2xy + y 2 ≥ 0 (2)<br />

Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:<br />

2(x 2 + y 2 ) ≥ 1 ⇒ x 2 + y 2 ≥ 1 2 ⇒ min A = 1 2 ⇔ x = y = 1 2<br />

2)Ví dụ 2: Cho x + y + z = 3<br />

a) Tìm GTNN của A = x 2 + y 2 + z 2<br />

b) Tìm GTLN của B = xy + yz + xz<br />

Từ Cho x + y + z = 3 ⇒ Cho (x + y + z) 2 = 9 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + xz) = 9 (1)<br />

Ta có x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx =<br />

1 2 2 2<br />

= ⎡( x − y) + ( x − z) + ( y − z)<br />

⎤<br />

2<br />

1 .2 .( x<br />

2<br />

+ y 2 + z 2 - xy – yz – zx)<br />

⎣ ⎦ ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy+ yz + zx (2)<br />

Đẳng thức xẩy ra khi x = y = z<br />

2<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1<br />

−<br />

2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

103<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a) Từ (1) và (2) suy ra<br />

9 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + xz) ≤ x 2 + y 2 + z 2 + 2(x 2 + y 2 + z 2 ) = 3(x 2 + y 2 + z 2 )<br />

⇒ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3 ⇒ min A = 3 ⇔ x = y = z = 1<br />

b) Từ (1) và (2) suy ra<br />

9 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + xz) ≥ xy+ yz + zx + 2(xy + yz + xz) = 3(xy+ yz + zx)<br />

⇒ xy+ yz + zx ≤ 3 ⇒ max B = 3 ⇔ x = y = z = 1<br />

3) Ví dụ 3:<br />

Tìm giá trị lớn nhất của S = xyz.(x+y).(y+z).(z+x) với x,y,z > 0 và x + y + z = 1<br />

Vì x,y,z > 0 ,áp dụng BĐT Côsi ta có: x+ y + z<br />

3<br />

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho x+y ; y+z ; x+z ta có<br />

1 1<br />

≥ 3 xyz ⇒<br />

3<br />

xyz ≤ ⇒ xyz ≤<br />

3 27<br />

( x + y) .( y + z) .( z + x) ≥ 3 3 ( x + y) .( y + z) .( x + z)<br />

⇒ 2 ≥ 33<br />

( x + y) .( y + z) .( z + x)<br />

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1 3 ⇒ S ≤ 8 .<br />

1 =<br />

8<br />

Vậy S có giá trị lớn nhất là<br />

8<br />

729 khi x = y = z = 1 3<br />

27 27 729<br />

4 4 4<br />

4) Ví dụ 4: Cho xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của x + y + z<br />

Áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho 6 số (x,y,z) ;(x,y,z)<br />

2 2 2 2<br />

Ta có ( xy + yz + zx) ≤ ( x + y + z ) 2<br />

2 2 2<br />

1 ( x y z ) 2<br />

⇒ ≤ + + (1)<br />

áp dụng BĐT Bunhiacốpski cho ( x 2 , y 2 , z 2 ) và (1,1,1)<br />

2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 4 4 4<br />

Ta có x + y + z ≤ + + x + y + z ⇒ x + y + z ≤ x + y + z<br />

( ) (1 1 1 )( ) ( ) 3( )<br />

4 4 4<br />

Từ (1) và (2) ⇒ ≤ x + y + z<br />

4 4 4<br />

Vậy x y z<br />

1 3( ) ⇒ x + y + z ≤<br />

3<br />

4 4 4 1<br />

+ + có giá trị nhỏ nhất là 1 3 khi x= y = z = 3<br />

D. Một số chú ý:<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1) Khi tìm GTNN, GTLN ta có thể đổi biến<br />

Ví dụ : Khi tìm GTNN của A =(x – 1) 2 + (x – 3) 2 , ta đặt x – 2 = y thì<br />

A = (y + 1) 2 + (y – 1) 2 = 2y 2 + 2 ≥ 2…<br />

±<br />

3<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

104<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

2) Khi tìm cực trị của một biểu thức, ta có thể thay đk của biểu thức này đạt cực trị bởi đk<br />

tương đương là biểu thức khác đạt cực trị:<br />

+) -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất ; +) 1 lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất (với B > 0)<br />

B<br />

+) C lớn nhất ⇔ C 2 lớn nhất<br />

4<br />

x + 1<br />

Ví dụ: Tìm cực trị của A =<br />

(<br />

2<br />

x + 1 )<br />

a) Ta có A > 0 nên A nhỏ nhất khi 1 A<br />

( x + 1) 2<br />

2 2<br />

1 2x<br />

1 1<br />

4 4<br />

A x + 1 x + 1<br />

2<br />

lớn nhất, ta có<br />

= = + ≥ ⇒ min 1 A = 1 ⇔ x = 0 ⇒ max A = 1 ⇔ x = 0<br />

b) Ta có (x 2 – 1) 2 ≥ 0 ⇔ x 4 - 2x 2 + 1 ≥ 0 ⇒ x 4 + 1 ≥ 2x 2 . (Dấu bằng xẩy ra khi x 2 = 1)<br />

Vì x 4 + 1 > 0 ⇒<br />

2x<br />

⇒ min A = 1 2 ⇔ x = ± 1<br />

2<br />

4<br />

x + 1 ≤ 1 2<br />

⇒ 4<br />

2x<br />

1 1 1 2<br />

x + 1<br />

+ ≤ + = ⇒ max 1 A = 2 ⇔ x2 = 1<br />

3) Nhiều khi ta tìm cực trị của biểu thức trong các khoảng của biến, sau đó so sámh các cực<br />

trị đó để để tìm GTNN, GTLN trong toàn bộ tập xác định của biến<br />

Ví dụ: Tìm GTLN của B =<br />

a) xét x + y ≤ 4<br />

y<br />

5 - (x + y)<br />

- Nếu x = 0 thì A = 0 - Nếu 1 ≤ y ≤ 3 thì A ≤ 3<br />

- Nếu y = 4 thì x = 0 và A = 4<br />

b) xét x + y ≥ 6 thì A ≤ 0<br />

So sánh các giá trị trên của A, ta thấy max A = 4 ⇔ x = 0; y = 4<br />

4) Sử dụng các hằng bất đẳng thức<br />

Ví dụ: Tìm GTLN của A = 2x + 3y biết x 2 + y 2 = 52<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Aùp dụng Bđt Bunhiacốpxki: (a x + by) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) cho các số 2, x , 3, y ta có:<br />

(2x + 3y) 2 ≤ (2 2 + 3 2 )(x 2 + y 2 ) = (4 + 9).52 = 26 2 ⇒ 2x + 3y ≤ 26<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

105<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Max A = 26<br />

x y<br />

=<br />

2 3<br />

⇔ ⇒y = 3x 2 ⇒ x2 + y 2 = x 2 +<br />

Vậy: Ma x A = 26 ⇔ x = 4; y = 6 hoặc x = - 4; y = - 6<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝<br />

3x<br />

2<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎠<br />

2<br />

= 52 ⇔ 13x 2 = 52.4 ⇔ x = ± 4<br />

5) Hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau<br />

Hai số có tích không đổi thì tổng của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau<br />

a)Ví dụ 1: Tìm GTLN của A = (x 2 – 3x + 1)(21 + 3x – x 2 )<br />

Vì (x 2 – 3x + 1) + (21 + 3x – x 2 ) = 22 không đổi nên tích (x 2 – 3x + 1)(21 + 3x – x 2 ) lớn<br />

nhất khi và chỉ khi x 2 – 3x + 1 = 21 + 3x – x 2 ⇔ x 2 – 3x – 10 = 0 ⇔ x = 5 hoặc x = - 2<br />

Khi đó A = 11. 11 = 121 ⇒ Max A = 121 ⇔ x = 5 hoặc x = - 2<br />

b) Ví dụ 2: Tìm GTNN của B =<br />

Ta có: B =<br />

Vì các số x và 36<br />

⇒ A =<br />

(x + 4)(x + 9)<br />

x<br />

+<br />

= = x + + 13<br />

x x x<br />

2<br />

(x + 4)(x + 9) x 13x + 36 36<br />

x<br />

36<br />

x + 13<br />

x<br />

36<br />

có tích x.<br />

x = 36 không đổi nên 36<br />

x + nhỏ nhất ⇔ x = 36<br />

x x ⇔ x = 6<br />

+ nhỏ nhất là min A = 25 ⇔ x = 6<br />

6)Trong khi tìm cực trị chỉ cần chỉ ra rằng tồn tại một giá trị của biến để xẩy ra đẳng thức<br />

chứ không cần chỉ ra mọi giá trị để xẩy ra đẳng thức<br />

m n<br />

Ví dụ: Tìm GTNN của A = 11 − 5<br />

Ta thấy 11 m tận cùng bằng 1, 5 n tận cùng bằng 5<br />

Nếu 11 m > 5 n thì A tận cùng bằng 6, nếu 11 m < 5 n thì A tận cùng bằng 4<br />

khi m = 2; n = 3 thÌ A = 121− 124 = 4 ⇒ min A = 4, chẳng hạn khi m = 2, n = 3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

106<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CHUYÊN <strong>ĐỀ</strong> 20 – PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

- PHƯƠNG PHÁP 1: Phương pháp đưa về dạng tổng<br />

Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình có các biểu<br />

thức chứa ẩn viết được dưới dạng tổng các bình phương.<br />

- Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng của các bình phương các biểu thức<br />

chứa ẩn; vế còn lại là tổng bình phương của các số nguyên (số số hạng của hai vế bằng<br />

nhau).<br />

Các ví dụ minh hoạ:<br />

2<br />

2<br />

- Ví dụ 1: Tìm x; y ∈ Z thoả mãn: 5x − 4xy<br />

+ y = 169 (1)<br />

2<br />

2 2<br />

(1) ⇔ 4x<br />

− 4xy<br />

+ y + x = 144 + 25 = 169 + 0<br />

Từ (I) ta có:<br />

( x y)<br />

2<br />

⎡⎧<br />

2<br />

= ± = ±<br />

⎪ 2 − = 12 ⎧x<br />

5 ⎧x<br />

5<br />

⎢⎨ ⇒ ⎨ ; ⎨<br />

2 2<br />

⎢⎪⎩<br />

x = 5<br />

⎩ y = ∓2 ⎩y<br />

= ∓22<br />

⎢<br />

2 2<br />

⎢ ⎧ ⎪( 2x<br />

− y)<br />

= 5 ⎧x<br />

= ± 12 ⎧x<br />

= ± 12<br />

⎢⎨ ⇒ ⎨ ; ⎨<br />

2 2<br />

⎢⎪⎩ x = 12 ⎩ y = ∓19 ⎩y<br />

= ∓29<br />

⎣<br />

Vậy ( x,<br />

y)<br />

Ví dụ 2: Tìm<br />

⎧⎪<br />

∈ ⎨<br />

⎪⎩<br />

⇔<br />

( )<br />

2<br />

⎧<br />

2<br />

− + = +<br />

⎪ 2x y x 144 25<br />

⎨<br />

2 2<br />

⎪⎩ ( 2x − y)<br />

+ x = 169 + 0<br />

Tương tự từ (II) ta có:<br />

( x y)<br />

2<br />

⎡⎧<br />

2<br />

⎪ 2 − = 13 ⎧x<br />

= 0<br />

⎢⎨ ⇒ ⎨<br />

2<br />

= ±<br />

⎢⎪⎩<br />

x<br />

⎢<br />

⎧<br />

= 0<br />

( x y)<br />

2<br />

⎢ ⎪ 2 − = 0 ⎧x<br />

= ±<br />

⎢⎨ ⇒ ⎨<br />

2 2 = ±<br />

⎢⎪⎩ ⎣ x<br />

= 13<br />

( 5; −2 );( 5; −22 );( −5;2 );( −5;22 );( 12; −19 );( 12; −29)<br />

( −12;19 );( −12;29 );( 0;13 );( 0; −13 );( 13;26 );( −13; −26)<br />

x y ∈ Z<br />

; thoả mãn:<br />

2 2<br />

x + y − x − y = 8 (2)<br />

(2) x x y y x x y y ( x ) ( y )<br />

2 2 2 2 2 2 2 2<br />

⇔ 4 − 4 + 4 − 4 = 32 ⇔ 4 − 4 + 1+ 4 − 4 + 1 = 34 ⇔ 2 − 1 + 2 − 1 = 5 + 3<br />

( )<br />

2<br />

⎡⎧<br />

2<br />

x − = ⎧x = x = −<br />

⎢<br />

⎪<br />

⎨ ⇒<br />

2<br />

⎨<br />

2 = = −<br />

⎢<br />

⎢ ⎪ ⎩<br />

⎢⎪<br />

⎨<br />

⎣ ⎪ ⎩<br />

2 1 3 2; 1<br />

( y )<br />

2 − 1 = 5<br />

⇒ ⎢<br />

2<br />

⎧<br />

2<br />

− = = = −<br />

( )<br />

⎢<br />

2 2 = = −<br />

( y )<br />

⎩y<br />

3; y 2<br />

2x 1 5 ⎧x 3; x 2<br />

⇒ ⎨<br />

2 − 1 = 3 ⎩ y 2; y 1<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

{ }<br />

Vậy ( x; y) ∈ ( 2;3 );( 2; −2 );( −1;3 );( −1; −2 );( 3;2 );( 3; −1 );( −2;2 );( −2; − 1)<br />

Ví dụ 3: Tìm<br />

x y ∈ Z<br />

3 3<br />

; thoả mãn: x − y = 91 (1)<br />

⎫⎪<br />

⎬<br />

⎪⎭<br />

⎩y<br />

⎩y<br />

(II)<br />

13<br />

26<br />

13<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

107<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

(1) ⇔ ( x − y)( x 2 + xy + y<br />

2<br />

) = 91.1 = 13.7 (Vì ( x 2 xy y<br />

2<br />

)<br />

2 2<br />

( x y) ( x xy y )<br />

+ + > 0 )<br />

⎡⎪⎧ x − y = 1 ⎧x = 6 ⎧x<br />

= −5<br />

⎢⎨ ⇒ ;<br />

2 2 ⎨ ⎨<br />

⎢⎪⎩<br />

( x + xy + y ) = 91 ⎩y = 5 ⎩y<br />

= −6<br />

− . + + = 91.1⇒ ⎢<br />

⎢⎪⎧<br />

x − y = 91<br />

⎢⎨<br />

⇒ VN<br />

2 2<br />

⎢⎩⎪<br />

( x + xy + y ) = 1<br />

⎣<br />

Ví dụ 4: Tìm<br />

x y ∈ Z<br />

2 2<br />

; thoả mãn: x x y<br />

+ − = 0 (2)<br />

2 2<br />

( ) ( ) ( )( )<br />

+ − = 0 ⇒ 4 + 4 − 4 = 0 ⇒ 2 + 1 − 2 = 1⇒ 2 + 2 + 1 2 − + 1 = 1<br />

2 2 2 2<br />

x x y x x y x y x y x xy<br />

⎡ ⎧2x + 2y + 1 = 1 ⎧x<br />

= 0<br />

⎢⎨ ⇒ ⎨<br />

⎢⎩2x − 2y + 1 = 1 ⎩ y = 0<br />

⇒ ⎢ ⎧2x + 2y + 1 = − 1 ⎧x<br />

= −1<br />

⎢⎨<br />

⇒ ⎨<br />

⎢⎩ ⎣ 2x − 2y + 1 = − 1 ⎩y<br />

= 0<br />

{ }<br />

Vậy: ( x; y) ∈ ( 0;0 );( − 1;0 )<br />

- PHƯƠNG PHÁP 2: Phương pháp cực hạn<br />

Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình đối xứng<br />

- Vì phương trình đối xứng nên x; y;<br />

z có vai trò bình đẳng như nhau. Do đó; ta giả thiết<br />

x y z<br />

≤ ≤ ; tìm điều kiện của các nghiệm; loại trừ dần các ẩn để có phương trình đơn giản.<br />

Giải phương trình; dùng phép hoán vị để suy ra nghiệm.<br />

Ta thường giả thiết 1 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ ....<br />

Các ví dụ minh hoạ:<br />

Ví dụ 1: Tìm ; ;<br />

x y z Z +<br />

Nhận xét – Tìm hướng giải:<br />

∈ thoả mãn: . .<br />

Ta thấy đây là phương trình đối xứng.<br />

Giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z . Khi đó:<br />

(1) x. y. z x y z 3 z x. y 3<br />

x + y + z = x y z (1)<br />

⇒ = + + ≤ ⇒ ≤ (Vì ; ;<br />

* Nếu: x. y = 1⇒ x = y = 1⇒ 2 + z = z (vô lí)<br />

* Nếu: x. y = 2 ⇒ x = 1; y = 2; z = 3<br />

* Nếu: x. y = 3 ⇒ x = 1; y = 3 ⇒ z = 2 < y (vô lí)<br />

x y z Z +<br />

∈ ) ⇒ x. y ∈ { 1;2;3 }<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

108<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Vậy: x; y;<br />

z là hoán vị của ( 1;2;3 )<br />

Ví dụ 2: Tìm x; y;<br />

z ∈ Z + thoả mãn: 1 1 1 2<br />

Nhận xét – Tìm hướng giải:<br />

Đây là phương trình đối xứng.<br />

Giả sử 1 ≤ x ≤ y ≤ z . Khi đó:<br />

(2)<br />

1 1 1 3 3<br />

⇒ 2 = + + ≤ ⇒ x ≤ ⇒ x = 1<br />

x y z x 2<br />

1 1 2<br />

y z y<br />

+ + = (2)<br />

x y z<br />

Với: x = 1⇒ 1 = + ≤ ⇒ y ≤ 2 ⇒ y ∈ { 1;2}<br />

.Nếu:<br />

y<br />

1<br />

1 0<br />

z<br />

= ⇒ = (vô lí)<br />

.Nếu: y = 2 ⇒ z = 2<br />

Vậy: x; y;<br />

z là hoán vị của ( 1;2;2 )<br />

- PHƯƠNG PHÁP 3: Phương pháp sử dụng tính chất chia hết<br />

Các ví dụ minh hoạ:<br />

Ví dụ 1: Tìm ;<br />

Ta có:<br />

x y ∈ Z để:<br />

x x<br />

+ + 1<br />

2<br />

+<br />

A = x<br />

2 x<br />

2 2<br />

x + x x + x + 1−1 1<br />

A = = = 1+<br />

x<br />

2 x x<br />

2 x x<br />

2 x<br />

+ + 1 + + 1 + + 1<br />

Để A nhận giá trị nguyên thì<br />

2<br />

x<br />

1<br />

+ x + 1<br />

2 2<br />

( x x ) ( x x ) U( 1) { }<br />

⇒ 1⋮<br />

+ + 1 ⇒ + + 1 ∈ = −1;1<br />

Vì : ( )<br />

nhận giá trị nguyên<br />

2 2 ⎧x<br />

= 0<br />

x + x + 1 > 0; ∀x ∈Z<br />

⇒ x + x + 1 = 1⇒ ⎨<br />

⎩x<br />

= − 1<br />

. Khi đó:<br />

nhận giá trị nguyên.<br />

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì: x = 0 hoặc x = − 1<br />

Ví dụ 2: Tìm ;<br />

2 2 2<br />

x y ∈ Z thoả mãn: 2y x + x + y + 1 = x + 2 y + x.<br />

y<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

(2) ⇒ 2 y 2 .( x −1 ) − x. ( x −1 ) − y. ( x − 1) + 1 = 0 (*)<br />

Với: x = 1; (*)<br />

⇒ 1 = 0 ⇒ x = 1 không phải là ngiệm của phương trình. Nên:<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

109<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

2 1<br />

( ) .<br />

2y − x − y + = 0 **<br />

x −1<br />

1<br />

⎧x<br />

= 0<br />

⇔ ∈ ⇔ − ∈ = − ⇒ ⎨<br />

x − 1<br />

⎩x<br />

= 1<br />

Phương trình có nghiệm nguyên Z ( x 1 ) U (1) { 1; 1}<br />

Ví dụ 3: Tìm ;<br />

Ta có:<br />

x y Z +<br />

∈ thoả mãn: 3 x 1 ( y 1) 2<br />

+ = + (3)<br />

x<br />

2<br />

(3) ⇒ 3 = ( y −1) − 1 = y ( y + 2)<br />

.3 x là số lẻ ⇒ y; ( y + 2)<br />

là hai số lẻ liên tiếp<br />

⇒ ( y; y + 2)<br />

= 1 ⇒ y; y + 2 là các luỹ thừa của 3, nên:<br />

m<br />

⎧ ⎪ y = 3 *<br />

⎨<br />

⎪⎩ y + 2 = 3 **<br />

( )<br />

( ) ( )<br />

n<br />

Với: m = 0; ⇒ n = 1⇒ y = 1; x = 1.<br />

Với: m ≥1; ⇒ n > 1Từ ( ) ( )<br />

m<br />

n<br />

m + n = x ⇒ 3 + 2 = 3 ⇒ m < n<br />

Phương trình có nghiệm nguyên:<br />

⎧⎪ y⋮3<br />

* ; ** ⇒ ⎨ ⇒ ( y; ( y + 2)<br />

) ≠ 1<br />

⎪⎩ ( y + 2)<br />

⋮3<br />

⎧x<br />

= 1<br />

⎨<br />

⎩ y = 1<br />

- PHƯƠNG PHÁP 4: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức<br />

( vô lí)<br />

Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với các phương trình mà hai vế là<br />

những đa thức có tính biến thiên khác nhau.<br />

- Áp dụng các bất đẳng thức thường gặp:<br />

*Bất đẳng thức Cô – si:<br />

Cho n số không âm: a1; a2; a3;......; a<br />

n<br />

. Khi đó:<br />

a1 + a2 + a3<br />

+ ...... + a<br />

n<br />

* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:<br />

n<br />

a . a . a ....... a<br />

Cho 2n số thực: a 1<br />

; a 2<br />

; a 3<br />

;......; a<br />

n<br />

vàb 1<br />

b 2<br />

b 3<br />

⇔ a = a = a = = a<br />

≥<br />

n<br />

1 2 3 n<br />

. Dấu “=” xảy ra<br />

1 2 3<br />

......<br />

n<br />

; ; ;......; n<br />

b . Khi đó:<br />

( a . b a . b a . b .... a . b ) 2<br />

( a . a . a .... a )( b b . b .... b )<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

+ + + + ≤ + + + + + + + + .<br />

1 1 2 2 3 3 n n 1 2 3 n 1 2 3<br />

n<br />

Dấu “=” xảy ra a kb ( i 1; n)<br />

⇔ = = .<br />

i<br />

i<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

110<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

*Bất đẳng thứcgiá trị tuyết đối:<br />

⎡ a + b ⇔ a. b ≥ 0<br />

a + b = ⎢<br />

⎢⎣ a − b ⇔ a. b < 0<br />

Các ví dụ minh hoạ:<br />

Ví dụ 1: Tìm ;<br />

x y Z +<br />

∈ thoả:<br />

x. y y. z z.<br />

x<br />

+ + = 3 (1)<br />

z x y<br />

x. y y. z z. x x. y y. z z.<br />

x<br />

3 = + + ≥ 3. . . = 3. x. y.<br />

z .<br />

z x y z x y<br />

Áp dụng BĐT Cô – si. Ta có: 3<br />

3<br />

⇒<br />

3<br />

x. y. z ≤1 ⇔ x. y. z ≤ 1⇒ x = y = z = 1<br />

Vậy nghiệm của phương trình là: x = y = z = 1<br />

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( x y 1) 2 3( x 2 y<br />

2 1)<br />

Theo Bunhiacôpxki,ta có:<br />

( x + y + 1) 2 ≤ ( 1 2 + 1 2 + 1 2 )( x 2 + y 2 + 1) = 3( x 2 + y<br />

2 + 1)<br />

Dấu “=” xảy ra<br />

x y 1<br />

⇔ = = ⇒ x = y = 1<br />

1 1 1<br />

Vậy nghiệm của phương trình là: x = y = 1<br />

Ví dụ 3: Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn:<br />

Nhận xét – Tìm hướng giải:<br />

+ + = + + (2)<br />

x − 3 + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 = 2004 (3)<br />

Ta nhận thấy: 2104 = 3 + 10 + 101 + 990 + 1000 =101 + 2003 và a<br />

Ta có:(3) 3 x 10 x x 101 x 990 x 1000 2004<br />

Mà<br />

⇒ − + − + + + + + + = .<br />

⎧ 3− x ≥ 3 − x<br />

⎪<br />

⎪10 − x ≥ 10 − x<br />

⎪<br />

a ≥ a ⇒ ⎨ x + 101 ≥ x + 101 ⇒ 2004 ≥ x + 101 + 2003 ⇒ x + 101 ≤1<br />

⎪<br />

⎪<br />

x + 990 ≥ x + 990<br />

⎪<br />

⎩ x + 1000 ≥ x + 1000<br />

(Toán Tuổi thơ 2)<br />

= − a<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

111<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Do đó: 1 ( x 101) 1 ( x 101) { 1;0;1} x { 102; 101; 100}<br />

− ≤ + ≤ ⇒ + ∈ − ⇒ ∈ − − − .<br />

Với 101 2004 2003<br />

x = − ⇒ = (vô lí). Vậy nghiệm của phương trình là: x ∈{ −102; − 100}<br />

1) Tìm các số nguyên x,y,z thoả mãn:<br />

2 2 2<br />

Vì x,y,z là các số nguyên nên<br />

+ + ≤ + 3 + 2 − 3<br />

2 2 2<br />

x y z xy y z<br />

x + y + z ≤ xy + 3y + 2z<br />

− 3<br />

2 2<br />

2 2 2<br />

⎛<br />

2 y ⎞ ⎛ 3y<br />

⎞<br />

2<br />

⇔ x + y + z − xy − 3y − 2z + 3 ≤ 0 ⇔ ⎜ x − xy + ⎟ + ⎜ − 3y + 3⎟<br />

+ ( z − 2z<br />

+ 1)<br />

≤ 0<br />

⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠<br />

2 2<br />

⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞<br />

2<br />

⇔ ⎜ x − ⎟ + 3⎜ − 1⎟<br />

+ ( z −1)<br />

≤ 0<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />

2 2<br />

⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞<br />

2<br />

⎜ − ⎟ + 3⎜ − 1⎟<br />

+ −1 ≥ 0<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />

(*) Mà x<br />

( z )<br />

⎧ y<br />

⎪x<br />

− = 0<br />

2<br />

2 2<br />

⎧ x = 1<br />

⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞<br />

2 ⎪ y ⎪<br />

⇒ ⎜ x − ⎟ + 3⎜ − 1⎟<br />

+ ( z − 1)<br />

= 0 ⇔ ⎨ − 1 = 0 ⇔ ⎨ y = 2<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠<br />

⎪ 2 ⎪ z = 1<br />

⎪ z − 1 = 0 ⎩<br />

⎪<br />

⎩<br />

PHƯƠNG PHÁP 5: Phương pháp lựa chọn<br />

Các số x,y,z phải tìm là<br />

∀x,<br />

y ∈ R<br />

⎧ x = 1<br />

⎪<br />

⎨ y = 2<br />

⎪<br />

⎩ z = 1<br />

Phương pháp: Phương pháp này được sử dụng với các phương trình mà ta có thể nhẩm<br />

(phát hiện dể dàng) được một vài giá trị nghiệm<br />

- Trên cơ sở các giá trị nghiệm đã biết. Áp dụng các tính chất như chia hết; số dư; số<br />

chính phương; chữ số tận cùng ….. ta chứng tỏ rằng với các giá trị khác phương trình vô<br />

nghiệm<br />

Các ví dụ minh hoạ:<br />

Ví dụ 1: Tìm ;<br />

x y Z +<br />

Nhận xét – Tìm hướng giải:<br />

x + 3x + 1 = y<br />

∈ thoả mãn:<br />

6 3 4<br />

Ta thấy với x = 0; y = ± 1 thì phương trình được nghiệm đúng. Ta cần chứng minh<br />

phương trình vô nghiệm với x ≠ 0<br />

+ Với x = 0; y = ± 1 thì phương trình được nghiệm đúng<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

+ Với x > 0 . Khi đó:<br />

( ) ( )<br />

6 3 6 3 6 3 3<br />

2<br />

4 3<br />

2<br />

x + 2x + 1 < x + 3x + 1 < x + 4x + 4 ⇒ x + 1 < y < x + 2 (*)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

112<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

3 3<br />

Vì ( x 1 );( x 2)<br />

+ + là hai số nguyên liên tiếp nên không có giá trị nào của y thoả (*)<br />

Vậy x 0; y 1<br />

= = ± là nghiệm của phương trình.<br />

Ví dụ 2: Tìm x;<br />

y ∈ Z +<br />

2 2 1<br />

thoả: x x 1 3 y +<br />

+ − = (2)<br />

Gọi b là chữ số tận cùng của x ( Với { 0;1;2;...;9 }<br />

cùng là: 1, 5 hoặc 9. (*)<br />

(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ )<br />

2<br />

b ∈ . Khi đó: ( x x 1)<br />

2 1<br />

Mặt khác: 3 y+ là luỹ thừa bậc lẻ của 3 nên có tận cùng là 3 hoặc 7. (**)<br />

Từ (*) và (**) suy ra phương trình vô nghiệm.<br />

Ví dụ 3: Tìm ;<br />

x y Z +<br />

2 2<br />

(3) ( x 3) 4( 25 y )<br />

− 6 + 13 = 100 (3)<br />

2 2<br />

∈ thoả mãn: x xy y<br />

⎧⎪<br />

y ≤ 5<br />

⇒ − = − ⇒ ⎨<br />

⎪⎩<br />

2 2<br />

( 25 − y ) = n ( n∈<br />

N)<br />

+ − có chữ số tận<br />

Do đó: y ∈{ −5; −4; −3;0;3;4;5 } ⇒ x ∈ { 3;9;11;13}<br />

Phương trình có nghiệm nguyên: ( x; y) ∈{ ( −5;3 );( −4;9 );( − 3;11 );( 0;13 );( 3;11 );( 4;9 );( 5;3)<br />

}<br />

PHƯƠNG PHÁP 6: Phương pháp lùi vô hạn (xuống thang)<br />

Phương pháp: Phương pháp này thường sử dụng với những phương trình có (n – 1) ẩn mà<br />

hệ số có ước chung khác 1<br />

- Dựa vào tính chất chia hết ta biểu diễn ẩn theo ẩn phụ nhằm “hạ” (giảm bớt) hằng số<br />

tự do, để có được phương trình đơn giản hơn.<br />

- Sử dụng linh hoạt các phương pháp để giải phương trình đó.<br />

Các ví dụ minh hoạ:<br />

3 3 3<br />

Ví dụ 1: Giải phương trình: x − 3y − 9z<br />

= 0 (1)<br />

Nhận xét – Tìm hướng giải:<br />

Ta thấy 3 3 3 ( 3 3 3<br />

3 3<br />

x − 3y − 9z = 0 ⇒ x − 3y − 9z<br />

) ⋮ 3 mà ( y z )<br />

Ta có: (1) ( )<br />

⇒ − 3 − 9 3 ⇒ 3 ⇒ 3 ⇒ = 3<br />

3 3 3 3<br />

x y z ⋮ x ⋮ x⋮<br />

x x1<br />

Khi đó: (1) ( ) ( )<br />

−3 − 9 ⋮3nên x 3 ⋮ 3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

⇒ 27x − 3y − 9z ⋮3 ⇒ 9x − y − 3z ⋮3 ⇒ y ⋮3 ⇒ y⋮ 3 ⇒ y = 3y<br />

.<br />

3 3 3 3 3 3 3<br />

1 1 1<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

113<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

( )<br />

⇒ 9x − 27y − 3z ⋮3 ⇒ z ⋮3 ⇒ z⋮ 3 ⇒ y = 3z<br />

.<br />

3 3 3 3<br />

1 1 1<br />

* Tiếp tục sự biểu diễn trên và nếu gọi x0; y0;<br />

z<br />

0<br />

là nghiệm của (1) và thì 3∈U( x ; y ; z )<br />

0 0 0<br />

và<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

0 x ; y ; z 9<br />

≤ ≤ . Thực hiện thử chọn ta được: x0 = y0 = z0 = 0<br />

0 0 0<br />

Vậy nghiệm của phương trình là: x0 = y0 = z0 = 0<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

114<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

CÁC BÀI <strong>TẬP</strong> KHÁC<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

1/Dùng định nghĩa<br />

1) Cho abc = 1 và a 3 > 36 . . Chứng minh rằng + b 2 +c 2 > ab+bc+ac<br />

Ta có hiệu:<br />

2<br />

a<br />

+<br />

3<br />

2<br />

a<br />

4<br />

= ( +<br />

2<br />

a<br />

4<br />

b 2 +c 2 - ab- bc – ac = +<br />

=( 2<br />

a -b- c) 2 +<br />

2<br />

a<br />

3<br />

b 2 +c 2 - ab– ac+ 2bc) +<br />

a<br />

3 − 36abc<br />

12a<br />

2<br />

a<br />

+<br />

12<br />

2<br />

a<br />

−<br />

12<br />

Giải<br />

2<br />

a<br />

3<br />

b 2 +c 2 - ab- bc – ac<br />

3bc =( 2<br />

a -b- c) 2 +<br />

a<br />

3 − 36abc<br />

12a<br />

>0 (vì abc=1 và a 3 > 36 nên a >0 )<br />

Vậy : + b 2 +c 2 > ab+bc+ac Điều phải chứng minh<br />

2) Chứng minh rằng<br />

H =<br />

Giải :<br />

4 4 2<br />

2<br />

a) x + y + z + 1 ≥ 2x.(<br />

xy − x + z + 1)<br />

b) với mọi số thực a , b, c ta có : a<br />

2 + 5b<br />

2 − 4ab<br />

+ 2a<br />

− 6b<br />

+ 3 > 0<br />

c) a<br />

2 + 2b<br />

2 − 2ab<br />

+ 2a<br />

− 4b<br />

+ 2 ≥ 0<br />

a) Xét hiệu :<br />

2 2<br />

+ = ( x − y ) + ( x − z) 2<br />

+ ( x ) 2<br />

4 4 2<br />

2 2 2<br />

x y + z + 1−<br />

2x<br />

y + 2x<br />

− 2xz<br />

− 2x<br />

H ≥0 ta có điều phải chứng minh<br />

b) Vế trái có thể viết<br />

2<br />

2<br />

H = ( a − 2b<br />

+ 1) + ( b −1) + 1<br />

⇒ H > 0 ta có điều phải chứng minh<br />

c) vế trái có thể viết<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

H = ( a − b + 1) 2 + ( b − 1 ) 2<br />

⇒ H ≥ 0 ta có điều phải chứng minh<br />

2<br />

−1<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

115<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Ii / Dùng biến đổi tương đương<br />

1) Cho x > y và xy =1 .Chứng minh rằng : ( 2 2<br />

x + y )<br />

Giải :<br />

( x − y)<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

Ta có x + y = ( x − y) + 2xy<br />

= ( x − y) + 2 (vì xy = 1)<br />

2<br />

2 2<br />

⇒ ( x + y ) = ( x − y) + 4. ( x − y) + 4<br />

Do đó BĐT cần chứng minh tương đương với<br />

4<br />

( x − y) 4 + 4( x − y) 2<br />

+ 4 ≥ 8 . ( x − y) 2<br />

4<br />

2<br />

⇔ ( x − y) − 4( x − y) + 4 ≥ 0 ⇔ ⎡( x y)<br />

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh<br />

2) Cho xy ≥ 1 .Chứng minh rằng :<br />

Ta có<br />

Giải :<br />

2<br />

1 1 2<br />

+ ≥<br />

2<br />

2<br />

1+ x 1+<br />

y 1+<br />

xy<br />

2<br />

2<br />

≥ 8<br />

1 1 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞<br />

+ ≥ ⇔ ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ ≥ 0<br />

2 2<br />

2 2<br />

2<br />

1+ x 1+<br />

y 1+<br />

xy ⎝1+ x 1+<br />

y ⎠ ⎝1+<br />

y 1+<br />

xy ⎠<br />

xy − x<br />

2<br />

xy − y<br />

⇔<br />

2<br />

2<br />

( 1+<br />

x )( . 1+<br />

xy) ( 1+<br />

y )( . 1+<br />

xy)<br />

⇔<br />

+<br />

2<br />

( y − x) ( xy −1)<br />

2 2<br />

( 1+<br />

x )( .1+<br />

y )( . 1+<br />

xy)<br />

≥ 0<br />

2<br />

≥ 0<br />

x(<br />

y − x)<br />

⎣<br />

2<br />

− − 2⎤<br />

≥ 0<br />

⎦<br />

y(<br />

x − y)<br />

⇔ +<br />

2<br />

( 1+<br />

x )( . 1+<br />

xy) ( 1+<br />

y )( . 1+<br />

xy)<br />

2<br />

≥<br />

BĐT cuối này đúng do xy > 1 .Vậy ta có điều phải chứng minh<br />

Iii / dùng bất đẳng thức phụ<br />

1) Cho a , b, c là các số thực và a + b +c =1<br />

Giải :<br />

Chứng minh rằng<br />

a<br />

2 2 2<br />

+ b + c<br />

1<br />

≥<br />

3<br />

áp dụng BĐT BunhiaCôpski cho 3 số (1,1,1) và (a,b,c)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

2 2 2<br />

Ta có ( 1.<br />

a + 1. b + 1. c) ≤ ( 1+<br />

1+<br />

1 )( . a + b + c )<br />

2 2 2 2<br />

⇔ ( a + b + c) ≤ 3.<br />

( a + b + c )<br />

2<br />

0<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

116<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

⇔<br />

1<br />

≥<br />

3<br />

2) Cho a,b,c là các số dương<br />

Giải :<br />

2 2 2<br />

a + b + c (vì a+b+c =1 ) (đpcm)<br />

⎛ 1<br />

⎜<br />

⎝ a<br />

1 ⎞<br />

⎟<br />

c ⎠<br />

Chứng minh rằng ( a + b + c) . + + ≥ 9 (1)<br />

a<br />

b<br />

a<br />

c<br />

b<br />

a<br />

(1) ⇔ 1+<br />

+ + + 1+<br />

+ + + 1 ≥ 9<br />

b<br />

c<br />

x y<br />

+<br />

y x<br />

c<br />

a<br />

áp dụng BĐT phụ ≥ 2<br />

c<br />

a<br />

Ta có BĐT cuối cùng luôn đúng<br />

⎛ 1<br />

⎜<br />

⎝ a<br />

1<br />

b<br />

1 ⎞<br />

⎟<br />

c ⎠<br />

1<br />

b<br />

⎛ a b ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ b c ⎞<br />

⇔ 3 + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ ≥ 9<br />

⎝ b a ⎠ ⎝ c a ⎠ ⎝ c b ⎠<br />

Với x,y > 0<br />

Vậy ( a + b + c) . + + ≥ 9 (đpcm)<br />

Iv / dùng phương pháp bắc cầu<br />

⇒<br />

1) Cho 0 < a, b,c a + b<br />

< 1+<br />

b<br />

< 1+<br />

c<br />

3 3 3<br />

2 2 2<br />

2 a + 2b<br />

+ 2c<br />

< 3 + a b + b c + c a (đpcm)<br />

2) So sánh 31 11 và 17 14<br />

Giải :<br />

Ta thấy<br />

11<br />

2<br />

2<br />

c<br />

a<br />

32 = 2 = 2 < 2<br />

31 < ( ) 11<br />

Mặt khác ( ) 14<br />

11 5 55 56<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2 = 2 = 2 = 16 < 17<br />

56 4.14 4 14 14<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Vởy 31 11 < 17 14<br />

(đpcm)<br />

117<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

V/ dùng tính chất tỉ số<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

ví dụ 4: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ, chứng minh rằng:<br />

2<br />

2 2 2 2 2<br />

( a + c)<br />

+ ( b + d)<br />

≤ a + b + c + d<br />

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski<br />

2 2 2 2<br />

ta có ac + bd ≤ a + b . c + d<br />

2<br />

2 2 2<br />

2 2<br />

mà ( a c) + ( b + d ) = a + b + 2( ac + bd ) + c + d<br />

2 .<br />

d<br />

2 2<br />

2 2 2 2 2 2<br />

+ ≤ ( a + b ) + a + b c + d + c +<br />

⇒<br />

2<br />

2 2 2 2 2<br />

( a + c)<br />

+ ( b + d)<br />

≤ a + b + c + d<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

118<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Bµi 1: (3®) Chøng minh rÇng:<br />

a) 8 5 + 2 11 chia hÕt cho 17<br />

b) 19 19 + 69 19 chia hÕt cho 44<br />

Bµi 2:<br />

§Ò 1<br />

2<br />

x + x − 6<br />

a) Rót gän biÓu thøc:<br />

3 2<br />

x − 4x − 18x<br />

+ 9<br />

b) Cho 1 1 1 0( x, y, z 0)<br />

x + y + z<br />

= ≠ . TÝnh yz + xz +<br />

xy<br />

x 2 y 2 z<br />

2<br />

Bµi 3:(3®)<br />

Cho tam gi¸c ABC . LÊy c¸c ®iÓm D,E theo thø tù thuéc tia ®èi cña c¸c tia BA, CA<br />

sao cho BD = CE = BC. Gäi O lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD .Qua O vÏ ®−êng th¼ng<br />

song song víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, ®−êng th¼mg nµy c¾t AC ë K. Chøng minh<br />

r»ng AB = CK.<br />

Bµi 4 (1®).<br />

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt cña biÓu thøc sau (nÕu cã):<br />

M = 4x 2 + 4x + 5<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi 1 : (3®)<br />

a) (1,5®) Ta cã: 8 5 + 2 11 = (2 3 ) 5 + 2 11 = 2 15 + 2 11 =2 11 (2 4 + 1)=2 11 .17<br />

Râ rµng kÕt qu trªn chia hÕt cho 17.<br />

b) (1,5®) ¸p dông h»ng ®¼ng thøc:<br />

a n + b n = (a+b)(a n-1 - a n-2 b + a n-3 b 2 - …- ab n-2 + b n-1 ) víi mäi n lÏ.<br />

Ta cã: 19 19 + 69 19 = (19 + 69)(19 18 – 19 17 .69 +…+ 69 18 )<br />

= 88(19 18 – 19 17 .69 + …+ 69 18 ) chia hÕt cho 44.<br />

Bµi 2 : (3®)<br />

a) (1,5®) Ta cã: x 2 + x – 6 = x 2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3)<br />

= (x+3)(x-2).<br />

x 3 – 4x 2 – 18 x + 9 = x 3 – 7x 2 + 3x 2 - 21x + 3x + 9<br />

=(x 3 + 3x 2 ) – (7x 2 +21x) +(3x+9)<br />

=x 2 (x+3) -7x(x+3) +3(x+3)<br />

=(x+3)(x 2 –7x +3)<br />

=><br />

2<br />

x + x − 6<br />

− 4 − 18 + 9<br />

3 2<br />

x x x<br />

b) (1,5®) V×<br />

(x+3)(x-2) ( x − 2)<br />

(x+3)(x -7x +3) x -7x +3<br />

=<br />

2 2<br />

= Víi ®iÒu kiÖn x≠ -1 ; x 2 -7x + 3 ≠ 0<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

1<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞<br />

+ + = 0 ⇒ = − ⎜ + ⎟<br />

x y z z ⎝ x y ⎠<br />

3<br />

1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 ⎞<br />

⇒ = − 3. . 3 .<br />

3 ⎜ + ⎟ ⇒ = −<br />

3 ⎜ + + +<br />

3 2 2 3 ⎟<br />

z ⎝ x y ⎠ z ⎝ x x y x y y ⎠<br />

1 1 1 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 1 1<br />

⇒ + + = − 3 . . ⎜ + ⎟ ⇒ + + = 3.<br />

⎝ ⎠<br />

3 3 3 3 3 3<br />

x y z x y x y x y z xyz<br />

1<br />

Do ®ã : xyz(<br />

x + 1<br />

3 3<br />

y + 1<br />

3<br />

z )= 3 xyz xyz xyz yz zx xy<br />

⇔ + + = 3 ⇔ + + = 3<br />

3 3 3 2 2 2<br />

x y z x y z<br />

Bµi 3 : (3®)<br />

Chøng minh :<br />

VÏ h×nh b×nh hµnh ABMC ta<br />

cã AB = CM .<br />

§Ó chøng minh AB = KC ta cÇn<br />

chøng minh KC = CM.<br />

ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC =<br />

CE (gt) => tam gi¸c CBE c©n t¹i C<br />

=> B = E v× gãc C 1 lµ gãc ngoµi<br />

1<br />

cña tam gi¸c BCE =><br />

1<br />

C <br />

1<br />

= B1 + E ⇒ B1 = C1<br />

mµ AC // BM<br />

2<br />

(ta vÏ) => 1<br />

C <br />

1<br />

= CBM ⇒ B1<br />

= CBM<br />

2<br />

M<br />

nªn BO lµ tia ph©n gi¸c cña CBM .<br />

Hoµn toµn t−¬ng tù ta cã CD lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BCM . Trong tam gi¸c BCM,<br />

OB, CO, MO ®ång quy t¹i O => MO lµ ph©n tia ph©n gi¸c cña gãc CMB<br />

Mµ : BAC , BMC lµ hai gãc ®èi cña h×nh b×nh hµnh BMCA => MO // víi tia ph©n gi¸c<br />

cña gãc A theo gt tia ph©n gi¸c cña gãc A cßn song song víi OK => K,O,M th¼ng<br />

hµng.<br />

Ta l¹i cã : 1<br />

M <br />

1<br />

= BMC( cmt);<br />

A = M ⇒ M <br />

1<br />

= A2<br />

mµ A<br />

<br />

2<br />

= K 1 (hai gãc ®ång vÞ)<br />

2<br />

=> K = M ⇒ ∆ CKM c©n t¹i C => CK = CM. KÕt hîp AB = CM => AB = CK (®pcm)<br />

1 1<br />

Bµi 4: (1®)<br />

Ta cã M= 4x 2 + 4x + 5 =[(2x) 2 + 2.2x.1 + 1] +4<br />

= (2x + 1) 2 + 4.<br />

V× (2x + 1) 2 ≥0 =>(2x + 1) 2 + 4 ≥ 4 M ≥ 4<br />

VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 4 khi x = - 1 2<br />

D<br />

B<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

A<br />

K<br />

C<br />

E<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

2<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

-------------------------------------------------<br />

®Ò 2<br />

C©u 1 . T×m mét sè cã 8 ch÷ sè: a1a 2.. . a<br />

8<br />

tho· m·n 2 ®iÒu kiÖn a vµ b sau:<br />

a) a a a = ( a a ) 2<br />

b) a a a a a = ( a a ) 3<br />

1 2 3<br />

7<br />

8<br />

4 5 6 7 8 7 8<br />

C©u 2 . Chøng minh r»ng: ( x m + x n + 1 ) chia hÕt cho x 2 + x + 1.<br />

khi vµ chØ khi ( mn – 2) ⋮ 3.<br />

¸p dông ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x 7 + x 2 + 1.<br />

C©u 3 . Gii ph−¬ng tr×nh:<br />

⎛ 1 1<br />

1 ⎞<br />

⎜ + + ... +<br />

⎟<br />

⎝1.2.3<br />

2.3.4 2005.2006.2007 ⎠ x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . . + 2006.2007).<br />

C©u 4 . Cho h×nh thang ABCD (®¸y lín CD). Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; c¸c<br />

®−êng kÎ tõ A vµ B lÇn l−ît song song víi BC vµ AD c¾t c¸c ®−êng chÐo BD vµ AC<br />

t−¬ng øng ë F vµ E. Chøng minh:<br />

EF // AB<br />

b). AB2 = EF.CD.<br />

c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diÖn tÝch cña c¸c tam gi¸c OAB; OCD; OAD<br />

Vµ OBC<br />

Chøng minh: S1 . S2 = S3 . S4 .<br />

C©u 5 . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt: A = x 2 - 2xy + 6y 2 – 12x + 2y + 45.<br />

§¸p ¸n<br />

C©u 1 . Ta cã a 1 a 2 a 3 = (a 7 a 8 ) 2 (1) a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 = ( a 7 a 8 ) 3 (2).<br />

Tõ (1) vµ (2) => 22 ≤ a<br />

7<br />

a8<br />

≤ 31<br />

=> ( a 7 a 8 ) 3 = a 4 a 5 a 6 00 + a 7 a 8 ( a 7 a 8 ) 3 – a 7 a 8 = a 4 a 5 a 6 00.<br />

( a 7 a 8 – 1) a 7 a 8 ( a 7 a 8 + 1) = 4 . 25 . a 4 a 5 a 6<br />

do ( a 7 a 8 – 1) ; a 7 a 8 ; ( a 7 a 8 + 1) lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp nªn cã 3 kh n¨ng:<br />

a) . a 7 a 8 = 24 => a 1 a 2 a 3 . . . a 8 lµ sè 57613824.<br />

b) . a 7 a 8 – 1 = 24 => a 7 a 8 = 25 => sè ®ã lµ 62515625<br />

c) . a 7 a 8 = 26 => kh«ng tho m·n<br />

c©u 2 . §Æt m = 3k + r víi 0 ≤ r ≤ 2 n = 3t + s víi 0 ≤ s ≤ 2<br />

x m + x n + 1 = x 3k+r + x 3t+s + 1 = x 3k x r – x r + x 3t x s – x s + x r + x s + 1.<br />

= x r ( x 3k –1) + x s ( x 3t –1) + x r + x s +1<br />

ta thÊy: ( x 3k – 1) ⋮ ( x 2 + x + 1) vµ ( x 3t –1 ) ⋮ ( x 2 + x + 1)<br />

vËy: ( x m + x n + 1) ⋮ ( x 2 + x + 1)<br />

( x r + x s + 1) ⋮ ( x 2 + x + 1) víi 0 ≤ r ; s ≤ 2<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

r = 2 vµ s =1 => m = 3k + 2 vµ n = 3t + 1<br />

r = 1 vµ s = 2 m = 3k + 1 vµ n = 3t + 2<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

3<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

mn – 2 = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – 2 = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t)<br />

mn – 2 = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – 2 = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t)<br />

=> (mn – 2) ⋮ 3 §iÒu phi chøng minh.<br />

¸p dông: m = 7; n = 2 => mn – 2 = 12 ⋮ 3.<br />

( x 7 + x 2 + 1) ⋮ ( x 2 + x + 1)<br />

( x 7 + x 2 + 1) : ( x 2 + x + 1) = x 5 + x 4 + x 2 + x + 1<br />

C©u 3 . Gii PT:<br />

⎛ 1 1<br />

1 ⎞<br />

⎜ + . + … +<br />

⎟ x =<br />

⋯<br />

⎝1.2.3<br />

2.3.4 2005.2006.2007 ⎠<br />

Nh©n 2 vÕ víi 6 ta ®−îc:<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

( 1.2 + 2.3 + + 2006.2007)<br />

⎛ 2 2<br />

2 ⎞<br />

3⎜<br />

+ + ⋯+<br />

⎟ x = 2<br />

⋯<br />

−<br />

⎝1`.2.3<br />

2.3.4 2005.2006<br />

.2007⎠<br />

⎛ 1 1 1 1<br />

1 ⎞<br />

3⎜<br />

− + − + ⋯ − ⎟ x<br />

⎝1.2<br />

2.3 2.3 3.4 2006.2007 ⎠<br />

= 2<br />

⇔<br />

( 1.2.3+<br />

2.3.4−1.2.3+<br />

⋯ + 2006.2007.2008−<br />

2005.2006.2007)<br />

[( 1.2( 3−0) + 2.3( 4−1) + + 2006.20072008<br />

( 2005)<br />

)]<br />

⎛ 1 1 ⎞<br />

1003.1004.669<br />

3 ⎜ − ⎟ x = 2.2006.2007.2008 ⇔ x =<br />

⎝1.2<br />

2006.2007 ⎠<br />

5.100.651<br />

OE OA<br />

C©u 4 .a) Do AE// BC => = A B<br />

OB OC<br />

O F OB<br />

O K<br />

BF// AD<br />

=<br />

OA OD<br />

E H F<br />

MÆT kh¸c AB// CD ta l¹i cã<br />

D A 1 B 1 C<br />

OA OB<br />

OE OF<br />

= nªn = => EF // AB<br />

OC OD<br />

OB OA<br />

b). ABCA 1 vµ ABB 1 D lµ h×nh b×nh hµnh => A 1 C = DB 1 = AB<br />

EF AB<br />

V× EF // AB // CD nªn = => AB<br />

2<br />

= EF.CD.<br />

AB DC<br />

c) Ta cã: S 1 = 2<br />

1 AH.OB; S2 = 2<br />

1 CK.OD; S3 = 2<br />

1 AH.OD; S4 = 2<br />

1 OK.OD.<br />

1<br />

1<br />

AH.<br />

OB<br />

AH.<br />

OD<br />

S1 AH<br />

=> = 2<br />

S3 = ; 2<br />

S<br />

1<br />

S<br />

= = AH.<br />

CK => =<br />

3 => S1 .S<br />

S 1<br />

4<br />

CK.<br />

OB<br />

CK S 1<br />

2 = S 3 .S 4<br />

2<br />

CK.<br />

OD<br />

S4<br />

S2<br />

2<br />

2<br />

C©u 5. A = x 2 - 2xy+ 6y 2 - 12x+ 2y + 45<br />

= x 2 + y 2 + 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y 2 - 10y+ 5+ 4<br />

= ( x- y- 6) 2 + 5( y- 1) 2 + 4 ≥ 4<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gi¸ trÞ nhá nhÊt A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1<br />

x- y- 6 = 0 x = 7<br />

---------------------------------------------<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

4<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

®Ò 3<br />

C©u 1: a. Rót gän biÓu thøc:<br />

A= (2+1)(2 2 +1)(2 4 +1).......( 2 256 + 1) + 1<br />

b. NÕu x 2 =y 2 + z 2<br />

Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y) 2<br />

x<br />

C©u 2: a. Cho + + = 0<br />

a<br />

y<br />

b<br />

z<br />

c<br />

a b c<br />

(1) vµ + + = 2 (2)<br />

x y z<br />

2 2 2<br />

x y z<br />

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A= + +<br />

2 2 2<br />

a b c<br />

ab bc ca<br />

b. Biết a + b + c = 0 TÝnh : B = +<br />

+<br />

2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />

a + b − c b + c − a c + a − b<br />

C©u 3: T×m x , biÕt :<br />

x·<br />

−1<br />

x −10<br />

x −19<br />

+ + = 3 (1)<br />

2006 1997 1988<br />

C©u 4: Cho h×nh vu«ng ABCD, M ∈ ®−¬ng chÐo AC. Gäi E,F theo thø tù lµ h×nh<br />

chiÕu cña M trªn AD, CD. Chøng minh r»ng:<br />

a.BM ⊥ EF<br />

b. C¸c ®−êng th¼ng BM, EF, CE ®ång quy.<br />

C©u 5: Cho a,b, c, lµ c¸c sè d−¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña<br />

1 1 1<br />

P= (a+ b+ c) ( + + ).<br />

a b c<br />

§¸p ¸n<br />

C©u 1: a. ( 1,25 ®iÓm) Ta cã:<br />

A= (2-1) (2+1) (2 2 +1) ........ + 1<br />

= (2 2 -1)(2 2 +1) ......... (2 256 +1)<br />

= (2 4 -1) (2 4 + 1) ......... (2 256 +1)<br />

................<br />

= [(2 256 ) 2 –1] + 1<br />

= 2 512<br />

b, . ( 1 ®iÓm) Ta cã:<br />

(5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y ) 2 –16z 2 = 25x 2 –30xy + 9y 2 –16 z 2<br />

(*)<br />

V× x 2 =y 2 + z 2 ⇒ (*) = 25x 2 –30xy + 9y 2 –16 (x 2 –y 2 ) = (3x –5y) 2<br />

C©u 2: . ( 1,25 ®iÓm) a. Tõ (1) ⇒ bcx +acy + abz =0<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Tõ (2) ⇒<br />

x<br />

a<br />

2<br />

2<br />

2 2<br />

y z ⎛ ab ac bc ⎞<br />

+ + + 2<br />

⎜ + +<br />

⎟ = 0 ⇒<br />

2 2<br />

b c ⎝ xy xz yz ⎠<br />

⎛ abz + acy + bcx ⎞<br />

= 4 − 2<br />

⎜<br />

⎟ = 4<br />

⎝ xyz ⎠<br />

b. . ( 1,25 ®iÓm) Tõ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ a 2 + b 2 –c 2 = - 2ab<br />

T−¬ng tù b 2 + c 2 – a 2 = - 2bc; c 2 +a 2 -b 2 = -2ac<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

5<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

x<br />

a<br />

2<br />

2<br />

y<br />

+<br />

b<br />

2<br />

2<br />

z<br />

+<br />

c<br />

2<br />

2<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

ab bc ca 3<br />

⇒ B = + + = −<br />

− 2ab<br />

− 2bc<br />

− 2ca<br />

2<br />

C©u 3: . ( 1,25 ®iÓm)<br />

x·<br />

−2007<br />

x − 2007 x − 2007<br />

(1) ⇔ + + = 0<br />

2006 1997 1988<br />

⇒ x= 2007<br />

A<br />

C©u 4: a. ( 1,25 ®iÓm) Gäi K lµ giao ®iÓm CB víi EM;<br />

H lµ giao ®iÓm cña EF vµ BM<br />

⇒ ∆ EMB =∆BKM ( gcg)<br />

⇒ Gãc MFE =KMB ⇒ BH ⊥ EF E M K<br />

b. ( 1,25 ®iÓm) ∆ ADF = ∆BAE (cgc) ⇒AF ⊥ BE H<br />

T−¬ng tù: CE ⊥ BF ⇒ BM; AF; CE<br />

lµ c¸c ®−êng cao cña ∆BEF ⇒ ®pcm<br />

C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã: D F C<br />

P = 1 +<br />

a a b b c c ⎛ a b ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ b c ⎞<br />

+ + + 1 + + + + 1 = 3 + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟<br />

b c a c a b ⎝ b a ⎠ ⎝ c a ⎠ ⎝ c b ⎠<br />

x y<br />

MÆt kh¸c + ≥ 2 víi mäi x, y d−¬ng. ⇒ P / 3+2+2+2 =9<br />

y x<br />

VËy P min = 9 khi a=b=c.<br />

---------------------------------------<br />

®Ò 4<br />

Bµi 1 (3®):<br />

1) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:<br />

a) x 2 + 7x + 12<br />

b) a 10 + a 5 + 1<br />

2) Gii ph−¬ng tr×nh:<br />

Bµi 2 (2®):<br />

x + 2 x + 4 x + 6 x + 8<br />

+ = +<br />

98 96 94 92<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

2<br />

2x<br />

+ 3x<br />

+ 3<br />

T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc P = cã gi¸ trÞ nguyªn<br />

2x<br />

−1<br />

Bµi 3 (4®): Cho tam gi¸c ABC ( AB > AC )<br />

1) KÎ ®−êng cao BM; CN cña tam gi¸c. Chøng minh r»ng:<br />

a) ∆ ABM ®ång d¹ng ∆ ACN<br />

b) gãc AMN b»ng gãc ABC<br />

2) Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm K sao cho BK = AC. Gäi E lµ trung ®iÓm cña BC; F<br />

lµ trung ®iÓm cña AK.<br />

Chøng minh r»ng: EF song song víi tia ph©n gi¸c Ax cña gãc BAC.<br />

Bµi 4 (1®):<br />

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

6<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

B<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

2<br />

x − 2x<br />

+ 2007<br />

A = , ( x kh¸c 0)<br />

2<br />

2007x<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi 1 (3®):<br />

1) a) x 2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®)<br />

b) a 10 + a 5 + 1 = (a 10 + a 9 + a 8 ) - (a 9 + a 8 + a 7 ) + (a 7 + a 6 + a 5 ) - (a 6 + a 5 + a 4 ) +<br />

(a 5 + a 4 + a 3 ) - (a 3 + a 2 + a ) + (a 2 + a + 1 ) = (a 2 + a + 1 )( a 8 - a 7 + a 5 - a 4 + + a 3 - a+<br />

1 ) (1®)<br />

2)<br />

x + 2 x + 4 x + 6 x + 8<br />

+ = +<br />

98 96 94 92<br />

x + 2<br />

⇔ ( 98<br />

+<br />

+<br />

x 4 x 6 x 8<br />

+1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) (0,5®)<br />

96 94 92<br />

1 1 1 1<br />

⇔ ( x + 100 )( + - - ) = 0 (0,25®)<br />

98 96 94 92<br />

1 1 1 1<br />

V×: + - - ≠ 0<br />

98 96 94 92<br />

Do ®ã : x + 100 = 0 ⇔ x = -100<br />

VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = -100 (0,25®)<br />

Bµi 2 (2®):<br />

P =<br />

2<br />

2<br />

2x<br />

+ 3x<br />

+ 3 (2x<br />

− x)<br />

+ (4x<br />

− 2) + 5<br />

5<br />

=<br />

= x + 2 +<br />

2x<br />

−1<br />

2x<br />

−1<br />

2x<br />

−1<br />

x nguyªn do ®ã x + 2 cã gi¸ trÞ nguyªn<br />

®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn th×<br />

5<br />

2x −1<br />

=> * 2x - 1 = 1 => x = 1<br />

* 2x - 1 = -1 => x = 0<br />

* 2x - 1 = 5 => x = 3<br />

* 2x - 1 = -5 => x = -2 (0,5®)<br />

1;0;3;<br />

− 2 th× P cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />

VËy x = { }<br />

Khi ®ã c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña P lµ:<br />

x = 1 => P = 8<br />

x = 0 => P = -3<br />

x = 3 => P = 6<br />

x = -2 => P = -1 (0,5®)<br />

Bµi 3 (4®):<br />

1) a) chøng minh ∆ ABM ®ång d¹ng ∆ CAN (1®)<br />

+<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

(0,5®)<br />

phi nguyªn hay 2x - 1 lµ −íc nguyªn cña 5 (0,5®)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

7<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

AB AM<br />

b) Tõ c©u a suy ra: =<br />

AC AN ⇒ ∆ AMN ®ång d¹ng ∆ ABC<br />

⇒ ∠ AMN = ∠ ABC ( hai gãc t−¬ng øng) (1,25®)<br />

2) KÎ Cy // AB c¾t tia Ax t¹i H (0,25®)<br />

∠ BAH = ∠ CHA ( so le trong, AB // CH)<br />

mµ ∠ CAH = ∠ BAH ( do Ax lµ tia ph©n gi¸c) (0,5®)<br />

Suy ra:<br />

∠ CHA = ∠ CAH nªn ∆ CAH c©n t¹i C<br />

do ®ã : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK (0,5®)<br />

BK = CA<br />

VËy tø gi¸c KCHB lµ h×nh b×nh hµnh suy ra: E lµ trung ®iÓm KH<br />

Do F lµ trung ®iÓm cña AK nªn EF lµ ®−êng trung b×nh cña tam gi¸c KHA. Do ®ã EF<br />

// AH hay EF // Ax ( ®fcm) (0,5®)<br />

Bµi 4 (1®):<br />

2<br />

2007x − 2x.2007<br />

+ 2007<br />

A =<br />

2<br />

2007x<br />

2<br />

x − 2x.2007<br />

+ 2007<br />

2007x<br />

2<br />

=<br />

2<br />

2<br />

( x − 2007) 2006 2006<br />

=<br />

+ ≥<br />

2<br />

2007x<br />

2007 2007<br />

2006<br />

A min = khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5®)<br />

2007<br />

------------------------------------<br />

®Ò 5<br />

2<br />

2006x<br />

2007x<br />

2<br />

+<br />

2<br />

2<br />

⎛ x 6 1 ⎞ ⎛ 10 − x<br />

C©u 1 ( 3 ®iÓm ) . Cho biÓu thøc A =<br />

⎜ + +<br />

⎟ :<br />

⎜ x − 2 +<br />

3<br />

⎝ x − 4x<br />

6 − 3x<br />

x + 2 ⎠ ⎝ x + 2<br />

a, T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó A x¸c ®Þnh .<br />

b, Rót gän biÓu thøc A .<br />

c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > O<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

2<br />

2<br />

x − 4x<br />

+ 1 x − 5x<br />

+ 1<br />

C©u 2 ( 1,5 ®iÓm ) .Gii ph¬ng tr×nh sau :<br />

+ 2 = −<br />

x + 1<br />

2x<br />

+ 1<br />

C©u 3 ( 3,5 ®iÓm): Cho h×nh vu«ng ABCD. Qua A kÏ hai ®êng th¼ng vu«ng gãc víi<br />

nhau lÇn lît c¾t BC tai P vµ R, c¾t CD t¹i Q vµ S.<br />

1, Chøng minh ∆ AQR vµ ∆ APS lµ c¸c tam gi¸c c©n.<br />

2, QR c¾t PS t¹i H; M, N lµ trung ®iÓm cña QR vµ PS . Chøng minh tø gi¸c AMHN lµ<br />

h×nh ch÷ nhËt.<br />

3, Chøng minh P lµ trùc t©m ∆ SQR.<br />

4, MN lµ trung trùc cña AC.<br />

5, Chøng minh bèn ®iÓm M, B, N, D th¼ng hµng.<br />

C©u 4 ( 1 ®iÓm):<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

⎟ ⎞<br />

⎠<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

8<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

2x<br />

3 3<br />

Cho biÓu thøc A =<br />

2 + x +<br />

2x<br />

+ 1<br />

C©u 5 ( 1 ®iÓm)<br />

. T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn<br />

3 3 3<br />

3<br />

3<br />

a, Chøng minh r»ng x + y + z = ( x + y) − 3xy.<br />

( x + y) + z<br />

1 1 1<br />

b, Cho + + = 0.<br />

x<br />

C©u 1<br />

a, x # 2 , x # -2 , x # 0<br />

b , A =<br />

=<br />

=<br />

y<br />

⎛<br />

⎜<br />

⎝ x<br />

2<br />

x −<br />

z<br />

yz<br />

x<br />

xz<br />

y<br />

xy<br />

z<br />

TÝnh A = + +<br />

2 2 2<br />

x 2 1 ⎞ 6<br />

+ + ⎟ :<br />

− 4 2 − x x + 2 ⎠ x + 2<br />

2( x + 2)<br />

+ x − 2 6<br />

:<br />

( x − 2)( x + 2) x + 2<br />

− 6<br />

c, §Ó A > 0 th× > 0<br />

C©u 2 . §KX§ :<br />

x + 2<br />

. =<br />

§¸p ¸n<br />

( x − 2)( x + 2) 6 2 − x<br />

1<br />

⇔ 2 − x > 0 ⇔ x < 2<br />

2 − x<br />

1<br />

x ≠ −1;<br />

x ≠ −<br />

2<br />

2<br />

2<br />

x − 4x<br />

+ 1 x − 5x<br />

+ 1 x<br />

PT ⇔ + 1+<br />

+ 1 = 0 ⇔<br />

x + 1 2x<br />

+ 1<br />

⇔<br />

1<br />

2<br />

− 3x<br />

+ 2 x<br />

+<br />

x + 1<br />

2<br />

− 3x<br />

+ 2<br />

= 0<br />

2x<br />

+ 1<br />

2 ⎛ 1 1 ⎞<br />

2<br />

( x − 3x<br />

+ 2) ⎜ + ⎟ = 0 ⇔ ( x − 3x<br />

+ 2)( 3x<br />

+ 2) = 0 ⇔ ( x −1)( x − 2)( 3x<br />

+ 2) = 0<br />

⎝ x + 1<br />

2x<br />

+ 1⎠<br />

⇔ x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3<br />

C 3 gi¸ trÞ trªn ®Òu tháa m·n §KX§ .<br />

⎧ 2⎫<br />

VËy PT ®· cho cã tËp nghiÖm S = ⎨1<br />

;2;− ⎬<br />

⎩ 3 ⎭<br />

C©u 3:<br />

1, ∆ ADQ = ∆ ABR v× chóng lµ hai tam gi¸c<br />

vu«ng (®Ó ý gãc cã c¹nh vu«ng gãc) vµ DA=BD<br />

( c¹nh h×nh vu«ng). Suy ra AQ=AR, nªn ∆ AQR<br />

lµ tam gi¸c vu«ng c©n. Chøng minh tîng tù ta<br />

cã: ∆ ARP= ∆ ADS<br />

do ®ã AP = AS vµ ∆ APS lµ tam gi¸c c©n t¹i A.<br />

2, AM vµ AN lµ ®êng trung tuyÕn cña tam gi¸c<br />

vu«ng c©n AQR vµ APS nªn AN ⊥ SP vµ<br />

AM ⊥ RQ.<br />

MÆt kh¸c : ∠ PAN = ∠PAM<br />

= 45 0 nªn gãc<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

MAN vu«ng. VËy tø gi¸c AHMN cã ba gãc vu«ng, nªn nã lµ h×nh ch÷ nhËt.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

9<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

3, Theo gi thiÕt: QA ⊥ RS, RC ⊥ SQ nªn QA vµ RC lµ hai ®êng cao cña ∆ SQR. VËy P<br />

lµ trùc t©m cña ∆ SQR.<br />

4, Trong tam gi¸c vu«ng c©n AQR th× MA lµ trung ®iÓm nªn AM = 2<br />

1 QR.<br />

Trong tam gi¸c vu«ng RCQ th× CM lµ trung tuyÕn nªn CM = 2<br />

1 QR.<br />

⇒MA = MC, nghÜa lµ M c¸ch ®Òu A vµ C.<br />

Chøng minh t¬ng tù cho tam gi¸c vu«ng c©n ASP vµ tam gi¸c vu«ng SCP, ta cã NA=<br />

NC, nghÜa lµ N c¸ch ®Òu A vµ C. Hay MN lµ trungtrùc cña AC<br />

5, V× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn B vµ D còng c¸ch ®Òu A vµ C. Nãi c¸ch kh¸c, bèn<br />

®iÓm M, N, B, D cïng c¸ch ®Òu A vµ C nªn chóng phi n»m trªn ®êng trung trùc cña<br />

AC, nghÜa lµ chóng th¼ng hµng.<br />

C©u 4 . Ta cã §KX§ x ≠ -1/2<br />

A = (x + 1) +<br />

2<br />

2x + 1<br />

v× x∈ Z nªn ®Ó A nguyªn th×<br />

2<br />

2x<br />

+ 1<br />

Hay 2x+1 lµ íc cña 2 . VËy :<br />

2x+1 = 2 ⇒x=1/2 ( lo¹i )<br />

2x+1 = 1 ⇒ x = 0<br />

2x+1 = -1 ⇒ x = -1<br />

2x +1 = -2 ⇒ x = -3/2 ( lo¹i )<br />

KL : Víi x = 0 , x= -1 th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn<br />

3 3 3<br />

3<br />

3<br />

C©u 5. a, , Chøng minh x + y + z = ( x + y) − 3xy.<br />

( x + y) + z<br />

BiÕn ®æi vÕ phi ®îc ®iÒu phi chøng minh.<br />

b, Ta cã a + b + c = 0 th×<br />

3 3 3<br />

3<br />

3 3<br />

3<br />

a + b + c = ( a + b) − 3ab( a + b) + c = −c<br />

− 3ab( − c) + c = 3abc<br />

(v× a + b + c = 0 nªn a + b = −c)<br />

1 1 1 1 1 1 3<br />

Theo gi thiÕt + + = 0.<br />

⇒ + + = .<br />

3 3 3<br />

x y z<br />

xyz<br />

x<br />

y<br />

z<br />

nguyªn<br />

yz xz xy xyz xyz xyz ⎛ 1 1 1 ⎞ 3<br />

khi ®ã A = + + = + + = xyz<br />

= × = 3<br />

2 2 2 3 3 3<br />

⎜ + +<br />

3 3 3<br />

⎟ xyz<br />

x y z x y z ⎝ x y z ⎠ xyz<br />

=====================<br />

Bµi 1 : (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc :<br />

®Ò 6<br />

2<br />

4<br />

⎛ x −1<br />

1<br />

M =<br />

⎟ ⎞ ⎛ 4 1 − x ⎞<br />

⎜ −<br />

4 2<br />

2<br />

⎝ x − x + 1 x + 1<br />

⎜ x + ⎟<br />

2<br />

⎠ ⎝ 1 + x ⎠<br />

a) Rót gän<br />

b) T×m gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña M .<br />

Bµi 2 : (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

10<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

3 2<br />

4x<br />

− 3x<br />

+ 2x<br />

− 83<br />

A =<br />

x − 3<br />

Bµi 3 : 2 ®iÓm<br />

Gii ph−¬ng tr×nh :<br />

a) x 2 - 2005x - 2006 = 0<br />

b) x − 2 + x − 3 + 2x −8<br />

= 9<br />

Bµi 4 : (3®) Cho h×nh vu«ng ABCD . Gäi E lµ 1 ®iÓm trªn c¹nh BC . Qua E kÎ tia Ax<br />

vu«ng gãc víi AE . Ax c¾t CD t¹i F . Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K .<br />

§−êng th¼ng qua E song song víi AB c¾t AI ë G . Chøng minh :<br />

a) AE = AF vµ tø gi¸c EGKF lµ h×nh thoi .<br />

b) ∆ AEF ~ ∆ CAF vµ AF 2 = FK.FC<br />

c) Khi E thay ®æi trªn BC chøng minh : EK = BE + DK vµ chu vi tam gi¸c EKC<br />

kh«ng ®æi .<br />

Bµi 5 : (1®) Chøng minh : B = n 4 - 14n 3 + 71n 2 -154n + 120<br />

chia hÕt cho 24<br />

Bµi 1 :<br />

( x<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

2<br />

−1)(<br />

x<br />

§¸p ¸n<br />

a) M = ( x 4 +1-x 2 ) =<br />

( x<br />

4<br />

2<br />

− x<br />

b) BiÕn ®æi : M = 1 -<br />

+ 1) − x<br />

2<br />

+ 1)( x<br />

x 2 + 1<br />

= 0 ⇔ x = 0 ⇒ M bÐ nhÊt = -2<br />

3<br />

4<br />

2<br />

+ x<br />

2<br />

+ 1)<br />

Bµi 2 : BiÕn ®æi A = 4x 2 +9x+ 29 +<br />

−1<br />

. M bÐ nhÊt khi<br />

4<br />

x − 3<br />

3<br />

x<br />

x 2 + 1<br />

⇔ A ∈Z ⇔<br />

4<br />

−1−<br />

x<br />

x<br />

2<br />

4<br />

+ x<br />

+ 1<br />

2<br />

−1<br />

x<br />

=<br />

x<br />

− 2<br />

+ 1<br />

lín nhÊt ⇔ x 2 +1 bÐ nhÊt ⇔ x 2<br />

4<br />

x − 3<br />

⇔ x-3 = ± 1 ; ± 2 ; ± 4 ⇔ x = -1; 1; 2; 4 ; 5 ; 7<br />

Bµi 3 : a) Ph©n tÝch vÕ tr¸i b»ng (x-2006)(x+1) = 0<br />

⇔ (x-2006)(x+1) = 0 ⇒ x 1 = -1 ; x 2 = 2006<br />

c) XÐt pt víi 4 khong sau :<br />

x< 2 ; 2 ≤ x < 3 ; 3 ≤ x < 4 ; x ≥ 4<br />

Råi suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : x = 1 ; x = 5,5<br />

Bµi 4 :<br />

a) ∆ ABE = ∆ ADF (c.g.c) ⇒ AE = AF<br />

∆ AEF vu«ng c©n t¹i t¹i A nªn AI ⊥ EF .<br />

∆ IEG = ∆ IEK (g.c.g) ⇒IG = IK .<br />

Tø gi¸c EGFK cã 2 ®−êng chÐo c¾t<br />

nhau t¹i trung ®iÓm mçi ®−êng vµ<br />

vu«ng gãc nªn h×nh EGFK lµ h×nh thoi .<br />

b) Ta cã :<br />

KAF = ACF = 45 0 , gãc F chung<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

∈ Z ⇔ x-3 lµ −íc cña 4<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

11<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

2<br />

2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

AF<br />

∆ AKI ~ ∆ CAF (g.g) ⇒ =<br />

CF<br />

KF<br />

AF<br />

⇒ AF<br />

2 =<br />

KF.<br />

CF<br />

d) Tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi ⇒ KE = KF = KD+ DF = KD + BE<br />

Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Kh«ng<br />

®æi) .<br />

Bµi 5 : BiÕn ®æi :<br />

B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n 3 +72n 2 -144n+120<br />

Suy ra B ⋮ 24<br />

================================<br />

C©u 1: ( 2 ®iÓm ) Cho biÓu thøc:<br />

2<br />

⎛ 6x<br />

+ 1 6x<br />

−1<br />

⎞ x − 36<br />

A= ⎜ + .<br />

2<br />

2<br />

⎟<br />

2<br />

⎝ x − 6x<br />

x + 6x<br />

⎠ 12x<br />

+ 12<br />

1) Rót gän biÓu thøc A<br />

2) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc A víi x=<br />

®Ò 7<br />

( Víi x ≠ 0 ; x ≠ ± 6 )<br />

1<br />

9 + 4<br />

C©u 2: ( 1 ®iÓm )<br />

a) Chøng minh ®¼ng thøc: x 2 +y 2 +1 ≥ x. y + x + y ( víi mäi x ;y)<br />

b)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:<br />

5<br />

x − 2<br />

A =<br />

3 2<br />

x − x − x − 2<br />

C©u 3: ( 4 ®iÓm )<br />

Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD . TRªn ®−êng chÐo BD lÊy ®iÓm P , gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng<br />

cña C qua P .<br />

a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh gi?<br />

b) Gäi E, F lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M trªn AD , AB .<br />

Chøng minh: EF // AC vµ ba ®iÓm E,F,P th¼ng hµng.<br />

c)Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo vÞ<br />

trÝ cña ®iÓm P.<br />

PD 9<br />

d) Gi sö CP ⊥ DB vµ CP = 2,4 cm,; =<br />

PB 16<br />

TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.<br />

C©u 4 ( 2 ®iÓm )<br />

Cho hai bÊt ph−¬ng tr×nh:<br />

3mx-2m > x+1 (1)<br />

m-2x < 0 (2)<br />

T×m m ®Ó hai bÊt ph−¬ng tr×nh trªn cã cïng mét tËp nghiÖm.<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

C©u 1 ( 2 ®iÓm )<br />

§¸p ¸n<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

12<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

1) ( 1 ®iÓm ) §K: x ≠ 0; x ≠ ± 6 )<br />

2<br />

2<br />

⎡ 6x<br />

+ 1 6x<br />

−1<br />

⎤ ( x + 6)( x − 6) 6x<br />

+ 36x<br />

+ x + 6 + 6x<br />

− 36x<br />

− x + 6 1<br />

A = ⎢ + .<br />

( 6) ( 6)<br />

⎥<br />

= =<br />

. =<br />

⎣ x x − x x + ⎦ 12( x<br />

2 2<br />

+ 1)<br />

x<br />

12( x + 1)<br />

=<br />

2<br />

12( x + 1) 1 1<br />

. =<br />

2<br />

x 12( x + 1) x<br />

1 1<br />

2) A= = = 9 + 4 5<br />

x 1<br />

9 + 4<br />

C©u2: ( 2 ®iÓm )<br />

5<br />

1) (1 ®iÓm ) x 2 +y 2 +1 ≥ x. y+x+y ⇔ x 2 +y 2 +1 - x. y-x-y ≥ 0<br />

⇔ 2x 2 +2y 2 +2-2xy-2x-2y≥ 0 ⇔ ( x 2 +y 2 -2xy) + ( x 2 +1-2x) +( y 2 +1-2y) ≥ 0<br />

⇔ (x- y) 2 + (x-1) 2 + ( y- 1) 2 ≥ 0<br />

BÊt ®¼ng thøc lu«n lu«n ®óng.<br />

2) (2 ®iÓm )<br />

(1) ⇔ 3mx-x>1+2m ⇔ (3m-1)x > 1+2m. (*)<br />

+ XÐt 3m-1 =0 → m=1/3.<br />

2<br />

(*) ⇔ 0x> 1+ ⇔ x ∈ φ .<br />

3<br />

+ XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3.<br />

(*) ⇔ x><br />

1+<br />

2m<br />

3m<br />

−1<br />

+ XÐt 3m-1 < 0 ⇔ 3m m ⇔ x > m/2.<br />

Hai bÊt ph−¬ng tr×nh cã cïng tËp nghiÖm.<br />

⇔<br />

⎧ 1<br />

⎪m<br />

> ⎧ 1<br />

⎧ 1<br />

3 ⎪m<br />

><br />

⎪m<br />

><br />

⎨ ⇔ ⎨ 3 ⇔ ⎨ 3<br />

⎪1+<br />

2m<br />

m<br />

= ⎪<br />

⎪<br />

⎩ − − = ⎩(<br />

− 2)(<br />

3m<br />

5m<br />

2 0 m<br />

⎩3m<br />

−1<br />

2<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

2<br />

m<br />

⇔ m-2 =0 ⇔ m=2.<br />

VËy : m=2.<br />

C©u 3: (4 ®iÓm )<br />

a)(1 ®iÓm ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.<br />

→ AM //PO → tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang.<br />

b) ( 1 ®iÓm ) Do AM// BD →<br />

gãc OBA= gãc MAE ( ®ång vÞ )<br />

XÐt tam gi¸c c©n OAB →<br />

gãc OBA= gãc OAB<br />

+ 1) = 0<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

13<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Gäi I lµ giao ®iÓm cña MA vµ EF → ∆ AEI c©n ë I → gãc IAE = gãc IEA<br />

→ gãc FEA = gãc OAB → EF //AC .(1)<br />

MÆt kh¸c IP lµ ®−êng trung b×nh cña ∆ MAC → IP // AC (2)<br />

Tõ (1) vµ (2) suy ra : E,F, P th¼ng hµng.<br />

MF AD<br />

c) (1 ®iÓm ) Do ∆ MAF ∼ ∆ DBA ( g-g) → = kh«ng ®æi.<br />

FA AB<br />

PD 9 BD PB<br />

d) NÕu = ⇒ = = k → PD= 9k; PB = 16k.<br />

PB 16 9 16<br />

Do ®ã CP 2 =PB. PD → ( 2,4) 2 =9.16k 2 → k=0,2.<br />

PD = 9k =1,8<br />

PB = 16 k = 3,2<br />

DB=5<br />

Tõ ®ã ta chøng minh ®−îc BC 2 = BP. BD=16<br />

Do ®ã : BC = 4 cm<br />

CD = 3 cm<br />

C©u4 ( 1 ®iÓm )<br />

x − 2<br />

1<br />

1<br />

Ta cã A =<br />

= =<br />

2<br />

2<br />

( x + x + 1)( x − 2) x + x + 1 1 2 3<br />

( x + ) +<br />

2 4<br />

VËy A max ⇔ [ ( x+ 1 3<br />

) 2 ]<br />

2<br />

+ 4<br />

min ⇔ x+ 1 = 0 → x = - 1<br />

2 2<br />

A max lµ 3<br />

4 khi x = -1/2<br />

========================<br />

®Ò 8<br />

Bµi1( 2.5 ®iÓm)<br />

a, Cho a + b +c = 0. Chøng minh r»ng a 3 +a 2 c – abc + b 2 c + b 3 = 0<br />

b, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:<br />

A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b)<br />

Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm).<br />

x<br />

Cho biÓu thøc: y =<br />

2<br />

( x + 2004)<br />

; ( x>0)<br />

T×m x ®Ó biÓu thøc ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ ®ã<br />

Bµi 3: (2 ,5 ®iÓm)<br />

a, T×m tÊt c c¸c sè nguyªn x tho m·n ph−¬ng tr×nh: :<br />

( 12x – 1 ) ( 6x – 1 ) ( 4x – 1 ) ( 3x – 1 ) = 330.<br />

B, Gii bÊt ph−¬ng tr×nh: x − 6 ≤ 3<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

14<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Bµi 4: ( 3 ,5 ®iÓm) Cho gãc xoy vµ ®iÓm I n»m trong gãc ®ã. KÎ IC vu«ng gãc víi ox ;<br />

ID vu«ng gãc víi oy . BiÕt IC = ID = a. §−êng th¼ng kÎ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b.<br />

A, Chøng minh r»ng tÝch AC . DB kh«ng ®æi khi ®−êng th¼ng qua I thay ®æi.<br />

2<br />

CA OC<br />

B, Chøng minh r»ng =<br />

2<br />

DB OB<br />

C, BiÕt S AOB =<br />

8 2<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

a . TÝnh CA ; DB theo a.<br />

3<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi 1: 3 ®iÓm<br />

a, TÝnh: Ta cã: a 3 + a 2 c – abc + b 2 c + b 3<br />

= (a 3 + b 3 ) + ( a 2 c –abc + b 2 c)= (a + b) ( a 2 –ab =b 2 ) + c( a 2 - ab +b 2 )<br />

= ( a + b + c ) ( a 2 – ab + b 2 ) =0 ( V× a+ b + c = 0 theo gi thiÕt)<br />

VËy:a 3 +a 2 c –abc + b 2 c + b 3 = 0 ( ®pCM)<br />

b, 1,5 ®iÓm Ta cã:<br />

bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b)<br />

= bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b)<br />

= -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b)<br />

= b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)]<br />

= b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a)<br />

= d(a-b)(a-c)(b-c)<br />

Bµi 2: 2 §iÓm §Æt t =<br />

1<br />

2004y<br />

Bµi to¸n ®−a vÒ t×m x ®Ó t bÐ nhÊt<br />

Ta cã t =<br />

( x + 2004)<br />

2004x<br />

2<br />

=<br />

x<br />

+ 2.2004x<br />

+ 2004<br />

2004x<br />

2 2<br />

=<br />

x 2004 x<br />

+ 2 + = 2 + 2004 2<br />

+ 2 (1)<br />

2004 x 2004x<br />

Ta thÊy: Theo bÊt ®¼ng thøc C«si cho 2 sè d−¬ng ta cã:<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

x 2 + 2004 2 x<br />

≥ 2. 2004 .x 2 + 2004 2<br />

⇒ ≥ 2 (2)<br />

2004x<br />

DÊu “ =” xy ra khi x= 2004<br />

Tõ (1) vµ (2) suy ra: t ≥ 4 ⇒ VËy gi¸ trÞ bÐ nhÊt cña t = 4 khi x =2004.<br />

1 1<br />

VËy y max = = Khi x= 2004<br />

2004t<br />

8016<br />

Bµi 3: 2 §iÓm<br />

a, Nh©n c 2 vÕ cña ph−¬ng tr×nh víi 2.3.4 ta ®−îc:<br />

(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4<br />

(12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8<br />

VÕ tr¸I lµ 4 sè nguyªn liªn tiÕp kh¸c 0 nªn c¸c thõa sè phI cïng dÊu ( +<br />

)hoÆc dÊu ( - ).<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

15<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Suy ra ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 . 10 . 9 . 8 (1)<br />

Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) . (-10) . (-9) .(-8)<br />

(2)<br />

Tõ ph−¬ng tr×nh (1) ⇒ 12x -1 = 11 ⇔ x = 1 ( tho m·n)<br />

− 7<br />

Tõ ph−¬ng tr×nh (2) ⇒ 12x -1 = - 8 ⇔ x= 12<br />

VËy x=1 tho m·n ph−¬ng tr×nh.<br />

b, Ta cã x − 6 < 3 ⇔ -3 < x – 6 < 3 ⇔ 3< x < 9<br />

suy ra x∉ Z.<br />

VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh lµ: S = { x ∈ R/ 3 < x < 9}.<br />

Bµi 4 : 3 §iÓm<br />

Ta cã A chung ; AIC = ABI ( cÆp gãc ®ång vÞ)<br />

∆ IAC ~ ∆ BAO (gg).<br />

Suy ra:<br />

T−¬ng tù:<br />

AC IC AC AO<br />

= ⇒ = (1)<br />

AO BO IC BO<br />

∆ BID ~ ∆ BAO (gg)<br />

OA OB OA ID<br />

Suy ra: = ⇒ = (2)<br />

ID BD OB BD<br />

AC ID<br />

Tõ (1) vµ(2) Suy ra: =<br />

IC BD<br />

Hay AC. BD = IC . ID = a 2<br />

b, Nh©n (1) víi (2) ta cã:<br />

Suy ra: AC.BD = a 2 kh«ng ®æi.<br />

AC ID OA OA<br />

. = .<br />

IC BD OB OB<br />

2<br />

AC OA<br />

mµ IC = ID ( theo gi thiÕt) suy ra: =<br />

2<br />

BD OB<br />

C, Theo c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c vu«ng ta cã;<br />

S AOB = 2<br />

1 OA.OB mµ SAOB =<br />

Suy ra: OA.OB =<br />

a<br />

3<br />

8 2<br />

Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) =<br />

8 2<br />

a<br />

3<br />

( gi thiÕt)<br />

⇒ OA . OB =<br />

16a<br />

2<br />

3<br />

Mµ CA . DB = a 2 ( theo c©u a) ⇒ a(CA +DB) =<br />

2<br />

16a<br />

− 2a<br />

⇒ CA + DB + 3<br />

a<br />

Gii hÖ pt<br />

2<br />

10a<br />

=<br />

3<br />

2<br />

16a<br />

2<br />

3<br />

⇒ a 2 + a( CA + DB ) + CA . DB =<br />

. VËy:<br />

16a<br />

2<br />

3<br />

2<br />

⎧ CA.DB = a<br />

⎪<br />

⎨ 10a<br />

⎪CA<br />

+ DB =<br />

⎩<br />

3<br />

⇒ CA = 3<br />

a vµ DB = 3a<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

- 2a 2<br />

16a<br />

2<br />

3<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

16<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

HoÆc CA = 3a vµ DB = 3<br />

a<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Bµi 1( 2 ®iÓm). Cho biÓu thøc :<br />

====================<br />

®Ò 9<br />

1.Rót gän P.<br />

2.T×m c¸c cÆp sè (x;y) ∈ Z sao cho gi¸ trÞ cña P = 3.<br />

Bµi 2(2 ®iÓm). Gii ph−¬ng tr×nh:<br />

x y x y<br />

P = − −<br />

2 2 2 2<br />

( x + y)( 1− y) ( x + y)( 1+ x) ( x + 1)( 1−<br />

y)<br />

1 1 1 1 1<br />

+ + + =<br />

2 2 2 2<br />

x − 5x + 6 x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x<br />

+ 30 8<br />

Bµi 3( 2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÎu thøc:<br />

2x<br />

+ 1<br />

M = x<br />

2<br />

+ 2<br />

Bµi 4 (3 ®iÓm). Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a. Gäi E; F lÇn l−ît lµ<br />

trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, BC. M lµ giao ®iÓm cña CE vµ DF.<br />

1.Chøng minh CE vu«ng gãc víi DF.<br />

2.Chøng minh ∆ MAD c©n.<br />

3.TÝnh diÖn tÝch ∆ MDC theo a.<br />

Bµi 5(1 ®iÓm). Cho c¸c sè a; b; c tho m·n : a + b + c = 3 2 .<br />

Chøng minh r»ng : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 4 .<br />

1.<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi 1. (2 ®iÓm - mçi c©u 1 ®iÓm)<br />

MTC : ( x + y)( x + 1)( 1−<br />

y)<br />

( 1+ ) − ( 1− ) − ( + ) ( + )( 1+ )( 1− )( − + )<br />

( x + y)( 1+ x)( 1− y)<br />

( x + y)( 1+ x)( 1−<br />

y)<br />

2 2 2 2<br />

x x y y x y x y x y x y x y xy<br />

P = =<br />

P = x − y + xy .Víi x ≠ −1; x ≠ −y; y ≠ 1 th× gi¸ trÞ biÓu thøc ®−îc x¸c ®Þnh.<br />

2. §Ó P =3 ⇔ x − y + xy = 3 ⇔ x − y + xy − 1 = 2<br />

( x )( y )<br />

⇔ − 1 + 1 = 2<br />

C¸c −íc nguyªn cña 2 lµ : ± 1; ± 2.<br />

Suy ra:<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

⎧x<br />

− 1 = − 1 ⎧x<br />

= 0<br />

⎨ ⇔ ⎨<br />

⎩y<br />

+ 1 = − 2 ⎩y<br />

= −3<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

⎧x<br />

− 1 = 1 ⎧x<br />

= 2<br />

⎨ ⇔ ⎨<br />

⎩y<br />

+ 1 = 2 ⎩y<br />

= 1<br />

(lo¹i).<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

17<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

⎧x<br />

− 1 = 2 ⎧x<br />

= 3<br />

⎨ ⇔ ⎨<br />

⎩y<br />

+ 1 = 1 ⎩y<br />

= 0<br />

⎧x<br />

− 1 = − 2 ⎧x<br />

= −1<br />

⎨ ⇔ ⎨ (lo¹i)<br />

⎩y<br />

+ 1 = − 1 ⎩y<br />

= −2<br />

VËy víi (x;y) = (3;0) vµ (x;y) = (0;-3) th× P = 3.<br />

Bµi 2.(2 ®iÓm) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh:<br />

Ta cã :<br />

⎧x<br />

≠ 2<br />

⎪<br />

x ≠ 3<br />

⎪<br />

⎨x<br />

≠ 4<br />

⎪x<br />

≠ 5<br />

⎪<br />

⎪ ⎩x<br />

≠ 6<br />

( )( )<br />

( )( )<br />

( )( )<br />

( )( )<br />

− 5 + 6 = − 2 − 3<br />

2<br />

x x x x<br />

− 7 + 12 = − 3 − 4<br />

2<br />

x x x x<br />

− 9 + 20 = − 4 − 5<br />

2<br />

x x x x<br />

− 11 + 30 = − 5 − 6<br />

2<br />

x x x x<br />

Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi :<br />

1 1 1 1 1<br />

+ + + =<br />

x − 2 x − 3 x − 3 x − 4 x − 4 x − 5 x − 5 x − 6 8<br />

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )<br />

1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />

⇔ − + − + − + − =<br />

x − 3 x − 2 x − 4 x − 3 x − 5 x − 4 x − 6 x − 5 8<br />

⇔ 1 1 1<br />

x 6 − x 2 = 4 1<br />

8<br />

⇔ x − 6 x − 2 = 8<br />

− − ( )( )<br />

( )( )<br />

⇔ − 8 − 20 = 0 ⇔ − 10 + 2 = 0<br />

2<br />

x x x x<br />

⎡x<br />

= 10<br />

⇔ ⎢ tho m·n ®iÒu kiÖn ph−¬ng tr×nh.<br />

⎣x<br />

= −2<br />

Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm : x = 10; x = -2.<br />

Bµi 3.(2®iÓm)<br />

2<br />

( x + 2) − ( x −1) ( x −1)<br />

2 2<br />

( )<br />

2 2<br />

2 2<br />

2x + 1+ x + 2 − x − 2 x + 2 − x − 2x<br />

+ 1<br />

M = =<br />

2 2<br />

x + 2 x + 2<br />

M = = 1−<br />

2 2<br />

x + 2 x + 2<br />

M lín nhÊt khi ( x −1<br />

)2<br />

2<br />

x + 2<br />

nhá nhÊt.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

V× ( ) 2<br />

2<br />

x −1 ≥ 0∀ x vµ ( x + 2)<br />

〉 0∀ x nªn ( x −1<br />

)2<br />

nhá nhÊt khi<br />

2<br />

( x − 1) 2<br />

= 0.<br />

x + 2<br />

DÊu “=” xy ra khi x-1 = 0 ⇔ x = 1. VËy M max = 1 khi x = 1.<br />

Bµi 4. . (3iÓm)<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

18<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

a. △BEC = △ CFD( c. g. c)<br />

⇒ C = D<br />

1 1<br />

△ CDF vu«ng t¹i C ⇒ F + D = 90 0 ⇒ F + C<br />

= 90<br />

0 ⇒△ CMF vu«ng t¹i M<br />

1 1 1 1<br />

Hay CE ⊥ DF.<br />

b.Gäi K lµ giao ®iÓm cña AD víi CE. Ta cã :<br />

△AEK = △ BEC( g. c. g)<br />

⇒ BC = AK<br />

⇒ AM lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MDK vu«ng t¹i M<br />

1<br />

⇒ AM = KD = AD ⇒△ AMD c©n t¹i A<br />

2<br />

CD CM<br />

c. △CMD<br />

∼△ FCD( g. g)<br />

⇒ =<br />

FD FC<br />

Do ®ã :<br />

△FCD<br />

2 2<br />

S ⎛ CMD<br />

CD ⎞ CD<br />

S<br />

⎛ ⎞<br />

△<br />

= ⇒ =<br />

S ⎝ FD ⎠ ⎝ FD ⎠<br />

⎜ ⎟ △CMD<br />

⎜ ⎟<br />

1 1 2<br />

Mµ : S<br />

FCD<br />

= CF.<br />

CD = CD<br />

2 4<br />

△<br />

.<br />

2<br />

CD 1 2<br />

VËy : S△ CMD<br />

= . CD .<br />

2<br />

FD 4<br />

Trong △ DCF theo Pitago ta cã :<br />

. S<br />

△FCD<br />

2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 .<br />

2<br />

DF CD CF CD ⎛ ⎞<br />

= + = + ⎜ BC ⎟ = CD + CD = CD .<br />

⎝ 2 ⎠ 4 4<br />

Do ®ã : S△<br />

MCD<br />

=<br />

CD 1<br />

CD<br />

1<br />

= CD<br />

1<br />

= a<br />

CD<br />

4<br />

Bµi 5 (1®iÓm)<br />

Ta cã:<br />

2<br />

2 2 2<br />

.<br />

5 2 4 5 5<br />

2<br />

2 ⎞<br />

2 2<br />

⎛ 1 1 1<br />

⎜ a − 0 a a 0 a a<br />

2<br />

⎟ ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ + ≥<br />

⎝ ⎠<br />

4 4<br />

2 1<br />

2 1<br />

T−¬ng tù ta còng cã: b + ≥ b ; c + ≥ c<br />

4<br />

4<br />

Céng vÕ víi vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®−îc:<br />

2 2 2 3<br />

3<br />

2 2 2 3<br />

a + b + c + ≥ a + b + c . V× a + b + c = nªn: a + b + c ≥<br />

4<br />

2<br />

4<br />

C©u 1. (1,5®)<br />

Rót gän biÓu thøc : A =<br />

DÊu “=” xy ra khi a = b = c = 1 2 .<br />

C©u 2. (1,5®) T×m c¸c sè a, b, c sao cho :<br />

§a thøc x 4 + ax + b chia hÕt cho (x 2 - 4)<br />

=========================<br />

®Ò 10<br />

1<br />

2.5 + 1<br />

5.8 + 1<br />

8.11 +……….+ 1<br />

(3n<br />

+ 2)(3n<br />

+ 5)<br />

k<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

e<br />

a<br />

b<br />

f<br />

m<br />

1<br />

1<br />

1<br />

d<br />

c<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

19<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

7<br />

C©u 3 . (2®) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />

2<br />

x − x + 1<br />

C©u 4. Cho a,b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c .<br />

Chøng minh r»ng: a 2 + b 2 + c 2 < 2 (ab + ac + bc)<br />

C©u 5 . Chøng minh r»ng trong mét tam gi¸c , träng t©m G, trùc t©m H, t©m ®−êng<br />

trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ O. Th× H,G,O th¼ng hµng.<br />

C©u 1.<br />

§¸p ¸n<br />

A = 1 3 ( 1 2 - 1 5 + 1 5 - 1 8 +…….+ 1<br />

3n + 2<br />

- 1<br />

3n + 5<br />

)<br />

= 1 3 ( 1 2 - 1 n + 1<br />

) =<br />

3n + 5 6n<br />

+ 10<br />

C©u 2. Chia ®a thøc x 4 + ax + b cho x 2 – 4<br />

®−îc ®a thøc d− suy ra a = 0 ; b = - 16.<br />

7<br />

+ +<br />

C©u 3.<br />

2<br />

−<br />

1,<br />

−<br />

7<br />

x x 1<br />

§−a c¸c ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng tÝch.<br />

§¸p sè x = { − 2,1,3 }.<br />

− + ∈ Z ⇔ x2 –x +1 = U (7) ={ }<br />

C©u 4. Tõ gi thiÕt ⇒ a < b + c ⇒ a 2 < ab + ac<br />

T−ng tù<br />

b 2 < ab + bc<br />

c 2 < ca + cb<br />

Céng hai vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®−îc (®pcm)<br />

C©u 5. trong tam gi¸c ABC H lµ trùc t©m, G lµ<br />

Träng t©m, O lµ t©m ®−êng trßn ngo¹i tiÕp<br />

tam gi¸c.<br />

- ChØ ra ®−îc GM<br />

AG = 1 2 , HAG = OMG <br />

- ChØ ra OM<br />

AH = 1 (B»ng c¸ch vÏ BK nhËn O lµ trung ®iÓm chøng minh CK = AH)<br />

2<br />

⇒ △AHG ∼△ MOG (c.g.c)<br />

⇒ H,G,O th¼ng hµng.<br />

======================<br />

®Ò 11<br />

3 2<br />

3x<br />

−14x<br />

+ 3x<br />

+ 36<br />

C©u 1:Cho biÓu thøc: A= 3 2<br />

3x<br />

−19x<br />

+ 33x<br />

− 9<br />

a, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x¸c ®Þnh.<br />

b, T×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0.<br />

c, T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

20<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

C©u 2:<br />

( x + 16)( x + 9)<br />

.a, T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A=<br />

víi x>0.<br />

x<br />

.b, Gii ph−¬ng tr×nh:⎟ x+1⎟+:⎟ 2x-1⎟+2x =3<br />

C©u3 : Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch S. Gäi K,L,M,N lÇn l−ît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¸c<br />

c¹nh AB,BC,CA,AD sao cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x.<br />

.a, X¸c ®Þnh vÞ trÝ c¸c ®iÓm K,L,M,N sao cho tø gi¸c MNKL cã diÖn tÝch mhá nhÊt.<br />

.b, Tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh g×? cÇn thªm ®iÒu kiÖn g× th× tø gi¸c MNKL lµ h×nh<br />

ch÷ nhËt.<br />

C©u 4: T×m d− cña phÐp chia ®a thøc<br />

x 99 + x 55 +x 11 +x+ 7 cho x 2 -1<br />

C©u1 (3®)<br />

a.(1®)<br />

( x − 3)<br />

Ta cã A=<br />

( x − 3)<br />

2<br />

2<br />

(3x<br />

+ 4)<br />

(0,5®)<br />

(3x<br />

−1)<br />

§¸p ¸n<br />

VËy biÓu thøc A x¸c ®Þnh khi x≠3,x≠1/3(0,5®)<br />

3x<br />

+ 4<br />

b. Ta cã A= do ®ã A=0 3x +4=0 (0,5®)<br />

3x<br />

−1<br />

x=-4/3 tho· m·n ®k(0,25®)<br />

VËy víi x=-4/3 th× biÓu thøc A cã gi¸ trÞ b»ng 0 (0,25®)<br />

c. (1®)<br />

3x<br />

+ 4 5<br />

Ta cã A= = 1+<br />

3x<br />

−1<br />

3x −1<br />

5<br />

§Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× phi nguyªn 3x-1 lµ −íc cña 5 3x-1≠±1,±5<br />

3x −1<br />

=>x=-4/3;0;2/3;2<br />

VËy víi gi¸ trÞ nguyªn cña xlµ 0 vµ 2 th× A cã gi¸ trÞ nguyªn (1®)<br />

C©u: 2: (3®)<br />

a.(1,5®)<br />

Ta cã<br />

2<br />

x + 25x<br />

+ 144<br />

A=<br />

=x+<br />

x<br />

144 +25 (0,5®)<br />

x<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

144 144<br />

C¸c sè d−¬ng x vµ Cã tÝch kh«ng ®æi nªn tæng nhá nhÊt khi vµ chØ khi x =<br />

x<br />

x<br />

x=12 (0,5®)<br />

VËy Min A =49 x=12(0,5®)<br />

b.(1,5®)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

21<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

TH 1 : nÕu xx=-31/2(lo¹i )(0,25®)<br />

TH 3 : NÕu x≥1/2ta cã<br />

x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5 KK 1 /BB 1 = AK/AB<br />

S ANK /S ABD = AN.KK 1 /AD.BB 1 = AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S 1 =x(1-x) S ABD (0,5®)<br />

T−¬ng tù S 2 = x(1-x) S DBC => S 1, +S 2 = x(1-x)( S ABD + S DBC )= x(1-x)S (0,25®)<br />

T−¬ng tù S 3 +S 4 = x(1-x)S<br />

S 1, +S 2 + S 3 + S 4 = x(1-x)2S (0,25®)<br />

S MNKL =S-( S 1, +S 2 + S 3 + S 4 )= 2S x 2 -2Sx+S=2S(x-1/2) 2 +1/2S≥1/2S(0,25®)<br />

VËy S MNKL ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 1/2S khi x=1/2 khi ®ã M,N,K,L lÇn l−ît lµ<br />

trung ®iÓm c¸c c¹nh CD,DA,AB,BC (0,25®)<br />

b.(1,5®)<br />

• tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh b×nh hµnh (1®)<br />

• tø gi¸c MNKL ë c©u a lµ h×nh ch÷ nhËt khi BD⊥AC (0,5®)<br />

C©u 4: (1®)<br />

Gäi Q (x) lµ th−¬ng cña phÐp chia x 99 +x 55 +x 11 +x+7 cho x 2 -1<br />

ta cã x 99 +x 55 +x 11 +x+7=( x-1 )( x+1 ).Q (x) +ax+b(*)<br />

trong ®ã ax+b lµ d− cña phÐp chia trªn<br />

Víi x=1 th×(*)=> 11=a+b<br />

Víi x=-1 th×(*)=> 3=-a+b=> a=4,b=7<br />

VËy d− cña phÐp chia x 99 +x 55 +x 11 +x+7 cho x 2 -1 lµ 4x+7<br />

==========================<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Bµi 1: (3®)<br />

Cho ph©n thøc : M =<br />

x<br />

5<br />

− 2x<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

4<br />

®Ò 12<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

3 2<br />

+ 2x<br />

− 4x<br />

+ 3x<br />

+ 6<br />

2<br />

x + 2x<br />

− 8<br />

22<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

K<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

a) T×m tËp x¸c ®Þnh cña M<br />

b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 0<br />

c) Rót gän M<br />

Bµi 2: (2®)<br />

a) T×m 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp biÕt r»ng nÕu céng ba tÝch cña hai trong ba sè Êy ta ®−îc<br />

242.<br />

b) T×m sè nguyªn n ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc B.<br />

A = n 3 + 2n 2 - 3n + 2 ; B = n 2 -n<br />

Bµi 3: (2®)<br />

a) Cho 3 sè x,y,z Tho· m·n x.y.z = 1. TÝnh biÓu thøc<br />

1 1 1<br />

M = + +<br />

1+ x + xy 1+<br />

y + yz 1+<br />

z + zx<br />

b) Cho a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c<br />

1 1 1 1 1 1<br />

Chøng minh r»ng:<br />

+ + ≥ + +<br />

a + b − c b + c − a c + a − b a b c<br />

Bµi 4: (3®)<br />

Cho tam gi¸c ABC, ba ®−êng ph©n gi¸c AN, BM, CP c¾t nhau t¹i O. Ba c¹nh AB, BC,<br />

CA tØ lÖ víi 4,7,5<br />

a) TÝnh NC biÕt BC = 18 cm<br />

b) TÝnh AC biÕt MC - MA = 3cm<br />

AP BN CM<br />

c) Chøng minh . . = 1<br />

PB NC MA<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi 1:<br />

a) x 2 +2x-8 = (x-2)(x+4) ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 vµ x ≠ - 4 (0,5®)<br />

TX§ ={ x / x ∈Q;<br />

x ≠ 2; x ≠ −4}<br />

0,2®<br />

b) x 5 - 2x 4 +2x 3 - 4x 2 - 3x+ 6 = (x-2)(x 2 + 3)x-1)(x+1) 1,0®<br />

= 0 khi x=2; x= ± 1.<br />

0,2®<br />

§Ó M= 0 Th× x 5 -2x 4 + 2x 3 -4x 2 -3x+6 = 0<br />

x 2 + 2x- 8 ≠ 0 0,5®<br />

VËy ®Ó M = 0 th× x = ± 1.<br />

0,3®<br />

c) M =<br />

2 2<br />

( x − 2)( x + 3)( x + 1) ( x<br />

=<br />

( x − 2)( x + 4)<br />

2<br />

+ 3)( x<br />

x + 4<br />

2<br />

−1)<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,3®<br />

Bµi 2:<br />

a) Gäi x-1, x, x+1 lµ 3 sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta cã: x(x-1) + x(x+1) + (x-1)(x+1) = 242<br />

(0,2®)<br />

Rót gän ®−îc x 2 = 81 0,5®<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

23<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Do x lµ sè tù nhiªn nªn x = 9 0,2®<br />

Ba sè tù nhiªn phi t×m lµ 8,9,10 0,1®<br />

b) (n 3 +2n 2 - 3n + 2):(n 2 -n) ®−îc th−¬ng n + 3 d− 2 0,3®<br />

Muèn chia hÕt ta phi cã 2⋮n(n-1) →2⋮n 0,2®<br />

Ta cã:<br />

n 1 -1 2 -2<br />

n-1 0 -2 1 -6<br />

n(n-1) 0 2 2 -3<br />

lo¹i<br />

lo¹i<br />

0,3®<br />

VËy n = -1; n = 2 0,2®<br />

Bµi 3:<br />

a) V× xyz = 1 nªn x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0 0,2®<br />

1<br />

z<br />

z<br />

=<br />

=<br />

1+ x + xy z(1<br />

+ x + xy)<br />

z + xz + 1<br />

0,3®<br />

1<br />

xz xz<br />

=<br />

=<br />

1+ y + yz (1 + y + yz)<br />

xz xz + 1+<br />

z<br />

0,3®<br />

z xz 1<br />

M = + + = 1<br />

0,2®<br />

z + xz + 1 xz + 1+<br />

z 1+<br />

z + xz<br />

b) a,b,c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña mét tam gi¸c nªn<br />

a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0 0,2®<br />

1 1 4<br />

+ ≥ víi x,y > 0<br />

x y x + y<br />

1 1 4 2<br />

+ ≥ =<br />

a + b − c b + c − a 2b<br />

b<br />

0,2®<br />

1 1 2<br />

+ ≥<br />

b + c − a c + a − b c<br />

0,2®<br />

1 1 2<br />

+ ≥<br />

c + a − b a + b − c a<br />

0,2®<br />

Céng tõng vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc råi chia cho 3 ta ®−îc ®iÒu phi chøng minh.<br />

Xy ra dÊu ®¼ng thøc khi vµ chØ khi a = b = c 0,2®<br />

Bµi 4: a) A<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

B<br />

N<br />

AN lµ ph©n gi¸c cña  Nªn<br />

C<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

NB AB = 0,3®<br />

NC AC<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

24<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

AB BC AC AB 4<br />

Theo gi thiÕt ta cã = = ⇒ = ⇒ Nªn<br />

4 7 5 AC 5<br />

0,2®<br />

NB 4 BC 9 5. BC<br />

= ⇒ = ⇒ NC = = 10( cm)<br />

NC 5 NC 5 9<br />

0,5®<br />

MC BC<br />

b) BM lµ ph©n gi¸c cña Bˆ nªn =<br />

MA BA<br />

0,3®<br />

AB BC AC BC 7<br />

Theo gi thiÕt ta cã: = = ⇒ =<br />

4 7 5 BA 4<br />

0,2®<br />

MC 7 MC − MA 3 3.11<br />

Nªn = ⇒ = ⇒ ac = = 11( cm)<br />

MA 4 MA + MC 11 3<br />

0,5®<br />

c) V× AN,BM,CP lµ 3 ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c ABC<br />

Nªn<br />

BN AB MC BC AP AC<br />

= ; = ; =<br />

0,5®<br />

BC AC MA BA PB AB<br />

BN MC AP AB BC AC<br />

Do ®ã . . = . . = 1<br />

BC MA PB AC AB BC<br />

========================<br />

®Ò 13<br />

C©u 1: ( 2,5 ®iÓm)<br />

Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:<br />

a/. x 2 – x – 6<br />

(1 ®iÓm)<br />

b/. x 3 – x 2 – 14x + 24 (1,5 ®iÓm)<br />

C©u 2: ( 1 ®iÓm)<br />

T×m GTNN cña : x 2 + x + 1<br />

C©u 3: ( 1 ®iÓm)<br />

Chøng minh r»ng: (n 5 – 5n 3 + 4n) ⋮ 120 víi m, n ∈ Z.<br />

C©u 4: ( 1,5 ®iÓm)<br />

Cho a > b > 0 so s¸nh 2 sè x , y víi :<br />

1+<br />

a<br />

1+<br />

b<br />

x = ; y =<br />

2<br />

2<br />

1+ a + a<br />

1+ b + b<br />

C©u 5: ( 1,5 ®iÓm)<br />

Gii ph−¬ng tr×nh: x − 1 + x + 2 + x − 3 = 14<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

0,5®<br />

C©u 6: ( 2,5 ®iÓm)<br />

Trªn c¹nh AB ë phÝa trong h×nh vu«ng ABCD dùng tam gi¸c AFB c©n , ®Ønh F<br />

cã gãc ®¸y lµ 15 0 . Chøng minh tam gi¸c CFD lµ tam gi¸c ®Òu.<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

25<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

§¸p ¸n<br />

C©u 1: a/. Ta cã: x 2 – x – 6 = x 2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)<br />

= (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3)<br />

( NÕu gii b»ng c¸ch kh¸c cho ®iÓm t−¬ng ®−¬ng )<br />

b/. Ta cã: x = 2 lµ nghiÖm cña f(x) = x 3 – x 2 – 14x + 24<br />

Do ®ã f(x) ⋮ x – 2, ta cã: f(x) : (x – 2) = x 2 + x – 12<br />

VËy x 3 – x 2 – 14x + 24 = (x - 2)( x 2 + x – 12)<br />

Ta l¹i cã: x = 3 lµ nghiÖm cña x 2 + x – 12<br />

Nªn x 2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4)<br />

Nh− vËy: x 3 – x 2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) .<br />

C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x 2 + x + 1 (1 ®’)<br />

1<br />

Ta cã : x 2 2 3 3<br />

1 2<br />

+ x + 1 = ( x + ) + ≥ VËy f(x) ®¹t GTNN khi ( x + ) = 0 Tøc x = - 1 2 4 4<br />

2<br />

2<br />

C©u 3: Ta cã : n 5 – 5n 3 + 4n = n 5 – n 3 – 4n 3 + 4n = n 3 (n 2 - 1) – 4n( n 2 - 1)<br />

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp trong ®ã cã Ýt<br />

nhÊt hai sè lµ béi cña 2 ( trong ®ã mét sè lµ béi cña 4, mét sè lµ béi cña 3, mét sè lµ béi cña 5).<br />

VËy tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120.<br />

C©u 4: (1,5 ®’). Ta cã x,y > 0 vµ<br />

2 2<br />

1 1 1 1 1 1<br />

+ a + a a<br />

= = 1+ = 1+ = 1+ > 1+ =<br />

x 1+ a 1+<br />

a 1+<br />

a 1 1 1 1<br />

+ +<br />

y<br />

1 1<br />

V× a> b > 0 nªn<br />

2 2<br />

a<br />

< b<br />

vµ 1 < 1 . VËy x < y.<br />

a b<br />

C©u 5: 1/. XÐt khong x < -2 ,ta cã: -3x + 2 = 14 ⇔ x = - 4.<br />

2/. -2 ≤ x < 1, ta cã : -x + 16 = 14 ⇔ x = 2. (lo¹i)<br />

3/. 1 ≤ x < 3, ta cã : x + 4 = 14 ⇔ x = 10 (lo¹i).<br />

4 vµ x = 16 3 .<br />

4/. x ≥ 3 , ta cã: 3x – 2 = 14 ⇔ x = 16 3<br />

2 2 2<br />

a a a b b<br />

VËy ph−¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm lµ x = -<br />

C©u 6: ( 2,5 ®’) D C<br />

Dùng tam gi¸c c©n BIC nh− tam gi¸c AFB cã gãc ®¸y 15 0 .<br />

Suy ra : 0<br />

B<br />

2<br />

= 60 (1) .<br />

A<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

F<br />

F<br />

F 2<br />

H<br />

15 0 15 0 2<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

I<br />

2<br />

B<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

26<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Ta cã △AFB<br />

= △ BIC (theo c¸ch vÏ) nªn: FB = IB (2).<br />

Tõ (1) vµ (2) suy ra : △ FIB ®Òu .<br />

§−êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H . Ta cã: I 2<br />

= 30 0 ( gãc ngoµi cña △ CIB ).<br />

Suy ra: H 2<br />

= 90 0 ( v× B = 60 0 ) Tam gi¸c ®Òu FIB nªn IH lµ trung trùc cña FB hay CH<br />

lµ ®−êng trung trùc cña△ CFB . VËy △ CFB c©n t¹i C . Suy ra : CF = CB (3)<br />

MÆt kh¸c : △ DFC c©n t¹i F . Do ®ã: FD = FC (4).<br />

Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC).<br />

VËy △ DFC ®Òu.<br />

GiI b»ng ph−¬ng ph¸p kh¸c ®óng cho ®iÓm t−¬ng ®−¬ng.<br />

==============================<br />

®Ò 14<br />

C©u 1 (2 ®iÓm): Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc<br />

f(x) =x 4 -3x 3 +3x 2 + ax+b chia hÕt cho ®a thøc g(x) =x 2 +4-3x.<br />

C©u 2 (2 ®iÓm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.<br />

(x+y+z) 3 –x 3 -y 3 -z 3 .<br />

C©u 3 (2 ®iÓm ) :<br />

a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x 2 +x+1<br />

b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A= h(h+1) (h+2) (h+3)<br />

C©u 4(2 ®iÓm ) : Chøng minh r»ng nÕu .a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ac th× a=b=c<br />

C©u 5 (2 ®iÓm ) : Trong tam gi¸c ABC lÊy ®iÓm P sao cho<br />

PAC = PBC. Tõ P dùng PM vu«ng gãc víi BC. PK vu«ng gãc víi CA. Gäi D lµ<br />

trung ®iÓm cña AB. Chøng minh : DK=DM.<br />

§¸p ¸n<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Bµi 1 (2 ®iÓm) Chia f(x) cho g(x)<br />

Ta cã : x 4 -3x 2 +3x 2 +ax+b: x 2 -3x+4.<br />

= x 2 +1 d− (a-3)x + b+4 (1 ®iÓm)<br />

f(x): g(x) khi vµ chØ khi sè d− b»ng kh«ng.<br />

Tõ ®©y suy ra (1 ®iÓm ).<br />

a-3=0 => a=3<br />

b+4=0 => b=-4<br />

Bµi 2 (2 ®iÓm ) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö.<br />

(x+y+2) 3 –x 3 -y 3 -z 3 =A<br />

Ta cã : (x+y+z) 3 –x 3 -y 3 -z 3 = [(x+y+z) 3 -x 3 ]-(y 3 +2 3 ).<br />

¸p dông h»ng ®¼ng thøc 6 vµ 7.<br />

A= ( x+y+z-x) [(x+x+z) 2 + (x+y+z)x + x 2 ) – (x+z)(y 2 -y 2 +z 2 ) (1 ®iÓm)<br />

= (y+z)[x 2 +y 2 +z 2 +2xy+2xz+2yz+xy+xz+x 2 +x 2 -y 2 +yz-z 2 ].<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

27<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

= (y+z) (3x 2 +3xy+3xz+3yz).<br />

= 3(y+z) [x(x+y)+z((x+y)]<br />

= 3(x+y) (y+z) ) (x+z) (1 ®iÓm).<br />

Bµi 3 : (2 ®iÓm ).<br />

a-T×m x ®Ó biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nhá nhÊt : x 2 +x+1<br />

Ta cã : x 2 +x+1 = (x+ 2<br />

1 )<br />

2<br />

+ 4<br />

3 ≥ 4<br />

3<br />

Gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 4<br />

3 khi (x+ 2<br />

1<br />

)2 =0 Tøc x = - 2<br />

1<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

(1 ®iÓm).<br />

b-T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. A= h(h+1) (h+2) (h+3) (1 ®iÓm).<br />

Ta cã : A= h(h+1) (h+2) (h+3)<br />

= h(h+3) (h+2) (h+1)<br />

= (h 2 +3h) (h 2 +3h+2)<br />

§Æt : 3h+h 2 =x<br />

A= x(x+2) = x 2 +2x = x 2 +2x+1-1<br />

= (x+1) 2 -1 ≥ -1 Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ -1.<br />

Bµi 4 (2 ®iÓm ) Chøng minh.<br />

Theo gi thiÕt : a 2 +b 2 +c 2 = ab+ac+bc.<br />

Ta cã : a 2 +b 2 +c 2 – ab-ac-bc = 0<br />

Suy ra : (a 2 -2ab+b 2 ) + (b 2 -2ab+c 2 ) + (a 2 -2ac+c 2 )=0 (1 ®iÓm).<br />

(a-b) 2 + (b-c) 2 + (a-c) 2 = 0<br />

§iÒu nµy xy ra khi vµ chØ khi.<br />

a-b = b-c = a-c = 0 Tøc lµ : a=b=c (1 ®iÓm).<br />

Bµi 5 (2 ®iÓm)<br />

C<br />

Gäi E lµ trung ®iÓm cña AP<br />

F lµ trung ®iÓm cña BP K M<br />

Ta cã : KE= 2<br />

1 AP = EP<br />

FM = 2<br />

1 BP =FP E F<br />

P<br />

A D B<br />

Tø gi¸c DEPF lµ h×nh b×nh hµnh v× DE//BP, DF//AP<br />

Do ®ã : ED=FM ; EK =EP=DF<br />

Tõ c¸c tam gi¸c vu«ng APK; BPM ta suy ra.<br />

KEP =2KAP ; MEP = 2MBP<br />

DEPF lµ h×nh b×nh hµnh nªn DEP= DFP<br />

Theo gi thiÕt KAD = MBP nªn KEP = MFP<br />

VËy DEK = DPM suy ra ∆ DEK= ∆ MFO (c.g.c)<br />

Do ®ã : DK=OM<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

28<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

==========================<br />

®Ò 15<br />

C©u 1: (2®) T×m hai sè biÕt<br />

a. HiÖu c¸c b×nh ph−¬ng cña 2 sè tù nhiªn ch½n liªn tiÕp b»ng 36<br />

b. HiÖu c¸c b×nh ph−¬ng cña 2 sè tù nhiªn lÎ liªn tiÕp b»ng 40<br />

C©u 2: (1,5®) Sè nµo lín h¬n:<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

2<br />

2<br />

5<br />

⎛ 2006 − 2005 ⎞ 2006 − 2005<br />

⎜<br />

⎟ hay<br />

2<br />

2<br />

⎝ 2006 + 2005 ⎠ 2006 + 2005<br />

C©u 3: (1,5 ®) Gii ph−¬ng tr×nh<br />

x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6<br />

+ + + + + + 6 = 0<br />

1000 999 998 997 996 995<br />

C©u 4: (1®) Gii bÊt ph−¬ng tr×nh ax –b> bx+a<br />

C©u 5: (2,5®) Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®−êng th¼ng AK song<br />

song víi BC. Qua B vÏ ®−êng th¼ng BI song song víi AD. BI c¾t AC ë F, AK c¾t BD<br />

ë E. Chøng minh r»ng:<br />

a. EF song song víi AB<br />

b. AB 2 = CD.EF<br />

C©u 6: (1,5®) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã hai ®−êng chÐo, c¾t nhau ë O .<br />

TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABO biÕt diÖn tÝch tam gi¸c BOC lµ 169 cm 2 vµ diÖn tÝch tam<br />

gi¸c AOD lµ 196 cm 2 .<br />

§¸p ¸n<br />

C©u 1: a. Gäi 2 sè ch½n liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (x ch½n).<br />

Ta cã: (x+2) 2 -x 2 =36 => x = 8.<br />

VËy 2 sè cÇn t×m lµ 8 vµ 10.<br />

b. Gäi 2 sè lÎ liªn tiÕp lµ x vµ x+2 (xlÎ)<br />

Ta cã (x+2) 2 –x 2 = 40 => x = 9<br />

VËy 2 sè cÇn t×m lµ 9 vµ 11.<br />

C©u 2: Theo tÝnh chÊt cña ph©n thøc ta cã:<br />

⎛ 2006 − 2005 ⎞<br />

⎜<br />

⎟<br />

⎝ 2006 + 2005 ⎠<br />

2006<br />

2<br />

2006 − 2005 2006 − 2005<br />

=<br />

.<br />

<<br />

2006 + 2005 2006 + 2005<br />

− 2005<br />

2006<br />

− 2005<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

= <<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2006 + 2.2006.2005 + 2005 2006 + 2005<br />

C©u 3: Ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi:<br />

2<br />

2006 − 2005<br />

(2006 + 2005)<br />

x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 + 6<br />

+ 1+<br />

+ 1+<br />

+ + 1+<br />

+ 1+<br />

x + 1 = 0<br />

1000 999 998 997 996 995<br />

x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001 x + 1001<br />

⇔ + + + + + = 0<br />

1000 999 998 997 996 995<br />

1 1 1 1 1 1<br />

⇔ ( x + 1001)( + + + + + ) = 0<br />

1000 999 998 997 996 995<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

2<br />

2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

29<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

⇔ x=-1001.<br />

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x=-1001.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a + b<br />

C©u 4: * NÕu a> b th× x><br />

a − b<br />

a + b<br />

* NÕu a 2b<br />

+ NghiÖm ®óngvíi mäi x nÕu b S<br />

OC S<br />

ABO .S COD = S BOC. S AOD<br />

COD<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Mµ S ABO = S COD nªn: S 2 ABO = S AOD . S BOD = 169.196 = 13 2 .14 2<br />

=> S ABO = 13.14 = 182 (cm 2 )<br />

================<br />

D<br />

A<br />

E<br />

K<br />

I<br />

F<br />

B<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

D<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

30<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

®Ò 16<br />

C©u 1(2®): T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn.<br />

2x 3 + x 2 + 2x + 5<br />

A=<br />

2x + 1<br />

C©u 2(2®): Gii ph−¬ng tr×nh<br />

x 2 - 3|x| - 4 = 0<br />

C©u 3(2®): Trªn 3 c¹nh BC, CA, AB cña tam gi¸c ABC lÊy t−¬ng øng c¸c ®iÓm P, Q, R.<br />

Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AP; BQ; CR ®ång qui lµ:<br />

PB QC RA<br />

. . = 1<br />

PC QA RB<br />

C©u 4(2®): Cho a, b > 0 vµ a+b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc<br />

M = (1+ 1/a ) 2 + (1+ 1/b) 2<br />

C©u 5(2®): Cho hai sè x, y tho· m·n ®iÒu kiÖn 3x + y = 1<br />

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc<br />

A = 3x 2 + y 2<br />

C©u 1<br />

A nguyªn ⇔ 2x+ 1 lµ −íc cña 4<br />

¦ (4) = {±1; ±2; ±4}<br />

Gii ra x = -1; x= 0 th× A nguyªn.<br />

C©u 2: x 2 - 3|x| - 4 = 0<br />

⇔ 3|x| = x 2 - 4<br />

⇔ 3x = ± (x 2 - 4)<br />

⇔ x 2 - 3x - 4 = 0 hoÆc x 2 + 3x - 4 = 0<br />

2<br />

x + 1 x −1<br />

x − 4x<br />

−1<br />

x + 2006<br />

A = ( − + ).<br />

2<br />

x −1<br />

x + 1 x −1<br />

x<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

§¸p ¸n<br />

Gii 2 ph−¬ng t×nh nµy ®−îc S = {-4; 4}<br />

C©u 3: (S¸ch ph¸t triÓn to¸n 8)<br />

C©u 4: M = 18 khi a = b = …<br />

C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc...<br />

Ta cã: A = 3x 2 + (1-3x) 2 = 12(x- 1/4) 2 + 1/4 ⇒ A … ¼<br />

VËy A min = 1/4 khi x = 1/4 ; y = 1/4.<br />

=========================<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Bµi 1. Cho biÓu thøc:<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

®Ò 17<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

31<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc x¸c ®Þnh.<br />

b) Rót gän biÓu thøc A.<br />

c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.<br />

Bµi 2:<br />

a) Gii ph−¬ng tr×nh:<br />

2 − x 1−<br />

x<br />

−1<br />

= −<br />

x<br />

2004 2005 2006<br />

b) T×m a, b ®Ó: x 3 + ax 2 + 2x + b chia hÕt cho x 2 + x + 1<br />

Bµi 3.<br />

Cho h×nh thang ABCD; M lµ mét ®iÓm tuú ý trªn ®¸y lín AB. Tõ M kÎ c¸c ®−êng<br />

th¼ng song song víi hai ®−êng chÐo AC vµ BD. C¸c ®−êng th¼ng nµy c¾t hai c¹nh BC<br />

vµ AD lÇn l−ît t¹i E vµ F. §o¹n EF c¾t AC vµ BD t¹i I vµ J.<br />

a) Chøng minh r»ng nÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× H còng lµ trung ®iÓm cña EF.<br />

b) Trong tr−êng hîp AB = 2CD, h·y chØ ra vÞ trÝ cña M trªn AB sao cho EJ = JI = IF.<br />

Bµi 4. Cho a ≥ 4; ab ≥ 12. Chøng minh r»ng C = a + b ≥ 7<br />

Bµi 1:<br />

a) §iÒu kiÖn:<br />

b) A =<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

⎧x<br />

≠ ± 1<br />

⎨<br />

⎩x<br />

≠ 0<br />

(<br />

2<br />

§¸p ¸n<br />

2<br />

2 2<br />

( x + 1) − ( x + 1) + x − 4x<br />

−1<br />

x + 2006<br />

⋅ =<br />

x −1<br />

x<br />

x + 2006<br />

x<br />

⎡x<br />

= ± 1<br />

c) Ta cã: A nguyªn ⇔ (x + 2006) ⋮ x ⇔ 2006⋮x<br />

⇔ ⎢ ⎣ x = ± 2006<br />

Do x = ± 1 kh«ng tho· m·n ®k. VËy A nguyªn khi x = ± 2006<br />

Bµi 2.<br />

a) Ta cã:<br />

2 − x 1−<br />

x<br />

−1<br />

= −<br />

x<br />

2004 2005 2006<br />

2 − x 1−<br />

x x 2 − x 2004 1−<br />

x 2005 x 2006<br />

⇔ + 1 = + 1−<br />

+ 1 ⇔ + = + − +<br />

2004 2005 2006 2004 2004 2005 2005 2006 2006<br />

2006 − x 2006 − x 2006 − x<br />

1 1 1<br />

⇔<br />

= + ⇔ ( 2006 − x )( − − = 0<br />

2004 2005 2006<br />

2004 2005 2006<br />

⇔ (2006 - x) = 0 ⇒ x = 2006<br />

b) Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc, råi tõ ®ã<br />

ta t×m ®−îc:<br />

Bµi 3.<br />

a) Ta cã:<br />

FI<br />

IE<br />

⎧a<br />

= 2<br />

⎨<br />

⎩b<br />

= 1<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

FP DO<br />

= = (1)<br />

PM OB<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

D<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

E<br />

I J<br />

F<br />

Q<br />

P<br />

A M B<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

32<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

EJ EQ CO<br />

= = (2)<br />

FJ QM OA<br />

DO CO = (3)<br />

OB OA<br />

FI EJ<br />

Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra = hay FI.FJ = EI.EJ (4)<br />

IE FJ<br />

NÕu H lµ trung ®iÓm cña IJ th× tõ (4) ta cã:<br />

IJ IJ IJ IJ<br />

( FH − )( FH + ) = ( EH − )( EH + ) ⇒ FH = EH<br />

2 2 2 2<br />

DO CO 1<br />

FI 1<br />

b) NÕu AB = 2CD th× = = nªn theo (1) ta cã =<br />

OB OA 2<br />

IE 2<br />

suy ra: EF = FI + IE = 3FI. T−¬ng tù tõ (2) vµ (3) ta cã EF = 3EJ.<br />

Do ®ã: FI = EJ = IJ =<br />

EF kh«ng liªn quan g× ®Õn vÞ trÝ cña M. VËy M tuú ý trªn AB<br />

3<br />

3 1 3ab<br />

1 3⋅12<br />

1<br />

Bµi 4. Ta cã: C = a + b = ( a + b)<br />

+ a ≥ 2 + a ≥ 2 + ⋅ 4 = 7 (§PCM)<br />

4 4 4 4 4 4<br />

============================<br />

C©u 1:<br />

a. T×m sè m, n ®Ó:<br />

b. Rót gän biÓu thøc:<br />

1 m n<br />

= +<br />

x(<br />

x −1)<br />

x −1<br />

x<br />

®Ò 18<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

M =<br />

+<br />

+<br />

+<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

a − 5a<br />

+ 6 a − 7a<br />

+ 12 a − 9a<br />

+ 20 a −11a<br />

+ 30<br />

C©u 2:<br />

a. T×m sè nguyªn d−¬ng n ®Ó n 5 +1 chia hÕt cho n 3 +1.<br />

b. Gii bµi to¸n nÕn n lµ sè nguyªn.<br />

C©u 3:<br />

Cho tam gi¸c ABC, c¸c ®−êng cao AK vµ BD c¾t nhau t¹i G. VÏ ®−êng trung<br />

trùc HE vµ HF cña AC vµ BC. Chøng minh r»ng BG = 2HE vµ AG = 2HF.<br />

C©u 4:<br />

Trong hai sè sau ®©y sè nµo lín h¬n:<br />

a = 1969 + 1971 ; b = 2 1970<br />

§¸p ¸n<br />

C©u 1: (3®)<br />

a. m =1 (0.75®); n = -1 (0.75®)<br />

b.(1.5®) ViÕt mçi ph©n thøc thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc<br />

(¸p dông c©u a)<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

33<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

1 1 1<br />

= −<br />

2<br />

a − 5a<br />

+ 6 a − 3 a − 2<br />

1 1 1<br />

= −<br />

2<br />

a − 7a<br />

+ 12 a − 4 a − 3<br />

1 1 1<br />

= −<br />

2<br />

a − 9a<br />

+ 20 a − 5 a − 4<br />

1 1 1<br />

= −<br />

2<br />

a −11a<br />

+ 30 a − 6 a − 5<br />

§æi dÊu ®óng vµ tÝnh ®−îc :<br />

1 1 4<br />

M = − =<br />

a − 6 a − 2 ( a − 2).( a − 6)<br />

(0.25®)<br />

(0.25®)<br />

(0.25®)<br />

(0.25®)<br />

(0.5®)<br />

C©u 2: (2.5®)<br />

a. (1.5®)<br />

BiÕn ®æi:<br />

n 5 + 1⋮ n 3 + 1 ⇔ n 2 (n 3 + 1) – (n 2 –1) ⋮ n 3 + 1 (0.5®)<br />

⇔ (n + 1) (n – 1) ⋮ (n + 1)(n 2 - n + 1) (0.25®)<br />

⇔ n – 1 ⋮ n 2 – n + 1 (v× n + 1 ≠ 0 ) (0.25®)<br />

NÕu n = 1 th× ta ®−îc 0 chia hÕt cho 1 (0.25®)<br />

NÕu n > 1 th× n – 1 < n(n – 1) + 1 = n 2 – n +1<br />

Do ®ã kh«ng thÓ xy ra quan hÖ n – 1 chia hÕt cho n 2 – n +1 trªn tËp hîp sè<br />

nguyªn d−¬ng<br />

VËy gi¸ trÞ duy nhÊt cña n t×m ®−îc lµ 1 (0.25®)<br />

b. n – 1 ⋮ n 2 – n +1<br />

⇔ n(n – 1) ⋮ n 2 – n + 1<br />

⇔ n 2 – n ⋮ n 2 – n + 1<br />

⇔ ( n 2 – n + 1) – 1 ⋮ n 2 – n + 1<br />

⇔ 1 ⋮ n 2 – n + 1 (0.5®)<br />

Cã hai tr−êng hîp:<br />

n 2 – n + 1 = 1 ⇔ n(n – 1) = 0 ⇔ n = 0 hoÆc n = 1<br />

C¸c gi¸ trÞ nµy ®Òu tho m·n ®Ò bµi (0.25®)<br />

n 2 – n + 1 = - 1 ⇔ n 2 – n + 2 = 0 v« nghiÖm<br />

VËy n = 0, n = 1 lµ hai sè phi t×m (0.25®)<br />

C©u 3: (3®) (H×nh *)<br />

LÊy I ®èi xøng víi C qua H, kÎ AI vµ BI, ta cã HE lµ ®−êng trung b×nh cña<br />

∆ACI nªn HE//AI vµ HE = 1/2IA (1) (0.25®)<br />

T−¬ng tù trong ∆CBI : HF//IB vµ HF = 1/2IB (2) (0.25®)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Tõ BG⊥AC vµ HE⊥AC ⇒ BG//IA (3) (0.25®)<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

T−¬ng tù AK⊥BC vµ HF⊥BC ⇒ AG//IB (4) (0.25®)<br />

Tõ (3) vµ (4) ⇒ BIAG lµ h×nh b×nh hµnh (0.25®)<br />

Do ®ã BG = IA vµ AG = IB (0.5®)<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

34<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

KÕt hîp víi kÕt qu (1) vµ (2) ⇒ BG = 2HE vµ AG = 2HF (0.5®)<br />

C©u 4: (1.5®)<br />

Ta cã: 1970 2 – 1 < 1970 2<br />

⇔ 1969.1971 < 1970 2<br />

⇔ 2 1969.1971 < 2. 1970 (*) (0.25®)<br />

Céng 2.1970 vµo hai vÕ cña (*)<br />

G H<br />

ta cã:<br />

B K F<br />

2 .1970 + 2 1969.1971 < 4.1970<br />

(0.25®)<br />

H×nh *<br />

2<br />

2<br />

⇔ ( 1969 + 1971) < (2 1970)<br />

(0.25®)<br />

⇔ 1969 + 1971 < 2 1970<br />

(0.25®)<br />

VËy: 1969 + 1971 < 2 1970<br />

(0.25®)<br />

Bµi 1 (2,5®) Cho biÓu thøc<br />

===============================<br />

®Ò 19<br />

2<br />

2<br />

⎛ x 6 1 ⎞ ⎛ 10 − x<br />

A =<br />

⎟ ⎞<br />

⎜ + +<br />

⎟ :<br />

⎜ x − 2 +<br />

3<br />

⎝ x − 4x<br />

6 − 3x<br />

x + 2 ⎠ ⎝ x + 2 ⎠<br />

a. t×m tËp x¸c ®Þnh A: Rót gän A?<br />

b. T×m gi¸ trÞ cña x khi A = 2<br />

c.Víi gi¸ trÞ cña x th× A < 0<br />

d. timg gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn<br />

bµi 2 (2,5®)<br />

4 3<br />

x + x + x + 1<br />

a. Cho P =<br />

4 3 2<br />

x − x + 2x<br />

− x + 1<br />

Rót gän P vµ chøng tá P kh«ng ©m víi mäi gi¸ trÞ cña x<br />

b. Gii ph−¬ng tr×nh<br />

Bµi 3 (1®)<br />

x<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

+<br />

+<br />

+<br />

2<br />

2<br />

2<br />

+ 5x<br />

+ 6 x + 7x<br />

+ 12 x + 9x<br />

+ 20 x + 11x<br />

+ 30<br />

2<br />

=<br />

27 −12x<br />

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A =<br />

x<br />

2 + 9<br />

Bµi 4 (3®)<br />

Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A vµ ®iÓm H di chuyÓn trªn BC. Gäi E, F lÇn l−ît lµ ®iÓm ®èi<br />

xøng cña H qua AB vµ AC<br />

a. CMR: E, A, H th¼ng hµng<br />

b. CMR: BEFC lµ h×nh thang, cã thÓ t×m vÞ trÝ cña H ®Ó BEFC trë thµnh mét h×nh<br />

thang vu«ng, h×nh b×nh hµnh, h×nh ch÷ nhËt ®−îc kh«ng.<br />

I<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

A<br />

1<br />

8<br />

D<br />

E<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

35<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

c. x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña H ®Ó tam gi¸c EHF cã diÖn tÝch lín nhÊt?<br />

Bµi 5 (1®)<br />

Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1<br />

CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) ≥ 8<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi 1 (2,5®)<br />

sau khi biÕn ®æi ta ®−îc;<br />

− 6 x + 2<br />

A = × 0,5®<br />

( x − 2 )( x + 2 ) 6<br />

a. TX§ = { ∀x : x ≠ ± 2; x ≠ 0}<br />

0,25®<br />

−1<br />

1<br />

Rót gän: A = = 0,25®<br />

x − 2 2 − x<br />

b. §Ó A = 2 ⇒ x =1, 5 (tho· m·n ®iÒu kiÖn cña x) 0,5®<br />

1<br />

c. §Ó A < 0 th× < 0 ⇒ 2 − x < 0 ⇒ x > 2 (Tho· m·n ®k cña x) 0,5®<br />

2 − x<br />

d. §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn th× (2 - x) phi lµ −íc cña 2. Mµ ¦ (2) = { − 1;<br />

−2;1;2<br />

}<br />

suy ra x = 0; x = 1; x = 3; x= 4. Nh−ng x = 0 kh«ng tho· m·n §K cña x 0,25®<br />

VËy x = 1; x =3.; x=4 0,25®<br />

Bµi 2 (2,5®)<br />

4 3<br />

x + x + x + 1<br />

a. P =<br />

1®<br />

4 3 2<br />

x − x + 2x<br />

− x + 1<br />

Tö: x 4 + x 3 + x + 1 = (x+1) 2 (x 2 - x + 1) 0,25®<br />

MÉu: x 4 - x 3 + 2x 2 -x +1 = (x 2 + 1)(x 2 -x + 1) 0,25®<br />

Nªn mÉu sè (x 2 + 1)(x 2 -x + 1) kh¸c 0. Do ®ã kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn cña x 0,25®<br />

VËy P =<br />

2 2<br />

( x + 1) ( x − x + 1)<br />

2<br />

2<br />

( x + 1) ( x − x + 1)<br />

( )<br />

( x + 1)<br />

=<br />

x<br />

2<br />

2<br />

+ 1`<br />

mäi x 0,25®<br />

Nªn P ≥ 0 ∀x<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

b. Gii PT:<br />

+<br />

+<br />

+<br />

2<br />

2<br />

2<br />

x + 5x<br />

+ 6 x + 7x<br />

+ 12 x + 9x<br />

+ 20 x + 11x<br />

+ 3<br />

x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)<br />

x 2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)<br />

x 2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)<br />

x 2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)<br />

1<br />

1 1 1<br />

Trong ®ã<br />

=<br />

= −<br />

5 6 ( 2)( 3) ( 2) ( 3) ...<br />

2<br />

x + x + x + x + x + x +<br />

TX§ = { ∀x ; x ≠ −2;<br />

−3;<br />

−4;<br />

−5;<br />

−6}<br />

ph−¬ng tr×nh trë thµnh:<br />

2<br />

=<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

v× tö = ( x + 1) 2 ≥ 0∀x<br />

vµ mÉu x 2 + 1 >0 víi<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1<br />

8<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

36<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

1 1 1 1 1 1 1 1 1<br />

− + − + − + − =<br />

x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 8<br />

1 1 1<br />

= − =<br />

x + 2 x + 6 8<br />

= 8( x + 6 − x − 2) = ( x + 2)( x + 6)<br />

⇔ = + +<br />

2<br />

32 x 8x<br />

12<br />

2<br />

⇒ x + x − = ⇒ x = x = −<br />

8 20 0 2; 10<br />

VËy PT ®· cho cã nghiÖm x =2; x = -10<br />

Bµi 3 (1®)<br />

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc<br />

27 −12x<br />

A =<br />

2<br />

x + 9<br />

( ) ( )<br />

2 2 2<br />

27 −12x<br />

x − 12x + 36 − x + 9 x − 6<br />

A = = = −1 ≥ −1<br />

2 2 2<br />

x + 9 x + 9 x + 9<br />

A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -1 ⇔ ( x − 6) 2<br />

= 0 hay x = A =<br />

( 4x 2 + 36) − ( 4x 2 + 12x + 9) ( 2x<br />

+ 3) 2<br />

27 −12x<br />

= = 4 − ≤ 4. A ®¹t GTLN lµ 4<br />

2 2 2<br />

x + 9 x + 9 x + 9<br />

( 2x<br />

+ 3) 2 = 0 ⇒ x = −<br />

3<br />

2<br />

Bµi 4 (3®)<br />

a.(0,75®) do E ®«ie xøng víi H qua AB nªn AB lµ ®−êng trung trùc cña ®oanh th¼ng<br />

EH<br />

vËy gãc EAH = gãcIAH (1)<br />

gãc FAD = gãcDAH (2)<br />

céng (1) vµ (2) ta cã : gãc EAH + gãc FAD = gãcDAH + gãcIAH = 90 0 theo gi<br />

thuyÕt<br />

hay gãcEAI + gßcAD + BAC = 90 0 + 90 0 = 180 0 . Do ®ã 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng<br />

b. Tam gi¸c ABC vu«ng ë A nªn gãcABC + ACB = 90 0 (hai gãc nhän tam gi¸c<br />

vu«ng)<br />

Mµ gãcEBA = gãcABH (tÝnh chÊt ®èi xøng)<br />

gãcCA = gãcHCA (tÝnh chÊt ®èi xøng)<br />

suy ra gãc EBA + gãc FCA = 90 0<br />

haygãc EBA + gãc FCA + gãc ABC + gãc ACB = 180 0<br />

suy ra gãc EBC + gãc FBC = 180 0 (hai gãc trong cïng phÝa bï nhau)<br />

do ®ã BE song song CF. Vậy tø gi¸c BEFC lµ h×nh thang 0,75®<br />

Muèn BEFC lµ h×nh thang vu«ng th× phi cã gãc AHC = 90 0 ⌢ ⌢<br />

0<br />

( E = F = 90 ) vËy<br />

H phi lµ ch©n ®−êng cao thuéc c¹nh huyÒn cña tam gi¸c ABC<br />

Muèn BEFC lµ h×nh b×nh hµnh th× BE = CF suy ra BM = HC. VËy H phi lµ<br />

trung ®iÓm cña BC………….. 0,25®<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

37<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Muèn BEFC lµ h×nh ch÷ nhËt th× BEFC phi cã mét gãc vu«ng suy ra<br />

⌢ ⌢<br />

0<br />

( B = C = 45 ) ®iÒu nµy kh«ng xy ra v× tam gi¸c ABC kh«ng phaØ lµ tam gi¸c vu«ng<br />

c©n…..0,25®<br />

c.lÊy H bÊt kú thuéc BC gÇn B h¬n ta cã:<br />

S∆ EHF<br />

= 2S▱ AIDH<br />

dùng h×nh ch÷ nhËt HPQD b»ng AIHD<br />

vËy S tam gi¸c EHF = S tø gi¸c IPQ . Ta cã tam gi¸c HBI = tam gi¸c HMB (g.c.g)<br />

suy ra S<br />

HBIS<br />

= S<br />

HMB<br />

⇒ S<br />

EHF<br />

= S▱<br />

ABMQ<br />

< S<br />

ABC<br />

∆ ∆ ∆ ∆<br />

víi H gÇn C h¬n ta còng cã:S tø gi¸c ABMQ < S tam gi¸c ABC<br />

khi H di chuyÓn trªn BC ta lu«n cã S EHF ≤ S<br />

ABC<br />

. T¹i vÞ trÝ h lµ trung ®iÓm cña BC<br />

th× ta cã<br />

S EHF = S ABC . Do ®ã khi H lµ trung ®iÓm cña BC th× S EHF lµ lín nhÊt.<br />

Bµi 5 (1®) Cho c¸c sè d−¬ng a, b, c cã tÝch b»ng 1<br />

Chøng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8<br />

Do a, b, c lµ c¸c sè d−¬ng nªn ta cã;<br />

(a – 1) 2 2 2 2<br />

( ) 2<br />

≥ 0∀ a > 0 ⇒ a + 1 ≥ 2a ⇒ a + 2a + 1⇒ a + 1 ≥ 4a<br />

(1) …………0,25®<br />

T−¬ng tù (b + 1) 2 ≥4b (2)………………0,25®<br />

(c + 1) 2 ≥ 4c (3) …………0,25®<br />

Nh©n tõng vÕ cña (1), (2), (3) ta cã:<br />

(b + 1) 2 (a – 1) 2 (c + 1) 2 ≥64abc (v× abc = 1)<br />

((b + 1)(a – 1)(c + 1)) 2 ≥ 64<br />

(b + 1)(a – 1)(c + 1) ≥ 8…..0,25®<br />

=======================================<br />

®Ò 20<br />

C©u I :(3®)<br />

a) Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:<br />

A = x 3 +8x 2 + 19x +12 . B = x 3 +6x 2 +11x +6 .<br />

b) Rót gän ph©n thøc :<br />

3 2<br />

A x + 8x<br />

+ 19x<br />

+ 12<br />

=<br />

.<br />

3 2<br />

B x + 6x<br />

+ 11x<br />

+ 6<br />

C©u II : (3®) .<br />

1 ) Cho ph−¬ng tr×nh Èn x.<br />

x + a x − 2<br />

+ = 2.<br />

x + 2 x − a<br />

a) Gii ph−¬ng tr×nh víi a = 4.<br />

b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho ph−¬ng tr×nh nhËn x = -1 lµm nghiÖm.<br />

2 ) Gii bÊt ph−¬ng tr×nh sau : 2x 2 + 10x +19 > 0.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

38<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

C©u III (3®): Trong h×nh thoi ABCD ng−êi ta lÊy c¸c ®iÓm P vµ Q theo thø tù trªn AB<br />

vµ CD sao cho AP = 1/ 3 AB vµ CQ = 1/ 3 CD. Gäi I lµ giao ®iÓm cña PQ vµ AD , K<br />

lµ giao ®iÓm cña DP vµ BI , O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.<br />

a) Chøng minh AD = AI , cho biÕt nhËn xÐt vÒ tam gi¸c BID vµ vÞ trÝ cña K trªn IB.<br />

b) Cho Bvµ D cè ®Þnh t×m quü tÝch cña A vµ I.<br />

C©u IV : (1®) .T×m nghiÖm nguyªn d−¬ng cña ph−¬ng tr×nh sau :<br />

yx 2 +yx +y =1.<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) (1®)<br />

B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) (1®)<br />

A ( x + 1)( x + 3)( x + 4) x + 4<br />

2) =<br />

=<br />

B ( x + 1)( x + 2)( x + 3) x + 2<br />

(1®)<br />

( x + a)<br />

( x − 2)<br />

Bµi II :1) . Ph−¬ng tr×nh + = 2<br />

( x + 2) ( x − a)<br />

§iÒu kiÖn: x ≠ -2 vµ x ≠ a.<br />

(1) ⇔ x 2 – a 2 + x 2 – 4 = 2x 2 + 2(2- a)x – 4a<br />

⇔ – a 2 - 4 + 4a = 2(2- a)x<br />

⇔ - (a - 2) 2 = 2(a - 2)x (*)<br />

a) víi a =4 thay vµo (*) ta cã :<br />

4 =4x ⇒ x=1 (1®)<br />

b) . Thay x= -1 vµo (*) ta ®−îc.<br />

(a – 2 ) 2 + (a - 2)= 0<br />

⇔ (a - 2) (a – 2 + 2) = 0<br />

a = 2<br />

⇒ a = 0 (1®)<br />

2) . Gii bÊt ph−¬ng tr×nh :<br />

2x 2 + 10x + 19 > 0 (1)<br />

BiÕn dæi vÕ tr¸i ta ®−îc.<br />

2x 2 + 10x + 19 = 2x 2 + 8x +8 + 2x +4 +7<br />

=2(x 2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7<br />

= 2(x + 2) 2 +2(x + 2) + 7<br />

= (x + 3) 2 + (x + 2) 2 + 6 lu«n lín h¬n 0 víi mäi x<br />

Nªn bÊt ph−¬ng tr×nh (1) NghiÖm ®óng víi ∀ x . (1®)<br />

Bµi III .<br />

AP // DQ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

(1)<br />

1<br />

XÐt tam gi¸c IDQ cã . AP = DQ<br />

2<br />

Theo ®Þnh lý Ta LÐt trong tam gi¸c ta cã : (0,75® )<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

39<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

IA AP 1<br />

= = ⇒ 2IA<br />

= ID ⇒ AD = AI<br />

ID AQ 2<br />

Tam gi¸c BID lµ tam gi¸c vu«ng t¹i B v× AO ⊥ DB vµ AO lµ ®−êng trung<br />

b×nh cña ∆ BID<br />

§iÓm K lµ trung ®iÓm cña IB. (Do DK lµ ®−êng trung tuyÕn cña ∆ BID ) .<br />

(0,75®)<br />

b). Víi B vµ D cè ®Þnh nªn ®o¹n DB cè ®Þnh.Suy ra trung ®iÓm O cè ®Þnh.<br />

MÆt kh¸c AC BD , BI DB vµ vai trß cña A vµ C lµ nh− nhau . Nªn quü tÝch cña A lµ<br />

®−êng th¼ng ®i qua O vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm O.Quü tÝch cña ®iÓm I lµ ®−êng<br />

th¼ng ®i qua B vµ vu«ng gãc víi BD trõ ®iÓm B. (1®)<br />

§o: Víi A vµ I ch¹y trªn c¸c ®−êng ®ã vµ AD = AI .Th× AP = 2<br />

1 AB vµ CQ = 3<br />

1 CD.<br />

ThËt vËy : Do AP // DQ suy ra<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

IA AP 1<br />

= = ⇒ 2AP<br />

= DQ mµ AB = CD ⇒ §PCM.<br />

ID AQ 2<br />

(0,5®)<br />

Bµi IV: y x 2 + y x + y = 1 . (1)<br />

NÕu ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm th× x ,y > 0.<br />

(1) y(x 2 + x +1) = 1<br />

⇒ y= 1 ⇒ y = 1 ,x= 0<br />

x 2 + x +1 =1<br />

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh trªn lµ (x,y) = (0 ,1). (1®)<br />

===================================<br />

®Ò 21<br />

I. §Ò bµi:<br />

Bµi 1:(2 ®iÓm) Cho A = 1 + 1 +<br />

1<br />

2 2 2 2 2 2 2 2 2<br />

b + c - a c + a - b a + b - c<br />

Rót gän biÓu thøc A, biÕt a + b + c = 0.<br />

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gii ph−¬ng tr×nh:<br />

1) (x+1) 4 + (x+3) 4 = 16<br />

2)<br />

Bµi 3:(2 ®iÓm)<br />

x −1001 x −1003 x −1005 x −1007<br />

+ + + = 4<br />

1006 1004 1002 1000<br />

Chøng minh r»ng sè:<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

1 1 1 1<br />

a = + + + ... + , n ∈ Z+<br />

kh«ng phi lµ mét sè nguyªn.<br />

1.2 2.3 3.4 n.(n+1)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Bµi 4:(3 ®iÓm)<br />

Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB, BC, CD vµ DA.<br />

a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao?<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

40<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

b) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó tø gi¸c MNPQ lµ h×nh vu«ng?<br />

c) Víi ®iÒu kiÖn c©u b), h·y tÝnh tû sè diÖn tÝch cña hai tø gi¸c ABCD vµ MNPQ.<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi 1:(2 ®iÓm) Ta cã: a + b + c = 0 ⇔ b + c = - a. 0.25 ®iÓm<br />

B×nh ph−¬ng hai vÕ ta cã : (b + c) 2 = a 2<br />

⇔ b 2 + 2bc + c 2 = a 2 ⇔ b 2 + c 2 - a 2 = -2bc<br />

T−¬ng tù, ta cã: c 2 + a 2 - b 2 = -2ca<br />

a 2 + b 2 - c 2 = -2ab<br />

1 1 1 -(a+b+c)<br />

⇒ A = - - - = =0 (v× a + b + c = 0)<br />

2bc 2ca 2ab 2abc<br />

VËy A= 0.<br />

Bµi 2:(3 ®iÓm) Gii ph−¬ng tr×nh:<br />

1) §Æt y = x + 2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh:<br />

(y – 1) 4 + (y +1) 4 = 16 ⇔ 2y 4 + 12y 2 + 2 = 16<br />

⇔ y 4 + 6y 2 -7 = 0<br />

§Æt z = y 2 ta ®−îc ph−¬ng tr×nh: z 2 + 6z – 7 = 0 cã hai nghiÖm lµ<br />

z 1 = 1 vµ z 2 = -7.<br />

2)<br />

• y 2 = 1 cã 2 nghiÖm y 1 = 1 ; y 2 = -1 øng víi x 1 = -1 ; x 2 = -3.<br />

• y 2 = -7 kh«ng cã nghiÖm.<br />

0.5 ®iÓm<br />

0.5 ®iÓm<br />

0.5 ®iÓm<br />

0.25 ®iÓm<br />

0.5 ®iÓm<br />

0.5 ®iÓm<br />

0.5 ®iÓm<br />

x −1001 x −1003 x −1005 x −1007<br />

+ + + = 4<br />

1006 1004 1002 1000<br />

x −1001 x −1003 x −1005 x −1007<br />

⇔ − 1+ − 1+ − 1+ − 1 = 0<br />

1006 1004 1002 1000<br />

x − 2007 x − 2007 x − 2007 x − 2007<br />

⇔ + + + = 0<br />

0.5 ®iÓm<br />

1006 1004 1002 1000<br />

⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />

⇔ ( x − 2007) ⎜ + + + ⎟ = 0 ⇔ ( x − 2007) = 0 0.5 ®iÓm<br />

⎝1006 1004 1002 1000 ⎠<br />

V×<br />

Bµi 3:(1,5 ®iÓm)<br />

⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />

⎜ + + + ⎟ ≠ 0 ⇒ x = 2007<br />

0.5 ®iÓm<br />

⎝1006 1004 1002 1000 ⎠<br />

a =<br />

Ta cã:<br />

⎛ 1 1 1 1 1 1 1<br />

⎜1 − ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ + ⎛ ⎜ − ⎞ ⎟ + ... + ⎜ ⎛ −<br />

⎞<br />

⎟<br />

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ n n+1⎠<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

0,5®iÓm<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1 n<br />

= 1 − = < 1; n+1 n+1<br />

0.5 ®iÓm<br />

MÆt kh¸c a > 0. Do ®ã a kh«ng nguyªn<br />

0.5 ®iÓm<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

41<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Bµi 4:(3,5 ®iÓm)<br />

VÏ h×nh, viÕt gi thiÕt - kÕt luËn ®óng<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

0.5 ®iÓm<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a) Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh 1 ®iÓm<br />

b) MNPQ lµ h×nh vu«ng khi vµ chØ khi AC = BD, AC ⊥ BD 1 ®iÓm<br />

a<br />

c) S ABCD = 2<br />

MNPQ = 2<br />

;<br />

2 4<br />

0.5 ®iÓm<br />

SABCD<br />

⇒ = 2<br />

S<br />

0.5 ®iÓm<br />

MNPQ<br />

=========================<br />

®Ò 22<br />

Bµi 1 (3 ®iÓm)<br />

a. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.<br />

A = x 4 – 14x 3 + 71x 2 – 154x +120<br />

b. Chøng tá ®a thøc A chia hÕt cho 24<br />

Bµi 2 ( 3 ®iÓm)<br />

a. T×m nghiÖm nguyªn tö cña ph−¬ng tr×nh:<br />

2<br />

x<br />

b. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: B =<br />

4<br />

1+<br />

x<br />

a<br />

m<br />

q<br />

b<br />

d<br />

x<br />

x<br />

2<br />

2<br />

a<br />

+ x + 1 x<br />

+<br />

+ x + 2 x<br />

víi x # 0<br />

2<br />

2<br />

+ x + 2 7<br />

=<br />

+ x + 3 6<br />

2<br />

x − 5x<br />

+ 6<br />

Bµi 3 ( 1 ®iÓm) Rót gän biÓu thøc: P =<br />

3 2<br />

x − 3x<br />

+ 3x<br />

− 2<br />

Bµi 4 ( 3 ®iÓm )<br />

Cho Tam gi¸c ABC vu«ng c©n ë A. §iÓm M trªn c¹nh BC. Tõ M kÎ ME vu«ng<br />

gãc víi AB, kÎ MF vu«ng gãc víi AC ( E ∈ AB ; F ∈ AC )<br />

a. Chøng minh: FC .BA + CA . B E = AB 2 vµ chu vi tø gi¸c MEAF kh«ng phô thuéc<br />

vµo vÞ trÝ cña M.<br />

b. T©m vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt.<br />

c. Chøng tá ®−êng th¼ng ®i qua M vu«ng gãc víi EF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

n<br />

p<br />

c<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

42<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi 1: a. A = x 4 – 14x 3 + 71x 2 - 154 x + 120<br />

KÕt qu ph©n tÝch A = ( x –3) . (x-5). (x-2). (x-4) ( 2®iÓm )<br />

b. A = (x-3). (x-5). (x-2). (x-4)<br />

=> A= (x-5). (x-4). (x-3). (x-2)<br />

Lµ tÝch cña 4 sè nguyªn liªn tiªp nªn A ⋮ 24 (1 ®iÓm )<br />

2<br />

2<br />

x + x + 1 x + x + 2 7<br />

Bµi 2: a. + =<br />

2<br />

2<br />

x + x + 2 x + x + 3 6<br />

T×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x 1 = 0; x 2 = -1 (1.5 ®iÓm)<br />

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc<br />

2<br />

x<br />

B= víi x # 0 gii vµ t×m ®−îc B max = 1/2 th× x = ± 1 ( 1, 5 ®iÓm )<br />

4<br />

1+<br />

x<br />

Bµi 3 Rót gän biÓu thøc:<br />

2<br />

x − 5x<br />

+ 6 ( x − 2)( . x − 3)<br />

x − 3<br />

P =<br />

=<br />

=> P = .<br />

( 1®iÓm )<br />

3 2<br />

2<br />

2<br />

x − 3x<br />

+ 3x<br />

− 2 x − 2 x − x + 1 x − x +<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

( )( ) 1<br />

Bµi 4: Gii a. chøng minh ®−îc<br />

F C . BA + CA. BE = AB 2 (0,5 ®iÓm )<br />

+ Chøng minh ®−îc chu vi tø gi¸c<br />

MEAF = 2 AB<br />

( kh«ng phô vµo vÞ trÝ cña M ) ( 0,5 ®iÓm )<br />

b. Chøng tá ®−îc M lµ trung ®iÓm BC<br />

Th× diÖn tÝch tø gi¸c MEAF lín nhÊt (1 ®iÓm )<br />

c. Chøng tá ®−îc ®−êng th¼ng<br />

MH ⊥ EF lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh ( 1 ®iÓm )<br />

Đề 23<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Câu 1: (4đ)<br />

a, Phân tích đa thức sau thành nhân tử<br />

A = ( x 2 -2x)(x 2 -2x-1) - 6<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

43<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

b, Cho x ∈ Z chứng minh rằng x 200 + x 100 +1 ⋮x 4 + x 2 + 1<br />

Câu 2: (2đ)<br />

Cho x,y,z ≠0 thoả mãn x+ y +z = xyz và x<br />

1 + y<br />

1 + z<br />

1 = 3<br />

1 1 1<br />

Tính giá trị của biểu thức P = + +<br />

2 2 2<br />

x y z<br />

Câu 3: (3đ) Tìm x biết<br />

a, 3 x + 2 < 5x -4<br />

x + 43 x + 46 x + 49 x + 52<br />

b, + = +<br />

57 54 51 48<br />

Câu 4: (3đ)<br />

a, Chứng minh rằng A = n 3 + (n+1) 3 +( n+2) 3 ⋮ 9 với mọi n ∈N *<br />

b, Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br />

x y z<br />

P = + +<br />

y + z z + x x + y<br />

Bài 5: (6đ)<br />

Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (H∈BC). Trên tia HC<br />

lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.<br />

1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE<br />

theo m = AB .<br />

2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và<br />

BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM<br />

GB HD<br />

3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: = .<br />

BC AH + HC<br />

Bài 6: (2 đ)<br />

Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có<br />

một số là lập phương của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.<br />

Đề 23<br />

Câu1(4đ)<br />

a,đặt a = x 2 -2x thì x 2 -2x -1 = a-1<br />

⇒ A = (x+1)(x-3)(x 2 -2x+2)<br />

b, A = x 200 +x 100 + 1= (x 200 -x 2 ) + (x 100 -x 4 )+ (x 4 +x 2 +1)<br />

=x 2 (x 198 -1)+x 4 (x 96 -1) + (x 4 +x 2 +1) = x 2 ((x 6 ) 33 -1)+x 4 ((x 6 ) 16 -1)<br />

+(x 4 +x 2 =1)= x 2 (x 6 -1).B(x) +x 4 (x 6 -1).C(x) +(x 4 +x 2 +1)<br />

dễ thấy x 6 -1 =( x 3 -1)(x 3 +1)= (x+1)(x-1)(x 4 +x 2 +1) ⋮x 4 + x 2 + 1<br />

⇒ A chia hết cho x 4 + x 2 + 1<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

.1đ<br />

1đ<br />

1đ<br />

1đ<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

44<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Cau 2<br />

:(2đ<br />

1 1 1 2<br />

Có ( )<br />

x<br />

+ +<br />

y z<br />

= 1 1 1 1 1 1<br />

+ + + 2( + + )<br />

2 2<br />

x y z<br />

2 xy xz yz<br />

2 z + y + x<br />

( 3 ) = p + 2 vậyP+2=3<br />

xyz<br />

suy ra P = 1<br />

Câu 3:<br />

(3đ)<br />

Câu 4:<br />

3đ<br />

Câu 5:<br />

(2đ)<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

giải 4-5x < 3x +2< 5x - 4<br />

làm đúng được x> 3<br />

b, Cộng 1 vào mỗi phân thức rồi đặt nhân tử chung<br />

1 1 1 1<br />

(x+100)( + − − ) = 0 ⇒ S = { − 100}<br />

57 54 51 48<br />

0.75đ<br />

0,75đ<br />

0.5đ<br />

1đ<br />

0.5đ<br />

1đ<br />

0.5đ<br />

a, = n 3 +(n 3 +3n 2 +3n+1)+(n 3 +6n 2 +12n+8)<br />

=3n 3 +9n 2 +15n+9 = 3(n 3 +3n 2 +5n+3)<br />

0.5đ<br />

Đặt B= n 3 +3n 2 +5n+1 = n 3 +n 2 + 2n 2 +2n + 3n+3<br />

=n 2 (n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) 0,5đ<br />

Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên<br />

liên tiếp )<br />

3(n+1) chia hết cho3 ⇒ B chia hết cho 3 ⇒ A =3B chia 0,5đ<br />

hết cho 9<br />

a + b + c<br />

b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z =<br />

2<br />

− a + b + c a − b + c a + b − c<br />

⇒ x = ; y = ; z=<br />

2<br />

2<br />

2<br />

− a + b + c a − b + c a + b − c<br />

P = + + =<br />

0.5đ<br />

2a<br />

2b<br />

2c<br />

1 b c a c a b<br />

( − 1+<br />

+ −1+<br />

+ −1+<br />

+ ) =<br />

2 a a b b c c<br />

1 b a c a b c 3<br />

( −3<br />

+ ( + ) + ( + ) + ( + )) ≥<br />

2 a b a c c b 2<br />

3<br />

Min P = ( Khi và chỉ khi a=b=c ⇔ x=y=z 1đ<br />

2<br />

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

+ Hai tam giác<br />

ADC và BEC có:<br />

Góc C chung.<br />

CD CA<br />

= (Hai tam<br />

CE CB<br />

giác vuông CDE và<br />

CAB đồng dạng)<br />

0,25 đ<br />

0,25 đ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

0,25 đ<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

45<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

0<br />

Suy ra: ∠ BEC= ∠ADC = 135 (vì tam giác AHD vuông cân tại H<br />

theo giả thiết).<br />

0<br />

Nên ∠AEB = 45 do đó tam giác ABE vuông cân tại A.<br />

Suy ra: BE = AB 2 = m 2<br />

b)<br />

2đ<br />

C)<br />

2đ<br />

BM 1 BE 1 AD<br />

Ta có: = ⋅ = ⋅ (do ∆ BEC ~ ∆ ADC )<br />

BC 2 BC 2 AC<br />

mà AD = AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)<br />

BM 1 AD 1 AH 2 BH BH<br />

nên = ⋅ = ⋅ = = (do ABH Đồng<br />

BC 2 AC 2 AC AB 2 BE<br />

dạng CBA)<br />

Do đó BHM đồng dạng BEC (c.g.c)<br />

0<br />

0<br />

suy ra: ∠BHM<br />

= ∠BEC<br />

= 135 ⇒ ∠AHM = 45<br />

Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác<br />

góc BAC.<br />

Suyra: GB = AB ,<br />

GC AC<br />

AB ED AH HD<br />

vì ∆ ABC ~ ∆DEC<br />

nên = = = (DE//AH)<br />

AC DC HC HC<br />

Do đó:<br />

GB HD GB HD GB HD<br />

= ⇒ = ⇒ =<br />

GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC<br />

Câu 6 Đặt: 2p+1=a 3 (a >1) Ta có 2p=(a-1)(a 2 +a+1)<br />

Vì p là số nguyên tố nên:<br />

Hoặc : a-1=2 suy ra p=13 ( thoả mãn)<br />

Hoặc: a 2 +a+1 =2 điều này không xảy ra vì a >1<br />

Vởy trong các số tự nhiên có dang 2p+1 (p là số nguyên tố)<br />

chỉ có 1 số là lập phương của một số tự nhiên khác.<br />

Đề 24<br />

Câu 1: (4điểm)<br />

x 2x − 3y<br />

a. Cho: 3y-x=6 Tính giá trị biểu thức: A= +<br />

y − 2 x − 6<br />

b. Cho (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 1<br />

và a,b,c ≠ 0. Chứng minh :<br />

a<br />

Câu 2: (3điểm)<br />

a. Tìm x,y,x biết :<br />

2<br />

x<br />

2<br />

2<br />

y<br />

+<br />

3<br />

2<br />

z x<br />

+ =<br />

4<br />

+ y<br />

5<br />

b.Giải phương trình : 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />

2<br />

2<br />

+ z<br />

2<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

1<br />

b<br />

1<br />

c<br />

+ + =<br />

3 3 3<br />

0,5 đ<br />

0,25 đ<br />

0,5 đ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,5đ<br />

1đ<br />

0,5đ<br />

1đ<br />

1đ<br />

1đ<br />

3<br />

abc<br />

0,5đ<br />

0,5đ<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

46<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Câu 3: (3điểm)<br />

a. Chứng minh : a 5 - a chia hết cho 30 với a∈Z<br />

b. Chứng minh rằng : x 5 – x + 2 không là số chính phương với mọi x∈Z +<br />

Câu 4: (2điểm)<br />

Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :<br />

Câu 5: (6 điểm)<br />

cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA’ ;BB’;CC’ Có trực tâm H<br />

a)tính tổng :<br />

AH ' BH CH<br />

+ +<br />

AA'<br />

BB'<br />

CC'<br />

Gọi AI là phân giác của tam giác ABC IM; IN thứ tự là phân giác của các góc AIC;<br />

AIB(M∈AC;N∈AB chứng minh: AN.BI.CM=BN.IC.AM<br />

2<br />

( AB + BC + CA)<br />

c)Tam Giác ABC thỏa mãn Điều kiện gì thì biểu thức :<br />

2 2 2<br />

AA'<br />

+ B'<br />

B + C'<br />

C<br />

đạt giá trị nhỏ nhất<br />

Câu 6(2điểm)<br />

Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì<br />

(1+a 2 )(1+b 2 )(1+c 2 ) bằng bình phương của số hữu tỉ.<br />

……………..Hết…………………….<br />

Đề 24<br />

Bài Nội dung điểm<br />

Bài1<br />

0,5đ<br />

a) 3y-x=6 ⇒ x=3y-6<br />

2đ<br />

Thay vào ta có A=4<br />

1,5đ<br />

b)<br />

2đ<br />

Vì: (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c≠ 0.<br />

1 1 1<br />

⇒ + + = 0<br />

a b c<br />

ab + ac + bc<br />

⇒ ab + ac + bc = 0 ⇒<br />

= 0<br />

abc<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1 1<br />

Đặt : = x;<br />

a b<br />

=<br />

1<br />

y; = z<br />

c<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

1đ<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

47<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì:<br />

Bài<br />

2:<br />

a)<br />

1,5đ<br />

b)<br />

1,5đ<br />

Bài 3<br />

a)<br />

1.5đ<br />

b)<br />

1.5đ<br />

2<br />

x<br />

2<br />

x 3 +y 3 +z 3 =3xyz ⇒ đpcm<br />

. :<br />

2<br />

y<br />

+<br />

3<br />

2<br />

z x<br />

+ =<br />

4<br />

.phươngtrình:<br />

2<br />

+ y<br />

5<br />

2<br />

+ z<br />

2<br />

2 2 2 2 2 2<br />

x x y y z z<br />

⇔ − + − + − =0<br />

2 5 3 5 4 5<br />

2<br />

3x<br />

⇔<br />

10<br />

2y<br />

+<br />

15<br />

2x(8x-1) 2 2<br />

2<br />

(4x-1)=9 ⇔ (64x −16x<br />

+ 1)(8x − 2x) = 9<br />

⇔ (64x<br />

2<br />

−16x<br />

+ 1)(64x<br />

đặt :64x 2 -16x+0,5=k<br />

2<br />

−16x)<br />

= 72<br />

2<br />

2<br />

z<br />

+ = 0 ⇔ x = y = z<br />

20<br />

Ta có pt : (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k 2 = 72,25 ⇔ k ± 8, 5<br />

−1<br />

1<br />

Với k=8,5 Ta có x= ;x =<br />

4 2<br />

Với k=-8,5 phương trình vô nghiệm<br />

Vậy phương trình có 2nghiệm x=-1/4và x=1/2<br />

, có: a 5 -a=a(a 4 -1)=a(a 2 -1)(a 2 +1)=a(a-1)(a+1)(a 2 -4+5)<br />

= a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2)+5a(a-1)(a+1)<br />

vì a nguyên nên a(a-1)(a+1)(a+2)(a-2) là tích 5 số nguyên liên<br />

tiếp nên⋮ 30 (2)<br />

cho 30<br />

5a(a-1)(a+1)là tích của 3số nguyên liên tiếp với 5 nên chia hết<br />

Từ (1); (2) suy rađpcm<br />

b,Từ bài toán trên ta có: x 5 -x⋮5<br />

⇒ x 5 -x+2 chia 5 dư 2<br />

⇒ x 5 -x+2 có tận cùng là 2 hoạc 7 (không có số chính phương<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

1đ<br />

1đ<br />

0,5đ<br />

0,25đ<br />

0,5đ<br />

0,25đ<br />

0,25đ<br />

0,25đ<br />

0, 75đ<br />

0,25đ<br />

0,25đ<br />

0,25đ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,75đ<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

48<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

nào có tận cùng là 2hoặc 7)<br />

Vậy:<br />

x 5 -x+2 không thế là số chính phương với mọi x ∈ Z<br />

+<br />

Câu4<br />

⎞<br />

2đ đặt A= ⎟⎜<br />

⎛ 2<br />

2<br />

⎛ b ⎞⎛<br />

c ⎞ a ⎛ c b 1 ⎞ a ⎞<br />

⎜a + ⎟⎜<br />

b + c + ⎟ = ⎜ab<br />

+ + + ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ ac ⎠⎝<br />

ba ⎠⎝<br />

bc ⎠ ⎠⎛ c<br />

2 +<br />

⎝ b ac a<br />

⎝ bc ⎠<br />

câu 5<br />

a)<br />

2 2<br />

2<br />

a c a b b c<br />

= abc + + + + + +<br />

2<br />

2 2<br />

c b b a c a<br />

1<br />

+<br />

abc<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ c b ⎞ ⎛ b a ⎞<br />

= ⎜abc<br />

+ ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎝ abc ⎠ ⎝ c a ⎠ ⎝ b c ⎠ ⎝ a b ⎠<br />

1<br />

tacó x+ ≥ 2∀x<br />

>0 Nên A ≥ 8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1<br />

x<br />

B<br />

N<br />

C’<br />

I<br />

A<br />

H<br />

A’<br />

B’<br />

M<br />

C<br />

1<br />

( BA'<br />

+ A'<br />

C).<br />

AH<br />

AH + S<br />

Ta có : =<br />

2<br />

S<br />

= AHB<br />

A'<br />

A 1<br />

S<br />

AH.<br />

BC<br />

ABC<br />

2<br />

BH S + S<br />

BHC<br />

Tương Tự: = AHB<br />

BB'<br />

S<br />

CH S + S<br />

== CHB<br />

CC S<br />

ABC<br />

AHC<br />

(3)<br />

x<br />

ABC<br />

D<br />

0,5đ<br />

0,25đ<br />

AH ' BH CH 2( S<br />

AHB<br />

+ S<br />

BHC<br />

+ SCHA)<br />

Từ (1); (2); (3) ta có: + + = = 2<br />

AA'<br />

BB'<br />

CC'<br />

S<br />

b.<br />

ABC<br />

0,25 đ<br />

b) áp d ụng tính chất đường phân giác vào các tam giácABC,<br />

0,5 đ<br />

ABI, AIC:<br />

BI AB AN AI CM IC<br />

= ; = ; = suy ra<br />

IC AC NB BI MA AI<br />

c)<br />

BI AN CM AB AI IC AB IC AB.<br />

AC<br />

0,75 đ<br />

. . = . . = . = = 1<br />

IC NB MA AC BI AI AC BI AC.<br />

AB<br />

⇒ BI . AN.<br />

CM = BN.<br />

IC.<br />

AM<br />

0,75 đ<br />

c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx<br />

0,5 đ<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

49<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

AHC<br />

(2)<br />

(1)<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

1đ<br />

0,5đ<br />

0,5đ<br />

1 đ<br />

0,25 đ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’<br />

- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD<br />

- ∆ BAD vuông tại A nên: AB 2 +AD 2 = BD 2<br />

⇒ AB 2 + AD 2 ≤ (BC+CD) 2<br />

AB 2 + 4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2<br />

4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2 – AB 2<br />

Tương tự: 4AA’ 2 ≤ (AB+AC) 2 – BC 2<br />

4BB’ 2 ≤ (AB+BC) 2 – AC 2<br />

-Chứng minh được : 4(AA’ 2 + BB’ 2 + CC’ 2 ) ≤ (AB+BC+AC) 2<br />

2<br />

(AB + BC + CA)<br />

⇔<br />

≥ 4<br />

2 2 2<br />

AA' + BB' + CC'<br />

(Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB=BC<br />

Tức tam giác ABCđều<br />

Câu6 có<br />

1+a 2 =ab+ac+bc+a 2 =(a+c)(a+b)<br />

2đ<br />

Tương tự 1+b 2 =(a+b)(b+c)<br />

1+c 2 =(b+c)(a+c)<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⇒ ( 1 + a )(1 + b )(1 + c ) = a + b a + c b + c đpcm<br />

[( )( )( )] 2<br />

Đề 25<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

0,5 đ<br />

0,25 đ<br />

0,25 đ<br />

0,25 đ<br />

0,25 đ<br />

0,25 đ<br />

0,25 đ<br />

Bài 1: (5 điểm)<br />

⎡ 2 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎤ x −1<br />

Cho biểu thức: A = ⎢<br />

( ) 3 ⎜ + 1⎟ + 1 :<br />

2 ⎜ +<br />

2 ⎟⎥<br />

3<br />

⎢⎣<br />

x + 1 ⎝ x ⎠ x + 2x + 1⎝ x ⎠⎥⎦<br />

x<br />

a/ Thu gọn A<br />

b/ Tìm các giá trị của x để A


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

b/ Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống BM. Chứng minh bốn điểm A, I,<br />

G, H cùng nằm trên một đường thẳng.<br />

Bài 5: (2 điểm)<br />

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 6 +3x 2 +1=y 3<br />

BÀI<br />

Bài 1<br />

a)<br />

b)<br />

c)<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đề 25<br />

NỘI DUNG<br />

2<br />

⎛ 2x<br />

x + 1 ⎞ x −1<br />

A= ⎜<br />

⎟<br />

+<br />

:<br />

( )<br />

2 2<br />

2 2 3<br />

x 1 . x ( x 1) x<br />

ĐKXĐX∉{0;1;-1}<br />

⎝ + + ⎠ x<br />

2 3<br />

( x + 1) x<br />

A=<br />

2 2<br />

( x −1)(<br />

x + 1) x<br />

x<br />

A=<br />

x −1<br />

−1<br />

Tacó:1-A= >0 khi x-1


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Bài 4:<br />

b)<br />

Chứng minh Tam Giác BEC đồng dạngTam giác DCM theo tỉ số<br />

1/2<br />

E<br />

Từ đó chứng<br />

A<br />

B<br />

minh:CK=ED (1)<br />

EB=BC (2)<br />

∠ BED = ∠BCK =135 0 (3)<br />

C<br />

từ: (1);(2);(3)suy ra: D<br />

I<br />

∆BED<br />

= ∆BCK(<br />

cg.<br />

c)<br />

⇔ ∠EBD<br />

= ∠CBK<br />

⇒ ∠DBK<br />

= 90<br />

0<br />

Chứng minh tứ giác DEKM là hinhchữ<br />

M<br />

nhật<br />

Suy ra tam giác CKM vuông cân tại M ⇒<br />

H là trung điểm củaCM<br />

AI//DM (cùng vuông góc với DE) HI//DM (T/c đường trung<br />

bình) nên A; ;I;H thẳng hàng (1)<br />

Các tam giác CIH; CHK vuông cân tại Cvà H nên KH= CI =DI<br />

Mà DI//KH nên tứ giác DIKH là hình bình hành<br />

Lại có tứ giác DEKM là hình chữ nhật<br />

Do đó EM; DK; IH đồng qui tại G là trung điểm của DK<br />

vậy: G∈IH (2)<br />

Tử (1); (2) ta có A;I;G;H thẳng hàng<br />

Bài 5: Với x≠ 0 ta có 3x 4 >0; 3x 2 >0 ta có<br />

(x 2 ) 3


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?<br />

b) Tìm giá trị của x để A > 0?<br />

c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.<br />

Câu 3: (5,0 điểm)<br />

a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.<br />

x y z a b c<br />

b) Cho + + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng :<br />

a b c x y z<br />

Câu 4: (6,0 điểm)<br />

2 2 2<br />

x y z<br />

+ + = 1.<br />

2 2 2<br />

a b c<br />

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F<br />

lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình<br />

chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.<br />

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?<br />

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK<br />

c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC 2 .<br />

HƯỚNG DẪN CHẤM <strong>THI</strong><br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Nội dung đáp án<br />

Điểm<br />

Bài 1<br />

a 2,0<br />

3x 2 – 7x + 2 = 3x 2 – 6x – x + 2 = 1,0<br />

= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5<br />

= (x - 2)(3x - 1). 0,5<br />

b 2,0<br />

a(x 2 + 1) – x(a 2 + 1) = ax 2 + a – a 2 x – x = 1,0<br />

= ax(x - a) – (x - a) = 0,5<br />

= (x - a)(ax - 1). 0,5<br />

Bài 2: 5,0<br />

a 3,0<br />

ĐKXĐ :<br />

⎧2 − x ≠ 0<br />

⎪ 2<br />

x − 4 ≠ 0 ⎧x<br />

≠ 0<br />

⎪<br />

⎪<br />

1,0<br />

⎨2 + x ≠ 0 ⇔ ⎨x<br />

≠ ± 2<br />

⎪ 2<br />

x 3x<br />

0<br />

⎪x<br />

≠ 3<br />

⎪<br />

− ≠ ⎩<br />

⎪<br />

2 3<br />

⎩2x<br />

− x ≠ 0<br />

2 2 2 2 2 2<br />

2 + x 4x 2 − x x − 3 x (2 + x) + 4 x − (2 − x) x (2 − x)<br />

A = ( − − ) : ( ) = . =<br />

2 2 3<br />

1,0<br />

2 − x x − 4 2 + x 2 x − x (2 − x)(2 + x) x( x − 3)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

53<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

x + x .<br />

x − x<br />

(2 − x)(2 + x) x − 3<br />

2<br />

4 8 (2 )<br />

2<br />

4 x( x + 2) x(2 − x) 4x<br />

= =<br />

(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3<br />

2<br />

4x<br />

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ± 2, x ≠ 3 thì A = . x − 3<br />

0,25<br />

b 1,0<br />

2<br />

4x<br />

Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ± 2 : A > 0 ⇔ > 0<br />

x − 3<br />

0,25<br />

⇔ x − 3 > 0<br />

0,25<br />

⇔ x > 3( TMDKXD)<br />

0,25<br />

Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25<br />

c 1,0<br />

⎡x<br />

− 7 = 4<br />

x − 7 = 4 ⇔ ⎢<br />

⎣x<br />

− 7 = − 4<br />

0,5<br />

⎡x<br />

= 11( TMDKXD)<br />

⇔ ⎢<br />

⎣x<br />

= 3( KTMDKXD)<br />

0,25<br />

Với x = 11 thì A = 121<br />

2<br />

0,25<br />

Bài 3 5,0<br />

a 2,5<br />

9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0<br />

⇔ (9x 2 – 18x + 9) + (y 2 – 6y + 9) + 2(z 2 + 2z + 1) = 0 1,0<br />

⇔ 9(x - 1) 2 + (y - 3) 2 + 2 (z + 1) 2 = 0 (*) 0,5<br />

2 2 2<br />

Do : ( x −1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ 0<br />

0,5<br />

Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 0,25<br />

Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25<br />

b 2,5<br />

a b c ayz+bxz+cxy<br />

Từ : + + = 0 ⇔ = 0<br />

x y z xyz<br />

0,5<br />

⇔ ayz + bxz + cxy = 0 0,25<br />

Ta có :<br />

x y z x y z 2<br />

+ + = 1 ⇔ ( + + ) = 1<br />

a b c a b c<br />

0,5<br />

2 2 2<br />

x y z xy xz yz<br />

⇔ + + + 2( + + ) = 1<br />

2 2 2<br />

a b c ab ac bc<br />

0,5<br />

2 2 2<br />

x y z cxy + bxz + ayz<br />

⇔ + + + 2 = 1<br />

2 2 2<br />

a b c abc<br />

0,5<br />

2 2 2<br />

x y z<br />

⇔ + + = 1( dfcm)<br />

2 2 2<br />

a b c<br />

0,25<br />

Bài 4 6,0<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

=<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

0,5<br />

0,25<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

54<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

H<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

A<br />

B<br />

0,25<br />

E<br />

O<br />

a 2,0<br />

Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF 0,5<br />

Chứng minh : ∆ BEO = ∆DFO( g − c − g)<br />

0,5<br />

=> BE = DF 0,25<br />

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25<br />

b 2,0<br />

Ta có: ABC = ADC ⇒ HBC = KDC <br />

0,5<br />

Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g)<br />

1,0<br />

⇒ CH CK<br />

CH. CD CK.<br />

CB<br />

CB<br />

CD<br />

0,5<br />

b, 1,75<br />

Chứng minh : ∆AF D ∼ ∆AKC( g − g)<br />

0,25<br />

⇒ AF AK<br />

AD. AK A F.<br />

AC<br />

AD<br />

AC<br />

0,25<br />

Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC( g − g)<br />

0,25<br />

⇒ CF AH<br />

CD<br />

AC<br />

0,25<br />

Mà : CD = AB CF AH<br />

AB. AH CF.<br />

AC<br />

AB<br />

AC<br />

0,5<br />

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC 2<br />

(đfcm).<br />

0,25<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 27<br />

Câu1.<br />

a. Phân tích các đa thức sau ra thừa số:<br />

4<br />

x + 4<br />

x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 − 24<br />

( )( )( )( )<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

4 2<br />

b. Giải phương trình: x − 30x + 31x − 30 = 0<br />

2 2 2<br />

a b c<br />

a b c<br />

c. Cho + + = 1. Chứng minh rằng: + + = 0<br />

b + c c + a a + b<br />

b + c c + a a + b<br />

F<br />

D<br />

C<br />

K<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

55<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

2<br />

⎛ x 2 1 ⎞ ⎛ 10 − x ⎞<br />

Câu2. Cho biểu thức: A = ⎜ + + : x 2<br />

2<br />

⎟ ⎜ − + ⎟<br />

⎝ x − 4 2 − x x + 2 ⎠ ⎝ x + 2 ⎠<br />

a. Rút gọn biểu thức A.<br />

b. Tính giá trị của A , Biết |x| = 1 2 .<br />

c. Tìm giá trị của x để A < 0.<br />

d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.<br />

Câu 3. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ<br />

ME ⊥ AB, MF ⊥ AD.<br />

a. Chứng minh: DE = CF<br />

b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.<br />

c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.<br />

Câu 4.<br />

a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 + 1 + 1 ≥ 9<br />

a b c<br />

b. Cho a, b d-¬ng vµ a 2000 + b 2000 = a 2001 + b 2001 = a 2002 + b 2002<br />

Tinh: a 2011 + b 2011<br />

HƯỚNG DẪN CHẤM <strong>THI</strong> HỌC SINH GIỎI LỚP 8<br />

Câu Đáp án Điểm<br />

a. x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 - 4x 2<br />

= (x 4 + 4x 2 + 4) - (2x) 2<br />

= (x 2 + 2 + 2x)(x 2 + 2 - 2x)<br />

Câu 1<br />

(6 điểm)<br />

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24<br />

= (x 2 + 7x + 11 - 1)( x 2 + 7x + 11 + 1) - 24<br />

= [(x 2 + 7x + 11) 2 - 1] - 24<br />

= (x 2 + 7x + 11) 2 - 5 2<br />

= (x 2 + 7x + 6)( x 2 + 7x + 16)<br />

= (x + 1)(x + 6) )( x 2 + 7x + 16)<br />

4 2<br />

b. x − 30x + 31x − 30 = 0 <br />

2<br />

x − x + 1 x − 5 x + 6 = 0 (*)<br />

( )( )( )<br />

Vì x 2 - x + 1 = (x - 1 2 )2 + 3 4 > 0<br />

∀ x<br />

(*) (x - 5)(x + 6) = 0<br />

⎡x − 5 = 0 ⎡x = 5<br />

⎢ ⇔<br />

x 6 0<br />

⎢<br />

⎣ + = ⎣x = − 6<br />

a b c<br />

c. Nhân cả 2 vế của: + + = 1<br />

b + c c + a a + b<br />

với a + b + c; rút gọn ⇒ đpcm<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

(2<br />

điểm)<br />

(2<br />

điểm)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

(2<br />

điểm)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

56<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

2<br />

⎛ x 2 1 ⎞ ⎛ 10 − x ⎞<br />

Biểu thức: A = ⎜ + + : x 2<br />

2<br />

x 4 2 x x 2<br />

⎟ ⎜ − + ⎟<br />

⎝ − − + ⎠ ⎝ x + 2 ⎠<br />

−1<br />

a. Rút gọn được kq: A =<br />

(1.5<br />

x − 2<br />

điểm)<br />

1 1 −1<br />

b. x = ⇒ x = hoặc x =<br />

Câu 2<br />

2 2 2<br />

(6 điểm)<br />

4 4<br />

⇒ A = hoặc A =<br />

(1.5<br />

3 5<br />

điểm)<br />

c. A < 0 ⇔ x > 2<br />

(1.5<br />

điểm)<br />

−1<br />

(1.5<br />

d. A ∈ Z ⇔ ∈ Z ... ⇒ x∈{ 1;3}<br />

x − 2<br />

điểm)<br />

Câu 3<br />

(6 điểm)<br />

Câu 4:<br />

(2 điểm)<br />

HV + GT + KL<br />

A<br />

F<br />

D<br />

E<br />

M<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

B<br />

C<br />

(1<br />

điểm)<br />

a. Chứng minh: AE = FM = DF<br />

(2<br />

⇒ ∆ AED = ∆ DFC ⇒ đpcm<br />

điểm)<br />

b. DE, BF, CM là ba đường cao của ∆EFC<br />

⇒ đpcm (2<br />

điểm)<br />

c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi<br />

⇒ ME + MF = a không đổi<br />

⇒ SAEMF<br />

= ME.MF lớn nhất ⇔ ME = MF (AEMF là hình<br />

vuông)<br />

⇒ M là trung điểm của BD.<br />

(1<br />

điểm)<br />

a. Từ: a + b + c = 1 ⇒<br />

⎧ 1 b c<br />

⎪ = 1 + +<br />

a a a<br />

⎪ 1 a c<br />

⎨ = 1 + +<br />

⎪b b b<br />

(1<br />

⎪ 1 a b<br />

điểm)<br />

⎪ = 1 + +<br />

⎩c c c<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

57<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

1 1 1 ⎛ a b ⎞ ⎛ a c ⎞ ⎛ b c ⎞<br />

⇒ + + = 3 + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟<br />

a b c ⎝ b a ⎠ ⎝ c a ⎠ ⎝ c b ⎠<br />

≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9<br />

Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 1 3<br />

b. (a 2001 + b 2001 ).(a+ b) - (a 2000 + b 2000 ).ab = a 2002 + b 2002<br />

(a+ b) – ab = 1<br />

(a – 1).(b – 1) = 0<br />

a = 1 hoÆc b = 1<br />

Víi a = 1 => b 2000 = b 2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i)<br />

Víi b = 1 => a 2000 = a 2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i)<br />

VËy a = 1; b = 1 => a 2011 + b 2011 = 2<br />

§Ò thi SỐ 28<br />

3 2<br />

a − 4a<br />

− a + 4<br />

C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=<br />

3 2<br />

a − 7a<br />

+ 14a<br />

− 8<br />

a) Rót gän P<br />

b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn<br />

C©u 2 : (2 ®iÓm)<br />

(1<br />

điđm)<br />

a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c<br />

lËp ph−¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.<br />

b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :<br />

P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã .<br />

C©u 3 : (2 ®iÓm)<br />

a) Gii ph−¬ng tr×nh :<br />

x<br />

1<br />

1<br />

1<br />

+<br />

+<br />

2<br />

2<br />

+ 9x<br />

+ 20 x + 11x<br />

+ 30 x + 13x<br />

+ 42<br />

2<br />

=<br />

b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng :<br />

C©u 4 : (3 ®iÓm)<br />

a b c<br />

A = + + ≥ 3<br />

b + c − a a + c − b a + b − c<br />

Cho tam gi¸c ®Òu ABC , gäi M lµ trung ®iÓm cña BC . Mét gãc xMy b»ng 60 0<br />

quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn l−ît t¹i D<br />

vµ E . Chøng minh :<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

BC<br />

a) BD.CE= 4<br />

b) DM,EM lÇn l−ît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

1<br />

18<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

58<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

c) Chu vi tam gi¸c ADE kh«ng ®æi.<br />

C©u 5 : (1 ®iÓm)<br />

T×m tÊt c c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng vµ sè<br />

®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .<br />

C©u 1 : (2 ®)<br />

®¸p ¸n ®Ò thi häc sinh giái<br />

a) (1,5) a 3 - 4a 2 - a + 4 = a( a 2 - 1 ) - 4(a 2 - 1 ) =( a 2 - 1)(a-4)<br />

=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5<br />

a 3 -7a 2 + 14a - 8 =( a 3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a 2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )<br />

=( a -2 )(a 2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5<br />

Nªu §KX§ : a ≠ 1;<br />

a ≠ 2; a ≠ 4<br />

0,25<br />

a + 1<br />

Rót gän P=<br />

a − 2<br />

a − 2 + 3 3<br />

b) (0,5®) P= = 1+<br />

; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ −íc cña 3,<br />

a − 2 a − 2<br />

0,25<br />

mµ ¦(3)={ − 1;1;<br />

−3;3}<br />

0,25<br />

Tõ ®ã t×m ®−îc a ∈ { −1;3;5 }<br />

0,25<br />

C©u 2 : (2®)<br />

a)(1®) Gäi 2 sè phi t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 . 0,25<br />

Ta cã a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 2<br />

2<br />

)=(a+b)[(<br />

a + 2ab<br />

+ b ) − 3ab]<br />

=<br />

=(a+b)[ ( a + b)<br />

3ab]<br />

2 −<br />

0,5<br />

V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b) 2 -3ab chia hÕt cho 3 ;<br />

Do vËy (a+b)[(<br />

a + b)<br />

3ab]<br />

2 − chia hÕt cho 9 0,25<br />

b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x 2 +5x-6)(x 2 +5x+6)=(x 2 +5x) 2 -36 0,5<br />

Ta thÊy (x 2 +5x) 2 ≥ 0 nªn P=(x 2 +5x) 2 -36 ≥ -36 0,25<br />

Do ®ã Min P=-36 khi (x 2 +5x) 2 =0<br />

Tõ ®ã ta t×m ®−îc x=0 hoÆc x=-5 th× Min P=-36 0,25<br />

C©u 3 : (2®)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

a) (1®) x 2 +9x+20 =(x+4)(x+5) ;<br />

x 2 +11x+30 =(x+6)(x+5) ;<br />

x 2 +13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

59<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

§KX§ : x ≠ −4;<br />

x ≠ −5;<br />

x ≠ −6;<br />

x ≠ −7<br />

0,25<br />

Ph−¬ng tr×nh trë thµnh :<br />

1<br />

1<br />

1<br />

+<br />

+<br />

=<br />

( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7)<br />

1 1 1 1 1 1 1<br />

− + − + − =<br />

x + 4 x + 5 x + 5 x + 6 x + 6 x + 7 18<br />

1 1 1<br />

− =<br />

x + 4 x + 7 18<br />

18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)<br />

(x+13)(x-2)=0<br />

1<br />

18<br />

0,25<br />

Tõ ®ã t×m ®−îc x=-13; x=2; 0,25<br />

b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0<br />

y + z x + z x + y<br />

Tõ ®ã suy ra a= ; b = ; c =<br />

2 2 2<br />

; 0,5<br />

y + z x + z x + y 1 ⎡ y x x z y z ⎤<br />

Thay vµo ta ®−îc A= + + = ⎢(<br />

+ ) + ( + ) + ( + )<br />

2x<br />

2y<br />

2z<br />

2<br />

⎥<br />

⎣ x y z x z y ⎦<br />

0,25<br />

1<br />

Tõ ®ã suy ra A ≥ (2 + 2 + 2)<br />

hay A ≥ 3<br />

2<br />

0,25<br />

C©u 4 : (3 ®)<br />

a) (1®)<br />

0<br />

Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ<br />

ˆ<br />

1<br />

= 120 − M<br />

1<br />

V× ˆM =60 0 nªn ta cã : 0<br />

2<br />

Mˆ<br />

ˆ<br />

3<br />

= 120 − M<br />

1<br />

Suy ra D ˆ ˆ<br />

1<br />

= M<br />

3<br />

Chøng minh ∆ BMD ∾ ∆ CEM (1) 0,5<br />

Suy ra<br />

BD CM = , tõ ®ã BD.CE=BM.CM<br />

BM CE<br />

2<br />

BC BC<br />

V× BM=CM= , nªn ta cã BD.CE= 2<br />

4<br />

b) (1®) Tõ (1) suy ra<br />

Chøng minh<br />

BD =<br />

BM<br />

BD MD = mµ BM=CM nªn ta cã<br />

CM EM<br />

MD<br />

EM<br />

2<br />

1 3<br />

M<br />

0,5<br />

∆BMD<br />

∾ ∆ MED<br />

0,5<br />

Tõ ®ã suy ra D ˆ ˆ<br />

1<br />

= D2<br />

, do ®ã DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE<br />

x<br />

B<br />

D<br />

1<br />

2<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

A<br />

E<br />

y<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

60<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Chøng minh t−¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED 0,5<br />

c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC<br />

Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5<br />

TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn. 0,5<br />

C©u 5 : (1®)<br />

Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c vu«ng lµ x , y , z ; trong ®ã c¹nh huyÒn lµ z<br />

(x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d−¬ng )<br />

Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x 2 + y 2 = z 2 (2) 0,25<br />

Tõ (2) suy ra z 2 = (x+y) 2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :<br />

z 2 = (x+y) 2 - 4(x+y+z)<br />

z 2 +4z =(x+y) 2 - 4(x+y)<br />

z 2 +4z +4=(x+y) 2 - 4(x+y)+4<br />

(z+2) 2 =(x+y-2) 2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25<br />

z=x+y-4 ; thay vµo (1) ta ®−îc :<br />

xy=2(x+y+x+y-4)<br />

xy-4x-4y=-8<br />

(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25<br />

Tõ ®ã ta t×m ®−îc c¸c gi¸ trÞ cña x , y , z lµ :<br />

(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;<br />

(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25<br />

ÑEÀ <strong>THI</strong> SOÁ 29<br />

Caâu1( 2 ñ): Phaân tích ña thöùc sau thaønh nhaân töû<br />

( )( )( )( )<br />

A = a + 1 a + 3 a + 5 a + 7 + 15<br />

Caâu 2( 2 ñ): Vôùi giaù trò naøo cuûa a vaø b thì ña thöùc:<br />

( x a)( x )<br />

− − 10 + 1<br />

phaân tích thaønh tích cuûa moät ña thöùc baäc nhaát coù caùc heä soá nguyeân<br />

4 3<br />

Caâu 3( 1 ñ): tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = x − 3x + ax + b chia heát<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

cho ña<br />

2<br />

thöùc B( x) = x − 3x<br />

+ 4<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

61<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Caâu 4( 3 ñ): Cho tam giaùc ABC, ñöôøng cao AH,veõ phaân giaùc Hx cuûa goùc AHB vaø<br />

phaân giaùc Hy cuûa goùc AHC. Keû AD vuoâng goùc vôùi Hx, AE vuoâng goùc Hy.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Chöùng minh raèngtöù giaùc ADHE laø hình vuoâng<br />

Caâu 5( 2 ñ): Chöùng minh raèng<br />

1 1 1 1<br />

P = + + + ... + < 1<br />

2 2 4 2<br />

2 3 4 100<br />

Ñaùp aùn vaø bieåu ñieåm<br />

Caâu Ñaùp aùn Bieåu<br />

ñieåm<br />

1<br />

2 ñ<br />

A = ( a + 1)( a + 3)( a + 5)( a + 7)<br />

+ 15<br />

2 2<br />

= ( a + 8a + 7)( a + 8a<br />

+ 15)<br />

+ 15<br />

0,5 ñ<br />

2<br />

0,5 ñ<br />

= ( a 2 + 8a) + 22( a 2 + 8a)<br />

+ 120<br />

0,5 ñ<br />

=<br />

2<br />

2<br />

a + 8a<br />

+ 11 −1<br />

0,5 ñ<br />

2<br />

2 ñ<br />

3<br />

1 ñ<br />

( )<br />

2<br />

( a 8a 2<br />

12)( a 8a<br />

10)<br />

( a 2)( a<br />

2<br />

6)( a 8a<br />

10)<br />

= + + + +<br />

= + + + +<br />

Giaû söû: ( )( ) ( )( )<br />

2 2<br />

( 10) 10 1 ( )<br />

x − a x − 10 + 1 = x − m x − n ;( m, n∈<br />

Z)<br />

⇔ x − a + x + a + = x − m + n x + mn<br />

⇔<br />

{<br />

m+ n= a+<br />

10<br />

m. n= 10a+<br />

1<br />

Khöû a ta coù :<br />

mn = 10( m + n – 10) + 1<br />

⇔ mn −10m − 10n<br />

+ 100 = 1<br />

⇔ m( n −10) − 10n<br />

+ 10) = 1<br />

m<br />

vì m,n nguyeân ta coù:<br />

n<br />

v{<br />

suy ra a = 12 hoaëc a =8<br />

{<br />

− 10= 1 m− 10=−1<br />

− 10= 1 n− 10=−<br />

1<br />

Ta coù:<br />

A(x) =B(x).(x 2 -1) + ( a – 3)x + b + 4<br />

a− = a=<br />

Ñeå A( x) ⋮ B( x)<br />

thì<br />

b+ 4= 0<br />

⇔ { b=−4<br />

{ 3 0 3<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,5 ñ<br />

0,5 ñ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

62<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

4<br />

3 ñ<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

5<br />

2 ñ<br />

Töù giaùc ADHE laø hình vuoâng<br />

Hx laø phaân giaùc cuûa goùc AHB ; Hy phaân giaùc cuûa goùc AHC maø<br />

AHB vaø AHC laø hai goùc keà buø neân Hx vaø Hy vuoâng goùc<br />

Hay DHE = 90 0 maët khaùc ADH = AEH = 90 0<br />

Neân töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät ( 1)<br />

<br />

0<br />

AHB 90 0<br />

AHD = = = 45<br />

2 2<br />

Do <br />

0<br />

AHC 90 0<br />

AHE = = = 45<br />

2 2<br />

⇒ AHD<br />

= AHE<br />

Hay HA laø phaân giaùc DHE (2)<br />

Töø (1) vaø (2) ta coù töù giaùc ADHE laø hình vuoâng<br />

1 1 1 1<br />

P = + + + ... +<br />

2 2 4 2<br />

2 3 4 100<br />

1 1 1 1<br />

= + + + ... +<br />

2.2 3.3 4.4 100.100<br />

1 1 1 1<br />

< + + + ... +<br />

1.2 2.3 3.4 99.100<br />

1 1 1 1 1<br />

= 1 − + − + ... + −<br />

2 2 3 99 100<br />

1 99<br />

= 1− = < 1<br />

100 100<br />

Bài 1: (4 điểm)<br />

<strong>ĐỀ</strong> <strong>THI</strong> SỐ 30<br />

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:<br />

a) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 .<br />

b) x 4 + 2010x 2 + 2009x + 2010.<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,5 ñ<br />

0,5 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

0,25 ñ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Bài 2: (2 điểm)<br />

0,5 ñ<br />

0,5 ñ<br />

0,5 ñ<br />

0,5 ñ<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

63<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Giải phương trình:<br />

x − 241 x − 220 x −195 x −166 + + + = 10 .<br />

17 19 21 23<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Bài 3: (3 điểm)<br />

Tìm x biết:<br />

( − ) + ( − )( − ) + ( − )<br />

( 2009 − x) − ( 2009 − x)( x − 2010) + ( x − 2010)<br />

2 2<br />

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19<br />

= .<br />

2 2<br />

49<br />

Bài 4: (3 điểm)<br />

2010x + 2680<br />

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =<br />

.<br />

2<br />

x + 1<br />

Bài 5: (4 điểm)<br />

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần<br />

lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC.<br />

a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.<br />

b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.<br />

Bài 6: (4 điểm)<br />

Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA,<br />

AB sao cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF .<br />

a) Chứng minh rằng: BDF = BAC .<br />

b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD.<br />

Bài 1:<br />

Bài 2:<br />

Một lời giải:<br />

⎡ x + y + z − x ⎤ − ⎡<br />

⎣y + z ⎤<br />

⎣<br />

⎦ ⎦<br />

a) (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 = ( ) 3 3 3 3<br />

2 2 2 2<br />

= ( y + z) ⎡( x + y + z) + ( x + y + z) x + x ⎤ − ( y + z)( y − yz + z )<br />

⎣<br />

+ + + + = 3( y + z) ⎡x( x + y) + z( x + y)<br />

2<br />

= ( y z)( 3x 3xy 3yz 3zx)<br />

= 3( x y)( y z)( z x)<br />

+ + + .<br />

b) x 4 + 2010x 2 + 2009x + 2010 = ( x 4 − x) + ( 2010x 2 + 2010x + 2010)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2 2<br />

2 2<br />

= x( x − 1)( x + x + 1) + 2010( x + x + 1)<br />

= ( x x 1)( x x 2010)<br />

x − 241 x − 220 x −195 x −166 + + + = 10<br />

17 19 21 23<br />

⎦<br />

⎣<br />

⎤⎦<br />

+ + − + .<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

64<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

x − 241 x − 220 x −195 x −166<br />

⇔ − 1+ − 2 + − 3 + − 4 = 0<br />

17 19 21 23<br />

x − 258 x − 258 x − 258 x − 258<br />

⇔ + + + = 0<br />

17 19 21 23<br />

⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />

⇔ ( x − 258)<br />

⎜ + + + ⎟ = 0<br />

⎝17 19 21 23 ⎠<br />

⇔ x = 258<br />

Bài 3:<br />

( − ) + ( − )( − ) + ( − )<br />

( 2009 − x) − ( 2009 − x)( x − 2010) + ( x − 2010)<br />

2 2<br />

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19<br />

= .<br />

2 2<br />

49<br />

ĐKXĐ: x ≠ 2009; x ≠ 2010 .<br />

Đặt a = x – 2010 (a ≠ 0), ta có hệ thức:<br />

( ) ( )<br />

( ) ( )<br />

2 2<br />

a + 1 − a + 1 a + a 19<br />

=<br />

2 2<br />

a + 1 + a + 1 a + a 49<br />

2<br />

a + a + 1 19<br />

2<br />

3a 3a 1 49<br />

⇔ =<br />

+ +<br />

2 2<br />

2<br />

⇔ 49a + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 ⇔ 8a + 8a − 30 = 0<br />

⎡ 3<br />

2<br />

⎢<br />

a =<br />

2<br />

⇔ ( 2a + 1) − 4 = 0 ⇔ ( 2a − 3)( 2a + 5)<br />

= 0 ⇔<br />

2<br />

⎢ (thoả ĐK)<br />

⎢ 5<br />

a = −<br />

⎢⎣ 2<br />

Suy ra x = 4023 hoặc x = 4015 (thoả ĐK)<br />

2<br />

2<br />

Vậy x = 4023 và x = 4015 là giá trị cần tìm.<br />

2 2<br />

Bài 4:<br />

2010x + 2680<br />

A =<br />

2<br />

x + 1<br />

2 2 2<br />

−335x − 335 + 335x + 2010x + 3015 335(x + 3)<br />

=<br />

= − 335 + ≥ −335<br />

2 2<br />

x + 1 x + 1<br />

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Bài 5:<br />

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì ɵ o<br />

E = A = F = 90 )<br />

Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân<br />

giác của BAC. D<br />

b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF F<br />

Suy ra 3AD + 4EF = 7AD<br />

3AD + 4EF nhỏ nhất ⇔ AD nhỏ nhất<br />

⇔ D là hình chiếu vuông góc của A lên BC.<br />

A<br />

E<br />

Bài 6:<br />

a) Đặt AFE = BFD = ω , BDF = CDE = α , CED = AEF = β.<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

65<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

C<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

B<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Ta có 0<br />

BAC + β + ω = 180 (*)<br />

Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau<br />

tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF.<br />

⇒ o<br />

A<br />

OFD + OED + ODF = 90 (1)<br />

Ta có β E<br />

o F ω<br />

OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270 (2)<br />

β<br />

o<br />

ω<br />

(1) & (2) ⇒ α + β + ω = 180 (**)<br />

O<br />

(*) & (**) ⇒ BAC = α = BDF .<br />

b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:<br />

B = β, C = ω<br />

⇒ ∆ AEF ∆ DBF ∆ DEC ∆ ABC<br />

s<br />

s<br />

⎧BD BA 5 ⎧ 5BF ⎧ 5BF ⎧ 5BF<br />

⎪<br />

= = BD BD BD<br />

BF BC 8 ⎪<br />

=<br />

8 ⎪<br />

=<br />

8 ⎪<br />

=<br />

8<br />

⎪CD CA 7 ⎪ 7CE ⎪ 7CE ⎪ 7CE<br />

⇒ ⎨ = = ⇒ ⎨CD = ⇒ ⎨CD = ⇒ ⎨CD<br />

=<br />

⎪ CE CB 8 ⎪ 8 ⎪ 8 ⎪ 8<br />

⎪AE AB 5 ⎪7AE = 5AF ⎪7(7 − CE) = 5(5 − BF) ⎪7CE − 5BF = 24<br />

⎪ = =<br />

AF AC 7<br />

⎪ ⎪ ⎪<br />

⎩ ⎩ ⎩ ⎩<br />

⇒ CD − BD = 3 (3)<br />

Ta lại có CD + BD = 8 (4)<br />

(3) & (4) ⇒ BD = 2,5<br />

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:<br />

a) x 2 – 4x + 4 = 25<br />

x −17<br />

x − 21 x + 1<br />

b) + + = 4<br />

1990 1986 1004<br />

c) 4 x – 12.2 x + 32 = 0<br />

s<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 31<br />

1 1 1<br />

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0 .<br />

x y z<br />

Tính giá trị của biểu thức: A yz xz xy<br />

= + +<br />

2<br />

2<br />

x + 2yz y + 2xz z<br />

2 + 2xy<br />

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm<br />

1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị<br />

vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số<br />

chính phương.<br />

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực<br />

tâm.<br />

B<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

α<br />

D<br />

α<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

C<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

66<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

HA' HB' HC'<br />

a) Tính tổng + +<br />

AA' BB' CC'<br />

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và<br />

góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.<br />

2<br />

(AB + BC + CA)<br />

c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức 2 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất?<br />

AA' + BB' + CC'<br />

ĐÁP ÁN<br />

• Bài 1(3 điểm):<br />

a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )<br />

b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )<br />

c) 4 x – 12.2 x +32 = 0 ⇔ 2 x .2 x – 4.2 x – 8.2 x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )<br />

⇔ 2 x (2 x – 4) – 8(2 x – 4) = 0 ⇔ (2 x – 8)(2 x – 4) = 0 ( 0,25điểm )<br />

⇔ (2 x – 2 3 )(2 x –2 2 ) = 0 ⇔ 2 x –2 3 = 0 hoặc 2 x –2 2 = 0 ( 0,25điểm )<br />

⇔ 2 x = 2 3 hoặc 2 x = 2 2 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )<br />

• Bài 2(1,5 điểm):<br />

1 1 1 xy + yz + xz<br />

+ + = 0 ⇒ = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz ( 0,25điểm )<br />

x y z xyz<br />

x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )<br />

Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )<br />

yz<br />

xz<br />

xy<br />

Do đó: A = +<br />

+<br />

(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)<br />

( 0,25điểm )<br />

Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

• Bài 3(1,5 điểm):<br />

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ a ,b,c,d ≤ 9,<br />

a ≠ 0 (0,25điểm)<br />

2<br />

Ta có: abcd = k<br />

2<br />

v…i k, m∈N, 31 < k < m < 100<br />

( a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m<br />

(0,25…i…m)<br />

2<br />

abcd = k<br />

⇔<br />

2<br />

abcd + 1353=<br />

m<br />

(0,25điểm)<br />

Do đó: m 2 –k 2 = 1353<br />

⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )<br />

(0,25điểm)<br />

m+k = 123 m+k = 41<br />

⇒ m–k = 11 ho…c m–k = 33<br />

m = 67 m = 37<br />

⇔<br />

ho…c<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

67<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

k = 56 k = 4 (0,25điểm)<br />

Kết luận đúng abcd = 3136<br />

(0,25điểm)<br />

Bài 4 (4 điểm):<br />

Vẽ hình đúng<br />

(0,25điểm)<br />

A<br />

1<br />

.HA'.BC<br />

SHBC<br />

2 HA'<br />

C’<br />

a) = =<br />

S 1<br />

;<br />

B’<br />

x<br />

ABC<br />

AA'<br />

H<br />

.AA'.BC<br />

N<br />

M<br />

2<br />

I<br />

A’<br />

(0,25điểm)<br />

C<br />

B<br />

SHAB HC'<br />

Tương tự: =<br />

SHAC HB'<br />

D<br />

; =<br />

SABC<br />

CC' SABC<br />

BB'<br />

(0,25điểm)<br />

HA' HB' HC' SHBC<br />

SHAB<br />

SHAC<br />

+ + = + + = 1<br />

AA' BB' CC' SABC<br />

SABC<br />

SABC<br />

(0,25điểm)<br />

b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:<br />

BI AB AN AI CM IC<br />

= ; = ; =<br />

IC AC NB BI MA AI<br />

(0,5điểm )<br />

BI AN CM AB AI IC AB IC<br />

. . = . . = . = 1<br />

IC NB MA AC BI AI AC BI<br />

(0,5…i…m )<br />

(0,5…i…m )<br />

⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM<br />

c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx<br />

(0,25điểm)<br />

-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’<br />

(0,25điểm)<br />

- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD<br />

(0,25điểm)<br />

- ∆ BAD vuông tại A nên: AB 2 +AD 2 = BD 2<br />

⇒ AB 2 + AD 2 ≤ (BC+CD) 2<br />

AB 2 + 4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2<br />

4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2 – AB 2 (0,25điểm)<br />

Tương tự: 4AA’ 2 ≤ (AB+AC) 2 – BC 2<br />

4BB’ 2 ≤ (AB+BC) 2 – AC 2<br />

-Chứng minh được : 4(AA’ 2 + BB’ 2 + CC’ 2 ) ≤ (AB+BC+AC) 2<br />

⇔<br />

2<br />

(AB + BC + CA)<br />

≥ 4<br />

2 2 2<br />

AA' + BB' + CC'<br />

(0,25điểm)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC<br />

⇔ AB = AC =BC ⇔ ∆ ABC đều<br />

Kết luận đúng (0,25điểm)<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

68<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 32<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Bài 1 (4 điểm)<br />

3<br />

2<br />

⎛1−<br />

x ⎞ 1−<br />

x<br />

Cho biểu thức A = ⎜ − x :<br />

2 3<br />

1 x<br />

⎟<br />

với x khác -1 và 1.<br />

⎝ − ⎠ 1−<br />

x − x + x<br />

a, Rút gọn biểu thức A.<br />

2<br />

b, Tính giá trị của biểu thức A tại x = −1 .<br />

3<br />

c, Tìm giá trị của x để A < 0.<br />

Bài 2 (3 điểm)<br />

2 2 2 2 2 2<br />

Cho ( a − b) + ( b− c) + ( c− a) = 4. ( a + b + c −ab −ac − bc)<br />

.<br />

Chứng minh rằng a = b = c .<br />

Bài 3 (3 điểm)<br />

Giải bài toán bằng cách lập phương trình.<br />

Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu<br />

lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó.<br />

Bài 4 (2 điểm)<br />

4 3 2<br />

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a − 2a<br />

+ 3a<br />

− 4a<br />

+ 5.<br />

Bài 5 (3 điểm)<br />

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 60 0 , phân giác BD. Gọi<br />

M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.<br />

a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.<br />

b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.<br />

Bài 6 (5 điểm)<br />

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng<br />

qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.<br />

a, Chứng minh rằng OM = ON.<br />

1 1 2<br />

b, Chứng minh rằng + = .<br />

AB CD MN<br />

c, Biết S AOB = 2008 2 (đơn vị diện tích); S COD = 2009 2 (đơn vị diện tích). Tính S ABCD .<br />

Đáp án<br />

Bài 1( 4 điểm )<br />

a, ( 2 điểm )<br />

Với x khác -1 và 1 thì :<br />

0,5đ<br />

3<br />

2<br />

1−<br />

x − x + x (1 − x)(1<br />

+ x)<br />

A=<br />

:<br />

2<br />

1−<br />

x (1 + x)(1<br />

− x + x ) − x(1<br />

+ x)<br />

2<br />

(1 − x)(1<br />

+ x + x − x)<br />

(1 − x)(1<br />

+ x)<br />

0,5đ<br />

=<br />

:<br />

2<br />

1−<br />

x (1 + x)(1<br />

− 2x<br />

+ x )<br />

2 1<br />

=<br />

0,5đ<br />

(1 + x ) :<br />

(1 − x)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

69<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

2<br />

= (1 + x )(1 − x)<br />

0,5đ<br />

b, (1 điểm)<br />

2 5 ⎡ 5 2 ⎤ ⎡ 5 ⎤<br />

0,25đ<br />

Tại x = − 1 = − thì A = −<br />

3 3 ⎢1<br />

+ ( − ) ⎥ ⎢1<br />

− ( − ) ⎥<br />

⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦<br />

25 5<br />

=<br />

0,25đ<br />

( 1+<br />

)(1 + )<br />

9 3<br />

34 8 272 2<br />

0,5đ<br />

= . = = 10<br />

9 3 27 27<br />

c, (1điểm)<br />

2<br />

Với x khác -1 và 1 thì A 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1<br />

0,5đ<br />

KL<br />

0,25đ<br />

Bài 2 (3 điểm)<br />

Biến đổi đẳng thức để được<br />

0,5đ<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2 2<br />

a + b − 2ab<br />

+ b + c − 2bc<br />

+ c + a + 2ac<br />

= 4a<br />

+ 4b<br />

+ 4c<br />

− 4ab<br />

− 4ac<br />

− 4bc<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2<br />

Biến đổi để có ( a + b − 2ac)<br />

+ ( b + c − 2bc)<br />

+ ( a + c − 2ac)<br />

= 0<br />

0,5đ<br />

2<br />

2<br />

2<br />

Biến đổi để có ( a − b)<br />

+ ( b − c)<br />

+ ( a − c)<br />

= 0 (*) 0,5đ<br />

Vì ( a − b)<br />

2 ≥ 0 ; ( b − c)<br />

2 ≥ 0 ; ( a − c)<br />

2 ≥ 0; với mọi a, b, c<br />

nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ( a − b)<br />

2 = 0 ; ( b − c)<br />

2 = 0 và ( a − c)<br />

2 = 0 ;<br />

0,5đ<br />

0,5đ<br />

Từ đó suy ra a = b = c 0,5đ<br />

Bài 3 (3 điểm)<br />

Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11.<br />

0,5đ<br />

x<br />

Phân số cần tìm là (x là số nguyên khác -11)<br />

x +11<br />

x − 7<br />

Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số<br />

0,5đ<br />

x + 15<br />

(x khác -15)<br />

x x + 15<br />

Theo bài ra ta có phương trình =<br />

0,5đ<br />

x +11 x − 7<br />

Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn)<br />

1đ<br />

5<br />

Từ đó tìm được phân số<br />

0,5đ<br />

−<br />

6<br />

Bài 4 (2 điểm)<br />

0,5đ<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

Biến đổi để có A= a ( a + 2) − 2a(<br />

a + 2) + ( a + 2) + 3<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

= ( a + 2)( a − 2a<br />

+ 1) + 3 = ( a + 2)( a −1)<br />

+ 3<br />

0,5đ<br />

2<br />

2<br />

Vì a + 2 > 0 ∀ a và ( a −1)<br />

≥ 0∀a<br />

nên ( a<br />

2<br />

+ 2)( a −1)<br />

≥ 0∀a<br />

0,5đ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2<br />

2<br />

( a + 2)( a −1)<br />

+ 3 ≥ 3∀a<br />

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a −1 = 0 ⇔ a = 1<br />

0,25đ<br />

KL 0,25đ<br />

Bài 5 (3 điểm)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

70<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

B<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a,(1 điểm)<br />

Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang 0,5đ<br />

Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân 0,5đ<br />

b,(2điểm)<br />

4 3<br />

8 3<br />

0,5đ<br />

Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm<br />

3<br />

3<br />

1 4 3<br />

AM = BD = cm<br />

2 3<br />

4 3<br />

0,5đ<br />

Tính được NI = AM = cm<br />

3<br />

8 3<br />

1 4 3<br />

0,5đ<br />

DC = BC = cm , MN = DC = cm<br />

3<br />

2 3<br />

8 3<br />

0,5đ<br />

Tính được AI = cm<br />

3<br />

Bài 6 (5 điểm)<br />

A<br />

D<br />

a, (1,5 điểm)<br />

OM OD ON OC<br />

Lập luận để có = , =<br />

0,5đ<br />

AB BD AB AC<br />

OD OC<br />

Lập luận để có =<br />

0,5đ<br />

DB AC<br />

OM ON<br />

⇒ = ⇒ OM = ON<br />

0,5đ<br />

AB AB<br />

b, (1,5 điểm)<br />

OM DM<br />

Xét ∆ABD<br />

để có = (1), xét ∆ ADC để có OM AM = (2)<br />

0,5đ<br />

AB AD<br />

DC AD<br />

1<br />

Từ (1) và (2) ⇒ OM.(<br />

1 + ) AM + DM AD<br />

=<br />

= = 1<br />

AB CD AD AD<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

M<br />

M<br />

A<br />

D<br />

N<br />

O<br />

I<br />

B<br />

N<br />

C<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

71<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

1 1<br />

Chứng minh tương tự ON.<br />

0,5đ<br />

( + ) = 1<br />

AB CD<br />

1 1 1 1 2<br />

từ đó có (OM + ON).<br />

0,5đ<br />

( + ) = 2 ⇒ + =<br />

AB CD AB CD MN<br />

b, (2 điểm)<br />

S<br />

AOB OB S<br />

BOC OB S<br />

AOB<br />

S<br />

BOC<br />

0,5đ<br />

= , = ⇒ = ⇒ S<br />

AOB. S<br />

DOC<br />

= S<br />

BOC.<br />

S<br />

AOD<br />

S<br />

AOD<br />

OD S<br />

DOC<br />

OD S<br />

AOD<br />

S<br />

DOC<br />

Chứng minh được S<br />

AOD<br />

= S<br />

BOC<br />

0,5đ<br />

2<br />

⇒ S<br />

AOB. S<br />

DOC<br />

= ( S<br />

AOD<br />

)<br />

0,5đ<br />

Thay số để có 2008 2 .2009 2 = (S AOD ) 2 ⇒ S AOD = 2008.2009<br />

Do đó S ABCD = 2008 2 + 2.2008.2009 + 2009 2 = (2008 + 2009) 2 = 4017 2 (đơn vị 0,5đ<br />

DT)<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 33<br />

§Ò thi häc sinh giái líp 8<br />

C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó:<br />

a, A=n 3 -n 2 +n-1 lµ sè nguyªn tè.<br />

4 3 2<br />

n + 3n<br />

+ 2n<br />

+ 6n<br />

− 2<br />

b, B =<br />

2<br />

n + 2<br />

Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.<br />

c, D= n 5 -n+2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. (n≥ 2)<br />

C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :<br />

a,<br />

a b c<br />

+ + = 1 biÕt abc=1<br />

ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

b, Víi a+b+c=0 th× a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+bc+ca) 2<br />

2 2 2<br />

a b c c b a<br />

c,<br />

b<br />

+ + ≥ + +<br />

2 2<br />

c a<br />

2 b a c<br />

C©u 3: (5®iÓm) Gii c¸c ph−¬ng tr×nh sau:<br />

x − 214 x −132<br />

x − 54<br />

a, + + = 6<br />

86 84 82<br />

b, 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />

c, x 2 -y 2 +2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d−¬ng.<br />

C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®−êng chÐo.Qua<br />

0 kÎ ®−êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F.<br />

a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.<br />

1 1 2<br />

b. Chøng minh: + =<br />

AB CD EF<br />

c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®−êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i<br />

diÖn tÝch tam gi¸c DEF.<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

C©u Néi dung bµi gii §iÓm<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

72<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

a, (1®iÓm) A=n 3 -n 2 +n-1=(n 2 +1)(n-1)<br />

§Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 ⇔ n=2 khi ®ã A=5<br />

C©u 1<br />

(5®iÓm)<br />

C©u 2<br />

(5®iÓm)<br />

2<br />

b, (2®iÓm) B=n 2 +3nn<br />

2<br />

+ 2<br />

B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ 2⋮ n 2 +2<br />

n 2 +2 lµ −íc tù nhiªn cña 2<br />

n 2 +2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho m·n<br />

HoÆc n 2 +2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />

c, (2®iÓm) D=n 5 -n+2=n(n 4 -1)+2=n(n+1)(n-1)(n 2 +1)+2<br />

2<br />

=n(n-1)(n+1) [( n − 4)<br />

+ 5]<br />

+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-<br />

1)(n+1)+2<br />

Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2⋮5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp)<br />

Vµ 5 n(n-1)(n+1⋮5 VËy D chia 5 d− 2<br />

Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng phi sè chÝnh<br />

ph−¬ng<br />

VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph−¬ng<br />

a, (1®iÓm)<br />

a b c ac<br />

abc<br />

c<br />

+ + =<br />

+<br />

+<br />

2<br />

ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1<br />

ac abc c abc + ac + 1<br />

= + + =<br />

= 1<br />

1+ ac + c c + 1+<br />

ac ac + c + 1 abc + ac + 1<br />

b, (2®iÓm) a+b+c=0⇒ a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a 2 +b 2 +c 2 = -<br />

2(ab+ac+bc)<br />

⇒a 4 +b 4 +c 4 +2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )=4( a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+8abc(a+b+c) V×<br />

a+b+c=0<br />

⇒ a 4 +b 4 +c 4 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (1)<br />

MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+4abc(a+b+c) . V×<br />

a+b+c=0<br />

⇒2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (2)<br />

Tõ (1)vµ(2) ⇒ a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+ac+bc) 2<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x 2 +y 2 ≥2xy DÊu b»ng khi x=y<br />

2 2<br />

2 2<br />

a b a b a a c a c c<br />

+ ≥ 2. . = 2. ; + ≥ 2. . = 2. ;<br />

2 2<br />

2 2<br />

b c b c c b a b a b<br />

2 2<br />

c b c b b<br />

+ ≥ 2. . = 2.<br />

2 2<br />

a c a c a<br />

Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:<br />

2 2 2<br />

2 2 2<br />

a b c a c b a b c a c b<br />

2(<br />

+ + ) ≥ 2( + + ) ⇒ + + ≥ + +<br />

2 2 2<br />

2 2 2<br />

b c a c b a b c a c b a<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0.5<br />

0.5<br />

0.5<br />

0.5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

73<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

x − 214 x −132<br />

x − 54<br />

a, (2®iÓm) + + = 6<br />

86 84 82<br />

x − 214 x −132<br />

x − 54<br />

⇔ ( −1)<br />

+ ( − 2) + ( − 3) = 0<br />

86 84 82<br />

x − 300 x − 300 x − 300<br />

⇔ + + = 0<br />

86 84 82<br />

⎛ 1 1 1 ⎞<br />

⇔ (x-300) ⎜ + + ⎟ = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S ={ 300 }<br />

⎝ 86 84 82 ⎠<br />

b, (2®iÓm) 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />

⇔ (64x 2 -16x+1)(8x 2 -2x)=9 ⇔ (64x 2 -16x+1)(64x 2 -16x) = 72<br />

C©u 3 §Æt: 64x 2 -16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k 2 =72,25<br />

(5®iÓm) ⇔ k=… 8,5<br />

Víi k=8,5 tacã ph−¬ng tr×nh: 64x 2 -16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒<br />

x=<br />

1 1<br />

; x =<br />

−<br />

2 4<br />

Víi k=- 8,5 Ta cã ph−¬ng tr×nh: 64x 2 -16x+9=0 ⇔ (8x-1) 2 +8=0 v«<br />

nghiÖm.<br />

⎧1<br />

−1⎫<br />

VËy S = ⎨ , ⎬<br />

⎩2<br />

4 ⎭<br />

c, (1®iÓm) x 2 -y 2 +2x-4y-10 = 0 ⇔ (x 2 +2x+1)-(y 2 +4y+4)-7=0<br />

⇔ (x+1) 2 -(y+2) 2 =7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn d−¬ng<br />

Nªn x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1<br />

Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)<br />

C©u 4<br />

(5®iÓm)<br />

a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒S DAB=S CBA<br />

(cïng ®¸y vµ cïng ®−êng cao) A<br />

⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB<br />

Hay SAOD = SBOC<br />

E<br />

D<br />

EO AO<br />

b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒ = MÆt kh¸c AB//DC<br />

DC AC<br />

AB AO AB AO AB AO EO AB<br />

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =<br />

DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC<br />

EF AB AB + DC 2 1 1 2<br />

⇒ = ⇒ = ⇒ + =<br />

2DC<br />

AB + DC AB.<br />

DC EF DC AB EF<br />

c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N∈DF) +KÎ<br />

®−êng th¼ng KN lµ ®−êng th¼ng phi dùng<br />

Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th×<br />

SIKE=SIMN<br />

(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒SDEKN=SKFN.<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 34<br />

K<br />

I<br />

N<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

M<br />

O<br />

B<br />

F<br />

C<br />

1,0<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

1,0<br />

0,5<br />

1,0<br />

1,0<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

74<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

x 3 − 3x x + 4<br />

C©u 1(4.0 ®iÓm) : Cho biÓu thøc A = − +<br />

2 3<br />

x + 1 x − x + 1 x + 1<br />

a) Rót gän biÓu thøc A<br />

b) Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña A lu«n d−¬ng víi mäi x ≠ - 1<br />

C©u 2(4.0 ®iÓm): Gii ph−¬ng tr×nh:<br />

2<br />

a) x − 3x + 2 + x − 1 = 0<br />

2 2 2<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠⎝ x ⎠<br />

2 2<br />

b) 8 x + + 4 x + − 4 x + x + = ( x + 4)<br />

C©u 3(3.0 ®iÓm) : Cho xy ≠ 0 vµ x + y = 1.<br />

Chøng minh r»ng:<br />

x y 2( xy − 2)<br />

+ − = 0<br />

3 3 2 2<br />

y −1 x − 1 x y + 3<br />

C©u 4(3.0 ®iÓm): Chøng minh r»ng: Víi mäi x ∈ Q th× gi¸ trÞ cña ®a thøc :<br />

M = ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8)<br />

+ 16 lµ b×nh ph−¬ng cña mét sè h÷u tØ.<br />

C©u 5 (6.0 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®−êng cao AH<br />

(H∈BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §−êng vu«ng gãc víi BC t¹i<br />

D c¾t AC t¹i E.<br />

4. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n<br />

BE theo m = AB.<br />

5. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM<br />

vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM<br />

GB HD<br />

6. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: = .<br />

BC AH + HC<br />

----------------------------------------------HÕt-------------------------------------------------<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

H−íng dÉn chÊm to¸n 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

C©u Néi dung §iÓm<br />

2<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

75<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

1<br />

a<br />

b<br />

2<br />

a<br />

b<br />

3<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

2<br />

+ − + + = ( ) ( )( )<br />

2<br />

( x + 1)( x − x + 1)<br />

x 3− 3x x + 4<br />

- Rót gän: A = − +<br />

2 3<br />

x 1 x x 1 x 1<br />

Víi mäi x ≠ - 1 th× A =<br />

V×<br />

2<br />

( x + 1)( x + x + 1)<br />

= ( )(<br />

2<br />

)<br />

2<br />

x + 1 x − x + 1 ( x + 1)( x − x + 1)<br />

x x − x + 1 − x + 1 3− 3x + x + 4<br />

3 2 2<br />

x x x x x<br />

2 2<br />

+ 2 + 2 + 1 + + 1<br />

= =<br />

2<br />

x − x + 1<br />

x<br />

x<br />

2<br />

2<br />

2<br />

⎛ 1 ⎞ 3<br />

+ x + 1<br />

− x + 1<br />

= ⎜ x + ⎟ +<br />

⎝ 2 ⎠ 4<br />

2<br />

⎛ 1 ⎞ 3<br />

⎜ x − ⎟ +<br />

⎝ 2 ⎠ 4<br />

⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ 3<br />

⎜ x + ⎟ + > 0; ⎜ x − ⎟ + > 0, ∀x ≠ −1⇒ A > 0, ∀x<br />

≠ −1<br />

⎝ 2 ⎠ 4 ⎝ 2 ⎠ 4<br />

* Víi x≥ 1 (*) ⇒ x - 1 ≥ 0 ⇒ x − 1 = x − 1 ta cã ph−¬ng tr×nh<br />

x 2 2<br />

-3x + 2 + x-1 = 0 ⇔ x − 2x + 1 = 0 ⇔ ( x − 1) 2<br />

= 0 ⇔ x = 1( Tho<br />

m·n ®iÒu kiÖn *)<br />

* Víi x< 1 (**) ⇒ x - 1 ≤ 0 ⇒ x − 1 = 1− x ta cã ph−¬ng tr×nh<br />

x 2 -3x + 2 + 1 - x = 0 x 2 x ( x )( x )<br />

⇔ − 4 + 3 = 0 ⇔ −1 − 3 = 0<br />

+ x - 1 = 0 ⇔ x = 1( Kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn **)<br />

+ x - 3 = 0 ⇔ x = 3 ( Kh«ng tho m·n ®iÒu kiÖn **)<br />

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ : x = 1<br />

* §iÒu kiÖn x ≠ 0 (1)<br />

2 2<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤<br />

⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎢⎣<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥⎦<br />

2 2<br />

* pt ⇔ 8 x + + 4 x + ⎢ x + − x + ⎥ = ( x + 4)<br />

2<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤<br />

⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎢⎣<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥⎦<br />

2 2 2<br />

⇔ 8 x + + 2 + 4 x + ⎢ x + − x + ⎥ = ( x + 4)<br />

2<br />

⇔ 16 = ( x + 4) ⇔ x( x + 8)<br />

= 0 ⇔ x = 0 hoÆc x = -8<br />

So s¸nh víi ®iÒu kiÖn (1) , suy ra nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ x = - 8<br />

Ta cã y 3 1 ( y 1)( y 2 y 1) x( y 2 y 1)<br />

− = − + + = − + + v× xy ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0 ⇒ x, y ≠ 0<br />

⇒ y-1≠ 0 vµ x-1 ≠ 0<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

2<br />

2<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

0.5®iÓm<br />

1®iÓm<br />

0.5®iÓm<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1®iÓm<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

76<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

4<br />

5<br />

a<br />

b<br />

c<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

x −1<br />

⇒ =<br />

3 2<br />

y − 1 y + y + 1<br />

y −1<br />

− 1 = ( −1)( − + 1) = − ( − + 1)<br />

⇒ =<br />

3 2<br />

x − 1 x + x + 1<br />

3 2 2<br />

x x x x y x x<br />

x y −1 −1<br />

⇒ + = +<br />

3 3 2 2<br />

y −1 x − 1 y + y + 1 x + x + 1<br />

2<br />

( x + y) − 2xy + ( x + y)<br />

+ 2<br />

2<br />

⎜<br />

⎝ ( ) ( ) ( )<br />

( xy − )<br />

⎛ 2 2<br />

x + x + 1+ y + y + 1 ⎞ ⎛ ⎞<br />

= − = −⎜ ⎜<br />

2 2 2 2<br />

( x x 1)( y y 1)<br />

⎟ x y x y 2xy xy x y xy x y 1⎟<br />

⎝<br />

+ + + +<br />

⎠ + + − + + + + + + ⎠<br />

4 − 2xy x y 2 2<br />

= − ⇒ + − = 0<br />

2 2 3 3 2 2<br />

x y + 3 y −1 x − 1 x y + 3<br />

Ta cã: M = ( x 2 x )( x 2 x )<br />

+ 10 + 16 + 10 + 24 + 16<br />

§Æt a = x 2 + 10x + 16 suy ra M = a( a+8) + 16 = a 2 + 8a + 16 = ( a+ 4) 2<br />

M = ( x 2 + 10x + 20 ) 2 ( ®pcm)<br />

gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi thiÕt).<br />

+ Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã:<br />

Gãc C chung.<br />

CD CA<br />

= (Hai tam gi¸c vu«ng CDE<br />

CE CB<br />

vµ CAB ®ång d¹ng)<br />

Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).<br />

Suy ra: 0<br />

BEC = ADC = 135 (v× tam<br />

Nªn 0<br />

AEB = 45 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: BE = AB 2 = m 2<br />

BM 1 BE 1 AD<br />

Ta cã: = ⋅ = ⋅ (do ∆BEC ∼ ∆ADC<br />

)<br />

BC 2 BC 2 AC<br />

mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H)<br />

BM 1 AD 1 AH 2 BH BH<br />

nªn = ⋅ = ⋅ = = (do ∆ABH ∼ ∆CBA<br />

)<br />

BC 2 AC 2 AC AB 2 BE<br />

Do ®ã ∆BHM ∼ ∆BEC<br />

(c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 135 ⇒ AHM = 45<br />

0 0<br />

Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC.<br />

Suy ra: GB = AB , mµ AB = ED ( ∆ABC ∼ ∆ DEC ) = AH ( ED // AH ) =<br />

HD<br />

GC AC AC DC HC HC<br />

GB HD GB HD GB HD<br />

Do ®ã: = ⇒ = ⇒ =<br />

GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 35<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1.5®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1.5®iÓm<br />

1®iÓm<br />

1®iÓm<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

77<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

2<br />

2<br />

⎡ x 6 1 ⎤ ⎛ 10 − x<br />

Bài 1: Cho bi…u th…c: M = ⎢ + + ⎥ :<br />

3<br />

⎣ x − 4x<br />

6 − 3x<br />

x + 2<br />

⎟ ⎞<br />

⎜ x − 2 +<br />

⎦ ⎝ x + 2 ⎠<br />

a. Rút g…n M<br />

b.T×m x nguyªn ®Ó M ®¹t gi¸ lín nhÊt.<br />

Bài 2: a. Tìm giá tr… nh… nh…t c…a bi…u th…c sau:<br />

A = x 2 + 2y 2 – 2xy - 4y + 2014<br />

b. Cho các s… x,y,z th…a mãn ……ng th…i:<br />

x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 v… x 3 + y 3 + z 3 = 1.<br />

Tính t…ng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011<br />

Bµi 3:<br />

1<br />

1<br />

1 1<br />

a. Gii ph−¬ng tr×nh:<br />

+<br />

+<br />

=<br />

2<br />

2<br />

2<br />

x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18<br />

b. Gii ph−¬ng tr×nh víi nghiÖm lµ sè nguyªn:<br />

x( x 2 + x + 1) = 4y( y + 1).<br />

Bài 4: Cho tam gi¸c ABC nhän cã c¸c ®−êng cao AD,BE,CF c¾t nhau t¹i H.<br />

HD HE HF<br />

a. TÝnh tæng: + +<br />

AD BE CF<br />

b. Chøng minh: BH.BE + CH.CF = BC 2<br />

c. Chøng minh: H c¸ch ®Òu ba c¹nh tam gi¸c DEF.<br />

d. Trªn c¸c ®o¹n HB,HC lÊy c¸c ®iÓm M,N tïy ý sao cho HM = CN.<br />

Chøng minh ®−êng trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.<br />

H−íng dÉn chÊm m«n to¸n 8<br />

Bµi Néi dung §iÓm<br />

1 a<br />

2<br />

2<br />

⎡ x 6 1 ⎤ ⎡ x<br />

6 1 ⎤<br />

⎢ + + ⎥ =<br />

3<br />

⎣ x − 4x<br />

6 − 3x<br />

x + 2<br />

⎢<br />

− + ⎥<br />

⎦ ⎣ x(<br />

x − 2)( x + 2) 3( x − 2) x + 2 ⎦<br />

0,5<br />

x − 2( x + 2) + ( x − 2)<br />

=<br />

( x + 2)( x − 2)<br />

−6<br />

=<br />

0,5<br />

( x + 2)( x − 2)<br />

2<br />

⎛ 10 − x ⎞ + − + −<br />

⎜ x − 2 +<br />

⎟ =<br />

⎝ x + 2 ⎠<br />

x + 2<br />

6<br />

=<br />

x + 2<br />

− 6 x + 2 1<br />

⇒ M =<br />

. =<br />

( x − 2)( x + 2) 6 2 − x<br />

2<br />

( x 2)( x 2) (10 x )<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

b + NÕu x 〉 2 th× M 〈 0 nªn M kh«ng ®¹t GTLN.<br />

0,5<br />

+ VËy x 〈 2, khi ®ã M cã c Tö vµ MÉu ®Òu lµ sè d−¬ng, nªn M<br />

0,5<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

78<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

0,5<br />

0,5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

muèn ®¹t GTLN th× MÉu lµ (2 – x) phi lµ GTNN,<br />

Mµ (2 – x) lµ sè nguyªn d−¬ng ⇒ 2 – x = 1 ⇒ x = 1.<br />

VËy ®Ó M ®¹t GTLN th× gi¸ trÞ nguyªn cña x lµ: 1.<br />

2 a A = ( b 2 + c 2 - a 2 ) 2 - 4b 2 c 2 = ( b 2 + c 2 - a 2 - 2bc)( b 2 + c 2 - a 2 + 2bc)<br />

2 2<br />

2 2<br />

= ⎡<br />

⎣( b − c)<br />

− a ⎤<br />

⎦<br />

⎡<br />

⎣( b + c)<br />

− a ⎤<br />

⎦<br />

= (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)<br />

b Ta có: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giác)<br />

T−¬ng tù: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0<br />

V…y A< 0<br />

3 a A = x 2 - 2xy + y 2 +y 2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010<br />

Do (x-y) 2 ≥0 ; (y - 2) 2 ≥ 0<br />

Nên:(x-y) 2 + (y - 2) 2 + 2010 ≥ 2010<br />

D…u ''='' xy ra ⇔ x – y = 0 v… y – 2 = 0 ⇔ x = y = 2.<br />

V…y GTNN c…a A l… 2010 t¹i x = y =2<br />

b Ta có: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)<br />

k…t h…p các …i…u ki…n …ã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0<br />

⇒M…t trong các th…a s… c…a tích (x + y)(y + z)(z + x) ph…i<br />

b…ng 0<br />

Gi… s… (x + y) = 0, k…t h…p v…i …/k : x + y + z = 1 ⇒ z = 1, l¹i<br />

k…t h…p v…i …/k : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ x = y = 0.<br />

Vậy trong 3 s… x,y,z ph…i có 2 s… b…ng 0 v… 1 s… b…ng 1,<br />

S = x 2009 + y 2010 + z 2011 = 1<br />

Nên t…ng S luôn có giá tr… b…ng 1.<br />

4 a Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi thµnh: (Víi §KX§: { 4; 5; 6; 7}<br />

x ≠ − − − − )<br />

1 1 1<br />

+ +<br />

= 1<br />

( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18<br />

1 1<br />

⇒( −<br />

x + 4 x + 5<br />

) + ( 1 1<br />

−<br />

x + 5 x + 6<br />

) + ( 1 1<br />

−<br />

x + 6 x + 7<br />

) = 1<br />

18<br />

⇒ 1 −<br />

1 = 1 ⇒ (x + 4)(x +7) = 54<br />

x + 4 x + 7 18<br />

⇒ (x + 13)(x – 2) = 0 ⇒ x = -13 hoÆc x = 2 (Tháa mn §KX§)<br />

− 13;2<br />

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: S = { }<br />

b + Ph−¬ng tr×nh ®−îc biÕn ®æi thµnh: (x + 1)(x 2 + 1) = (2y + 1) 2<br />

+ Ta chøng minh (x + 1) vµ (x 2 + 1) nguyªn tè cïng nhau !<br />

V× nÕu d = UCLN (x+1, x 2 + 1) th× d phi lµ sè lÎ (v× 2y+1 lÎ)<br />

2<br />

⎧ x + x⋮d<br />

⎧x<br />

+ 1⋮<br />

d ⎪<br />

2 ⎧x<br />

+ 1⋮<br />

d<br />

⇒ ⎨ ⇒ x 1 d<br />

2 ⎨ + ⋮ ⇒ ⎨ ⇒2⋮ d mµ d lÎ nªn d = 1.<br />

⎩x<br />

+ 1⋮<br />

d ⎪ x − 1 d<br />

x +<br />

⎩ ⋮<br />

1⋮<br />

d<br />

⎩<br />

+ Nªn muèn (x + 1)(x 2 + 1) lµ sè chÝnh ph−¬ng<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,25<br />

0,25<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

79<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Th× (x+1) vµ (x 2 + 1) ®Òu phi lµ sè chÝnh ph−¬ng<br />

2 2<br />

⎧ ⎪x<br />

+ 1 = k<br />

⎧k<br />

= 1 ⎧k<br />

= −1<br />

§Æt: ⎨ ⇒(k + x)(k – x) = 1⇒<br />

2<br />

⎨ hoÆc ⎨ ⎪ ⎩x<br />

+ 1 = t<br />

⎩x<br />

= 0 ⎩x<br />

= 0<br />

+ Víi x = 0 th× (2y + 1) 2 = 1 ⇒ y = 0 hoÆc y = -1.(Tháa mn pt)<br />

(0;0),(0; − 1)<br />

5<br />

VËy nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ: (x;y) ={ }<br />

B<br />

M<br />

F<br />

O<br />

D<br />

H<br />

A<br />

I<br />

E<br />

d Gäi O lµ giao ®iÓm cña c¸c ®−êng trung trùc cña hai ®o¹n MN vµ<br />

HC, ta cã ∆ OMH = ∆ ONC (c.c.c) ⇒ OHM = OCN .(1)<br />

0,25<br />

MÆt kh¸c ta còng cã ∆ OCH c©n t¹i O nªn: OHC = OCH .(2)<br />

0,25<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

80<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

K<br />

a<br />

Tr−íc hÕt chøng minh: HD<br />

AD = S( HBC)<br />

S( ABC)<br />

HE S( HCA)<br />

HF S( HAB)<br />

T−¬ng tù cã: = ; =<br />

BE S( ABC)<br />

CF S( ABC)<br />

HD HE HF S( HBC) + S( HCA) + S( HAB)<br />

Nªn + + =<br />

AD BE CF<br />

S( ABC)<br />

HD HE HF<br />

⇒ + + = 1<br />

AD BE CF<br />

b Tr−íc hªt chøng minh ∆ BDH ~ ∆ BEC<br />

⇒BH.BE = BD.BC<br />

Vµ ∆ CDH ~ ∆ CFB ⇒ CH.CF = CD.CB.<br />

⇒BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC 2 (®pcm)<br />

c Tr−íc hÕt chøng minh: ∆ AEF ~ ∆ ABC ⇒ AEF = ABC<br />

Vµ ∆ CDE ~ ∆ CAB ⇒ CED = CBA <br />

⇒ AEF = CED mµ EB ⊥ AC nªn EB lµ ph©n gi¸c cña gãc DEF.<br />

T−¬ng tù: DA, FC lµ ph©n gi¸c cña c¸c gãc EDF vµ DFE.<br />

VËy H lµ giao ®iÓm c¸c ®−êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c DEF<br />

nªn H c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c DEF (®pcm)<br />

N<br />

C<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,25<br />

0,25<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Tõ (1) vµ (2) ta cã: OHC = OHB ⇒ HO lµ ph©n gi¸c cña gãc BHC<br />

VËy O lµ giao ®iÓm cña trung trùc ®o¹n HC vµ ph©n gi¸c cña gãc<br />

BHC nªn O lµ ®iÓm cè ®Þnh.<br />

Hay trung trùc cña ®o¹n MN lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh lµ O.<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 36<br />

Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì ( n + 5)( n + 6)<br />

⋮ 6n<br />

với n ∈ Ν .<br />

5<br />

b, CMR với n ∈ Ν thì: n − n⋮ 30 .<br />

n + 13<br />

c, Tìm số tự nhiên n để phân số tối giản.<br />

n − 2<br />

Bài 2: (3đ) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:<br />

4a 2 b 2 − a 2 + b 2 − c<br />

2<br />

a, ( )<br />

Ta có: (n + 5)(n + 6) = n 2 + 11n + 30<br />

= n(n – 1) + 30 + 12n ⋮ 6n<br />

1<br />

a<br />

⎧⎪ n( n −1) ⋮3<br />

⎪⎧<br />

n = 3∨ n = 3k<br />

+ 1<br />

1<br />

⇔ n( n + 1)<br />

+ 30⋮6n<br />

⇔ ⎨ ⇔ ⎨<br />

⎪⎩<br />

30⋮3<br />

⎪⎩<br />

n 30<br />

⇔ n = 1; 3; 6; 10; 15; 30<br />

b<br />

5<br />

CMR: với n ∈ Ν thì: n − n⋮ 30<br />

1,5<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

81<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

O,25<br />

0,25<br />

b, x 5 + x + 1<br />

c, ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)<br />

+ 1<br />

Bài 3: (3đ) Giải phương trình:<br />

a, x 4 – 30x 2 + 31x – 30 = 0<br />

b, 1 + 1 + 1 =<br />

1<br />

2 2 2<br />

x + 4x + 3 x + 8x + 15 x + 12x<br />

+ 35 9<br />

4 4<br />

c, ( x − 2) + ( x − 3)<br />

= 1<br />

Bài 4: (3,5đ) a/ Tìm đa thức dư trong phép chia<br />

1 + x + x 19 + x 20 + x 2010 cho 1 – x 2<br />

b/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình:<br />

Trong một cái giỏ đựng một số táo. Đầu tiên người ta lấy ra một nửa số<br />

táo và bỏ lại 5 quả, sau đó lấy thêm ra 1 số táo còn lại và lấy thêm ra 4 quả.<br />

3<br />

Cuối cùng trong giỏ còn lại 12 quả. Hỏi trong giỏ lúc đầu có bao nhiêu quả?<br />

Bài 5: (4,5đ)<br />

Cho hình bình hành ABCD (AC>BD). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu<br />

của C lên các đường thẳng AB, AD. Chứng minh rằng:<br />

a, AB.AE + AD.AF = AC 2<br />

b, ∆ FCE ∆ ABC.<br />

Bài 6: (2,5đ) Dựng hình thoi biết  = 30 0 và tổng hai đường chéo bằng 5cm.<br />

(Chỉ cần phân tích, nêu cách dựng và dựng hình).<br />

**************-The end-**************<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Bài Phần Nội dung Điểm<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Ta có 30 = 2.3.5<br />

5 4 2<br />

n − n = n n − 1 = n − 1 n n + 1 n + 1<br />

2<br />

c<br />

a<br />

b<br />

c<br />

3 a<br />

( ) ( ) ( )( )<br />

n – 1; n; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp nên tích<br />

( n − 1) n( n + 1)<br />

⋮ 6<br />

ta chứng minh n 5 n n( n 2 )( n<br />

2<br />

)<br />

− = − 1 + 1 ⋮ 5<br />

Lấy n chia cho 5 thì n = 5k hoặc n = 5k ± 1 hoặc n = 5k ±<br />

2<br />

5<br />

1, Nếu n = 5k thì n − n⋮<br />

5<br />

2 5<br />

2, Nếu n = 5k ± 1 thì n −1⋮5 ⇒ n − n⋮<br />

5<br />

2 5<br />

3, Nếu n = 5k ± 2 thì n + 1⋮5 ⇒ n − n⋮<br />

5<br />

n + 13 15<br />

= 1+<br />

tối giản ⇔ ( 15; n − 2)<br />

= 1<br />

n − 2 n − 2<br />

n ≠ 3k<br />

+ 2<br />

⇔ n – 2 ⋮ 3 và n – 2 ⋮<br />

⎧<br />

5 ⇔ ⎨<br />

⎩n<br />

≠ 3k<br />

+ 5<br />

2 2 2 2 2<br />

2<br />

− ( + − )<br />

2 2 2 2<br />

2<br />

( 2ab) ( a b c )<br />

2 2 2 2 2 2<br />

( 2ab a b c )( 2ab a b c )<br />

4a b a b c<br />

= − + −<br />

= − − + + + −<br />

( ) ( )<br />

2 2 2<br />

⎡ ⎤ ⎡<br />

2<br />

⎤<br />

= c − a − b a + b − c<br />

⎣ ⎦ ⎣ ⎦<br />

= ( a + b + c)( a + b − c)( c + a − b)( c − a + b)<br />

x 5 + x + 1 = x 5 + x 4 + x 3 – x 4 – x 3 – x 2 + x 2 x + 1<br />

= x 3 (x 2 + x + 1) – x 2 (x 2 + x + 1) + 1(x 2 + x + 1)<br />

= (x 2 + x + 1)(x 3 – x 2 + 1)<br />

( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)<br />

+ 1<br />

= ( x + 1)( x + 4)( x + 2)( x + 3)<br />

+ 1<br />

2 2<br />

( x 5x 4)( x 5x<br />

6)<br />

1<br />

2 2<br />

( x x ) ( x x )<br />

2 2<br />

( x 5x 5) 1 1 ( x 5x<br />

5)<br />

= + + + + +<br />

= ⎡ 5 5 1⎤ ⎡ 5 5 1⎤<br />

⎣<br />

+ + −<br />

⎦ ⎣<br />

+ + +<br />

⎦<br />

+ 1<br />

2 2<br />

= + + − + = + +<br />

x 4 – 30x 2 + 31x – 30 = 0<br />

4 2<br />

⇔ x + x − 30 x − x + 1 = 0<br />

( )<br />

3 2<br />

x( x 1) 30( x x 1)<br />

0<br />

2 2<br />

x( x )( x x ) ( x x )<br />

( x 2 x 1)( x 2 x 30)<br />

0<br />

⇔ + − − + =<br />

⇔ + 1 − + 1 − 30 − + 1 = 0<br />

⇔ − + + − =<br />

2<br />

⎛<br />

2 2 ⎛ 1 ⎞ 3 ⎞<br />

⇔ x + x − 30 = 0 vìx − x + 1 = x − + > 0<br />

⎜<br />

⎜ ⎟<br />

⎝ 2 ⎠ 4 ⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

2<br />

⇔ x + 6x − 5x<br />

− 30 = 0<br />

⎧x<br />

= −6<br />

⇔ ( x + 6)( x − 5)<br />

= 0 ⇔ ⎨<br />

⎩x<br />

= 5<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

82<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

S = − 6;5<br />

b<br />

Bµi 1 (4 ®iÓm)<br />

Vậy { }<br />

1 1 1 1<br />

+ + =<br />

2 2 2<br />

x + 4x + 3 x + 8x + 15 x + 12x<br />

+ 35 9<br />

1 1 1 1<br />

⇔ + + =<br />

2 2 2<br />

x + 3x + x + 3 x + 5x + 3x + 15 x + 7x + 5x<br />

+ 35 9<br />

1 1 1 1<br />

⇔ + + =<br />

( x + 1)( x + 3) ( x + 3)( x + 5) ( x + 5)( x + 7)<br />

9<br />

ĐKXĐ: x ≠ −1; −3; −5; − 7<br />

Phương trình trên có thể viết:<br />

1 ⎡⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤<br />

1<br />

2<br />

⎢⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ =<br />

x 1 x 3 x 3 x 5 x 5 x 7<br />

⎥<br />

⎣⎝ + + ⎠ ⎝ + + ⎠ ⎝ + + ⎠⎦<br />

9<br />

1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 6 1<br />

⇔ ⎜ − ⎟ = ⇔ =<br />

2 ⎝ x + 1 x + 7 ⎠ 9 2 x + 1 x + 7 9<br />

( )( )<br />

( )<br />

( )( )<br />

⇔ x + x + = ⇔ x + x − =<br />

2<br />

1 7 27 8 20 0<br />

2 2 2<br />

⇔ x + 8x + 16 = 36 ⇔ x + 4 = 6<br />

⎧x<br />

+ 4 = 6 ⎧x<br />

= 2<br />

⇔ ⎨ ⇔ ⎨ (TM ĐKXĐ)<br />

⎩x<br />

+ 4 = − 6 ⎩x<br />

= −10<br />

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2; x = -10<br />

⎛1−<br />

x<br />

⎜<br />

⎝ 1−<br />

x<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 37<br />

Cho biÓu thøc A = 2 3<br />

a, Rót gän biÓu thøc A.<br />

3<br />

⎞ 1−<br />

x<br />

− x<br />

⎟ :<br />

⎠ 1−<br />

x − x<br />

b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x<br />

c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0.<br />

2<br />

+ x<br />

2<br />

= −1 .<br />

3<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

víi x kh¸c -1 vµ 1.<br />

Bµi 2 (3 ®iÓm)<br />

2<br />

2<br />

2 2 2 2<br />

Cho ( a−b) + ( b−c) + ( c−a) = 4 .( a + b + c −ab−ac−bc)<br />

.<br />

Chøng minh r»ng a = b = c.<br />

Bµi 3 (3 ®iÓm)<br />

Gii bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph−¬ng tr×nh.<br />

Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu<br />

lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®−îc ph©n sè nghÞch ®o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã.<br />

Bµi 4 (2 ®iÓm)<br />

4 3 2<br />

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a − 2a<br />

+ 3a<br />

− 4a<br />

+ 5.<br />

Bµi 5 (3 ®iÓm)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

83<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 60 0 , ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I<br />

theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD.<br />

a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh.<br />

b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI.<br />

Bµi 6 (5 ®iÓm)<br />

H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®−êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §−êng th¼ng<br />

qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N.<br />

a, Chøng minh r»ng OM = ON.<br />

1 1 2<br />

b, Chøng minh r»ng + = .<br />

AB CD MN<br />

c, BiÕt S AOB = 2008 2 (®¬n vÞ diÖn tÝch); S COD = 2009 2 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh<br />

S ABCD .<br />

h−íng dÉn chÊm thi häc sinh giái<br />

Bµi 1( 4 ®iÓm )<br />

a, ( 2 ®iÓm )<br />

Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× :<br />

0,5®<br />

3<br />

2<br />

1−<br />

x − x + x (1 − x)(1<br />

+ x)<br />

A=<br />

:<br />

2<br />

1−<br />

x (1 + x)(1<br />

− x + x ) − x(1<br />

+ x)<br />

2<br />

(1 − x)(1<br />

+ x + x − x)<br />

(1 − x)(1<br />

+ x)<br />

0,5®<br />

=<br />

:<br />

2<br />

1−<br />

x (1 + x)(1<br />

− 2x<br />

+ x )<br />

2 1<br />

= (1 + x ) :<br />

(1 − x)<br />

0,5®<br />

2<br />

= (1 + x )(1 − x)<br />

0,5®<br />

KL<br />

b, (1 ®iÓm)<br />

2 5 ⎡ 5 2 ⎤ ⎡ 5 ⎤<br />

T¹i x = − 1 = − th× A =<br />

0,25®<br />

−<br />

3 3 ⎢1<br />

+ ( − ) ⎥ ⎢1<br />

− ( − ) ⎥<br />

⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦<br />

25 5<br />

= ( 1+ )(1 + )<br />

9 3<br />

0,25®<br />

34 8 272 2<br />

= . = = 10<br />

9 3 27 27<br />

0,5®<br />

KL<br />

c, (1®iÓm)<br />

2<br />

Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A 0 víi mäi x nªn (1) xy ra khi vµ chØ khi 1 − x < 0 ⇔ x > 1<br />

KL<br />

0,5®<br />

0,25®<br />

Bµi 2 (3 ®iÓm)<br />

BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®−îc<br />

0,5®<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2 2<br />

a + b − 2ab<br />

+ b + c − 2bc<br />

+ c + a + 2ac<br />

= 4a<br />

+ 4b<br />

+ 4c<br />

− 4ab<br />

− 4ac<br />

− 4bc<br />

2 2<br />

2 2<br />

2 2<br />

BiÕn ®æi ®Ó cã ( a + b − 2ac)<br />

+ ( b + c − 2bc)<br />

+ ( a + c − 2ac)<br />

= 0<br />

0,5®<br />

2<br />

2<br />

2<br />

BiÕn ®æi ®Ó cã ( a − b)<br />

+ ( b − c)<br />

+ ( a − c)<br />

= 0 (*) 0,5®<br />

V× ( a − b)<br />

2 ≥ 0 ; ( b − c)<br />

2 ≥ 0 ; ( a − c)<br />

2 ≥ 0; víi mäi a, b, c<br />

nªn (*) xy ra khi vµ chØ khi ( a − b)<br />

2 = 0 ; ( b − c)<br />

2 = 0 vµ ( a − c)<br />

2 = 0 ;<br />

0,5®<br />

0,5®<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

84<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Tõ ®ã suy ra a = b = c 0,5®<br />

Bµi 3 (3 ®iÓm)<br />

Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x+11.<br />

0,5®<br />

x<br />

Ph©n sè cÇn t×m lµ (x lµ sè nguyªn kh¸c -11)<br />

x +11<br />

x − 7<br />

Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®−îc ph©n sè<br />

x + 15<br />

0,5®<br />

(x kh¸c -15)<br />

x x + 15<br />

Theo bµi ra ta cã ph−¬ng tr×nh =<br />

x +11 x − 7<br />

0,5®<br />

Gii ph−¬ng tr×nh vµ t×m ®−îc x= -5 (tho m·n) 1®<br />

5<br />

Tõ ®ã t×m ®−îc ph©n sè −<br />

6<br />

0,5®<br />

KL<br />

Bµi 4 (2 ®iÓm)<br />

0,5®<br />

2 2<br />

2<br />

2<br />

BiÕn ®æi ®Ó cã A= a ( a + 2) − 2a(<br />

a + 2) + ( a + 2) + 3<br />

2<br />

2<br />

2<br />

2<br />

= ( a + 2)( a − 2a<br />

+ 1) + 3 = ( a + 2)( a −1)<br />

+ 3<br />

0,5®<br />

2<br />

2<br />

V× a + 2 > 0 ∀ a vµ ( a −1)<br />

≥ 0∀a<br />

nªn ( a<br />

2<br />

+ 2)( a −1)<br />

≥ 0∀a<br />

0,5®<br />

2<br />

2<br />

( a + 2)( a −1)<br />

+ 3 ≥ 3∀a<br />

DÊu = xy ra khi vµ chØ khi a −1 = 0 ⇔ a = 1<br />

0,25®<br />

KL 0,25®<br />

Bµi 5 (3 ®iÓm)<br />

a,(1 ®iÓm)<br />

Chøng minh ®−îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang<br />

D<br />

I<br />

C<br />

0,5®<br />

Chøng minh ®−îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang c©n 0,5®<br />

b,(2®iÓm)<br />

4 3<br />

8 3<br />

0,5®<br />

TÝnh ®−îc AD = cm ; BD = 2AD = cm<br />

3<br />

3<br />

1 4 3<br />

AM = BD = cm<br />

2 3<br />

3<br />

TÝnh ®−îc NI = AM =<br />

cm<br />

3<br />

8 3<br />

1<br />

DC = BC = cm , MN = DC =<br />

3<br />

cm<br />

3<br />

2 3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

A<br />

B<br />

M<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

N<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

85<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

TÝnh ®−îc AI =<br />

8 3<br />

cm<br />

0,5®<br />

3<br />

Bµi 6 (5 ®iÓm)<br />

a, (1,5 ®iÓm)<br />

D<br />

OM OD ON OC<br />

LËp luËn ®Ó cã = , =<br />

AB BD AB AC<br />

0,5®<br />

OD OC<br />

LËp luËn ®Ó cã =<br />

DB AC<br />

0,5®<br />

OM ON<br />

⇒ = ⇒ OM = ON<br />

AB AB<br />

0,5®<br />

b, (1,5 ®iÓm)<br />

OM DM<br />

XÐt ∆ ABD ®Ó cã = (1), xÐt ADC OM AM = (2)<br />

AB AD<br />

DC AD<br />

0,5®<br />

1<br />

Tõ (1) vµ (2) ⇒ OM.(<br />

AM + DM AD<br />

=<br />

= = 1<br />

AB CD AD AD<br />

1 1<br />

Chøng minh t−¬ng tù ON. ( + ) = 1<br />

AB CD<br />

0,5®<br />

1 1 1 1 2<br />

tõ ®ã cã (OM + ON). ( + ) = 2 ⇒ + =<br />

AB CD AB CD MN<br />

0,5®<br />

b, (2 ®iÓm)<br />

S<br />

AOB OB S<br />

BOC OB S<br />

AOB<br />

S<br />

BOC<br />

= ,<br />

0,5®<br />

= ⇒ = ⇒ S<br />

AOB. S<br />

DOC<br />

= S<br />

BOC.<br />

S<br />

AOD<br />

S<br />

AOD<br />

OD S<br />

DOC<br />

OD S<br />

AOD<br />

S<br />

DOC<br />

Chøng minh ®−îc S<br />

AOD<br />

= S<br />

BOC<br />

0,5®<br />

2<br />

⇒ S<br />

AOB. S<br />

DOC<br />

= ( S<br />

AOD<br />

)<br />

0,5®<br />

Thay sè ®Ó cã 2008 2 .2009 2 = (S AOD ) 2 ⇒ S AOD = 2008.2009<br />

Do ®ã S ABCD = 2008 2 + 2.2008.2009 + 2009 2 = (2008 + 2009) 2 = 4017 2 (®¬n vÞ 0,5®<br />

DT)<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 38<br />

Bµi 1. ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng:<br />

6 6<br />

a) Víi mäi a∈<br />

Z, nÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho 3 th× a − b chia hÕt cho 9<br />

b) Với mọi n∈ N thì n 5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.<br />

Bµi 2. ( 2,0 ®iÓm)<br />

a) Gii ph−¬ng tr×nh: 1 1 1 1<br />

2 2 2<br />

x + 9x + 20 + x + 11x + 30 + x + 13x<br />

+ 42<br />

= 18<br />

b) Tìm các số x, y, z biết :<br />

x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx<br />

2009 2009 2009 2010<br />

v… x + y + z = 3<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

M<br />

A<br />

86<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

O<br />

B<br />

N<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Bµi 3. ( 1,5 ®iÓm) Chứng minh rằng:<br />

Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: 1 + 1 + 1 ≥ a + b + c<br />

a b c<br />

th× ta có bất đẳng thức a + b + c ≥ 3abc<br />

Bµi 4. ( 1,5 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a 2 + 25b 2<br />

Bµi 5. ( 3,0 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña<br />

AC, trªn BM lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:<br />

a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.<br />

NC NB<br />

b) = + 1<br />

AN AB<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

ĐÁP ÁN<br />

Bµi 1. a) (1,0 ®iÓm)<br />

Vì a kh«ng chia hÕt cho 3 nªn a cã d¹ng 3k+1 hoÆc 3k+2 (k∈ Z )<br />

NÕu a = 3k+1 th× a 2 = (3k+1) 2 = 9k 2 + 6k +1 chia 3 d− 1.<br />

NÕu a = 3k+2 th× a 2 = (3k+2) 2 = 9k 2 + 12k + 4 chia 3 d− 1.<br />

VËy nªn nÕu a kh«ng chia hÕt cho 3 th× a 2 chia 3 d− 1.(1)<br />

T−¬ng tù ta còng cã nÕu b kh«ng chia hÕt cho 3 th× b 2 chia 3 d− 1.(2)<br />

Tõ (1) vµ (2) ta cã a 2 -b 2 ⋮3 (3) (0,5 ®)<br />

Ta cã a 6 -b 6 = (a 2 -b 2 )[(a 2 ) 2 +a 2 b 2 +(b 2 ) 2 ] = (a 2 -b 2 )[( a 2 ) 2 - 2a 2 b 2 +(b 2 ) 2 +3a 2 b 2 ]<br />

= (a 2 -b 2 ) [(a 2 -b 2 ) 2 + 3a 2 b 2 ]<br />

Theo c/m trªn a 2 -b 2 ⋮3 => (a 2 -b 2 ) 2 ⋮3 mµ 3a 2 b 2 ⋮3 víi mäi a∈<br />

Z<br />

nªn (a 2 -b 2 ) 2 + 3a 2 b 2 ⋮3 (4)<br />

Tõ (3) vµ (4) suy ra (a 2 -b 2 ) [(a 2 -b 2 ) 2 + 3a 2 b 2 ] ⋮ 3.3 hay a 6 -b 6 ⋮ 9 (0,5 ®)<br />

b) (1,0 ®iÓm)<br />

Ta cần chứng minh: n 5 – n ⋮ 10<br />

* Chứng minh : n 5 - n ⋮ 2<br />

n 5 – n = n(n 2 – 1)(n 2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n 2 + 1) ⋮ 2 (0,25 ®)<br />

(vì với n∈<br />

N ta có n(n – 1) là tích của hai số nguyên liên tiếp)<br />

* Chứng minh: n 5 – n ⋮ 5<br />

n 5 - n = n(n – 1)(n + 1)(n 2 + 1) = n( n - 1 )( n + 1)( n 2 – 4 + 5)<br />

= n( n – 1 ) (n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) + 5n( n – 1)( n + 1 ) ⋮ 5<br />

( Vì với n∈<br />

N ta có n(n – 1)(n + 1)(n – 2) ( n + 2 ) là tích của năm số nguyên liên tiếp<br />

nên chia hết cho 5 và 5n( n – 1)( n + 1 ) ⋮ 5 với mọi n∈ N ) (0,5 ®)<br />

Vì ( 2 ; 5 ) = 1 nên n 5 – n ⋮ 2.5 tức là n 5 – n ⋮ 10<br />

Suy ra n 5 và n có chữ số tận cũng giống nhau. (0,25 ®)<br />

Bµi 2. a) 1,0 ®iÓm<br />

x 2 + 9x + 20 = (x+4)(x+5)<br />

x 2 + 11x + 30 = (x+5)(x+6)<br />

x 2 + 13x + 42 = (x+6)(x+7)<br />

§KX§ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ − 7<br />

1 1 1 1<br />

2 2 2<br />

x + 9x + 20 + x + 11x + 30 + x + 13x<br />

+ 42<br />

= 18<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

87<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

1 1 1 1<br />

⇔ + + =<br />

( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18<br />

(0,5 ®)<br />

⇒ 1 1 1<br />

( x + 4) − ( x + 7) = 18<br />

=> 18(x+7) – 18(x+4) = (x+4)(x+7)<br />

=> (x+13)(x-2) = 0 (0,25 ®)<br />

=> x = -13 hoÆc x = 2 ( Tháa m·n §KX§)<br />

VËy PT ®· cho cã hai nghiÖm lµ x 1 =-13; x 2 =2 (0,25 ®)<br />

b) 1,0 ®iÓm<br />

Ta cã x 2 + y 2 + z 2 = xy + yz + zx<br />

⇔ 2x 2 +2y 2 + 2z 2 - 2xy - 2yz - 2zx = 0<br />

⇔ (x-y) 2 + (y-z) 2 + (z-x) 2 = 0 (0,25 ®)<br />

⎧x − y = 0<br />

⎪<br />

⇔ ⎨y − z = 0<br />

⎪<br />

⎩z − x = 0<br />

⇔ x = y = z ⇔ x 2009 = y 2009 = z 2009 (1) (0,25 ®)<br />

2009 2009 2009<br />

Theo bµi ra ta cã x + y + z<br />

2010<br />

= 3 (2)<br />

Tõ (1) vµ (2) ta có 3.z 2009 = 3 2010 ⇔ z 2009 = 3 2009 ⇔ z = 3 (0,25 ®)<br />

V…y x = y = z = 3 (0,25 ®)<br />

Bµi 3. Chứng minh rằng:<br />

N…u a, b, c l… các s… d……ng tho… mãn: 1 + 1 + 1 ≥ a + b + c<br />

a b c<br />

th× ta có b…t ……ng th…c a + b + c ≥ 3abc<br />

Ta cã 1 + 1 + 1 ≥ a + b + c ⇔ bc + ca + ab ≥ a + b + c<br />

a b c<br />

abc<br />

⇔ ab + bc + ca ≥ ( a + b + c)<br />

abc (*)(v× a,b,c > 0 nªn abc>0)<br />

Mµ a 2 + b 2 ≥ 2 ab; c 2 + b 2 ≥ 2 cb; a 2 + c 2 ≥ 2ac<br />

nªn céng theo vÕ 3 bÊt ®¼ng thøc nµy ta<br />

2 2 2<br />

2 2 2<br />

®−îc 2( a + b + c ) ≥ 2( ab + bc + ca)<br />

⇔ a + b + c ≥ ab + bc + ca) (1)<br />

2 2 2 2<br />

L¹i cã ( a + b + c) = a + b + c + 2( ab + bc + ca)<br />

(2)<br />

2<br />

Tõ (1) vµ (2) ta cã ( a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca)<br />

(**)<br />

2<br />

Tõ (*) vµ(**) ta cã ( a + b + c) ≥ 3 abc( a + b + c)<br />

⇔ a + b + c ≥ 3abc<br />

(V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0)<br />

Bµi 4. ( 1,0 ®iÓm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña 4a 2 + 25b 2<br />

§Æt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y) 2 =(6a – 5b) 2 = 1<br />

¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski cho hai sè 3x vµ y ta cã:<br />

(3x + y) 2 ≤ (x 2 + y 2 )(9 + 1) => x 2 + y 2 ≥ 10<br />

1 Hay 4a<br />

2<br />

+ 25b 2 ≥ 10<br />

1 .<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

DÊu b»ng xÈy ra <br />

3 1 = 3y = x - 15 b = 2a 6a = - 45b (2)<br />

x y<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

88<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

1<br />

Tõ (1) vµ (2) => b = − ; a =<br />

50<br />

3<br />

20<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC). M lµ trung ®iÓm cña AC, trªn BM<br />

lÊy ®iÓm N sao cho NM = MA; CN c¾t AB t¹i E. Chøng minh:<br />

a) Tam gi¸c BNE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAN.<br />

NC NB<br />

b) = + 1<br />

AN AB<br />

F<br />

M<br />

C<br />

a) ∆ ANC vu«ng t¹i N (v× MN =AM = 1 2 AC )<br />

CNM + MNA = 1v<br />

BAN + NAC = 1v<br />

Mµ MNA = NAC => CNM = BAN<br />

MÆt kh¸c CNM = BNE (®®) =>BNE = BAN<br />

=> ∆ BNE ∞ ∆ BAN<br />

b) Trªn tia ®èi tia MN lÊy ®iÓm F sao cho FM = MN.<br />

Tø gi¸c ANCF lµ h×nh ch÷ nhËt (v× cã 2 ®−êng chÐo b»ng nhau vµ c¾t nhau t¹i<br />

trung ®iÓm cña mçi ®−êng)<br />

=> CE // AF => AFB = ENB (®ång vÞ) => ∆ BAN ∞ ∆ BFA =><br />

FA BF NC FN + NB NC AB + NB NC NB<br />

= => = => = => = + 1 (§pcm)<br />

AN BA AN AB AN AB AN AB<br />

C¸ch kh¸c: b) Ta cã: ∆ ACN ∞ ∆ EAN => CN = AC =<br />

AN (1)<br />

AN EA EN<br />

AN BA BE NB<br />

∆ BNE ∞ ∆ BAN => = (2) va = (3) . Tõ (1) vµ (2) => BN = AE<br />

NE BN BN AB<br />

CN AC CN AB AE + EB EB EB<br />

AN EA AN AE AE AE BN<br />

Tõ = => = = = 1+ = 1+<br />

( 4)<br />

CN NB<br />

Tõ (3) vµ (4) => = 1+ (§pcm)<br />

AN AB<br />

§Ề SỐ 39<br />

Bµi 1: (2 ®iÓm)<br />

Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö:<br />

2<br />

1. x + 7x<br />

+ 6<br />

2.<br />

4 2<br />

x + 2008x + 2007x<br />

+ 2008<br />

Bµi 2: (2®iÓm) Gii phư¬ng tr×nh:<br />

N<br />

A E B<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

89<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

x − 3x + 2 + x − 1 = 0<br />

1.<br />

2<br />

2 2 2<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞<br />

⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟⎜ ⎟<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠⎝ x ⎠<br />

2 2<br />

2. 8 x + + 4 x + − 4 x + x + = ( x + 4)<br />

Bµi 3: (2®iÓm)<br />

1 1 1<br />

(a+b+c)( + + ) ≥ 9<br />

a<br />

b<br />

c<br />

2<br />

1. CMR víi a,b,c,lµ c¸c sè dư¬ng ,ta cã:<br />

3. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc ( x + 2)( x + 4)( x + 6)( x + 8)<br />

+ 2008<br />

2<br />

cho ®a thøc x + 10x<br />

+ 21.<br />

Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH<br />

(H∈BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi<br />

BC t¹i D c¾t AC t¹i E.<br />

1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi<br />

®o¹n BE theo m = AB.<br />

2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c<br />

BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM<br />

GB HD<br />

3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: = .<br />

BC AH + HC<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Bµi C© Néi dung<br />

§iÓm<br />

1 u<br />

1. 2,0<br />

1.1 (0,75 ®iÓm)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

90<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

2 2<br />

x + 7x + 6 = x + x + 6x + 6 = x x + 1 + 6 x + 1<br />

1.2 (1,25 ®iÓm)<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

( x 1)( x 6)<br />

= + +<br />

( ) ( )<br />

+ 2008 + 2007 + 2008 = + + 2007 + 2007 + 2007 + 1 0,25<br />

4 2 4 2 2<br />

x x x x x x x<br />

4 2 2 2<br />

2<br />

2 2<br />

x x 1 2007( x x 1) ( x 1) x 2007( x x 1)<br />

( x 2 x 1)( x 2 x 1) 2007( x 2 x 1) ( x 2 x 1)( x 2 x 2008)<br />

= + + + + + = + − + + + 0,25<br />

= + + − + + + + = + + − +<br />

0,25<br />

2. 2,0<br />

2<br />

2.1 x − 3x + 2 + x − 1 = 0 (1)<br />

2.2<br />

+ NÕu x ≥ 1: (1) ⇔ ( x − 1) 2<br />

= 0 ⇔ x = 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn<br />

x ≥ 1).<br />

+ NÕu x < 1: (1)<br />

2 2<br />

⇔ x − 4x + 3 = 0 ⇔ x − x − 3( x − 1) = 0 ⇔ ( x −1)( x − 3)<br />

= 0<br />

⇔ x = 1; x = 3 (c hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1,<br />

nªn bÞ lo¹i)<br />

VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x = 1.<br />

2 2 2<br />

2 2<br />

2 2<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞<br />

2<br />

8⎜ x + ⎟ + 4⎜ x + ⎟ − 4⎜ x + ⎟⎜ x + ⎟ = ( x + 4)<br />

(2)<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠⎝ x ⎠<br />

§iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x ≠ 0<br />

2 2<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎡⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎤<br />

⇔ 8⎜ x + ⎟ + 4⎜ x + x x x 4<br />

2 ⎟ ⎢⎜ + − + = +<br />

2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎥<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎢⎣<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥⎦<br />

2<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞<br />

2 2<br />

⇔ 8⎜ x + ⎟ − 8⎜ x +<br />

2 ⎟ = ( x + 4) ⇔ ( x + 4)<br />

= 16<br />

⎝ x ⎠ ⎝ x ⎠<br />

⇔ x = 0 hay x = − 8 vµ x ≠ 0 .<br />

VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x = − 8<br />

(2) ( )<br />

3 2.0<br />

3.1 Ta cã:<br />

1 1 1 a a b b c c<br />

A= ( a + b + c)(<br />

+ + ) = 1+<br />

+ + + 1+<br />

+ + + 1 0,5<br />

a b c b c a<br />

a b a c c b<br />

= 3 + ( + ) + ( + ) + ( + )<br />

b a c a b c<br />

x y<br />

Mµ: + ≥ 2 (B§T C«-Si)<br />

y x<br />

Do ®ã A ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9.<br />

VËy A ≥ 9<br />

3.2 Ta cã:<br />

P( x) = x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 + 2008<br />

( )( )( )( )<br />

2 2<br />

( x x )( x x )<br />

= + 10 + 16 + 10 + 24 + 2008<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

2<br />

§Æt t = x + 10x + 21 ( t ≠ −3; t ≠ − 7) , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt<br />

l¹i:<br />

2<br />

P( x) = ( t − 5)( t + 3) + 2008 = t − 2t<br />

+ 1993<br />

Do ®ã khi chia t<br />

2 − 2t<br />

+ 1993 cho t ta cã sè d lµ 1993<br />

c<br />

a<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

b<br />

2<br />

0.5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,25<br />

0,5<br />

0,25<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

91<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

4 4,0<br />

4.1 + Hai tam gi¸c<br />

ADC vµ BEC cã:<br />

Gãc C chung.<br />

CD CA<br />

= (Hai<br />

CE CB<br />

tam gi¸c vu«ng<br />

CDE vµ CAB<br />

1,0<br />

®ång d¹ng)<br />

Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c).<br />

Suy ra: 0<br />

BEC = ADC = 135 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i<br />

H theo gi thiÕt).<br />

Nªn 0<br />

AEB = 45 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy<br />

ra: BE = AB 2 = m 2<br />

4.2<br />

BM 1 BE 1 AD<br />

Ta cã: = ⋅ = ⋅ (do ∆BEC ∼ ∆ADC<br />

)<br />

BC 2 BC 2 AC<br />

mµ AD = AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H)<br />

BM 1 AD 1 AH 2 BH BH<br />

nªn<br />

= ⋅ = ⋅ = = (do<br />

BC 2 AC 2 AC AB 2 BE<br />

∆ABH<br />

∼ ∆CBA)<br />

Do ®ã ∆BHM ∼ ∆BEC<br />

(c.g.c), suy ra:<br />

0 0<br />

BHM = BEC = 135 ⇒ AHM = 45<br />

4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n<br />

gi¸c gãc BAC.<br />

GB AB<br />

Suy<br />

ra:<br />

= , mµ<br />

GC AC<br />

AB = ED ( ∆ABC ∼ ∆ DEC ) = AH ( ED // AH ) =<br />

HD<br />

AC DC HC HC<br />

GB HD GB HD GB HD<br />

Do ®ã: = ⇒ = ⇒ =<br />

GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC<br />

®Ò SỐ 40<br />

®Ò bµi:<br />

Bµi 1( 6 ®iÓm): Cho biÓu thøc:<br />

2<br />

⎛ 2x − 3 2x − 8 3 ⎞ 21+ 2x − 8x<br />

P = ⎜<br />

+ − : 1<br />

2 2 ⎟<br />

+<br />

2<br />

⎝ 4x − 12x + 5 13x − 2x − 20 2x − 1 ⎠ 4x + 4x<br />

− 3<br />

a) Rót gän P<br />

1<br />

b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x =<br />

2<br />

c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.<br />

d) T×m x ®Ó P > 0.<br />

Bµi 2(3 ®iÓm):Gii ph¬ng tr×nh:<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

92<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

15 x<br />

1 1<br />

1 12<br />

⎛<br />

⎞<br />

− = ⎜ + ⎟<br />

x + 3 x − 4 ⎝ x + 4 3 x − 3 ⎠<br />

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x<br />

+ + + = 10<br />

25 23 21 19<br />

a) 2<br />

b)<br />

c) x − 2 + 3 = 5<br />

Bµi 3( 2 ®iÓm): Gii bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:<br />

Mét ngêi ®i xe g¾n m¸y tõ A ®Õn B dù ®Þnh mÊt 3 giê 20 phót. NÕu ngêi Êy t¨ng vËn<br />

tèc thªm 5 km/h th× sÏ ®Õn B sím h¬n 20 phót. TÝnh khong c¸ch AB vµ vËn tèc dù<br />

®Þnh ®i cña ngêi ®ã.<br />

Bµi 4 (7 ®iÓm):<br />

Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD. Trªn ®êng chÐo BD lÊy ®iÓm P, gäi M lµ ®iÓm ®èi xøng<br />

cña ®iÓm C qua P.<br />

a) Tø gi¸c AMDB lµ h×nh g×?<br />

b) Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm M lªn AB, AD. Chøng minh EF//AC<br />

vµ ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng.<br />

c) Chøng minh r»ng tØ sè c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt MEAF kh«ng phô thuéc vµo<br />

vÞ trÝ cña ®iÓm P.<br />

PD 9<br />

d) Gi sö CP ⊥ BD vµ CP = 2,4 cm,<br />

PB = . TÝnh c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt<br />

16<br />

ABCD.<br />

Bµi 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 2009 2008 + 2011 2010 chia hÕt cho 2010<br />

b) Cho x, y, z lµ c¸c sè lín h¬n hoÆc b»ng 1. Chøng minh r»ng:<br />

1 1 2<br />

+ ≥<br />

+ x + y + x y<br />

2 2<br />

1 1 1<br />

иp ¸n vµ biÓu ®iÓm<br />

Bµi 1: Ph©n tÝch:<br />

4x 2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)<br />

13x – 2x 2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)<br />

21 + 2x – 8x 2 = (3 + 2x)(7 – 4x)<br />

4x 2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5®<br />

§iÒu kiÖn:<br />

1 5 −3 7<br />

x ≠ ; x ≠ ; x ≠ ; x ≠ ; x ≠ 4<br />

0,5®<br />

2 2 2 4<br />

a) Rót gän P = 2 x − 3<br />

2 x − 5<br />

1 1<br />

b) x = ⇔ x = hoÆc x =<br />

2 2<br />

1<br />

+) x = ⇒ … P = 1 2 2<br />

−1<br />

2<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

2®<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

93<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

−1<br />

+) x = ⇒ …P = 2 2<br />

3<br />

c) P = 2 x − 3 2<br />

= 1+ 2 x − 5 x − 5<br />

Ta cã: 1∈<br />

Z<br />

2<br />

VËy P∈ Z khi ∈ Z<br />

x − 5<br />

⇒ x – 5 ∈ ¦ (2)<br />

Mµ ¦ (2) = { -2; -1; 1; 2}<br />

x – 5 = -2 ⇒ x = 3 (TM§K)<br />

x – 5 = -1 ⇒ x = 4 (KTM§K)<br />

x – 5 = 1 ⇒ x = 6 (TM§K)<br />

x – 5 = 2 ⇒ x = 7 (TM§K)<br />

KL: x∈ {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. 1®<br />

d) P = 2 x − 3 2<br />

= 1<br />

2 x − 5<br />

+ x − 5<br />

0,25®<br />

Ta cã: 1 > 0<br />

2<br />

§Ó P > 0 th× > 0 ⇒ x – 5 > 0 ⇔ x > 5 0,5®<br />

x − 5<br />

Víi x > 5 th× P > 0. 0,25<br />

Bµi 2:<br />

15 x<br />

1 1<br />

1 12<br />

⎛<br />

⎞<br />

− = ⎜ + ⎟<br />

x + 3 x − 4 ⎝ x + 4 3 x − 3 ⎠<br />

15x<br />

⎛ 1 1 ⎞<br />

⇔ − 1 = 12<br />

+<br />

( x + 4)( x − 1) ⎜ x + 4 3( x −1)<br />

⎟<br />

⎝<br />

⎠<br />

a) 2<br />

1®<br />

§K: x ≠ −4; x ≠ 1<br />

⇔ 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3. 12(x -1) + 12(x + 4)<br />

…<br />

⇔ 3x.(x + 4) = 0<br />

⇔ 3x = 0 hoÆc x + 4 = 0<br />

+) 3x = 0 => x = 0 (TM§K)<br />

+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTM§K)<br />

S = { 0} 1®<br />

b)<br />

148 − x 169 − x 186 − x 199 − x<br />

+ + + = 10<br />

25 23 21 19<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

⎛148 − x ⎞ ⎛169 − x ⎞ ⎛186 − x ⎞ ⎛199<br />

− x ⎞<br />

⇔ ⎜ − 1⎟ + ⎜ − 2⎟ + ⎜ − 3⎟ + ⎜ − 4⎟<br />

= 0<br />

⎝ 25 ⎠ ⎝ 23 ⎠ ⎝ 21 ⎠ ⎝ 19 ⎠<br />

⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />

⇔ (123 – x) ⎜ + + + ⎟<br />

⎝ 25 23 21 19 ⎠ = 0<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

94<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

⎛ 1 1 1 1 ⎞<br />

Do ⎜ + + + ⎟<br />

⎝ 25 23 21 19 ⎠ > 0<br />

Nªn 123 – x = 0 => x = 123<br />

S = {123} 1®<br />

c) x − 2 + 3 = 5<br />

Ta cã: x − 2 ≥ 0∀ x => x − 2 + 3 > 0<br />

nªn x − 2 + 3 = x − 2 + 3<br />

PT ®ưîc viÕt dưíi d¹ng:<br />

x − 2 + 3 = 5<br />

⇔ x − 2 = 5 – 3<br />

⇔ x − 2 = 2<br />

+) x - 2 = 2 => x = 4<br />

+) x - 2 = -2 => x = 0<br />

S = {0;4} 1®<br />

Bµi 3(2 ®)<br />

Gäi khong c¸ch gi÷a A vµ B lµ x (km) (x > 0) 0,25®<br />

VËn tèc dù ®Þnh cña ngêi ® xe g¾n m¸y lµ:<br />

x 3 x ( km / h)<br />

1<br />

3<br />

10<br />

3<br />

=<br />

(3 h 20 ’ = ( )<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

1<br />

3 h ) 0,25®<br />

3<br />

VËn tèc cña ngêi ®i xe g¾n m¸y khi t¨ng lªn 5 km/h lµ:<br />

3x<br />

+ 5 ( km / h)<br />

0,25®<br />

10<br />

Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh:<br />

⎛ 3x<br />

⎞<br />

⎜ + 5 ⎟.3<br />

= x<br />

⎝ 10 ⎠<br />

0,5®<br />

⇔ x =150 0,5®<br />

VËy khong c¸ch gi÷a A vµ B lµ 150 (km) 0,25®<br />

3.150<br />

VËn tèc dù ®Þnh lµ: = 45 ( km / h)<br />

10<br />

D<br />

C<br />

Bµi 4(7®)<br />

VÏ h×nh, ghi GT, KL ®óng<br />

P<br />

0,5®<br />

M<br />

O<br />

I F<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

E<br />

A<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

95<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

B<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

a) Gäi O lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD.<br />

PO lµ ®ưêng trung b×nh cña tsm gi¸c CAM.<br />

AM//PO<br />

⇒ tø gi¸c AMDB lµ h×nh thang. 1®<br />

b) Do AM //BD nªn gãc OBA = gãc MAE (®ång vÞ)<br />

Tam gi¸c AOB c©n ë O nªn gãc OBA = gãc OAB<br />

Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®ưêng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt AEMF th× tam gi¸c AIE c©n ë<br />

I nªn gãc IAE = gãc IEA.<br />

Tõ chøng minh trªn : cã gãc FEA = gãc OAB, do ®ã EF//AC (1) 1®<br />

MÆt kh¸c IP lµ ®ưêng trung b×nh cña tam gi¸c MAC nªn IP // AC (2)<br />

Tõ (1) vµ (2) suy ra ba ®iÓm E, F, P th¼ng hµng. 1®<br />

c) ∆MAF ∼ ∆DBA( g − g<br />

MF AD<br />

) nªn = kh«ng ®æi. (1®)<br />

FA AB<br />

PD 9<br />

d) NÕu<br />

PB = 16<br />

th× PD PB = = k ⇒ PD = 9 k , PB = 16 k<br />

9 16<br />

CP PB<br />

NÕu CP ⊥ BD th× ∆CBD ∼ ∆DCP ( g − g ) ⇒ = 1®<br />

PD CP<br />

do ®ã CP 2 = PB.PD<br />

hay (2,4) 2 = 9.16 k 2 => k = 0,2<br />

PD = 9k = 1,8(cm)<br />

PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d<br />

BD = 5 (cm)<br />

C/m BC 2 = BP.BD = 16 0,5®<br />

do ®ã BC = 4 (cm)<br />

CD = 3 (cm) 0,5®<br />

Bµi 5:<br />

a) Ta cã: 2009 2008 + 2011 2010 = (2009 2008 + 1) + ( 2011 2010 – 1)<br />

V× 2009 2008 + 1 = (2009 + 1)(2009 2007 - …)<br />

= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1)<br />

2011 2010 - 1 = ( 2011 – 1)(2011 2009 + …)<br />

= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1®<br />

Tõ (1) vµ (2) ta cã ®pcm.<br />

1 + 1 ≥<br />

2<br />

1 + x 1 + y 1 + x y<br />

b) 2 2<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

(1)<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

96<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞<br />

⇔ ⎜ − 0<br />

2 ⎟ + ⎜ −<br />

2 ⎟ ≥<br />

⎝1+ x 1+ xy ⎠ ⎝1+ y 1+<br />

xy ⎠<br />

x y x y x y<br />

⇔ + ≥ 0<br />

2 2<br />

1+ x 1+ xy 1+ y 1+<br />

xy<br />

⇔<br />

( − )<br />

( )( )<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

2<br />

( y − x) ( xy −1)<br />

2 2<br />

( 1+ x )( 1+ y )( 1+<br />

xy)<br />

( − )<br />

( )( )<br />

( )<br />

≥ 0 2<br />

V× x ≥1; y ≥ 1 => xy ≥ 1 => xy −1 ≥ 0<br />

=> B§T (2) ®óng => B§T (1) ®óng (dÊu ‘’=’’ xy ra khi x = y) 1®<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 41<br />

Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x 3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử<br />

b) Tìm giá trị nguyên của x để A ⋮ B biết<br />

A = 10x 2 – 7x – 5 và B = 2x – 3 .<br />

c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng<br />

x y 2( x − y)<br />

− + = 0<br />

3 3 2 2<br />

y −1 x − 1 x y + 3<br />

Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:<br />

a) (x 2 + x) 2 + 4(x 2 + x) = 12<br />

b)<br />

x+ 1 x + 2 x + 3 x+<br />

4 x+<br />

5 x + 6<br />

+ + = + +<br />

2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />

Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy<br />

F sao cho AE = CF<br />

a) Chứng minh ∆ EDF vuông cân<br />

b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF.<br />

Chứng minh O, C, I thẳng hàng.<br />

Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển<br />

trên AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:<br />

a/ DE có độ dài nhỏ nhất<br />

b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.<br />

H−íng dÉn chÊm vµ biÓu ®iÓm<br />

Bài 1: (3 điểm)<br />

a) ( 0,75đ) x 3 - 5x 2 + 8x - 4 = x 3 - 4x 2 + 4x – x 2 + 4x – 4<br />

(0,25đ)<br />

= x( x 2 – 4x + 4) – ( x 2 – 4x + 4) (0,25đ)<br />

= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 (0,25đ)<br />

2<br />

b) (0,75đ) Xét A 1 0 x 7 x − 5 7<br />

(0,25đ)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

= = 5 x + 4 +<br />

B 2 x − 3 2 x − 3<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

97<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

7<br />

Với x ∈ Z thì A ⋮ B khi ∈ Z ⇒ 7 ⋮ ( 2x – 3) (0,25đ)<br />

2x − 3<br />

Mà Ư(7) = { −1;1; − 7;7}<br />

⇒ x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A ⋮ B (0,25đ)<br />

c) (1,5đ) Biến đổi<br />

x y<br />

− = 4 4<br />

x − x − y + y<br />

3 3<br />

3 3<br />

y −1 x − 1<br />

x − y − (x − y)<br />

4 4<br />

=<br />

( )<br />

2 2<br />

xy(y + y + 1)(x + x + 1)<br />

2 2<br />

= ( )( )( )<br />

= ( )<br />

(y −1)(x −1)<br />

x − y x + y x + y − (x − y)<br />

2 2 2 2 2 2<br />

xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1)<br />

2 2<br />

x − y (x + y −1)<br />

2 2 2 2<br />

xy x y + xy(x + y) + x + y + xy + 2<br />

⎡⎣<br />

2 2<br />

x − y (x − x + y − y)<br />

= ( )<br />

2 2 2<br />

xy x y + (x + y) + 2<br />

⎡⎣<br />

x − y x( − y) + y( −x)<br />

= ( )[ ]<br />

=<br />

2 2<br />

xy(x y + 3)<br />

−2(x − y)<br />

2 2<br />

x y + 3<br />

⎤⎦<br />

( do x + y = 1⇒ y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)<br />

⎤⎦<br />

x − y x(x − 1) + y(y −1)<br />

= ( )[ ]<br />

x − y ( −2xy)<br />

= ( ) 2 2<br />

xy(x y + 3)<br />

2 2<br />

xy(x y + 3)<br />

Suy ra điều cần chứng minh<br />

(0,25đ)<br />

(0,25đ)<br />

(0,25đ)<br />

(0,25đ)<br />

(0,25đ)<br />

Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)<br />

(x 2 + x ) 2 + 4(x 2 + x) = 12 đặt y = x 2 + x<br />

y 2 + 4y - 12 = 0 ⇔ y 2 + 6y - 2y -12 = 0<br />

(0,25đ)<br />

⇔ (y + 6)(y - 2) = 0 ⇔ y = - 6; y = 2<br />

(0,25đ)<br />

* x 2 + x = - 6 vô nghiệm vì x 2 + x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)<br />

* x 2 + x = 2 ⇔ x 2 + x - 2 = 0 ⇔ x 2 + 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)<br />

⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ x = - 2; x = 1<br />

(0,25đ)<br />

Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1<br />

x + 1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6<br />

b) (1,75đ) + + = + +<br />

2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />

⇔ x + 1 x + 2 x + 3 x +<br />

( 1) ( 1) ( 1) ( 4 1) ( x + 5 1) ( x +<br />

+ + + + + = + + + + 6 + 1)<br />

2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />

⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009<br />

+ + = + +<br />

2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />

⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 0<br />

2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />

+ + − − − = (0,25đ)<br />

⇔ 1 1 1 1 1 1<br />

( + 2009)( + + − − − ) = 0<br />

2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />

< ;<br />

2008 2005<br />

x (0,5đ) Vì<br />

1 1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

1<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

1 1<br />

< ;<br />

2007 2004<br />

1 1<br />

<<br />

2006 2003<br />

Do đó : + + − − − < 0 (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = -<br />

2008 2007 2006 2005 2004 2003<br />

2009<br />

E<br />

2<br />

I<br />

1<br />

Bài 3: (2 điểm)<br />

1<br />

a) (1đ)<br />

B<br />

C<br />

2<br />

F<br />

Chứng minh ∆ EDF vuông cân<br />

Ta có ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c)⇒ ∆ EDF cân tại D<br />

Mặt khác: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ E ˆ ˆ<br />

1<br />

= F 2<br />

O<br />

A<br />

D<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

98<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Mà Eˆ 1<br />

+ Eˆ ˆ<br />

2<br />

+ F = 90 0 ⇒ Fˆ 1<br />

2<br />

+ Eˆ ˆ<br />

2<br />

+ F 1<br />

= 90 0<br />

⇒ EDF= 90 0 . Vậy ∆ EDF vuông cân<br />

b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng<br />

Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO là trung trực BD<br />

Mà ∆ EDF vuông cân ⇒ DI = 1 2 EF<br />

Tương tự BI = 1 B<br />

EF ⇒ DI = BI<br />

2<br />

⇒ I thuộc dường trung trực của DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO<br />

Hay O, C, I thẳng hàng<br />

D<br />

Bài 4: (2 điểm)<br />

A<br />

a) (1đ)<br />

DE có độ dài nhỏ nhất<br />

Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)<br />

Áp dụng định lý Pitago với ∆ ADE vuông tại A có:<br />

DE 2 = AD 2 + AE 2 = (a – x) 2 + x 2 = 2x 2 – 2ax + a 2 = 2(x 2 – ax) – a 2<br />

a<br />

= 2(x – 2<br />

2 2<br />

a<br />

4 )2 +<br />

2 ≥ a<br />

2<br />

Ta có DE nhỏ nhất ⇔ DE 2 nhỏ nhất ⇔ x = a 2<br />

⇔ BD = AE = a ⇔ D, E là trung điểm AB, AC<br />

2 (0,25đ)<br />

b) (1đ)<br />

Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.<br />

(0,25đ)<br />

(0,25đ)<br />

(0,25đ)<br />

Ta có: S ADE = 1 2 AD.AE = 1 2 AD.BD = 1 2 AD(AB – AD)= 1 2 (AD2 – AB.AD) (0,25đ)<br />

= – 1 2 (AD2 – 2 AB<br />

2 .AD + 2<br />

AB<br />

4 ) + 2<br />

AB<br />

= – 1 2<br />

AB AB<br />

(AD –<br />

8 2 4 )2 + ≤<br />

2<br />

2<br />

2<br />

AB AB<br />

Vậy S BDEC = S ABC – S ADE ≥ – = 3 2 8 8 AB2 không đổi<br />

(0,25đ)<br />

AB<br />

8<br />

Do đó min S BDEC = 3 8 AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC<br />

Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:<br />

a) x 2 – y 2 – 5x + 5y<br />

b) 2x 2 – 5x – 7<br />

Bµi 2: T×m ®a thøc A, biÕt r»ng:<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 42<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

2<br />

E<br />

(0,25đ)<br />

(0,25đ)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

C<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

99<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

2<br />

4x<br />

−16<br />

A<br />

=<br />

2<br />

x + 2 x<br />

5x<br />

+ 5<br />

Bµi 3: Cho ph©n thøc:<br />

2x<br />

2 + 2x<br />

a) T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc ®îc x¸c ®Þnh.<br />

b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó gi¸ trÞ cña ph©n thøc b»ng 1.<br />

x + 2 1 2<br />

Bµi 4: a) Gii ph¬ng tr×nh : − =<br />

x − 2 x x(<br />

x − 2)<br />

b) Gii bÊt ph¬ng tr×nh: (x-3)(x+3) < (x=2) 2 + 3<br />

Bµi 5: Gii bµi to¸n sau b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh:<br />

Mét tæ sn xuÊt lËp kÕ ho¹ch sn xuÊt, mçi ngµy sn xuÊt ®îc 50<br />

sn phÈm. Khi thùc hiÖn, mçi ngµy tæ ®ã sn xuÊt ®îc 57 sn phÈm. Do ®ã ®·<br />

hoµn thµnh tríc kÕ ho¹ch mét ngµy vµ cßn vît møc 13 sn phÈm. Hái theo kÕ<br />

ho¹ch tæ phi sn xuÊt bao nhiªu sn phÈm vµ thùc hiÖn trong bao nhiªu ngµy.<br />

Bµi 6: Cho ∆ ABC vu«ng t¹i A, cã AB = 15 cm, AC = 20 cm. KÎ ®êng cao AH vµ<br />

trung tuyÕn AM.<br />

a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA<br />

b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ?<br />

c) TÝnh diÖn tÝch ∆ AHM ?<br />

BiÓu ®iÓm - §¸p ¸n<br />

§¸p ¸n<br />

Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:<br />

a) x 2 – y 2 – 5x + 5y = (x 2 – y 2 ) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x<br />

– y)<br />

= (x - y) (x + y – 5) (1 ®iÓm)<br />

b) 2x 2 – 5x – 7 = 2x 2 + 2x – 7x – 7 = (2x 2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1)<br />

– 7(x + 1)<br />

= (x + 1)(2x – 7). (1 ®iÓm)<br />

Bµi 2: T×m A (1 ®iÓm)<br />

A =<br />

2<br />

2 2<br />

x(4x<br />

−16<br />

x[(2x)<br />

− 4 x(2x<br />

− 4)(2x<br />

+ 4) x.2(<br />

x − 2).2( x + 2)<br />

=<br />

=<br />

=<br />

= 4( x − 2) = 4x<br />

− 8<br />

2<br />

2<br />

x + 2x<br />

x + 2x<br />

x(<br />

x + 2)<br />

x(<br />

x + 2)<br />

Bµi 3: (2 ®iÓm)<br />

a) 2x 2 + 2x = 2x(x + 1) ≠ 0<br />

⇔ 2x ≠ 0 vµ x + 1 ≠ 0<br />

⇔ x ≠ 0 vµ x ≠ -1<br />

(1 ®iÓm)<br />

b) Rót gän:<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

BiÓu<br />

®iÓm<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

100<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

5x<br />

+ 5 5( x + 1) 5<br />

= =<br />

2<br />

2x<br />

+ 2x<br />

2x(<br />

x + 1) 2x<br />

5<br />

5<br />

= 1 ⇔ 5 = 2x<br />

⇔ x =<br />

2x<br />

2<br />

(0,5 ®iÓm)<br />

(0,25 ®iÓm)<br />

5<br />

V× tho m·n ®iÒu kiÖn cña hai tam gi¸c nªn x = (0,25 ®iÓm)<br />

2 2<br />

Bµi 4: a) §iÒu kiÖn x¸c ®Þnh: x ≠ 0; x ≠ 2<br />

x(x + 2) - (x - 2) 2<br />

- Gii:<br />

= ⇔ x 2 + 2x – x +2 = 2;<br />

x(<br />

x − 2) x(<br />

x − 2)<br />

⇔ x= 0 (lo¹i) hoÆc x = - 1. VËy S = { − 1}<br />

b) ⇔ x 2 – 9 < x 2 + 4x + 7<br />

⇔ x 2 – x 2 – 4x < 7 + 9 ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - 4<br />

VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x > - 4<br />

Bµi 5: – Gäi sè ngµy tæ dù ®Þnh sn xuÊt lµ : x ngµy<br />

§iÒu kiÖn: x nguyªn d¬ng vµ x > 1<br />

VËy sè ngµy tæ ®· thùc hiÖn lµ: x- 1 (ngµy)<br />

- Sè sn phÈm lµm theo kÕ ho¹ch lµ: 50x (sn phÈm)<br />

- Sè sn phÈm thùc hiÖn lµ: 57 (x-1) (sn phÈm)<br />

Theo ®Ò bµi ta cã ph¬ng tr×nh: 57 (x-1) - 50x = 13<br />

⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70<br />

⇔ x = 10 (tho m·n ®iÒu kiÖn) VËy: sè ngµy dù ®Þnh sn xuÊt lµ 10 ngµy.<br />

Sè sn phÈm phi sn xuÊt theo kÕ ho¹ch lµ: 50 . 10 = 500 (sn phÈm)<br />

Bµi 6: a) XÐt ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã:<br />

Gãc A = gãc H = 90 0 ; cã gãc B chung<br />

⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc. gãc)<br />

b) ¸p dông pitago trong ∆ vu«ng ABC<br />

2 2<br />

2 2<br />

ta cã : BC = AB + AC = 15 + 20 = 625 = 25 (cm)<br />

AB AC BC 15 20<br />

v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn = = hay = =<br />

HB HA BA HB HA<br />

20.05<br />

⇒ AH = = 12 (cm)<br />

25<br />

15.15<br />

BH = = 9 (cm)<br />

25<br />

HC = BC – BH = 25 – 9 = 16 (cm)<br />

BC 25<br />

c) HM = BM – BH = − BH = − 9 = 3,5( cm)<br />

2 2<br />

S AHM =<br />

2<br />

1 AH . HM =<br />

2<br />

1 . 12. 3,5 = 21 (cm 2 )<br />

- VÏ ®óng h×nh: A<br />

5<br />

25<br />

15<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1 ®<br />

1®<br />

0,5 ®<br />

0,5 ®<br />

0,5 ®<br />

0,5 ®<br />

1 ®<br />

1 ®<br />

1 ®<br />

1 ®<br />

1 ®<br />

1®<br />

1 ®<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

101<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

B H M C<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:<br />

a) x 2 – 4x + 4 = 25<br />

x −17<br />

x − 21 x + 1<br />

b) + + = 4<br />

1990 1986 1004<br />

c) 4 x – 12.2 x + 32 = 0<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

<strong>ĐỀ</strong> SỐ 43<br />

1 1 1<br />

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0 .<br />

x y z<br />

Tính giá trị của biểu thức: A yz xz xy<br />

= + +<br />

2<br />

2<br />

x + 2yz y + 2xz z<br />

2 + 2xy<br />

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm<br />

1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị<br />

vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số<br />

chính phương.<br />

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực<br />

HA' HB' HC'<br />

tâm. a) Tính tổng + +<br />

AA' BB' CC'<br />

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và<br />

góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.<br />

2<br />

(AB + BC + CA)<br />

c) Chứng minh rằng: ≥ 4<br />

2 2 2 .<br />

AA' + BB' + CC'<br />

ĐÁP ÁN <strong>ĐỀ</strong> <strong>THI</strong> CHỌN HỌC SINH GIỎI<br />

• Bài 1(3 điểm):<br />

a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )<br />

b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )<br />

c) 4 x – 12.2 x +32 = 0 ⇔ 2 x .2 x – 4.2 x – 8.2 x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )<br />

⇔ 2 x (2 x – 4) – 8(2 x – 4) = 0 ⇔ (2 x – 8)(2 x – 4) = 0 ( 0,25điểm )<br />

⇔ (2 x – 2 3 )(2 x –2 2 ) = 0 ⇔ 2 x –2 3 = 0 hoặc 2 x –2 2 = 0 ( 0,25điểm )<br />

⇔ 2 x = 2 3 hoặc 2 x = 2 2 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )<br />

• Bài 2(1,5 điểm):<br />

1 1 1 xy + yz + xz<br />

+ + = 0 ⇒ = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz<br />

x y z xyz<br />

( 0,25điểm )<br />

x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

102<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

yz<br />

xz<br />

xy<br />

Do đó: A = +<br />

+<br />

(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)<br />

( 0,25điểm<br />

)<br />

Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )<br />

• Bài 3(1,5 điểm):<br />

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d∈ N, 0 ≤ ,b,c,d ≤ 9,<br />

a ≠ 0<br />

a (0,25điểm)<br />

2<br />

Ta có: abcd = k<br />

2<br />

với k, m∈N, 31 < k < m < 100<br />

( a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m<br />

(0,25điểm)<br />

2<br />

abcd = k<br />

⇔<br />

2<br />

abcd + 1353=<br />

m<br />

(0,25điểm)<br />

Do đó: m 2 –k 2 = 1353<br />

⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )<br />

(0,25điểm)<br />

m+k = 123 m+k = 41<br />

⇒ m–k = 11 hoặc m–k = 33<br />

m = 67 m = 37<br />

⇔ k = 56 hoặc k = 4 (0,25điểm)<br />

Kết luận đúng abcd = 3136<br />

(0,25điểm)<br />

• Bài 4 (4 điểm):<br />

Vẽ hình đúng<br />

(0,25điểm)<br />

A<br />

1<br />

.HA'.BC<br />

S<br />

HA'<br />

C’<br />

HBC<br />

a) =<br />

2<br />

=<br />

1<br />

;<br />

B’<br />

x<br />

H<br />

SABC<br />

AA'<br />

N<br />

.AA'.BC<br />

M<br />

2<br />

I<br />

A’<br />

C<br />

(0,25điểm)<br />

B<br />

SHAB HC'<br />

Tương tự: =<br />

SHAC HB'<br />

D<br />

; =<br />

SABC<br />

CC' SABC<br />

BB'<br />

(0,25điểm)<br />

HA' HB' HC' SHBC<br />

SHAB<br />

SHAC<br />

+ + = + + = 1<br />

AA' BB' CC' SABC<br />

SABC<br />

SABC<br />

(0,25điểm)<br />

b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

103<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

BI AB AN AI CM IC<br />

= ; = ; =<br />

IC AC NB BI MA AI<br />

(0,5điểm )<br />

BI AN CM AB AI IC AB IC<br />

. . = . . = . = 1<br />

IC NB MA AC BI AI AC BI<br />

(0,5điểm )<br />

(0,5điểm )<br />

⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM<br />

c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx<br />

(0,25điểm)<br />

-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’<br />

(0,25điểm)<br />

- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD<br />

(0,25điểm)<br />

- ∆ BAD vuông tại A nên: AB 2 +AD 2 = BD 2<br />

⇒ AB 2 + AD 2 ≤ (BC+CD) 2<br />

(0,25điểm)<br />

AB 2 + 4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2<br />

4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2 – AB 2<br />

Tương tự: 4AA’ 2 ≤ (AB+AC) 2 – BC 2<br />

4BB’ 2 ≤ (AB+BC) 2 – AC 2<br />

(0,25điểm)<br />

-Chứng minh được : 4(AA’ 2 + BB’ 2 + CC’ 2 ) ≤ (AB+BC+AC) 2<br />

2<br />

(AB + BC + CA)<br />

⇔<br />

≥ 4<br />

2 2 2<br />

AA' + BB' + CC'<br />

(0,25điểm)<br />

(Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC<br />

⇔ ∆ ABC đều)<br />

§Ò SỐ 44<br />

C©u 1: (5®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó:<br />

a, A=n 3 -n 2 +n-1 lµ sè nguyªn tè.<br />

4 3 2<br />

n + 3n<br />

+ 2n<br />

+ 6n<br />

− 2<br />

b, B =<br />

Cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn.<br />

2<br />

n + 2<br />

c, D= n 5 -n+2 lµ sè chÝnh ph−¬ng. (n≥ 2)<br />

C©u 2: (5®iÓm) Chøng minh r»ng :<br />

a,<br />

a b c<br />

+ + = 1 biÕt abc=1<br />

ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1<br />

b, Víi a+b+c=0 th× a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+bc+ca) 2<br />

c,<br />

2 2 2<br />

a b c c b a<br />

b<br />

+ ≥ + +<br />

2 2<br />

c a<br />

b a c<br />

C©u 3: (5®iÓm) Gii c¸c ph−¬ng tr×nh sau:<br />

a,<br />

x − 214 x −132<br />

x − 54<br />

+ + = 6<br />

86 84 82<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

104<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

b, 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />

c, x 2 -y 2 +2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d−¬ng.<br />

C©u 4: (5®iÓm). Cho h×nh thang ABCD (AB//CD), 0 lµ giao ®iÓm hai ®−êng chÐo.Qua<br />

0 kÎ ®−êng th¼ng song song víi AB c¾t DA t¹i E,c¾t BCt¹i F.<br />

a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.<br />

1 1 2<br />

b. Chøng minh: + =<br />

AB CD EF<br />

c, Gäi Klµ ®iÓm bÊt k× thuéc OE. Nªu c¸ch dùng ®−êng th¼ng ®i qua Kvµ chia ®«i<br />

diÖn tÝch tam gi¸c DEF.<br />

C©u Néi dung bµi gii §iÓm<br />

C©u 1<br />

(5®iÓm)<br />

C©u 2<br />

(5®iÓm)<br />

a, (1®iÓm) A=n 3 -n 2 +n-1=(n 2 +1)(n-1)<br />

§Ó A lµ sè nguyªn tè th× n-1=1 ⇔ n=2 khi ®ã A=5<br />

2<br />

b, (2®iÓm) B=n 2 +3nn<br />

2<br />

+ 2<br />

B cã gi¸ trÞ nguyªn ⇔ 2⋮ n 2 +2<br />

n 2 +2 lµ −íc tù nhiªn cña 2<br />

n 2 +2=1 kh«ng cã gi¸ trÞ tho m·n<br />

HoÆc n 2 +2=2 ⇔ n=0 Víi n=0 th× B cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />

c, (2®iÓm) D=n 5 -n+2=n(n 4 -1)+2=n(n+1)(n-1)(n 2 +1)+2<br />

2<br />

=n(n-1)(n+1) [( n − 4)<br />

+ 5]<br />

+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-<br />

1)(n+1)+2<br />

Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2⋮5 (tich 5sè tù nhiªn liªn tiÕp)<br />

Vµ 5 n(n-1)(n+1⋮5 VËy D chia 5 d− 2<br />

Do ®ã sè D cã tËn cïng lµ 2 hoÆc 7nªn D kh«ng phi sè chÝnh<br />

ph−¬ng<br />

VËy kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña n ®Ó D lµ sè chÝnh ph−¬ng<br />

a, (1®iÓm)<br />

a b c ac<br />

abc<br />

c<br />

+ + =<br />

+<br />

+<br />

2<br />

ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + 1<br />

ac abc c abc + ac + 1<br />

= + + =<br />

= 1<br />

1+ ac + c c + 1+<br />

ac ac + c + 1 abc + ac + 1<br />

b, (2®iÓm) a+b+c=0⇒ a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a 2 +b 2 +c 2 = -<br />

2(ab+ac+bc)<br />

⇒ a 4 +b 4 +c 4 +2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )=4( a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+8abc(a+b+c) V×<br />

a+b+c=0<br />

⇒ a 4 +b 4 +c 4 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (1)<br />

MÆt kh¸c 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 )+4abc(a+b+c) . V×<br />

a+b+c=0<br />

⇒ 2(ab+ac+bc) 2 =2(a 2 b 2 +a 2 c 2 +b 2 c 2 ) (2)<br />

Tõ (1)vµ(2) ⇒ a 4 +b 4 +c 4 =2(ab+ac+bc) 2<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0.5<br />

0.5<br />

0.5<br />

0.5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

105<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

C©u 3<br />

(5®iÓm)<br />

c, (2®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x 2 +y 2 ≥ 2xy DÊu b»ng khi<br />

x=y<br />

2 2<br />

2 2<br />

a b a b a a c a c c<br />

+ ≥ 2. . = 2. ; + ≥ 2. . = 2. ;<br />

2 2<br />

2 2<br />

b c b c c b a b a b<br />

2 2<br />

c b c b b<br />

+ ≥ 2. . = 2.<br />

2 2<br />

a c a c a<br />

Céng tõng vÕ ba bÊt ®¼ng thøc trªn ta cã:<br />

2 2 2<br />

a b c a c b<br />

2(<br />

+ + ) ≥ 2( + + )<br />

2 2 2<br />

b c a c b a<br />

2 2 2<br />

a b c a c b<br />

⇒ + + ≥ + +<br />

2 2 2<br />

b c a c b a<br />

x − 214 x −132<br />

x − 54<br />

a, (2®iÓm) + + = 6<br />

86 84 82<br />

x − 214 x −132<br />

x − 54<br />

⇔ ( −1)<br />

+ ( − 2) + ( − 3) = 0<br />

86<br />

84 82<br />

x − 300 x − 300 x − 300<br />

⇔ + + = 0<br />

86 84 82<br />

⎛ 1 1 1 ⎞<br />

⇔ (x-300) ⎜ + + ⎟ = 0 ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 VËy S ={ 300 }<br />

⎝ 86 84 82 ⎠<br />

b, (2®iÓm) 2x(8x-1) 2 (4x-1)=9<br />

⇔ (64x 2 -16x+1)(8x 2 -2x)=9 ⇔ (64x 2 -16x+1)(64x 2 -16x) = 72<br />

§Æt: 64x 2 -16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k 2 =72,25<br />

⇔ k=… 8,5<br />

Víi k=8,5 tacã ph−¬ng tr×nh: 64x 2 -16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒<br />

x=<br />

1 1<br />

; x =<br />

−<br />

2 4<br />

Víi k=- 8,5 Ta cã ph−¬ng tr×nh: 64x 2 -16x+9=0 ⇔ (8x-1) 2 +8=0 v«<br />

nghiÖm.<br />

⎧1<br />

−1⎫<br />

VËy S = ⎨ , ⎬<br />

⎩2<br />

4 ⎭<br />

c, (1®iÓm) x 2 -y 2 +2x-4y-10 = 0 ⇔ (x 2 +2x+1)-(y 2 +4y+4)-7=0<br />

⇔ (x+1) 2 -(y+2) 2 =7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 V× x,y nguyªn<br />

d−¬ng<br />

Nªn x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 vµ x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1<br />

Ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm d−¬ng duy nhÊt (x,y)=(3;1)<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

1,0<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

106<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

a,(1®iÓm) V× AB//CD ⇒ S DAB=S CBA A<br />

(cïng ®¸y vµ cïng ®−êng cao)<br />

⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB<br />

E<br />

Hay SAOD = SBOC<br />

K<br />

I<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

O<br />

B<br />

F<br />

0,5<br />

0,5<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

C©u 4<br />

(5®iÓm)<br />

EO AO<br />

b, (2®iÓm) V× EO//DC ⇒ = MÆt kh¸c AB//DC<br />

DC AC<br />

AB AO AB AO AB AO EO AB<br />

⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =<br />

DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC<br />

EF AB AB + DC 2 1 1 2<br />

⇒ = ⇒ = ⇒ + =<br />

2DC<br />

AB + DC AB.<br />

DC EF DC AB EF<br />

c, (2®iÓm) +Dùng trung tuyÕn EM ,+ Dùng EN//MK (N∈DF) +KÎ<br />

®−êng th¼ng KN lµ ®−êng th¼ng phi dùng<br />

Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gäi giao cña EM vµ KN lµ I th×<br />

SIKE=SIMN<br />

(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN.<br />

<strong>ĐỀ</strong> <strong>THI</strong> SỐ 45<br />

Bµi 1: (1.5®) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö<br />

a) x 2 – xz – 9y 2 + 3yz.<br />

b) 4x 4 + 4x 3 – x 2 - x.<br />

Bµi 2: (2.5®) Cho biÓu thøc.<br />

P = (<br />

x<br />

3<br />

x<br />

2<br />

+ 3x<br />

a) Rót gän P.<br />

+ 3x<br />

3 1<br />

+ ): ( -<br />

+ 9x<br />

+ 27 x 2 + 9 x − 3 x<br />

2<br />

3<br />

6x<br />

)<br />

2<br />

− 3x<br />

+ 9x<br />

− 27<br />

b) Víi x > 0 th× P kh«ng nhËn nh÷ng gi¸ trÞ nµo?<br />

c) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn.<br />

Bµi 3: (1.5®) Gii ph¬ng tr×nh.<br />

a) x 3 – 3x 2 + 4 = 0<br />

b)<br />

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 31<br />

⎜1 + ⎟ . ⎜1<br />

+ ⎟ ⎜1<br />

+ ⎟...<br />

1 =<br />

1.3 2.4 3.5<br />

⎜ +<br />

( 2)<br />

⎟<br />

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛<br />

⎝ ⎠ ⎝ x x + ⎠ 16<br />

Bµi 4: (1®) Gii ph¬ng tr×nh.<br />

Cho 3 sè a, b, c lµ 3 sè d¬ng nhá h¬n 2.<br />

D<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Chøng minh r»ng 3 sè a(2 - b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ ®ång thêi lín h¬n 1.<br />

N<br />

M<br />

C<br />

0,5<br />

1,0<br />

0,5<br />

1,0<br />

1,0<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

107<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

Bµi 5: (3.5®)<br />

Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, gäi M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn c¹nh AC, tõ C vÏ ®-<br />

êng th¼ng vu«ng gãc víi tia BM t¹i H, c¾t tia BA t¹i O.<br />

Chøng minh r»ng:<br />

a) OA.OB = OC.OH<br />

b) OHA cã sè ®o kh«ng ®æi.<br />

c) Tæng BM.BH + CM.CA kh«ng ®æi.<br />

Bµi 1: (1.5®)<br />

C©u a: (0.57®)<br />

BiÓu ®iÓm vµ ®¸p ¸n to¸n 8<br />

= (x 2 - 9y 2 ) – (xz - 3yz) 0.25®<br />

= (x - 3y)(x + 3y) – z(x - 3y) 0.25®<br />

= (x - 3y)(x + 3y - z) 0.25®<br />

C©u b: (0.75®)<br />

= x(4x 3 + 4x 2 – x – 1) 0.25®<br />

[ ]<br />

= x 4x<br />

2 ( x + 1) − ( x + 1)<br />

0.25®<br />

= x(x + 1)(4x 2 - 1) = x(x + 1)(2x - 1)(2x + 1) 0.25®<br />

Bµi 2: (2.5®)<br />

C©u a: 1®<br />

P =<br />

⎡<br />

⎢<br />

⎣(<br />

x<br />

2<br />

=<br />

=<br />

=<br />

x(<br />

x + 3)<br />

+<br />

+ 9)( x + 3) x<br />

x + 3<br />

:<br />

2<br />

x + 9<br />

x + 3<br />

.<br />

2<br />

x + 9<br />

x + 3<br />

x − 3<br />

C©u b: (0.75®)<br />

P =<br />

x + 3<br />

⇔<br />

x − 3<br />

x<br />

2<br />

2<br />

3 ⎤ ⎡ 1 6x<br />

⎤<br />

⎥ : ⎢ −<br />

2 ⎥<br />

+ 9 ⎦ ⎣ x − 3 ( x − 3)( x + 9)<br />

⎦<br />

+ 9 − 6x<br />

2<br />

( x − 3)( x + 9)<br />

2<br />

( x − 3)( x + 9)<br />

( x − 3) 2<br />

0.25®<br />

0.25®<br />

0.25®<br />

0.25®<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Px - 3P = x + 3 0.25®<br />

(P – 1)x = 3(P + 1)<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

108<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

3 P + 1<br />

x =<br />

P −1<br />

Ta cã: x > 0 ⇔<br />

⎡⎧P<br />

+ 1 > 0<br />

⎢⎨<br />

⎢⎩P<br />

−1<br />

> 0 ⎡P<br />

> 1<br />

⇒ ⇒<br />

⎢<br />

⎢<br />

⎧P<br />

+ 1 < 0 ⎣P<br />

< 1<br />

⎢⎨<br />

⎢⎣<br />

⎩P<br />

−1<br />

< 0<br />

( P + 1)<br />

3<br />

x =<br />

P −1<br />

( )<br />

P + 1<br />

> 0 ⇒ > 0<br />

P −1<br />

VËy kh«ng nhËn gi¸ trÞ tõ -1 ®Õn 1. 0.25®<br />

C©u c: 0.75® §KX§: x ≠ ± 3<br />

x + 3 x − 3 + 6 6<br />

P = = = 1+<br />

x − 3 x − 3 x − 3<br />

P nhËn gi¸ trÞ nguyªn ⇔ x - 30∈¦ (6) = { ± 1 ; ± 2; ± 3; ± 6}<br />

Tõ ®ã t×m ®îc x { 4;2;5;1;6;0;9;<br />

−3}<br />

0.25®<br />

∈ 0.25®<br />

KÕt hîp víi §/C x ≠ ± 3; x ∈ z ta ®îc.<br />

x ∈ { 4;2;5;1;6;0;9 }<br />

0.25®<br />

VËy x { 4;2;5;1;6;0;9 }<br />

∈ th× P nguyªn.<br />

Bµi 3: Gii ph¬ng tr×nh (1.5®)<br />

C©u a: (0.75®)<br />

- §a ®îc vÒ d¹ng tÝch: (x + 1)(x - 2) 2 = 0 0.50®<br />

⎡ x = 1<br />

⇒ ⎢<br />

⎣ x = 2<br />

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 1; x = 2 0.25®<br />

C©u b: (0.75®) §K: x∈N *n<br />

- §a vÒ d¹ng<br />

2 2 2<br />

2<br />

2 3 4 ( x + 1) 31<br />

. . ... =<br />

1.3 2.4 3.5 x(<br />

x + 2) 16<br />

2( x + 1) 31<br />

⇔ = x + 2 16<br />

Tõ ®ã ⇒ t×m ®îc x = 30 (t/m x∈N * )<br />

0.25®<br />

0.25®<br />

VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x = 30 0.25®<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Bµi 4: (1®)<br />

Gi sö a(2 – b) > 1; b.(2 – c) >1; C(2 – a) > 1<br />

⇒ abc (2 – b)(2 – c)(2 – a) > 1 (1) 0.25®<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

109<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

v× 0 < a < 2 nªn 2 – a > 0.<br />

Do a + (2 – a) = 2 kh«ng ®æi, suy ra a(2 – a) lín nhÊt.<br />

⇔ a = 2 – a ⇔ a = 1<br />

T¬ng tù b(2 – b) lín nhÊt ⇔ b = 1<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

c(2 – c) lín nhÊt ⇔ c = 1<br />

VËy a (2 - a). b(2 – b). c(2 – c) ≤ 1.1.1 = 1 (2)<br />

DÊu “=” xy ra khi vµ chØ khi a = b = c =1 0.25®<br />

(1) vµ (2) m©u thuÈn nhau.<br />

Do ®ã 3 sè a(2 – b); b(2 – c); c(2 – a) kh«ng thÓ<br />

®ång thêi lín h¬n 1 0.25®<br />

Bµi 5: (3.5®)<br />

C©u a: (1®)<br />

Chøng minh: ∆ B0H ∆ C0A (g.g) 0.5®<br />

0B<br />

0H<br />

⇒ = ⇔ 0A.0B = 0C.0H 0.25®<br />

0C<br />

0 A<br />

C©u b: (1.25®)<br />

0B<br />

0H<br />

= (suy ra tõ ∆ B0H ∆ C0A)<br />

0C<br />

0A<br />

0A<br />

0H<br />

⇒ =<br />

0.25®<br />

0C<br />

0B<br />

- Chøng minh ∆ 0HA ∆ 0BC (c.g.c) 0.25®<br />

⇒ OHA = OBC (kh«ng ®æi)<br />

C©u c: (1.25®)<br />

VÏ MK ⊥ BC<br />

- ∆ BKM ∆ BHC (g.g)<br />

O<br />

H<br />

BM ⇒ =<br />

BC<br />

BK<br />

BH<br />

⇒ BM.BH = BC.BK (1) 0.5®<br />

∆ CKM ∆ CAB (g.g) 0.25®<br />

C<br />

M<br />

A<br />

K<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

110<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

B<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

CM CK<br />

⇒ = ⇒ CM.CA = BC.CK<br />

CB CA<br />

(2) 0.25®<br />

- Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc:<br />

- BM . BH + CM . CA = BC . BK + BC . CK<br />

Câu 1: (4,0 điểm)<br />

= BC . (BK + CK) = BC 2 (kh«ng ®æi) 0.25®<br />

<strong>ĐỀ</strong> <strong>THI</strong> SỐ 46<br />

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :<br />

Câu 2: (5,0 điểm)<br />

a) 3x 2 – 7x + 2; b) a(x 2 + 1) – x(a 2 + 1).<br />

Cho biểu thức :<br />

A<br />

2 2<br />

2 + x 4 x 2 − x x − 3 x<br />

= ( − − ) : ( )<br />

2 2 3<br />

2 − x x − 4 2 + x 2 x − x<br />

d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?<br />

e) Tìm giá trị của x để A > 0?<br />

f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.<br />

Câu 3: (5,0 điểm)<br />

c) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :<br />

9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.<br />

x y z a b c<br />

d) Cho + + = 1 và + + = 0 . Chứng minh rằng :<br />

a b c x y z<br />

Câu 4: (6,0 điểm)<br />

2 2 2<br />

x y z<br />

+ + = 1.<br />

2 2 2<br />

a b c<br />

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F<br />

lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình<br />

chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.<br />

d) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?<br />

e) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK<br />

f) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC 2 .<br />

HƯỚNG DẪN CHẤM <strong>THI</strong><br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Bài 1<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Nội dung đáp án<br />

Điểm<br />

111<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

a 2,0<br />

3x 2 – 7x + 2 = 3x 2 – 6x – x + 2 = 1,0<br />

= 3x(x -2) – (x - 2) 0,5<br />

= (x - 2)(3x - 1). 0,5<br />

b 2,0<br />

a(x 2 + 1) – x(a 2 + 1) = ax 2 + a – a 2 x – x = 1,0<br />

= ax(x - a) – (x - a) = 0,5<br />

= (x - a)(ax - 1). 0,5<br />

Bài 2: 5,0<br />

a 3,0<br />

ĐKXĐ :<br />

⎧2 − x ≠ 0<br />

⎪ 2<br />

x − 4 ≠ 0 ⎧x<br />

≠ 0<br />

⎪<br />

⎪<br />

1,0<br />

⎨2 + x ≠ 0 ⇔ ⎨x<br />

≠ ± 2<br />

⎪ 2<br />

x 3x<br />

0<br />

⎪x<br />

≠ 3<br />

⎪<br />

− ≠ ⎩<br />

2 3<br />

⎩<br />

⎪2x<br />

− x ≠ 0<br />

2 2 2 2 2 2<br />

2 + x 4x 2 − x x − 3 x (2 + x) + 4 x − (2 − x) x (2 − x)<br />

A = ( − − ) : ( ) = . =<br />

2 2 3<br />

1,0<br />

2 − x x − 4 2 + x 2 x − x (2 − x)(2 + x) x( x − 3)<br />

2<br />

4x 8 x x(2 x)<br />

+ −<br />

.<br />

(2 − x)(2 + x) x − 3<br />

2<br />

4 x( x + 2) x(2 − x) 4x<br />

= =<br />

(2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 3<br />

2<br />

4x<br />

Vậy với x ≠ 0, x ≠ ± 2, x ≠ 3 thì A = . x − 3<br />

0,25<br />

b 1,0<br />

2<br />

4x<br />

Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ± 2 : A > 0 ⇔ > 0<br />

x − 3<br />

0,25<br />

⇔ x − 3 > 0<br />

0,25<br />

⇔ x > 3( TMDKXD)<br />

0,25<br />

Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25<br />

c 1,0<br />

⎡x<br />

− 7 = 4<br />

x − 7 = 4 ⇔ ⎢<br />

⎣x<br />

− 7 = − 4<br />

0,5<br />

⎡x<br />

= 11( TMDKXD)<br />

⇔ ⎢<br />

⎣x<br />

= 3( KTMDKXD)<br />

0,25<br />

Với x = 11 thì A = 121<br />

2<br />

0,25<br />

Bài 3 5,0<br />

a 2,5<br />

9x 2 + y 2 + 2z 2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0<br />

⇔ (9x 2 – 18x + 9) + (y 2 – 6y + 9) + 2(z 2 + 2z + 1) = 0 1,0<br />

⇔ 9(x - 1) 2 + (y - 3) 2 + 2 (z + 1) 2 = 0 (*) 0,5<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

=<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

0,5<br />

0,25<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

112<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

2 2 2<br />

Do : ( x −1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ 0<br />

0,5<br />

Nên : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 0,25<br />

Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25<br />

b 2,5<br />

a b c ayz+bxz+cxy<br />

Từ : + + = 0 ⇔ = 0<br />

x y z xyz<br />

0,5<br />

⇔ ayz + bxz + cxy = 0 0,25<br />

Ta có :<br />

x y z x y z 2<br />

+ + = 1 ⇔ ( + + ) = 1<br />

a b c a b c<br />

0,5<br />

2 2 2<br />

x y z xy xz yz<br />

⇔ + + + 2( + + ) = 1<br />

2 2 2<br />

a b c ab ac bc<br />

0,5<br />

2 2 2<br />

x y z cxy + bxz + ayz<br />

⇔ + + + 2 = 1<br />

2 2 2<br />

a b c abc<br />

0,5<br />

2 2 2<br />

x y z<br />

⇔ + + = 1( dfcm)<br />

2 2 2<br />

a b c<br />

0,25<br />

Bài 4 6,0<br />

A<br />

E<br />

H<br />

B<br />

0,25<br />

O<br />

a 2,0<br />

Ta có : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF 0,5<br />

Chứng minh : ∆ BEO = ∆DFO( g − c − g)<br />

0,5<br />

=> BE = DF 0,25<br />

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25<br />

b 2,0<br />

Ta có: ABC = ADC ⇒ HBC = KDC <br />

0,5<br />

Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g)<br />

1,0<br />

⇒ CH CK<br />

CH. CD CK.<br />

CB<br />

CB<br />

CD<br />

0,5<br />

b, 1,75<br />

Chứng minh : ∆AF D ∼ ∆AKC( g − g)<br />

0,25<br />

⇒ AF AK<br />

AD. AK A F.<br />

AC<br />

AD<br />

AC<br />

0,25<br />

Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC( g − g)<br />

0,25<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

F<br />

D<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

C<br />

K<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

113<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

⇒ CF AH<br />

CD<br />

AC<br />

0,25<br />

Mà : CD = AB CF AH<br />

AB. AH CF.<br />

AC<br />

AB<br />

AC<br />

0,5<br />

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC 2<br />

(đfcm).<br />

0,25<br />

Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:<br />

a) x 2 – 4x + 4 = 25<br />

x −17<br />

x − 21 x + 1<br />

b) + + = 4<br />

1990 1986 1004<br />

c) 4 x – 12.2 x + 32 = 0<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

<strong>ĐỀ</strong> <strong>THI</strong> SỐ 47<br />

1 1 1<br />

Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0 .<br />

x y z<br />

Tính giá trị của biểu thức: A yz xz xy<br />

= + +<br />

2<br />

2<br />

x + 2yz y + 2xz z<br />

2 + 2xy<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm<br />

1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị<br />

vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số<br />

chính phương.<br />

Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực<br />

HA' HB' HC'<br />

tâm. a) Tính tổng + +<br />

AA' BB' CC'<br />

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và<br />

góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.<br />

2<br />

(AB + BC + CA)<br />

c) Chứng minh rằng: ≥ 4<br />

2 2 2 .<br />

AA' + BB' + CC'<br />

ĐÁP ÁN <strong>ĐỀ</strong> <strong>THI</strong> CHỌN HỌC SINH GIỎI<br />

• Bài 1(3 điểm):<br />

a) Tính đúng x = 7; x = -3 ( 1 điểm )<br />

b) Tính đúng x = 2007 ( 1 điểm )<br />

c) 4 x – 12.2 x +32 = 0 ⇔ 2 x .2 x – 4.2 x – 8.2 x + 4.8 = 0 ( 0,25điểm )<br />

⇔ 2 x (2 x – 4) – 8(2 x – 4) = 0 ⇔ (2 x – 8)(2 x – 4) = 0 ( 0,25điểm )<br />

⇔ (2 x – 2 3 )(2 x –2 2 ) = 0 ⇔ 2 x –2 3 = 0 hoặc 2 x –2 2 = 0 ( 0,25điểm )<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

114<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

⇔ 2 x = 2 3 hoặc 2 x = 2 2 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )<br />

• Bài 2(1,5 điểm):<br />

1 1 1 xy + yz + xz<br />

+ + = 0 ⇒ = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz<br />

x y z xyz<br />

( 0,25điểm )<br />

x 2 +2yz = x 2 +yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )<br />

Tương tự: y 2 +2xz = (y–x)(y–z) ; z 2 +2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )<br />

yz<br />

xz<br />

xy<br />

Do đó: A = +<br />

+<br />

(x − y)(x − z) (y − x)(y − z) (z − x)(z − y)<br />

( 0,25điểm )<br />

Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm )<br />

• Bài 3(1,5 điểm):<br />

0 ≤ a ≤ ≠ (0,25điểm)<br />

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d∈ N, ,b,c,d 9,<br />

a 0<br />

2<br />

Ta có: abcd = k<br />

2<br />

với k, m∈N, 31 < k < m < 100<br />

( a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m<br />

(0,25điểm)<br />

2<br />

abcd = k<br />

⇔<br />

2<br />

abcd + 1353=<br />

m<br />

(0,25điểm)<br />

Do đó: m 2 –k 2 = 1353<br />

⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )<br />

(0,25điểm)<br />

m+k = 123 hoặc m+k = 41<br />

⇒ m–k = 11 m–k = 33<br />

m = 67<br />

hoặc<br />

m = 37<br />

⇔ k = 56 k = 4 (0,25điểm)<br />

Kết luận đúng abcd = 3136<br />

(0,25điểm)<br />

• Bài 4 (4 điểm):<br />

Vẽ hình đúng<br />

(0,25điểm)<br />

1<br />

.HA'.BC<br />

SHBC<br />

HA'<br />

a) =<br />

2<br />

=<br />

S 1<br />

;<br />

ABC<br />

AA'<br />

.AA'.BC<br />

2<br />

(0,25điểm)<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

115<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

SHAB HC'<br />

Tương tự: =<br />

SHAC HB'<br />

; =<br />

SABC<br />

CC' SABC<br />

BB'<br />

(0,25điểm)<br />

HA' HB' HC' SHBC<br />

SHAB<br />

SHAC<br />

+ + = + + = 1<br />

AA' BB' CC' SABC<br />

SABC<br />

SABC<br />

(0,25điểm)<br />

b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:<br />

BI AB AN AI CM IC<br />

= ; = ; =<br />

IC AC NB BI MA AI<br />

(0,5điểm )<br />

BI AN CM AB AI IC AB IC<br />

. . = . . = . = 1<br />

IC NB MA AC BI AI AC BI<br />

(0,5…i…m )<br />

(0,5…i…m )<br />

⇒ BI.AN.CM = BN.IC.AM<br />

c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx<br />

(0,25điểm)<br />

-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’<br />

(0,25điểm)<br />

- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD<br />

(0,25điểm)<br />

- ∆ BAD vuông tại A nên: AB 2 +AD 2 = BD 2<br />

⇒ AB 2 + AD 2 ≤ (BC+CD) 2<br />

(0,25điểm)<br />

AB 2 + 4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2<br />

4CC’ 2 ≤ (BC+AC) 2 – AB 2<br />

Tương tự: 4AA’ 2 ≤ (AB+AC) 2 – BC 2<br />

4BB’ 2 ≤ (AB+BC) 2 – AC 2<br />

(0,25điểm)<br />

-Chứng minh được : 4(AA’ 2 + BB’ 2 + CC’ 2 ) ≤ (AB+BC+AC) 2<br />

2<br />

(AB + BC + CA)<br />

⇔<br />

≥ 4<br />

2 2 2<br />

AA' + BB' + CC'<br />

(0,25điểm)<br />

(Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ AB = AC =BC<br />

⇔ ∆ ABC đều)<br />

A<br />

B<br />

N<br />

*Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu<br />

đó.<br />

C’<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

I<br />

H<br />

A’<br />

B’<br />

M<br />

C<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

x<br />

D<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

116<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

<strong>ĐỀ</strong> <strong>THI</strong> SỐ 48<br />

Bµi 1: (6 ®iÓm)<br />

Gii c¸c ph−¬ng tr×nh sau:<br />

a, 2(x + 5) - x 2 - 5x = 0<br />

1 2x<br />

− 3<br />

b, + 2 =<br />

x −1 1−<br />

x<br />

c, |x - 4| + |x - 9| = 5<br />

Bµi 2: (4 ®iÓm)<br />

x − 1 x + 1<br />

Gii bÊt ph−¬ng tr×nh x + < − ( m − 2) x víi m lµ h»ng sè.<br />

m m<br />

Bµi 3: (3 ®iÓm)<br />

Hai c¹nh cña mét h×nh b×nh hµnh cã ®é dµi lµ 6cm vµ 8cm. Mét trong c¸c ®−êng cao<br />

cã ®é dµi lµ 5cm. TÝnh ®é dµi ®−êng cao thø hai.<br />

Bµi 4: (3 ®iÓm)<br />

Mét vßi n−íc chy vµo mét bÓ kh«ng cã n−íc. Cïng lóc ®ã mét vßi n−íc kh¸c<br />

chy tõ bÓ ra. Mçi giê l−îng n−íc chy ra b»ng 4 5<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

l−îng n−íc chy vµo. Sau 5 giê<br />

n−íc trong bÓ ®¹t tíi 1 dung tÝch bÓ. Hái nÕu bÓ kh«ng cã n−íc mµ chØ më vßi chy<br />

8<br />

vµo th× bao l©u bÓ ®Çy?<br />

Bµi 5: (4 ®iÓm)<br />

Cho tam gi¸c ABC cã A = 2B . Gäi BC = a, AC = b, AB = c. Chøng minh hÖ thøc a 2 =<br />

b 2 + bc.<br />

ĐÁP ÁN<br />

Bµi S¬ l−îc lêi gii §iÓm<br />

Bµi 1<br />

(6<br />

®iÓm)<br />

a, §−a vÒ ph−¬ng tr×nh tÝch.<br />

Gii ®−îc x = -5 hoÆc x = 2<br />

b, §KX§: x ≠ 1.<br />

1 3 − 2x<br />

Víi x ≠ 1 ta cã + 2 = ⇔ 1+ 2( x − 1) = 3 − 2x ⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1<br />

x −1 x −1<br />

Ta thÊy x = 1 kh«ng tháa m·n §KX§. VËy ph−¬ng tr×nh v«<br />

nghiÖm.<br />

1<br />

1<br />

0,5<br />

1<br />

0,5<br />

⎧x − 4 víi x ≥ 4<br />

c, NhËn xÐt |x - 4| = ⎨<br />

⎩4 − x víi x < 4 vµ |x - 9| = ⎧x − 9 víi x ≥ 9<br />

⎨<br />

⎩9 − x víi x < 9<br />

- Víi x < 4 ta cã |x - 4| = 4 - x; |x - 9| = 9 - x nªn ph−¬ng tr×nh cã 0,5<br />

d¹ng<br />

4 - x + 9 - x = 5 -2x = -8 x = 4 (kh«ng tháa m·n)<br />

- Víi 4 ≤ x < 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = 9 - x nªn ph−¬ng<br />

tr×nh cã d¹ng x - 4 + 9 - x = 5 5 = 5 (lu«n ®óng)<br />

- Víi x ≥ 9 ta cã |x - 4| = x - 4 ; |x - 9| = x - 9 nªn ph−¬ng tr×nh cã<br />

d¹ng<br />

0,5<br />

0,5<br />

0,5<br />

x - 4 + x - 9 = 5 2x = 18 x =9 (tháa m·n)<br />

x | 4 ≤ x ≤ 9<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Bµi 2<br />

(4<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

VËy tËp nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh lµ S = { }<br />

x − 1 x + 1 2<br />

x + < − ( m − 2) x ⇔ ( m − 1) x < (1)<br />

m m m<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

117<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

1<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

0,5<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

®iÓm)<br />

2<br />

- NÕu m < 1 vµ m ≠ 0 th× m - 1 < 0. Khi ®ã (1) ⇔ x ><br />

m( m −1)<br />

0,5<br />

2<br />

- NÕu m > 1 th× m - 1 > 0. Khi ®ã (1) ⇔ x <<br />

m( m −1)<br />

0,5<br />

- NÕu m = 1 th× m - 1 = 0. Khi ®ã (1) ⇔ 0x < 2 (lu«n ®óng víi mäi<br />

x).<br />

0,5<br />

KÕt luËn:<br />

⎧ 2 ⎫<br />

- Víi m < 1 vµ m ≠ 0 th× tËp nghiÖm lµ S = ⎨x | x > ⎬<br />

⎩ m( m −1)<br />

⎭<br />

0,5<br />

- Víi m = 0 th× biÓu thøc v« nghÜa.<br />

0,25<br />

⎧ 2 ⎫<br />

- Víi m > 1 th× tËp nghiÖm lµ S = ⎨x | x < ⎬<br />

⎩ m( m −1)<br />

⎭<br />

0,5<br />

- Víi m = 1 th× S = R<br />

0,25<br />

Bµi 3 - VÏ h×nh:<br />

(3<br />

®iÓm)<br />

A<br />

8cm<br />

B<br />

VËy ®−êng cao thø hai cã ®é dµi lµ 20<br />

3 cm hoÆc 15 4 cm<br />

6cm<br />

K<br />

D H<br />

C<br />

Gi sö ABCD lµ h×nh b×nh hµnh cã AB = 8cm, AD = 6cm vµ cã<br />

mét ®−êng cao dµi 5cm .<br />

V× 5 < 6 vµ 5 < 8 nªn cã thÓ xy ra hai tr−êng hîp:<br />

AH = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 1<br />

20<br />

3 (cm)<br />

AK = 5cm. Khi ®ã S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH = 1<br />

15<br />

4 (cm)<br />

0,5<br />

Bµi 4<br />

(3<br />

®iÓm)<br />

Bµi 5<br />

(4<br />

®iÓm)<br />

Gäi thêi gian vßi n−íc chy ®Çy bÓ lµ x(giê). §K: x > 0<br />

Khi ®ã 1 giê vßi ®ã chy ®−îc 1 x bÓ<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

1 giê vßi kh¸c chy ra l−îng n−íc b»ng 4<br />

5x bÓ.<br />

0,5<br />

⎛ 1 4 ⎞ 1<br />

0,5<br />

Theo ®Ò bµi ta cã ph−¬ng tr×nh ⎜ − ⎟.5<br />

=<br />

⎝ x 5x<br />

⎠ 8<br />

Gii ph−¬ng tr×nh t×m ®−îc x = 8 (TM§K x>0)<br />

1<br />

VËy thêi gian ®Ó vßi chy ®Çy bÓ lµ 8 giê.<br />

0,5<br />

- VÏ h×nh ®óng 0,5<br />

0,25<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

0,5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

118<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

C<br />

b<br />

A<br />

c<br />

E<br />

HÖ thøc a 2 = b 2 + bc a 2 = b (b + c)<br />

Baøi 1: ( 3 ñieåm ) Rút gọn biểu thức<br />

x − y 3x + y y − x<br />

A = − i<br />

xy y<br />

2 x<br />

2<br />

+ − xy x + y<br />

c<br />

a<br />

B<br />

Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm E sao cho<br />

AE = c, suy ra CE = b + c.<br />

0,5<br />

Khi ®ã ABE = E (do tam gi¸c ABE c©n t¹i A)<br />

BAC = ABE + E<br />

(gãc ngoµi tam gi¸c) nªn 0,5<br />

A<br />

= 2E<br />

.<br />

Theo gi thiÕt A = 2B . VËy E = ABC 1<br />

.<br />

0,25<br />

Chøng minh ®−îc ∆ BCE ∆ ACB (g.g)<br />

BC CE 2<br />

suy ra = ⇒ BC = AC.CE<br />

AC BC<br />

hay a 2 = b (b + c)<br />

<strong>ĐỀ</strong> <strong>THI</strong> SỐ 49<br />

Baøi 2: ( 3 ñieåm ) Giải phương trình<br />

3x x 3x<br />

+ + = 0<br />

x − 2 5 − x ( x − 2)( x − 5)<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

Baøi 3: ( 3 ñieåm ) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức có giá trị là số nguyên<br />

3 2<br />

x − 3x − 11x<br />

+ 8<br />

A =<br />

x − 5<br />

Baøi 4: ( 3 ñieåm )<br />

0,25<br />

0,25<br />

Số học sinh tiên tiến của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng 3 4 số<br />

học sinh tiên tiến của khối 7 bằng 60% số học sinh tiên tiến của khối 8. Tính số<br />

học sinh tiên tiến của mỗi khối?<br />

Baøi 5: ( 4 ñieåm )<br />

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC,<br />

CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.<br />

a/ Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?<br />

b/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật?<br />

c/ Tam giác ABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?<br />

Baøi 6: ( 4 ñieåm )<br />

Hình thang ABCD có AB//CD, đường cao bằng 12(m), AC ⊥ BD,<br />

BD=15(m).<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

119<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

a/ Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Chứng minh<br />

2<br />

BD = DE.DH. Từ đó tính độ dài DE.<br />

b/ Tính diện tích hình thang ABCD.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

ÑAÙP AÙN VAØ THANG ÑIEÅM CHAÁM<br />

Baøi Ñaùp aùn Ñieåm<br />

1<br />

(3 đ) x − y 3x + y y − x<br />

A = − i<br />

xy y<br />

2 x<br />

2<br />

+ − xy x + y<br />

* Điều kiện: x ≠ 0; y ≠ 0; x ≠ ± y<br />

2<br />

(3 đ)<br />

3<br />

(3 ñ)<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

x − y 3x + y y − x x − y 3x + y x − y<br />

A = − i = + i 1<br />

xy + y x − xy x + y y x + y x x − y x + y<br />

2 2<br />

( ) ( )<br />

x − y 3x + y ( x − y) x + ( 3x + y)<br />

y<br />

( + ) ( + ) ( + )<br />

2<br />

− + 3 + ( x + y)<br />

( x + y)<br />

xy ( x + y)<br />

xy ( x + y)<br />

xy<br />

= + =<br />

y x y x x y xy x y<br />

2 2<br />

x xy xy y<br />

= = =<br />

3x x 3x<br />

+ + = 0<br />

x − 2 5 − x ( x − 2)( x − 5)<br />

* Tập xác định: x ≠ 2; x ≠ 5<br />

3x x 3x 3x x 3x<br />

+ + = 0 ⇔ − + = 0<br />

x − − x x − x −<br />

2 5 ( x − 2)( x − 5) 2 5 ( x − 2)( x − 5)<br />

2 2<br />

( ) ( )<br />

⇔ 3x x − 5 − x x − 2 + 3x = 0 ⇔ 3x −15x − x + 2x + 3x<br />

= 0<br />

2<br />

⎡ x = 0∈TXÑ<br />

⇔ 2x − 10x = 0 ⇔ 2x ( x − 5)<br />

= 0 ⇔ ⎢<br />

⎣x<br />

− 5 = 0 ⇔ x = 5 ∉ TXÑ<br />

Vaäy S = { 0}<br />

3 2<br />

x − 3x − 11x<br />

+ 8 2 3<br />

A = = x + 2x<br />

− 1+<br />

x − 5 x − 5<br />

3<br />

A∈ Ζ ⇔ ∈ Ζ ⇔ x − 5 = ± 1; ± 3<br />

x − 5<br />

* x − 5 = ± 1 ⇔ x ∈ 6;4<br />

{ 2;4;6;8}<br />

{ }<br />

{ }<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

* x − 5 = ± 3 ⇔ x ∈ 8;2<br />

x ∈<br />

4<br />

(3 ñ) Goïi soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 7 laø x (hoïc sinh) (x > 0) 0,25<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

120<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

1<br />

1<br />

0,5<br />

1<br />

1<br />

0,5<br />

1<br />

1<br />

0,5<br />

0,5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

soá hoïc sinh tieân tieán cuûa khoái 8 laø 270 - x (hoïc sinh)<br />

5<br />

(4 ñ)<br />

Ta coù phöông trình:<br />

3 60 3 3<br />

. x = ( 270 − x) ⇔ . x = ( 270 − x)<br />

4 100 4 5<br />

3 810 − 3x<br />

⇔ . x = ⇔ 15x = 3240 −12x ⇔ 27x<br />

= 3240<br />

4 5<br />

⇔ x = 120 ( Nhaän)<br />

Vaäy soá hoïc sinh cuûa khoái 7 laø 120 hoïc sinh, vaø khoái 8 laø 270 – 120 =<br />

150 hoïc sinh.<br />

a/<br />

1 ⎫<br />

MN / / DF;<br />

MN = DF<br />

2 ⎪<br />

⎬ ⇒ MN / / PQ;<br />

MN = PQ<br />

1<br />

PQ / / DF;<br />

PQ = DF ⎪<br />

2 ⎪⎭<br />

. Vaäy MNPQlaø hình<br />

bình haønh.<br />

b/ Giaû söû MNPQ laø hình chöû nhaät thì MP = NQ<br />

Maø<br />

= = AC ⎫<br />

MP AF<br />

2 ⎪ ⎬ ⇒ AC = AB<br />

AB<br />

NQ = AD = ⎪<br />

2 ⎪⎭<br />

Vaäy tam giaùc ABC caân taïi A thì MNPQ laø hình chöû nhaät.<br />

** Hoaëc:<br />

MN ⊥ MQ⎫<br />

⎪<br />

MN / / BC ⇒ AE ⊥ BC;<br />

ñoàng thôøi EB = EC<br />

⎬<br />

MQ / / AE ⎪<br />

⎭<br />

Neân tam giaùc ABC caântaïi A.<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

c/ Giaû söû MNPQ laø hình thoi thì MN = MQ<br />

BC AE<br />

MN = MQ ⇔ = ⇔ AE = 1 BC<br />

4 2 2<br />

0,5<br />

Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A thì MNPQ laø hình thoi.<br />

1<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

121<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial<br />

0,25<br />

1<br />

1<br />

0,25<br />

0,25<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1<br />

0,5<br />

1<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN


https://twitter.com/daykemquynhon<br />

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn<br />

http://daykemquynhon.ucoz.com<br />

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 /<br />

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định<br />

Tuyển tập đề thi <strong>HSG</strong> Toán 8<br />

MP ⊥ NQ ⇔ AC ⊥ AB<br />

** Hoaëc:<br />

Vaäy tam giaùc ABC vuoâng taïi A<br />

6<br />

(4 ñ<br />

a/ Keû BH ⊥ DC<br />

DH = BD − BH = − =<br />

2 2 2 2 2 2<br />

⇒ DH = 9<br />

( m)<br />

15 12 9<br />

Xeùt tam giaùc BDH vaø tam giaùc EDB<br />

BHD<br />

<br />

= DBE<br />

<br />

= 1v⎫⎪ ⇒<br />

<br />

⎬ ∆BDH # ∆EDB<br />

BDE chung ⎪⎭<br />

2<br />

BD DH BD<br />

⇒ = ⇔ DE = = 25( m)<br />

DE BD DH<br />

b/<br />

1<br />

S = ( AB + DC)<br />

BH<br />

ABCD<br />

2<br />

= 1 ⋅ DE ⋅ BH = 1 ⋅ 25 ⋅ 12 = 150<br />

2 2<br />

( m)<br />

www.facebook.com/daykem.quynhon<br />

http://daykemquynhon.blogspot.com<br />

DIỄN ĐÀN <strong>TOÁN</strong> - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

1<br />

1<br />

1<br />

0,5<br />

0,5<br />

Skype : live:daykemquynhonbusiness<br />

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/<br />

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN<br />

Gv: Nguyễn Văn Tú<br />

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú<br />

122<br />

Trường <strong>THCS</strong> Thanh Mỹ<br />

www.facebook.com/daykemquynhonofficial<br />

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!